MATEMATIKA UNTUK ANALISIS SISTEM DINAMIK

2.1. Bilangan Kompleks

• Sebuah bilangan disebut kompleks jika bilangan tsb tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan nyata (real); atau bilangan tsb adalah khayal (imaginer)

−1 = i

• Bilangan Imaginer :

• Bentuk cartesian : c=a+ib

dimana: a = bagian real

b = bagian imaginer

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 2

2.1. Bilangan Kom pleks

Complex Plane

c=a+ib (a,b)

Real Axis

a R Notasi Polar

r ≡ magnitude θ ≡ argument

Imagiray Axis

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 3

Notasi Polar Untuk Menyatakan Bilangan Kompleks:

2 magnitude 2 r = c = a + b …… (2.1.2.a)

argument

θ = tan − ⎜ ⎟ = arctan ⎜ ⎟

…… (2.1.2.b)

⎝ a ⎠ maka: a = r cos θ dan b = r sin θ

…… (2.1.3) ∴ notasi cartesian

c = r ( cos θ + i sin θ ) = r e …… (2.1.4)

dimana: i θ e ≡ ( cos θ + i sin θ )

conjugate conj . ( a + i b )( = a − i b )

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 4

2.1. Bilangan Kom pleks

Operasi Bilangan Kompleks

Pertimbangkan: c = a + i b = r e θ dan

Penjumlahan & Pengurangan: c ± p = ( a ± v )( + i b ± w ) …… (2.1.6)

cp = ( a + ib )( v + iw )

Perkalian:

= 2 av + i bw + ibv + iaw

av − bw )( + i bv + aw )

cp r e i θ q e i β rqe i ( θ + β = ) ( )( ) =

2 Perkalian dg conjugate: 2 (

a + i b )( a − i b ) = a + b = r …… (2.1.9)

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 5

2.1. Bilangan Kom pleks

Operasi Bilangan Kompleks Pembagian:

c ( a + ib ) ( v − iw ) ( av + bw )( + i bv − aw )

p v + iw v − iw

⎛ av + bw ⎞ ⎛ bv − aw ⎞

Bentuk polar

c re

qe

Pangkat:

n in θ

c = r e …… (2.1.12)

2 Akar: / n c = re i θ n r e i ( θ + k π ) n

dimana k = 0, ±1, ±2, …, sampai diperoleh n akar

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 6

Contoh Soal 2.1.1: konversi bilangan kom pleks m enj adi polar

Bil. kompleks:

a = 3i + 4 b = 8i − 6 c =1 − + i

Magnitude ( r):

a = 5 b = 10 c = 1 . 414

4 − 6 = tan − 1 1 Argument ( θ ):

a = tan

θ b = tan

= 0 . 927 rad

= − 0 . 643 rad

rad

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 7

2.1. Bilangan Kom pleks

Contoh Soal: (lanjutan)

Com plex Plane

4 a = 3 +i 4

b = 8 −i 6

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 8

2.1. Bilangan Kom pleks

Contoh Soal: (lanjutan)

ac = ( − 3 − 4 )( + i 3 − 4 ) = − 7 − i

Perkalian:

bc = ( − 8 + 6 )( + i 8 + 6 ) = − 2 − i 14

Bentuk polar: ac 5 e i 0 . 927 1 . 414 e i ( 3 π / 4 ) 7 . 07 e i 3 . = 2834 =

= 7 . 07 ( cos 3 . 2834 + i sin 3 . 2834 ) = − 7 − i

a ( 3 + i 4 ) ( 8 + i 6 ) ( 24 − 24 )( + i 18 + 32 )

Pembagian:

a . 5 i 0 e 927

i 1 . Bentuk polar: 570 =

− i 0 . 643 = 0 . 5 e = 0 . 5 ( 0 + i ) = i 0 . b 5 10 e

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 9

Contoh Soal: (lanjutan)

i Akar: 0 misal 16 = 16 e x 4 16 e i 0 4 16 e i ( 0 + 2 k π / 4 ) 2 e i ( k π / 2 = ) = =

dimana untuk akar dari 16 adalah: k =0

x =2e i 0 =2

k =1

x =2e i π/2 = 2(0 + i) = i2 k = −1 x =2e −iπ/2 = 2(0 − i) = − i2 k =2

x =2e −iπ = 2( −1+ i0) = −2

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 10

2.2. Transformasi Laplace

Definisi

Dalam analisis dinamika proses, variabel proses dan sinyal kontrol adalah fungsi waktu, t. Transformasi Laplace f(t) adalah:

− F st () s = [] f () t = f () t e dt

Dimana:

F (s) = Transformasi Laplace dari f(t) s = Variable Transformasi Laplace, time -1

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 11

2.2. Transform asi Laplace

Jenis-Jenis Input

u () t = ⎨

• Fungsi Tahap (step function )

() − t = u () t e dt = − e − ∫ st

st

t =0

• Fun gsi Pulse

f () t = ⎨

L [] f () t = f t e − () st dt = H e − st dt

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 12

Jenis-Jenis Input

• Fungsi Impulse Dirac delta function: δ(t)

δ () t = ⎨

L [] δ () t = δ () t e − st dt = 1

t =0

• Fun gsi Sinus

Frequency = ω =

Amplitude = 1

Period = T

sin () ω t =

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 13

2.2. Transform asi Laplace

• Fun gsi Sin us (lanjutan )

e − [ st () ] = dt ∫

sin ω t

e e − ( s + i ω ) = t dt

2 i ⎢⎣ s − i ω s + i ω

2 i ⎝ s ⎥⎦ 2 0 + ω 2 ⎠

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 14

2.2. Transform asi Laplace

Tabel 2.2.1. Transformasi Laplace Untuk Fungsi-Fungsi Umum

f(t)

F (s) = L [f(t)]

f(t)

F (s) = L [f(t)]

n δ(t) !

u(t)

sin( ω t)

2 cos( ω t)

n 1 e sin( ω + t)

2 s 2 ( s +a ) + ω

− a e a t 1 e − t cos( ω t)

te − a t

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 15

2.2. Transform asi Laplace

TUGAS 01

• Buktikan konversi dari f(t) menjadi F(s)

berdasarkan Tabel Tansformasi Laplace Untuk Fungsi-Fungsi Umum (Lihat Tabel 2.2.1.)

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 16

2.2. Transform asi Laplace

Sifat-Sifat Transformasi Laplace

• Linearity TL merupakan operasi linear, hal ini berarti, jika a adalah

konstanta, maka:

L [ af () t ] =L a [] f () t = a F () s

…… (2.2.2) Sifat distributif: L [ a f () t + b g () t ] = a F () s + b G () s …… (2.2.3)

• Real Differentiation Theorem

L ⎡ () ⎤ = s F ()() s − f 0 …… (2.2.4)

df t

⎢⎣ dt ⎥⎦

d f () t ⎤ d f () t − st

dt ⎥⎦ ∫ 0 dt

Pembuktian: L

e ⎢⎣ dt

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 17

2.2. Transform asi Laplace

d () t

Integral parsial:

− st

u = e dv =

dt

dt

v = f () t

du

− = st − se dt

[ f () t e ] 0 − f () t ( − se

⎢⎣ dt ⎥⎦

= st

− st ∞

− dt

st ∫ dt

= [ 0 − f () 0 ] + s f () − t e

0 s F ()

= s F ()() s − f 0

terbukti

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 18

2.2. Transform asi Laplace

Untuk derivatif order 2 :

L d ⎛ d f () t ⎞ ⎢ ⎤

⎡ 2 d f () t ⎤ ⎡

⎢ ⎣ dt ⎦ ⎥

⎣ dt ⎝ dt ⎠ ⎦

⎡ df () t ⎤ df

= sL

dt ⎥⎦ dt t = 0

= df

sL [ sF ()() s − f 0 ] −

dt t = 0

2 = df

s F () s − s f () 0 −

dt t = o

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 19

2.2. Transform asi Laplace

Secara umum, untuk n derivatif:

() n

⎥ = s F () s − s f () 0 − ... −

dt ⎦ ⎥

dt

Dalam pengendalian proses, kondisi awal adalah pada kondisi tunak. Jadi time derivatifnya nol (zero), dan variabel adalah deviasi dari kondisi awal, sehingga Laplace n derivative adalah:

⎡ n d f () t ⎤

⎥ = s F () s

⎣ ⎢ dt ⎥ ⎦

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 20

2.2. Transform asi Laplace

• Real Integration Theorem

⎤ Pembuktiannya sama dengan

1 cara ⎢ real differentiation

f () t dt ⎥ = F () s theorem.

