View of KONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS
KONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS
Moh. Affaf
Prodi Matematika STKIP PGRI Bangkalan
[email protected]
ABSTRAK. Bertahun-tahun yang lalu, telah diketahui bahwa Tripel Pythagoras
,
yaitu
dapat
dikonstruksi
dengan
konstruksi
. Namun, konstruksi ini masih memiliki
sedikitnya dua kekurangan, yaitu konstruksi ini masih perlu memperhatikan
urutan dari sisi-sisi tegakya dan konstruksi ini tidak bisa memproduksi semua
tripel pythgoras yang ada. Dalam penelitian ini, akan dibahas tentang konstruksi
baru untuk tripel pythagoras yang dapat memproduksi semua tripel pythagoras
yang diinginkan dan konstruksi ini juga tidak memerlukan urutan dari sisi-sisi
tegaknya.
Keyword : Teorema Pythagoras, Tripel Pythagoras, konstruksi
Tripel Pythagoras
Salah satu bahasan penting dalam
Pendahuluan
Salah satu tokoh penting dalam
teorema pythagoras adalah Primitive
Matematika, khusunya cabang geome-
Triple Pythagoras. Primitive tripel
tri adalah ilmuan asal Yunani, Pytha-
pythagoras ialah gagasan tentang triple
goras. Salah satu temuan penting
pythagoras sedemikian hingga ketiga
Pythagoras yang masih diperbincang-
panjang sisi segitiga siku-siku tersebut
kan hingga saat ini oleh para ilmuwan
faktor pembagi bersama terbesarya
matematika adalah Teorema Pytha-
adalah 1. Salah satu ciri yang diberikan
goras tentang hubungan sisi-sisi tegak
oleh peneliti tentang primitif tripel
segitiga siku-siku dengan hepotenusanya. Ketiga sisi
pythagoras adalah hepotenusanya harus
segitiga tersebut
merupakan
selanjutnya disebut Triple Pythagoras
masih
dan hanya jika terdapat bilangan bulat
tertarik
x dan y yang prima relatif dan berbeda
dengan teorema ini adalah sampai saat
paritas
ini para pakar masih terus mencari dan
memberikan
bukti
yang
dari
adalah primitif tripel pythagoras jika
bulat. Salah satu bukti bahwa para
matematika
kuadrat
bilangan asli. Lebih jelasnya,
dalam kasus ketiganya adalah bilangan
pakar
jumlah
sehingga
, dan
menawan
,
. Sampai
saat ini, masih banyak penelitian
untuk teorema pythagoras ini.
tentang
44
primitif
tripel
pythagoras,
Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf
atau
dasar untuk mempelajari pengkon-
karakteristiknya. salah satunya yang
struksian tripel pythagoras. Mempe-
dilakukan Leyendekkers dan Shannon
lajari kembali syarat-syarat yang harus
pada tahun 2012.
dipenuhi
terutama dalam hal
Jika
lebih
ciri
diperhatikan
lagi,
pengkonstruksian
.
konstruksi primitif tripel pythagoras
yang menyatakan “
dalam
Pada
tahap
investigasi
yang
dilakukan adalah penyelidikan tentang
adalah
primitif tripel pythagoras jika dan
syarat pengkonstruksian
hanya jika terdapat bilangan bulat x
masih perlu ditinjau ulang berkenaan
dan y yang prima relatif dan berlainan
dengan tripel pythagoras yang dapat
,
tanda sehingga
,
yang
dikonstruksinya.
” belum mencakup
a. Mengkaji lebih lanjut sifat-sifat
semua tripel pythagoras meskipun “x
struktural lain yang berguna bagi
dan y adalah prima relatif” atau “ dan
pengembangan generalisasi untuk
dan
berbeda paritas” tidak dipenuhi. Hal
ini mudah dilihat dari nilai
konstruksi yang lebih baik.
b. Merancang
yang
konstruksi
yang
selalu merupakan bilangan kuadrat
nantinya bisa menutupi kekurangan
sempurna.
konstruksi
Sebagai
contoh,
dari
.
Pada tahap pengembangan hal
bukan tripel
pythagoras
pythagoras
tripel
yang akan dilakukan adalah
konstruksi
a. Menyusun hasil temuan di atas
untuk sebarang
untuk mendapatkan konstruksi baru
bilangan bulat x dan y.
yang lebih baik.
Metodelogi Penelitian
b. Menyusun langkah-langkah dalam
Penelitian ini direncanakan dalam
pengonstruksian yang baru tersebut
tiga tahapan yaitu tahap inisisasi,
sehingga dapat dilihat secara jelas
investigasi, dan pengembangan. Hal
hasil konstruksinya.
yang akan dilakukan pada tahap inisiasic. Menggunakan konstruksi yang baru ini
adalah pengkajian literatur terutama untuk memproduksi ataupun menemutentang bukti konstruksi
sebagai
kan tripel pythagoras yang tak
45
Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm 1—108
dapat dihasilkan atau ditemukan oleh
konstruksi
. Selain itu,
.
bukan primitif tripel pytha
Pada bagian ini, akan dibahas
meme-
goras, karena meskipun
tentang pembentukan konstruksi
nuhi kondisi kedua, namun
yang nantinya bisa dijadikan pemrban-
tidak memenuhi kondisi pertama. Le-
dingan dengan konstruksi baru yang
bih
jelasnya,
akan dibentuk pada Hasil dan Pemba-
perkenalkan
tentang
diketahui
.
hasan. Untuk mengawali bagian ini,
akan
karena
Dari Definisi 3.1, untuk menge-
definisi
tahui tripel pythagoras adalah primitif
Tripel Pythagoras.
tripel pythagoras atau bukan, harus
Diberikan bilangan asli , , dan .
diperiksa apakah FPB dari ketiga
dikatakan primitif tripel
bilangan tersebut 1 atau bukan. Dari
Maka
pythagoras jika dan hanya jika meme-
sini,
nuhi dua kondisi berikut :
memberikan informasi tentang dua
1.
bilangan dari primitif tripel pythagoras.
