September 6, 2009 l o g i k a m a t e m a t i k a

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

LOGIKA MATEMATIKA

MENGEVALUASI PERNYATAAN

DENGAN

TABEL KEBENARAN

  

[Terjemahan]

Diajukan untuk memenuhi tugas pada mata kuliah Logika Matematika

  Disusun oleh :

  

Gito Firgono 207700243

Eva Fauziah 208700528

Husnul Khotimah 208700539 Risya Radhianti 208700551

  

Universitas Islam Negeri

Sunan Gunung Djati Bandung

Jalan A.H Nasution Nomor 105 Cipadung Telp. (022)7800525 L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  dengan

Tabel Kebenaran

  

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

  Dalam Bab :  Membuat dan menganalisis tabel kebenaran  Mengetahui kapan pernyataan tautologies, kontradiksi, atau kontingen  Memahami semantik kesetaraan, konsistensi, dan validitas

  

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = == = = = = = = = = = =

  Dalam bab ini, Anda menemukan salah satu alat paling penting dalam sentensial logika (SL) yaitu tabel kebenaran. Kebenaran table memungkinkan Anda untuk mengevaluasi pernyataan di bawah setiap kemungkinan interpretasi, yang pada gilirannya memungkinkan Anda untuk membuat kesimpulan umum tentang pernyataan bahkan ketika Anda tidak mengetahui kebenaran nilai dari konstanta. Membuka tabel kebenaran harus logis. Pertama-tama, tabel kebenaran cara mudah untuk mengetahui apakah sebuah argumen yang valid atau tidak valid - sebuah pusat pertanyaan dalam logika. Tetapi selain ini, kebenaran tabel memungkinkan untuk mengidentifikasi tautologies dan kontradiksi: Pernyataan di SL yang selalu benar atau selalu salah.

  Anda juga dapat menggunakan tabel kebenaran untuk memutuskan apakah serangkaian pernyataan di bawah ini konsisten - artinya, apakah ada kemungkinan bahwa mereka semua adalah benar. Akhirnya dengan tabel kebenaran, Anda dapat mengetahui apakah dua pernyataan yang secara semantik setara - yaitu, apakah mereka memiliki nilai kebenaran yang sama di semua kemungkinan kasus. Ini adalah cara yang tepat, jadi fokuskan pikiran Anda!

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

Meletakan Semuanya dalam Tabel: Dalam Suatu Permasalahan

  Kadang-kadang, pemecahan masalah memerlukan kepandaian dan kecerdikan. Sebelum bisa mendapatkan jawabannya, Anda harus memiliki momen yang memungkinkan untuk melihat sesuatu dalam cara yang baru. Jika Anda dalam keadaan frustrasi, terutama jika Anda bekerja pada waktu ujian di bawah tekanan, maka masalah itu tidak akan terlihat dalam artian tidak bisa terpecahkan. Kebenaran tabel adalah obat penawar untuk mengandalkan metode yang matematikawan. Dalam pendekatan semacam ini, bukannya mencoba untuk menemukan bahwa salah satu jalan emas menuju sukses, tetapi Anda harus mencari semua kemungkinan cara. Metode brute force dapat memakan waktu, tetapi pada akhir hari, Anda selalu menemukan jawaban yang Anda cari.

  Berikut adalah cara kerjanya. Misalkan pada ujian pertama Anda, Anda diberi rahasia ini pertanyaan: Apa yang dapat Anda katakan tentang pernyataan ini: P → (~ Q → (P & ~ Q))? Kemukakan jawaban Anda.

  Dengan jam berdetik, Anda mungkin bisa memikirkan banyak hal yang Anda ingin katakan tentang pernyataan, tetapi mereka tidak akan membuat Anda setiap titik pada tes. Jadi, Anda menatap itu, menunggu jawaban dari pernyataan itu datang. Dan tiba-tiba itu terjadi. Akhirnya Anda berpikir tentang hal ini:

  Pernyataan ini hanya menyatakan yang sudah jelas: "Jika aku menganggap P adalah benar dan kemudian mengasumsikan bahwa Q adalah salah, saya dapat menyimpulkan bahwa P adalah benar dan Q adalah salah. "Jadi, pernyataan itu selalu benar”.

