Makalah buku matematika (1)
8.3 KURVA
Sebagai salah satu terapan pentinng kalkulus vector , marilah kita pelajari fakta
dasar tentang kurva di dalam ruang . Pembaca akan mengetahui bahwa kurva
dijumpai di dalam berbagai masalah , baik di dalam kalkulus maupun fisika ,
misalnya , sebagai lintasan partikel yang bergrerak . perlu dikemukakan bahwa
studi tentang kurva dan permukaan di dalam ruang dengan menggunakan kalkulus
merupakan suatu cabang matematika yang penting dinamakan geometri
diferensial .
Jika kita menggunakan suatu sistem koordinat Kartesius , kita dapat
mempresentasikan sebuah kurva C dengan suatu fungsi vektor ( gambar 182)
(1)
r(t) = [x(t) ,
y(t) ,
z(t)] = x(t)I + y(i)t + z(t)k ;
Untuk setiap nilai t0 dari peubah nyata t kita menghubungkannya dengan sebuah
titik pada C yang mempunyai vektor posisi r(t0) , yang berarti berkoordinat x(t0),
y(t0) , z(t0) .
Representasi yang berbentuk (1) dinamakan representasi parametric kurva C ,
dan t dinamakan parameter representasi ini . Representasi semacam ini bermanfaat
dalam banyak penerapan , misalnya di dalam mekanika, dengan t menyatakan
waktu .
Representasi lain bagi kurva di dalam ruang adalah
(2)
y = f(x) ,
z = g(x)
Dan
(3)
F(x,y,z) = 0 ,
G(x,y,z ) = 0
Di dalam (2), fungsi y =f(x) merupakan proyeksi kurva tersebut ke bidang – xy ,
sedangkan z = g(x) dalah proyeksi kurva itu ke bidang –xz . di dalam (3) , setiap
persamaan merepresentasikan suatu permukaan , dan kurva itu adalah
perpotongan kedua permukaan tersebut .
Kurva bidang ialah suatu kurva yang terletak pada suatu bidang di dalam ruang .
Kurva yang bukan kurva bidang dinamakan kurva terpuntir (twisted curve ) .
Teladan 1. Garis Lurus
Sembarang garis lurus L dapat direpresentasikan dalam bentuk
(4)
r(t)= a + tb = (a1 + tb1) I + (a2 + tb2 ) j + ( a3 + tb3 )
k
Atau , dalam notasi yang lain ,
r(t) = [ a1 + tb! , a2 + tb2 , a3 + tb3 ] ,
dengan a dan b adalah vektor konstanta . L melalui titik A dengan posisi r = a dan
mempunyai arah (gambar 183 ) . jika b suatu vektor satuan , komponenkomponennya merupakan kosinus arah garis L , dan dalam hal ini , │t
│mengukur jarak titik – titik pada L ke A . misalnya , garis lurus pada bidangxy yang melalui A: (3,2 ) dan berkemiringan 1 adalah
r(t) = [ 3 , 2 , 0 ] + t ( 1 , 1 , 0 ] = [ 3 + t , 2 + t , o ]
Teladan 2 . Elips , lingkaran
Fungsi vektor
(5)
r(t) = a cos t i = b sin t j
Merepresentasikan suatu elips pada bidang – xy dengan pusat di titik asal dan
sumbu – sumbu utama dalam arah sumbu - x dan sumbu – y . Dan memang ,
karena cos 2 t + sin 2 t = 1 , maka kita memperoleh dari (5)
x2
a2
+
y2
b2
=1, z=0.
Jika b = a , (5) merepresentasikan suatu lingkaran berjari-jari a . misalnya , r(t) = 4
cos t i + 2 sin t j merepresentasikan elips
1
16
x2 +
1 2
y = 1 . dengan setengah sumbu – sumbunya 4 dan 2 .
4
Teladan 3 . Heliks melingkar
Kurva terpuntir C yang dipresentasikan oleh fungsi vektor
(6)
r(t) = a cos t i + a sin t j + ct k
Dinamakan heliks melingkar . Kurva ini terletak pada silinder x 2 + y 2 = a2 .
