LAMPIRAN A : MENTERJEMAHKAN SETIAP LANGKAH DEMI LANGKAH KE BAHASA MATHEMATICA 9

LAMPIRAN A : MENTERJEMAHKAN SETIAP LANGKAH DEMI
LANGKAH KE BAHASA MATHEMATICA 9

Persaman gerak untuk θ1 adalah
(𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 )𝑙1 𝜃̈1 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 )𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 −

𝜃3 )𝜃̈3 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝜃̇22 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙3 𝜃̇32 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃3 ) + (𝑚1 + 𝑚2 +
𝑚3 )𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃1 = 0

(2.19)

Diubah dalam program menjadi
g (m1+m2+m3) Sin[θ1[t]]+θ2’[t]^2 l2 (m2+m3) Sin[θ1[t]-

θ2[t]]+θ3’[t]^2 l3 m3 Sin[θ1[t]-θ3[t]]+l1 m1 θ1’’[t]+(m2+m3)
(l1 θ1’’[t] + l2 Cos[θ1[t]-θ2[t]]θ2’’[t])+l3 m3 Cos [θ1[t]θ3[t]]θ3’’[t]==0

Sedangkan untuk 𝜃2 :

(𝑚2 + 𝑚3 ) 𝑙1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) 𝜃̈1 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 )𝜃̈3 −

(𝑚2 + 𝑚3 )𝑙1 𝜃̇12 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙3 𝜃̇32 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 ) + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃2 = 0
(2.20)

-θ1’[t]^2 l1 (m2+m3) Sin[θ1[t]-θ2[t]]+θ3’[t]^2 l3 m3

Sin[θ2[t]-θ3[t]]+(m2+m3) (g Sin[θ2[t]]+l1 Cos[θ1[t]-θ2[t]]
θ1’’[t]+l2 θ2’’[t])+l3 m3 Cos[θ2[t]-θ3[t]] θ3’’[t]==0

Lalu yang terakhir untuk 𝜃3 :

𝑚3 𝑙1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 )𝜃̈1 + 𝑚3 𝑙2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 ) 𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝜃̈3 − 𝑚3 𝑙1 𝜃̇12 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 −
𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙2 𝜃̇22 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 ) + 𝑚3 𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃3 = 0

(2.21)

m3(g Sin[θ3[t]]-θ1’[t]^2 l1 Sin[θ1[t]-θ3[t]]-l2 Sin[θ2[t]θ3[t]] θ2’[t]^2+ l1 Cos[θ1[t]-θ3[t]] θ1’’[t]+l2 Cos[θ2[t]θ3[t]] θ2’’[t] +l3 θ3’’[t])==0

Penyelesaian persamaan differensial triple pendulum:
sol=NDSolve[eqns,

(θ1,θ2},

{t,0,p},

Maxsteps->Infinity,

PrecisionGoal->4];pq=sol[[1,1,2,1,1,2]];

Posisi Persamaan pendulum :
pos1[t_]:={l1 Sin[θ1[t]],-l1 Cos[θ1[t]]};

Universitas Sumatera Utara

pos2[t_]:={(l1

Sin[θ1[t]]+l2

Sin[θ2[t]]),(-l1

pos3[t_]:={(l1

Sin[θ1[t]]+l2

Sin[θ2[t]]+l3

Cos[θ2[t]])};

Cos[θ1[t]]-l2 Cos[θ2[t]]-l3 Cos[θ3[t]])};

Cos[θ1[t]]-l2

Sin[θ3[t]]),(-l1

Jejak persamaan Gerak Pendulum dalam simulasi:
path=ParametricPlot[Evaluate[pos3[t]/.sol[[1]],{t,pp/5,p},ColorFunction>(Directive[Lighter[Red,.10],Opacity[0.66#3]]&)MaxRecursion>ControlActive[2, 4]];
path1=ParametricPlot[Evaluate[pos2[t]/.sol[[1]],{t,p-p/5,p},
ColorFunction->(Directive[Lighter[Blue,.10],Opacity[0.66#3]]&)
MaxRecursion->ControlActive[2, 4]];

Visualisasi Lingkaran Hitam:

Column[{Graphics[{GrayLevel[.4,.6], Circle[{0,0}, l1]

Visualisasi Pendulum Merah:
Darker[Red,.2],path[[1]],path[[1]],Line[Evaluate[{pos1[pq],pos2
[pq],pos3[pq]}/.Sol]],Disk[First@Evaluate[pos3[pq]/.sol],.2]

Visualisasi Pendulum Biru:
Darker[Blue,.2],Line[{pos1[pq],pos2[pq]}/.Sol],Disk[First@Evalu
ate[pos2[pq]/.sol],.2]

Visualisasi Pendulum Hijau :
Darker[Green,.2],Line[{{0, 0}, First@Evaluate[pos1[pq]/.sol]}],
Disk[First@Evaluate[pos1[pq]/.sol,.2]

Besar Kecilnya Visualisasi Pendulum:
ImageSize->{320, 300}

Batasan dalam visualiasi Pendulum :
PlotRange->{{-(l1+l2+l3)-.5,

(l1+l2+l3)+.5},{(l1+l2+l3)+.5,-

(l1+l2+l3)-.5}}]

Universitas Sumatera Utara

Tombol Pemilihan Grafik hasil animasi Pendulum :
Switch[plottype,
(*Tampilan plot simpangan x m1 dan m2 terhadap t*)
x1x2,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Green,

MaxRecursionBlue},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],
(*Tampilan plot simpangan y m1 dan m2 terhadap t*)
y1y2,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Green,

MaxRecursionBlue},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],
(*Tampilan plot simpangan x m2 dan m3 terhadap t*)
x2x3,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Blue,

MaxRecursionRed},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],
(*Tampilan plot simpangan y m2 dan m3 terhadap t*)
y2y3,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Blue,

MaxRecursionRed},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],
(*Tampilan plot simpangan θ m1 dan m2 terhadap t*)
θ1θ2,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Green,

MaxRecursionBlue},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“θ(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq-

