Penjawalan Online dengan Zona Terlarang

PENJADWALAN ONLINE DENGAN ZONA TERLARANG
TESIS
Oleh SRI MAWARNI 117021001/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

PENJADWALAN ONLINE DENGAN ZONA TERLARANG
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh SRI MAWARNI 117021001/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: PENJADWALAN ONLINE DENGAN ZONA TERLARANG
: Sri Mawarni : 117021001 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim, M.Sc) Ketua

(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 3 Juni 2013

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 3 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Opim Salim, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

2. Dr. Yulita Moliq, M.Sc 3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN PENJADWALAN ONLINE DENGAN ZONA TERLARANG
TESIS
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Medan, Juni 2013 Penulis, Sri Mawarni
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Penjadwalan on-line dapat dilihat sebagai penjadwalan dengan informasi yang

belum lengkap, yakni waktu proses (run times) pada saat pekerjaan tiba belum

diketahui, atau pada titik-titik (waktu) tertentu keputusan dibuat tanpa menge-

tahui kejadian lengkap, atau tergantung bagaimana cara informasi baru dike-

tahui. Dalam konteks manufaktur dan komputasi berbagai kemungkinan adanya

periode tertentu dalam setiap interval waktu, di mana pengolahan dapat terus

berlangsung tetapi tidak dapat dimulai. Misalkan n pekerjaan dijadwalkan oleh

J1, · · · , Jn, dan misalkan pi waktu proses pada Ji. Untuk selanjutnya asumsikan pi

≤ 1, ∀i. Waktu dipartisi kedalam himpunan interval I = {I1, I2, · · · , Is} dengan I1

= [0, 1], I2 = [1, 2], · · · , Is = [s1, s]. Setiap Ij memuat sebuah koresponden zona

terlarang

Fj

⊆

Ij

∀j,

dimana

F1

=

(

1 2

,

1],

F2

=

(

3 2

,

2],

···

, Fs

=

(s

1 2

,

s].

Interval

Ij\Fj disebut daerah yang diizinkan. Zona terlarang merepresentasikan interval

waktu dimana suatu pekerjaan tidak dapat dimulai tetapi dapat diproses. Dalam

tesis ini penulis memeriksa masalah penjadwalan online dengan adanya zona ter-

larang dan menyelidiki adaptasi algoritma online bin packing yaitu first fit, next

fit dan em harmonic untuk persoalan penjadwalan online dengan zona terlarang

pada interval waktu I dan zona terlarang F tersebut.

Kata kunci : Penjadwalan, Algoritma online, Bin packing.

ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Online scheduling can be seen as scheduling with incomplate information, namely

processing time are unknown, at certain points (times) decision have to be made

without knowing the complate instance or depending on the way how new infor-

mation becomes known. In various manufacturing and computing contexts there

may be a certain period in each time interval, during which processing may con-

tinue but may not be initiated. Suppose the n jobs to be scheduled by J1, · · · , Jn.

Let pi be the processing time of Ji. Furthermore, we shall assume from now on

that pi ≤ 1, ∀i. Partition time into a set of abutting intervals I = {I1, I2, · · · , Is}

with I1 = [0, 1], I2 = [1, 2], · · · , Is = [s1, s]. Each Ij includes a corresponding

forbidden

zones

Fj

⊆

Ij ∀j ,

dimana

F1

=

(

1 2

,

1],

F2

=

(

3 2

,

2],

···

, Fs

=

(s

1 2

,

s].

We call the intervals Ij\Fj allowed zones. Forbidden zones represent time inter-

vals during which a job cannot be started, but can be processed. In this thesis, the

author examine the problems of online scheduling in the presence of such forbid-

den zones and investigate adaptation of the online bin packing algorithm there is

first fit, next fit and harmonics algorithm for problems of online scheduling with

forbidden zones at time interval of I and the forbidden zone of F .

Keyword : Scheduling, Online algorithm, Bin packing

iii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: PENJADWALAN ONLINE DENGAN ZONA TERLARANG. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, sekaligus pembanding-II yang telah memberi kritik dan saran dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, sekaligus pembimbingII yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-I yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penyelesaian dan penyempurnaan tesis ini.
Ibu Dr. Yulita Molliq, M.Sc, Pembanding-I yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak / Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, M.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
iv
Universitas Sumatera Utara

Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada Ibunda tercinta, Halifah dan Suami, Sunarto, serta anak-anak, Ibar dan Fauzan yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan baik moril maupun materiil selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini. Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011, dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Juni 2013 Penulis, Sri Mawarni
v
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Sri Mawarni, dilahirkan di Selatpanjang pada tanggal 17 Desember 1979, merupakan anak kesembilan dari sebelas bersaudara dari Bapak Abdul Wahid dan Ibu Halifah. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 005 Selatpanjang pada tahun 1991, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Negeri 1 Selatpanjang pada tahun 1994, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 2 Selatpanjang pada tahun 1997. Pada tahun 1997 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan matematika di Universitas Riau dan memperoleh gelar Sarjana Sains pada Januari 2001. Pada September 2011 penulis melanjutkan studi pada Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metode Penelitian
BAB 2 KAJIAN LITERATUR TENTANG BIN PACKING

i ii iii iv vi vii ix
1
1 3 4 4 4
5

BAB 3 BIN PACKING DAN PERSOALAN ZONA TERLARANG

11

3.1 Bin Packing 3.2 Persoalan Zona Terlarang

11 17

BAB 4 RASIO KOMPETITIF PENJADWALAN ONLINE DENGAN ZONA

TERLARANG JIKA INTERVAL WAKTU DIPERKECIL

20

4.1 Analisa Rasio Kompetitive Batas Bawah.

20

vii
Universitas Sumatera Utara

4.2 Algoritma Online Untuk Persoalan Zona Terlarang BAB 5 KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN
5.1 Kesimpulan 5.2 Riset Lanjutan DAFTAR PUSTAKA

23 32
32 32 33

viii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

2.1 Ringkasan heuristik untuk bin packing problem 3.1 Kinerja rasio asimptotik worst-case pada algoritma bin packing

7 15

ix
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK

Penjadwalan on-line dapat dilihat sebagai penjadwalan dengan informasi yang

belum lengkap, yakni waktu proses (run times) pada saat pekerjaan tiba belum

diketahui, atau pada titik-titik (waktu) tertentu keputusan dibuat tanpa menge-

tahui kejadian lengkap, atau tergantung bagaimana cara informasi baru dike-

tahui. Dalam konteks manufaktur dan komputasi berbagai kemungkinan adanya

periode tertentu dalam setiap interval waktu, di mana pengolahan dapat terus

berlangsung tetapi tidak dapat dimulai. Misalkan n pekerjaan dijadwalkan oleh

J1, · · · , Jn, dan misalkan pi waktu proses pada Ji. Untuk selanjutnya asumsikan pi

≤ 1, ∀i. Waktu dipartisi kedalam himpunan interval I = {I1, I2, · · · , Is} dengan I1

= [0, 1], I2 = [1, 2], · · · , Is = [s1, s]. Setiap Ij memuat sebuah koresponden zona

terlarang

Fj

⊆

Ij

∀j,

dimana

F1

=

(

1 2

,

1],

F2

=

(

3 2

,

2],

···

, Fs

=

(s

1 2

,

s].