Jika c > 0 , heliks itu membentuk sekrup atau uliran tangan-kanan ( gambar
184 ) . Jika c < 0 , heliks itu membentuk uliran tangan kiri ( Gambar 185 )
misalnya , heliks
r(t) = cos t i + sin t j + tk
membentuk uliran tangan – kanan , terletak pada silinder x 2 + y 2 = 1 dan
mempunyai pitch 2 π , artinya koordinat –z titik titik pada heliks yang
terletak vertical di atas satu sama lain berselisih kelipatan bulat 2 π .
Bagian kurva diantara dua titik pada kurva sering dinamakan busur suatu kurva .
untuk kemudian kita akan menggunakan istilah yang sama “kurva” untuk
menyatakan seluruh kurva maupun suatu busur kurva .
Suatu kurva mungkin menyinggung atau memotong dirinya sendiri . Titik potong
atau titik singgung itu dinamakan titik ganda . beberapa contohnya diberikan
dalam gamabr 186 . Suatu kurva yang tidak memiliki titik ganda dinamakan
kurva sederhana
Teladan 4 . Kurva sederhana dan kurva bukan sederhana
Elips dan heliks merupakan kurva sederhana . kurva yang direpresentasikan oleh
r(t) =
r2
¿
3
–1)i+
r −1
)j
bukanlah kurva sederhana , sebab kurva ini memiliki titik ganda dua titik asal ; titik
ini padanan dua nilai t = - 1 . dapatkah anda membuat sketsanya ?
Terakhir
perlu dikemukakan bahwa suatu kurva C yang sama dapat
direpresentasikan oleh berbagai fungsi vektor . misalnya , jika C
dinyatakan oleh (1) dan kemudian kita ambil t = h (t*) , maka kita
memperoleh sebuah fungsi vektor baru ř(t*) yang juga
Merepresentasikan C , asalkan h(t*) mecakup semua nilai t yang muncul di dalam
(1) . misalnya , jikaC adalah lintasan sebuah benda B yang bergerak
dan t adalah waktu , penukaran parameter t = h(t*) berimplikasi
bahwa gerak B berubah waktunya , namun lintasannya tetap sama .
Teladan 5 . Penukaran Parameter
Parabola y =
x 2 pada bidang –xy dapat dipresentasikan oleh fungsi vektor
r(t) = ti +
t
2
( −∞< t< ∞¿
j
jika kita ambil t = -2t* , kita memperoleh representasi lain bagi parabola yang sama
:
ř(t*) = r(-2t*) = -2t* + 4t*
jika kita ambil t = t*
2
, kita peroleh
ř(t*)
=t*
2
i + t*
4
j
2
j
namun fungsi ini merepresentasikan hanya bagian parabola yang terletak didalam
kuadran pertama , sebab t* 2 ≥ 0 untuk semua t* .
di dalam pasal berikut , kita akan melanjutkan pembahasan kita tentang kurva
dengan menguak makna gemoetrik turunan suatu fungsi vektor dalam kaitan
dengan tangen suatu kurva , dan dengan membahas panjang suatu kurva . ini akan
mencakup pengenalan fungsi panjang busur s suatu kurva , yang ternyata
merupakan suatu parameter yang sangat berguna di dalam representasi
geometric .
8.4 Garis Tangen , Panjang Busur Suatu Kurva
Garis tangen sebuah kurva C dititik P dan C didefinisikan sebagai posisi limit garis
lurus L yang melalui titik P dan titik lain Q pada C jika Q semakin mendekati P
sepanjang kurva itu ( Gambar 187 )
Misalkan bahwa C direpresentasikan oleh sebuah fungsi vektor r(t) yang
terdiferensialkan secara kontinu dengan t sembarang parameter . Jika P dan Q
masing-masing adalah padanan t dan t + ∆ t , arah L mengikuti vektor
1
Δt
+ [r(t +
Δt
) – r(t) ] .
