Matematika peminatan rayyan (1)
A. Definisi Logaritma
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan invers (kebalikan)
dari eksponen atau pemangkatan.
Atau dengan pengertian lain, bentuk eksponen
bila dinyatakan
dengan notasi logaritma adalah
.
dengan :
a = basis atau bilangan pokok
b = hasil atau range logaritma
c = numerus atau domain logaritma.
Sebagai catatan, bahwa penulisan
sama artinya dengan
.
B. Sifat – sifat Logaritma
Jika a>0, a ≠ 1, m ≠ 1, b>0 dan c>0, maka berlaku :
CONTOH SOAL
1. Tentukanlah nilai logaritma
!
Penyelesaian:
=x
jadi,
=6
2. Nyataan bentuk eksponen berikut ini ke notasi logaritma, 34 = 81 !
Penyelesaian:
34 = 81 3log 81 = 4
3. Nyatakan bentuk logaritma berikut ini ke bentuk berpangkatan, 7log
49 = 2 !
Penyelesaian;
7
log 49 = 2 72 = 49.
C. OPERASI AL ALJABAR PADA BENTUK LOGARITMA
Berikut ini merupakan sifat-sifat logaritma yang dipakai dalam operasi
aljabar bentuk logaritma & juga untuk menyederhanakannya.
a. nlog ab = nlog a + nlog b
b. nlog
= nlog a - nlog b
c. nlog ap= p nlog a
d. nlog a =
e. nnlog a = a
Dengan n, p, a, & b positif serta n 1 & p 1.
Contoh Soal.
1. Sederhanakanlah, 3 log 4 + log 18 - log 72 !
Penyelesaian:
3 log 4 + log 18 - log 72
= log 43 + log 18 - log 72
= log 64 + log 18 - log 72
= log
= log 16
= log 24
= 4 log 2
2. Hitunglah nilai logaritma berikut,3log 36 . 6log 81 !
Penyelesaian:
3
log 36 . 6log 81
=
= 6log 36 . 3log 81
=6log 62 . 3log 34
=2.4=8
D. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Persamaan Logaritma
Sebelumnya, perhatikan sifat-sifat logaritma berikut.
Misalkan diketahui alog b, alog c dengan a>0, b>0, c > 0.
a
log b = log b/log a
a
log a = 1
a
log b + blog c = alog bc
a
log b - blog c = alog b/c
a
log b . blog c = alog c
a
log bn = n alog b
Beberapa bentuk persamaan logaritma dan penyelesaiannya sebagai
berikut.
1. Bentuk alog f(x) = alog g(x)
a
log f(x) = alog g(x), dengan syarat a > 0,
Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0 dan g(x) > 0
g(x) boleh berupa konstanta
2. Bentuk alog f(x) = blog f(x)
log f(x) = blog f(x), dengan syarat a, b > 0,
Maka penyelesaiannya adalah f(x)= 1
a
3. Bentuk
h(x)
h(x)
log f(x) =
log f(x) =
h(x)
log g(x)
log g(x), dengan syarat h(x) > 0,
h(X)
Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) tidak
sama dengan 1.
Lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut :
1. 5log 2x = 5log 20
2. 3log (3x + 1) = 3log 25
3. xlog (2x + 3) = xlog (x + 9)
4. 4log (5x + 4) = 3
5. 2log (2x2 + 15) = 2log (x2 + 8x)
Jawaban:
1. 5log 2x = 5log 20
2x = 20
x = 10
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 10.
2. 3log (3x + 1) = 3log 25
3x + 1 = 25
3x = 24
x= 8
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 8.
3. xlog (2x + 3) = xlog (x + 9), syaratnya x>0.
2x + 3 = x + 9
2x – x = 9 – 3
x=6
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 6.
4. 4log (5x + 4) = 3
4
log (5x + 4) = 4log 43
4
log (5x + 4) = 4log 64
5x + 4 = 64
5x = 60
x = 12
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 12.
5. 2log (2x2 + 15) = 2log (x2 + 8x)
2x2 + 15 = x2 + 8x
2x2 – x2 – 8x + 15 = 0
x2 – 8x + 15 = 0
(x – 3)(x – 5) = 0
x = 3 atau x = 5
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 atau x = 5.