Interval

Ij\Fj disebut daerah yang diizinkan. Zona terlarang merepresentasikan interval

waktu dimana suatu pekerjaan tidak dapat dimulai tetapi dapat diproses. Dalam

tesis ini penulis memeriksa masalah penjadwalan online dengan adanya zona ter-

larang dan menyelidiki adaptasi algoritma online bin packing yaitu first fit, next

fit dan em harmonic untuk persoalan penjadwalan online dengan zona terlarang

pada interval waktu I dan zona terlarang F tersebut.

Kata kunci : Penjadwalan, Algoritma online, Bin packing.

ii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Online scheduling can be seen as scheduling with incomplate information, namely

processing time are unknown, at certain points (times) decision have to be made

without knowing the complate instance or depending on the way how new infor-

mation becomes known. In various manufacturing and computing contexts there

may be a certain period in each time interval, during which processing may con-

tinue but may not be initiated. Suppose the n jobs to be scheduled by J1, · · · , Jn.

Let pi be the processing time of Ji. Furthermore, we shall assume from now on

that pi ≤ 1, ∀i. Partition time into a set of abutting intervals I = {I1, I2, · · · , Is}

with I1 = [0, 1], I2 = [1, 2], · · · , Is = [s1, s]. Each Ij includes a corresponding

forbidden

zones

Fj

⊆

Ij ∀j ,

dimana

F1

=

(

1 2

,

1],

F2

=

(

3 2

,

2],

···

, Fs

=

(s

1 2

,

s].

We call the intervals Ij\Fj allowed zones. Forbidden zones represent time inter-

vals during which a job cannot be started, but can be processed. In this thesis, the

author examine the problems of online scheduling in the presence of such forbid-

den zones and investigate adaptation of the online bin packing algorithm there is

first fit, next fit and harmonics algorithm for problems of online scheduling with

forbidden zones at time interval of I and the forbidden zone of F .

Keyword : Scheduling, Online algorithm, Bin packing

iii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Penjadwalan diperlukan ketika beberapa pekerjaan harus diproses pada suatu mesin tertentu yang tidak bisa memproses lebih dari satu pekerjaan pada saat yang sama. Penjadwalan yang baik akan memaksimumkan efektivitas pemanfaatan setiap sumber daya yang ada.
Penjadwalan adalah kegiatan pengalokasian sumber-sumber atau mesin-mesin yang ada untuk menjalankan sekumpulan tugas dalam jangka waktu tertentu. Masalah penjadwalan muncul karena adanya keterbatasan waktu, tenaga kerja, jumlah mesin, sifat dan syarat pekerjaan yang akan dilaksanakan. Secara umum ada dua permasalahan utama yang akan diselesaikan melalui penjadwalan yaitu penentuan pengalokasian mesin yang akan digunakan untuk menyelesaikan proses produksi dan penentuan pengurutan waktu pemakaian mesin tersebut, sehingga dalam merencanakan penjadwalan perlu memiliki aturan dan mempertimbangan pendekatan yang digunakan (Barker dan Kenneth, 1974).
Aproksimasi on-line telah menjadi semakin penting dalam bidang penjadwalan, karena dalam merencanakan penjadwalan pengambil keputusan sering mengalami masalah di mana hanya sebagian informasi yang diberikan tetapi dibutuhkan solusi yang cepat dan tepat. Penjadwalan on-line dapat dilihat sebagai penjadwalan dengan informasi yang belum lengkap, yakni waktu proses (run times) pada saat pekerjaan tiba belum diketahui, atau pada titik-titik (waktu) tertentu keputusan dibuat tanpa mengetahui kejadian lengkap, atau tergantung bagaimana cara informasi baru diketahui. Penjadwalan online membatasi pengambil keputusan untuk menjadwalkan pekerjaan berdasarkan informasi yang tersedia saat ini (Khammuang et al., 2007).
Dalam penjadwalan online, scheduler menerima pekerjaan yang datang dari waktu ke waktu, dan umumnya harus menjadwalkan pekerjaan tanpa penge-
1
Universitas Sumatera Utara

2
tahuan tentang masa akan datang. Kurangnya pengetahuan tentang masa akan datang menghalangi scheduler dari menjamin jadwal yang optimal. Dengan demikian banyak penelitian telah difokuskan pada menemukan algoritma penjadwalan yang menjamin jadwal yang dalam beberapa cara tidak terlalu jauh dari optimal (Prush et al., 2004).
Penjadwalan dengan waktu mulai, yang dilengkapi zona terlarang, muncul dari persoalan bahwa aktivitas tertentu tidak diizinkan untuk dimulai dalam interval waktu tertentu, atau secara umum, dalam beberapa persoalan penjadwalan pengolahan dapat terus berlangsung tetapi tidak dapat dimulai selama interval tertentu (Khammuang et al., 2007). Dalam penelitiannya waktu proses pada pekerjaan yang dijadwalkan diasumsikan tidak lebih dari satu dengan zona terlarang F ⊂ I, dimana I adalah himpunan interval waktu.
Khammuang et al. (2007) juga mengungkapkan terdapat hubungan antara persoalan zona terlarang dengan solusi optimal dari bin packing. Coffman et al. (1997) menyatakan bahwa bin packing juga telah menjadi dasar teori signifikan sebagai pembuktian awal bagi banyak pendekatan klasik untuk menganalisis kinerja pendekatan algoritma termasuk menentukan kinerja rasio worst-case (saat ini disebut rasio kompetitif), mengidentifikasi batas bawah pada kinerja online dan menganalisis perilakunya.
Coffman, et al. (1997) mendefinisikan persoalan bin packing satu dimensi sebagai berikut. Misal diberikan urutan L(a1, a2, . . ., an) item, masing-masing dengan ukuran s(ai) ∈ (0, 1] dan pack menjadi sebuah jumlah minimum pada unit berkapasitas bin (yaitu partisi menjadi sebuah jumlah minimum m dari subset B1, B2, . . ., Bm sehingga ai∈Bj s(ai) ≤ 1 , 1 ≤ j ≤ m, persoalan ini merupakan NP-hard.
Permasalahan penjadwalan yang sebenarnya biasanya sangat kompleks, sehingga sulit untuk mendapatkan solusi yang memenuhi tujuan penjadwalan, terlebih lagi untuk penjadwalan pekerjaaan yang prosesnya dibagi kedalam beberapa interval waktu dan memuat zona terlarang. Terdapat berbagai jenis aturan dan algoritma dalam penjadwalan. Sehingga biasanya algoritma penjadwalan disu-
Universitas Sumatera Utara

3

sun berdasarkan sistem permasalahan di dunia nyata dan memenuhi sejumlah batasan-batasan yang ada.