Oleh karena itu , jika turunan vektor r yakni vektor
(1)
r
1
(t) =
lim
Δ→ 0
1
Δt
[ r(t +
Δt
) – r(t) ]
Bukan vektor nol ,ia mempunyai arah yang sama dengan garis tangen terhadap C di
P . Vektor ini menunjuk kea rah naiknya nilai-nilai t , dan oleh karena itu arahnya
tergantung pada orientasi kurva tersebut . vektor r 1 dinamakan vektor tangen
kurva C di P . vektor satuannya
(2)
u=
1
1│
│r
r1
Dinamakan vektor tangen satuan kurva C di P . kedua vektor
menunjuk ke arah naiknya nilai-nilai t .
r
1
dan u
Sekarang vektor posisi sebuah titik T pada garis tangen ini merupakan jumlah
vektor posisi r titik P dan sebuah vektor salam arah garis tangen itu . jadi , suatu
representasi parametric bagi garis tangen itu adalah ( Gambar 188 )
(3)
q(w) = r +
w r1
,
1
Dalam hal ini r dan
keduanya tergantung pada P dan parameter w
r
merupakan suatu perubah nyata .
Teladan 1 . Garis tangen suatu elips
Tentukan garis tangen suatu elips
1
4
x2 +
y2
= 1 di P :
√ 2,
1/
√2
.
Jawab . r(t) = 2 cos t i + sin t j , sehingga
merupakan padanan t =
= [ −√2 ,
i + (1/
√2
1/
√2
π /4
r
1
, sebab 2 cos (
(t) =
sin t i + cos t j , dan P
−¿
π /4 ) =
√2
. jadi ,
r
1
( π /4 )
] , sehingga garis tangen yang dinyatakan adalah
q(w) = [
)(1+w)j.
√ 2,
1/
√2
] + w[ −√ 2 ,
1/
√2
]=
√2
(1- w )
untuk mengecek hasilnya , buatlah sebuah sketsa elips dan garis tangen itu .
vektor tangen berguna bagi langkah kita selanjutnya , yaitu memperkenalkan
dua konsep yang berkaitan , panjang I suatu kurva dan panjang busur s suatu kurva
.
Panjang suatu kurva
Untuk mendefinisikan panjang sebuah kurva C , kita dapat menempuh jalan berikut.
Kita siapkan ke dalam C suatu garis pattah – patah , yang terdiri atas n ruas garis ,
yang menghubungkan kedua titik ujung kurva C seperti ditunjukkab di dalam
Gambar 189 . ini kita lakukan untuk setiap bilangan bulat positif n sedemikian rupa
sehingga panjang ruas garis maksimum mendekati nol untuk n mendekati tak
hingga . panjanggaris patah – patah itu dapat diperoleh berdasarkan teorema
pitagoras . jika barisan panjang-panjang I 1 , I 2 , . . . itu konvergen , dengan
limit I , maka C dikatakan terektifikasi atau mempunyai panjang (rectifiable ) ,
dan I adalah panjang kurva C
Jika c dapat direpresentasikan oleh sebuah fungsi vektor
r = r(t)
(a ≤
t
≤
b),
2
yang terdiferensialkan secara
, maka dapat ditunjukkan bahwa C
kontinu
terektifikasi , dan panjangnta I diberikan oleh integral
b
(4)
I=
∫ √ r1
. r1
1
dt
(r =
a
dr
)
dt
.
Yang nilainya tidak tergantung pada reoresebntasi parametric yang digunakan .
Bukti untuk ini sangat mirip dengan bukti untuk kurva bidangh yang biasanya
dibahas di dalam kuliah-kuliah kalkulus dasar ( lihat Acuan [18] ) dan dapat
ditemukan dalam Acuan [B6] di dalam Apendiks 1 . secara umum , perhitungan
dengan menggunakan (4) biasanya sulit .
