11 Pengujian Hipotesis Rata rata dua pop (1)

BAB 11. PENGUJIAN HIPOTESIS
RATA-RATA DUA POPULASI
11.1 Pengujian untuk Dua Sampel yang Independen
Seringkali dalam suatu penelitian akan diselidiki apakah suatu metode baru
memberikan hasil yang lebih baik dari metode lama, atau dua pendekatan dalam
memberikan hasil yang sama. Masalah seperti ini dapat diselesaikan dengan
melakukan pengujian rata-rata dua populasi. Berikut adalah tabel untuk uji rata-rata
dua populasi yang memuat hipotesis, statistik uji dengan asumsi variansi, dan daerah
kiritis, yaitu daerah penolakan H0..
Tabel 11.1 Uji Rata-Rata Dua Populasi
Hipotesis

Asumsi

Statistik Uji

Daerah Kritis

H0: μ1  μ2 = d0

Ha: μ1  μ2  d0

σ1 dan σ2 diketahui

H0: μ1  μ2 = d0 atau H0: μ1  μ2 ≤ d0
Ha: μ1  μ2 > d0

z   z / 2 atau
z  z / 2

x1  x2  d0

z

z  z

12 22

n
m

Ha: μ1 μ2 > d0

z   z

H0: μ1  μ2 = d0 atau H0: μ1  μ2 ≥ d0
Ha: μ1  μ2 < d0

Ha: μ1 μ2 < d0

t  t / 2, n  m  2

H0: μ1  μ2 = d0

Ha: μ1  μ2  d0
H0: μ1  μ2 = d0 atau H0: μ1  μ2 ≤ d0
Ha: μ1  μ2 > d0

Ha: μ1 μ2 > d0

σ1 dan σ2 tidak

diketahui,
diasumsikan
nilai sama

H0: μ1  μ2 = d0 atau H0: μ1  μ2 ≥ d0
Ha: μ1 μ2 < d0
Ha: μ1  μ2  d0
H0: μ1  μ2 = d0 atau H0: μ1  μ2 ≤ d0
Ha: μ1 μ2 > d0

H0: μ1  μ2 = d0 atau H0: μ1  μ2 ≥ d0
Ha: μ1 μ2 < d0

t

t  t / 2,n  m 2

S p2 (1/ n  1/ m)

t  t , n  m  2

dengan
S p2 

atau

(n  1)S12  (m  1) S 22
nm2

t  t ,n  m  2

Ha: μ1 μ2 < d0

H0: μ1  μ2 = d0

Ha: μ1  μ2 > d0

x1  x2  d 0

Ha: μ1 μ2 < d0

Statistika-Handout 11

σ1 dan σ2 tidak
diketahui,
diasumsikan nilai
tidak sama

t

v

x1  x2  d 0

t  t / 2,v

S12 S 22

n
m

S

2
1

S

2
1

/ n  S 22 / m 

/ n

n 1

2

S



2
2

atau

t  t ,v
2

/ m

2

t  t ,v

m 1

65

t  t / 2,v

Catatan.
Asumsi yang harus dipenuhi adalah masing-masing sampel independen dan diambil
dari populasi berdistribusi normal.
Untuk n = m statistik uji yang ke dua dan ke tiga adalah sama, sehingga tidak perlu
diuji apakah variansi sama atau tidak.
Uji kesamaan variansi dapat dilakukan dengan uji Lavene yang sudah teredia dalam
paket program SPSS 16
Contoh 11.1 Suatu sampel acak berukuran n = 25 diambil dari populasi normal
dengan simpangan baku 1 = 5,2 mempunyai rata-rata x1  81 . Sampel kedua
berukuran m = 36 diambil dari populasi yang lain dengan simpangan baku 1 = 3,4
mempunyai rata-rata x1  76 . Uji hipotesis H0: μ1  μ2 = 0 dan Ha: μ1  μ2 > 0 dengan
taraf signifikansi 0,05.
Jawab.
Daerah kritis z  z = z 0,05 = 1,645
Perhitungan :

