Pendekatan Pencarian Lokal Dalam Optimisasi Kombinatorik
PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM
OPTIMISASI KOMBINATORIK
TESIS
Oleh
FADILLAH KHAIRUNNISA RAMBE
127021007/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM
OPTIMISASI KOMBINATORIK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
FADILLAH KHAIRUNNISA RAMBE
127021007/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM
OPTIMISASI KOMBINATORIK
Nama Mahasiswa : Fadillah Khairunnisa Rambe
Nomor Pokok
: 127021007
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Ketua
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Anggota
Dekan
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 04 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 04 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang
3. Prof. Dr. Tulus, M.Si
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI
KOMBINATORIK
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 04 Juni 2014
Penulis,
Fadillah Khairunnisa Rambe
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Algoritma pencarian lokal untuk masalah optimisasi kombinatorik biasanya
digunakan pada pseudopolynomial running time dan algoritma polynomial-time
sering tidak dapat menemukan solusi optimum lokal untuk masalah optimisasi
NP − hard. Penelitian ini bertujuan mengenalkan konsep optimalitas ε-lokal dan
menunjukkan bahwa optimum ε-lokal dapat diidentifikasi dengan waktu polynomial pada masalah ukuran dan 1/ε bilamana hubungan ketetanggan dapat dicari
dengan polynomial time untuk ε > 0. Akibatnya, masalah optimisasi kombinatorial memiliki banyak pola pendekatan polynomial-time jika dan hanya jika
memiliki fully polynomial-time pola tambahan (augmentation).
Kata kunci
: Pencarian lokal, Algoritma pendekatan, Optimisasi kombinatorial.
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Local search algorithms for combinatorial optimization problems are in general of pseudopolynomial running time and polynomial-time algorithms are often
not known for finding locally optimal solutions for NP-hard optimization problems.
We introduce the concept of ε-local optimality and show that an ε-local optimum
can be identified in time polynomial in the problem size and 1/ε whenever the
corresponding neighborhood can be searched in polynomial time, for ε > 0. As
a consequence, a combinatorial optimization problem has a fully polynomial-time
approximation scheme if and only if it has a fully polynomial-time augmentation
scheme.
Keyword
: Local search, Approximation algorithms, Combinatorial optimization.
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan berkah dan rahmadNya sehingga penulis dapat menyelesaikan
tesis yang berjudul ”PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM
OPTIMISASI KOMBINATORIK”. Tesis ini merupakan salah satu syarat
untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku pembanding yang telah banyak memberikan
bantuan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Utama yang telah banyak
memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku pembanding yang telah memberikan masukan
dan saran untuk kesempurnaan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA
Universitas Sumatera Utara yang telah penuh ihklas mentransferkan ilmunya
sehingga sangat membantu penulis untuk memperkaya wawasan dan cakrawala
pengetahuan yang sangat berguna dalam menyelesaikan tesis ini.
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada
penulis selama mengikuti perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara
Seluruh rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
tahun 2012 ganjil (Kak Fitra, Teh Wilma, Kak Liza, Hari, Ugi, Paklek, Bang Mail,
Bang Adi, Romi, Isna, Wenny, Kak Tiur, Kak Rini, Silvi, Kak Hana, Sari, Kak
Juli dan Bang Arie) yang telah memberikan bantuan moril dan berbagai masukan
kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Dra. Hj. Nurhafidah dan ayahanda tersayang Drs. H. Sairun Rambe (Alm) atas curahan kasih sayang dan
dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini.
Tak lupa pula kepada adinda Anggia Putri Rambe, SH yang telah memberikan
semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih kepada keluarga besar AR’s
family, keluarga besar SMPN 3 Sunggal, sahabatku Fitry Wahyuni, M.Pd serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah
SWT memberikan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan saran maupun kritik yang bersifat konstruktif untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat. Terimakasih.