Mengingat masalah penjadwalan yang telah dijelaskan, tugas desainer algoritma adalah untuk menemukan algoritma penjadwalan yang berkinerja baik untuk sebarang input. Melakukan dengan baik biasanya diukur dengan menggunakan analisis kompetitif, yaitu membandingkan algoritma dengan sebaik mungkin (bahkan jika hal ini tidak dapat dicapai dalam praktek) salah satunya adalah menentukan rasio kompetitif batas bawah pada algoritma on-line (Feitelson dan Mu’alem, 2005).

Penelitian berkaitan penjadwalan pada zona terlarang telah dilakukan oleh

Kammuang et al. (2007), untuk persoalan zona terlarang waktu dipartisi kedalam

interval I = {I1, I2, . . . , Is} dengan I1 = [0, 2], I2 = [2, 4] ,. . . ,Is = [2s-2, 2s].

Setiap Ij

memuat

sebuah

koresponden

zona

terlarang

Fj

⊂

Ij

,

∀j

dimana F

=

1 2

I

.

Dalam tesis ini dibahas penjadwalan on-line dengan zona terlarang, dalam hal ini zona terlarang merupakan interval waktu pada proses pekerjaan yang dijadwalkan dan dengan mempertimbangkan interval waktu dan zona terlarang yang diperkecil.

1.2 Perumusan Masalah

Dari latar belakang yang dikemukakan, penentuan interval waktu dan zona ter-

larang menjadi dasar dari persoalan penjadwalan online dengan zona terlarang.

Permasalahannya adalah menganalisa apakah dengan memperkecil interval waktu

dan zona terlarang akan mempengaruhi rasio kompetitif dari algoritma online un-

tuk persoalan zona terlarang yang telah dikemukakan Khammuang et al. (2007).

Adapun interval waktu dan zona terlarang yang dimaksud adalah I = {I1, I2,. . .,

Is} dengan I1 = [0, 1], I2 = [1, 2] ,. . ., Is = [s-1, s] Setiap Ij memuat sebuah

koresponden

zona

terlarang

Fj

⊆

Ij

,

∀

j

dimana

F1

=

(

1 2

,

1],

F2

=

(

3 2

,

2]

,. . .,

Fs

=

(s

−

1 2

,

s].

Algoritma

yang

digunakan

untuk

persoalan

zona

terlarang

diadaptasi

dari algoritma pada persoalan online bin packing.

Universitas Sumatera Utara

4
1.3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian ini untuk mengetahui pengaruh interval waktu dan zona terlarang yang diperkecil terhadap rasio kompetitif dari algoritma yang digunakan pada persoalan penjadwalan online dengan zona terlarang.
1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat dalam penentuan pengaruh interval waktu dan zona terlarang yang dimodifikasi terhadap kinerja dari algoritma untuk persoalan zona terlarang yang telah ditentukan rasio kompetitifnya.
1.5 Metode Penelitian Metode penelitian ini bersifat studi kepustakaan (literatur) dengan melakukan kajian terhadap beberapa jurnal atau buku pada kepustakaan yang terlampir. Untuk menganalisa rasio kompetitif dari algoritma yang digunakan pada persoalan zona terlarang dilakukan dengan
1. Menganalisa rasio kompetitif batas bawah jika interval waktu dan zona terlarang diperkecil.
2. Menganalisa algortima untuk persoalan zona terlarang jika interval waktu dan zona terlarangnya diperkecil.
Dalam menganalisa rasio kompetitif batas bawah dilakukan dengan menganalisa proposisi yang menyatakan hubungan antara solusi optimal dari bin packing dengan persoalan zona terlarang, jika interval waktu dan zona terlarang diperkecil.
Setelah menganalisa rasio kompetitif batas bawah, selanjutnya akan dianalisa apakah algoritma online untuk persoalan zona terlarang, yaitu algoritma list scheduling, half next fit, half first fit dan algoritma half harmonic M, dapat digunakan atau perlu dimodifikasi jika interval waktu dan zona terlarang diperkecil.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 KAJIAN LITERATUR TENTANG BIN PACKING

Pada bab ini akan dibahas kajian literatur tentang bin packing, karena algoritma yang akan digunakan untuk persoalan zona terlarang nantinya merupakan adaptasi dari algoritma online bin packing.

Dalam persoalan bin packing, misalkan N = { 1, 2,. . ., n} himpunan item dan L = {s1, s2,. . ., sn} himpunan ukuran item sj, dimana 0 < sj ≤ 1, ∀j ∈ N. Tujuannya adalah untuk meminimalkan jumlah bin yang digunakan untuk packing item di N ke sebuah bin sehingga total ukuran item dalam bin tidak melebihi kapasitas bin. Asumsikan bin mempunyai kapasitas sama dengan satu. Persoalan bin packing adalah persoalan NP-Complete (Garey dan Johnson, 1979).

Berikut ini ditinjau beberapa heuristik untuk persoalan bin packing atau

Bin Packing Problem (BPP). Algoritma online diterapkan setelah item tiba dan

item yang tidak dapat dikemas ulang. Yao (1980) menunjukkan bahwa tidak

ada

algoritma online memiliki rasio

asimtotik worst case lebih baik dari

3 2

.

Yao

juga mengusulkan algoritma online yang disebut First Fit Disempurnakan yang

memiliki O(nlogn) waktu dengan rasio asimtotik worst case tidak lebih besar dari

5 3

.

Liang (1980)

menyajikan batas

bawah untuk online packing sebesar 1,53635.

Algoritma online untuk bin packing yang ada adalah Next Fit (NF), Harmonic

Fit (HF), First Fit (FF), dan Best Fit (BF).

Metode semi-online merileksasikan kendala bahwa item tidak dapat dikemas ulang. Hal ini memungkinkan item dikemas untuk bergerak setelah pengemasan. Jumlah gerakan tergantung pada desain dari algoritma. Algoritma semi-online dapat menghasilkan algoritma yang lebih baik daripada algoritma online. Dua algoritma semi-online dibahas sebagai berikut:

5
Universitas Sumatera Utara

6

1. Harmonic Fit (HF): Gambosi et al. (1990) memodifikasi algoritma Harmo-

nic dari online untuk semi-online dengan memungkinkan item yang dikemas

untuk dikemas ulang tidak lebih dari sekali. Gambosi mengusulkan dua

jenis HF sebagai berikut: i) empat partisi HF di mana dibuktikan bahwa

rasio

worst

case

asimtotik

yang

sama

dengan

3 2

dan

memerlukan

operasi

O(n), dan ii) enam-partisi HF di mana dibuktikan bahwa rasio worst case

asimtotik

yang

sama

dengan

5 4

dan

memerlukan

operasi

O(n

logn).