z

x1  x2  d 0



n
m
2
1

2
2



81  76  0
(5, 2) 2 (3, 4) 2

25
36

 4, 22

Kesimpulan :
Karena z = 4,22 > z 0,05 = 1,645, maka H0 ditolak, yang berarti rata-rata populasi
pertama lebih besar daripada rata-rata populasi kedua.
Contoh 11.2. Suatu perkuliahan statistika diberikan pada pada dua kelas. Kelas
pertama diikuti 12 mahasiswa dengan pembelajaran kooperatif dan kelas lain diikuti
10 mahasiswa dengan pembelajaran konvensional. Pada akhir semester mahasiswa
diberi ujian dengan soal yang sama untuk kedua kelas. Hasil ujian pada kelas
kooperatif mencapai nilai rata-rata 85 dengan simpangan baku 4, sedang kelas biasa
memperoleh nilai rata-rata 81 dengan simpangan baku 5.

Statistika-Handout 11

66

Ujilah hipotesis bahwa hasil pembelajaran dengan kedua metode adalah sama dengan
menggunakan taraf signifikansi 10 %. Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal
dengan variansi sama.
Jawab.

Diketahui x1  85 , S1 = 4, n = 12; x2  81 , S2 = 5, m = 10
Hipotesis
H0: μ1  μ2 = 0
Ha: μ1  μ2  0
Daerah kritis :
t  t / 2,n  m  2

= t0,05;20 = 1,725 atau

t  t / 2, n  m 2

= t0,05;20 = 1,725

Perhitungan
(n  1) S12  ( m  1) S 22

nm2

Sp 
t

x1  x2  d 0
S p2 (1/ n  1/ m)



(11)(16)  (9)(25)
 4, 478
12  10  2

85  81  0
4, 478 (1/12)  (1/10)

 2, 07

Kesimpulan:
Karena t = 2,07 > 1,725, maka H 0 ditolak pada taraf signifikansi 10 %. Ini berarti
bahwa kedua pembelajaran memberikan hasil pembelajaran yang tidak sama.(rata-rata
hasil pembelajaran kedua metode tidak sama)
Contoh 11.3. Dengan menggunakan data pada Contoh 2, Ujilah hipotesis bahwa hasil
pembelajaran dengan metode kooperatif lebih baik daripada dengan metode
konvensional dengan menggunakan taraf signifikansi 5 %. Asumsikan kedua populasi
berdistribusi normal dengan variansi tidak sama.
Jawab.
Hipotesis
H0: μ1  μ2 = 0

Statistika-Handout 11

67

Ha: μ1  μ2 > 0
Daerah kritis :
Untuk menentukan daerah kritis perlu melakukan perhitungan derajat bebas
v

S

2
1

S

2
1

/ n  S22 / m

/n



2

n 1

S


2
2



2

/m



2



m 1

(16 /12  25 /10) 2
14, 69

 17,17
2
2
0,86
(16 /12)
(25 /10)

11
9

Dengan demikian daerah kritis adalah
t  t ,v  t0,05;17,17  t0,05;17

= 1,74

Perhitungan

t

x1  x2  d0
S12 S22

n
m



85  81  0
(16 /12)  (25 /10)

 2, 04

Kesimpulan:
Karena t = 2,04 > 1,74, maka H0 ditolak pada taraf signifikansi 0,05 . Ini berarti
bahwa pembelajaran kooperatif memberikan hasil pembelajaran yang lebih tinggi
dibandingkan dengan pembelajaran konvensional.
11. 2 Pengujian untuk Data Berpasangan
Andaikan kita tertarik untuk mengetahui apakah suatu metode pembelajaran A
berhasil menaikkan hasil belajar atau tidak. Sebanyak n siswa diberi perlakuan
pembelajaran dengan metode A, dan diberi pretes dan postes. Bagaimana menguji
hipotesis apakah metode pembelajaran A efektif menaikan hasil belajar siswa ?
Data hasil pretes dan postes dapat dinyatakan dalam n pasangan (Xi , Yi ), i =
1, . . . , n, dengan Xi adalah nilai pretes dan Y i adalah postes. Dalam masalah ini X 1,
X2, ..., Xn dan Y1, Y2, ..., yn tidak independen, karena dimungkinkan ada kecenderungan
orang dengan nilai pretes yang lebih tinggi akan mempunyai postes yang lebih tinggi.
Oleh karena itu statistik uji t untuk sampel independent tidak dapat digunakan.

