Penjadwalan Mesin dengan Adanya Zona Terlarang

Akhir kata penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna.
Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihakpihak lainnya yang
memerlukannya.

Medan,

Juni 2013

Penulis,

Yenny Hermiana Alga

v

Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Takengon Kabupaten Aceh Tengah pada Tanggal 4 Juni 1988 dan merupakan anak kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Hasanuddin
dan Ibu Salmiah, S.Pd. Penulis menamatkan Sekolah Dasar di SD Negeri Buntul

Kubu Takengon lulus tahun 2000, Sekolah Menengah Pertama di SMP Negeri
1 Takengon lulus tahun 2003, Sekolah Menengah Atas di SMA Negeri 2 Modal
Bangsa Aceh Besar lulus Tahun 2006. Pada Tahun 2006 penulis melanjutkan
pendidikan Diploma Statistika di Universitas Sumatera Utara dan lulus tahun
2009. Penulis melanjutkan pendidikan Sarjana di Universitas Sumatera Utara pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika lulus
tahun 2011. Selanjutnya pada tahun 2011 penulis berkesempatan untuk melanjutkan program Master pada Program Studi Magister Matematika di Universitas
Sumatera Utara.

vi

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Dalam kerangka kerja penjadwalan mesin terdapat kemungkinan adanya suatu
interval waktu dimana suatu unit pekerjaan tidak dapat diproses. Penelitian ini
mendiskusikan model deterministik penjadwalan dalam persoalan bin packing pada mesin tunggal identik dengan adanya interval waktu dalam zona terlarang. Dalam penelitian ini ditunjukkan suatu model penjadwalan yang layak atau optimal
terhadap pekerjaan dengan memperhatikan interval waktu dalam zona terlarang.
Model yang diperoleh dinyatakan dalam bentuk program linier dengan objektif
model adalah meminimumkan total waktu penyelesaian (makespan) sehingga diperoleh minimum interval waktu dalam zona terlarang yang dinyatakan ke dalam
bentuk program integer.

Keyword: Penjadwalan, Zona terlarang, Jobshop, Bin packing problem

i

Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT
In machine scheduling of manufacturing systems there may be a certain time interval, during which jobs processing may not be continued. This research discuss
a deterministic model of bin packing problem scheduling on a single identical machine by considering a time interval in forbidden zones. This research represents a
feasible or optimal scheduling of jobs by considering any time interval in forbidden
zones. The model that formulated into linear programming with objective is minimized the completion time (makespan) in order to obtain time interval minimum
in forbidden zones that represents by integer programming.
Keyword: Scheduling, Forbidden zones, Jobshop, Bin packing problem

ii

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

vi

ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

DAFTAR ISI

iii

DAFTAR GAMBAR

v

DAFTAR TABEL

vi

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

3

1.3 Tujuan Penelitian

4

1.4 Manfaat Penelitian

4

BAB 2 KAJIAN PUSTAKA

5

2.1 Klasifikasi Persoalan Penjadwalan

5

2.1.1 Persoalan penjadwalan

5

2.1.2 Data unit pekerjaan dalam penjadwalan

7

2.1.3 Karakteristik penjadwalan

9

2.1.4 Kriteria optimalitas dalam penjadwalan
2.2 Penjadwalan Mesin

10
12

2.2.1 Definisi penjadwalan mesin

12

2.2.2 Ruang lingkup mesin

13

2.2.3 Penjadwalan mesin tunggal identik

17

2.3 Persoalan Jobshop

19

2.4 Penjadwalan Flowshop

21
iii

Universitas Sumatera Utara

2.4.1 Persoalan bin packing

25

2.5 Zona Terlarang dalam Penjadwalan

26

BAB 3 PROGRAM INTEGER

31

3.1 Program Linier

31

3.2 Program Integer

32

3.3 Persoalan Penjadwalan dalam Program Integer

32

BAB 4 PENJADWALAN MESIN DENGAN ADANYA
ZONA TERLARANG

35

4.1 Model Penjadwalan Mesin dengan Adanya Zona Terlarang

35

4.2 Contoh Kasus

38

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

40

5.1 Kesimpulan

40

5.2 Saran

40

5.3 Riset Lanjutan

40

DAFTAR PUSTAKA

41

iv

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

2.1

(i.) Orientasi mesin terhadap pekerjaan pada skema Gantt 1

5

2.2

(ii.) Orientasi pekerjaan terhadap mesin pada skema Gantt 2

6

2.3

Ilustrasi Jobshop pada satu mesin

14

2.4

Penjadwalan flowshop yang layak pada mesin

23

2.5

Ilustrasi penjadwalan yang mungkin dari Lemma 1, (a),(b) dan (c)

24

2.6

Ilustrasi interval waktu dan zona terlarang dalam penjadwalan

27

2.7

Ilustrasi penjadwalan mesin tunggal dengan waktu awal dalam zona
terlarang

29

v

Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor
2.1

Judul
Ilustrasi Data

Halaman
23

vi

Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Secara umum, penjadwalan didefinisikan sebagai suatu proses dalam menentukan penugasan suatu himpunan operasi atau pekerjaan ke pusat berdasarkan
pada interval atau periode waktu. Objektif dari persoalan penjadwalan adalah untuk menentukan suatu m barisan penjadwalan dari seluruh pekerjaan QJk yang ada
pada mesin Mk , k = 1, 2, . . . , m dengan nilai pada fungsi objektif yang diberikan,
φ(C1 , C2, . . . , Cn ) adalah minimum. Karena itu, persamaan Ci = cini dan Ci
menyatakan waktu total penyelesaian pekerjaan Ji ∈ J .
Penjadwalan pada sejumlah mesin identik dengan tujuan untuk meminimumkan total waktu penyelesaian pekerjaan (makespan) yang merupakan satu
dari persoalan umum yang sering dikaji dalam optimisasi kombinatorial. Persoalan penjadwalan yang telah dikembangkan oleh para peneliti banyak digunakan
dalam kegiatan produksi suatu perusahaan, mesin dan sebagainya.
Dalam beberapa kasus tertentu, terdapat beberapa kebijakan tertentu yang
mempengaruhi pengambilan keputusan, maka proses ini akan menambahkan suatu kendala waktu, batas waktu operasi atau total waktu pekerjaan secara keseluruhan ke dalam model rancangan yang ada (Chaudhuri, 1995). Salah satu persoalan penjadwalan yang umum dikaji merupakan persoalan penjadwalan minimum makespan yang selanjutnya disebut dengan persoalan bin packing. Andaikan
terdapat batasan waktu pada rancangan operasi secara keseluruhan dengan memberikan batas waktu pada masing-masing pekerjaan yang ada. Dalam sistem penjadwalan suatu perusahaan terdapat beberapa persoalan yang menjadi kendala
dalam kegiatan produksi, salah satunya berkaitan dengan informasi akurat diUniversitas Sumatera Utara

