Matematika Turunan Matematika Turunan Matematika Turunan

2.1. DEFINISI TURUNAN
Turunan dari fungsi f(x) di titik x=a didefisinisikan sebagai gradien dari garis
singgung kurva f(x) di x=a dan diberikan
f ‘ (a) = lim
x



a

f(x) – f(a)
x–a

Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel/dapat diturunkan di x =
a
Misal h = x – a, maka turunan f (x) di x=a dapat dituliskan:
f ‘ (a) = lim
h



0

f(a + h) – f(a)
h

TEOREMA
Bila y = f(x) diferensiabel di x=a maka y=f(x) kontinu di x=a
Teorema tersebut tidak berlaku sebaliknya, yaitu ada fungsi yang kontinu
tetapi tidak diferensiabel.
CONTOH
Tunjukkan bahwa f(x) = |x| kontinu di x = 0 tetapi tidak diferesiabel di x = 0
JAWABAN
Fungsi f(x) kontinu di x = 0 sebab f (0) = lim f(x) = 0
x0
Turunan f(x) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :

Karena -1 = lim |h| ≠ lim
x=0
h  0- h
h  0+

|h| = 1 maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di

h

Sebagaimana pengertian dari keberadaan limit fungsi (limit kiri=limit kanan)
dan kekontinuan fungsi (kontinu kanan dan kontinu kiri) dapat juga
diturunkan suatu pengertian diferensiabel kanan dan diferensiabel kiri.
CONTOH
Tentukan nilai a dan b agar fungsi

{

f ( x ) 2 x−x 2 , x ≤ 1
ax +b , x >1

kemudian tentukan nilai f’1!
JAWABAN
Ditunjukkan f(x) kontinu di x=1 yaitu

diferensiabel di x = 1

x → 1+ ¿ f (x )
=
lim ¿
¿

x → 1+ ¿(ax +b)
atau a + b = 1
lim ¿
¿

Dari diferensial kanan sama dengan diferensial kiri, didapatkan:
f+(1)

f_(1)

lim
f (1 + h) – f
(1)

h0+
h
lim
a (1 + h) – b –
1
h0+
h
lim
ah
h0+ h

lim
f (1 + h) – f (1)
h0
h
lim
2 (1 + h) – (1 +
h)2 - 1
h0h
0

Dari persamaan terakhir
didapatkan nilai a = 0
sehingga nilai b = fungsi
diferensiabel di x = 1 maka
bentuk fungsi yaitu
f(x)
1

=
2x – x2 ; x ≤ 1
;x≥1

Dari perhitungan di atas
maka turunan dari fungsi f(x)
di x = 1 adalah

RUMUS TURUNAN
Untuk menentukan turunan suatu fungsi sangat sulit bilamana harus definisi
formal seperti di atas, namun akan lebih mudah menggunakan rumus-rumus

dibawah ini:

d(xr)
=rx r−1 ; r ∈≈
dx
d(f(x) + g(x)) = d(f(x)) + d(g(x))
dx
dx
dx
d(f(x)/g(x) = g(x)d(f(x)) – f(x)d(g(x))
dx
g2(x)

2.2. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Fungsi trigonometri (sinus dan cosinus) merupaan fungsi kontinu, sehingga
limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan niai fungsinya yaitu
lim sinx = sina
xa

dan

xa

lim cosx = cosa

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan rumus
perhitungan turunan:

d (tanx) d (sinx /cosx)
=
=sec2 x
dx
dx
d (cotx) d (cosx/sinx )
=
=−csc 2 x
dx
dx
d (secx) d (1/cosx)
=
=secxtanx

dx
dx

d (cscx) d( 1/sinx)
=
=−cscxcotx
dx
dx
CONTOH
Diketahui fungsi f(x) = 1 – sin x . Tentukan nilai turunan dari fungsi f(x)!
Cosx
JAWABAN
Misalkan u(x) = 1 – sin x dan v(x) = cos x, maka turunan dari kedua fungsi
berturut-turut adalah u(x) = -cos x dan v(x) = -sin x. Dengan menggunakan
rumus turunan
f’(x) = u ‘ v – v ‘ u maka didapatkan turunan dari f(x)
v2
f’(x) = (- cos x) cos x – (-sin x)(1 – sin x) = sin x – 1
cos2x
cos2x

Nilai turunan fungsi f(x) di x = ∏ adalah
6
f’∏ = sin ∏/6 – 1 = ½ - 1 = - 2
6
cos2 ∏/6 ¾
3