Universitas Sumatera Utara

25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],
(*Tampilan plot simpangan θ m2 dan m3 terhadap t*)
θ2θ3,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

g2[t]},

4],

{t,0,p},

PlotStyle->{Blue,

MaxRecursionRed},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“θ(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],

(*Tampilan Plot x1 vs y1*)
x1y1,

ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel>Rown[{Subscript[x,1],”
3Pi/4,3Pi/4},

vs

“,

Automatic},

Subscript[y,1]}],PlotRange->{{ImageSize->{420,150},PlotStyle-

>Darker[Green,.1],AspectRatio->32/100.],
(*Tampilan Plot x2 vs y2*)
x2y2,

ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel>Rown[{Subscript[x,2],”
3Pi/2,3Pi/2},

vs

“,

Automatic},

Subscript[y,2]}],PlotRange->{{ImageSize->{420,150},PlotStyle-

>Darker[Blue,.1],AspectRatio->32/100.],
(*Tampilan Plot x3 vs y3*)
x3y3,

ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel>Rown[{Subscript[x,3],”
3Pi/2,3Pi/2},

vs

“,

Automatic},

Subscript[y,3]}],PlotRange->{{ImageSize->{420,150},PlotStyle-

>Darker[Blue,.1],AspectRatio->32/100.],
(*Tampilan Plot θ1 vs θ2*)
θθ,

ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel>Rown[{Subscript[θ,1],”

vs

“,

Subscript[θ,2]}],PlotRange->{{-

Universitas Sumatera Utara

Pi,Pi},

Automatic},

ImageSize->{420,150},ColorFunction-

>(Blend[{Blue, Green}, #1]&),AspectRatio->32/100.],
(*Tampilan Plot θ2 vs θ3*)
θϕ,

ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel>Rown[{Subscript[θ,2],”
Pi,Pi},

vs

Automatic},

“,

Subscript[θ,3]}],PlotRange->{{-

ImageSize->{420,150},ColorFunction-

>(Blend[{Red, Blue}, #1]&),AspectRatio->32/100.],
(*Tampilan plot ω1 vs θ1*)

θθPrime1, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p}, MaxRecursion>ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel-

>Row[{Subscript[OverDot[θ],1],” vs “,Subscript[θ,1]}],PlotRange>{{-Pi,Pi},

Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100.,

PlotStyle->Darker[Green,.2]],
(*Tampilan plot ω2 vs θ2*)

θθPrime2, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p}, MaxRecursion>ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel-

>Row[{Subscript[OverDot[θ],2],” vs “,Subscript[θ,2]}],PlotRange>{{-Pi,Pi},

Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100.,

PlotStyle->Darker[Blue,.2]],
(*Tampilan plot ω3 vs θ3*)

θθPrime2, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p}, MaxRecursion>ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel-

>Row[{Subscript[OverDot[θ],3],” vs “,Subscript[θ,3]}],PlotRange>{{-Pi,Pi},

Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100.,

PlotStyle>Darker[Red,.2]],_,Graphics[{White,Point[{0,0}]}]]},Dividers>None]],

Penulisan Judul Program:
Style[“ANIMASI
“Label”],

GERAK

TRIPLE”,

Bold,

18,

Darker[Black,.1],

Universitas Sumatera Utara

Style[“***********************************************”,
Bold,16, Darker[Black, .1], “Label”],
Style[“PENDULUM

NONLINIER”,

“Label”],

Bold,

18,

Darker[Black,

Style[“******************************************”,
Darker[Black, .1], “Label”],
Style[“

Bold,

“, Bold, 12, Darker[Green,.8], “Label”],

Style[“Parameter

Pendulum”,”Subsection”,

Bold,

Darker[Black,.1], “Label”],

.1],
12,

12,

Tampilan Parameter massa pendulum hijau, biru, merah, panjang pendulum hijau,
biru, merah, gravitasi, sudut pendulum hijau, biru, merah, kecepatan sudut pendulum
hijau, biru, merah, dan waktu (Berurutan):
{{m1,

1,

“Green

mass

(m1)”},1,5,ImageSize->Tiny,

ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},
{{m2,1,”Blue mass (m2)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction>False, Appearance->”Labeled”},
{{m3,1,”Red mass (m3)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction>False, Appearance->”Labeled”},
{{l1,1,”Green

length

(l1)”},1,5,ImageSize->Tiny,

ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},
{{l2,1,”Blue

length

(l2)”},1,5,

ImageSize->Tiny,

ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},
{{l3,1,”Red

length

(l3)”},1,5,

ImageSize->Tiny,

ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},
{{g,1,”Gravity

(g)”},1,9.8,

ImageSize->Tiny,

ContinuousAction-

>False, Appearance->”Labeled”},
Delimiter,
Style[“Kondisi

Awal”,

Darker[Black,.1],”Label”],

“Subsection”,

Bold,

12,

{{init1,Pi/2,”green

angle(θ1)

{{init2,0,”blue

angle(θ2)

“},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},

“},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},

Universitas Sumatera Utara

{{init3,0,”red

angle(θ3)

“},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},

{{initprime1,0,”green

velocity(ω1)”},0,5,ImageSize-

>Tiny,Appearance->”Labeled”},
{{initprime2,0,”blue

velocity(ω2)”},0,5,ImageSize-

>Tiny,Appearance->”Labeled”},
{{initprime3,0,”red

velocity(ω3)”},0,5,ImageSize-

>Tiny,Appearance->”Labeled”},
Delimiter,{{p, 12,”Waktu”},0.001,100,ImageSize->Tiny,Appearance>”Labeled”},

Tombol Pemilihan Tampilan Grafik:
[{plottype,

x1x2,

“Grafik”},

{x1x2->”Simpangan

x

m1

dan

m2”,y1y2->” Simpangan y m1 dan m2”, x2x3->” Simpangan x m2 dan

m3”, y2y3->” Simpangan y m2 dan m3”,θ1θ2->”Sensitivitas Kondisi
Awal

θ1

dan

θ2”,

θ2θ3->”Sensitivitas

Kondisi

Awal

θ2

dan

θ3”,x1y1->”x1 vs. y1”, x2y2->”x2 vs. y2”, x3y3->”x3 vs. y3”,θθ->”θ1
vs. θ2”, θϕ->”θ2 vs. θ3”, θθprime1->” 𝜃̇1 vs θ1”, θθprime2->” 𝜃̇2 vs
θ2”, θθprime3->” 𝜃̇3 vs θ3”} ”},ControlType->PopupMenu}