Panjang Busur s suatu kurva
Kalau batas atas b di dalam (4) kita ganti dengan suatu peubah t ,integral itu
menjadi suatu fungsi dari t , katakanlah s(t) ; dengan melambangkan peubah
integrasinya dengan t , kita memperoleh
t
(5)
∫ √ r1
s(t) =
. r1
1
( r=
dt
a
dr
¿
dt
Fungsi s(t) ini dinamakan fungsi panjang busur atau , singkatnya , panjang busur
kurva C .
t0
Dari pembahasan kita , secara geometris bahwa , untuk suatu nilai tertentu t =
≥ a , panjang busur s( t 0 ¿ adalah panjang bagian kurva C antara titik
padanan t = a dengan titik padanan t=
s( t 0 ¿
t0
. untuk t=
< 0 , sehingga panjangnya adalah - s( t 0 ¿
t0
< a , kita memperoleh
.
Kosnstanta a di dalam (5) dapat diganti dengan kosntanta lain ; artinya titik pada
kurva padanan yang membuat s = 0 dapat dipilih sekehendak kita . arah naiknya
nilai – nilai s dinamakan arah positif pada C ; dengan cara ini setiap representasi
r(s) atau r(t) bagi C mendefinisakan orientasi tertentu bagi C jelaslah , ada dua
cara untuk mengorientasikan C ; dan kiranya tidak sukar untuk melihat bahwa
pengubahan dari orientasi yang satu ke orientasi lawannya dapat diperoleh melalui
suatu transformasi , yang turunnya sangat negative , terhadap parameternya .
Dari (5) kita memperoleh melalui pendiferensialan dan pengkuadratan
(6)
)
2
(
+(
dz
dt
)
2
ds
dt
)
2
=
dr
dt
.
dr
dt
=(
dx
dt
.
Sudah menajdi kelaziman untuk menuliskan
Dr= [ dx , dy , dz ] = dx i + dy j + dz k
)
2
+(
dy
dt
Dan
ds 2
(7)
= dr.dr =
dx 2
dy 2
+
+
dz 2
Ds dinamakan unsur linear kurva C .
Perhatikan bahwa (6) juga dapat dituliskan sebagai
(8)
(
ds
dt
2
)
=
│r 1 (t ) 2
Panjang busur s dapat berperan sebagai parameter di dalam representasi
parametric suatu kurva. Sebagai akan kita lihat , ini akan menyederhanakan
berbagai rumus .
Sebagai kasus pertama yang penting , akan kita perlihatkan bahwa penggunaan s
menyederhanakan rumus (2) bagi vektor tangen satuan :
(9)
r 1 (s)
u(s) =
Dengan mudah ini dapat diperoleh dari (8) dengan t = s karena ds/ds = 1 .
Teladan 2 . Heliks
Parameter
melingkar
,Lingkaran
,
Panjang
Busur
Sebagai
untuk heliks dalam teladan 3 pasal 8.3 ,
r(t) = a cos i + a sin t j + ctk
kita memperoleh
r 1 (t)
Dari sini ,
1
r .r
= - a sin t i + a cos t j + ck
1
=
a
2
+
c
2
, sehingga (5) menghasilkan
t
S=
∫ √ a2
+
c2
dt=t
√ a2
+
c2
0
2
Dengan demikian t = s / √ a 2 +
, sehingga rumus bagi heliks dengan
c
panjang busur s sebagai parameter adalah
r*(s) = r (
cs
√ a2 +c 2
s
√ a +c 2
) = a cos
2
s
√ a +c 2
2
i + a sin
s
√ a +c 2
2
j +
k.
dengan mengambil c = 0 , kita memperoleh t = s/a dan representasi
r(
s
) = a cos
a
s
a
i + a sin
s
a
j.
bagi lingkaran berjari-jari a . orientasi lingkaran ini berlawanan arah dengan gerak
jarum jam , yang sejalan dengan naiknya nilai-nilai s . dengan mengambil s =
-s* dan dengan menggunakan rumus- rumus cos (- α ) cos α dan sin (α ¿ = sin α , kita memperoleh
s∗¿
r ( a ) = a cos
−¿
s∗¿
a
¿
i – a sin
s∗¿
a
¿
j;
kita memperoleh ds/ds* = -1 < 0 , dan orientasi lingkaran sekarang ini sama
dengan gerak jarum jam .