2.3. TEOREMA RANTAI
Untuk mendapatkan turunan dari fungsi komposisi dapat dilakukan dengan
mencari bentuk eksplisit dari hasil komposisi fungsi. Namun dapat dilakukan
dengan cara langsung menggunakan metode atau aturan rantai.
Jika kita memiliki fungsi f(x) = g(h(x)) maka belaku

atau

sehingga

f ‘(x) = g’ (h(x)). h'(x)

CONTOH

f(x) = (x3 – 4x2 + 6x – 7)8 maka f ‘(x) = …
JAWABAN
f ‘(x) = (x3 – 4x2 + 6x – 7)7 m(3x2 – 8x + 6)

2.4. TURUNAN TINGKAT TINGGI
Turunan ke-n
CONTOH

f(n)(x) =
dnf(x)
dxn

Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =

√ 1+ x 2

JAWABAN
Turunan pertama f’(x) =

x

√ 1+ x 2

Turunan kedua digunakan rumus turunan dari fungsi hasil bagi

!

Turunan ketiga
f3(x) =
-3x
(1 + x2)5/2

2.5. FUNGSI IMPLISIT
Fungsi dengan notasi y = f(x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah
bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak
demikian maka dikatakan fungsi implisit. Notasi yang biasa digunakan untuk
menyatakan fungsi implisit adalah F(x,y) = k dengan k merupakan bilangan
real.
CONTOH
Tentukan dy bila y – 4x + 2xy = 5
dx
JAWAB
Bentuk fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit, y = 4x + 5
1 + 2x
Digunakan aturan penururunan didapatkan dy =
-6
dx
(1 + 2x) 2

2.6. KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN KURVA
FUNGSI MONOTON
Misal diberikan kurva y = f(x) dan selang/interval I yang terletak pada
domain dari y = f(x), maka
- Grafik fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada selang f(x ) > f(x ) untuk
1

2

x > x ; x , x €|
1

2

1

2

- Grafik fungsi f(x) dikatakan monoton turun pada selang f(x ) < f(x ) untuk
1

2

x > x ; x , x €|
1

2

1

2

CONTOH
Tentukan selang/interval fungsi monoton naik dan fungsi monoton turun dari
fungsi

f(x) = -2x3 + 2x2 + 2x
JAWABAN
Turunan pertama, f’(x) = -6x2 + 4x + 2. Dari f’(x) = 2(3x+1)(-x+1) maka
fungsi f(x) monoton naik pada – 1/3 < x < 1 dan fungsi f(x) monoton turun
pada xx1.
KECEKUNGAN FUNGSI
Misal diberikan fungsi f(x) dan selang/interval I yang terletak pada domain
dari fungsi f(x), maka
 Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang/interval I bila fungsi


f’(x) monoton naik pada selang/interval I
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada selang/interval I bila
fungs f’(x) monoton turun pada selang/interval I

CONTOH
Tentukan selang/interval kecekungan dari fungsi f(x) = 1 + x2
1+x
JAWABAN
Turunan pertama f’(x) = x2 + 2x – 1
(1 + x2)
Turunan kedua f’’(x) =
4
(1 – x3)
Fungsi cekung ke atas, f’’(x) > 0 pada selang/interval x> -1 dan fungsi
cekung ke bawah pada selang/interval x < -1

2.7. NILAI EKSTRIM DAN ASYMTOT
NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM
Misal diberikan fungsi y = f(x) dan selang/interval I yang memuat x – a, r
 Nilai f(a) disebut nilai ekstrim maksimum pada selang/interval f(a) > f(x)
untuk setiap x € I. Titik dengan koordinat (a,f(a)) dinamai titik maksimum
dari fungsi y = f(x)
 Nilai f(a) disebut nilai ekstrim minimum pada selang/interval I untuk setiap
x € I. Titik dengan koordinat (a,f(a)) dinamai titik minimum dari fungsi y =
f(x)
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari fungsi
f(x) dapat dilakukan dengan Uji Turunan Kedua sebagai berikut:
1. Tentukan turunan pertama dan kedua f’(x) dan f”(x)
2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f’(x) =
0), misalkan nilai stasioner adalah x=a
3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f”(a) < 0, sedangkan nilai f(a)
merupakan nilai minimum bila f”(a) > 0