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  Itu tidak terlalu buruk. Namun, bagaimana jika jawaban itu tidak pernah tiba? Bagaimana jika Anda tidak yakin? Bagaimana untuk "membenarkan jawaban Anda?" Atau, paling buruk, bagaimana jika pertanyaan Anda dihadapi tampak seperti ini:

  Apa yang dapat Anda katakan tentang pernyataan ini: ((~P ν Q)→((R & ~S)ν T))→(~U ν((~R ν S)→ T))→((P & ~U) ν(S → T))? kemukakan jawaban Anda.

  Kali ini tabel kebenaran adalah caranya.

Tabel Kebenaran

  Sebuah tabel kebenaran adalah cara untuk mengorganisir informasi dalam SL. Hal ini memungkinkan Anda untuk mengatur setiap kemungkinan kombinasi nilai-nilai untuk setiap konstan dan lihat apa yang terjadi dalam setiap kasus. Dalam Bab 4 kita telah diperkenalkan masing-masing dari lima SL operator, termasuk tabel yang menunjukkan suatu kebenaran bagaimana menafsirkan semua kemungkinan nilai input untuk memperoleh nilai output. Pada bagian ini, akan menunjukkan bagaimana untuk mengisi tabel serta, dan menarik kesimpulan dari sebuah tabel kebenaran. Contoh dari pernyataan : (P → (~ Q → (P & ~Q)).

Membuat Tabel Kebenaran

  Tabel kebenaran adalah cara untuk mengatur setiap kemungkinan interpretasi dari pernyataan ke baris horizontal, memungkinkan Anda untuk mengevaluasi pernyataan di bawah semua interpretasi ini. Membuat tabel kebenaran adalah sederhana proses empat langkah:

  P Q P → (~ Q → ( P & ~ Q)) r 6, 2009 L O G I K A M A T E M A T I K A

  

2. Tentukan jumlah baris tambahan bahwa kebutuhan tabel Anda, didasarkan pada

jumlah konstanta dalam pernyataan. Karena pernyataan (P → (~Q → (P & ~Q))

mempunyai dua konstanta (P dan Q), Anda akan perlu empat baris. Untuk lebih

jelasnya lihat tabel dibawah ini.

  Table 6-1 Nomor dari konstanta dan baris Nomor dari Konstanta Nomor dari interpretasi Konstanta (Rows in Truth Table)

  1 P 2

  2 P and Q 2 2 = 4

  

3 P, Q, and R 2 2 2 = 8

  4 P, Q, R, and S 2 2 2 2 = 16

  5 P, Q, R, S, and T 2 2 2 2 2 = 32

  Cara yang baik untuk mengisi kolom ini dengan Ts dan Fs adalah untuk memulai di sebelah kanan konstan kolom (dalam kasus ini, kolom Q) dan mengisi kolom oleh bolak Ts dan Fs -

  

TFTF - sepanjang jalan turun. Kemudian bergerak satu kolom ke kiri dan mengisi kolom

  dalam, berganti-ganti Ts dan Fs oleh berdua-dua - TTF F. Jika terdapat lebih kolom (misalnya, Anda memiliki tiga atau empat konstanta dalam sebuah pernyataan), terus bergantian oleh fours (TTTTFFF F...), Delapan (TTTTTTTTFFFFFFF F...), Dan seterusnya.

  Jadi, dalam contoh ini, alternatif Q TFTF di bawah kolom, dan kemudian TTF F di bawah kolom P:

  P Q P → ( ~ Q →( P & ~ Q ) ) T T T F F T F F

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  

4. Menggambar garis horisontal di antara baris, dan menggambar garis vertikal yang

memisahkan semua konstanta dan operator dalam pernyataan.

  Q P Q P → (~ → & ~ (P Q))

  T T T F F T T T

  Saya menyarankan langkah ini untuk tiga alasan. Pertama, tabel mulai keluar rapi sehingga Anda tidak bingung. Kedua, Anda akan tahu tabel selesai ketika semua kotak kecil yang diisi dengan Ts dan Fs. Dan ketiga, tabel harus jelas dan mudah dibaca.

  Anda tidak perlu kolom untuk tanda kurung, tetapi pastikan untuk gerombolan masing- masing kurung dalam dengan konstan atau operator yang segera mengikutinya, kecuali bagi mereka di akhir pernyataan .

