KTSP | Matematika SMPMTs Kelas

K Kata Pengantar

Alhamdulillah penulis lis panjatkan kehadirat Allah SWT., Atas lim limpahan Ridho, Rahmat,

Berkah, dan Hidayah-Nya seh ehingga penulis dapat menyelesaikan “Diktat Matematika SMP/MTs

Kelas VIII Semester 1 Untuk tuk Guru Edisi Versi 15” tepat pada waktunya. ya. Buku ini bisa berhasil a il ada di tangan Anda juga berkat dukungan da dari semua pihak terutama Orang Tuaku tercinta, Istriku riku tercinta Lenny Janianty, Anakku tersay sayang Muhammad Imam Maulana dan Saudara-saudara araku terkasih yang memberi saya motivasi da dan kekuatan yang sangat besar untuk dapat menyelesai saikannya. Dukungan dari seluruh Dewan Gu Guru dan Karyawan MTs. Najmul Huda Batu Bokah dan an MA. Najmul Huda Batu Bokah juga sangat b t berarti bagi saya.

Buku ini menekankan kan pentingnya keseimbangan kompetensi s i sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan ma atematika yang dituntut dibentuk melalui pem embelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan n pengetahuan tentang metode-metode matema matika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan sua suatu permasalahan secara matematis dan n menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan si n sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan ran.

Penulis menyadari bah bahwa masih banyak kekurangan dalam peny nyusunan Buku ini, oleh karena itu, penulis mengharap rapkan saran dan kritik yang sifatnya memban bangun demi sempurnanya Buku ini. Penulis juga berharap rap semoga Buku ini dapat bermanfaat bagi sem semua pihak. Amiin.

Kediri, 1 J Januari 2015

Yoyo Apri priyanto, S.Pd

BAB OPERASI SUKU ALJABAR

Sub Bab

+ Penjumlahan Aljabar + Pengurangan Aljabar

+ Perkalian Aljabar + Pembagian Aljabar + Penyederhanaan Bentuk Aljabar

Catatanmu

Menyederhanakan bentuk pecahan aljabardengan memfaktorkan.

- ax + bx – cx = x(a + b – c)

- 2 x 2 –y = (x – y)(x + y) - x 2 2 + 2xy + y 2 = (x + y) (x + y) = (x + y)

- x – 2xy + y = (x – y) (x – y) = (x – y)

- x + bx + c = (x + m) (x + n) dengan m × n = c dan m + n = b

Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x 2 + bx + c dengan c positif sebagai berikut. - Pecah c = (m × n) menjadi perkalian faktor-faktornya.

- Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b = (m + n) Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x 2 + bx + c untuk c negatif sebagai berikut.

- Pecah c = (m × n) menjadi perkalian faktor-faktornya. - Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b = (m – n) - Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan b, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya.

Contoh Soal:

1. Faktorkan bentuk aljabar berikut!

2 a. 2 x + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) d. x – 15x – 16 = (x + 1)(x – 16)

2 – 2 8 b. 6 x – 13x + 12 = (x – 1)(x – 12)

c. 2 x + 4x – 12 = (x – 2)(x + 6) –12

Jumlah

Uji Kompetensi Siswa 2.2

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. 2 Bentuk x + 2x – 48 jika difaktorkan