1

2
mana suatu unit pekerjaan yang akan diproses dapat diselesaikan dalam suatu
interval waktu tertentu. Persoalan ini termasuk persoalan yang kompleks dimana
proses pengambilan keputusan mempengaruhi penjadwalan perusahaan tersebut.
Kendala waktu ini selanjutnya disebut sebagai suatu zona terlarang (forbidden
zones) dalam persoalan penjadwalan.
Abdekhodaee dan Ernst (2004) juga memberikan pandangan mengenai penjadwalan dengan adanya kendala waktu yang selanjutnya disebut sebagai zona
terlarang (forbidden zones). Asumsikan terdapat n pekerjaan yang dijadwalkan
sebagai J1 , J2, . . . , Jn dengan pi sebagai waktu proses Ji . Interval waktu dibagi
menjadi I = {I1, . . . , Is } sehingga tiap Ij merupakan bagian dari zona terlarang
yang dinotasikan sebagai Fi ⊂ Ij ,∀j. Akibatnya, interval waktu Ij \ Fj adalah
interval waktu yang diizinkan.
Khammuang et al. (2007) menambahkan bahwa zona terlarang dalam persoalan penjadwalan menjelaskan adanya suatu interval waktu selama suatu pekerjaan tertentu tidak dapat diproses. Lebih jelasnya, andaikan terdapat suatu
pekerjaan yang sudah selesai tepat sebelum interval waktu yang termasuk ke dalam zona terlarang. Selanjutnya pekerjaan tersebut akan keluar dari barisan urutan penjadwalan pada interval waktu berikutnya. Akibatnya, waktu penyelesaian
akhir dari suatu pekerjaan pada Ij dapat dinyatakan sebagai t = 2j − 1.
Dalam penelitian tesis ini mendiskusikan model deterministik dimana kendala
dalam penjadwalan adalah pi , i = 1, . . . , n total jumlah bin yang diberikan dengan
pi mempunyai nilai rasional (0, 1]. Tujuan dari persoalan ini adalah mengurutkan penjadwalan seluruh pekerjaan dengan variasi waktu proses masing-masing
pekerjaan ke total mesin yang digunakan dalam meminimumkan makespan dengan memperhatikan batasan atau kendala interval waktu dalam penjadwalan
mesin yang termasuk dalam zona terlarang (forbidden zones). Penelitian tesis
ini difokuskan pada diskusi dari model deterministik untuk penjadwalan mesin
Universitas Sumatera Utara

3
tunggal identik dengan adanya interval waktu dalam zona terlarang yang direpresentasikan ke dalam bentuk program linier. Hasil yang diperoleh merupakan
model program linier dengan kendala penjadwalan yang merupakan suatu program integer yang digunakan dalam mengurutkan total pekerjaan yang tersedia
Ji ke dalam penjadwalan mesin tunggal identik yang layak.
Penulisan tesis ini disusun sebagai berikut: Bab I menjelaskan latar belakang
dan masalah yang dikaji dalam penelitian tesis ini. Bab II kajian teori serta beberapa riset yang relevan dengan penelitian tesis ini. Bab III berupa penjelasan
mengenai teori program integer yang digunakan dalam model penjadwalan. Bab
IV mengkaji hasil diskusi model deterministik untuk penjadwalan mesin tunggal
identik dengan adanya interval waktu dalam zona terlarang (forbidden zones).
Bab V memberikan kesimpulan dan saran dari hasil penelitian tesis untuk penelitian selanjutnya yang mungkin dapat dikembangkan.
1.2 Perumusan Masalah
Salah satu pengembangan model penjadwalan dengan adanya zona terlarang
(forbidden zones) telah dilakukan sebelumnya oleh Khammuang et al. (2007).
Kekurangan dari model yang telah dikembangkan oleh Khammuang et al. (2007)
adalah model hanya difokuskan pada penjadwalan on-line dengan zona terlarang
di waktu awal proses pekerjaan. Penelitian ini mendiskusikan model deterministik
penjadwalan dalam persoalan bin packing pada mesin tunggal identik yang dapat
digunakan untuk mengurutkan seluruh pekerjaan Ji (i = 1, . . . , n) dalam meminimumkan total waktu penyelesaian (makespan) dengan adanya kendala interval
waktu yang termasuk ke dalam zona terlarang.

Universitas Sumatera Utara

4
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah mendiskusikan metode deterministik penjadwalan Ji (i = 1, . . . , n) pekerjaan pada mesin tunggal identik sehingga diperoleh
suatu barisan penjadwalan yang layak. Model kemudian direpresentasikan dalam
menyelesaikan persoalan bin packing dan menentukan total waktu penyelesaian
(makespan) minimum penjadwalan dengan kendala interval waktu yang termasuk
ke dalam zona terlarang.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian diharapkan dapat diterapkan dalam proses penyelesaian J pada n total pekerjaan sehingga model dalam penelitian ini dapat meminimumkan total waktu penyelesaian yang diperlukan meskipun terdapat asumsi
interval waktu tertentu sebagai zona terlarang. Selanjutnya, model juga diharapkan dapat membantu proses pengambilan keputusan dalam pengurutan dan memprioritaskan suatu set atau himpunan pekerjaan. Hal ini merupakan salah satu
konsep literatur manajemen operasi dimana suatu metode solusi cepat, sederhana
dan efektif dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa atau seluruh pekerjaan yang ada.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
KAJIAN PUSTAKA

2.1 Klasifikasi Persoalan Penjadwalan
Teori dan beberapa istilah yang digunakan dalam penelitian ini dirujuk dari
beberapa jenis persoalan penjadwalan yang telah dikaji sebelumnya. Pada bab
ini, beberapa klasifikasi dasar dalam persoalan penjadwalan dikaji secara luas
seperti yang telah dikaji dalam literatur (lihat Lawler et al., 1993).
2.1.1 Persoalan penjadwalan
Asumsikan terdapat m mesin Mj (j = 1, . . . , m) yang digunakan untuk memproses n unit pekerjaan Ji (i = 1, . . . , n). Suatu penjadwalan pada masing-masing
unit pekerjaan yang dialokasikan pada satu atau lebih interval waktu ke satu
atau lebih mesin yang ada. Penjadwalan tersebut dapat direpresentasikan dengan
menggunakan skema Gantt seperi yang ditunjukkan pada Gambar 2.1 berikut.

Gambar 2.1 : (i.) Orientasi mesin terhadap pekerjaan pada skema Gantt 1

Universitas Sumatera Utara

5

6

Gambar 2.2 : (ii.) Orientasi pekerjaan terhadap mesin pada skema Gantt 2

Objektif dari persoalan penjadwalan berdasarkan skema Gantt adalah menentukan penjadwalan didasarkan pada orientasi jumlah mesin dan unit pekerjaan
yang ada sebagai kendala dalam penjadwalan. Secara umum, persoalan penjadwalan dapat diklasifikasikan dengan menggunakan suatu notasi yaitu α|β|γ,
dengan α merupakan total jumlah mesin yang ada, β adalah karakteristik suatu
pekerjaan dan γ menyatakan kriteria optimalitas (Graham et al., 1979).
Menurut Graham et al. (1979), terdapat beberapa parameter yang relevan
dalam pemodelan suatu mesin, yaitu pj sebagai waktu pemrosesan suatu pekerjaan j, rj adalah waktu penyelesaian pekerjaan j yang telah ditentukan, sizej menyatakan total jumlah mesin atau prosesor yang dibutuhan untuk menyelesaikan
pekerjaan j dan pmtn yang menyatakan preemption dalam model penjadwalan.
Parameter ini menjadi gagasan untuk mengimplementasikan model ke dalam suatu algoritma yang selanjutnya disebut dengan algoritma on-line. Algoritma ini
didasarkan pada fakta bahwa suatu pekerjaan yang tersedia pada suatu rentang
waktu tertentu dapat diselesaikan, dan sebaliknya. Selanjutnya, Megow et al.
(2006) melakukan pengembangan terhadap model penjadwalan secara stokastik
dalam menentukan suatu aturan penjadwalan stokastik online dalam meminiP
mumkan nilai ekspektasi pada waktu penyelesaian pekerjaan, E [ wj Cj ]. Dalam

model terdapat asumsi adanya waktu proses distribusi Pj yang saling bebas, se-

hingga diperoleh bahwa rj < rk untuk j < k. Suatu aturan penjadwalan memUniversitas Sumatera Utara