Mengisi Tabel Kebenaran

  Setiap baris tabel kebenaran untuk interpretasi yang berbeda pernyataan. Mengisi tabel kebenaran kini menjadi hanya proses evaluasi pernyataan di bawah setiap interpretasi (dalam hal ini, di bawah keempat interpretasi). Dalam Bab 4, kita sudah membahas bagaimana mengevaluasi sebuah pernyataan dari dalam ke luar. Itu aturan masih sama dalam hal ini, tetapi sekarang anda harus bekerja setiap langkah proses pada setiap baris tabel. Langkah-demi-langkah prosedur yang berikut menunjukkan cara untuk bekerja ke kolom karena lebih mudah dan lebih cepat daripada mencoba untuk mengevaluasi baris demi baris.

  Ketika bekerja melalui langkah-langkah, perhatikan bahwa setiap kolom saya baru saja diisi digarisbawahi, Dan setiap kolom saya digunakan selama langkah ini adalah dalam huruf tebal.

  

1. Salin nilai setiap konstan ke kolom yang tepat untuk pernyataan

itu konstanta.

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009 P Q P Q

  → (~ → (P & ~ Q)) T T T T T T T F T F T F F T F T F T F F F F F F

  Hanya menyalin. Sangat sederhana, kan?

  

2. Pada masing-masing kolom yang memiliki ~-operator secara langsung di depan

konstan, menulis yang sesuai negasi dari yang konstan dalam setiap baris.

  P Q P Q → (~ → & ~ (P Q))

  T T T T T F T F T F T T F T T F F T F F T F F T F F F T F F T F

  Pastikan bahwa setiap ~-operator di depan sebuah konstan. Kalau ada di depan kurung terbuka, itu meniadakan seluruh nilai dari segala sesuatu di dalam kurung. Dalam hal ini, Anda harus menunggu sampai Anda tahu nilai ini. Seperti yang anda lihat, langkah ini tidak jauh lebih sulit daripada yang sebelumnya.

  

3. Dimulai dengan tanda kurung terdalam, mengisi dalam kolom

tepat di bawah operator untuk bagian pernyataan.

  Langkah 3 adalah benar-benar daging dan kentang kebenaran tabel. Kabar baik di sini adalah bahwa dengan latihan Anda akan benar-benar cepat pada tahap ini mengisi tabel.

  Terdalam kurung dalam contoh ini berisi pernyataan P & ~ Q. Operator yang Anda gunakan untuk mengevaluasi adalah &-operator, dan kedua nilai masukan dalam kolom-kolom di bawah P dan ~-operator. Sebagai contoh, pada baris pertama, nilai di bawah P adalah T dan nilai di bawah yang ~- operator F. Dan T & F mengevaluasi ke F,sehingga menulis nilai ini dalam baris langsung di bawah &-operator. Ulangi langkah ini untuk tiga baris dan meja Anda akan terlihat seperti ini:

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009 P Q P Q

  → (~ → & ~ (P Q)) T T T F T T F F T

  T T T F T T F T F F T F F T F F F T F F F T F F F T F

  Bergerak keluar untuk selanjutnya tanda kurung, operator Anda gunakan untuk mengevaluasi adalah →-operator di dalam tanda kurung terluar. Kedua nilai input dalam kolom-kolom di bawah ~ pertama-operator dan &-operator. Sebagai contoh, pada baris pertama, nilai di bawah ~-operator adalah F dan yang nilai di bawah-operator & F. Dan F → F mengevaluasi ke T, sehingga menulis ini nilai dalam baris langsung di bawah →-operator. Lengkapi kolom dan meja Anda akan terlihat seperti ini:

  P Q P Q → (~ → & ~ (P Q))

  F F T T T T T T F T T F T T T F T T T F F F F T F T T F F T F F F T F F F F T F

  Sekarang Anda siap untuk pindah ke operator utama, yang →-operator luar tanda kurung (flip kembali Bab 5 untuk informasi tentang bagaimana menentukan operator utama). Kedua nilai input dalam kolom-kolom di bawah P dan kolom di bawah →-operator lain. Sebagai contoh, pada baris pertama, nilai di bawah P adalah T dan nilai bawah →-operator T. Dan T → T mengevaluasi ke T, sehingga menulis ini langsung di bawah →-operator utama. Menyelesaikan kolom yang memberi Anda:

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  Kolom di bawah operator utama harus kolom terakhir Anda mengisi masuk Jika tidak, anda lebih baik menghapus (Anda menggunakan pensil,bukan?) dan menelusuri kembali langkah- langkah Anda!