D. (3a – 4b)(3a + 4b) adalah…

A. (x – 6)(x – 8)

8. Pemfaktoran dari 25x² – 49y² adalah…

B. (x + 8)(x – 6)

A. (5a – b) (5a + 49b)

C. (x – 4)(x – 12)

B. (5a + 7b) (5a – 7b)

D. (x + 24)(x –2)

C. (5a – 7b) (5a + 7b)

D. (25a – 7b) (a + 7b)

2. 2 Faktor dari y – 4y – 12 adalah…

2 A. 2 (y – 6) (y + 2) 9. Bentuk faktor dari 4x – 36y adalah…

B. (y + 6) (y – 2)

A. (2x + 6y)(2x – 6y)

C. (y – 3) (y + 4)

B. (2x – 6y)(2x – 6y)

D. (y + 3) (y – 4)

C. (4x – 6y)(x + 6y)

D. (4x + 6y)(x + 6y)

3. 2 Faktor dari 3x + 7x – 6 adalah…

2 A. 2 (3x – 2) (x + 3) 10. Faktor dari 81a – 16b adalah…

B. (3x + 3) (x – 2)

A. (3a – 4b)(27a + 4q)

C. (x + 6) (2x – 1)

B. (3a + 4b)(27a - 4b)

D. (x – 1) (2x + 6)

C. (9a - 4b)(9a + 4b)

D. (9a - 4b)(9a - 4b)

4. 2 Salah satu faktor dari 6x + 11x – 10

2 adalah… 2 11. Faktor dari 49p – 64q adalah…

A. (3x + 5)

C. (2x + 5)

A. (7p – 8q)(7p – 8q)

B. (2x + 2)

D. (3x + 2)

B. (7p + 16q)(7p – 4q)

C. (7p + 8q)(7p – 8q)

5. 2 Bentuk faktor dari 9x – 1 adalah…

D. (7p + 4q)(7p – 16q)

A. (3x + 1)(3x–1)

2 B. 3(3x + 1)(3x – 1) 2 12. Faktor dari 16x – 9y adalah…

C. 3(x +1)(x – 1)

A. (2x + 3y)(8x – 3y)

D. 9(x + 1)(x – 1)

B. (4x – 9y)(4x + y)

C. (4x + 3y)(4x – 3y)

6. 2 Bentuk dar 4x – 1 adalah…

D. (2x + 9y)(8x – y)

A. (4x + 1)(4x – 1)

B. 2(2x + 1)(2x – 1) 2 13. Pemfaktoran dari 4x + 6x adalah…

C. 4(x + 1)(x – 1)

A. (3x + 3)

D. (2x + 1)(2x – 1)

B. 2x (3x– 3)

C. –2x (3x + 3)

2 7. 2 Pemfaktoran dari 9a – 16b adalah…

D. 2x (3x + 3)

A. (3a – 4b)(3a – 4b)

B. (3a + 4b)(3a + 4b)

C. (9a – 16b)(9a + 16b)

BAB RELASI & FUNGSI

Sub Bab

+ Garis Bilangan + Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian & Pembagian

+ FPB dan KPK + Perpangkatan Bilangan Bulat + Penarikan Bentuk Akar

Catatanmu

1. Pengertian Relasi

Relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B, adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan

B.

2. Menyatakan Relasi

a. Diagram Panah

Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi “kurang dari”.

b. Himpunan Pasangan Berurutan

Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi “kurang dari”. Jawab: R = {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

c. Diagram Cartesius

Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi “kurang dari”.

B. Fungsi Atau Pemetaan

1. Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau Pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain. Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah:

A. setiap anggota A mempunyai pasangan di B;

B. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

1. Diketahui diagram panah:

Diagram yang menunjukkan pemetaan/fungsi adalah…

Penyelesaian:

(i) Diagram panah pada (1) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan di B. (ii) Diagram panah pada (2) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu 3 mempunyai dua pasangan di B. (iii) Diagram panah pada (3) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan di B. (iv) Diagram panah pada (4) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu 23 mempunyai dua pasangan di B dan ada anggota A yaitu 3 tidak mempunyai pasangan di B.

2. Menentukan Banyaknya Anggota Himpunan

Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = adan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka

1. a Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalahb

2. b Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalaha .

Uji Kompetensi Siswa 3.1

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Himpunan pasangan berurutan berikut

5. Diketahui himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi ”kurang dari ”

(1). {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a) } adalah…

(2). {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d) }

A. {(1,6), (2,2), (2,4), (3,6)} (3). {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b) }

B. {(1,2), (2,4), (3,2), (3,6)} (4). {{1, a), (2, b), (1, c), (2, d) } Himpunan pasangan berurutan yang

C. {(1,2), (1,4), (1,6), (2,4), (2,6), (3,6)} merupakan pemetaan/fungsi adalah…

2. Jika A = {2, 3, 4, 5} dan B = {3, 4, 5, 6},

C. (2) dan (3)

relasi dari himpunan A ke himpunan B

D. (2) dan (4)

adalah “satu kurangnya dari”. Maka relasi

tersebut jika dinyatakan dengan himpunan

6. Diketahui :

pasangan berurutan adalah… P = {(1,1), (1,2), (2,2), (3,3)}

A. {(2,1), (3,2), (4,3), (5, 6)} R = {(1,1), (2,3), (3,4), (3,5)}

B. {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)} Q = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,1)}

C. {(2,3), (3,4), (4,6), (3,5)} S = {(1,1), (2,3), (3,3), (3,4)}

D. {(2,3), (3,4), (4,5), (5,6)}

Himpunan pasangan berurutan di atas,

3. Perhatikan gambar! yang merupakan fungsi adalah …

7. Diketahui P = {a, b, c, d} dan Q = {1, 2,

5 6 3}. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q adalah…

Relasi dari himpunan A ke himpunan B

A. 81 C. 12 adalah…

A. faktor dari

C. kurang dari

B. 64 D. 7

B. kelipatan dari D. akar dari

8. Diketahui X = {1, 2} dab Y = {a, b, c}.

4. Perhatikan gambar! Banyaknya fungsi yang mungkin dari Y ke X adalah…

A. 5 C. 8

B. 6 D. 9

Aturan dari relasi yang digambarkan dengan diagram panah diatas ini adalah…

A. kurang dari C. faktor dari

B. lebih dari

D. kuadrat dari D. kuadrat dari

A. C.

B. D.

C. Menentukan Nilai Suatu Fungsi

1. Notasi Fungsi

Notasi suatu fungsi:

f:x → y atau f : x → f(x)

Dibaca: “fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B”.

2. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

Domain (daerah asal) = A = {1, 2, 3} Kodomain (daerah kawan) = B = {a, b, c} Daerah Hasil = {a, c}

Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = c Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = a Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = a

Contoh Soal:

1. Fungsi f : x → 3x – 5 dengan X ∈ {–3, –2, –1, 0, 1, 2}. Daerah hasil fungsi f adalah…

Penyelesaian:

f(x) = 3x – 5 Daerah hasil:

f(–3) = 3(–3) – 5 = –9 – 5 = –14 f(–2) = 3(–2) – 5 = –6 – 5 = –11 f(–1) = 3(–1) – 5 = –3 – 5 = –8 f(0) = 3(0) – 5 = 0 – 5 = –5 f(1) = 3(1) – 5 = 3 – 5 = –2 f(2) = 3(2) – 5 = 6 – 5 = 1

Jadi daerah hasilnya yaitu {–14, –11, –8, –5, –2, 1}

2. 2 Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = 7 – 2x – 3x , bayangan –3 oleh fungsi tersebut adalah…

Penyelesaian:

f(x) = 7 – 2x – 3x 2 bayangan –3 yaitu x = –3

substitusi x = –3 ke: f(x) = 7 – 2x – 3x 2

f(–3) = 7 – 2(–3) – 3(–3) 2 = 7 + 6 – 3(9)

3. Menghitung Nilai Fungsi Contoh Soal:

1. 2 Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 1 – 2x .Nilai f ( − 2) adalah…

Penyelesaian:

Substitusi nilai x = 2 − 2 ke fungsi f(x) = 1 – 2x Sehingga f(x) = 1 – 2x 2

2 f( − 2) = 1 – 2.( − 2 )= 1 – 2.(4)= 1 – 8= − 7

2. Diketahui f(x) = 2x – 3, jika f(a) = 7, maka nilai a adalah…

Penyelesaian:

f(x) = 2x – 3, jika f(a) = 7 f(a) =2a – 3

3. Koordinat titik potong fungsi f(x) = 3x – 18 dengan sumbu x adalah…

Penyelesaian:

Fungsi f(x) = 3x – 18 , sumbu x, maka y = 0

Jadi koordinat titik potongnya adalah (6, 0).

4. Jikaf(x) = 3x + 1 dan f(a) = 19 maka nilai a adalah…

Penyelesaian:

f (x) = ax + b f(a) = 19 ⇒ 3a + 1 = 19

3a = 19 – 1

5. Suatu fungsi dari P ke Q dinyatakan sebagai {(1, 2 ), (2, 3), (3, 3 ), (4, 4)}. Notasi itu

2 2 adalah…

Penyelesaian:

f (x) = ax + b f(x) = y Untuk (2, 3) maka x = 2 dan y = 3

3 = 2a + b 2a + b = 3

Untuk (4, 4) maka x = 4 dan y = 4

4 = 4a + b 4a + b = 4

2a + b = 3

Substitusi nilai a = ke: 2a + b = 3

b=3–1 a=

2 b=2

Notasinya f (x) = ax + b⇒f : x → x+2

6. Suatu fungsi didefinisikan oleh rumus f(x) = ax + 5 jika f(–1) = 1, maka rumus fungsinya adalah…

Penyelesaian:

f (x) = ax + b f(x) = ax + 5 f(–1) = 1 ⇒–a + 5 = 1

Rumus fungsinya: f(x) = ax + 5

f(x) = 6x + 5

7. Fungsi f(x) = ax + b, jika f(2) = − 2 dan f( − 3) = 13 maka nilai f(4) adalah…

Substitusi nilai a = − 3 ke: 2a + b = − 2

2( − 3) + b = − 2 − 6+b= − 2

b= − 2+6 b=4

Substitusi nilai a = − 3 dan b = 4 ke: f(x) = ax + b

f(x) = − 3x + 4

maka f(4)

f(4) = − 3(4) + 4 = − 12 + 4 = − 8

Soal Fungsi

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Perhatikan gambar berikut!

2. Perhatikan gambar!

Domain dari diagram panah diatas…

A. {1, 2, 3, 4}

C. {1, 6}

Himpunan daerah hasil (range) dari

B. {1, 2, 6}

D. {3}

diagram panah diatas ini adalah….

A. {1, 4, 9, 10} C. {1, 2, 3, 4, 5}

B. {1, 2, 3, 4}

D. {5}

3. Diketahui rumus fungsi f(x) = –2x + 5. Nilai a + b + c – d adalah… Nilai f(-4) adalah…

9. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = ax + b.

4. Jika f(x) = 3x – 2 dan f(a) = 19. Maka Jika f(–2) = 14 dan f(3) = –1, maka nilai a nilai a adalah…

dan b adalah…

5. Diketahuif(x) = 8x+5 dan f(a) = − 19. 10. Fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = Nilai a adalah…

ax + b. Bila f(2) = 1 dan f(4) = 7, maka

A. –2

C. –4

nilai a + 2b adalah…

6. Suatu fungsi linear didefinisikan dengan

11. Diketahui f(x) = px + q, f(-1) = -5, dan f(x) = ax + b dengan x ∈ R. Jika pada

f(4) = 5. Nilai f(-6) adalah… fungsi tersebut diketahui f(-2) = − 8 dan

C. 7 f(5) = 13, maka nilai a dan b berturut-turut

A. –15

D. 10 adalah…

12. Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus

B. f(x) = mx + n, f(0) = 4, dan f(-1) = 1. -2 dan 3

D. 3 dan -2

Maka nilai f(-3) adalah…

A. –13

C. 5

7. Suatu fungsi didefinisikan f(x) = 7 – x B. -5

D. 13

dengan x ∈ {-2, 0, 2, 4}. Daerah hasil

13. Koordinat titik potong fungsi g(x) = 20 – fungsi tersebut adalah…

5x dengan sumbu y adalah…

8. Diketahui f(x) = 2x – 3, pada himpunan

bilangan bulat dinyatakan dalam pasangan

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Suatu fungsi dirumuskan f:x → 3x – 2 jika

2. Diketahui fungsi f(x) = 2x² – 2x– 12. f(a) = 13, maka nilai a adalah…

Nilai dari f( ) =…

= px + q, f(3) = -10, dan f(-2) = 0. Maka nilai f(-7) adalah…

4. Diketahui f(x) = px + q, f(-2) = -13, dan f(3) = 12. Nilai f(5) adalah…

BAB PERSAMAAN GARIS LURUS

Sub Bab

+ Grafik Persamaan Garis + Kemiringan (Gradien)

+ Persamaan Garis

Catatanmu

Bentuk Umum persamaan garis: y = mx + c.