Lemma
sebagai
berikut
2.
Lemma 3.1
hanya memenuhi kondisi
Jika
satu saja, kita sebut
adalah primitif tripel
Jika
sebagai
pythagoras, maka
tripel pythgaoras.
Contoh 3.1
adalah
primitif
tripel
Bukti.
pythagoras karena
Andaikan
,
1.
2.
adalah primitif tripel pytha-
.
Namun,
goras. Misalkan
bukan primitif
adalah primitif tripel pythagoras, maka
memenuhi kondisi pertama,
kondisi
berlaku
tidak memenuhi
kedua.
Lebih
adallah bilangan
prim ynga membagi . Karena
tripel pythagoras, karena meskipun
namun
tetapi
jelasnya,
46
Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf
habis
semuanya genap, tentu saja hal ini
akan habis
tidak mungkin, karena kuadrat dari
membagi semua kombinasi linear dari
bilangan genap adslsh bilangan genap
Karena
habis membagi
membagi
dan
, maka
dan . Karena
dan ,
bilangan genap. Jadi akan dijumpai
,
Sekarang. An-
. Oleh karena
daikan a dan b keduanya ganjil. Karena
satu kombinasi linear dari
maka
habis membagi
yaitu
habis membagi
habis membagi . Karena
itu
membagi ,
kuadrat dari suatu bilangan asli
habis
besar
daripada
1.
jika x ganjil dan
yaitu,
, maka haruslah
. Dilain pihak
hanya
ada dua kemungkinan di modulo 4,
habis membagi , dan
habis membagi
lulebih
dan jumlah dari dua bilangan genap
adalah salah
jika x genap, maka
sela-
dan
Maka
.
Oleh karena itu,
kontradiksi dengan
adalah primitif tripel pytha-
Hal ini kontradiksi dengan teorema
.
goras. Jadi haruslah
“suatu bilangan asli
Lemma berikut menunnjukan bah-
hanya ada dua
dari primitif tripel pytha-
kemungkinan di modulo 4, yaitu,
goras tepat satu diantaranya adalah
jika x ganjil dan
bilangan genap. Dalam hal dua bilang-
jika x genap”. Jadi
an asli tepat satu diantaranya adalah
haruslah salah satu dari a atau b adalah
genap, maka dua bilangan tersebut
genap. Dengan kata lain, a dan b
dikatakan berbeda paritas.
harusla berbeda paritas.
dan
wa
Berdasarkan Lemma 3.2 di atas,
Lemma 3.2
Jika
karena salah satu dari a dan b adalah
adalah primitif tripel
pythagoras, maka
dan
bilangan genap dengan
berbeda
adalah
paritas.
primitif tripel pythagotras, mka untuk
Bukti.
penulisan selanjutnya, bilangan yang
Misalkan
tripel
pythagoras.
genap diletakkan pada entri yang
adalah primitif
Jika
a
dan
kedua. Sebagai contoh, untuk primitif
b
47
Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm 1—108
tripel pythagoras
sebagai
Lemma 3.3
dituliskan
dan
Diberikan bilangan asli
. Penulisan ini semakin
. Jika
adalah
didukung oleh Akibat 3.1 berikut yang
dengan
merupakan akibat dari Lemma 3.2,
bilangan kuadrat sempurna, maka
karena
juga akan bernilai ganjil.
dan
keduanya adalah bilangan kuadrat
Akibat 3.1
sempurna.
adalah tripel primitif
Misalkan
pythagoras, maka
dan
Bukti.
pasti ganjil.
Misalkan faktorisasi prima dari
Bukti.
Karena
dan
adalah
genap dan
faktorisasi
dari
adalah
adalah tripel primitif pythagoras, maka
,
dimana
ganjil menurut Lemma 3.2. Selan-
untuk setiap
jutnya, karena kuadrat dari bilangan
prima
prima
berbeda
ganjil adalah bilangan ganjil dan
, dan
kuadrat dari bilangan genap adalah
bilangan genap, maka
ganjil dan
dan
untuk
setiap
prima berbeda
untuk setiap
bilangan
,
. Karena
, maka semua faktor
adalah bilangan genap,
prima dari
Selanjutnya, karena jumlah dari bilang-
berbeda dengan semua
faktor prima dari . Dilain pihak,
an ganjil dan bilnagan genap adalah
bilangan ganjil, maka
adalah bilangan ganjil. Karena
ngan ganjil, mkaa haruslah
adalah bilangan kuadrat sempurna.
bila-
dan
Karena faktor prima dari
meru-
semuanya berbeda serta
pakan bilangan ganjil.
dan
berbeda berturut-turut untuk setiap
Sebelum menuju pada formula
dan
untuk primitif tripel pythagoras, masih
maka haruslah
diperlukan satu lemma lagi. Lemma
genap
berikut dibuktikan dengan mengguna-
,
dan
untuk
bernilai
setiap
nilai
dan
kan teorema fundamental aritmatika.
berturutan. Oleh karena itu
48
,
dan
Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf
keduanya
adalah
bilangan
kuadrat
yang artinya
sempurna.