2. Algoritma MMP: Ivkovic dan Lloyd (1998) mengusulkan MMP dan mem-

buktikan bahwa rasio asimtotik worst case sama dengan

5 4

.

Kompleksitas

MMP adalah O(logn) dengan penyisipan atau penghapusan item. MMP

lebih kompleks daripada algoritma dari Gambosi et.al. (1990).

Algoritma Offline, memiliki asumsi yang berbeda dari pada algoritma online, offline diterapkan setelah item terakhir tiba dan memungkinkan item yang akan diurutkan sebelum pengemasan(packing). Hal ini menghasilkan kinerja worst case lebih baik dibandingkan dengan algoritma online atau semi-online seperti yang dibahas oleh Coffman et al. (1997). Algoritma offline yang ada saat ini Next Fit Decreasing (NFD), First Fit Decreasing (FFD) dan Best Fit Decreasing (BFD). Tabel 2.1 merangkum heuristik dan rasio worst case asymptoticnya untuk masalah bin packing.

Selanjutnya ditinjau algoritma First Fit Decreasing. Pertama, Johnson et al.

(1974) menunjukkan bahwa rasio kinerja worst case asimtotik untuk First Fit (FF)

dan

Best

Fit

(BF)

tidak

lebih

dari

1 10

,

dan

tidak

lebih

dari

11 9

baik

untuk

First

Fit

Decreasing (FFD) atau Best Fit Decreasing (BFD). Johnson membuktikan bahwa

FFD(L)

≤

11 9

OPT(L)

+

4,

∀

L,

dimana

L

adalah

daftar

item

di

BPP,

OPT(L)

adalah jumlah minimum yang diperlukan bin untuk daftar L, dan FFD(L) adalah

jumlah bin yang digunakan oleh heuristik FFD. Untuk menunjukkan kinerja worst

case heuristik ini digunakan fungsi pembobotan. Fungsi bobot tergantung pada

ukuran item dan lokasi pengepakan.

Friesen dan Langston (1991) menggunakan teknik baru yang disebut fungsi bobot rata-rata untuk membuktikan kinerja worst case dari algoritma FFD dan

Universitas Sumatera Utara

7

B2F

(Best

two

Fit)

yang

masing-masing

sama

dengan

11 9

dan

5 4

.

Friesen dan

Langston mengusulkan algoritma kompleks, yang menggabungkan algoritma FFD

dan B2F keduanya di daerah dimana algoritma tersebut lebih unggul. Kemudian,

dibuktikan dengan fungsi pembobotan bahwa kinerja worst case adalah tidak lebih

dari

6 5

dan

memperpendek

panjang

bukti

dengan

mengurangi

ukuran

dari

item

terakhir

untuk

interval

(

1 6

,

1).

Yue (1991) mengusulkan bukti sederhana dan memberikan batas dengan

FFD(L)

≤

11 9

OPT(L)

+ 1,

∀

L.

Buktinya didasarkan pada

fungsi

pembobotan

dan contoh konter minimal. Yue menunjukkan bahwa contoh konter tidak ada

untuk teoremanya. Selain itu, yue juga mengurangi jumlah interval ukuran item

terakhir dengan tiga.

Penelitian yang disebutkan di atas terfokus pada unit-kapasitas masalah bin packing. Di sisi lain, bin packing variabel-size umumnya lebih banyak. Rinciannya dibahas dalam Chu dan La (2001) dan Seiden et al. (2003).

Tabel 2.1 Ringkasan heuristik untuk bin packing problem

Tipe Online
Semi-Online Offline

Algoritma Next Fit Next k Fit Best k Fit First Fit Best Fit Harmonic Fit Harmonic Fit Harmonic Fit Bounded best k Fit Refined First Fit Any Online Algorithm Any Online Algorithm Any Online Algorithm Harmonic Fit with 4 Partition Harmonic Fit with 6 Partition MMP Next Fit Decreasing First Fit Decreasing Best Fit Decreasing Refined First Fit Decreasing Best Two Fit First Fit Decresing-Best Two Fit

r2A∞ 17/10 17/10 17/10 17/10 1.6910 1.58887... 1.58889... 17/10 5/3 ≥ 3/2 ≥ 1.536... ≥ 1.54... 3/2 5/4 5/4 1.691... 11/9 11/9 < 11/9 5/4 6/5

Universitas Sumatera Utara

8
Beberapa peneliti tertarik dalam studi empiris seperti dibahas dalam Falkenauer (1996) dan Gent (1998), yang menunjukkan hasil empiris memecahkan BPP oleh algoritma genetika dan metode pencarian lengkap. Selain itu, BPP Dua Dimensi dibahas dalam Berkey dan Wang (1987), sedangkan Martello et al. (2000) dan Lim dan Ying (2001) mempelajari BPP Tiga-Dimensi.
Aplikasi dari BPP dapat ditemukan dalam berbagai masalah sebagai berikut: i) Masalah Penjadwalan seperti yang dibahas dalam Coffman et al. (1997); ii) Vehicle routing dan masalah penjadwalan seperti dibahas dalam Federgruen dan Ryzin (1997); iii) Masalah vehicle routing seperti dibahas dalam Anily dan Bramel (1999), dan iv) Masalah inventory-routing sebagaimana dibahas dalam Chan et al. (1998a).
Anily et al. (1994) dan Coffman dan Leuker (1991) menyatakan bahwa BPP adalah setara dengan Vehicle Routing Problem (VRP) sebagai berikut: Misalkan L = (s1, s2, . . ., sn) menjadi daftar n bilangan real di mana 0 < si ≤ 1 adalah ukuran item i. Item dialokasikan di satu unit kapasitas bin sehingga dapat meminimalkan total biaya semua bin. Biaya bin adalah fungsi dari jumlah item yang dialokasikan dengan monoton increasing dan sifat konkavitas. Dalam VRP, jumlah kendaraan yang digunakan adalah setara dengan jumlah bin yang digunakan.
Bramel dan Simchi-Levi (2001) menunjukkan analisis worst-case dan averagecase heuristik yang meminimalkan jumlah bin untuk BPP. Bramel et al. (1992) menunjukkan bahwa VRP berkapasitas adalah kasus khusus dari BPP dengan kapasitas kendaraan sama dengan satu dan permintaan untuk setiap pelanggan tidak lebih dari satu. Permintaan setiap pelanggan harus diisi oleh satu kendaraan dan tidak dapat terpecah. Hal ini juga dikenal sebagai VRP berkapasitas dengan Permintaan tidak dapat dibagi. Karena permintaan tidak dapat dibagi, maka dapat diperkenalkan BPP untuk memecahkan masalah ini. Biaya rute yang dihasilkan tergantung pada panjang tur dan jumlah pelanggan di setiap tur. Masalah ini lebih realistis dibandingkan dengan VRP dengan Permintaan yang sama, yang dijelaskan oleh Anily dan Bramel (1999) dan itu adalah masalah penentuan berapa banyak item yang dikirim ke kapasitas tetap kendaraan dari sebuah
Universitas Sumatera Utara

9

gudang yang ditetapkan pelanggan. Permintaan diasumsikan identik dan sama untuk setiap pelanggan. Oleh karena itu, permintaan dapat dibagi berdasarkan kendaraan.