Contoh Soal:

Gambar persamaan garis 3x – 4y + 24 = 0 adalah…

Penyelesaian:

Gambar grafiknya:

(x, y) (0,6)

Titik (0, 6) dan (–8, 0).

B. Menentukan Kemiringan/Gradien Suatu GariS

1. Gradien dari Persamaan Garis

Bentuk: ax + by + c = 0

m=

Garis miring ke kanan, gradien positif

Garis miring ke kiri, gradien negatif

komponen y

Gradien m =

komponen x

Contoh Soal:

1. Gradien garis dengan persamaan 4x – 2y + 8 = 0 adalah…

m=2 Gradien garis dengan persamaan 4x – 2y + 8 = 0 adalah 2

2. Gradien garis dengan persamaan 3x + 2y = 6 adalah…

Penyelesaian:

3x + 2y = 6 2y = – 3x + 6

y= y=

m= −

Gradien garis dengan persamaan 3x + 2y = 6 adalah −

2. Gradien Melalui Dua Titik (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 )

Gradien m =

Contoh Soal:

1. Gradien garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah…

Penyelesaian:

Garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah:

1 x y 1 x 2 y 2 y 2 − y 1 4 − ( − 6 ) 10 5

Gradien garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah −

Uji Kompetensi Siswa 10.1

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Perhatikan gambar!

B. − 4 D. 4

6. Gradien garis dengan persamaan 5y = 7 – 2x adalah…

A. 2

C. −

2 5 Gradien garis pada gambar di samping

B. D. − 7. Gradien garis 4x – 6y = 24 adalah…

A. C. −

Gradien garis yang melalui titik (-3, 4)

2 3 dan (-8, -6) adalah…

3. Gradien garis dengan persamaan y – 3x

8. Gradien garis -3x – 2y = 7 adalah… = 2 adalah…

4. Gradien garis 2y + x – 4 = 0 adalah…

C.

A. −

2 4 9. Gradien garis 2x – y = 2 adalah…

5. Gradien garis dengan persamaan 4x – y +

8 = 0 adalah…

1 10. Gradien garis x – 3y = -6 adalah…

C.

A. -4

C. Menentukan Persamaan Garis

1. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah titk (x 1 ,y 1 ) dengan gradien m

y–y 1 = m(x – x 1 )

Contoh Soal:

1. Persamaan garis yang melalui titik (3, –2) dengan gradien m = 4 adalah…

Penyelesaian:

Smart Solution:

Titik (3, –2) dan gradien m = 4

y = mx + c

x 1 =3;y 1 = –2 dan m = 4

–2 = 4(3) + c

Persamaan garis :

–2 = 12 + c y–y 1 = m (x – x 1 ) c = –2 – 12

y – (–2) = 4 (x – 3) y + 2 = 4x – 12

c = –14

y = 4x – 12 – 2

Jadi : y = mx + c

y = 4x – 14

y = 4x– 14

2. Persamaan garis melalui titik (–4, 3) dengan gradien 2 adalah…

Penyelesaian:

Titik (–4, 3) dengan gradien m = 2

Smart Solution:

x 1 = –4 ; y 1 = 3 dan m = 2

y = mx + c

Persamaan garis :

y – 3 = 2 (x – (–4)

2. Persamaan Garis melalui Dua Titik (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 )

The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and then insert it again. Rumus Biasa:

Smart Solution:

(x

1 –x 2 ).y = (y 1 –y 2 ).x + [(x 1 ×y 2 ) – (y 1 ×x 2 )

Contoh Soal:

1. Persamaan garis yang melalui titik (–3,6) dan (1,4) adalah…

Penyelesaian: Cara Biasa:

Titik (–3 , 6) dan (1, 4)

Smart Solution:

x 1 y 1 x 2 y 2 (x

1 –x 2 ).y = (y 1 –y 2 ).x + [(x 1 ×y 2 ) – (y 1 ×x 2 )

= (–3 – 1).y = (6 – 4).x + [(–3×4) – (6 × 1)

y 2 − y 1 x 2 − x 1 –4y = –2x + [–12 – 6]

–4y = 2x – 18

= 2x + 4y = 18 (sama-sama bagi 2)

x + 2y = 9

4.(y – 6) = –2(x + 3) 4y – 24 = –2x – 6 4y + 2x = – 6 + 24 4y + 2x = 18 2x + 4y = 18 (sama-sama bagi 2)

x + 2y = 9

3. Persamaan Garis Melalui (x 1 ,y 1 ) dan Sejajar dengan Garis y = mx + c

Syarat dua garis sejajar:

Persamaan Garis:

m 1 =m 2 y–y 1 = m(x – x 1 )

Contoh Soal:

1. Persamaan garis melalui titik (-3, 2) dan sejajar dengan garis 2x + 3y = 6 adalah…

Penyelesaian: Cara Biasa:

Gradien garis 2x + 3y = 6 adalah :

Smart Solution:

2x + 3y = 6

3y = –2x + 6

− 2 x + 6 Titik (-3, 2) berarti x 1 = –3 ; y 1 =2

y=

Sejajar garis 2x + 3y = 6

2 Persamaan garis:

− x+2 y=

2x + 3y = 2(x 1 ) + 3(y 1 )

2x + 3y = 2(–3) + 3(2)

2 2x + 3y = –6 + 6

2x + 3y = 0

Karena sejajar berarti m 1 =m 2 = −

Titik (-3, 2)

x 1 y 1 Persamaan garis:

y–y 1 = m (x – x 1 )

y–2 = − (x – (–3)

3.(y – 2) = –2.(x + 3) 3y – 6 = –2x – 6 2x + 3y = –6 + 6 2x + 3y = 0

4. Persamaan Garis yang Melalui (x 1 ,y 1 ) dan Tegak Lurus dengan Garis y = mx + c

Syarat Dua Garis Tegak Lurus:

Persamaan Garisnya:

m 1 ×m 2 = –1 y–y 1 = m(x – x 1 )

Contoh Soal:

1. Persamaan garis melalui titik (-4, -2) dan tegak lurus dengan garis 2x + 6y – 12 = 0 adalah ....

Penyelesaian Cara Biasa:

Gradien garis 2x + 6y – 12 adalah: 2x + 6y = 12

6 3 Titik (–4, –2) berarti x 1 = –4 ; y 1 = –2

Persamaan garis:

Syarat dua garis tegak lurus: y–y 1 = m (x – x 1 )

y – (–2) = 3.(x – (–4) − 1

m 1 ×m 2 = –1

×m 2 = –1 y – (–2) = 3.(x + 4)

Smart Kediri Solution:

Titik (-4, -2) berarti x 1 = –4 ; y 1 = –2

Sejajar garis

2x + 6y = 12 (tanda berkebalikan)

Persamaan garis:

5. Persamaan Garis Berdasarkan Grafik melalui titik (x 1 ,y 1 )

Smart Solution

y 1 .x + x 1 .y = x 1 .y 1

Contoh Soal:

Perhatikan gambar !

Persamaan garis pada gambar adalah…

Penyelesaian:

x 1 = –4 dan y 1 =3 y 1 .x + x 1 .y = x 1 .y 1

3x – 4y = –4 . 3 3x – 4y = – 12

Uji Kompetensi Siswa 10.2

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Persamaan garis lurus yang melalui titik

D. x + 3y = -17 (0, 3) dengan gradien -2 adalah…

B. 3x + y = 17

A. y = -2x – 3

7. Dari garis-garis dengan persamaan:

III. 5y–x– 12 = 0

IV. 5y + x + 9 = 0

2. Persamaan garis yang melalui titik Yang sejajar dengan garis yang melalui pangkal koordinat dan titik A(–3, 4)

titik (2, 1) dan (3, 6) adalah… adalah…

4 3 8. Persamaan garis melalui titik (2, –1) dan

B. y = − x

− D. y = x

tegak lurus dengan garis y = 2x + 5

3. Persamaan garis lurus yang melalui titik

D. x – 2y = 0 (7, –4) dan (9, 6) adalah…

B. 2x – y = 0

A. y = 5x + 39

9. Diketahuigaris-garis dengan persamaan:

(ii) 3y + 2x –15 = 0

D. 5x + y = 39

(iii)3y – 2x – 5 = 0

(iv) 4y + x + 5 = 0

4. Persamaan garis yang melalui titik (1, –2) Pasangan garis yang saling tegak lurus

dan sejajar

persamaannya y= 2x + 1 adalah…

A. (ii) dan (iii)

C. (i) dan (ii)

B. (ii) dan (iv)

D. (i) dan (iii)

5. Persamaan garis yang melalui titik (–2,5)

10. Garis g tegak lurus dengan garis yang persamaannya 3x – 2y – 6 = 0 adalah…

dan sejajar

persamaannya 2y – 3x = 6. Gradien garis

2 3 g adalah…

6. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 5)

dan sejajar garis x – 3y + 2 = 0 adalah…

A. 3x – y = 17

C. x – 3y = -17

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Gradien garis yang tegak lurus dengan

6. Persamaan garis yang melalui titik (–3, – garis 3x + 5y + 20 = 0 adalah…

2) dan mempunyai gradien − adalah… 5

2. Persamaan garis yang sejajar dengan x + y

– 2 = 0 dan melalui titik (-5, 0) adalah…

7. Persamaan garis yang melalui titik (–5, –

4) dan tegak lurus terhadap garis yang

3. Persamaan garis yang sejajar dengan garis melalui titik (–1, 3) dan (–4, 6) adalah… 2x + 3y + 6 = 0 dan melalui titik (–2, 5)

adalah…

x+y+9=0

4. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 3)