Setelah menetapkan Lemma 3.3 di
atas, selanjutnya teorema berikut akan
Karena
menetapkan hasil utama dari bab 3 ini,
ngan asli. Oleh karena itu
yaitu konstruksi untuk primitif tripel
bilangan kuadrat sempurna. Berda-
pythagoras. Konstruksi ini dimulai
sarkan Lemma 3.3, maka
dengan Teorema 3.1 berikut.
keduanya bilangan kuadrat sempurna.
Misalkan
Teorema 3.1
persamaan
pythagoras, maka terdapat bilangan asli
sehingga
. Dari
, mkaa mudah
pula
. Selandan
bahwa
dan
. Tentu saja m lebih besar
Bukti.
daripada
telah ditetapkan sebelumnya, entri
kedua dari
dan
, mka
mka
Sekarang, misalkan
membagi ,
, yang artinya
. Selanjutnya, karena
membagi
tripel
membagi
, yang artinya
serta karena
membagi
membagi
, untuk suatu bilangan
. Karena
membagi
membagi
keduanya genap.
dan
Misalkan
. Karena
adalah
bilangan ganjil. Oleh karena itu,
dan
adalah bilangan
Selanjutnya,
genap. Berdasarkan
Akibat 3.1, maka
karena
asli.
dalah bilangan
genap, ini artinya
asli
dan
, maka mudah diketahui
,
, dan
dan
dan
jutnya, dari persamaan
bebrbeda paritas dengan
adalah
untuk
disimpulkan bahwa
yang relatif prima yanag
sekaligus
adalah bila-
dan
suatu bilangan asli
adalah primitif tripel
Jika
dan
genap, maka
dan , maka
membagi
. Dari sini, dapat disim-
pythagoras, maka
pulkan bahwa
. Jadi
dan
relatif prima.
yaitu
Terakhir, akan ditunjukkan bahwa
49
Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm 1—108
dan
berbeda paritas. Jika
Oleh karena itu, dapat disim-
dan
genap, jelas hal ini tidak mungkin
karena akan kontradiksi dengan
ganjil. Begitu pula, Jika
dan
pulkan bahwa
dan
pythagoras. Selanjutnya, tinggal me-
ganjil,
Jadi haruslah
dan
dan
. Dengan
nunjukkan
hal ini juga tidak mungkin karena juga
akan kontradiksi dengan
adalah tripel
kata lain, tinggal menunjukkan bah-
ganjil.
adalah primitif, yaitu
wa
berbeda paritas.
ketiga bilangan ini saling relatif
Pernyataan Teorema 3.1 tidak
prima.
cukup baik untuk mengkarakterisasi
Untuk menunjukkan
,
atau mengkonstruksi primitif tripel
akan digunakan bukti kontadiksi.
pythagoras jika konvers dari per-
Andaikan
.
nyataan
Misalakn
adalah faktor prima dari
tersebut
tidak
berlaku.
Teorema 3.2 berikut menyatakan bah-
d. Karena
wa konvers dari pernyataan Teorema
membagi
3.1 juga berlaku.
dan
dan
bilangan relatif prima
dan
yang berbeda paritas, maka
primitif
tripel
, maka
dan
membagi
dan
membagi . Di-lain pihak, karena
Teorema 3.2
Jika
membagi
keduanya adalah bilangan
dimana
,
dan
Selanjutnya, karena
dan
membagi
membagi , maka
membagi
dan
Bukti.
.
Misalkan
,
.
ganjil. Hal ini bera-kibat
pythagoras,
,
berbeda paritas, tentu saja
, dan
, maka
Karena
,
hariuslah
membagi
dan
membagi
.
membagi
dan
membagi . Hal ini
berakibat,
FPB
dari
setidaknya
Lebih
adalah
kontradiksi dengan
50
membagi
mka
khusus,
dan
.
dan
Hal
relatif
ini
Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf
prima. Jadi, haruslah
,
sempurna.
adalah primitive tripel
pythagoras
kata lain, haruslah
yaitu
selalu merupakan bilangan kuadrat
. Dengan
Sebagai
contoh,
tripel
bukan meru-
pakan tripel pythagoras dari konstruksi
Pythagoras.
untuk
Selanjutnya, dari Teorema 3.1
sebarang bilangan bulat x dan y.
dan Teorema 3.2, diperoleh sebuah
Oleh karena itu, sangat memung-
teorema fundamental dalam studi
primitif tripel pythagoras yang me-
kinkan
rupakan akibat dari
konstruksi yang mencakup semua tripel
Untuk bilangan asli
menemukan
suatu
pythagoras tanpa terkecuali. Untuk bab
dan , 3-
selanjutnya,
merupakan primitif
tupel
untuk
akan
dibahas
tentang
tripel Pythagoras jika dan hanya jika
konstruksi triprl pythagoras yang men-
terdapat bilanagn asli
cakup semua tripel pythagoras tanpa
dan
yang
terkecuali.
relative prima dan sekaligus berbeda
paritas
sehingga
, dan
Jika
lebih
,
Hasil dan Pembahasan
.
diperhatikan
Hal yang akan diteliti dalam
lagi,
penelitian ini adalah mencari kons-
konstruksi primitif tripel pythagoras
truksi tripel pythagoras yang mencakup
pada Teorema 3.3 yang menyatakan
semua tripel pythagoras tanpa ter-
“
kecuali. Adapun langkah analisisnya
adalah primitif tripel pytha-
goras jika dan hanya jika terdapat
adalah sebagai berikut.
bilangan bulat x dan y yang prima
a.