Sebagai salah satu terapan pentinng kalkulus vector , marilah kita pelajari fakta
dasar tentang kurva di dalam ruang . Pembaca akan mengetahui bahwa kurva
dijumpai di dalam berbagai masalah , baik di dalam kalkulus maupun fisika ,
misalnya , sebagai lintasan partikel yang bergrerak . perlu dikemukakan bahwa
studi tentang kurva dan permukaan di dalam ruang dengan menggunakan kalkulus
merupakan suatu cabang matematika yang penting dinamakan geometri
diferensial .
Jika kita menggunakan suatu sistem koordinat Kartesius , kita dapat
mempresentasikan sebuah kurva C dengan suatu fungsi vektor ( gambar 182)
(1)
r(t) = [x(t) ,
y(t) ,
z(t)] = x(t)I + y(i)t + z(t)k ;
Untuk setiap nilai t0 dari peubah nyata t kita menghubungkannya dengan sebuah
titik pada C yang mempunyai vektor posisi r(t0) , yang berarti berkoordinat x(t0),
y(t0) , z(t0) .
Representasi yang berbentuk (1) dinamakan representasi parametric kurva C ,
dan t dinamakan parameter representasi ini . Representasi semacam ini bermanfaat
dalam banyak penerapan , misalnya di dalam mekanika, dengan t menyatakan
waktu .
Representasi lain bagi kurva di dalam ruang adalah
(2)
y = f(x) ,
z = g(x)
Dan
(3)
F(x,y,z) = 0 ,
G(x,y,z ) = 0
Di dalam (2), fungsi y =f(x) merupakan proyeksi kurva tersebut ke bidang – xy ,
sedangkan z = g(x) dalah proyeksi kurva itu ke bidang –xz . di dalam (3) , setiap
persamaan merepresentasikan suatu permukaan , dan kurva itu adalah
perpotongan kedua permukaan tersebut .
Kurva bidang ialah suatu kurva yang terletak pada suatu bidang di dalam ruang .
Kurva yang bukan kurva bidang dinamakan kurva terpuntir (twisted curve ) .
Teladan 1. Garis Lurus
Sembarang garis lurus L dapat direpresentasikan dalam bentuk
(4)
r(t)= a + tb = (a1 + tb1) I + (a2 + tb2 ) j + ( a3 + tb3 )
k
Atau , dalam notasi yang lain ,
r(t) = [ a1 + tb! , a2 + tb2 , a3 + tb3 ] ,
dengan a dan b adalah vektor konstanta . L melalui titik A dengan posisi r = a dan
mempunyai arah (gambar 183 ) . jika b suatu vektor satuan , komponenkomponennya merupakan kosinus arah garis L , dan dalam hal ini , │t
│mengukur jarak titik – titik pada L ke A . misalnya , garis lurus pada bidangxy yang melalui A: (3,2 ) dan berkemiringan 1 adalah
r(t) = [ 3 , 2 , 0 ] + t ( 1 , 1 , 0 ] = [ 3 + t , 2 + t , o ]
Teladan 2 . Elips , lingkaran
Fungsi vektor
(5)
r(t) = a cos t i = b sin t j
Merepresentasikan suatu elips pada bidang – xy dengan pusat di titik asal dan
sumbu – sumbu utama dalam arah sumbu - x dan sumbu – y . Dan memang ,
karena cos 2 t + sin 2 t = 1 , maka kita memperoleh dari (5)
x2
a2
+
y2
b2
=1, z=0.
Jika b = a , (5) merepresentasikan suatu lingkaran berjari-jari a . misalnya , r(t) = 4
cos t i + 2 sin t j merepresentasikan elips
1
16
x2 +
1 2
y = 1 . dengan setengah sumbu – sumbunya 4 dan 2 .
4
Teladan 3 . Heliks melingkar
Kurva terpuntir C yang dipresentasikan oleh fungsi vektor
(6)
r(t) = a cos t i + a sin t j + ct k
Dinamakan heliks melingkar . Kurva ini terletak pada silinder x 2 + y 2 = a2 .