Tombol untuk menganimasikan pendulum terhadap waktu:
{{p,0.001,”Animasi”},0.001,100,1.0,

ControlType->Trigger},

AutorunSequencing->All,TrackedSymbols:>Manipulate,Initialization:->Get[“Barcharts”],
AutorunSequencing->{{10,10},l1}, TrackedSymbols:-> {m1, m2, m3,
l1,

l2,

l3,

g,

init1,

init2,

init3,

initprime1,initprime2,

initprime3, plottype, p}

Universitas Sumatera Utara

LAMPIRAN B: LISTING PROGRAM SIMULASI GERAK TRIPLE
PENDULUM NONLINIER

Berikut

ini

merupakan

listing

program

untukanimasi

dan

visualisasi gerakan triple pendulum nonlinier
(*Penentuan Variabel-variabel dan konstanta-konstanta*)
Manipulate[Module[{eqns, θ1, θ2, θ3, sol, pos1, pos2, pos3,t
,pq ,path, path1},
eqns={
g

(m1+m2+m3)

Sin[θ1[t]]+θ2’[t]^2

l2

(m2+m3)

Sin[θ1[t]-

θ2[t]]+θ3’[t]^2 l3 m3 Sin[θ1[t]-θ3[t]]+l1 m1 θ1’’[t]+(m2+m3)

(l1 θ1’’[t] + l2 Cos[θ1[t]-θ2[t]]θ2’’[t])+l3 m3 Cos [θ1[t]θ3[t]]θ3’’[t]==0,

-θ1’[t]^2 l1 (m2+m3) Sin[θ1[t]-θ2[t]]+θ3’[t]^2 l3 m3 Sin[θ2[t]θ3[t]]+(m2+m3)

(g

Sin[θ2[t]]+l1

Cos[θ1[t]-θ2[t]]

θ1’’[t]+l2

Sin[θ1[t]-θ3[t]]-l2

Sin[θ2[t]-

θ2’’[t])+l3 m3 Cos[θ2[t]-θ3[t]] θ3’’[t]==0,
m3(g

θ3[t]]

θ3[t]]

Sin[θ3[t]]-θ1’[t]^2
θ2’[t]^2+

l1

θ2’’[t]

l1

Cos[θ1[t]-θ3[t]]
+l3

θ1’’[t]+l2

Cos[θ2[t]-

θ3’’[t])==0,θ1[0]==init1,

θ2[0]==init2,θ3[0]==init3,θ1’[0]==initprime1,θ2’[0]==initprime2
,θ3’[0]==initprime3};
(*Penyelesaian Persamaan Differensial*)
sol=NDSolve[eqns,

(θ1,θ2},

{t,0,p},

Maxsteps->Infinity,

PrecisionGoal->4];pq=sol[[1,1,2,1,1,2]];
pos1[t_]:={l1 Sin[θ1[t]],-l1 Cos[θ1[t]]};
pos2[t_]:={(l1

Sin[θ1[t]]+l2

Sin[θ2[t]]),(-l1

pos3[t_]:={(l1

Sin[θ1[t]]+l2

Sin[θ2[t]]+l3

Cos[θ2[t]])};

Cos[θ1[t]]-l2 Cos[θ2[t]]-l3 Cos[θ3[t]])};

Cos[θ1[t]]-l2

Sin[θ3[t]]),(-l1

path=ParametricPlot[Evaluate[pos3[t]/.sol[[1]],{t,pp/5,p},ColorFunction>(Directive[Lighter[Red,.10],Opacity[0.66#3]]&)MaxRecursion>ControlActive[2, 4]];

Universitas Sumatera Utara

path1=ParametricPlot[Evaluate[pos2[t]/.sol[[1]],{t,p-p/5,p},
ColorFunction->(Directive[Lighter[Blue,.10],Opacity[0.66#3]]&)
MaxRecursion->ControlActive[2, 4]];
(*Visualisasi Pendulum*)
Column[{Graphics[{GrayLevel[.4,.6], Circle[{0,0}, l1],
Darker[Red,.2],path[[1]],path[[1]],Line[Evaluate[{pos1[pq],pos2
[pq],pos3[pq]}/.Sol]],Disk[First@Evaluate[pos3[pq]/.sol],.2],
Darker[Blue,.2],Line[{pos1[pq],pos2[pq]}/.Sol],Disk[First@Evalu
ate[pos2[pq]/.sol],.2],
Darker[Green,.2],Line[{{0, 0}, First@Evaluate[pos1[pq]/.sol]}],
Disk[First@Evaluate[pos1[pq]/.sol,.2],ImageSize->{320,
300},PlotRange->{{-(l1+l2+l3)-.5,
(l1+l2+l3)+.5},{(l1+l2+l3)+.5,-(l1+l2+l3)-.5}}],
g1[t_?NumberQ]=Switch[plottype,x1x2,l1 Sin[θ1[t]],y1y2,-l1
Cos[θ1[t]],x2x3,(l1 Sin[θ1[t]+l2 Sin[θ2[t]]),y2y3,(-l1

Cos[θ1[t]-l2

Cos[t]]),x1y1,pos1[t][[1]],x2y2,pos2[t][[1]],pos3[t][[1]],θ1θ2,
θ1[t],θ2θ3,θ2[t],θθ,θ1[t],θϕ,θ2[t],θθprime1,θ1[t],θθprime2,
θ2[t],θθprime3,θ3[t],_,1]/.sol[[1]];

g2[t_?NumberQ]=Switch[plottype,x1x2,l1 Sin[θ1[t]]+l2

Sin[θ2[t]],y1y2,(-l1 Cos[θ1[t]]-l2 Cos[θ2[t]]),x2x3,(l1

Sin[θ1[t]+l2 Sin[θ2[t]]+l3 Sin[θ3[t]]),y2y3,(-l1 Cos[θ1[t]-l2
Cos[t]]-l3
Cos[t]]),x1y1,pos1[t][[2]],x2y2,pos2[t][[2]],pos3[t][[2]],θ1θ2,
θ2[t],θ2θ3,θ3[t],θθ,θ2[t],θϕ,θ3[t],θθprime1,θ1’[t],θθprime2,
θ2’[t],θθprime3,θ3’[t],_,1]/.sol[[1]];
Switch[plottype,
(*Tampilan plot simpangan x m1 dan m2 terhadap t*)
x1x2,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Green,