Membaca Tabel Kebenaran

  Lingkarkan seluruh kolom di bawah operator utama, sehingga informasi itu ada saat Anda membaca tabel. Kolom di bawah utama operator adalah kolom paling penting dalam tabel. Itu menyatakan kebenaran nilai untuk setiap interpretasi dari pernyataan. Sebagai contoh, jika Anda ingin tahu bagaimana mengevaluasi pernyataan ketika P adalah salah dan Q adalah benar, hanya memeriksa baris ketiga dari tabel. Nilai pada baris ini di bawah operator utama adalah T, jadi ketika P adalah salah dan Q adalah benar, mengevaluasi pernyataan sebagai benar.

  Pada titik ini, dengan penuh keyakinan Anda dapat kembali ke pertanyaan awal: Apa yang dapat Anda katakan tentang pernyataan ini: P → (~ Q →(P & ~ Q))? Kemukakan jawaban Anda.

  Dengan tabel kebenaran terpercaya Anda, Anda dapat memberitahu dosen Anda pasti apa yang dia atau dia ingin mendengar tentang pernyataan: bahwa pernyataan itu selalu benar, terlepas dari nilai konstanta P dan Q. Dan bagaimana anda membenarkan ini? Anda tidak harus melakukannya, karena tabel kebenaran tidak untuk Anda. Selama Anda mengisinya dengan benar, setiap kemungkinan interpretasi pernyataan bisa saja terjadi. Tidak ada interpretasi lain yang mungkin, sehingga pekerjaan Anda selesai.

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

Menempatkan Tabel Kebenaran untuk Kerja

  Setelah Anda tahu bagaimana menggunakan tabel kebenaran, Anda dapat mulai memahami SL di tingkat yang baru. Dalam bagian ini, saya akan menunjukkan bagaimana untuk menangani beberapa masalah tentang pernyataan individu, pasangan dan set pernyataan, dan argumen. (Dalam bab-bab selanjutnya, saya juga menunjukkan kepada Anda bagaimana untuk mengatasi yang sama pertanyaan dengan menggunakan berbagai peralatan yang berbeda). Mengambil tautologies dan kontradiksi Setiap pernyataan dalam SL jatuh ke dalam salah satu dari tiga kategori: tautologies (benar di bawah setiap penafsiran), kontradiksi (salah di bawah setiap penafsiran), atau pernyataan kontingen (baik benar atau salah tergantung pada interpretasi).

  Dalam bagian “tabel kebenaran”, sebelumnya, Anda melihat bagaimana Anda dapat menggunakan kebenaran tabel untuk memilah nilai kebenaran pernyataan di bawah setiap kemungkinan interpretasi, yang memungkinkan Anda untuk membagi menjadi tiga pernyataan penting kategori :  Tautologies : Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu benar, terlepas dari nilai-nilai kebenaran dari konstanta. Contoh sebuah tautologi adalah pernyataan P ν ~ P. Karena baik P atau ~ P adalah benar, setidaknya satu bagian dari orstatement adalah benar, maka pernyataan itu selalu benar.  Kontradiksi : Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu salah, terlepas dari nilai- nilai kebenaran dari konstanta. Contoh kontradiksi adalah pernyataan P & ~ P. Karena baik P atau ~ P adalah palsu, setidaknya satu bagian dari dan-pernyataan ini adalah salah, sehingga pernyataan selalu salah.  Kontingen pernyataan: Sebuah pernyataan kontingen adalah pernyataan yang benar di bawah setidaknya satu penafsiran dan salah di bawah setidaknya satu penafsiran. Contoh pernyataan kontingen adalah P → Q Pernyataan ini benar ketika P adalah benar dan Q adalah benar, tetapi salah apabila P adalah benar dan Q adalah salah.

  Jangan membuat kesalahan dengan berpikir bahwa setiap pernyataan yang baik tautologi atau kontradiksi. Banyak pernyataan kontingen tidak jatuh ke dalam kedua kategori.

  Kebenaran tabel adalah alat yang ideal untuk menentukan kategori mana pernyataan tertentu jatuh ke dalam. Sebagai contoh, dalam "Tabel kebenaran" sebelumnya dalam bab, Anda

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  menggunakan tabel kebenaran untuk menunjukkan bahwa pernyataan P → (~ Q → (P & ~ Q)) mengevaluasi berlaku dalam setiap baris tabel kebenaran, sehingga pernyataan tautologi.