8. Persamaan garis lurus yang melalui titik dan sejajar dengan garis yang melalui titik

A(–2, –3) dan tegak lurus terhadap garis (5, 2) dan (-1, -1) adalah…

2 dengan persamaan: y = x + 9 adalah…

5. Persamaan garis yang melalui titik (6,

–1) dan tegak lurus dengan garis y = 3x +

2 adalah…

BAB SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Sub Bab

+ Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel + Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

+ Model Matematika SPLDV + Penerapan SPLDV

Catatanmu

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk ax + by = c dan dx + ey = f atau biasa ditulis

 ax by c - + = x , y disebut variabel 

 dx + ey = f

- a, b, d, f disebut keifisien

- c , f disebut konstanta

Maka dikatakan dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

B. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Metode Grafik Contoh Soal:

Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua

 x + y = 5 variabel 

. Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian:

Untuk memudahkan menggambar grafik dari x + y = 5 dan x – y = 1, buatlah tabel nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut

x+y=5

x +y=5

(x, y) (0,5)

5 x –y=1

x–y=1

y –1

(x, y) (0,–1)

Dari gambar tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 2). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1 adalah {(3, 2)}.

2. Metode Eliminasi Contoh Soal:

Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua

variabel 

. Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian:

2x + 3y = 6 dan x – y = 3

Langkah I (Eliminasi variabel y)

= 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 3. 2x + 3y = 6 × 1 ⇒ 2x + 3y = 6

x – y = 3 × 3 ⇒ 3x – 3y = 9 –

2x – 3x = 6 – 9 –x=–3 x=3

Langkah II (Eliminasi variabel x)

Untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x – y = 3 dikalikan 2.

2x + 3y = 6 × 1 ⇒ 2x + 3y = 6 x – y = 3 × 2 ⇒ 2x – 2y = 6 –

3y – (–2y) = 6 – 6 5y = 0

y=

5 y=0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.

3. Metode Substitusi Contoh Soal:

Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua

variabel 

. Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) 2x + 3y = 6 2(y + 3) + 3y = 6 2y + 6 + 3y = 6 2y + 3y = 6 – 6

Selanjutnya substitusi nilai y = 0, ke persamaan (2) y=0 ⇒

x=y+3 x=0+3 x=3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.

Cara Cepat:

Persamaan 1 adalah A 1 x+B 1 y=C 1 Persamaan 2 adalah A 2 x+B 2 y=C 2

( B 1 ⋅ C 2 )( − B 2 ⋅ C 1 )

maka: x =

A 2 ⋅ B 1 )( − A 1 ⋅ B 2 )

Untuk mencari nilai y kita substitusi nilai x yang telah didapat ke persamaan 1 atau persamaan 2.

Contoh Soal:

1. Dengan metode gabungan, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear

dua variabel  . Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian: Cara Pertama:

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi dan substitusi, diperoleh: 2x + 3y = 6 × 1 ⇒ 2x + 3y = 6

x – y = 3 × 2 ⇒ 2x – 2y = 6 –

3y – (–2y) = 6 – 6 5y = 0

y= =0

Selanjutnya substitusi nilai y = 0 ke x – y = 3

x–0=3

x=3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.

Cara Kedua:

Persamaan 1 adalah 2x + 3y = 6

A 1 x+B 1 y=C 1

Persamaan 2 adalah x – y = 3

A 2 x+B 2 y=C 2

maka: x =

Selanjutnya substitusi nilai x = 3 ke x – y = 3

3–y=3

y=3–3 y=0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.

2. Penyelesaian sistem persamaan 2x + 4y + 2 = 0 dan 3x – y – 11 = 0 adalah x 1 da y 1 .

Nilai x 1 +y 1 adalah…

A. -5

B. -1

C. 1

D. 5

Kunci jawaban : C Penyelesaian:

3x– y=11

2x + 4y = – 2 × 3 ⇒ 6x + 12y= –6 3x – y = 11 × 2 ⇒6x– 2y= 11–

14y= –28 14y = –28 − 28

y=

14 y 1 = –2

Substitusi nilai y 1 = –2 ke: 2x + 4y = –2 2x + 4.(–2) = –2 2x – 8 = –2 2x = –2 + 8 2x = 6

6 x=

3 x 1 =3

Jadix 1 +y 1 = 3 + (–2) = 1

Uji Kompetensi Siswa

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Penyelesaian sistem persamaan x – y = 12

D. {(2,4)} dan x + y = 6 adalah…

4. Nilai x yang merupakan penyelesaian dari

B. (9, -3)

D. (-9, 3)

2x – 5y = 2 dan 5x + 2y = 34 adalah…

A. 2

C. 6

2. Nilai y yang merupakan penyelesaian dari

D. 8 3x – y = 12 dan x + 4y = 17 adalah…

5. Penyelesaian sistem persamaan 3x – 2y =

B. 5

D. 7

12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q. Nilai dari 4p + 3q adalah…