MaxRecursionBlue},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],

Universitas Sumatera Utara

(*Tampilan plot simpangan y m1 dan m2 terhadap t*)
y1y2,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Green,

MaxRecursionBlue},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],
(*Tampilan plot simpangan x m2 dan m3 terhadap t*)
x2x3,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Blue,

MaxRecursionRed},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],
(*Tampilan plot simpangan y m2 dan m3 terhadap t*)
y2y3,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Blue,

MaxRecursionRed},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“x(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],
(*Tampilan plot simpangan θ m1 dan m2 terhadap t*)
θ1θ2,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Green,

MaxRecursionBlue},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“θ(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],
(*Tampilan plot simpangan θ m2 dan m3 terhadap t*)
θ2θ3,

Plot[{g1[t],

>ControlActive[3,

4],

g2[t]},

{t,0,p},

PlotStyle->{Blue,

MaxRecursionRed},

Axes-

>False,PlotLabel->Style{“θ(t)vs t”, “Label”], PlotRange->{{pq25,pq},

Automatic},

ImageSize->{420,

150},

AspectRatio-

>32/100.],

Universitas Sumatera Utara

(*Tampilan Plot x1 vs y1*)
x1y1,

ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel>Rown[{Subscript[x,1],”
3Pi/4,3Pi/4},

vs

“,

Automatic},

Subscript[y,1]}],PlotRange->{{ImageSize->{420,150},PlotStyle-

>Darker[Green,.1],AspectRatio->32/100.],
(*Tampilan Plot x2 vs y2*)
x2y2,

ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel>Rown[{Subscript[x,2],”
3Pi/2,3Pi/2},

vs

“,

Automatic},

Subscript[y,2]}],PlotRange->{{ImageSize->{420,150},PlotStyle-

>Darker[Blue,.1],AspectRatio->32/100.],
(*Tampilan Plot x3 vs y3*)
x3y3,

ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel>Rown[{Subscript[x,3],”
3Pi/2,3Pi/2},

vs

“,

Automatic},

Subscript[y,3]}],PlotRange->{{ImageSize->{420,150},PlotStyle-

>Darker[Blue,.1],AspectRatio->32/100.],
(*Tampilan Plot θ1 vs θ2*)
θθ,

ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel>Rown[{Subscript[θ,1],”
Pi,Pi},

vs

Automatic},

“,

Subscript[θ,2]}],PlotRange->{{-

ImageSize->{420,150},ColorFunction-

>(Blend[{Blue, Green}, #1]&),AspectRatio->32/100.],
(*Tampilan Plot θ2 vs θ3*)
θϕ,

ParametricPlot[{g1[t],g2[t]},{t,0,p},MaxRecursion-

>ControlActive[3,4],Axes->False,PlotLabel>Rown[{Subscript[θ,2],”
Pi,Pi},

Automatic},

vs

“,

Subscript[θ,3]}],PlotRange->{{-

ImageSize->{420,150},ColorFunction-

>(Blend[{Red, Blue}, #1]&),AspectRatio->32/100.],

Universitas Sumatera Utara

(*Tampilan plot ω1 vs θ1*)

θθPrime1, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p}, MaxRecursion>ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel-

>Row[{Subscript[OverDot[θ],1],” vs “,Subscript[θ,1]}],PlotRange>{{-Pi,Pi},

Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100.,

PlotStyle->Darker[Green,.2]],
(*Tampilan plot ω2 vs θ2*)

θθPrime2, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p}, MaxRecursion>ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel-

>Row[{Subscript[OverDot[θ],2],” vs “,Subscript[θ,2]}],PlotRange>{{-Pi,Pi},

Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100.,

PlotStyle->Darker[Blue,.2]],
(*Tampilan plot ω3 vs θ3*)

θθPrime2, ParametricPlot[{g1[t], g2[t]}, {t,0,p}, MaxRecursion>ControlActive[3,4],

Axes->False,PlotLabel-

>Row[{Subscript[OverDot[θ],3],” vs “,Subscript[θ,3]}],PlotRange>{{-Pi,Pi},

Automatic},ImageSize{420,150},AspectRatio->32/100.,

PlotStyle>Darker[Red,.2]],_,Graphics[{White,Point[{0,0}]}]]},Dividers>None]],
(*Tampilan Parameter Kendali*)
Style[“ANIMASI
“Label”],

GERAK

TRIPLE”,

Bold,

18,

Darker[Black,.1],

Style[“***********************************************”,
Bold,16, Darker[Black, .1], “Label”],
Style[“PENDULUM
“Label”],

NONLINIER”,

Bold,

18,

Darker[Black,

Style[“******************************************”,
Darker[Black, .1], “Label”],
Style[“

“, Bold, 12, Darker[Green,.8], “Label”],

Style[“Parameter

Pendulum”,”Subsection”,

Darker[Black,.1], “Label”],

Bold,

Bold,

.1],
12,

12,

Universitas Sumatera Utara

{{m1,

1,

“Green

mass

(m1)”},1,5,ImageSize->Tiny,

ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},
{{m2,1,”Blue mass (m2)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction>False, Appearance->”Labeled”},
{{m3,1,”Red mass (m3)”},1,5, ImageSize->Tiny, ContinuousAction>False, Appearance->”Labeled”},
{{l1,1,”Green

length

(l1)”},1,5,ImageSize->Tiny,

ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},
{{l2,1,”Blue

(l2)”},1,5,

length

ImageSize->Tiny,

ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},
{{l3,1,”Red

length

(l3)”},1,5,

ImageSize->Tiny,

ContinuousAction->False, Appearance->”Labeled”},
{{g,1,”Gravity

(g)”},1,9.8,

ImageSize->Tiny,

ContinuousAction-

>False, Appearance->”Labeled”},
Delimiter,
Style[“Kondisi

Awal”,

Darker[Black,.1],”Label”],

“Subsection”,

Bold,

12,

{{init1,Pi/2,”green

angle(θ1)