  Demikian pula, jika mengevaluasi pernyataan salah di setiap baris dari sebuah tabel kebenaran, ini adalah kontradiksi. Dan, akhirnya, jika pernyataan mengevaluasi berlaku setidaknya dalam satu baris dan salah di setidaknya satu baris, itu adalah pernyataan kontingen.

Menilai Semantik Kesetaraan

  Ketika Anda melihat pernyataan tunggal, Anda dapat menggunakan tabel kebenaran untuk mengevaluasi mereka dalam semua kemungkinan kombinasi nilai-nilai kebenaran untuk konstanta. Sekarang, Anda akan mengambil proses ini selangkah lebih maju dan membandingkan dua pernyataan pada suatu waktu.

  Ketika dua pernyataan yang secara semantik setara, mereka memiliki kebenaran yang sama nilai di bawah semua interpretasi.

  Anda sudah tahu contoh sederhana dari dua pernyataan yang secara semantik sama : P dan ~~ P. Ketika nilai P adalah T, nilai ~~ P adalah juga T. Demikian pula, ketika nilai P adalah F, nilai ~~ P adalah juga F.

  Contoh ini adalah mudah untuk memeriksa karena, dengan hanya satu konstan, hanya ada dua kemungkinan penafsiran. Seperti yang Anda mungkin bisa membayangkan, semakin konstanta Anda miliki, kesetaraan menjadi hairier semantik. Namun, tabel kebenaran dapat membantu. Sebagai contoh, adalah pernyataan P → Q dan ~ P ν Q semantik setara? Anda dapat mengetahui dengan membuat sebuah tabel kebenaran untuk dua pernyataan ini.

  P Q P → Q ~ P Q ν

  T T T F F T F F Coba ingat lagi "tabel kebenaran" sebelumnya dalam bab ini, yang langkah pertama untuk mengisi tabel adalah dengan menyalin nilai dari setiap konstan ke kolom yang tepat : r 6, 2009 L O G I K A M A T E M A T I K A

  P Q P → Q ~ P ν

  Q T T T T T T T F T F T F F T F T F T F F F F F F Kedua, menangani berbagai ~-operator yang berlaku langsung kepada yang konstan:

  P Q P → Q ~ P ν

  Q T T T T F T T T F T F F T F F T F T T F T F F F F T F F Ketiga, menyelesaikan evaluasi pada kedua pernyataan terpisah, sama seperti Anda akan untuk satu pernyataan:

  P Q P →

  Q ~ P ν

  Q T T T T T F T T T T F T F F F T F F F T F T T T F T T F F F T F T F T F Ketika dua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama pada setiap baris dari kebenaran meja, mereka semantik setara. Jika tidak, mereka tidak.

  Tabel menunjukkan bahwa dalam kasus ini, kedua pernyataan yang secara semantik setara.

Bab 8 menunjukkan betapa penting ini konsep kesetaraan semantik diterapkan untuk bukti di SL. Tetap Konsisten Jika Anda dapat membandingkan dua pernyataan pada suatu waktu, mengapa tidak lebih dari dua?

  Ketika satu set pernyataan adalah konsisten, setidaknya satu penafsiran membuat semua pernyataan tersebut benar. Ketika satu set pernyataan yang tidak konsisten, tidak ada interpretasi membuat semua dari mereka benar.

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  Sebagai contoh, lihatlah set pernyataan berikut: P ν ~Q P → Q P ↔ ~Q Apakah mungkin untuk ketiga pernyataan ini benar pada waktu yang sama? Jelasnya, apakah ada kebenaran kombinasi nilai-nilai untuk konstanta P dan Q yang menyebabkan semua tiga pernyataan untuk dievaluasi sebagai benar? Sekali lagi, sebuah tabel kebenaran adalah alat pilihan. Namun kali ini, Anda menempatkan semua tiga kebenaran pernyataan di dalam tabel. Aku telah mengambil kebebasan mengisi yang benar informasi untuk pernyataan pertama. Pertama, saya menyalin nilai dari P dan Q untuk baris dalam kolom yang benar. Selanjutnya, saya dievaluasi nilai ~ Q. Akhirnya, saya mengevaluasi seluruh pernyataan P ν ~Q, menempatkan nilai untuk setiap baris di bawah operator utama.