CONTOH
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f(x) = x 4 + 2x3 + x2 – 5!
JAWABAN
Turunan pertama dari fungsi f(x), f’(x) = 4x 3 + 6x2 + 2x
Nilai stasioner dari f(x) terjadi pada saat f”(x)=0 yaitu di x=-1, x=-½, f”(-½)
= -1 dan fungsi f(x) mencapai maksimum dengan nilai maksimum f(-½) = - 4
15
16
TITIK BELOK
Misal f(x) kontinu di x=b, maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f(x) bila
terjadi perubahan kecekungan di x=b, yaitu di satu sisi kiri x=b cekung ke
atas dan di sisi lain cekung ke bawah atau sebaliknya.
CONTOH
Carilah titik belok (bila ada) dari f(x) = 2x3 – 1
JAWABAN
Dari f(x) = 2x3 – 1 maka f”(x) = 12x. Bila f”(x)=0 maka x=0 merupakan
calon dari titik belok, sehingga untuk menguji apakah x=0 adalah titik belok
dilakukan berikut.
Untuk x0. Oleh karena
itu, di x=0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi (0,-1) merupakan titik belok.
ASYMTOT
Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh
suatu kurva. Asymtot dibedakan menjadi 3 yaitu;
1. Asymtot tegak, x=a
2. Asymtot datar, y =b
3. Asymtot miring, y = ax+b

CONTOH
JAWABAN

GRAFIK FUNGSI
Dalam menggambarkan grafik suatu kurva dapat dilakukan dengan
menentukan terlebih dahulu:
1. Selang/interval kemonotonan
2. Selang/interval kecekungan
3. Titik ekstrim dan jenisnya
4. Titik potong terhadap salib sumbu (sumbu X dan sumbu Y)
5. Titik belok (bila ada)
6. Semua asymtot (bila ada)
7. Titik lain (sembarang) yang dapat membantu memudahkan
menggambarkan grafik

2.8. APLIKASI NILAI EKSTRIM
Penerapan nilai ekstrim banyak dijumpai di sekitar kita, antara lain
bagaimana menyelesaikan permasalahan optimasi pada suatu daerah
tertutup. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut perlu dilakukan
langkah-langkah sebagai berikut;
1. Buatlah sketsa permasalahan dan tandai kuantitas yang terkait dengan
permasalahan tersebut
2. Tentukan rumus yang menyatakan kuantitas tersebut
3. Gunakan kondisi yang ada untuk menyatakan rumusan tersebut ke
dalam fungsi satu peubah
4. Carilah interval dan kemungkinan nilai peubah yang secara fisik menjadi
batas dari permasalahan yang ada
5. Gunakan cara-cara yang ada sebelumnya untuk menyelesaikan
permasalahan optimasi tersebut
CONTOH
Jumlah dua buah bilangan real sembarang sama dengan 10. Tentukan kedua
bilangan tersebut agar hasil kali kedua bilangan tersebut maksimal!
JAWABAN
Misalkan dua bilangan tersebut x dan y, maka berlaku x+y=10. Adapun
fungsi yang menyatakan hasil kali kedua bilangan tersebut dinyatakan f(x) =
xy = x(10 – x) = 10x – x2
Turunan pertama dari fungsi f(x) sama dengan nol didapatkan, f’(x) = 10 –
2x = 0 atau x=5. Jadi kedua bilangan tersebut adalah x=5 dan y=5 agar
hasil kalinya maksimal. Untuk melakukan pengecekan dapat dilihat dari
turunan kedua dari fungsi f(x) di x=5 yaitu f”(x) = -2 < 0

2.9. DALIL DELHOPITAL
Penerapan lain dari turunan pertama dilakukan untuk menghitung limit
fungsi.
Dalam perhitungan limit fungsi seringkali dijumpai bentuk tak tentu dari limit
yaitu
0 , ∞ , 0. ∞ dan ∞−∞
0
∞
Untuk menyelesaikannya digunakan cara yang dikenalkan oleh Delhopital.
Misal lim f(x) = lim g(x)=0 atau lim f(x) = lim g(x)=∞
Maka lim f(x) = lim f’(x)
g(x)
g’(x)
Bila masih dijumpai ruas kanan merupakan bentuk 0 , ∞
0
∞
Maka dilakukan penurunan lagi sehingga didapatkan nilai yang bukan
meripakan bentuk tak tentu tersebut.
CONTOH
Hitunglah limit berikut! lim 1 – cos2x
x→0
x2
JAWABAN
Limit ini mempunyai bentuk 0/0, sehingga untuk menghitungnya dilakukan
dengan cara menurunkan pembilang dan penyebut. Hasil penurunan
pertama ternyata juga masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, sehingga
perlu diturunkan lagi pembilang dan penyebut. Hasil perhitungan limit
diperoleh sebagai berikut
lim 1 – cos2x = lim 2sin2x = lim 4cos2x = 2
x→0
x2
x→0 2x
x→0 2