relatif dan berlainan tanda sehingga
,
,
Misalkan x dan y adalah bilangan
bulat positif dengan
dan
maka
dapat
dipastikan
” belum mencakup semua
bahwa
adalah
tripel pythagoras meskipun “x dan y
tripel pythagoras.
adalah prima relatif” atau “x dan y
b.
berbeda paritas” tidak dipenuhi. Hal ini
mudah dilihat dari nilai
lebih dari ,
Jika x dan y prima relatif dan
berbeda paritas, maka
yang
51
Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm 1—108
ngan
adalah
c.
kuadrat
karena itu, mudah disimpulkan
Jika “x dan y prima relatif” atau “x
bahwa
dan y berbeda paritas” tidak
pythagoras
maka
maka
bukan
hasil
tripel
konstruksi
akan
.
kembali pada poin pertama, yaitu
f.
adalah
Selanjutnya,
adalah
misalkan
tripel
tripel pythagoras.
pythagoras
dan
, maka
Meskipun poin ketiga menyebabkan
Dari
disini
adalah tri-pel pythagoras, tidak
dinyatakan
dalam
.
Oleh
karena
itu,
bentuk
. Jadi tripel
. Salah satu contohnya adalah
pythagoras
.
Tidak ada bilangan bulat positif x
dan y dengan
diperoleh
. Dengan kata lain,
semua tripel pythagoras dapat
dapat ditulis-
kan menjadi
lebih dari
sehingga
jika
berlaku
habis membagi
.
Jadi, perlu diidentifikasi kapan
membagi
agar
.
e.
Oleh
primitif tripel pythagoras.
terpenuhi,
d.
sempurna.
tripel
merupakan
Poin keempat terjadi karena jika
tripel pythagoras.
adalah tripel pythagoras
yang
terbentuk
g.
,
adalah
dituliskan sebagai
dimana
maka
adalah hasil kali semua faktor
, yaitu
prima ganjil tunggal dari
. Dengan kata lain,
adalah
adalah bilangan kuadrat sempurna.
Padahal,
Misalkan
dari
hasil
kali
faktor-faktor
dengan pangkat genap dari
, bukan bila-
,
, dan
adalah sisanya. Sebagai contoh,
52
Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf
Selanjutnya, dengan menuliskan
Jika
maka
tersisa dari
setelah
sisa
yang
, maka diperoleh
hasil yang diinginkan, yaitu
terbentuk
. Selanjutnya,
adalah
dari
sebagai
. Jadi yang
tersebut
tersisa
.
Sekarnag
dari
setelah
terbentuknya
Habis dibagi
diperoleh
adalah
merupakan
Jadi,
tripel pythagoras jika terdapat bilangan
.
Maka diperoleh
.
sehingga
bulat postif
.
Dengan
h.
kata
lain,
S
pythagoras
,
Setelah membentuk
definisikan
Proses mencari
bahwa
. Selanjutnya, karena
adalah
dan
, maka
. Selanjutnya,
dituliskan
diperoleh
.
,
maka
, dan
dari
,
yaitu
,
, dan tripel
. Sebagai
diperoleh
sehingga
dapat
. Dari sini dapat disimpulkan
.
,
diperoleh
. Dari
menjadi
habis membagi
adalah sebagai
Setelah mendapatkan
. Dengan kata
lain, ada bilangan bulat
bahwa
hasil
,
dapat disimpulkan bahwa
habis dibagi
adalah
berikut. Dari tripel pythagoras
dengan memperhatikan definisi
dan
tripel
. Jadi,
Perhatikan
sisa-sisa dari
semua
, yaitu
konstruksi
pada poin 7, diperoleh
i.
.
dari
.
contoh, untuk tripel pythagoras
,
diperoleh
.
Dari sini diperoleh
.
Sehingga diperoleh
. Jadi
tripel pythagoras
adalah
hasil produksi tripel
j.
53
.
Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm 1—108
Leyendekkers, J.V. and Rybak, J.,
Pellian Sequences Derived from
Pythagorean Triples, International
Journal of Mathematical Education
in Science and Technology, 1464 –
5211, Vol. 26, Issue 6, pg 903 –
922, 1995
McCullough, D., Height and Excess of
Pythagorean Triples, Mathematics
Magazine, Vol. 78, No. 1, pg 26 –
44, February 2005
Weisbrod, J., Exploring a Pythagorean
Ternary Tree, annual meeting of
the Mathematical Association of
America MathFest, August 6, 2009
Simpulan
Penelitian
ini
telah
berhasil
menemukan konstruksi baru, yaitu
konstruksi
lebih
baik
, konstruksi yang
dari
konstruksi
keunggulan
konstruksi
.
ini memiliki dua
dibangdingkan
konstruksi
dengan
dapat memproduksi
semua tripel pythagoras yang diinginkan dan konstruksi ini juga tidak
memerlukan urutan dari sisi-sisi tegaknya.
Adapun saran penelitian ke depannya, diharapkan konstruksi ini dapat
dikembangkan sehingga langkah-langkah konstruksinya dapat lebih sederhana.
Daftar Pustaka
Khosy, Thomas. 2007. Elementary
number theory with applications.
Amsterdam. Elsivier
Wegener, D. P. 2000. Primitive
Pythagorean Triples With Sum Or
Difference of Legs Equal To a
Prime*. Ohio university
Dominic and Vella. 2006. When is n a
member of a Pythagorean Triple.
Leyendekkers, J.V. and Rybak, J., The
Generation and Analysis of
Pythagorean Triples within a TwoParameter Grid,
International
Journal of Mathematical Education
in Science and Technology, Vol.