  Dalam tiga dari empat baris, mengevaluasi pernyataan sebagai benar. Tapi ketika P adalah benar dan Q adalah salah, maka nilai pernyataannya adalah salah. Karena Anda sedang mencari baris di mana semua tiga pernyataan yang benar, Anda dapat menyingkirkan baris ini.

  P Q P ~ Q P → Q P ↔ ~ Q ν

  T T T T F T T F T T T F F T F F F T — — — — — — —

F F F T T F

  Ketika mengisi tabel kebenaran untuk menguji konsistensi, bergerak vertikal seperti biasa, tapi mengevaluasi satu pernyataan pada suatu waktu. Bila Anda menemukan baris mana pernyataan mengevaluasi sebagai pernyataan yang salah, maka tarik garis sepanjang jalan melewatinya. Menggambar garis baris menghemat beberapa langkah dengan mengingatkan Anda untuk tidak mengevaluasi pernyataan lain dalam baris. Mengulangi proses ini selama dua pernyataan memberikan hasil sebagai berikut:

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

P Q P ν ~ Q P → Q P ↔ ~ Q

T T T T F T T T T T F F T

T F T T T F T F F — — — —

F T F F F T — — — — — — —

F F F T T F F F F F F T F

  Ketika setiap baris tabel kebenaran setidaknya memiliki satu pernyataan yang mengevaluasi sebagai nilai pernyataan yang salah, maka pernyataan itu tidak konsisten. Jika tidak, mereka konsisten. Dalam kasus ini, Anda tahu bahwa tiga pernyataan yang tidak konsisten karena dalam semua interpretasi, setidaknya satu pernyataan yang salah.

Berdebat dengan Validitas

  Seperti yang saya bahas dalam Bab 3, argumen yang valid, ketika semua tempat adalah benar, kesimpulan juga harus benar. Berikut ini adalah gagasan dasar yang sama didefinisikan dalam istilah interpretasi. Ketika sebuah argumen berlaku, tidak ada interpretasi yang ada semua pernyataan yang benar maka kesimpulannya adalah salah. Ketika sebuah argumen yang tidak valid, Namun, setidaknya ada satu penafsiran yang seluruh bangunan yang benar dan kesimpulan yang salah.

  Anda juga dapat menggunakan tabel kebenaran untuk memutuskan apakah seluruh argumen yang valid. Sebagai contoh, di sini adalah sebuah argument : Permasalahan : P & Q R → ~ P Kesimpulan: ~ Q ↔ R

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  Dalam kasus ini, argumen memiliki tiga konstanta - P, Q, dan R - sehingga kebenaran tabel perlu memiliki delapan baris, karena 2 × 2 × 2 = 8 (lihat Tabel 6-1).

  Untuk mengatur tabel kebenaran besar: Mulai konstan di kolom paling kanan (R dalam hal ini kasus) dan menulis T, F, T, F, dan seterusnya, bergantian setiap baris sampai Anda mendapatkan sampai akhir. Kemudian pindah satu kolom ke kiri dan menulis T, T, F, F, dan seterusnya, bergantian setiap dua baris. Terus bergerak kiri dan menggandakan, bergantian berikutnya dengan merangkak, kemudian oleh delapan, dan seterusnya sampai tabel selesai. Berikut adalah tabel kebenaran yang perlu dipersiapkan:

  P Q R P Λ Q R → ~ P ~ Q ↔ R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F

  Pada bagian "Tetap konsisten,"evaluasi terlebih dahulu sebelum nilai seluruh pernyataan itu pindah ke pernyataan berikutnya. Berikut tabel setelah pernyataan pertama telah dievaluasi:

  

P Q R P Λ Q R → ~ P ~ Q ↔ R

T T T T T T T T F T T T

T F T T F F — — — — — — — —

T F F T F F — — — — — — — —

F T T F F T — — — — — — — —

F T F F F T — — — — — — — —

F F T F F F — — — — — — — —

F F F F F F — — — — — — — —

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  Bila Anda menemukan baris di mana premis mengevaluasi baik sebagai pernyataan salah atau kesimpulan mengevaluasi sebagai benar, menarik garis sepanjang jalan melewatinya. Menggambar garis melalui baris menghemat beberapa langkah dengan mengingatkan Anda untuk tidak mengevaluasi pernyataan lainnya di baris ini.