Bramel et al. (1992) menemukan bahwa heuristik BPP seperti Next-Fit, First-Fit, Best-Fit, First-Fit Decreasing, Best-Fit Decreasing, Next-Fit Increasing dan Next-Fit Decreasing memiliki rasio kinerja worst-case kurang dari dua. Analisis average-case VRP dilakukan dengan memecahkan masalah bin packing sehingga kapasitas kendaraan sama dengan satu dan permintaan untuk setiap pelanggan kurang dari satu. Ada sebuah solusi dari VRP berkapasitas sesuai dengan BPP untuk setiap rute. Bienstock et al. (1993) menunjukkan bahwa algoritma untuk VRP dengan permintaan unsplit mirip dengan Next Fit untuk BPP yang bukan asimtotik optimal.

Rhee (1987) dan Coffman dan Leuker (1991), membahas kinerja probabilistik bin packing heuristik. Loulou (1984) mempelajari perilaku probabilistik dari bin packing optimal.

Bramel dan Simchi-Levi (2001) menunjukkan bahwa di BPP, RFFD tidak

lebih

dari

3 2

,

sementara

Johnson

et al.

(1974)

menunjukkan bahwa

R∞F F D

=

11 9

.

Chan et al. (1998b) menunjukkan bahwa solusi optimal untuk BPP adalah tidak

lebih

dari

4 3

nilai

solusi

optimal

yang

diperoleh

dari

pemecahan

program

linier

relaksasi perumusan set-partisi.

Beberapa peneliti telah mengimplementasikan model bin packing dan mengembangkannya seperti Parra dan Burtseva (2009), yang mengimplementasikan model bin packing untuk material election dalam membaca pergantian perencanaan produksi, dan mengusulkankan heuristik algoritma offline untuk menemukan jumlah, jenis dan urutan packing kontainer, set fragmen digabung dengan kontainer dan bin, dimana kapasitas bin tidak mempengaruhi algoritma.

Sedangkan Liu dan Baskiyar (2008) menggunakan bin packing untuk penjadwalan tugas independen dengan prioritas yang berbeda dan kendala deadline dalam komputasi grid. Liu dan Baskiyar mengusulkan heuristik algoritma Residual Capacity Maximization Scheduling (RCMS) yang mengintegrasikan ide-

Universitas Sumatera Utara

10
ide algoritma bin packing klasik (Best Fit) dan pendekatan model mixed integer quadratic programming. Algoritma RCMS dirancang untuk jadwal tugas berat sambil memaksimalkan jumlah tugas ringan yang dapat memenuhi deadline.
Sementara Regin dan Rezgui (2011) mengembangkan model bin packing dengan menyajikan model Constraint Programing (CP) dan mengenalkan kendala pertubing model tertentu dan beberapa aturan : 1). Membatasi penugasan beberapa item untuk beberapa bin. 2). Beberapa item harus cocok dengan bin yang sama dari beberapa bin yang lain. 3). Beberapa item tidak dapat masuk kedalam bin yang sama dari bin yang lain.
Selanjutnya juga ditinjau literatur terkait persoalan online bin packing dan algoritmanya. Seiden (2002) telah mengembangkan metode uniform analisis algoritma online bin packing berdasarkan harmonic. Seiden mengembangkan algoritma baru pada sebuah kasus dari super harmonic yaitu algoritma harmonic++ dan memiliki asimptotik performa rasio paling besar 1.58889, yang dianggap memiliki kinerja terbaik dari setiap algoritma online bin packing hingga saat ini.
Penelitian lainya berkaitan online bin packing dilakukan oleh Bein et al. (2012) yang mempelajari persoalan mengalokasikan memori server dipusat data berdasarkan permintaan online untuk penyimpanan. Bein mengusulkan sebuah algoritma k-Binary yang menggunakan bin lebih sedikit dibandingkan algoritma yang diusulkan oleh Epstein (Small Modified Harmonic dan Tiny Modified Harmonic). Pada saat yang sama k-Binary bekerja lebih baik daripada kedua algooritma yang diusulkan sebelumnya.
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 BIN PACKING DAN PERSOALAN ZONA TERLARANG

3.1 Bin Packing
Dalam persoalan bin packing, diberikan obyek sebanyak n item dengan- ukuran p1, p2, . . . , pn, yang harus ditempatkan pada bin (tempat penyimpanan) dengan kapasitas L. Setiap bagian memiliki ukuran tetap pada (0, 1]. Setiap item i membutuhkan unit li dari kapasitas bin. Tujuan bin packing adalah menentukan jumlah bin yang dibutuhkan untuk menampung seluruh onyek n, tidak boleh ada satu obyek yang ditempatkan sebagian di dalam suatu bin dan sebagian lain di dalam bin yang lainnya. Tujuannya adalah untuk meminimalkan jumlah bin yang digunakan.
Khammuang, et al. (2007) mendefinisikan model persoalan bin packing sebagai berikut. Misal diberikan n item dengan ukuran p1, . . . , pn. Asumsikan pi ≤ 1 ∀j, xij = 1 jika item i dialokasikan ke bin j dan xij = 0 untuk sebaliknya. Juga misalkan zj = 1 jika bin j digunakan dan zj = 0 untuk yang lainnya. Maka persoalan bin packing adalah :

kendala

n
min zj
j=1
n
xij = 1, ∀i
j=1
xij ≤ zj, ∀i, j
n
pixij ≤ 1, ∀j
i=1
xij, zj ∈ {0, 1}.