{{init2,0,”blue

angle(θ2)

“},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},
“},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},

{{init3,0,”red

angle(θ3)

“},-Pi/2, Pi/2, Appearance->”Labeled”, ImageSize->Tiny},

{{initprime1,0,”green

velocity(ω1)”},0,5,ImageSize-

>Tiny,Appearance->”Labeled”},
{{initprime2,0,”blue

velocity(ω2)”},0,5,ImageSize-

>Tiny,Appearance->”Labeled”},
{{initprime3,0,”red

velocity(ω3)”},0,5,ImageSize-

>Tiny,Appearance->”Labeled”},
Delimiter,{{p, 12,”Waktu”},0.001,100,ImageSize->Tiny,Appearance>”Labeled”},
Delimiter,
(*Menu Pemilihan Tampilan*)
[{plottype,

x1x2,

“Grafik”},

{x1x2->”Simpangan

x

m1

dan

m2”,y1y2->” Simpangan y m1 dan m2”, x2x3->” Simpangan x m2 dan

Universitas Sumatera Utara

m3”, y2y3->” Simpangan y m2 dan m3”,θ1θ2->”Sensitivitas Kondisi
Awal

θ1

dan

θ2”,

θ2θ3->”Sensitivitas

Kondisi

Awal

θ2

dan

θ3”,x1y1->”x1 vs. y1”, x2y2->”x2 vs. y2”, x3y3->”x3 vs. y3”,θθ->”θ1
vs. θ2”, θϕ->”θ2 vs. θ3”, θθprime1->” 𝜃̇1 vs θ1”, θθprime2->” 𝜃̇2 vs
θ2”, θθprime3->” 𝜃̇3 vs θ3”},

ControlType->PopupMenu},{{p,0.001,”Animasi”},0.001,100,1.0,
ControlType->Trigger},

AutorunSequencing->All,TrackedSymbols:-

>Manipulate,Initialization:->Get[“Barcharts”],
AutorunSequencing->{{10,10},l1}, TrackedSymbols:-> {m1, m2, m3,
l1,

l2,

l3,

g,

init1,

init2,

init3,

initprime1,initprime2,

initprime3, plottype, p}]

Universitas Sumatera Utara

LAMPIRAN C: PENJABARAN PERSAMAAN GERAK SISTEM TRIPLE
PENDULUM NONLINIER

Koordinat – koordinat posisi tiap pendulum :
x1 = l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1

(2.2)

y1 = l1 sin θ1

(2.3)

x2 = l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2 cos θ2

(2.4)

y2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2

(2.5)

x3 = l1 cos θ1 + l2 cos θ2 + l3 cos θ3

(2.6)

y3 = l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2 cos θ2 − l3 cos θ3

(2.7)

Kemudian, setiap koordinat diatas akan diturunkan terhadap waktu untuk
memperoleh kecepatan. Hasil dari turunan menghasilkan
𝑥̇ 1 = −𝑙1 𝜃̇1 sin 𝜃1
𝑦̇ 1 = 𝑙1 𝜃̇1 cos 𝜃1

𝑥̇ 2 = −𝑙1 𝜃̇1 sin 𝜃1 − 𝑙2 𝜃̇2 sin 𝜃2
𝑦̇ 2 = 𝑙1 𝜃̇1 cos 𝜃1 + 𝑙2 𝜃̇2 cos 𝜃2

𝑥̇ 3 = −𝑙1 𝜃̇1 sin 𝜃1 − 𝑙2 𝜃̇2 sin 𝜃2 − 𝑙3 𝜃̇3 sin 𝜃3
𝑦̇ 3 = 𝑙1 𝜃̇1 cos 𝜃1 + 𝑙2 𝜃̇2 cos 𝜃2 + 𝑙3 𝜃̇3 cos 𝜃3

Subsitusi koordinat turunan ini ke persamaan 2.12 dan mengingat rumus
trigonometri untuk selisih dua sudut diperoleh energi kinetik :



2

cos (α – β) = cosα cosβ + sinα sin β
T=

1
2

1

1

1

T = 𝑚1 (ẋ 12 + ẏ 12 ) + 2 𝑚2 (ẋ 22 + ẏ 22 ) + 2 𝑚3 (ẋ 32 + ẏ 32 )
1
2

𝑚1 𝜃12 ̇ 𝑙12 +

1
2

𝑚2 [𝜃̇12 𝑙12 + 𝜃̇22 𝑙22 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 )] +

𝑚3 [𝜃̇12 𝑙12 + 𝜃̇22 𝑙22 + 𝜃̇32 𝑙32 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 2 𝜃̇1 𝜃̇3 𝑙1 𝑙3 cos(𝜃1 −
𝜃3 ) + 2 𝜃̇2 𝜃̇3 𝑙2 𝑙3 cos(𝜃2 − 𝜃3 )] (2.16)

Energi potensial diperoleh dengan mensubsitusikan persamaan 2.2, 2.4, 2.6 ke
persamaan 2.9 :
V = m1gx1 + m2gx2 + m3gx3
= m1g (l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1) + m2g (l1 + l2 + l3 – l1 cos θ1 – l2cos θ2) + m3g (l1 + l2
+ l3 – l1 cos θ1 – l2 cos θ2 − l3cos θ3)

(2.11)

Universitas Sumatera Utara

Sehingga Fungsi Lagrangian Triple Pendulum Nonlinier:
L=T–V
= 𝑚1 𝜃12 ̇ 𝑙12 +
2
1

1
2

𝑚2 [𝜃̇12 𝑙12 + 𝜃̇22 𝑙22 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 )] +