  Kolom pertama dari contoh ini sangat membantu karena dalam enam dari delapan baris tabel sebelumnya, premis pertama adalah salah, yang berarti Anda dapat mengesampingkan keenam baris. Berikut adalah hasil yang tersisa di tabel kebenaran ketika selesai: Bila tidak ada baris tabel kebenaran sejati mengandung semua premis dan kesimpulan yang salah, argumen berlaku, jika tidak, itu tidak sah. Seperti yang Anda lihat, satu-satunya baris dalam tabel sebelumnya yang memiliki semua premis benar juga memiliki kesimpulan yang benar, sehingga argumen ini valid.

Menempatkan Potongan Bersama

  Bagian sebelumnya dari bab ini menunjukkan bagaimana menggunakan tabel kebenaran untuk menguji berbagai kondisi logis. Tabel berikut mengatur informasi ini.

  Tabel Kebenaran dari Beberapa Kondisi

Kondisi yang akan diuji Nomor dari Pernyataan Kondisi Ketika Diverifikasi

  Tautologi

  1 Pernyataan yang selalu benar Kontradiksi

  1 Pernyataan yang selalu salah Kontingen

  Terdapat pernyataan benar L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  paling sedikit satu baris dan 1 pernyataan salah paling sedikit satu baris

  Semantik Ekuivalensi

  2 Kedua pernyataan sama pada nilai kebenaran suatu baris Semantik Inekuivalensi

  2 Dua pernyataan yang benilai beda setidaknya satu baris Konsisten

  Semua pernyataan adalah 2 atau lebih benar paling sedikitnya satu baris

  Inkonsisten 2 atau lebih Semua pernyataan yang tidak benar dalam setiap barisan Validitas

  Disetiap baris dimana semua 2 atau lebih pernyataan bernilai benar dan kesimpulannyapun bernilai benar

  Invaliditas 2 atau lebih Semua pernyataan bersifat benar tetapi kesimpulan bersifat salah setidaknya satu baris

  Jika Anda memiliki kecurigaan bahwa semua konsep-konsep ini entah bagaimana terhubung, Anda benar. Baca terus untuk melihat bagaimana mereka semua cocok bersama-sama.

Menghubungkan Tautologies dan Kontradiksi

  Anda dapat dengan mudah mengubah tautologi menjadi kontradiksi (atau sebaliknya) dengan menyangkal seluruh pernyataan dengan ~-operator.

  Ingat dari sebelumnya bahwa pernyataan P → (~ Q → (P & ~ Q)) adalah suatu tautologi. Jadi yang negasi, pernyataan ~ (P → (~ Q → (P & ~ Q)))

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  adalah suatu kontradiksi. Untuk memastikan hal ini begitu, ini adalah tabel Pernyataan kebenaran yang baru :

  P Q ~ (P → (~Q → (P Λ ~Q))) T T F T T T T T T T T F F T T T T T F T F T F F T F F F F F F F F F T T T F F T

  Seperti yang Anda lihat, satu-satunya hal yang berubah adalah bahwa operator utama pernyataan - satu-satunya operator di luar tanda kurung - sekarang yang ~-operator.

  Juga harus jelas bahwa Anda dapat mengubah suatu kontradiksi menjadi tautologi dalam cara yang sama. Dengan demikian, pernyataan ~ (~ (P → (~ Q → (P & ~ Q)))) adalah suatu tautologi, yang menunjukkan bahwa meskipun tautologies dan kontradiksi adalah kutub yang berlawanan, mereka sangat erat terkait.

Menghubungkan Semantik Kesetaraan dengan Tautologi

  Ketika Anda menghubungkan dua semantik pernyataan setara dengan ↔ -- operator, pernyataan yang dihasilkan adalah sebuah tautologi.

  Seperti yang Anda lihat sebelumnya, dua pernyataan P → Q dan ~ P ν Q adalah semantik setara. Artinya, tidak peduli apa nilai-nilai kebenaran yang Anda pilih untuk P dan Q, dua pernyataan evaluasi yang sama. Sekarang menghubungkan kedua pernyataan dengan ↔-operator: (P → Q) ↔ (~ P ν Q)

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  Hasilnya adalah sebuah tautologi. Jika Anda meragukan hasil ini, lihat tabel kebenaran untuk pernyataan ini:

P Q (P → Q) ↔ (~ P ν Q)

  T T T T T T F T T T T F T F F T F T F F F T F T T T T F T T F F F T F T T F T F Dan, tentu saja, Anda dapat mengubah tautologi ini menjadi kontradiksi dengan menyangkal hal itu sebagai berikut: ~ ((P → Q) ↔ (~ P 0 Q))