7
berikan suatu spesifikasi tindakan terhadap pekerjaan pada waktu keputusan t
dengan waktu awal adalah t dan waktu keputusan berikutnya dinotasikan sebagai
t′ > t. Untuk suatu contoh I, dimana terdapat total jumlah mesin m, himpunan
pekerjaan J dengan masing-masing waktu penyelesaian yang ditentukan rj , bobot
wj dan waktu proses distribusi Pj , ambil SjΠ (I) dan CjΠ (I) sebagai variabel acak
waktu awal dan waktu penyelesaian pekerjaan dibawah ketentuan Π. Sehingga
diperoleh aturan penjadwalan secara stokastik sebagai
#
"
X
X
wj CjΠ (I) =
wj E[CjΠ (I)]
E[Π(I)] = E
j∈J

j∈J

yang kemudian disebut dengan model penjadwalan online stokastik (SoS).
2.1.2 Data unit pekerjaan dalam penjadwalan
Suatu unit pekerjaan diselesaikan pada ni operasi Oi1 , . . . , Oi,ni . Oij yang
selanjutnya dialokasikan oleh waktu proses yang diperlukan, pij . Jika suatu unit
pekerjaan Ji terdapat tepat satu operasi (ni = 1), maka dapat diidentifikasikan
bahwa Ji dengan Oi1 dan denotasikan waktu proses yang diperlukan adalah pi .
Lebih lanjut, terdapat waktu rilis ri suatu unit pekerjaan, dimana operasi awal
Ji tersedia untuk diproses. Alokasikan tiap operasi Oij yang merupakan suatu
himpunan mesin µij ⊂ {M1 , . . . , Mm } untuk diproses. Pada umumnya, µij merupakan himpunan satu elemen atau sama dengan himpunan jumlah mesin yang
digunakan. Pada dasarnya, suatu operasi Oij dapat diproses pada sebarang mesin yang ada. Persoalan seperti ini merupakan persoalan penjadwalan dengan
Multi-Purpose Machines (MPM). Sehingga, ini memungkinkan bahwa semua mesin pada himpunan µij digunakan secara simultan oleh Oij selama interval waktu
proses berlangsung yang lebih dikenal sebagai persoalan penjadwalan multiprosesor.

Universitas Sumatera Utara

8
Dalam operasi Oij terdapat fungsi biaya fi (t) dalam menentukan biaya proses unit pekerjaan Ji pada waktu t. Batas waktu di dan bobot unit pekerjaan
wi dapat digunakan dalam mendefinisikan fungsi fi . Secara umum, seluruh data pi , pij , ri , di , wi diasumsikan dalam suatu bilangan bulat. Suatu penjadwalan
adalah layak jika
• tidak terdapat dua interval waktu yang bekerja secara bersamaan pada mesin yang sama,
• tidak terdapat dua interval waktu yang dialokasikan pada unit pekerjaan
yang sama,
• dan jika, dalam perluasan, terdapat sejumlah karakteristik persoalan penjadwalan tertentu yang dispesifikasi
Dan suatu penjadwalan adalah optimal jika dapat meminimumkan kriteria-kriteria
optimalitas yang diberikan dalam persoalan.
Teorema 2.1.1 Andaikan G = (V, E, w) merupakan suatu sistem penugasan.
Terdapat suatu penjadwalan yang layak pada G jika dan hanya jika G tidak mempunyai cycle.
Bukti Berikut bukti pada Teorema 1:
⇒

Asumsikan G mempunyai satu cyclce v1 → v2 → · · · → vk → v1. Maka,
v1 ≺ v1 dan suatu penjadwalan yang layak σ adalah σ(v1) + w(v1 ) ≤ σ(v1)
haruslah benar, dimana hasil yang diperoleh adalah w(v1) > 0.

⇐

Jika G merupakan asiklik, maka terdapat beberapa unit pekerjaan yang
tidak dialokasikan ke mesin yang tersedia. Sehingga dapat dialokasikan
terlebih dahulu. Lebih jelasnya, secara topologi verteks-verteks dan menentukan penjadwalan pada mesin yang sama.
Universitas Sumatera Utara

9
2.1.3 Karakteristik penjadwalan
Menurut Brucker (2007), dalam persoalan penjadwalan, terdapat beberapa
karakteristik pekerjaan yang dispesifikasikan oleh suatu himpunan β yang memuat
paling banyak enam elemen, yaitu β1, β2, β3, β4, β5 dan β6 . Beberapa karakteristik
tersebut antara lain sebagai berikut:

β1

: mengindikasikan apakah preemption (atau pembagian pekerjaan) diperbolehkan dalam suatu penjadwalan. Ini berarti bahwa proses penyelesa
an pekerjaan dapat diinterupsi dan kemudian dilanjutkan, meskipun pada mesin yang berbeda dimana pekerjaan dapat diinterupsi beberapa
kali. Jika preemption diperbolehkan, set β1 = pmtn.

β2

: mendeskripsikan adanya penjadwalan bersyarat pada pekerjaan (precedence relations) yang direpresentasikan oleh suatu graf asiklik berarah
G = (V, A) dengan V = {1, . . . , n} dipasangkan dengan pekerjaan yang
ada, dan (i, k) ∈ A jika dan hanya jika Ji telah selesai sebelum Jk dimulai. Dalam kasus ini dapat dinyatakan dengan Ji → Jk dan set untuk
β2 = prec.

β3

: jika β3 = ri , maka waktu rilis dapat dispesifikasikan untuk tiap pekerjaan.

β4

: mendeskripsikan adanya batasan pada waktu pemrosesan atau jumlah
operasi pekerjaan yang diselesaikan pada waktu tertentu. Jika β4 sama
dengan pi = 1(pij = 1), maka tiap pekerjaan mempunyai ketentuanketentuan unit proses.

β5

: jika β5 = di , maka terdapat batas akhir (deadline) masing-masing pekerjaan Ji dengan ketentuan bahwa pekerjaan Ji haruslah diselesaikan
tidak lebih lama dari waktu di .

β6

: mengindikasikan total jumlah waktu maksimum penyelesaian semua
pekerjaan.
Universitas Sumatera Utara

10
Dimana terdapat suatu graf paralel yang berkaitan dengan graf pohon (tree).
Suatu graf adalah seri-paralel jika memenuhi aturan sebagai berikut:
Graf dasar

: Sebarang graf yang terdiri dari suatu verteks tunggal adalah
seri-paralel. Ambil Gi = (Vi , Ai) sebagai seri-paralel pada indeks (i = 1, 2).

Komposisi paralel : Graf G = (V1 ∪ V2 , A1 ∪ A2) yang terbentuk dari G1 dan G2
dengan menggabungkan himpunan verteks dan arcs.
Komposisi seri

: Graf G = (V1 ∪ V2 , A1 ∪ A2 ∪ T1 × S2 ) yang terbentuk dari
G1 dan G2 dengan menggabungkan himpunan verteks dan
arcs dan menjumlahkan seluruh arcs (t, s) dimana t adalah
bagian himpunan T1 dan s adalah bagian dari himpunan S2 .