26, Issue 6, pg 787 – 793, 1995
54
Moh. Affaf
Prodi Matematika STKIP PGRI Bangkalan
[email protected]
ABSTRAK. Bertahun-tahun yang lalu, telah diketahui bahwa Tripel Pythagoras
,
yaitu
dapat
dikonstruksi
dengan
konstruksi
. Namun, konstruksi ini masih memiliki
sedikitnya dua kekurangan, yaitu konstruksi ini masih perlu memperhatikan
urutan dari sisi-sisi tegakya dan konstruksi ini tidak bisa memproduksi semua
tripel pythgoras yang ada. Dalam penelitian ini, akan dibahas tentang konstruksi
baru untuk tripel pythagoras yang dapat memproduksi semua tripel pythagoras
yang diinginkan dan konstruksi ini juga tidak memerlukan urutan dari sisi-sisi
tegaknya.
Keyword : Teorema Pythagoras, Tripel Pythagoras, konstruksi
Tripel Pythagoras
Salah satu bahasan penting dalam
Pendahuluan
Salah satu tokoh penting dalam
teorema pythagoras adalah Primitive
Matematika, khusunya cabang geome-
Triple Pythagoras. Primitive tripel
tri adalah ilmuan asal Yunani, Pytha-
pythagoras ialah gagasan tentang triple
goras. Salah satu temuan penting
pythagoras sedemikian hingga ketiga
Pythagoras yang masih diperbincang-
panjang sisi segitiga siku-siku tersebut
kan hingga saat ini oleh para ilmuwan
faktor pembagi bersama terbesarya
matematika adalah Teorema Pytha-
adalah 1. Salah satu ciri yang diberikan
goras tentang hubungan sisi-sisi tegak
oleh peneliti tentang primitif tripel
segitiga siku-siku dengan hepotenusanya. Ketiga sisi
pythagoras adalah hepotenusanya harus
segitiga tersebut
merupakan
selanjutnya disebut Triple Pythagoras
masih
dan hanya jika terdapat bilangan bulat
tertarik
x dan y yang prima relatif dan berbeda
dengan teorema ini adalah sampai saat
paritas
ini para pakar masih terus mencari dan
memberikan
bukti
yang
dari
adalah primitif tripel pythagoras jika
bulat. Salah satu bukti bahwa para
matematika
kuadrat
bilangan asli. Lebih jelasnya,
dalam kasus ketiganya adalah bilangan
pakar
jumlah
sehingga
, dan
menawan
,
. Sampai
saat ini, masih banyak penelitian
untuk teorema pythagoras ini.
tentang
44
primitif
tripel
pythagoras,
Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf
atau
dasar untuk mempelajari pengkon-
karakteristiknya. salah satunya yang
struksian tripel pythagoras. Mempe-
dilakukan Leyendekkers dan Shannon
lajari kembali syarat-syarat yang harus
pada tahun 2012.
dipenuhi
terutama dalam hal
Jika
lebih
ciri
diperhatikan
lagi,
pengkonstruksian
.
konstruksi primitif tripel pythagoras
yang menyatakan “
dalam
Pada
tahap
investigasi
yang
dilakukan adalah penyelidikan tentang
adalah
primitif tripel pythagoras jika dan
syarat pengkonstruksian
hanya jika terdapat bilangan bulat x
masih perlu ditinjau ulang berkenaan
dan y yang prima relatif dan berlainan
dengan tripel pythagoras yang dapat
,
tanda sehingga
,
yang
dikonstruksinya.
” belum mencakup
a. Mengkaji lebih lanjut sifat-sifat
semua tripel pythagoras meskipun “x
struktural lain yang berguna bagi
dan y adalah prima relatif” atau “ dan
pengembangan generalisasi untuk
dan
berbeda paritas” tidak dipenuhi. Hal
ini mudah dilihat dari nilai
konstruksi yang lebih baik.
b. Merancang
yang
konstruksi
yang
selalu merupakan bilangan kuadrat
nantinya bisa menutupi kekurangan
sempurna.
konstruksi
Sebagai
contoh,
dari
.
Pada tahap pengembangan hal
bukan tripel
pythagoras
pythagoras
tripel
yang akan dilakukan adalah
konstruksi
a. Menyusun hasil temuan di atas
untuk sebarang
untuk mendapatkan konstruksi baru
bilangan bulat x dan y.
yang lebih baik.
Metodelogi Penelitian
b. Menyusun langkah-langkah dalam
Penelitian ini direncanakan dalam
pengonstruksian yang baru tersebut
tiga tahapan yaitu tahap inisisasi,
sehingga dapat dilihat secara jelas
investigasi, dan pengembangan. Hal
hasil konstruksinya.
yang akan dilakukan pada tahap inisiasic. Menggunakan konstruksi yang baru ini
adalah pengkajian literatur terutama untuk memproduksi ataupun menemutentang bukti konstruksi
sebagai
kan tripel pythagoras yang tak
45
Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm 1—108
dapat dihasilkan atau ditemukan oleh
konstruksi
. Selain itu,
.
bukan primitif tripel pytha
Pada bagian ini, akan dibahas
meme-
goras, karena meskipun
tentang pembentukan konstruksi
nuhi kondisi kedua, namun
yang nantinya bisa dijadikan pemrban-
tidak memenuhi kondisi pertama. Le-
dingan dengan konstruksi baru yang
bih
jelasnya,
akan dibentuk pada Hasil dan Pemba-
perkenalkan
tentang
diketahui
.
hasan. Untuk mengawali bagian ini,
akan
karena
Dari Definisi 3.1, untuk menge-
definisi
tahui tripel pythagoras adalah primitif
Tripel Pythagoras.
tripel pythagoras atau bukan, harus
Diberikan bilangan asli , , dan .
diperiksa apakah FPB dari ketiga
dikatakan primitif tripel
bilangan tersebut 1 atau bukan. Dari
Maka
pythagoras jika dan hanya jika meme-
sini,
nuhi dua kondisi berikut :
memberikan informasi tentang dua
1.
bilangan dari primitif tripel pythagoras.