Menghubungkan Inkonsistensi dengan Kontradiksi

  Ketika Anda menghubungkan serangkaian pernyataan yang tidak konsisten dalam satu pernyataan oleh penggunaan berulang &-operator, pernyataan yang dihasilkan adalah suatu kontradiksi. Seperti yang Anda lihat sebelumnya, tiga pernyataan : P ν ~ Q P → Q P ↔ ~ Q tidak konsisten. Yaitu, di bawah interpretasi apa pun, setidaknya satu dari mereka adalah palsu. Sekarang menghubungkan tiga pernyataan ini dengan &-operator : ((P ν ~ Q) & (P → Q)) & (P ↔ ~ Q) Bila Anda menggunakan operator untuk menghubungkan lebih dari dua pernyataan, Anda

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  perlu menggunakan tanda kurung tambahan sehingga jelas mana operator operator utama. Saya bahas ini secara lebih rinci dalam Bab 14.

  Operator utama kedua &-operator - satu-satunya operator di luar tanda kurung - tetapi dalam setiap kasus, hasilnya adalah suatu kontradiksi. Untuk memverifikasi akibatnya, Anda dapat menggunakan meja untuk mengevaluasi pernyataan untuk semua interpretasi. Pertama, mengevaluasi segala sesuatu di dalam tanda kurung pertama: Selanjutnya, masukan nilai evaluasi dari pernyataan :

P Q ((P ν ~ Q) Λ (P → Q) Λ (P ↔ ~ Q) )

  T T T T F T T T T T F T F F T T F T T T F F T F F F T T T F F T F F F T F F T T F F T F T F F F T T F T F T F F F F T F

  Menghubungkan Validitas dengan Kontradiksi

  Seperti yang bisa Anda tebak, argumen validitas juga dapat dicari melalui cara ini. Sebagai contoh, berikut contoh argumen yang valid:

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

  Permasalahan: P → Q Q → R Kesimpulan: P → R Karena argumen ini valid, kamu tahu itu tidak mungkin bahwa keduanya adalah benar dan kesimpulan adalah salah. Dengan kata lain, jika Anda mengisi suatu tabel kebenaran , tidak satu pun dari baris akan terlihat seperti ini:

  P→ Q Q→R P→ R T T F

  Demikian pula, jika Anda dinegasi kesimpulan dengan menggunakan ~-operator dan kemudian diisi tabel kebenaran lain, tidak satu pun dari baris akan terlihat seperti ini: P→ Q Q→R ~(P→R)

  

T T T

  Tapi jika tidak ada penafsiran membuat semua pernyataan ini benar, Anda dapat mempertimbangkan ini adalah serangkaian pernyataan yang tidak konsisten.

• ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

  Membuat Lebih Banyak Koneksi

  Bagi mereka yang puritan di antara kalian yang hanya perlu tahu bagaimana segalanya cocok bersama-sama: Ketika Anda menghubungkan dua semantik pernyataan dengan inequivalent ↔ - operator, pernyataan yang dihasilkan bukan merupakan tautologi - yaitu, baik itu pernyataan atau kontingen kontradiksi. Ketika Anda meniadakan kesimpulan dari Argumen tidak valid, Anda mendapatkan - set yang konsisten pernyataan. Ketika Anda menghubungkan perangkat yang tidak konsisten pernyataan dalam satu - pernyataan ulang penggunaan &-operator, yang dihasilkan pernyataan ini bukan kontradiksi - yang adalah, baik itu pernyataan atau kontingen tautologi.

  L O G I K A M A T E M A T I K A r 6, 2009

• Ketika Anda meniadakan kesimpulan dari argumen yang valid, Anda mendapatkan satu set yang tidak konsisten pernyataan. (Ini mungkin terasa agak terbelakang bahwa validitas dan inkonsistensi dihubungkan, tapi itulah cara getar keluar.) Anda juga dapat mengubah set pernyataan yang tidak konsisten menjadi kontradiksi dengan menghubungkan mereka dengan &-operator:

  (( → Q) Λ (Q → R)) Λ ~ (P → R) P

  T

  Untuk mengaktifkan argumen yang valid ke pernyataan yang kontradiktif, menghubungkan semua permasalahan ditambah negasi dari kesimpulan oleh penggunaan berulang &-operator.