Teorema 2.1.2 (Coffman, 1976) Asumsikan G = (V, E, w) sebagai graf asiklik
berarah, p menyatakan jumlah prosesor dan σp sebagai suatu penjadwalan pada
G. Maka,


1
MSopt (p)
MS(σp) ≤ 2 −
p

(2.1)

2.1.4 Kriteria optimalitas dalam penjadwalan

Definisi 1 Penjadwalan pada suatu sistem penugasan G = (V, E, w) merupakan
suatu fungsi waktu σ : V → N∗ dengan ketentuan:
∀(u, v) ∈ E, σ(u) + w(u) ≤ σ(v)

Definisi 2 (Legrand, 2004) Total jumlah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan seluruh pekerjaan (makespan) pada suatu penjadwalan merupakan total
jumlah waktu eksekusi yang dapat dinyatakan sebagai (Legrand, 2004) Total jumlah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan seluruh pekerjaan (makespan)
Universitas Sumatera Utara

11
pada suatu penjadwalan merupakan total jumlah waktu eksekusi yang dapat dinyatakan sebagai
MS(σ) = max{σ(v) + w(v)} − min{σ(v)}
v∈V

v∈V

Makespan juga dinotasikan sebagai Cmax = max Cv .
v∈V

Terdapat dua persoalan utama dalam menentukan solusi makespan dalam persoalan penjadwalan, yaitu:
P b(p)

: menentukan penjadwalan dengan makespan minimum yang paling
mungkin dengan menggunakan paling banyak p prosesor atau mesin.
MSopt (p) menyatakan makespan optimal dengan menggunakan p prosesor.

P b(∞) : menentukan penjadwalan dengan makespan paling minimum dimana
jumlah prosesor yang digunakan tidak mempunyai batas. Persoalan
ini dapat dinyatakan sebagai MSopt (∞) berdasarkan pada persoalan
makespan.
dengan beberapa penaksiran yang dapat ditentukan dalam jobshop antara lain
sebagai berikut.
Flow time (Fj )

: Total jumlah waktu yang diperlukan pekerjaan j pada sistem penjadwalan mesin

Makespan

: Total jumlah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan
seluruh pekerjaan

Lateness (Lj )

: Total jumlah waktu dimana waktu penyelesaian pekerjaan
berbeda dari waktu yang telah ditentukan

Tardiness (Tj )

: Total jumlah waktu dimana waktu penyelesaian pekerjaan
j tidak sesuai dengan waktu yang ditentukan atau sama
dengan 0, yaitu Tj = max{0, L}.
Universitas Sumatera Utara

12
Dari definisi diatas diperoleh formula untuk menentukan penaksiran dalam persoalan jobshop yaitu
n
1 P
Fj
: F¯ =
n j=1

Mean Flow time

n
1 P
: T¯ =
Tj
n j=1

Mean Tardiness

Maksimum Flow time

: Fmax = max {Fj }

Maksimum Tardiness

: Tmax = max {Tj }

Jumlah pekerjaan yang terkendala

: NT =

1≤j≤n

1≤j≤n

n
P

f(Tj )

j=1

dengan f(Tj ) = 1 jika Tj > 0 dan f(Tj ) = 0 untuk lainnya.
2.2 Penjadwalan Mesin
2.2.1 Definisi penjadwalan mesin
Asumsikan terdapat graf bipartit lengkap G = (V1 ∪ V2 , V1 × V2 ) dengan
V1 = {v1, . . . , vn } dan V2 = {w1, . . . , wn } dengan n ≤ m. Untuk masing-masing
arc (vi, wj ) terdapat suatu bilangan riil cij , sehingga diperoleh pemetaan satusatu ϕ : V1 → V2 yang merupakan suatu persoalan penjadwalan ϕ dengan fungsi
objektif yaitu
min

X

cυϕ (υ)

(2.2)

v∈V1

Persoalan penjadwalan tersebut dapat direpresentasikan oleh suatu matriks dimensi n × m C = (cij ) dan diformulasikan sebagai suatu program linier dengan

Universitas Sumatera Utara

13
nilai 0-1 variabel xij yaitu
min
kendala

m
n X
X

cij xij

i=1 j=1
m
X

xij = 1,

j=1
n
X

xij ≤ 1,

i = 1, . . . , n
(2.3)
j = 1, . . . , m

i=1

xij ∈ {0, 1},

i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , m

dengan xij = 1 jika dan hanya jika vi dipasangkan ke wj . Untuk masing-masing
kendala yang terdapat dalam persamaan 2.5, tiap vi ∈ V1 dipasangkan ke tiap
elemen di V2 , dan tiap wj ∈ V2 terdapat sedikitnya pada satu penjadwalan yang
ada.
2.2.2 Ruang lingkup mesin
Ambil nilai α1 ∈ {o, P, Q, R, P M P M, QM P M} dengan o didenotasikan sebagai
simbol kosong (sehingga, α = α2jikaα1 = o), maka tiap Ji mempunyai suatu operasi tunggal. Brucker (2007) mengemukakan ruang lingkup mesin diklasifikasikan
oleh notasi α = α1 α2 pada dua parameter yang digunakan.
Jika α − 1 = o, tiap unit pekerjaan diproses pada satu mesin identik yang dirujuk.
Jika α1 ∈ {P, Q, R}, maka terdapat mesin paralel dimana tiap unit pekerjaan dapat diproses oleh masing-masing mesin M1 , . . . , Mm . Jika α1 = P , maka terdapat
mesin paralel identik. Sehingga, untuk waktu proses pij pada unit pekerjaan Ji di
Mj diperoleh pij = pi untuk semua mesin Mj . Jika α1 = Q, maka terdapat mesin
paralel uniform dengan pij = pi /sj dengan sj adalah kecepatan kinerja mesin Mj .
Terakhir, jika α1 = R, maka terdapat mesin paralel yang saling bebas dengan
pij = pi /sij untuk kecepatan unit pekerjaan yang saling berkaitan sij pada Mj .
Jika α1 ∈ {G, X, O, J, F }, maka terdapat model suatu multi-operasi dalam penjadwalan yang dialokasikan ke tiap unit pekerjaan Ji jika terdapat suatu himpunan
operasi Oi1 , . . . , Oi,ni . Mesin yang digunakan dirujuk dimana seluruh µij meruUniversitas Sumatera Utara

14
pakan himpunan dengan elemen 1. Persoalan ini selanjutnya disebut persoalan
general shop.
Indikasikan persoalan general shop dengan set α1 = G. Jobshop, flowshop,
open shop dan mixed shop merupakan persoalan khusus dari persoalan general
shop. Dalam persoalan jobshop, indikasikan α1 = J , maka diperoleh suatu relasi
operasi yaitu
Oi1 → Oi2 → Oi3 → · · · → Oi,ni ,

i = 1, . . . , n

(2.4)

Gambar 2.3 : Ilustrasi Jobshop pada satu mesin

Lebih lanjut, secara umum dapat diasumsikan bahwa µij 6= µi,j+1 untuk j = 1,
. . . , ni − 1. Disebut sebagai persoalan jobshop dimana µij = µi,j+1 merupakan
perulangan mesin pada jobshop yang mungkin.

Universitas Sumatera Utara

15
Flowshop diindikasikan oleh α1 = F dengan ni = m untuk i = 1, . . . , n dan
µij = {Mj } untuk masing-masing i = 1, . . . , n dan j = 1, . . . , m.

Open shop dinotasikan dengan α1 = O dengan definisi yang hampir sama dengan flowshop dengan tanpa ada relasi antara operasi tiap unit pekerjaan yang
ada.

Mixed shop diindikasikan dengan α1 = X yang merupakan kombinasi dari jobshop dan open shop.