Lemma
sebagai
berikut
2.
Lemma 3.1
hanya memenuhi kondisi
Jika
satu saja, kita sebut
adalah primitif tripel
Jika
sebagai
pythagoras, maka
tripel pythgaoras.
Contoh 3.1
adalah
primitif
tripel
Bukti.
pythagoras karena
Andaikan
,
1.
2.
adalah primitif tripel pytha-
.
Namun,
goras. Misalkan
bukan primitif
adalah primitif tripel pythagoras, maka
memenuhi kondisi pertama,
kondisi
berlaku
tidak memenuhi
kedua.
Lebih
adallah bilangan
prim ynga membagi . Karena
tripel pythagoras, karena meskipun
namun
tetapi
jelasnya,
46
Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf
habis
semuanya genap, tentu saja hal ini
akan habis
tidak mungkin, karena kuadrat dari
membagi semua kombinasi linear dari
bilangan genap adslsh bilangan genap
Karena
habis membagi
membagi
dan
, maka
dan . Karena
dan ,
bilangan genap. Jadi akan dijumpai
,
Sekarang. An-
. Oleh karena
daikan a dan b keduanya ganjil. Karena
satu kombinasi linear dari
maka
habis membagi
yaitu
habis membagi
habis membagi . Karena
itu
membagi ,
kuadrat dari suatu bilangan asli
habis
besar
daripada
1.
jika x ganjil dan
yaitu,
, maka haruslah
. Dilain pihak
hanya
ada dua kemungkinan di modulo 4,
habis membagi , dan
habis membagi
lulebih
dan jumlah dari dua bilangan genap
adalah salah
jika x genap, maka
sela-
dan
Maka
.
Oleh karena itu,
kontradiksi dengan
adalah primitif tripel pytha-
Hal ini kontradiksi dengan teorema
.
goras. Jadi haruslah
“suatu bilangan asli
Lemma berikut menunnjukan bah-
hanya ada dua
dari primitif tripel pytha-
kemungkinan di modulo 4, yaitu,
goras tepat satu diantaranya adalah
jika x ganjil dan
bilangan genap. Dalam hal dua bilang-
jika x genap”. Jadi
an asli tepat satu diantaranya adalah
haruslah salah satu dari a atau b adalah
genap, maka dua bilangan tersebut
genap. Dengan kata lain, a dan b
dikatakan berbeda paritas.
harusla berbeda paritas.
dan
wa
Berdasarkan Lemma 3.2 di atas,
Lemma 3.2
Jika
karena salah satu dari a dan b adalah
adalah primitif tripel
pythagoras, maka
dan
bilangan genap dengan
berbeda
adalah
paritas.
primitif tripel pythagotras, mka untuk
Bukti.
penulisan selanjutnya, bilangan yang
Misalkan
tripel
pythagoras.
genap diletakkan pada entri yang
adalah primitif
Jika
a
dan
kedua. Sebagai contoh, untuk primitif
b
47
Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm 1—108
tripel pythagoras
sebagai
Lemma 3.3
dituliskan
dan
Diberikan bilangan asli
. Penulisan ini semakin
. Jika
adalah
didukung oleh Akibat 3.1 berikut yang
dengan
merupakan akibat dari Lemma 3.2,
bilangan kuadrat sempurna, maka
karena
juga akan bernilai ganjil.
dan
keduanya adalah bilangan kuadrat
Akibat 3.1
sempurna.
adalah tripel primitif
Misalkan
pythagoras, maka
dan
Bukti.
pasti ganjil.
Misalkan faktorisasi prima dari
Bukti.
Karena
dan
adalah
genap dan
faktorisasi
dari
adalah
adalah tripel primitif pythagoras, maka
,
dimana
ganjil menurut Lemma 3.2. Selan-
untuk setiap
jutnya, karena kuadrat dari bilangan
prima
prima
berbeda
ganjil adalah bilangan ganjil dan
, dan
kuadrat dari bilangan genap adalah
bilangan genap, maka
ganjil dan
dan
untuk
setiap
prima berbeda
untuk setiap
bilangan
,
. Karena
, maka semua faktor
adalah bilangan genap,
prima dari
Selanjutnya, karena jumlah dari bilang-
berbeda dengan semua
faktor prima dari . Dilain pihak,
an ganjil dan bilnagan genap adalah
bilangan ganjil, maka
adalah bilangan ganjil. Karena
ngan ganjil, mkaa haruslah
adalah bilangan kuadrat sempurna.
bila-
dan
Karena faktor prima dari
meru-
semuanya berbeda serta
pakan bilangan ganjil.
dan
berbeda berturut-turut untuk setiap
Sebelum menuju pada formula
dan
untuk primitif tripel pythagoras, masih
maka haruslah
diperlukan satu lemma lagi. Lemma
genap
berikut dibuktikan dengan mengguna-
,
dan
untuk
bernilai
setiap
nilai
dan
kan teorema fundamental aritmatika.
berturutan. Oleh karena itu
48
,
dan
Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf
keduanya
adalah
bilangan
kuadrat
yang artinya
sempurna.