3. Himpunan penyelesaian dari sistem

C. –10 persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2

A. 17

D. –17 adalah…

B. –1

A. {(–2, –4)}

C. {(2, –4)}

– 5y = –37, nilai 6x + 4y adalah… –3 untuk x = 1 dan y = 9 untuk x = 3,

A. –30

C. 16

maka nilai 3a + 2b adalah…

7. Penyelesaian sistem persamaan dari 2x + 3y = 26 dan 3x + 4y = 37 adalah x dan y.

10. Diketahui sistem persamaan 2x + y = 13 Nilai x – y adalah…

dan 3x – 2y = 2. Nilai 7x + 3y adalah…

8. Himpunan penyelesaian sistem persamaan

11. Himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 19 dan x – y = –8 adalah

3x + 2y = 19 dan 2x – y = 1 adalah {(x,y)}. Nilai x – 7y =…

{(x,y)}. Nilai 4x – 5y =…

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Diketahui sistem persamaan 2x– 3y = 18

4. Jika x dan y merupakan penyelesain dari – dan x + 4y = –2. Nilai x + y =…

4x + y = 7 dan x + 2y = 5, maka nilai 3x – y adalah…

2. Penyelesaian dari sistem persamaan x – 3y = 1 dan x – 2y = 2 adalah…

5. Penyelesaian dari 2x + 3y = 10 dan –3x + y = –4 adalah x = a dan y = b.

3. Penyelesaian dari sistem persamaan y =

Nilai dari a – 2b =…

2x + 5 danx + 3y = 1 adalah…

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita sebagai berikut.

1. Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika (model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua variabel.

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.

3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.

Contoh Soal:

1. Harga 3 kemeja dan 2 celana adalah Rp300.000,00, sedangkan 1 kemeja dan 4 celana harus dibayar Rp400.000,00. Harga sebuah kemeja adalah…

Penyelesaian:

Misalkan:

Kemeja = x Celana = y

3 kemeja dan 2 celana adalah Rp300.000,00 ⇒3x + 2y = 300.000

1 kemeja dan 4 celana harus dibayar Rp400.000,00 ⇒x + 4y = 400.000

3x + 2y = 300.000 × 2 ⇒ 6x + 4y = 600.000 x + 4y = 400.000 × 1 ⇒ x + 4y = 400.000 −

Jadi harga sebuah kemeja (x) adalah Rp40.000,00

2. Jumlah dan selisih dua buah bilangan masing-masing 12 dan 4. Selisih kuadrat kedua bilangan itu adalah…

Penyelesaian:

Misalkan:

bilangan 1 = x bilangan 2 = y

Jumlah dua buah bilangan 12⇒

x + y = 12

Selisih dua buah bilangan 4 ⇒

x–y=4

x + y = 12 x–y =4 +

Substitusi nilai x = 8

2 Selisih kuadrat = 8 2 –4 = 48

y=4

Soal Persamaan Linier Dua Variabel

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Jumlah dua bilangan cacah adalah 34 dan

6. Besar uang Agnes adalah 4 kali uang selisih kedua bilangan itu adalah 4. Hasil

Ketut, sedangkan selisih uang Agnes dan kali kedua bilangan itu adalah…

Ketut adalah Rp Rp 36.000,00. Jumlah

A. 130

C. 140

uang Agnes dan Ketut adalah…

B. 135

D. 145

A. Rp 45.000,00 C. Rp 60.000,00

B. Rp 48.000,00 D. Rp 72.000,00

2. Harga 2 pasang sepatu dan 3 pasang sandal adalah Rp 175.000,00 sedangkan

7. Di lapangan parkir terdapat 105 kendaraan harga 3 pasang sepatu dan 4 pasang sandal

yang terdiri dari sepeda motor dan mobil. adalah Rp 255.000,00. Harga sepasang

Jika jumlah roda seluruh kendaraan sepatu dan 2 pasang sandal adalah…

tersebut (tanpa ban serep) adalah 290

A. Rp71.000,00 C. Rp95.000,00 roda, maka banyaknya mobil di tempat

B. Rp90.000,00 D. Rp105.000,00 parkir tersebut adalah…

A. 35

C. 60

3. Harga 3 buah CD dan 4 buah kaset adalah

D. 70 Rp 230.000,00. Sedangkan harga 2 buah CD dan 5 buah kaset yang sama adalah

B. 40

8. Harga dua baju dan satu kaos Rp Rp 200.000,00. Harga 4 buah CD dan 5

170.000,00, sedangkan harga satu baju buah kaset adalah…

dan tiga kaos Rp 185.000,00. Harga tiga

A. Rp 250.000,00 C. Rp 400.000,00 baju dan dua kaos adalah…

B. Rp 300.000,00 D. Rp 460.000,00

A. Rp 275.000

C. Rp 475.000

B. Rp 375.000

D. Rp 575.000

4. Pada sebuah toko, Hida dan Anis membeli terigu dan beras dengan merk yang sama.

9. kali harga sebuah komputer. Harga 5 buah Hida membeli 6 kg terigu dan 10 kg beras