Suatu permutasi flowshop merupakan suatu flowshop dimana unit pekerjaan diproses secara bersamaan pada masing-masing mesin. Andaikan terdapat
suatu persoalan jobshop, maka set β4 sama dengan ni ≤ 2. Pada kasus ini seluruh
unit pekerjaan mempunyai paling banyak dua operasi dalam penjadwalan. Jika
α2 sama dengan suatu bilangan bulat positif 1, 2, . . . , maka α2 didenotasikan sebagai jumlah mesin yang tersedia. Jika α2 = k, maka k merupakan suatu nilai
pendekatan pada jumlah mesin yang tersedia. Jika nilai pendekatan pada jumlah
mesin, set α2 = o.
Megow and Schulz (2004) mengembangkan suatu model dalam persoalan
penjadwalan untuk meminimumkan waktu penyelesaian rata-rata suatu pekerjaan
pada mesin paralel identik dengan menggunakan algoritma on-line. Diasumsikan
bahwa terdapat suatu mesin paralel identik m dimana tiap mesinnya hanya dapat
menyelesaikan satu dari n pekerjaan pada rentang waktu tertentu. Masing-masing
pekerjaan dari suatu himpunan J = {j1 , . . . , jn } mempunyai waktu penyelesaian
positif pj > 0 dan suatu bobot nonnegatif wj ≥ 0. Sehingga fungsi objektif dalam
n
P
wj Cj dimana Cj menyatakan waktu dimana pekerjaan j telah
model adalah
j=1

selesai pada suatu penjadwalan yang layak.

Universitas Sumatera Utara

16
Mastrolili dan Svensson (2011) memberikan pandangan terhadap persoalan
penjadwalan didasarkan pada persoalan jobshop dan flowshop. Dalam persoalan
jobshop, asumsikan bahwa terdapat n pekerjaan yang dapat diselesaikan oleh m
pada himpunan M mesin yang diberikan. Tiap pekerjaan j mempunyai siklus
operasi µj yaitu O1j , O2j , . . . , Oµj j dimana operasi dilakukan pada unit waktu pij
tanpa ada interupsi atau gangguan pada mesin mij ∈ M. Diberikan suatu penjadwalan yang layak dimana seluruh operasi telah dijadwalkan dengan ketentuan
bahwa tiap mesin dapat bekerja paling banyak hanya satu operasi pada suatu
rentang waktu tertentu. Asumsikan Cj sebagai waktu dimana seluruh operasi pada j telah selesai, maka objektif dari model ini adalah meminimumkan makespan
Cmax xj Cj dan meminimumkan total jumlah waktu penyelesaian operasi secara
P
keseluruhan,
wj Cj . Sedangkan persoalan penjadwalan flowshop, F kγ, masing-

masing pekerjaan diselesaikan oleh tepat satu buah mesin dan seluruh pekerjaan
diselesaikan dalam waktu bersamaan yang merupakan suatu contoh kasus yang
khusus pada persoalan penjadwalan jobshop yang asiklik.
Yamada (2007) memberikan notasi head dan tail pada operasi unit pekerjaan
yang belum dijadwalkan. Ambil i sebagai operasi pada mesin Mk yang belum
dijadwalkan. Operasi i dapat diidentifikasi sebagai suatu node i ke dalam graf
untuk memilih Sp . Ambil ri sebagai panjang dari jarak terpanjang dari unit
pekerjaan head ke tail dengan ri = L(0, i) dimana L(i, j) merupakan panjang
dari node i ke j yang menyatakan waktu rilis unit pekerjaan. Ambil qi sebagai
panjang path dari i ke waktu proses yang diperlukan qi = L(I, ∗) − pi dimana pi
menyatakan waktu proses pada i dan qi adalah unit pekerjaan tail pada operasi
i. Batas waktu di = L(0, ∗) − qi . Dalam penjadwalan mesin tunggal dapat

Universitas Sumatera Utara

17
diformulasikan ke dalam bentuk persamaan matematika sebagai berikut:
min max{si + pi + qi }
i∈C

Kendala si ≥ ri
sj − si ≥ pi ∨ si − sj ≥ pj

(i ∈ C)

(2.5)

(i, j ∈ C)

2.2.3 Penjadwalan mesin tunggal identik
Andaikan ri dan pi masing-masing menyatakan jumlah pekerjaan pada himpunan Oij dan waktu proses untuk tiap pekerjaan. Kemudian asumsikan fi merupakan fungsi monoton pada waktu penyelesaian Ci pada pekerjaan i = 1, . . . , n,
dimana penjadwalan menentukan tiap pekerjaan ke n waktu proses pekerjaan.
Jika waktu proses t dipasangkan ke pekerjaan i, maka fungsi monoton yang diperoleh adalah fi (t + 1). Selanjutnya untuk waktu proses maksimum pekerjaan
n, maka persoalan penjadwalan dapat diselesaikan dalam waktu O(n3 ).
Karena fungsi fi adalah monoton tak turun, maka ti waktu proses pada n pekerjaan dapat ditentukan dengan menggunakan algoritma dimana terdapat asumsi
bahwa semua pekerjaan dienumerasikan sebagai berikut
r1 ≤ r2 ≤ · · · ≤ rn

(2.6)

Algoritma Waktu Proses n Pekerjaan

1. t1 := r1 ;
2. FOR i := 2 TO n DO ti := max{ri , ti−1 + 1}

Terdapat suatu penjadwalan optimal dengan waktu proses ti (i = 1, . . . , n). Ambil penjadwalan optimal S dengan waktu proses t1, . . . , tj dimana j < n adalah
maksimum, maka tj+1 menunjukkan waktu proses selanjutnya dimana suatu pekerjaan dapat dijadwalkan. Jika tidak terdapat waktu proses untuk tj+1 di S,
Universitas Sumatera Utara

18
maka suatu penjadwalan di S dapat dijadwalkan dan dipindahkan ke tj+1 tanpa adanya penambahan pada nilai objektif. Oleh sebab itu, penjadwalan baru
yang diperoleh juga optimal dan diperoleh suatu kontradiksi ke maksimalitas pada j. Graf bipartif lengkap yang menyatakan suatu penjadwalan diberikan oleh
V1 = {1, . . . , n} dan V2 = {t1, . . . , tn } dengan nilai cij ditentukan oleh



fi (tj + 1) jika ri ≤ tj
cij =


∞
dan lainnya

(2.7)

Teorema 2.2.1 (Brucker, 2007) Asumsikan (cij ) adalah matriks berdimensi n ×
m dengan n ≤ m. Selanjutnya, asumsikan bahwa cij ≤ cik untuk semua i dan
j < k. Maka,
xij =




1


0

jika i = j
dan lainnya

merupakan solusi optimal untuk penjadwalan.

Bukti Asumsikan y = (yij ) sebagai solusi optimal dari persoalan penjadwalan
dengan yvv = 1 untuk v = 1, . . . , i dimana i dengan nilai sebesar mungkin. Asumsikan i < n (jika i = n). Karena yi+1,i+1 = 0, terdapat suatu indeks l > i + 1
dengan yi+1,l = 1. Selanjutnya, perhatikan bahwa terdapat dua kasus.

1. Kasus 1. Terdapat suatu indeks j > i + 1 dengan yj,i+1 = 1, maka
ci+1,i+1 + cjl ≤ ci+1,l + cj,i+1
Sehingga, jika ditentukan




1
jika r = s = i + 1 atau r = j, s = l




y¯rs = 0
jika r = i + 1, s = l atau r = j, s = i + 1






yrs dan lainnya

Universitas Sumatera Utara

19
maka y¯rs adalah solusi optimal untuk persoalan penjadwalan, kontradiksi
dengan maksimalitas pada i.
2. Kasus 2. yv,i+1 = 0 untuk semua v ≥ i + 1. Terdapat l > i + 1 dengan
yi+1,l = 1. Lebih lanjut, ci+1,i+1 ≤ ci+1,l , maka y¯rs didefinisikan oleh




1
jika r = s = i + 1




y¯rs = 0
jika r = i + 1, s = l






yrs dan lainnya

merupakan suatu solusi optimal, kontradiksi dengan maksimalitas pada i.