Setelah menetapkan Lemma 3.3 di
atas, selanjutnya teorema berikut akan
Karena
menetapkan hasil utama dari bab 3 ini,
ngan asli. Oleh karena itu
yaitu konstruksi untuk primitif tripel
bilangan kuadrat sempurna. Berda-
pythagoras. Konstruksi ini dimulai
sarkan Lemma 3.3, maka
dengan Teorema 3.1 berikut.
keduanya bilangan kuadrat sempurna.
Misalkan
Teorema 3.1
persamaan
pythagoras, maka terdapat bilangan asli
sehingga
. Dari
, mkaa mudah
pula
. Selandan
bahwa
dan
. Tentu saja m lebih besar
Bukti.
daripada
telah ditetapkan sebelumnya, entri
kedua dari
dan
, mka
mka
Sekarang, misalkan
membagi ,
, yang artinya
. Selanjutnya, karena
membagi
tripel
membagi
, yang artinya
serta karena
membagi
membagi
, untuk suatu bilangan
. Karena
membagi
membagi
keduanya genap.
dan
Misalkan
. Karena
adalah
bilangan ganjil. Oleh karena itu,
dan
adalah bilangan
Selanjutnya,
genap. Berdasarkan
Akibat 3.1, maka
karena
asli.
dalah bilangan
genap, ini artinya
asli
dan
, maka mudah diketahui
,
, dan
dan
dan
jutnya, dari persamaan
bebrbeda paritas dengan
adalah
untuk
disimpulkan bahwa
yang relatif prima yanag
sekaligus
adalah bila-
dan
suatu bilangan asli
adalah primitif tripel
Jika
dan
genap, maka
dan , maka
membagi
. Dari sini, dapat disim-
pythagoras, maka
pulkan bahwa
. Jadi
dan
relatif prima.
yaitu
Terakhir, akan ditunjukkan bahwa
49
Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm 1—108
dan
berbeda paritas. Jika
Oleh karena itu, dapat disim-
dan
genap, jelas hal ini tidak mungkin
karena akan kontradiksi dengan
ganjil. Begitu pula, Jika
dan
pulkan bahwa
dan
pythagoras. Selanjutnya, tinggal me-
ganjil,
Jadi haruslah
dan
dan
. Dengan
nunjukkan
hal ini juga tidak mungkin karena juga
akan kontradiksi dengan
adalah tripel
kata lain, tinggal menunjukkan bah-
ganjil.
adalah primitif, yaitu
wa
berbeda paritas.
ketiga bilangan ini saling relatif
Pernyataan Teorema 3.1 tidak
prima.
cukup baik untuk mengkarakterisasi
Untuk menunjukkan
,
atau mengkonstruksi primitif tripel
akan digunakan bukti kontadiksi.
pythagoras jika konvers dari per-
Andaikan
.
nyataan
Misalakn
adalah faktor prima dari
tersebut
tidak
berlaku.
Teorema 3.2 berikut menyatakan bah-
d. Karena
wa konvers dari pernyataan Teorema
membagi
3.1 juga berlaku.
dan
dan
bilangan relatif prima
dan
yang berbeda paritas, maka
primitif
tripel
, maka
dan
membagi
dan
membagi . Di-lain pihak, karena
Teorema 3.2
Jika
membagi
keduanya adalah bilangan
dimana
,
dan
Selanjutnya, karena
dan
membagi
membagi , maka
membagi
dan
Bukti.
.
Misalkan
,
.
ganjil. Hal ini bera-kibat
pythagoras,
,
berbeda paritas, tentu saja
, dan
, maka
Karena
,
hariuslah
membagi
dan
membagi
.
membagi
dan
membagi . Hal ini
berakibat,
FPB
dari
setidaknya
Lebih
adalah
kontradiksi dengan
50
membagi
mka
khusus,
dan
.
dan
Hal
relatif
ini
Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf
prima. Jadi, haruslah
,
sempurna.
adalah primitive tripel
pythagoras
kata lain, haruslah
yaitu
selalu merupakan bilangan kuadrat
. Dengan
Sebagai
contoh,
tripel
bukan meru-
pakan tripel pythagoras dari konstruksi
Pythagoras.
untuk
Selanjutnya, dari Teorema 3.1
sebarang bilangan bulat x dan y.
dan Teorema 3.2, diperoleh sebuah
Oleh karena itu, sangat memung-
teorema fundamental dalam studi
primitif tripel pythagoras yang me-
kinkan
rupakan akibat dari
konstruksi yang mencakup semua tripel
Untuk bilangan asli
menemukan
suatu
pythagoras tanpa terkecuali. Untuk bab
dan , 3-
selanjutnya,
merupakan primitif
tupel
untuk
akan
dibahas
tentang
tripel Pythagoras jika dan hanya jika
konstruksi triprl pythagoras yang men-
terdapat bilanagn asli
cakup semua tripel pythagoras tanpa
dan
yang
terkecuali.
relative prima dan sekaligus berbeda
paritas
sehingga
, dan
Jika
lebih
,
Hasil dan Pembahasan
.
diperhatikan
Hal yang akan diteliti dalam
lagi,
penelitian ini adalah mencari kons-
konstruksi primitif tripel pythagoras
truksi tripel pythagoras yang mencakup
pada Teorema 3.3 yang menyatakan
semua tripel pythagoras tanpa ter-
“
kecuali. Adapun langkah analisisnya
adalah primitif tripel pytha-
goras jika dan hanya jika terdapat
adalah sebagai berikut.
bilangan bulat x dan y yang prima
a.
relatif dan berlainan tanda sehingga
,
,
Misalkan x dan y adalah bilangan
bulat positif dengan
dan
maka
dapat
dipastikan
” belum mencakup semua
bahwa
adalah
tripel pythagoras meskipun “x dan y
tripel pythagoras.