Coba anda buktikan di Rumah!

• Real Translation Theorem

e − − st = D F s

f Teori (t) ini berkaitan dengan keterlambatan waktu (time delay)

f (t-t D )

dalam merespon perubahan input, dan selanjutnya dikenal sebagai

dead time. 0

t=0 t=t D t

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 21

2.2. Transform asi Laplace

Pembuktian: L

− [ st

f ( t − t D ) ] = f ( t − t D ) e ∫ dt

Misal, τ=t–t D atau t = t D + τ

D ) ] = f e () ) d ( t D + τ ∫ )

= f e − st () st τ D e − d ∫ τ

Catatan:

f ( τ ) = 0 untuk τ < 0 < (t – t D )

= e − st D f st () τ e − d ∫ τ

= st e − D F ()

terbukti

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 22

2.2. Transform asi Laplace

• Final Value Theorem

lim f t = lim sF s

s → 0 ()

• Complex Differentiation Theorem

L [ t f () t ] = − F () s

ds

• Complex Translation Theorem

L at ( e f () t ) = F ( s − a )

• Initial Value Theorem

lim f () t = lim s F () s

t 0 s → 0 → …… (2.2.12)

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 23

2.3. Penyelesaian PD dengan TL

Anggapan: kondisi awal adalah pada keaadaan tunak (steady state) dan semua variabel dinyatakan dalam term deviasi.

Prosedur Penyelesaian TL

1. Ubah PD menjadi bentuk laplace dengan variabel s.

2. Buat hubungan antara variabel output (variabel tidak bebas/ dependent ) dan variabel input.

3. Balik (invert) bentuk laplace menjadi bentuk waktu untuk memperoleh respon output.

Catatan: dalam sistem pengendalian proses, PD menunjukkan hubungan antara sinyal output, y(t), dan sinyal input, x(t).

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 24 Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 24

dy () t

Pertimbangkan: a 2 2 + a 1 + a 0 y () t = b x () t …… (2.3.1)

dt

dt

x(t) disebut variabel input (force function) y(t) disebut variabel output (dependent variable)

a 0 ,a 1 ,a 2 , dan b adalah konstanta Kondisi awal = y(0), dan dy/dt| t=0 =0

TL dari PD pangkat dua:

⎡ 2 d y () t ⎤ ⎡ dy () L t ⎤

+ a 0 L [] y () t = b L [] x () t …… (2.3.2)

⎢⎣ dt ⎥⎦

⎣ ⎢ dt ⎦ ⎥

TL untuk masing-masing term:

⎡ d 2 y () t ⎤

2 ⎥ = s Y () s − sy () 0 −

2 dy

aL 2 ⎢

⎢ ⎣ dt ⎥ ⎦

dt t = 0

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 25

2.3. Penyelesaian PD dengan TL

TL untuk masing-masing term:

⎡ dy t ⎤

= a 1 sY ()() s − y 0

⎢⎣ dt ⎥⎦

a 0 L [] y () t = a 0 Y () s

b L [] x () t = b X () s

Jadi diperoleh:

( a 2 s + a 1 s + a 0 ) Y ()( s − a 2 s + a 1 )() y 0 − a 2 = bX () s …… (2.3.3)

2 dy

dt t =0

Penyederhanaan (hubungan output dan input):

Term di dalam kurung disebut

Y () s = ⎜ 2 ⎟ X () s …… (2.3.4)

FUNGSI TRANSFER

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 26

2.3. Penyelesaian PD dengan TL

Kebalikan dari TL Dengan Ekspansi Parsial: Jika input berubah 1 unit fungsi tahap:

X () s =

Y () s = ⎜

Pengmbangan (ekspansi) denominator:

( a 2 s + a 1 s + a 0 ) s = a 2 ( s − r 1 )( s − r 2 ) s

…… (2.3.6) dimana r 2

1 dan r 2 adalah akar kuadrat dari: a 2 s + a 1 s + a 0 = 0

Akar polynomial kuadarat:

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 27

Ekpansi parsial TL:

Untuk akar-akar yang tidak berulang, berlaku:

A k = lim ( s − r k )() Y s

Berdasarkan Tabel TL, kebalikan (invert) dari laplace adalah:

r y t ()

t = A 1 e 1 + A 2 e 2 + A 3 u () t

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 28

2.3. Penyelesaian PD dengan TL

Untuk akar-akar yang berulang, misalnya r 1 =r 2 , berlaku:

1 2 A () 3 =

Koefisien A 3 dihitung seperti sebelumnya, A 1 dan A 2 dihitung dengan cara:

1 = lim ( s − r 1 )() Y s s

[ ( s − r 1 )() Y s ]

A 2 = lim

1 1 ! ds

Berdasarlak Tabel TL, kebalikan (invert) dari laplace adalah:

y r ()

t = A te 1 t

1 + A 2 e + A 3 u () t

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 29

2.3. Peny elesaian PD dengan TL

Secara umum, jika r 1 diulang m kali:

1 A 2 () A =

m − 1 + ...

+ m + ...

Koefisien-koefisien dihitung sebagai berikut:

1 = lim ( s − r s → r 1 )() Y s

( s − r )() Y s s → r 1 ( k − 1 ) ! k − 1 [ 1 ds ]

k − 1 …… (2.3.13)

A k = lim

Untuk k = 2, …, m, maka Invert laplace adalah

()()() ⎢ ⎣ m − 1 ! m − 2 !

+ 2 + ... + A m ⎥ e 1 + ...

Dr . Eng. Y. D. Her m aw an – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 30

Time Delay (Dead-time) Pertimbangkan kasus dimana terdapat term ekponensial

Y st ()

Dengan Y 1 (s) tanpa term ekponensial

1 () s =

Invert Y 1 (s) menghasilkan:

1 () t = A 1 e

2 e 2 + ... + A n n e …… (2.3.17)

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 31

2.3. Penyelesaian PD dengan TL

Jadi, Invert Y (s) menghasilkan:

y t L − 1 − st () D = [ e Y 1 () s ] = y 1 ( t − t D )

Jadi, dengan menggunakan real translation theorem:

r t y t ()

t = A 1 e + A 2 e 2 ( − D ) + ... + A n e n ( − D ) …… (2.3.18)

Jika terdapat multi-delay:

Y () s = Y 1 () s e D 1 + Y 2 () s e D 2 + ... + Y n () s e Dn …… (2.3.19)

Jadi, dengan menggunakan real translation theorem:

y () t = y 1 ( t − t D 1 ) + y 2 ( t − t D 2 ) + ... + y n ( t − t Dn ) …… (2.3.20)

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 32

2.3. Penyelesaian PD dengan TL

Contoh 2.3.1 : menangani time delay

() t

dc

+2 c ()() t = f t

Diketahui PD berikut:

dt Dengan c(0) = 0, Tentukan respon output c(t), jika pada t = 1, input

berubah dengan satu unit step: f(t) = u(t – 1)!

D = 1 dan F () s = e

Jadi: t

TL dari PD dan substitusi F(s) menghasilkan:

C () s =

F () s =

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 33

C s ()

s = C 1 () s e −

misal:

Invert dari C 1 (s):

C 1 () s =

A 1 = lim ( s + 2 = − s → − 2 )( ) s + 2 s 2

A 2 = lim s

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 34

2.3. Penyelesaian PD dengan TL

Jadi invert dari C 1 (s) menghasilkan ( lihat Tabel 2.2.1 ):

c 1 () t = − e + u () t

− () 2 t ( 1 − e )

Aplikasi real translation theorem:

1 − 2 () t − c 1 () t = [ C 1 () s e ] = c 1 () t − = u () t − 1 [ 1 − e ]

Catatan unit step u(t – 1) harus dikalikan dengan term eksponensial, hal ini menunjukkan bahwa c(t) = 0 untuk t < 1.

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 35

2.4. Karakteristik Respon Proses

Beberapa pertanyaan yang relevan terhadap respon:

1. Apakah respon stabil? Yaitu respon terjaga pada nilai tertentu.

2. Jika stabil, berapa nilai tunak baru?

3. Apakah responnya monoton atau berosilasi?

4. Jika monoton dan stabil, berapa waktu yang diperlukan untuk mencapai kondisi stabil (tunak baru)?

5. Jika bersosilasi, berapa periode osilasi dan berapa waktu berosilasi sampai akhirnya stabil?

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 36

Variabel Deviasi

Y ()()() t = y t − y 0 …. (2.4.1)