1
2

𝑚3 [𝜃̇12 𝑙12 +

𝜃̇22 𝑙22 + 𝜃̇32 𝑙32 + 2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 cos(𝜃1 − 𝜃2 ) + 2 𝜃̇1 𝜃̇3 𝑙1 𝑙3 cos(𝜃1 − 𝜃3 ) +

2 𝜃̇2 𝜃̇3 𝑙2 𝑙3 cos(𝜃2 − 𝜃3 )] − 𝑚1 𝑔 (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 − 𝑙1 cos 𝜃1 ) − 𝑚2 𝑔 (𝑙1 + 𝑙2 +

𝑙3 − 𝑙1 cos 𝜃1 − 𝑙2 cos 𝜃2 ) − 𝑚3 𝑔 (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 − 𝑙1 cos 𝜃1 − 𝑙2 cos 𝜃2 − 𝑙3 cos 𝜃3 )
(2.17)

Persamaan diatas adalah Fungsi Lagrangian dari triple pendulum, persamaan diatas
akan diselesaikan dengan persamaan Lagrange agar diperoleh posisi masing-masing
pendulum.

Persamaan Lagrange dirumuskan sebagai berikut:
𝜕𝐿
𝑑
( )
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇𝛼

−

𝜕𝐿

𝜕𝜃𝛼

= 0, 𝛼 ∈ {1,2,3}

(2.18)

 Persamaan gerak untuk pendulum pertama:

𝜕𝐿
= −𝑚2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 sin(𝜃1 − 𝜃2 ) − 𝑚3 𝜃̇1 𝜃̇3 𝑙1 𝑙3 cos(𝜃1 − 𝜃3 )
𝜕𝜃1

− 𝑚3 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 sin(𝜃1 − 𝜃2 ) − 𝑚1 𝑔 𝑙1 sin 𝜃1 − 𝑚3 𝑔 𝑙1 sin 𝜃1
− 𝑚3 𝑔 𝑙1 sin 𝜃1

𝜕𝐿
= 𝑚1 𝑙12 𝜃̇1 + 𝑚2 𝑙12 𝜃̇1 + 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃̇2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙12 𝜃̇1
𝜕𝜃̇1

+ 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̇2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙1 𝑙3 𝜃̇3 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 )

𝑑 𝜕𝐿
(
) = 𝑚1 𝑙12 𝜃̈1 + 𝑚2 𝑙12 𝜃̈1 + 𝑚3 𝑙12 𝜃̈1 + 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃̈2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 )
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇1

− 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃̇2 (𝜃̇1 − 𝜃̇2 ) sin(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙12 𝜃̈1 + 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̈2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 )

− 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̇2 (𝜃̇1 − 𝜃̇2 ) sin(𝜃1 − 𝜃2 )

+ 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̈3 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙1 𝑙3 𝜃̇3 (𝜃̇1 − 𝜃̇3 ) sin(𝜃1 − 𝜃3 )

Kemudian dengan persamaan Lagrange,

𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
(
)=
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇1
𝜕𝜃1

Universitas Sumatera Utara

𝑚1 𝑙12 𝜃̈1 + 𝑚2 𝑙12 𝜃̈1 + 𝑚3 𝑙12 𝜃̈1 + 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃̈2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 )

− 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃̇2 (𝜃̇1 − 𝜃̇2 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙12 𝜃̈1 + 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̈2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 )

− 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̇2 (𝜃̇1 − 𝜃̇2 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 )

+ 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̈3 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙1 𝑙3 𝜃̇3 (𝜃̇1 − 𝜃̇3 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃3 )

= 𝑚2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) − 𝑚3 𝜃̇1 𝜃̇3 𝑙1 𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 )

− 𝑚3 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) − 𝑚1 𝑔 𝑙1 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − 𝑚3 𝑔 𝑙1 𝑠𝑖𝑛 𝜃1
− 𝑚3 𝑔 𝑙1 𝑠𝑖𝑛 𝜃1

Untuk lebih sederhananya maka persamaan diatas dibagi l1 diperoleh hasil:
(𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 )𝑙1 𝜃̈1 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 )𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 )𝜃̈3 +

(𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝜃̇22 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙3 𝜃̇32 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃3 ) + (𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 )𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃1 =
0

(2.19)

 Persamaan gerak untuk pendulum kedua:
𝜕𝐿
= 𝑚2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 )
𝜕𝜃2

− 𝑚3 𝜃̇2 𝜃̇3 𝑙2 𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 ) − 𝑚2 𝑔 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − 𝑚3 𝑔 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃3

𝜕𝐿
= 𝑚2 𝑙22 𝜃̇2 + 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃̇1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙12 𝜃̇1 + 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̇1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 )
𝜕𝜃̇2
+ 𝑚3 𝑙22 𝜃̇2 + 𝑚3 𝑙2 𝑙3 𝜃̇3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 )

𝑑 𝜕𝐿
(
) = 𝑚2 𝑙22 𝜃̈2 + 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃̈1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) − 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃̇1 (𝜃̇1 − 𝜃̇2 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 )
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇2

+ 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̈1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) − 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̇1 (𝜃̇1 − 𝜃̇2 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙22 𝜃̈2
+ 𝑚3 𝑙2 𝑙3 𝜃̈3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙2 𝑙3 𝜃̇3 (𝜃̇2 − 𝜃̇3 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 )

Kemudian dengan persamaan Lagrange,

𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
(
)=
𝜕𝜃2
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇2

𝑚2 𝑙22 𝜃̈2 + 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃̈1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) − 𝑚2 𝑙1 𝑙2 𝜃̇1 (𝜃̇1 − 𝜃̇2 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 )

+ 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̈1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) − 𝑚3 𝑙1 𝑙2 𝜃̇1 (𝜃̇1 − 𝜃̇2 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙22 𝜃̈2
+ 𝑚3 𝑙2 𝑙3 𝜃̈3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙2 𝑙3 𝜃̇3 (𝜃̇2 − 𝜃̇3 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 )
= 𝑚2 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝜃̇1 𝜃̇2 𝑙1 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 )

− 𝑚3 𝜃̇2 𝜃̇3 𝑙2 𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 ) − 𝑚2 𝑔 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − 𝑚3 𝑔 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃3