(3.1.1)
(3.1.2) (3.1.3) (3.1.4) (3.1.5)

Fungsi tujuan (3.1.1) adalah untuk meminimalkan jumlah bin yang digunakan. Kendala (3.1.2) memastikan bahwa setiap item dialokasikan ke bin. Ken-

11
Universitas Sumatera Utara

12
dala (3.1.3) menunjukkan bahwa item dapat ditugaskan ke bin hanya jika bin digunakan. Kendala (3.1.4) merupakan kendala ukuran, yaitu bahwa jumlah ukuran item dialokasikan ke unit-ukuran bin tidak dapat melebihi satu.
Dalam versi on-line masalah ini, masing-masing item harus ditugaskan pada gilirannya, tanpa mengetahui tentang item berikutnya. Karena pada umumnya tidak mungkin menghasilkan solusi terbaik saat perhitungan terjadi pada versi online, dengan mempertimbangkan pendekatan algoritma. Pada dasarnya, yang diinginkan adalah mencari sebuah algoritma yang menghasilkan biaya minimum, apa pun inputnya. Faktor ini dikenal sebagai kinerja rasio asimtotik.
Algoritma untuk Persoalan Bin Packing Algoritma online diterapkan segera setelah item tiba dan Item yang tidak
dapat dikemas ulang. Algoritma online yang ada adalah sebagai berikut:
1. Next Fit (NF): NF menguji apakah item j dipacking dalam bin k, dengan memeriksa apakah tidak ada ruang yang tersisa di bin k untuk ukuran item j. Jika demikian, pack item j dalam bin k dan tinggalkan bin yang terbuka. Jika tidak, tutup bin k, dan buka bin baru yang memuat j sebagai item pertama. NF akan membuka hanya satu bin pada suatu waktu. Strategi Next Fit (a) Buka bin dan tempatkan objek (item) ke dalam urutannya yang muncul dalam daftar. (b) Jika item dalam daftar tersebut tidak bisa masuk ke bin terbuka, tutup bin ini secara permanen. (c) Buka bin yang baru dan terus packing item yang tersisa didaftar.
2. Harmonic Fit (HF): HF mempartisi item ke set sesuai dengan ukurannya. Jumlah set tersebut dapat berupa bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu. Kemudian, NF diterapkan untuk setiap set secara terpisah.
Universitas Sumatera Utara

13
Strategi Harmonic Fit
(a) Item jenis i dipack di bin i untuk i = 1,. . ., k-1 (b) Item jenis k dipack menggunakan Next Fit : menggunakan satu bin
sampai item berikutnya (c) Jika tidak sesuai, kemudian buka bin baru
3. First Fit (FF): FF menguji apakah item j dipacking ke bin k dengan memeriksa apakah tidak ada ruang yang tersisa di bin k untuk j. Jika demikian, packing item j dalam bin yang diindeks terendah. Jika tidak, buka bin baru dan packing j sebagai item pertama. FF memungkinkan beberapa bin yang akan dibuka secara bersamaan. Strategi First Fit
(a) Tempatkan item berikutnya dalam daftar ke bin pertama yang belum terisi penuh di mana item akan sesuai.
(b) Tutup bin yang terisi penuh (c) Jika sebuah item tidak masuk ke setiap bin yang sedang terbuka, buka
bin baru.
4. Best Fit (BF): BF menguji apakah item j dipaket ke bin dengan memeriksa apakah ada ruang yang tersisa di bin k untuk sj. Jika demikian, pack item j dalam bin dengan konten tertinggi yang memiliki properti ini, ikatan yang dipecah dalam mendukung indeks terendah. Jika tidak, buka bin baru dan paket j sebagai item pertama. Strategi Best Fit
(a) Seleksi semua bin yang terbuka, tempatkan item pada bin yang paling sesuai (akan penuh setelah item ditempatkkan)
(b) Jika tidak ada bin terbuka yang cukup besar (untuk memuat item), buka bin baru.
Pendekatan approksimasi sederhana untuk masalah bin packing adalah algoritma Next-Fit (NF). Item pertama ditugaskan untuk bin 1. Item 2,. . . , N kemudian dipertimbangkan oleh indeks increasing : setiap item diberikan ke bin saat ini jika sesuai, jika tidak, item ditugaskan ke bin baru, yang menjadi satu
Universitas Sumatera Utara

14

saat ini. Kompleksitas waktu dari algoritma ini adalah O(n). Untuk setiap kejadian I pada bin packing Problem (BPP), nilai solusi NF (I) yang disediakan oleh algoritma memenuhi batas
NF (I) ≤ 2z(I).

di mana z(I) menunjukkan nilai solusi optimal. Selain itu, ada kasus yang rasio

N F (I) z(I )

adalah

dekat

dengan

2,

yaitu

kinerja

rasio

worst-case

NF

adalah

r(NF )

=

2. Bahwa, untuk masalah minimisasi, untuk kinerja rasio worst-case algoritma A

didefinisikan sebagai jumlah bilangan riil terkecil r(A) sehingga

A(I ) z (I )

≤

r(A), untuk

semua

I.

dimana A(I) menyatakan nilai solusi optimal dari A.

Sebuah algoritma yang lebih baik, first-fit (FF), menganggap item yang sesuai dengan indeks increasing dan menugaskan setiap item ke indeks terendah bin yang diinisialisasi ke dalam yang sesuai, ketika item saat ini tidak bisa masuk ke setiap bin yang diinisialisasi, diberikan pada bin yang baru . Telah dibuktikan oleh Johnson et al. (1974) bahwa

F

F

(I )

≤

17 10

z(I

)

+

2.

(3.1.6)

untuk semua kejadian I pada BPP, dan bahwa terdapat kejadian I, dengan sembarang z(I) yang besar, dimana

F

F

(I )

≤

17 10

z(I

)

−

8.

(3.1.7)

karena istilah konstan dalam (3.1.6), serta dalam hasil analog untuk algoritma

lain, kinerja rasio worst-case tidak dapat memberikan informasi yang lengkap me-

ngenai perilaku worst-case. Untuk pendekatan algoritma A, didefinisikan sebagai

jumlah minimum bilangan riil r∞(A) sehingga, untuk beberapa bilangan bulat

positif k,

A(I ) z (I )

≤

r∞A, untuk

semua

I

memenuhi

z (I )

≥

k.

dari

(3.1.6)

-

(3.1.7),

ini

jelas

bahwa

r∞(F F ) =

17 10

.

Universitas Sumatera Utara

15

Algoritma berikutnya, best-fit, diperoleh dari FF dengan menetapkan item

saat ini ke bin layak (jika ada) yang memiliki kapasitas residu terkecil (memu-

tuskan hubungan yang mendukung bin diindeks terendah). Johnson, et.al, (1974)

telah membuktikan bahwa BF memenuhi batas worst-case yang sama seperti FF,

maka

r∞(BF )

=

17 10

.

Sekarang asumsikan bahwa item diurutkan sehingga

w1 ≤ w2 ≤ · · · ≤ wn.

dan kemudian NF atau FF, atau BF diterapkan. Dari algoritma yang dihasilkan, kompleksitas waktu O(nlogn), masing-masing disebut Next-Fit Decreasing (NFD), First-Fit Decreasing (FFD) dan Best-Fit Decreasing (BFD). Analisis worst-case tersebut pada NFD telah dilakukan oleh Baker dan Coffman (1981), bahwa FFD dan BFD oleh Johson, et al. (1974) dari hasil sebelumnya oleh Johson (1974) yang membuktikan bahwa

F F D(I)

≤

11 9

z(I

)

+

4.

untuk semua kejadian I. Hasilnya dirangkum dalam tabel 3.1, diambil dari Coff-

man et al.