Dimana: y(t) = nilai variabel total

y (0) = nilai variabel pada kondisi awal Dari definisi variabel deviasi, maka variabel deviasi pada kondisi

awal selalu nol (0): Y(0) = y(0) – y(0) = 0 Pertimbangkan PD linear order n:

a ()

y () t

+ K + a 0 y () t

dt

dt n − 1

d m − () 1 x () t

+ L + b 0 x () t + c …. (2.4.2)

dt m

dt m − 1

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 37

2.4. Karakt erist ik Respon Proses

Dimana n > m, y(t) = output, x(t) = input, dan c = konstanta Pada kondisi tunak awal, semua fungsi derivatif waktu adalah nol

sehingga: a 0 y () 0 = b 0 x () 0 + c …. (2.4.3)

Pers. (2.4.2) – Pers. (2.4.3) :

n () − t d 1 Y () t

+ K + a 0 Y () t

dt

dt − 1

d m X ()

d − 1 X () t

+ b m − 1 + L + b 0 X () t …. (2.4.4)

dt

dt m − 1

Dimana: Y(t) = y(t) – y(0) dan X(t) = x(t) – x(0)

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 38

2.4. Kar akt er ist ik Respon Pr oses

Respon Output

Untuk menunjukkan hubungan antara respon output dan akar-akar dari denominator fungsi transfer, maka penyelesaian TL dari pers. (2.4.4) dalam term deviasi:

Y () s = ⎢

⎥ X () s

Denominator pers. (4.5) dapat difaktorkan menjadi derajat n berikut:

Y () s = ⎢

⎢ ⎣ a n ( s − r 1 )( s − r 2 )( L s − r n )() ⎥ ⎦

Dimana r 1 ,r 2 , …, r n adalah akar polynomial denominator. Disamping

n faktor (lihat pers 2.4.6), terdapat faktor lain dari X(s) yang tergantung pada jenis input (step, pulse, ramp, dll.)

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 39

Pengembangan dalam fraksi parsial:

1 1 A () n = + + L + + term dari X () s

Kebalikan laplace pers. (4.7) menghasilkan:

r Y t ()

s = A 1 e + A e 2 + L + A 2 n n e + term dari X () s

…. (2.4.8) Akar-Akar Nyata:

Akar positif : respon naik seiring naiknya waktu Æ TIDAK STABIL Akar negatif : meluruh sampai nol Æ STABIL

∴ Jika semua akar denominator dari FT adalah nyata:

☺ respon monotonic (non-oscillatory) ☺ respon stabil jika semua akarnya negatif

(lihat Gambar 2.4.1)

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 40

2.4. Karakt erist ik Respon Proses

Gambar 2.4.1. Respon untuk akar-akar nyata

Y (t)

Y (t)

t (a) Stabil, akar nyata negatif

(b) Tidak Stabil, akar nyata

positif Y 1 = kondisi tunak baru

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 41

2.4. Kar akt er ist ik Respon Pr oses Pasangan Akar Complex Conjugate:

r 1 = ρ +i ω

r 2 = ρ −i ω

dimana: ρ = bagian real; ω = bagian imaginer Pengembangan FT:

Y () s =

( A 1 + A 2 )( s − ρ ) i ( A 1 − A 2 ) ω

dimana: B = A 1 +A 2 dan C = i (A 1 –A 2 )

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 42

Jadi invert dari pers. (2.4.10) menghasilkan ( lihat Tabel 2.2.1 ):

ρ Y t ()

t = Be cos ω t + Ce sin ω t + L

B cos ω t + C sin ω t ] + L

Penyederhanaan menggunakan bentuk trigonometri:

sin ( ω t + θ ) = sin θ cos ω t + cos θ sin ω t

menghasilkan: Y () t = De sin ( ω t + θ ) + L

dimana:

2 D 2 = B + C Æ Amplitudo awal

⎛ B ⎞ θ = arctan ⎜ ⎟ Æ Phase angle, dalam radian

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 43

2.4. Karakt erist ik Respon Proses Berdasarkan pers. (2.4.11), disimpulkan:

☺ Respon berosilasi ☺ Osilasi menjadi TIDAK STABIL, jika bilangan kompleks

conjugate mempunyai akar bagian real positif Perhatikan term e ρ t :

ρ positif Æ Amplitudo semakin besar dengan waktu ρ negatif Æ Amplitudo meluruh

Frekuensi gelombang sinus merupakan bagian imaginer dari akar, ω dalam radian/waktu.