Pertidaksamaan Logaritma
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, langkah-langkah
penyelesaiannya hampir sama dengan cara penyelesaian padapersamaan
logaritma. Hanya saja lebih memperhatikan tanda ketidaksamaanya.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.
1.
2.
3.
4.
5.
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut
log 3x + 5 < 5log 35
3
log (2x + 3) > 3log 15
2
log (6x + 2) < 2log (x + 27)
2
log (5x – 14) < 6
4
log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x)
6. x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
7. 2x-5log (x2 + 5x) > 2x-5log (4x + 12)
5
Jawaban:
1. 5log 3x + 5 < 5log 35
Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)
3x + 5 < 35
3x < 30
x < 10 ....(2)
Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.
2. 3log (2x + 3) > 3log 15
Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
2x + 3 > 15
2x > 12
x > 6 ....(2)
Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.
3. 2log (6x + 2) < 2log (x + 27)
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)
x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
6x + 2 < x + 27
6x – x < 27 – 2
5x < 25
x < 5 ..... (3)
Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5
4. 2log (5x – 16) < 6
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
log (5x – 16) < 2log 26
2
log (5x – 16) < 2log 64
5x – 16 < 64
5x < 80
x < 16 . . . . (2)
Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.
2
5. 4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x)
Syarat nilai pada logaritma.
2x2 + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x . . . (1)
x2 + 10x > 0, maka x < -10 atau x > 0 . . . . (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x2 + 24) > (x2 + 10x)
2x2 - x2 - 10x + 24 > 0
x2 - 10x + 24 > 0
(x – 4)(x – 6) >
x < 4 atau x > 6 ....(3)
Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.
6.
log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
Syarat nilai pada bilangan x+1>0
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0 -5
. . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) > (x + 5)
2x - x > 5 + 3
x> 8
...(4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.
Untuk x+1>1 atau x > 0 . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2
. . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5
. . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) < (x + 5)
2x - x < 5 + 3
x< 8
...(4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu
3/2 0
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0 0
4x + 12 > 0, maka x > -3
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) < (4x + 12)
x2 + 5x - 4x - 12 < 0
x2 + x - 12 < 0
(x + 4)(x - 3) < 0
-4 < x < 3
. . . . . (4)
. . . (1)
. . . (2)
. . . (3)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2
< x < 3.
Untuk 2x-5 > 1 atau x > 3
. . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0
. . . (2)
4x - 12 > 0, maka x > 3
. . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) > (4x + 12)
x2 + 5x - 4x - 12 > 0
x2 + x - 12 > 0
(x + 4)(x - 3) > 0
x 3
. . . . . (4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x
> 3.
Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x >
5/2 dan x =/ 3.
E. FUNGSI LOGARITMA DAN GRAFIK LOGARITMA
Setiap fungsi eksponensial f(x) = a , dengan a > 0 dan a ≠ 1, merupakan
fungsi korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan
menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a > 1).
Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers
tersebut dinamakan fungsi logaritma dengan basis a dan dinotasikan
dengan log .
x
a
Fungsi invers f didefinisikan sebagai
–1
Definisi ini akan membawa kita kepada definisi fungsi logaritma berikut
ini.
Definisi Fungsi Logaritma
Misalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1. Fungsi logaritma
dengan basis a, yang dinotasikan dengan log , didefinisikan dengan
a
Sehingga log x merupakan pangkat dari a untuk menjadi x.
a
Ketika kita menggunakan definisi logaritma untuk mengganti bentuk
logaritma log x = ymenjadi bentuk eksponensial a = x, atau sebaliknya,
perhatikan bahwa dalam kedua bentuk ini, basisnya tetap sama.
a
y
Contoh 1: Bentuk Logaritma dan Eksponensial
Bentuk logaritma dan eksponensial merupakan persamaan-persamaan
yang ekuivalen: Jika bentuk yang satu benar, maka bentuk yang lainnya
juga benar. Sehingga kita dapat mengubah bentuk logaritma menjadi
bentuk eksponensial, atau sebaliknya, seperti ilustrasi berikut.