Jika c > 0 , heliks itu membentuk sekrup atau uliran tangan-kanan ( gambar
184 ) . Jika c < 0 , heliks itu membentuk uliran tangan kiri ( Gambar 185 )
misalnya , heliks
r(t) = cos t i + sin t j + tk
membentuk uliran tangan – kanan , terletak pada silinder x 2 + y 2 = 1 dan
mempunyai pitch 2 π , artinya koordinat –z titik titik pada heliks yang
terletak vertical di atas satu sama lain berselisih kelipatan bulat 2 π .
Bagian kurva diantara dua titik pada kurva sering dinamakan busur suatu kurva .
untuk kemudian kita akan menggunakan istilah yang sama “kurva” untuk
menyatakan seluruh kurva maupun suatu busur kurva .
Suatu kurva mungkin menyinggung atau memotong dirinya sendiri . Titik potong
atau titik singgung itu dinamakan titik ganda . beberapa contohnya diberikan
dalam gamabr 186 . Suatu kurva yang tidak memiliki titik ganda dinamakan
kurva sederhana
Teladan 4 . Kurva sederhana dan kurva bukan sederhana
Elips dan heliks merupakan kurva sederhana . kurva yang direpresentasikan oleh
r(t) =
r2
¿
3
–1)i+
r −1
)j
bukanlah kurva sederhana , sebab kurva ini memiliki titik ganda dua titik asal ; titik
ini padanan dua nilai t = - 1 . dapatkah anda membuat sketsanya ?
Terakhir
perlu dikemukakan bahwa suatu kurva C yang sama dapat
direpresentasikan oleh berbagai fungsi vektor . misalnya , jika C
dinyatakan oleh (1) dan kemudian kita ambil t = h (t*) , maka kita
memperoleh sebuah fungsi vektor baru ř(t*) yang juga
Merepresentasikan C , asalkan h(t*) mecakup semua nilai t yang muncul di dalam
(1) . misalnya , jikaC adalah lintasan sebuah benda B yang bergerak
dan t adalah waktu , penukaran parameter t = h(t*) berimplikasi
bahwa gerak B berubah waktunya , namun lintasannya tetap sama .
Teladan 5 . Penukaran Parameter
Parabola y =
x 2 pada bidang –xy dapat dipresentasikan oleh fungsi vektor
r(t) = ti +
t
2
( −∞< t< ∞¿
j
jika kita ambil t = -2t* , kita memperoleh representasi lain bagi parabola yang sama
:
ř(t*) = r(-2t*) = -2t* + 4t*
jika kita ambil t = t*
2
, kita peroleh
ř(t*)
=t*
2
i + t*
4
j
2
j
namun fungsi ini merepresentasikan hanya bagian parabola yang terletak didalam
kuadran pertama , sebab t* 2 ≥ 0 untuk semua t* .
di dalam pasal berikut , kita akan melanjutkan pembahasan kita tentang kurva
dengan menguak makna gemoetrik turunan suatu fungsi vektor dalam kaitan
dengan tangen suatu kurva , dan dengan membahas panjang suatu kurva . ini akan
mencakup pengenalan fungsi panjang busur s suatu kurva , yang ternyata
merupakan suatu parameter yang sangat berguna di dalam representasi
geometric .
8.4 Garis Tangen , Panjang Busur Suatu Kurva
Garis tangen sebuah kurva C dititik P dan C didefinisikan sebagai posisi limit garis
lurus L yang melalui titik P dan titik lain Q pada C jika Q semakin mendekati P
sepanjang kurva itu ( Gambar 187 )
Misalkan bahwa C direpresentasikan oleh sebuah fungsi vektor r(t) yang
terdiferensialkan secara kontinu dengan t sembarang parameter . Jika P dan Q
masing-masing adalah padanan t dan t + ∆ t , arah L mengikuti vektor
1
Δt
+ [r(t +
Δt
) – r(t) ] .