2.3 Persoalan Jobshop
Dalam persoalan penjadwalan jobshop, suatu pekerjaan dapat diselesaikan
oleh mesin pada sebarang urutan dimana terdapat m mesin dan n pekerjaan yang
akan diproses. Yamada (2007) memberikan pandangan mengenai persoalan penjadwalan jobshop yaitu terdapat n×m minimum-makespan yang merupakan topik
umum dalam persoalan penjadwalan, yang dapat dinotasikan dengan n/m/G/Cmax .
Sehingga dapat dideskripsikan oleh suatu himpunan yang menyatakan n jumlah
pekerjaan yang ada, {Ji }1≤j≤n , yang akan diproses oleh m mesin yang dinotasikan
dengan suatu himpunan {Mr }1≤r≤m . Objek dari persoalan ini adalah menentukan
waktu minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan n pekerjaan yang ada yang
juga disebut dengan makespan, yang dinotasikan sebagai Cmax =

max

i≤j≤n,1≤r≤m

cjr ,

dengan Ojr dan cjr berturut-turut menyatakan waktu awal dan waktu penyelesaian.

Universitas Sumatera Utara

20
Definisi 3 (Definisi Jobshop) Andaikan M sebagai suatu himpunan mesin
yang tersedia. Suatu pekerjaan di M merupakan suatu tripel J = (k, µ, d) dimana
k ∈ N merupakan jumlah tahap di J, µ : {1 . . . k} → M yang menunjukkan suatu
mesin yang digunakan pada tiap tahap, dan d : {1 . . . k} → N yang menunjukkan
panjang tiap tahap. Suatu jobshop merupakan suatu himpunan J = {J 1, . . . , J n }
untuk pekerjaan J i = (k i , µi , di ).

Definisi 4 (Penjadwalan layak) Asumsikan J = {J 1, . . . , J n } sebagai pekerjaan yang tersedia. Suatu penjadwalan yang layak untuk J merupakan suatu relasi
S ⊂ J × K × T sehingga (i, j, t) ∈ S menunjukkan bahwa suatu pekerjaan J i
dalam keadaan ’sedang diproses’ pada waktu tahap ke-j untuk waktu t dan, karena itu, digunakan mesin µi (j). Asumsikan Tji sebagai himpunan waktu dimana
pekerjaan i ∈ J dieksekusi pada tahap ke-j dengan Tji = {t : (i, j, t) ∈ S}. Suatu
penjadwalan haruslah memenuhi beberapa kondisi sebagai berikut:

1. Proses penyelesaian pekerjaan
Jika (i, j, t) ∈ S dan (i, j ′, t′) ∈ S, maka j < j ′ juga berakibat t < t′ .
2. Covering
Untuk setiap i ∈ J dan j ∈ K, berlaku
Z

dt ≥ di (j)

t∈Tji

untuk setiap tahap dalam penjadwalan dieksekusi.
3. Mutual eksklusi
Untuk setiap i, i′ ∈ J , j, j ′ ∈ K dan t ∈ T . Jika (i, j, t) ∈ S dan (i′ , j ′, t′) ∈
′

S, maka µi (j) 6= µi (j ′ ) yang menunjukkan bahwa terdapat dua tahap dari
pekerjaan yang berbeda yang diproses atau dieksekusi pada waktu yang sama
namun tidak menggunakan mesin yang sama.
Universitas Sumatera Utara

21
Teorema 2.3.1 Misal U adalah himpunan pekerjaan yang dapat dijadwalkan terlebih dahulu dan misal i adalah pekerjaan yang bukan merupakan bagian dari U
dengan dj ≤ di , ∀j ∈ U . Maka himpunan pekerjaan V = U ∪{i} dapat dijadwalkan
jika dan hanya jika
x(di ) +

dX
i −m

(m − hU (t)) ≥ m

t=1

dimana m adalah jumlah operasi dan di adalah pembagian waktu terhadap penjadwalan mesin.

Teorema 2.3.2 Misal I1 merupakan subhimpunan dari I = {J1 , . . . , Jn }. Batas
bawah dari nilai minimum makespan untuk penjadwalan satu mesin dapat ditentukan oleh
h(I1) = min ri +
i∈I1

X
i∈I1

pi + min qi
i∈I1

dengan ri , pi dan qi menyatakan waktu awal, waktu penyelesaian dan batas waktu
tiap pekerjaan i secara berturut-turut.

Dalam jobshop, asumsikan terdapat suatu pekerjaan α1 = J, sehingga diperoleh
suatu kondisi bersyarat (precendence relations) yang dinyatakan sebagai
Oi1 → Oi2 → Oi3 → . . . Oi , ni

untuk

i = 1, . . . , n

Selanjutnya, secara umum asumsikan bahwa µij 6= µi,j+1 untuk j = 1, . . . , ni − 1.
Akibatnya, µij = µi,j+1 merupakan suatu persoalan jobshop dengan repetisi mesin.
2.4 Penjadwalan Flowshop
Persoalan penjadwalan flowshop merupakan suatu persoalan penjadwalan
umum dengan
• untuk tiap pekerjaan i terdapat m pekerjaan yang dinyatakan dengan himpunan Oij dimana tiap pekerjaan mempunyai waktu proses pij (j = 1, . . . , m)
dan diproses pada mesin Mj , dan
Universitas Sumatera Utara

22
• terdapat kendala dengan ketentuan Oij → Oi,j+1 (i = 1, . . . , m − 1) untuk
tiap i = 1, . . . , n dimana tiap pekerjaan diproses dengan urutan mesin 1,
mesin 2, mesin 3 dan seterusnya.

Oleh karena itu, objektif dalam persoalan ini adalah untuk menentukan urutan
pekerjaan φj untuk masing-masing mesin j sehingga diperoleh suatu penjadwalan
yang layak. Suatu penjadwalan flowshop disebut juga dengan suatu permutasi
flowshop dimana terdapat suatu urutan pekerjaan khusus φ1, φ2 , . . . , φm dengan
φ1 = φ2 = · · · = φm . Brucker (2007) menunjukkan suatu bentuk permutasi yang
dinyatakan dengan L : L(1), . . . , L(n) untuk semua pekerjaan yang tersedia untuk
penjadwalan flowshop dimana terdapat urutan pekerjaan yang sama pada mesin
yang berbeda. Asumsikan terdapat suatu urutan optimal dengan aturan urutan
kiri mesin yaitu T : L(1), . . . , L(t) dan urutan kanan mesin, R : L(t + 1), . . . , L(n)
sedemikian hingga T dan R diproses oleh mesin secara bertahap.
Untuk setiap proses, asumsikan suatu pekerjaan Oi∗j∗ dengan waktu proses terendah pi∗j∗ . Jika j ∗ = 1, maka ambil pekerjaan i∗ dari urutan akhir T kemudian
ubah T dengan T ◦ i∗. Selanjutnya yntuk yang lainnya ambil i∗ dari urutan awal
R kemudian ubah R dengan i∗ ◦ R. Dari asumsi diatas, Brucker (2007) mengemukakan algoritma yang dapat digunakan dalam menentukan urutan pekerjaan
sebagai berikut.