Statistika-Handout 11

68

Misalkan Wi = Xi −Yi , i = 1, . . . , n, maka Wi menghasilkan rata-rata W dan
simpangan baku sW. Hipotesis nol W = 0 menunjukkan bahwa metode pembelajaran
tidak berhasil menaikkan hasil belajar. Secara umum hipotesis, statistik uji, dan
daerah kritis untuk data berpasangan dasajikan dalam Tabel 11.2
Tabel 11.1 Uji Rata-Rata Data Berpasangan
Hipotesis

Statistik Uji

Daerah Kritis

t  t / 2, n 1

H0: μW = 0

Ha: μW  0

t

H0: μW = 0 atau H0: μW ≤ 0
Ha: μW > 0
Ha: μW > 0

W

t  t / 2,n 1

sW / n

W adalah rata-rata

atau

t  t ,n 1
t  t ,n 1

H0: μW 2 = 0 atau H0: μW ≥ 0
Ha: μW < 0
Ha: μW < 0

Asumsi yang harus dipenuhi adalah Wi berdistribusi normal.
Contoh 11.4 Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah ada perbedaan
antara tinggi anak laki-laki pertama dan ayah. Berikut adalah data tentang tinggi anak
laki-laki pertama (X) dan tinggi ayah (Y).
Tinggi anak (X)
158

Tinggi ayah (Y)
161

W
3

W2
9

160

159

1

1

163

162

1

1

157

160

3

9

154

156

2

4

164

159

169

163

158

160

162

158

161

160
Jumlah

5
6
2
4
1
8

25
36
4
16
1
106

Hipotesis yang diuji adalah

Statistika-Handout 11

69

H0 H0: μW = 0
Ha: μW  0
Dari data tersebut diperoleh rata-rata W = 0,8

dan simpangan baku

sW 

10(106)  64
 11, 07
10.9
.

Statistik uji

t

0,8
11, 07 /10

 0, 762

Dari tabel distribusi t Karena t t0,025; 9 = 2,26. Karena diperoleh thitung < ttabel , maka
dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan (taraf signifikansi 0,05)
antara tinggi ayah dan anak laki-laki pertama.
Latihan 11.
1. Sampel yang terdiri atas 10 ikan ditangkap di danau A dan konsentrasi PCB(zat
kimia yang mencemari danau) diukur menggunakan teknik tertentu dan 8 ikan
ditangkap di danau B dengan teknik lain. Hasil pengukuran dalam mikromili
adalah :
Danau A : 11,5

10,8

11,6

9,4 12,4

11,4

12,2

11

Danau B : 11,8

12,6

12,2 12,5 11,7

12,1

10,4

12,6

10,6

10,8

Jika diketahui bahwa teknik yang digunakan di danau A mempunyai variansi 0,09
dan yang digunakan di danau B mempunyai variansi 0,16. Dengan taraf
signifikansi 0,05 dapatkah anda menolak hipotesis bahwa kedua danau
mempunyai tingkat pencemaran yang sama ?
2. Suatu pabrik menyatakan bahwa rata-rata daya rentang benang A melebihi daya
rentang benang B paling sedikit 12 kg. Untuk menguji pernyataan ini 50 potong
benang dari tiap jenis diuji dalam keadaan sama. Benang A mempunyai rata-rata
daya rentang 86,7 kg dengan simpangan baku 6,28 kg, sedangkan benang B
mempunyai rata-rata daya rentang 77,8 kg dengan simpangan baku 5,61 kg. Ujilah