(1997), dalam tiga kolom terakhir yang diberikan, untuk α =

1 2

,

1 3

,

1 4

,

nilai

ra∞

pada

asimtotik

kinerja

rasio

worst-case

dari

algoritma

bila

diterapkan

pada kejadian memenuhi min1≤i≤npi = αc.

Tabel 3.1 Kinerja rasio asimptotik worst-case pada algoritma bin packing

Algoritma
NF FF BF NFD FFD BFD

Kompleksitas Waktu
O(n) O(nlogn) O(nlogn) O(nlogn) O(nlogn) O(nlogn)

r∞
2.000 1.700 1.700 1.691... 1.222... 1.222...

r1∞/2
2.000 1.500 1.500 1.424... 1.183... 1.183...

r1∞/3
1.500 1.333... 1.333... 1.302... 1.183... 1.183...

r1∞/4
1.333... 1.250 1.250 1.234... 1.150 1.150

Universitas Sumatera Utara

16

Batas Bawah

Mengingat L prosedur batas bawah untuk masalah minimisasi, misalkan L(I) dan z(I) masing-masing menyatakan, nilai yang dihasilkan oleh L dan nilai solusi optimal kejadian I. Kinerja rasio worst-case L selanjutnya didefinisikan sebagai bilangan real terbesar ρ(L) sehingga

L(I ) Z (I )

≥

ρ(L), untuk

semua

I.

Untuk model pada persoalan bin packing, relaksasi kontinu C(BPP) dari persoalan yang diberikan oleh (3.1.1) - (3.1.3) dan

0 ≤ yi ≤ 1, i ∈ N, 0 ≤ xij ≤ 1, i, j ∈ N.

dapat segera diselesaikan oleh nilai xii =1, xij =0 (j = i) dan yi = wi/c

untuk i ∈ N, maka

z(C(BP P )) =

n

pi c

.

i=1

sehingga batas bawah untuk BPP adalah

L1 =

n pi c
j=1

.

Batas bawah Li yang mendominasi batas yang disediakan oleh relaksasi suro-

gate S(BP P, π) yang diberikan, untuk vektor positif (π) dari pengali dinyatakan

oleh

n
min zj
j=1

nn

n

kendala πj pixij ≤ c πjzj.

j=1 i=1

j=i

Universitas Sumatera Utara

17

3.2 Persoalan Zona Terlarang

Abdekhodaee dan Ernst, (2004a), yang mempelajari versi off-line mendefinisi kan persoalan zona terlarang sebagai berikut.

Misalkan n pekerjaan dijadwalkan oleh J1, . . . , Jn. misalkan pi waktu proses pada Ji. Untuk selanjutnya asumsikan pi ≤ 1 ≤ i. Partisi waktu kedalam himpunan interval I = I1, I2, · · · , Is dengan I1 = [0, 2], I2 = [2, 4]. Is = [2s − 2, 2s]. Setiap Ij memuat sebuah koresponden zona terlarang Fj ⊆ Ij∀j, dimana F1 = (1, 2], F2 = (3, 4],. . ., Fs = (2s − 1, 2s]. Interval Ij\Fj disebut daerah yang diizinkan. Zona terlarang merupakan interval waktu selama sebuah pekerjaan tidak dapat dimulai, tetapi dapat diproses.

Selanjutnya, jika pekerjaan selesai sebelum akhir sebuah zona terlarang,

akan dirilis pada awal interval berikutnya. Dengan demikian, waktu terbaru

pekerjaan dapat dimulai dalam Ij adalah t = j

1 2

.

Tujuannya adalah untuk mengurutkan pekerjaan supaya jumlah interval yang digunakan minimal. (Jika zona terlarang terakhir memuat pekerjaan, maka ini setara dengan meminimalkan waktu penyelesaian maksimum atau makespan).

Penelitian Abdekhodaee dan Ernst (2004a) juga menunjukkan bahwa, keputusan pada versi off-line dimana semua interval mempunyai panjang yang sama ( Ii = I, ∀i) dan semua zona terlarang adalah sama ( Fi = F, ∀i), adalah NP-complete dalam arti yang lemah. Abdekhodaee dan Ernst (2004b) secara empiris menunjukkan hasil bahwa list penjadwalan dan dengan heuristik sederhana lainnya hasil terbaik ketika F/I adalah mendekati 0 atau 1, dan sebagian besar kasus-kasus sulit terjadi ketika F/I dekat dengan 0,5.

Khammuang et al. (2007) menentukan model untuk persoalan zona terlarang dengan memodifikasi model pada persoalan bin packing, yaitu

Misalkan xij = 1 jika pekerjaan i dimulai dan berakhir dalam Ij\Fj dan xij = 0 untuk sebaliknya. Juga misalkan zj = 1 jika Ij digunakan dan zj = 0 untuk sebaliknya. Diperkenalkan variabel baru untuk mengatasi pekerjaan finishing (penutupan) pada zona terlarang. Misalkan yij = 1 jika pekerjaan i dimulai

Universitas Sumatera Utara

18

dalam Ij dan berakhir di F¯j dan yij = 0 untuk sebaliknya. Kemudian masalah zona terlarang dapat dirumuskan sebagai berikut:

n
min zj.
j=1

kendala

n
xij + yij = 1, ∀i
j=1
xij + yij ≤ zj, ∀i, j
n
pixij ≤ 1, ∀j
i=1 n
yij ≤ 1, ∀j
i=1
xij, zj ∈ {0, 1}.

(3.2.1) (3.2.2) (3.2.3)
(3.2.4) (3.2.5)

Kendala (3.2.4) memastikan bahwa paling banyak satu pekerjaan dapat diproses di zona terlarang.

Definisi 3.1 (algoritma c-kompetitif) Sebuah algoritma minimisasi on-line A dikatakan c-kompetitif jika A(I)/OP T (I) ≤ c untuk semua kondisi pekerjaan i, dimana A(I) dan OP T (I) masing-masing adalah nilai-nilai fungsi tujuan untuk algoritma A dan solusi optimalnya. (Khammuang et al., 2007).