computer dan 2 buah mesin foto copy seharga Rp 84.000,00, sedangkan Anis

adalah Rp 60.000.000,00. Harga sebuah membeli 10 kg terigu dan 5 kg beras

mesin foto copy tersebut adalah… seharga Rp 70.000,00. Harga 8 kg terigu

A. Rp 20.000.000 C. Rp 30.000.000 dan 20 kg beras adalah…

B. Rp 25.000.000 D. Rp 35.000.000

A. Rp 152.000,00 C. Rp 128.000,00

10. Di dalam kandang terdapat bebek dan

B. Rp 130.000,00 D. Rp 120.000,00 kambing sebanyak 15 ekor. Jika banyak

5. Harga 4 kg gula pasir dan 3 liter kakinya ada 40 buah, maka banyaknya minyakgorengadalah

kambing adalah… ekor. sedangkan harga 3 kg gula pasir dan 2

Rp

C. 6 liter minyak goreng adalah Rp 28.500,00.

A. 4

D. 10 Harga 2 kg gula pasir adalah…

B. 5

A. Rp 11.000,00 C. Rp 12.000,00

B. Rp 11.500,00 D. Rp 12.500,00

BAB TEOREMA PYTHAGORAS

Sub Bab

+ Garis Bilangan + Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian & Pembagian

+ FPB dan KPK + Perpangkatan Bilangan Bulat + Penarikan Bentuk Akar

Catatanmu

C Teorema Pythagoras:

R Teorema Pythagoras:

Contoh Soal:

1. Perhatikan gambar dan pernyataan berikut.

Pernyataan yang benar adalah ....

Kunci jawaban : A

Sisi miring pada segitiga panjangnya adalah b satuan

2 2 2 2 2 Sehingga b 2 =a +c atau a =b –c

BAGIAN 1

C. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Perhatikan gambar dibawah ini!

Nilai x pada gambar di bawah adalah… Pernyataan-pernyataan di bawah ini yang

C. 20 cm benar untuk segitiga siku-siku ABC

A. 10 cm

B. adalah… 12 cm

D. 40 cm

A. c +a =b +b C. c =a

B. c –b =a +b D. a =c 6. Perhatikan gambar dibawah ini!

2. Segitiga PQR siku-siku di Q, jika PQ = 4

cm dan PR = 5 cm, maka panjang QR

Dalil Pythagoras pada gambar di atas adalah…

2 2 2 2 2 A. 2 a =b +c C. b =a +c adalah 30 cm, jika panjang salah satu

3. Panjang hipotenusa segitiga siku-siku

2 2 2 2 2 B. 2 a =c –b D. b =a –c sisinya 18 cm, maka panjang sisi lainnya

adalah…

7. Perhatikan gambar dibawah ini!

4. Panjang hipotenusa sebuah segitiga siku- siku samakaki dengan panjang sisi siku-

siku 5 cm adalah… Panjang BD pada gambar di bawah ini

5. Perhatikan gambar dibawah ini!

Contoh Soal:

1. Perhatikan bilangan-bilangan berikut : (1) 13, 12, 5 (2) 6, 8, 11 (3) 7, 24, 25

(4) 20, 12, 15 Bilangan-bilangan di atas, yang merupakan tripel Pythagoras adalah…

Kunci jawaban: B

169 = 169 Jadi 13, 12, 5 merupakan tripel Pythagoras

625 = 625 Jadi 7, 24, 25 merupakan tripel Pythagoras

Jawaban yang benar (1) dan (3)

2. Perhatikan ukuran-ukuran segitiga berikut ini (1) 4 cm, 5 cm, 6 cm (2) 17 cm, 15 cm, 8 cm (3) 8 cm, 10 cm, 12 cm (4) 25 cm, 7 cm, 24 cm Yang merupakan segitiga siku-siku adalah…

Kunci jawaban: D

Segitiga siku-siku dapat dibentuk apabila panjang sisi-sinya merupakan tripel pythagoras.

289 = 289 Jadi 17, 15, 8 merupakan tripel Pythagoras

625 = 625 Jadi 25, 7, 24 merupakan tripel Pythagoras

BAGIAN 1

D. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Rangkaian bilangan berikut merupakan panjang sisi-sisi sebuah segitiga:

4. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang (i) 8 cm, 15 cm, 19 cm

merupakan tripel Pythagoras adalah… (ii) 12 cm, 16 cm, 20 cm

C. 6, 8, 11 (iii)15 cm, 20 cm, 30 cm

(iv) 7 cm, 10 cm, 12 cm

2 2 5. Perhatikan gambar dibawah ini! Yang merupakan segitiga siku-siku adalah…

A. (ii) dan (iv)

C. (i) dan (iii)

B. (ii) dan (iii)

D. (i) dan (iv)

2. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah…

Panjang sisi segitiga PQR pada gambar di

A. 12, 13, 6

C. 24, 5, 25

atas ini adalah 8 cm, maka panjang QB

3. Diketahui ukuran-ukuran sisi segitiga

sebagai berikut :

6. Dari segitiga berikut yang merupakan (i). 5, 9, 13

(ii). 5, 12, 13 segitiga siku-siku adalah segitiga dengan (iii) 7, 24, 25

panjang sisi…

A. (iv) 7, 24, 26 6 cm, 8 cm, dan 10 cm

B. 10 cm, 12 cm, dan 14 cm Dari ukuran-ukuran segitiga di atas, yang

C. 10 cm, 15 cm, dan 20 cm dapat membentuk segitiga siku-siku

adalah…

D. 7 cm, 15 cm, dan 18 cm

A. (i) dan (ii)

C. (iii) dan (iv)

B. (ii) dan (iv)

D. (ii) dan (iii)