Oleh karena itu , jika turunan vektor r yakni vektor
(1)
r
1
(t) =
lim
Δ→ 0
1
Δt
[ r(t +
Δt
) – r(t) ]
Bukan vektor nol ,ia mempunyai arah yang sama dengan garis tangen terhadap C di
P . Vektor ini menunjuk kea rah naiknya nilai-nilai t , dan oleh karena itu arahnya
tergantung pada orientasi kurva tersebut . vektor r 1 dinamakan vektor tangen
kurva C di P . vektor satuannya
(2)
u=
1
1│
│r
r1
Dinamakan vektor tangen satuan kurva C di P . kedua vektor
menunjuk ke arah naiknya nilai-nilai t .
r
1
dan u
Sekarang vektor posisi sebuah titik T pada garis tangen ini merupakan jumlah
vektor posisi r titik P dan sebuah vektor salam arah garis tangen itu . jadi , suatu
representasi parametric bagi garis tangen itu adalah ( Gambar 188 )
(3)
q(w) = r +
w r1
,
1
Dalam hal ini r dan
keduanya tergantung pada P dan parameter w
r
merupakan suatu perubah nyata .
Teladan 1 . Garis tangen suatu elips
Tentukan garis tangen suatu elips
1
4
x2 +
y2
= 1 di P :
√ 2,
1/
√2
.
Jawab . r(t) = 2 cos t i + sin t j , sehingga
merupakan padanan t =
= [ −√2 ,
i + (1/
√2
1/
√2
π /4
r
1
, sebab 2 cos (
(t) =
sin t i + cos t j , dan P
−¿
π /4 ) =
√2
. jadi ,
r
1
( π /4 )
] , sehingga garis tangen yang dinyatakan adalah
q(w) = [
)(1+w)j.
√ 2,
1/
√2
] + w[ −√ 2 ,
1/
√2
]=
√2
(1- w )
untuk mengecek hasilnya , buatlah sebuah sketsa elips dan garis tangen itu .
vektor tangen berguna bagi langkah kita selanjutnya , yaitu memperkenalkan
dua konsep yang berkaitan , panjang I suatu kurva dan panjang busur s suatu kurva
.
Panjang suatu kurva
Untuk mendefinisikan panjang sebuah kurva C , kita dapat menempuh jalan berikut.
Kita siapkan ke dalam C suatu garis pattah – patah , yang terdiri atas n ruas garis ,
yang menghubungkan kedua titik ujung kurva C seperti ditunjukkab di dalam
Gambar 189 . ini kita lakukan untuk setiap bilangan bulat positif n sedemikian rupa
sehingga panjang ruas garis maksimum mendekati nol untuk n mendekati tak
hingga . panjanggaris patah – patah itu dapat diperoleh berdasarkan teorema
pitagoras . jika barisan panjang-panjang I 1 , I 2 , . . . itu konvergen , dengan
limit I , maka C dikatakan terektifikasi atau mempunyai panjang (rectifiable ) ,
dan I adalah panjang kurva C
Jika c dapat direpresentasikan oleh sebuah fungsi vektor
r = r(t)
(a ≤
t
≤
b),
2
yang terdiferensialkan secara
, maka dapat ditunjukkan bahwa C
kontinu
terektifikasi , dan panjangnta I diberikan oleh integral
b
(4)
I=
∫ √ r1
. r1
1
dt
(r =
a
dr
)
dt
.
Yang nilainya tidak tergantung pada reoresebntasi parametric yang digunakan .
Bukti untuk ini sangat mirip dengan bukti untuk kurva bidangh yang biasanya
dibahas di dalam kuliah-kuliah kalkulus dasar ( lihat Acuan [18] ) dan dapat
ditemukan dalam Acuan [B6] di dalam Apendiks 1 . secara umum , perhitungan
dengan menggunakan (4) biasanya sulit .