Grafik Fungsi Logaritma
Perhatikan bahwa jika fungsi satu-satu f memiliki domain A dan range B,
maka fungsi inversnya, f memiliki domain B dan range A. Karena fungsi
eksponensial f(x) = a dengan a ≠ 1 memiliki domain himpunan semua
bilangan real dan range (0, ∞), maka kita dapat menyimpulkan bahwa
fungsi inversnya, f (x) = log x, memiliki domain (0, ∞) dan range
himpunan semua bilangan real.
Grafik f (x) = log x diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x)
= a terhadap garis y = x. Gambar 2 menunjukkan grafik ini untuk
kasus a > 1. Fakta bahwa y = a (untuk a > 1) merupakan fungsi yang
naik secara cepat untuk x > 0, maka menyebabkan y = log xmerupakan
fungsi yang naik secara lambat untuk x > 1.
–1
x
–1
–1
a
a
x
x
a
Karena log 1 = 0, maka titik potong fungsi y = log x terhadap sumbux adalah titik (1, 0). Sumbu-y merupakan garis asimtot dari y =
log x karena log x mendekati –∞ ketika xmendekati 0 .
Contoh 5: Menggambar Grafik Fungsi Logaritma
Sketsalah grafik f(x) = log x.
Pembahasan Untuk membuat tabel nilai-nilai fungsi, kita pilih
nilai x yang merupakan pangkat dari 2 sehingga kita mudah dalam
menentukan logaritmanya. Kita plot titik-titik ini dan kemudian
menghubungkannya dengan kurva halus seperti pada Gambar 3.
a
a
a
+
a
2
Gambar 4 menunjukkan grafik fungsi yang masuk dalam keluarga fungsi
logaritma, yaitu dengan basis 2, 3, 5, dan 10. Grafik-grafik ini digambar
dengan mencerminkan grafik-grafik y = 2 , y = 3 , y = 5 , dan y =
10 terhadap garis y = x. Kita juga dapat melakukan plot titik-titik untuk
mensketsa grafik-grafik ini.
x
x
x
x
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan invers (kebalikan)
dari eksponen atau pemangkatan.
Atau dengan pengertian lain, bentuk eksponen
bila dinyatakan
dengan notasi logaritma adalah
.
dengan :
a = basis atau bilangan pokok
b = hasil atau range logaritma
c = numerus atau domain logaritma.
Sebagai catatan, bahwa penulisan
sama artinya dengan
.
B. Sifat – sifat Logaritma
Jika a>0, a ≠ 1, m ≠ 1, b>0 dan c>0, maka berlaku :
CONTOH SOAL
1. Tentukanlah nilai logaritma
!
Penyelesaian:
=x
jadi,
=6
2. Nyataan bentuk eksponen berikut ini ke notasi logaritma, 34 = 81 !
Penyelesaian:
34 = 81 3log 81 = 4
3. Nyatakan bentuk logaritma berikut ini ke bentuk berpangkatan, 7log
49 = 2 !
Penyelesaian;
7
log 49 = 2 72 = 49.
C. OPERASI AL ALJABAR PADA BENTUK LOGARITMA
Berikut ini merupakan sifat-sifat logaritma yang dipakai dalam operasi
aljabar bentuk logaritma & juga untuk menyederhanakannya.
a. nlog ab = nlog a + nlog b
b. nlog
= nlog a - nlog b
c. nlog ap= p nlog a
d. nlog a =
e. nnlog a = a
Dengan n, p, a, & b positif serta n 1 & p 1.
Contoh Soal.
1. Sederhanakanlah, 3 log 4 + log 18 - log 72 !
Penyelesaian:
3 log 4 + log 18 - log 72
= log 43 + log 18 - log 72
= log 64 + log 18 - log 72
= log
= log 16
= log 24
= 4 log 2
2. Hitunglah nilai logaritma berikut,3log 36 . 6log 81 !
Penyelesaian:
3
log 36 . 6log 81
=
= 6log 36 . 3log 81
=6log 62 . 3log 34
=2.4=8
D. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Persamaan Logaritma
Sebelumnya, perhatikan sifat-sifat logaritma berikut.