Universitas Sumatera Utara

Untuk lebih sederhananya maka persamaan diatas dibagi l2 diperoleh hasil:
(𝑚2 + 𝑚3 ) 𝑙1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃2 ) 𝜃̈1 + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑙2 𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 )𝜃̈3 −

(𝑚2 + 𝑚3 )𝑙1 𝜃̇12 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃2 ) + 𝑚3 𝑙3 𝜃̇32 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 ) + (𝑚2 + 𝑚3 )𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃2 = 0
(2.20)

 Persamaan gerak untuk pendulum ketiga:
𝜕𝐿
= 𝑚3 𝜃̇1 𝜃̇3 𝑙1 𝑙3 sin(𝜃1 − 𝜃3 ) + 𝑚3 𝜃̇2 𝜃̇3 𝑙2 𝑙3 sin(𝜃2 − 𝜃3 ) − 𝑚3 𝑔 𝑙3 sin 𝜃3
𝜕𝜃3
𝜕𝐿
= 𝑚3 𝑙32 𝜃̇3 + 𝑚3 𝑙1 𝑙3 𝜃̇1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 ) + 𝑚3 𝑙2 𝑙3 𝜃̇2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 )
𝜕𝜃̇3

𝑑 𝜕𝐿
(
) = 𝑚3 𝑙32 𝜃̈3 + 𝑚3 𝑙1 𝑙3 𝜃̈1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙1 𝑙3 𝜃̇1 (𝜃̇1 − 𝜃̇3 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃3 )
̇
𝑑𝑡 𝜕𝜃3
+ 𝑚3 𝑙2 𝑙3 𝜃̈2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙2 𝑙3 𝜃̇2 (𝜃̇2 − 𝜃̇3 )sin(𝜃2 − 𝜃3 )

Kemudian dengan persamaan Lagrange,

𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
(
)=
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇3
𝜕𝜃3

𝑚3 𝑙32 𝜃̈3 + 𝑚3 𝑙1 𝑙3 𝜃̈1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙1 𝑙3 𝜃̇1 (𝜃̇1 − 𝜃̇3 ) 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 − 𝜃3 )

+ 𝑚3 𝑙2 𝑙3 𝜃̈2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙2 𝑙3 𝜃̇2 (𝜃̇2 − 𝜃̇3 ) sin(𝜃2 − 𝜃3 )

= 𝑚3 𝜃̇1 𝜃̇3 𝑙1 𝑙3 sin(𝜃1 − 𝜃3 ) + 𝑚3 𝜃̇2 𝜃̇3 𝑙2 𝑙3 sin(𝜃2 − 𝜃3 ) − 𝑚3 𝑔 𝑙3 sin 𝜃3

Untuk lebih sederhananya maka persamaan diatas dibagi l3 diperoleh hasil:

𝑚3 𝑙1 𝑐𝑜𝑠(𝜃1 − 𝜃3 )𝜃̈1 + 𝑚3 𝑙2 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3 ) 𝜃̈2 + 𝑚3 𝑙3 𝜃̈3 − 𝑚3 𝑙1 𝜃̇12 𝑠𝑖𝑛(𝜃1 −
𝜃3 ) − 𝑚3 𝑙2 𝜃̇22 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3 ) + 𝑚3 𝑔 𝑠𝑖𝑛𝜃3 = 0

(2.21)

Universitas Sumatera Utara

LAMPIRAN D: GRAFIK RUANG FASA UNTUK PERBANDINGAN SISTEM
DENGAN VARIASI NILAI BEBERAPA PARAMETER


Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.1 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi
sudut simpangan awal, m1 = m2 = m3 = 1 dan l1 = l2 = l3 = 1)
1

vs.

1

Gambar C.1, Ruang fasa dengan θ1 = 1.15-1.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.2, Ruang fasa dengan θ1 = 0.85-1.14, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.3, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.85, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.4, Ruang fasa dengan θ1 = 1.0-1.14, θ2 = 1.2, dan θ3 = 1.65

Universitas Sumatera Utara

1

vs.

1

Gambar C.5, Ruang fasa dengan θ1 = 0.9-0.99, θ2 = 1.2, dan θ3 = 1.65
1

vs.

1

Gambar C.6, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.89, θ2 = 1.2, dan θ3 = 1.65
1

vs.

1

Gambar C.7, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.89, θ2 = 1.05, dan θ3 = 1.05
1

vs.

1

Gambar C.8, Ruang fasa dengan θ1 = 0.7-0.79, θ2 = 1.05, dan θ3 = 1.05

Universitas Sumatera Utara

1

vs.

1

Gambar C.9, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.69, θ2 = 1.05, dan θ3 = 1.05
1

vs.

1

Gambar C.10, Ruang fasa dengan θ1 = 0.62-0.69, θ2 = 0.86, dan θ3 = 0.95
1

vs.

1

Gambar C.11, Ruang fasa dengan θ1 = 0.5-0.61, θ2 = 0.86, dan θ3 = 0.95
1

vs.

1

Gambar C.12, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.49, θ2 = 0.86, dan θ3 = 0.95

Universitas Sumatera Utara

1

vs.

1

Gambar C.13, Ruang fasa dengan θ1 = 0.4-0.49, θ2 = 0.48, dan θ3 = 0.7
1

vs.

1

Gambar C.14, Ruang fasa dengan θ1 = 0.28-0.39, θ2 = 0.48, dan θ3 = 0.7
1

vs.

1

Gambar C.15, Ruang fasa dengan θ1 = 0-0.27, θ2 = 0.48, dan θ3 = 0.7


Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.2 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi
panjang tali pendulum1, m1 = m2 = m3 = 1, l2 = l3 = 1, dan θ1 = Pi/2)
1

vs.

1

Gambar C.16, Ruang fasa dengan l1 = 1-1.5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Universitas Sumatera Utara

1

vs.

1

Gambar C.17, Ruang fasa dengan l1 = 1.6-1.9, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.18, Ruang fasa dengan l1 = 2-5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.19, Ruang fasa dengan l1 = 2-2.2, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1
1

vs.

1

Gambar C.20, Ruang fasa dengan l1 = 2.3-2.4, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1
1

vs.