Definisi 3.2 (asymptotic performance ratio) Asymptotic performance ratio R∞A (α) didefinisikan sebagai berikut. Misalkan pmax = α, 0 < α ≤ 1 maka RA∞(α) = inf{r ≥ 1 : untuk suatu N > 0, A(I)/OP T (I) ≤ r, untuk semua I dengan OP T (I) > N}. Kasus kusus, jika α = 1/m untuk beberapa m bilangan bulat positif. (Khammuang et al., 2007).
Epstein et al. (2012) mendefinisikan rasio kompetitif sebagai berikut, untuk setiap algoritma ALG dan setiap urutan input σ, misalkan ALG(σ) merupakan

Universitas Sumatera Utara

19

nilai (biaya atau keuntungan) dari solusi yang diperoleh saat menjalankan ALG pada σ. Secara khusus, misalkan OPT merupakan algoritma offline yang optimal dan misalkan OPT(σ) merupakan nilai solusi terbaik untuk input, maka definisi rasio kompetitif dinyatakan sebagai berikut

Definisi 3.3 (Rasio kompetitif) Misalkan ALG adalah algoritma online yang ditetapkan untuk masalah optimasi. Jika masalah yang dikaji adalah masalah minimisasi, maka rasio kompetitif ALG adalah

atau

R(ALG) = lim
N →∞

sup
σ:OP T (σ)≥N

ALG(σ) OP T (σ)

.

SR(ALG)

=

sup
σ

ALG(σ) OP T (σ)

.

Jika masalah yang dikaji adalah masalah maksimisasi, maka rasio kompetitif ALG

adalah

SR(ALG) = lim
N →∞

sup
σ:OP T (σ)≥N

OP T (σ) ALG(σ)

.

atau

SR(ALG) = sup OP T (σ) . σ ALG(σ)

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
RASIO KOMPETITIF PENJADWALAN ONLINE DENGAN ZONA TERLARANG JIKA INTERVAL WAKTU DIPERKECIL

Pada bab ini akan disajikan analisa rasio kompetitif dari algoritma zona terlarang yang dikemukakan Khammuang et al., (2007), jika interval waktu dan zona terlarangnya diperkecil. Persoalan zona terlarang yang akan dianalisa dalam hal ini adalah sebagai berikut

Misalkan n pekerjaan dijadwalkan oleh J1, . . . , Jn. Misalkan pi waktu proses

pada Ji. Untuk selanjutnya asumsikan pi ≤ 1 ∀i. Partisi waktu kedalam him-

punan interval I = {I1, I2, . . . , Is} dengan I1 = [0, 1], I2 = [1, 2], . . . , Is = [s − 1,

s]. Setiap Ij memuat sebuah koresponden zona terlarang Fj ⊆ Ij , ∀j dimana

F1

=

(

1 2

,

1],

F2

=

(

3 2

,

2],

.

.

.

,

Fs

=

(s-

1 2

,

s].

Interval

Ij \Fj

di

sebut

daerah

yang

diizinkan.

4.1 Analisa Rasio Kompetitive Batas Bawah.
Atur urutan waktu pekerjaan yang non-increasing dan notasikan list baru dengan J1, J2, . . . , Jn. Misalkan pi adalah waktu proses pada Ji. maka p1 ≤ p2 ≤ . . . ≤ pn. Berikut ini hubungan antara solusi optimal dari bin packing dengan persoalan zona terlarang.
Proposisi 4.1 (Kammuang et al., 2007). Misalkan solusi optimal persoalan bin packing untuk n-i pekerjaan terkecil adalah i bin. Maka penjadwalan optimal untuk persoalan zona terlarang adalah i interval.
Bukti. Pertama akan ditunjukkan interval i memadai untuk persoalan zona terlarang. Gunakan solusi optimal bin packing untuk menenpatkan Ji′+1 . . . Jn pada zona yang diizinkan. Tambahkan sisa i pekerjaan terpanjang J1′ . . . Jn pada i zona terlarang. Jika solusi optimal untuk masalah zona terlarang memerlukan lebih sedikit dari i interval maka dengan menukar sebarang pekerjaan yang telah selesai di zona terlarang dengan seluruhnya lebih pendek di zona yang diizinkan maka
20
Universitas Sumatera Utara

21

diperoleh solusi untuk masalah bin packing untuk n − i pekerjaan terpendek yang membutuhkan lebih sedikit dari i interval, hal ini suatu kontradiksi, jadi i interval adalah penjadwalan optimal untuk persoalan zona terlarang.

Proposisi 4.1. juga berlaku Jika interval waktu diperkecil, karena pada setiap interval waktu Ii memuat satu zona yang diizinkan dan satu zona terlarang.

Beberapa bukti batas bawah untuk on-line bin packing mengandalkan pada

pekerjaan dengan waktu proses yang sangat kecil. Proposisi berikut ini meng-

gunakan argumen yang diadaptasi dari bukti hasil penelitian, bahwa tidak ada

algoritma

on-line

untuk

bin

packing

lebih

baik

dari

4 3

-kompetitif

(Liang,

1980).

Proposisi 4.2 (Kammuang et al., 2007). Tidak ada algoritma online untuk per-

soalan

zona

terlarang

lebih

baik

dari

9 7

-kompetitif.

Bukti. Asumsikan algoritma A adalah c-competitive. Pertimbangkan untuk

urutan

pada

n

pekerjaan

panjang

masing-masing

1 2

-

ε,

dengan

syarat

bahwa

ε

<

1 6

,

dan

n

habis

dibagi

3,

A

memerlukan

paling

banyak

a

≤

cn/3

interval,

karena solusi optimal membutuhkan n/3 interval. Misalkan kemudian pekerja-

an

dengan

panjang

1 2

+

ε

dinyatakan

dengan

2n.

Andaikan A menggunakan

interval tambahan b untuk pekerjaan ini. Setiap interval b dapat menampung

paling banyak dua dari pekerjaan baru, sedangkan masing-masing interval per-

tama bisa menampung hingga tiga dari n pekerjaan awal. Dengan demikian,

3a + 2b ≥ 3n, juga a + b ≤ cn karena solusi optimal membutuhkan n interval,

dengan

demikian(3 − 2c)n

≤a

≤ cn/3.

jadi

c≥

9 7

.

Algoritma Zona Terlarang
Terdapat hubungan antara bin packing dan algoritma zona terlarang. Misalkan B adalah algoritma bin packing yang tidak mengizinkan, ukuran jeda (idle) lebih besar dari 1/m di sebuah bin selama pelaksanaannya, kecuali mungkin bin terakhir yang terbuka. Untuk versi zona terlarang Bdari B dapat dihasilkan dengan cara berikut :

Universitas Sumatera Utara

22

1. Jika pi < 1/m abaikan zona terlarang dan tempatkan pekerjaan di zona yang di izinkan tepat ke B yang sesuai. Jika tidak,
2. Jika pi ≥ 1/m tempatkan pekerjaan pada zona diizinkan pertama yang tersedia. Jika hal ini tidak mungkin terjadi dalam zona terlarang pertama yang tersedia. Jika itu tidak mungkin,
3. Buat interval baru dan tempatkan pekerjaan pada interval baru di zona yang diizinkan.

Untuk interval waktu yang diperkecil, a