Step 1. X := 1, ..., n; T := φ : R := φ
Step 2. while X 6= φ DO
Step 3. BEGIN
Step 4. Tentukan i∗, j ∗ dengan pi∗ j ∗ = min{pij |i ∈ X; j = 1, 2};
Step 5. IF j ∗ = 1, maka T := T ◦ i∗ . ELSE R := i∗ ◦ R;

Universitas Sumatera Utara

23
Step 6. X := X \ {i∗ }
Step 7. END;
Step 8. L := T ◦ R

Brucker (2007) memberikan ilustrasi penjadwalan mesin untuk persoalan penjadwalan flowshop seperti pada tabel 2.1.

Tabel 2.1 : Ilustrasi Data
Pekerjaan i Mesin pi1
1
4
2
3
3
3
4
1
5
8

Mesin pi2
8
3
4
4
7

Dengan ketentuan algoritma yang telah diperoleh, maka penjadwalan yang layak
yang mungkin dalam urutan pekerjaan yang ada diberikan pada gambar 3.1 di
bawah ini.

Gambar 2.4 : Penjadwalan flowshop yang layak pada mesin

Universitas Sumatera Utara

24
Selanjutnya, diberikan dua lemma untuk membuktikan bahwa algoritma berlaku
untuk persoalan penjadwalan flowshop sebagai berikut.

Lemma 2.4.1 Asumsikan L := L(1), . . . , L(n) sebagai urutan pekerjaan yang
ada, sehingga berlaku
min{pi1 , pj2 } < min{pj1 , pi2 }
yang menunjukkan bahwa pekerjaan i diproses sebelum pekerjaan j di L.

Bukti Jika pi1 < min{pj1 , pi2 }, maka pi1 < pi2 yang menunjukkan pekerjaan i
di T . Jika pekerjaan j ditambahkan ke urutan R, maka urutan pekerjaan di T
telah selesai. Dan selanjutnya, j diproses setelah i di T karena pi1 < pj1 . Jika
pj2 < min{pj1 , pi2 }, diperoleh penjadwalan yang sama. Penjadwalan ini dapat
diilustrasikan dengan gambar 2.2 seperti di bawah ini.

Gambar 2.5 : Ilustrasi penjadwalan yang mungkin dari Lemma 1, (a),(b) dan (c)

Universitas Sumatera Utara

25
Lemma 2.4.2 Asumsikan terdapat suatu penjadwalan dimana pekerjaan j dijadwalkan segera setelah pekerjaan i. Maka,
min{pj1 , pi2 } ≤ min{pi1 , pj2 }
menunjukkan bahwa i dan j dapat diganti tanpa mempengaruhi waktu proses pekerjaan.

Bukti Jika j dijadwalkan segera setelah pekerjaan i, maka terdapat tiga kondisi
penjadwalan yang mungkin. Notasikan bahwa wij adalah total waktu periode dari
pekerjaan i diproses hingga j, maka diperoleh
wij = max{pi1 + pj1 + pj2 , pi1 + pi2 + pj2 + pi2 , pj2 }
= max{pi1 + pj2 + max{pj1 , pi2 }, x + pi2 + pj2 }
Kemudian untuk kondisi
max{−pi1 , −pj2 } ≤ max{−pj1 , −pi2 }
ambil pi1 + pi2 + pj1 + pj2 ke kedua kondisi di atas, sehingga diperoleh
pj1 + pi2 + max{pi1 , pj2 } ≤ pi1 + pj2 + max{pj1 , pi2 }
dimana wji < wij . Maka, terbukti bahwa pergantian urutan pekerjaan antara i
dan j tidak mempengaruhi waktu proses pekerjaan.

2.4.1 Persoalan bin packing
Salah satu persoalan penjadwalan flowshop yang sering dikaji adalah persoalan bin packing merupakan persoalan penjadwalan minimum makespan dengan
tujuan mengurutkan seluruh pekerjaan yang ada ke total mesin yang digunakan
sehingga diperoleh total minimum bin yang digunakan dalam penjadwalan layak
yang diperoleh.
Universitas Sumatera Utara

26
Definisi 5 (bin packing) Diberikan pekerjaan dengan bobot s1, . . . , sn ∈ (0, 1].
Alokasikan keseluruhan pekerjaan ke total jumlah minimum bin yang mungkin,
dimana tiap bin berbobot 1.

2.5 Zona Terlarang dalam Penjadwalan
Asumsikan terdapat suatu penjadwalan yang layak dengan operasi atau pekerjaan Oij ∈ QJ dimulai pada waktu sij dengan waktu penyelesaian secara keseluruhan adalah cij = sij + pij , dimana pij menyatakan waktu proses pekerjaan
Oij . Asumsikan QJk sebagai himpunan yang menyatakan seluruh pekerjaan dari
himpunan QJ , QJk ⊂ QJ , yang diproses oleh mesin Mk ∈ M. Dalam model deterministik, waktu proses pij diberikan untuk semua pekerjaan Oij , Ji ∈ J dengan
j = 1, 2, . . . , ni . Oleh sebab itu, suatu penjadwalan didefinisikan sebagai suatu
himpunan waktu awal sij (atau waktu penyelesaian cij ) pada seluruh pekerjaan QJ . Terdapat suatu himpunan waktu penyelesaian pada pekerjaan QJ yang
digunakan untuk menyatakan suatu barisan penjadwalan khusus untuk waktu penyelesaian QJk untuk setiap mesin Mk , k = 1, 2, . . . , m. Oleh sebab itu, pada suatu
penjadwalan khusus diberikan m barisan penjadwalan khusus untuk pekerjaan QJk
untuk setiap mesin Mk ∈ M.
Objektif dari persoalan penjadwalan adalah untuk menentukan suatu m
barisan penjadwalan dari seluruh pekerjaan QJk yang ada pada mesin Mk , k =
1, 2, . . . , m dengan nilai pada fungsi objektif yang diberikan, φ(C1 , C2, . . . , Cn )
adalah minimum. Karena itu, persamaan Ci = cini dan Ci menyatakan waktu
total penyelesaian pekerjaan Ji ∈ J.
Andaikan terdapat batasan waktu pada rancangan operasi secara keseluruhan dengan memberikan batas waktu pada masing-masing pekerjaan yang ada.
Maka proses ini akan menambahkan suatu kendala waktu, batas waktu operasi
atau total waktu pekerjaan secara keseluruhan ke dalam model rancangan yang
Universitas Sumatera Utara

27
ada (Chaudhuri, 1995). Kendala waktu ini selanjutnya disebut sebagai suatu zona
terlarang (forbidden zones) dalam persoalan penjadwalan.
Khammuang et al. (2007) memberikan suatu kendala interval waktu yang
berbeda dari model-model penjadwalan yang telah dikembangkan sebelumnya.
Dalam beberapa persoalan penjadwalan, proses penyelesaian terhadap pekerjaan
tetap berjalan namun tanpa adanya inisialisasi terhadap interval waktu tertentu. Denotasikan bahwa n pekerjaan dapat dijadwalkan menjadi J1 , J2, . . . , Jn .
Asumsikan bahwa pi sebagai waktu penyelesaian pekerjaan Ji sehingga pi ≤ 1, ∀i.
Sehingga terdapat partisi waktu sebagai suatu himpunan I = {I1 , I2, . . . , Is }
dengan I1 = [0, 2], I2 = [2, 4] hingga Is = [2s − 2, 2s].