Statistika-Handout 11

70

pernyataan pengusaha tadi dengan taraf signifikansi 0,05 dan anggap bahwa kedua
populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi sama.
3. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah peningkatan konsentrasi
substrat akan mempengaruhi reaksi kimia dengan cukup besar. Dengan
konsentrasi substrat 1,5 mol per liter, reaksi dilakukan 15 kali dengan rata-rata 7,5
mikromol per 30 menit dengan simpangan baku 1,5. Dengan konsentrasi substrat
2 mol per liter, reaksi dilakukan 18 kali dengan rata-rata 8,8 mikromol per 30
menit dengan simpangan baku 1,2. Apakah anda setuju bahwa peningkatan
konsentrasi substrat menaikkan kecepatan rata-rata sebesar 0,5 mikromol per 30
menit ? Gunakan taraf signifikansi 0,01 dan anggap bahwa kedua populasi
berdistribusi hampir normal dengan variansi tidak sama.
4. Data berikut memberikan waktu putar film yang dihasilkan oleh dua perusahaan
film gambar hidup.
Waktu(menit)
Perusahaan A

102

86

Perusahaan B

81

165

98
97

109
34

92
92

87

114

Ujilah hipotesis pada taraf signifikansi 0,05 bahwa tidak ada beda waktu putar
antara kedua perusahaan. Anggap bahwa kedua populasi berdistribusi hampir
normal dengan variansi sama.
5. Dua puluh dua orang sukarelawan yang menderita penyakit flu diteliti untuk
mengetahui pengaruh pemberian vitamin C pada lama penyembuhan penyakit flu
tersebut. Sepuluh orang diberi tablet vitamin C, dan sisanya diberi placebo ( tablet
yang tidak mengandung vitamin C tapi rasa dan bentuknya mirip tablet vitamin C)
sampai mereka dinyatakan sembuh. Waktu kesembuhan dicatat (dalam hari), dan
diperoleh data sebagai berikut. Apakah data tersebut mendukung pernyataan
bahwa

pemberian

vitamin

Statistika-Handout 11

C

menurunkan

waktu

penderita

mencapai

71

kesembuhan ? Anggap bahwa kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan
variansi sama.

Pasien yang diberi vitamin C
5,5
6,0
7,0
6,0
7,5
6,0
7,5
5,5
7,0
6,5

Pasien yang diberi placebo
6,5
6,0
8,5
7,0
6,5
8,0
7,5
6,5
7,5
6,0
8,5
7,5

6. Sepuluh orang pasien melakukan diit untuk mengurangi berat badan. Berat badan
sebelum dan sesudah diit ditimbang untuk mengetahui apakah diit berhasil atau
tidak. Hasilnya diberikan pada tabel berikut. Dapatkah disimpulkan bahwa diit
yang telah dilakukan berhasil ? Asumsi apa yang harus dipenuhi ? Gunakan taraf
signifikansi 0,05.
Pasien
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Berat Sebelum Diit
78,3
84,7
77,4
95,6
82,0
69,4
79,7
85,6
92,8
99,2

Berat Sesudah Diit
77,4
83,2
75,7
92,4
80,2
68,1
76,9
83,9
90,4
95,2

7. Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui pengaruh joging terhadap penurunan
denyut nadi. Delapan orang yang tidak pernah joging diminta melakukan joging
selama satu bulan. Denyut nadi sebelum dan sesudah program joging diukur, dan
diperoleh data berikut
Subjek

Statistika-Handout 11

1

2

3

4

5

6

7

8

72

Denyut nadi sebelum program

74

86

98

102

78

84

79

70

Denyut nadi sesudah program

70

85

90

110

71

80

69

74

Dapatkah disimpulkan joging berpengaruh menurunkan denyut jantung. Gunakan
taraf signifikansi 0,05.

Statistika-Handout 11

73