Panjang Busur s suatu kurva
Kalau batas atas b di dalam (4) kita ganti dengan suatu peubah t ,integral itu
menjadi suatu fungsi dari t , katakanlah s(t) ; dengan melambangkan peubah
integrasinya dengan t , kita memperoleh
t
(5)
∫ √ r1
s(t) =
. r1
1
( r=
dt
a
dr
¿
dt
Fungsi s(t) ini dinamakan fungsi panjang busur atau , singkatnya , panjang busur
kurva C .
t0
Dari pembahasan kita , secara geometris bahwa , untuk suatu nilai tertentu t =
≥ a , panjang busur s( t 0 ¿ adalah panjang bagian kurva C antara titik
padanan t = a dengan titik padanan t=
s( t 0 ¿
t0
. untuk t=
< 0 , sehingga panjangnya adalah - s( t 0 ¿
t0
< a , kita memperoleh
.
Kosnstanta a di dalam (5) dapat diganti dengan kosntanta lain ; artinya titik pada
kurva padanan yang membuat s = 0 dapat dipilih sekehendak kita . arah naiknya
nilai – nilai s dinamakan arah positif pada C ; dengan cara ini setiap representasi
r(s) atau r(t) bagi C mendefinisakan orientasi tertentu bagi C jelaslah , ada dua
cara untuk mengorientasikan C ; dan kiranya tidak sukar untuk melihat bahwa
pengubahan dari orientasi yang satu ke orientasi lawannya dapat diperoleh melalui
suatu transformasi , yang turunnya sangat negative , terhadap parameternya .
Dari (5) kita memperoleh melalui pendiferensialan dan pengkuadratan
(6)
)
2
(
+(
dz
dt
)
2
ds
dt
)
2
=
dr
dt
.
dr
dt
=(
dx
dt
.
Sudah menajdi kelaziman untuk menuliskan
Dr= [ dx , dy , dz ] = dx i + dy j + dz k
)
2
+(
dy
dt
Dan
ds 2
(7)
= dr.dr =
dx 2
dy 2
+
+
dz 2
Ds dinamakan unsur linear kurva C .
Perhatikan bahwa (6) juga dapat dituliskan sebagai
(8)
(
ds
dt
2
)
=
│r 1 (t ) 2
Panjang busur s dapat berperan sebagai parameter di dalam representasi
parametric suatu kurva. Sebagai akan kita lihat , ini akan menyederhanakan
berbagai rumus .
Sebagai kasus pertama yang penting , akan kita perlihatkan bahwa penggunaan s
menyederhanakan rumus (2) bagi vektor tangen satuan :
(9)
r 1 (s)
u(s) =
Dengan mudah ini dapat diperoleh dari (8) dengan t = s karena ds/ds = 1 .
Teladan 2 . Heliks
Parameter
melingkar
,Lingkaran
,
Panjang
Busur
Sebagai
untuk heliks dalam teladan 3 pasal 8.3 ,
r(t) = a cos i + a sin t j + ctk
kita memperoleh
r 1 (t)
Dari sini ,
1
r .r
= - a sin t i + a cos t j + ck
1
=
a
2
+
c
2
, sehingga (5) menghasilkan
t
S=
∫ √ a2
+
c2
dt=t
√ a2
+
c2
0
2
Dengan demikian t = s / √ a 2 +
, sehingga rumus bagi heliks dengan
c
panjang busur s sebagai parameter adalah
r*(s) = r (
cs
√ a2 +c 2
s
√ a +c 2
) = a cos
2
s
√ a +c 2
2
i + a sin
s
√ a +c 2
2
j +
k.
dengan mengambil c = 0 , kita memperoleh t = s/a dan representasi
r(
s
) = a cos
a
s
a
i + a sin
s
a
j.
bagi lingkaran berjari-jari a . orientasi lingkaran ini berlawanan arah dengan gerak
jarum jam , yang sejalan dengan naiknya nilai-nilai s . dengan mengambil s =
-s* dan dengan menggunakan rumus- rumus cos (- α ) cos α dan sin (α ¿ = sin α , kita memperoleh
s∗¿
r ( a ) = a cos
−¿
s∗¿
a
¿
i – a sin
s∗¿
a
¿
j;
kita memperoleh ds/ds* = -1 < 0 , dan orientasi lingkaran sekarang ini sama
dengan gerak jarum jam .