Misalkan diketahui alog b, alog c dengan a>0, b>0, c > 0.
a
log b = log b/log a
a
log a = 1
a
log b + blog c = alog bc
a
log b - blog c = alog b/c
a
log b . blog c = alog c
a
log bn = n alog b
Beberapa bentuk persamaan logaritma dan penyelesaiannya sebagai
berikut.
1. Bentuk alog f(x) = alog g(x)
a
log f(x) = alog g(x), dengan syarat a > 0,
Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0 dan g(x) > 0
g(x) boleh berupa konstanta
2. Bentuk alog f(x) = blog f(x)
log f(x) = blog f(x), dengan syarat a, b > 0,
Maka penyelesaiannya adalah f(x)= 1
a
3. Bentuk
h(x)
h(x)
log f(x) =
log f(x) =
h(x)
log g(x)
log g(x), dengan syarat h(x) > 0,
h(X)
Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) tidak
sama dengan 1.
Lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut :
1. 5log 2x = 5log 20
2. 3log (3x + 1) = 3log 25
3. xlog (2x + 3) = xlog (x + 9)
4. 4log (5x + 4) = 3
5. 2log (2x2 + 15) = 2log (x2 + 8x)
Jawaban:
1. 5log 2x = 5log 20
2x = 20
x = 10
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 10.
2. 3log (3x + 1) = 3log 25
3x + 1 = 25
3x = 24
x= 8
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 8.
3. xlog (2x + 3) = xlog (x + 9), syaratnya x>0.
2x + 3 = x + 9
2x – x = 9 – 3
x=6
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 6.
4. 4log (5x + 4) = 3
4
log (5x + 4) = 4log 43
4
log (5x + 4) = 4log 64
5x + 4 = 64
5x = 60
x = 12
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 12.
5. 2log (2x2 + 15) = 2log (x2 + 8x)
2x2 + 15 = x2 + 8x
2x2 – x2 – 8x + 15 = 0
x2 – 8x + 15 = 0
(x – 3)(x – 5) = 0
x = 3 atau x = 5
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 3 atau x = 5.
Pertidaksamaan Logaritma
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, langkah-langkah
penyelesaiannya hampir sama dengan cara penyelesaian padapersamaan
logaritma. Hanya saja lebih memperhatikan tanda ketidaksamaanya.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.
1.
2.
3.
4.
5.
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut
log 3x + 5 < 5log 35
3
log (2x + 3) > 3log 15
2
log (6x + 2) < 2log (x + 27)
2
log (5x – 14) < 6
4
log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x)
6. x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
7. 2x-5log (x2 + 5x) > 2x-5log (4x + 12)
5
Jawaban:
1. 5log 3x + 5 < 5log 35
Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)
3x + 5 < 35
3x < 30
x < 10 ....(2)
Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.
2. 3log (2x + 3) > 3log 15
Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
2x + 3 > 15
2x > 12
x > 6 ....(2)
Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.
3. 2log (6x + 2) < 2log (x + 27)
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
6x + 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)
x + 27 > 0, maka x > -27 ..... (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
6x + 2 < x + 27
6x – x < 27 – 2
5x < 25
x < 5 ..... (3)
Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5
4. 2log (5x – 16) < 6
Syarat nilai bilangan pada logaritma:
5x – 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)
Perbandingan nilai pada logaritma
log (5x – 16) < 2log 26
2
log (5x – 16) < 2log 64
5x – 16 < 64
5x < 80
x < 16 . . . . (2)
Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.
2
5. 4log (2x2 + 24) > 4log (x2 + 10x)
Syarat nilai pada logaritma.
2x2 + 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x . . . (1)
x2 + 10x > 0, maka x < -10 atau x > 0 . . . . (2)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x2 + 24) > (x2 + 10x)
2x2 - x2 - 10x + 24 > 0
x2 - 10x + 24 > 0
(x – 4)(x – 6) >
x < 4 atau x > 6 ....(3)
Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.
6.
log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
Syarat nilai pada bilangan x+1>0
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0 -5
. . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) > (x + 5)
2x - x > 5 + 3
x> 8
...(4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.
Untuk x+1>1 atau x > 0 . . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2
. . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5
. . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(2x – 3) < (x + 5)
2x - x < 5 + 3
x< 8
...(4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu
3/2 0
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0 0
4x + 12 > 0, maka x > -3
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) < (4x + 12)
x2 + 5x - 4x - 12 < 0
x2 + x - 12 < 0
(x + 4)(x - 3) < 0
-4 < x < 3
. . . . . (4)
. . . (1)
. . . (2)
. . . (3)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2
< x < 3.