Periode osilasi : waktu yang diperlukan untuk menempuh satu siklus gelombang. atau, waktu yang diperlukan untuk menaikkan argumen gelombang sinus ( ω t + θ ) sebesar 2 π radian.

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 44

2.4. Kar akt er ist ik Respon Pr oses

Gambar 2.4.2. Respon untuk akar-akar complex conjugate

Y (t)

Y (t)

t (a) Stabil, akar nyata negatif

(b) Tidak Stabil, akar nyata

Y 1 = kondisi tunak baru

positif

πρ Decay ω ratio = e = 2 e / …. (2.4.14)

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 45

Kondisi Tunak Baru Kondisi tunak baru dapat dicari dengan final value theorem Asumsi input berubah dengan fungsi tahap dimana X(t) = ∆x u(t)

atau X(s) = ∆x / s Æ substitusi ke pers. (2.4.5)

∆ Y = lim s

Kriteria Kestabilan

Sistem akan STABIL jika semua akar denominator dari FT adalah NEGATIF , yaitu: negatif untuk akar nyata dan negatif untuk bagian real dari akar complex. Lihat Gambar bidang kompleks (Gambar 2.4.3)

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 46

2.4. Karakt erist ik Respon Proses

Gambar 2.4.3. Complex Plane

STABIL STABIL

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 47

2.5. Linearisasi

Mengapa Mengapa perlu perlu linearisasi linearisasi ? ?

Salah satu kesulitan dalam analisis respon dinamik untuk proses adalah sifat ketidak-linearan proses tersebut. Metode Transformasi Laplace (TL) yang telah kita pelajari dapat menggambarkan dinamika sistem proses. Sayangnya, hanya sistem linear saja yang dapat dianalisa dengan TL. Dan, tidak ada teknik lainnya yang dapat digunakan untuk analisis dinamik sistem non-linear.

Linearisasi digunakan untuk mendekati respon sistem non-linear dengan PD linear yang kemudian dapat dianalisa dengan TL

Pendekatan linear terhadap sistem non-linear dapat diterima (valid) untuk daerah yang dekat dengan beberapa titik dasar (base point) yang dibuat. Maka, kita akan memilih kondisi tunak awal sebagai base point.

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 48

Beberapa Beberapa fungsi fungsi non non - - linear yang linear yang umum umum : : ☺ Entalpi (H), sebagai fungsi suhu (T):

2 3 H 4 []

T () t = H 0 + a 1 T () t + a 2 T () t + a 3 T () t + a 4 T () t … (2.5.1)

dimana: H 0 ,a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 , dan a 4 adalah konstanta. ☺ Pers. Antoine: tekanan uap (p 0 ) sebagai fungsi suhu (T)

0 A B T t p C T t e − [ () [] + () = ]

… (2.5.2) dimana: A, B, dan C adalah konstanta. ☺ Fraksi mol uap setimbang (y), sebagai fungsi fraksi mol cairan (x)

α x () t

y [] x () t =

1 + ( α − 1 )() x t

dimana: α adalah volatilitas relatif, biasanya diasumsikan konstan.

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 49

2.5. Linearisasi ☺ Laju aliran (f), sebagai fungsi pressure drop (∆p):

f [ ∆ p () t ] = k ∆ p () t

dimana: k adalah koefisian kunduktansi konstan. ☺ Laju perpindahan panas radiasi q, sebagai fungsi suhu (T)

q [] T () t = εσ AT 4 () t

… (2.5.5) dimana: ε , σ , dan A adalah konstanta.

☺ Pers. Arhenius: ketergantungan koef. laju reaksi (k) terhadap (T)

() t [] ] T () t = k

− E [ RT

0 e … (2.5.6)

dimana: α k 0 , E, dan R adalah konstanta.

☺ Pers. Laju reaksi (r): sebagai fungsi suhu (T), dan konsentrasi C A ,C B .

[ T ()()() t , c A t , c B t ,... ] = k []()() T () t c A t c B t ...

… (2.5.7) dimana: k[T(t)] = pers. (2.7.6); a, dan b adalah konstanta.