adalah prima relatif” atau “x dan y
b.
berbeda paritas” tidak dipenuhi. Hal ini
mudah dilihat dari nilai
lebih dari ,
Jika x dan y prima relatif dan
berbeda paritas, maka
yang
51
Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm 1—108
ngan
adalah
c.
kuadrat
karena itu, mudah disimpulkan
Jika “x dan y prima relatif” atau “x
bahwa
dan y berbeda paritas” tidak
pythagoras
maka
maka
bukan
hasil
tripel
konstruksi
akan
.
kembali pada poin pertama, yaitu
f.
adalah
Selanjutnya,
adalah
misalkan
tripel
tripel pythagoras.
pythagoras
dan
, maka
Meskipun poin ketiga menyebabkan
Dari
disini
adalah tri-pel pythagoras, tidak
dinyatakan
dalam
.
Oleh
karena
itu,
bentuk
. Jadi tripel
. Salah satu contohnya adalah
pythagoras
.
Tidak ada bilangan bulat positif x
dan y dengan
diperoleh
. Dengan kata lain,
semua tripel pythagoras dapat
dapat ditulis-
kan menjadi
lebih dari
sehingga
jika
berlaku
habis membagi
.
Jadi, perlu diidentifikasi kapan
membagi
agar
.
e.
Oleh
primitif tripel pythagoras.
terpenuhi,
d.
sempurna.
tripel
merupakan
Poin keempat terjadi karena jika
tripel pythagoras.
adalah tripel pythagoras
yang
terbentuk
g.
,
adalah
dituliskan sebagai
dimana
maka
adalah hasil kali semua faktor
, yaitu
prima ganjil tunggal dari
. Dengan kata lain,
adalah
adalah bilangan kuadrat sempurna.
Padahal,
Misalkan
dari
hasil
kali
faktor-faktor
dengan pangkat genap dari
, bukan bila-
,
, dan
adalah sisanya. Sebagai contoh,
52
Konstruksi Baru Untuk Tripel Pythagoras, Moh. Affaf
Selanjutnya, dengan menuliskan
Jika
maka
tersisa dari
setelah
sisa
yang
, maka diperoleh
hasil yang diinginkan, yaitu
terbentuk
. Selanjutnya,
adalah
dari
sebagai
. Jadi yang
tersebut
tersisa
.
Sekarnag
dari
setelah
terbentuknya
Habis dibagi
diperoleh
adalah
merupakan
Jadi,
tripel pythagoras jika terdapat bilangan
.
Maka diperoleh
.
sehingga
bulat postif
.
Dengan
h.
kata
lain,
S
pythagoras
,
Setelah membentuk
definisikan
Proses mencari
bahwa
. Selanjutnya, karena
adalah
dan
, maka
. Selanjutnya,
dituliskan
diperoleh
.
,
maka
, dan
dari
,
yaitu
,
, dan tripel
. Sebagai
diperoleh
sehingga
dapat
. Dari sini dapat disimpulkan
.
,
diperoleh
. Dari
menjadi
habis membagi
adalah sebagai
Setelah mendapatkan
. Dengan kata
lain, ada bilangan bulat
bahwa
hasil
,
dapat disimpulkan bahwa
habis dibagi
adalah
berikut. Dari tripel pythagoras
dengan memperhatikan definisi
dan
tripel
. Jadi,
Perhatikan
sisa-sisa dari
semua
, yaitu
konstruksi
pada poin 7, diperoleh
i.
.
dari
.
contoh, untuk tripel pythagoras
,
diperoleh
.
Dari sini diperoleh
.
Sehingga diperoleh
. Jadi
tripel pythagoras
adalah
hasil produksi tripel
j.
53
.
Jurnal Pendidikan Volume 7, Nomor 1, Juni 2015, hlm 1—108
Leyendekkers, J.V. and Rybak, J.,
Pellian Sequences Derived from
Pythagorean Triples, International
Journal of Mathematical Education
in Science and Technology, 1464 –
5211, Vol. 26, Issue 6, pg 903 –
922, 1995
McCullough, D., Height and Excess of
Pythagorean Triples, Mathematics
Magazine, Vol. 78, No. 1, pg 26 –
44, February 2005
Weisbrod, J., Exploring a Pythagorean
Ternary Tree, annual meeting of
the Mathematical Association of
America MathFest, August 6, 2009
Simpulan
Penelitian
ini
telah
berhasil
menemukan konstruksi baru, yaitu
konstruksi
lebih
baik
, konstruksi yang
dari
konstruksi
keunggulan
konstruksi
.
ini memiliki dua
dibangdingkan
konstruksi
dengan
dapat memproduksi
semua tripel pythagoras yang diinginkan dan konstruksi ini juga tidak
memerlukan urutan dari sisi-sisi tegaknya.
Adapun saran penelitian ke depannya, diharapkan konstruksi ini dapat
dikembangkan sehingga langkah-langkah konstruksinya dapat lebih sederhana.
Daftar Pustaka
Khosy, Thomas. 2007. Elementary
number theory with applications.
Amsterdam. Elsivier
Wegener, D. P. 2000. Primitive
Pythagorean Triples With Sum Or
Difference of Legs Equal To a
Prime*. Ohio university
Dominic and Vella. 2006. When is n a
member of a Pythagorean Triple.
Leyendekkers, J.V. and Rybak, J., The
Generation and Analysis of
Pythagorean Triples within a TwoParameter Grid,
International
Journal of Mathematical Education
in Science and Technology, Vol.
26, Issue 6, pg 787 – 793, 1995
54