Masing-masing Ij

merupakan bagian dari zona terlarang (forbidden zones) Fj ⊆ Ij , ∀j dimana
F1 = (1, 2], F2 = (3, 4], . . . , Fs = (2s − 1, 2s]. Akibatnya, interval waktu Is Fj
merupakan interval waktu yang diperbolehkan (allowed zones) dimana pekerjaan
dapat diproses oleh mesin. Lebih sederhana, interval waktu dan zona terlarang
dalam penjadwalan dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Gambar 2.6 : Ilustrasi interval waktu dan zona terlarang dalam penjadwalan

Khammuang et al. (2007) secara khusus memberikan pandangan terhadap
definisi zona terlarang dalam penjadwalan sebagai suatu interval waktu dimana
suatu pekerjaan atau operasi tidak dapat dilakukan, namun dapat diproses. Lebih
jelasnya, andaikan suatu pekerjaan telah selesai sebelum interval waktu pada zona
terlarang, maka pekerjaan tersebut akan dikeluarkan dari himpunan urutan pekerjaan pada interval waktu berikutnya. Sehingga, untuk pekerjaan paling akhir
dari suatu barisan urutan pekerjaan yang ada memerlukan waktu penyelesaian
Universitas Sumatera Utara

28
t = 2j − 1. Model ini bertujuan untuk menentukan urutan atau barisan terhadap
pekerjaan yang ada sehingga diperoleh interval waktu minimum yang digunakan.
Billaut dan Sourd (2001) mengembangkan model penjadwalan dengan adanya
suatu kendala interval waktu menggunakan asumsi terdapat suatu himpunan waktu awal dalam zona terlarang (forbidden start time) yang diberikan pada persoalan
jobshop. Lebih jelasnya, dalam persoalan jobshop, waktu awal dalam zona terlarang didasarkan pada waktu yang ditentukan saat mesin akan menyelesaikan
suatu pekerjaan j dengan keadaan mesin tidak dapat melakukan proses lainnya
di waktu yang sama. Billaut dan Sourd (2001) memberikan ilustrasi terhadap persoalan penjadwalan yang melibatkan multi mesin, diasumsikan seorang operator
dapat melakukan pengaturan mesin. Operator tidak dapat melakukan pekerjaan
lainnya dalam waktu yang bersamaan meskipun waktu yang diperlukan untuk
menyelesaikan pekerjaan tersebut hanya sedikit. Oleh sebab itu, kedua pekerjaan
tersebut tidak dapat diselesaikan pada waktu yang bersamaan sehingga waktu
awal dalam zona terlarang menjadi parameter dalam pembagian waktu penjadwalan.

Teorema 2.5.1 (Billaut, 2001) Penjadwalan mesin tunggal dengan adanya waktu awal dalam zona terlarang merupakan persoalan NP-complete.

Bukti (berdasarkan Billaut, 2001) Untuk membuktikan Teorema 5, asumsikan
terdapat n = 3m pekerjaan yang dibagi menjadi dua bagian, yaitu:

• 3m pekerjaan pertama dengan waktu penyelesaian s(a). m pekerjaan masingmasing dinotasikan sebagai T1, T2, . . . , Tm
• m pekerjaan yang dinotasikan sebagai T1, T2, . . . , Tm dengan waktu penyelesaian sama dengan B

Universitas Sumatera Utara

29
Total interval waktu awal dalam zona terlarang adalah K = m(B −1). Himpunan
S
interval waktu awal dalam zona terlarang diberikan oleh F = 1≤i≤m [(2i − 1)B +
1, 2iB−1], sehingga secara berkala terdapat B+1 waktu awal diluar zona terlarang

dan selanjutnya B − 1 interval waktu awal dalam zona terlarang seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 2.4 dengan F1 = B + 1, F2 = B + 2, . . . , FB−1 =
2B − 1, FB = 3B + 1 dan seterusnya. Persoalan ini merupakan persoalan pseudo-

Gambar 2.7 : Ilustrasi penjadwalan mesin tunggal dengan waktu awal dalam
zona terlarang
polynomial dengan total waktu awal dalam zona terlarang didasarkan pada B
yang menunjukkan bahwa persoalan merupakan NP-complete.
Teorema 2.5.2 (Billaut, 2001) Persoalan 1|Sj 6∈ F, pj = p|Cmax dapat diselesaikan secara optimal dalam waktu O(K), asumsikan bahwa terdapat suatu waktu
awal dalam zona terlarang.
Bukti Dalam persoalan ini, semua pekerjaan yang ada adalah indentik sehingga tidak terdapat suatu persoalan antrian. Persoalan yang ada adalah untuk
menjadwalkan suatu waktu awal yang tidak termasuk dalam F ke tiap pekerjaan
yang ada. Jika tidak terdapat suatu waktu awal yang terlarang sama dengan 0(
mod p), semua pekerjaan dapat disusun tanpa adanya waktu idle. Sebaliknya,
suatu waktu idle terdapat dalam persoalan dan jika terdapat suatu waktu awal
terlarang sama dengan 1( mod p), pekerjaan yang ada dapat disusun tanpa ada
suatu waktu idle. Proses ini membutukan K iteraksi dan kembali pada suatu nilai optimal makespan. Prosedur ini memberikan optimal makespan dalam O(K)
waktu.
Universitas Sumatera Utara

30
Teorema 2.5.3 (Billaut, 2001) Jika K = 1, maka terdapat suatu penjadwalan
optimal mesin pada makespan adalah P dengan pi = p untuk semua pekerjaan
dan F1 = kp untuk beberapa bilangan bulat k < n. Akibatnya, makespan dalam
penjadwalan adalah P + 1.

Bukti (berdasarkan Billaut, 2001). Jika waktu proses semua pekerjaan adalah
p dan F1 = kp, jelas bahwa tidak terdapat suatu penjadwalan yang layak yang
diselesaikan pada P = np. Andaikan suatu penjadwalan pekerjaan ke-k+1 dengan
waktu awal kp yang merupakan interval dalam zona terlarang, maka diperoleh
suatu penjadwalan yang diselesaikan pada P +1 dengan memulai pekerjaan ke-k+1
pada waktu kp+1. Sekarang akan ditunjukkan bahwa terdapat suatu penjadwalan
yang dapat diselesaikan pada P . Jika waktu pemrosesan pada seluruh pekerjaan
adalah p dan F1 6= kp, maka tiap pekerjaan dimulai pada waktu kp dengan 0 ≤
k ≤ n − 1 dan sebarang urutan pekerjaan adalah layak dan dapat diselesaikan
pada P . Jika terdapat dua pekerjaan yang berbeda dalam suatu penjadwalan,
maka dapat diasumsikan bahwa p1 6= p2 dimana p1 ≥ pi , ∀i. Ambil k sebagai
indeks dimana Pk−1 ≤ F1 < Pk . Sehingga, diperoleh Pk − F1 ≤ pk ≤ pi . Jika
Pk − F1 < p1 , maka pekerjaan yang ada dapat dijadwalkan menjadi J2 , . . . , Jk
antara 0 dan Pk − p < F1 dan J1 antara Pk − p1 dan Pk . Jika Pk − F1 = p1 , maka
pekerjaan dapat dijadwalkan sebagai J3 , . . . , Jk antara 0 dan Pk − p1 − p2 < F1
dan J1 antara Pk − p1 − p2 dan Pk − p2 = F1 + p1 − p2 6= F1 . Akibatnya, J2
dapat diselesaikan pada Pk − p2 . Pada kedua kasus tersebut, dapat diperoleh
penjadwalan untuk J1, . . . , Jk yang dapat diselesaikan sebelum Pn .

Universitas Sumatera Utara