Untuk 2x-5 > 1 atau x > 3
. . . (1)
Syarat nilai pada logaritma.
x2 + 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0
. . . (2)
4x - 12 > 0, maka x > 3
. . . (3)
Perbandingan nilai pada logaritma
(x2 + 5x) > (4x + 12)
x2 + 5x - 4x - 12 > 0
x2 + x - 12 > 0
(x + 4)(x - 3) > 0
x 3
. . . . . (4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x
> 3.
Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x >
5/2 dan x =/ 3.
E. FUNGSI LOGARITMA DAN GRAFIK LOGARITMA
Setiap fungsi eksponensial f(x) = a , dengan a > 0 dan a ≠ 1, merupakan
fungsi korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan
menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a > 1).
Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers
tersebut dinamakan fungsi logaritma dengan basis a dan dinotasikan
dengan log .
x
a
Fungsi invers f didefinisikan sebagai
–1
Definisi ini akan membawa kita kepada definisi fungsi logaritma berikut
ini.
Definisi Fungsi Logaritma
Misalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1. Fungsi logaritma
dengan basis a, yang dinotasikan dengan log , didefinisikan dengan
a
Sehingga log x merupakan pangkat dari a untuk menjadi x.
a
Ketika kita menggunakan definisi logaritma untuk mengganti bentuk
logaritma log x = ymenjadi bentuk eksponensial a = x, atau sebaliknya,
perhatikan bahwa dalam kedua bentuk ini, basisnya tetap sama.
a
y
Contoh 1: Bentuk Logaritma dan Eksponensial
Bentuk logaritma dan eksponensial merupakan persamaan-persamaan
yang ekuivalen: Jika bentuk yang satu benar, maka bentuk yang lainnya
juga benar. Sehingga kita dapat mengubah bentuk logaritma menjadi
bentuk eksponensial, atau sebaliknya, seperti ilustrasi berikut.
Grafik Fungsi Logaritma
Perhatikan bahwa jika fungsi satu-satu f memiliki domain A dan range B,
maka fungsi inversnya, f memiliki domain B dan range A. Karena fungsi
eksponensial f(x) = a dengan a ≠ 1 memiliki domain himpunan semua
bilangan real dan range (0, ∞), maka kita dapat menyimpulkan bahwa
fungsi inversnya, f (x) = log x, memiliki domain (0, ∞) dan range
himpunan semua bilangan real.
Grafik f (x) = log x diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x)
= a terhadap garis y = x. Gambar 2 menunjukkan grafik ini untuk
kasus a > 1. Fakta bahwa y = a (untuk a > 1) merupakan fungsi yang
naik secara cepat untuk x > 0, maka menyebabkan y = log xmerupakan
fungsi yang naik secara lambat untuk x > 1.
–1
x
–1
–1
a
a
x
x
a
Karena log 1 = 0, maka titik potong fungsi y = log x terhadap sumbux adalah titik (1, 0). Sumbu-y merupakan garis asimtot dari y =
log x karena log x mendekati –∞ ketika xmendekati 0 .
Contoh 5: Menggambar Grafik Fungsi Logaritma
Sketsalah grafik f(x) = log x.
Pembahasan Untuk membuat tabel nilai-nilai fungsi, kita pilih
nilai x yang merupakan pangkat dari 2 sehingga kita mudah dalam
menentukan logaritmanya. Kita plot titik-titik ini dan kemudian
menghubungkannya dengan kurva halus seperti pada Gambar 3.
a
a
a
+
a
2
Gambar 4 menunjukkan grafik fungsi yang masuk dalam keluarga fungsi
logaritma, yaitu dengan basis 2, 3, 5, dan 10. Grafik-grafik ini digambar
dengan mencerminkan grafik-grafik y = 2 , y = 3 , y = 5 , dan y =
10 terhadap garis y = x. Kita juga dapat melakukan plot titik-titik untuk
mensketsa grafik-grafik ini.
x
x
x
x