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 50

2.5. Linearisasi Linearisasi Linearisasi Fungsi Fungsi Satu Satu Variabel Variabel

Semua fungsi dapat dikembangkan ke dalam deret Taylor sekitar base point:

f 2 []()

x () t = f x + [ x () t − x ] +

df 2 1 d f

[ x () t − x ] + 2 … (2.5.8) L

dx x

2 ! dx x

dimana: x adalah base value x disekitar fungsi yang diekspansi. Dalam linearisasi, bentuk order dua atau lebih dari pers. (2.5.8) dapat

diabaikan, sehingga menjadi:

df

f []() x () t = f x + [ x () t − x ]

dx x

Pers. (2.5.9) adalah fungsi dasar linearisasi yang diilustrasikan pada Gambar 2.5.1. Karena x adalah konstan, maka persamaan disebelah kanan tanda sama dengan adalah linear dalam variabel x(t)

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 51

Gambar 2.5.1 Pendekatan linear adalah tangen dari fungsi non-linear

pada base point x

Garis tangen

df 1 dx x

f [] x () t f () x

Fungsi non-linear

x(t)

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 52

2.5. Linearisasi

Contoh 2.5.1:Linearisasi Pers. Arrhenius

Base point: k () T = 100 [] sec

Energi aktivasi, E = 22000 kcal/kmol, & R = 1.987 kcal/kmol-K Perkirakan error pada slope dalam rentang ±10 o

C di sekitar T = 300 o C

Penyelesaian Penyelesaian : :

Aplikasi Pers. (2.5.9) ke (2.5.6):

k [] T () t = k () T + [ T () t − T ]

dk

dT T

( RT ( t ) = ) [

− E () R T E = E

k () T

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 53

2.5. Linearisasi

300 C ( 1 . 987 )( 300 + 273 )

C Jadi diperoleh pendekatan linear: k [] T () t = 100 + 3 . 37 [ T () t − T ]

Dalam range 290 – 310 o

C, diperoleh nilai actual dan slope:

T = 290 o C , k () T = 70 . 95 sec − 1 , dk dT T = 2 . 48 sec − 1 / o C

T = 310 o C , k T

() − = 139 . 3 sec 1 , dk dT

T = 4 . 54 sec − 1 / o C

Sebagai perbandingan: dituliskan pendekatan linear berikut: k (290 o

Æ error = –6.6% k (310 o

C) = 100 + 3.37(290 – 300) = 66.3 sec -1

C) = 100 + 3.37(310 – 300) = 133.7 sec -1 Æ error = –4%

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 54

Linearisasi Linearisasi Fungsi Fungsi Dua Dua Variabel Variabel atau atau Lebih Lebih Ekspansi deret Taylor untuk dua variabel atau lebih:

f [ x 1 ()() t , x 2 t , L ]( = f x 1 , x 2 , L ) + [ x 1 () t − x 1 ] + [ x 2 () t − x 2 ] + L (2.5.10)

dx 1 dx 2

dimana: ∂ f ∂ = f

dan x 1 , x 2 , L adalah base value dari

masing-masing variabel

Contoh 2.5.2: kasus sederhana luas (a) segi empat adalah fungsi dari panjang (w) dan lebar (h):

a [ w ()() t , h t ] = w ()() t h t

Linearisasi : a [ w ()() t , h t ] = a () w , h +

[ w () t − w ] +

[ h () t − h ]

∂ w () w , h ∂ h () w , h

a [ w ()() t , h t ] = a () w , h + h [ w () t − w ] + w [ h () t − h ]

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 55

2.5. Linearisasi

Gambar 2.5.2 Error pendekatan linear dari luas segi empat

w [h(t) – h]

error

w h(t)

h a(w,h) = w h

w=2m dan h=1m Æ Luas pada base point: a = 2 m 2 Increment: w(t) = 2.2 m dan h(t) = 1.1 m Æ a actual = 2.42 m 2 Luas pendekatan = 2 + 1(0.2) + 2(0.1) = 2.40 m 2

error = 2.42 – 2.40 = 0.02 m 2 Luas daerah arsiran = (0.2)(0.1) = 0.02 m 2

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 56

2.5. Linearisasi

Contoh 2.5.3: Linearisasi Pers. densitas gas ideal sbg fungsi tekanan dan suhu

Mp () t

ρ [ p ()() t , T t ] =

Fungsi densitas non-linear

RT () t

Untuk evaluasi, kita menggunakan gas udara: M = berat molekul = 29 [kg/kmol] ; IB = tekanan absolut = 101.3 kPa