1

Gambar C.21, Ruang fasa dengan l1 = 2.5-5, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1

Universitas Sumatera Utara

1

vs.

1

Gambar C.22, Ruang fasa dengan l1 = 2.5-3, θ2 = 0.98, dan θ3 = 0.98
1

vs.

1

Gambar C.23, Ruang fasa dengan l1 = 3.1-5, θ2 = 0.98, dan θ3 = 0.98


Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.3 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi
panjang tali pendulum2, m1 = m2 = m3 =1, l1 = l3 = 1, dan θ1 = Pi/2)
2

vs.

2

Gambar C.24, Ruang fasa dengan l2 = 2, θ2 = 0-1.57, dan θ3 = 0-1.57


Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.4 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi
panjang tali pendulum3, m1 = m2 = m3 =1, l1 = l2 = 1, dan θ1 = Pi/2)

Gambar C.25, Ruang fasa dengan l3 = 1.1-1.2, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Universitas Sumatera Utara

3

vs.

3

Gambar C.26, Ruang fasa dengan l3 = 1.3-5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
3

vs.

3

Gambar C.27, Ruang fasa dengan l3 = 1.3-1.6, θ2 = 1.35, dan θ3 = 1.4
3

vs.

3

Gambar C.28, Ruang fasa dengan l3 = 1.7-2, θ2 = 1.35, dan θ3 = 1.4
3

vs.

3

Gambar C.29, Ruang fasa dengan l3 = 2.1-5, θ2 = 1.35, dan θ3 = 1.4
3

vs.

3

Gambar C.30, Ruang fasa dengan l3 = 2.1-2.8, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1.57

Universitas Sumatera Utara

3

vs.

3

Gambar C.31, Ruang fasa dengan l3 = 2.9-3.2, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1.57
3

vs.

3

Gambar C.32, Ruang fasa dengan l3 = 3.3-5, θ2 = 1.15, dan θ3 = 1.57
3

vs.

3

Gambar C.33, Ruang fasa dengan l3 = 3.3-4, θ2 = 0.78, dan θ3 = 1.57
3

vs.

3

Gambar C.34, Ruang fasa dengan l3 = 4.1-4.4, θ2 = 0.78, dan θ3 = 1.57
3

vs.

3

Gambar C.35, Ruang fasa dengan l3 = 4.5-5, θ2 = 0.78, dan θ3 = 1.57

Universitas Sumatera Utara



Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.5 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi
massa pendulum1, m2 = m3 = 1, l1 = l2 = l3 = 1, dan θ1 = Pi/2)
1

vs.

1

Gambar C.36, Ruang fasa dengan, m1 = 1-1.1, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.37, Ruang fasa dengan, m1 = 1.2-1.9, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.38, Ruang fasa dengan, m1 = 2-5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.39, Ruang fasa dengan, m1 = 2-2.2, θ2 = 1.44, dan θ3 = 1.57
1

vs.

1

Gambar C.40, Ruang fasa dengan, m1 = 2.3-5, θ2 = 1.44, dan θ3 = 1.57

Universitas Sumatera Utara



Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.6 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi
massa pendulum2, m1 = m3 = 1, l1 = l2 = l3 = 1, dan θ1 = Pi/2)
2

vs.

2

Gambar C.41, Ruang fasa dengan, m2 = 1-2, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
2

vs.

2

Gambar C.42, Ruang fasa dengan, m2 = 2.1-2.4, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
2

vs.

2

Gambar C.43, Ruang fasa dengan, m2 = 2.5-5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
2

vs.

2

Gambar C.44, Ruang fasa dengan, m2 = 3, θ2 = 1.17, dan θ3 = 1
2

vs.

2

Gambar C.45, Ruang fasa dengan, m2 = 3.1-5, θ2 = 1.17, dan θ3 = 1

Universitas Sumatera Utara



Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.7 (Hasil pengujian keadaan sistem untuk variasi
massa pendulum3, m1 = m2 = 1, l1 = l2 = l3 = 1, dan θ1 = Pi/2)
3

vs.

3

Gambar C.46, Ruang fasa dengan, m3 = 1-1.2, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
3

vs.

3

Gambar C.47, Ruang fasa dengan, m3 = 1.3, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
3

vs.

3

Gambar C.48, Ruang fasa dengan, m3 = 1.4-5, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
3

vs.

3

Gambar C.49, Ruang fasa dengan, m3 = 2, θ2 = 0.9, dan θ3 = 0.9
3

vs.

3

Gambar C.50, Ruang fasa dengan, m3 = 2.1-2.2, θ2 = 0.9, dan θ3 = 0.9

Universitas Sumatera Utara

3

vs.

3

Gambar C.51, Ruang fasa dengan, m3 = 2.3-5, θ2 = 0.9, dan θ3 = 0.9
3

vs.

3

Gambar C.52, Ruang fasa dengan, m3 = 2.3-2.5, θ2 = 0.78, dan θ3 = 0.69
3

vs.

3

Gambar C.53, Ruang fasa dengan, m3 = 2.6-5, θ2 = 0.78, dan θ3 = 0.69


Grafik diagram fasa untuk Tabel 4.8 (Hasil pengujian sistem untuk massa dan tali
yang sama)
1

vs.

1

Gambar C.54, Ruang fasa dengan m1 = m2 = m3 = 2, l1 = l2 = l3 = 1, θ1 = 1.151.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.55, Ruang fasa dengan m1 = m2 = m3 = 3, l1 = l2 = l3 = 1, θ1 = 1.151.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Universitas Sumatera Utara

1

vs.

1

Gambar C.56, Ruang fasa dengan m1 = m2 = m3 = 1, l1 = l2 = l3 = 2, θ1 = 1.151.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.57, Ruang fasa dengan m1 = m2 = m3 = 1, l1 = l2 = l3 = 3, θ1 = 1.151.57, θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17
1

vs.

1

Gambar C.58, Ruang fasa dengan m1 = m2 = m3 = l1 = l2 = l3 = 2, θ1 = 1.15-1.57,
θ2 = 1.31, dan θ3 = 1.17

Universitas Sumatera Utara