T = suhu absolut [K] ; & R = 8.314 kPa-m 3 /kmol-K

Penyelesaian Penyelesaian : :

Aplikasi Pers. (2.5.10):

ρ [ p ()() t , T t ] = ρ () p , T + [ p () t − p ] + [ T () t − T ]

∂ ⎡ Mp t ⎤

Dimana:

= p dp ⎢ RT ⎥

⎣ () t ⎦ () p , T R T

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 57

∂ ⎡ Mp () t ⎤ M = p = −

⎢ ⎣ RT t

∂ T dT

() ⎦ () p , T R T

Jadi pendekatan fungsi densitas linear

M ρ p [ p ()() t , T t ] = + [ p () t − p ] −

[ T () t − T ]

Secara numerik:

ρ [ p ()() t , T t ] = 1 . 178 + 0 . 01163 [ p () t − p ] − 0 . 00393 [ T () t − T ]

Dengan satuan:

ρ = [kg/m 3 ], p = [kPa], T = [K]

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 58

2.5. Linearisasi Linearisasi Linearisasi Persamaan Persamaan Diferensial Diferensial

Pertimbangkan PD Order satu dengan satu input berikut:

dy () t

= g [ x ()() t , y t ] + b … (2.5.11)

dt

dimana: g [x(t),y(t)] adalah fungsi non-linear dengan input x(t), output y(t), dan b adalah konstanta.

0 = g () x , y + b … (2.5.12)

Pada kondisi tunak awal:

Base point: x = x () 0 , y = y () 0

Pers. (2.5.11) – (2.5.12):

dy () t

= g [ x ()() t , y t ] − g () x , y

dt

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 59

2.5. Linearisasi Linearisasi fungsi multi-variabel dari pers. (2.5.13):

dy () t ∂ g ∂ g … (2.5.14)

[ x () t − x ] +

[ y () t − y ]

Term deviasi

∴ Diperoleh PD linear dalam term deviasi:

dY () t

a … (2.5.15)

1 X () t + a 2 Y () t

dt

dimana: a 1 = ∂ g ∂ x

Catatan: 1. Konstanta b di pers. (2.5.11) hilang. Tidak ada suatu konstanta

dalam persamaan yang dinyatakan dalam term deviasi (2.5.15).

2. Pada kondisi awal: Y(0) = y(0) – y(0) = 0

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 60

Contoh 2.5.4: Linearisasi PD multi variabel

Dari neraca massa RATB, dihasilkan PD non-linear berikut:

dc A () t 1 1

f ()() t c Ai t − f ()() t c A t − k [] T () t c A () t

dt

k [T(t)] = pers. non-linear yang telah dilinearkan (lihat contoh 2.5.1) V dianggap konstan, f(t) = laju alir reaktan, c Ai = konsetrasi reaktan masuk

reaktor, c A = konsetrasi reaktan keluar reaktor, T(t) = suhu keluar reaktor

Penyelesaian Penyelesaian : :

dc A () t = g [ f ()()()() t , c Ai t , T t , c A t ]

dt

f ()() t c Ai t − f ()() t c A t − k [] T () t c A () t

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 61

2.5. Linearisasi Aplikasi pers. (2.5.15):

dC A () t = a 1 F () t + a 2 C Ai () t + a 3 Γ () t + a 4 C A () t

dt

dimana: C A () t = c A () t − c A , F () t = f () t − f , C Ai () t = C Ai () t − C Ai

Γ ()() t = T t − T adalah variabel-variabel deviasi

a 1 ,a 2 ,a 3 , dan a 4 diperoleh dengan turunan parsial fungsi g berikut: ∂ g c Ai − c A ∂ g f

∂ f V ∂ c Ai V

= − k () T 2 c A 4 ()

Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 62

2.5. Linearisasi

Pindah term C A (t) ke kiri, dan bagi dengan –a 4 , diperoleh:

dC () t

A () t = K 1 F () t + K 2 C Ai () t + K 3 Γ () t

a 4 f + Vk () T

a 4 f + Vk () T

a 2 f a 3 Vk () T E c

4 f + Vk () T

a 4 2 R T [ f + Vk () T ]

Dengan Transformasi Laplace, diperoleh:

A () =

F () s + 2 C Ai () s +

Γ () s

Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY DI NPRO / I I / 63