Medan,
Juni 2014
Penulis,
Fadillah Khairunnisa Rambe
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Fadillah Khairunnisa Rambe dilahirkan di Medan pada tanggal 14 Agustus
1988, anak pertama dari dua bersaudara, dari pasangan Bapak Drs. H. Sairun
Rambe dan Ibu Dra. Hj. Nurhafidah. Penulis menamatkan sekolah dasar dari SD
Swasta Budi Setia Kecamatan Sunggal pada tahun 2000 kemudian melanjutkan
sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Binjai dan tamat pada tahun 2003,
dan pada tahun 2006 menamatkan sekolah menengah atas dari SMA Negeri 1
Binjai. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi di Universitas Negeri Medan
fakultas MIPA jurusan Pendidikan Matematika pada Strata Satu (S-1) dan tamat
tahun 2011. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan di program studi
Magister Matematika Universitas Sumatera Utara. Penulis bekerja sebagai guru
di SMP Negeri 3 Sunggal sejak Juli 2011 sampai sekarang.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metodologi Penelitian
4
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL
5
2.1 Kriteria Polinomial Terbatas (The Criterion of Polynomial Boundedness)
7
2.2 Metode Penyelesaian
7
BAB 3 PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL
11
3.1 Pendekatan Pencarian Lokal
11
3.2 Optimisasi Kombinatorial
15
3.3 Kompleksitas Komputasi
16
BAB 4 PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI KOMBINATORIK
4.1 Pola Optimisasi ε-Lokal
18
18
vii
Universitas Sumatera Utara
4.2 Perluasan (Extensions) dan Jenis Berbeda (Variants)
22
4.2.1 Ketetanggaan pasti (Exact neighborhoods)
22
4.3 Ketetanggaan Ukuran Polinomial (Polynomial-sized Neighborhoods)
23
4.4 Batasan Masalah Pemrograman Linier Bilangan Bulat
24
BAB 5 KESIMPULAN
25
DAFTAR PUSTAKA
26
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1
Perbaikan berulang dasar
13
3.2
Pencarian variabel mendalam (variable depth search)
14
4.1
Roda (wheel) pada jalur n + 1
22
ix
Universitas Sumatera Utara
OPTIMISASI KOMBINATORIK
TESIS
Oleh
FADILLAH KHAIRUNNISA RAMBE
127021007/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM
OPTIMISASI KOMBINATORIK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
FADILLAH KHAIRUNNISA RAMBE
127021007/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM
OPTIMISASI KOMBINATORIK
Nama Mahasiswa : Fadillah Khairunnisa Rambe
Nomor Pokok
: 127021007
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Ketua
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc)
Anggota
Dekan
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 04 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 04 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
Anggota : 1. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang
3. Prof. Dr. Tulus, M.Si
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI
KOMBINATORIK
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 04 Juni 2014
Penulis,
Fadillah Khairunnisa Rambe
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Algoritma pencarian lokal untuk masalah optimisasi kombinatorik biasanya
digunakan pada pseudopolynomial running time dan algoritma polynomial-time
sering tidak dapat menemukan solusi optimum lokal untuk masalah optimisasi
NP − hard. Penelitian ini bertujuan mengenalkan konsep optimalitas ε-lokal dan
menunjukkan bahwa optimum ε-lokal dapat diidentifikasi dengan waktu polynomial pada masalah ukuran dan 1/ε bilamana hubungan ketetanggan dapat dicari
dengan polynomial time untuk ε > 0. Akibatnya, masalah optimisasi kombinatorial memiliki banyak pola pendekatan polynomial-time jika dan hanya jika
memiliki fully polynomial-time pola tambahan (augmentation).
Kata kunci
: Pencarian lokal, Algoritma pendekatan, Optimisasi kombinatorial.
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Local search algorithms for combinatorial optimization problems are in general of pseudopolynomial running time and polynomial-time algorithms are often
not known for finding locally optimal solutions for NP-hard optimization problems.
We introduce the concept of ε-local optimality and show that an ε-local optimum
can be identified in time polynomial in the problem size and 1/ε whenever the
corresponding neighborhood can be searched in polynomial time, for ε > 0. As
a consequence, a combinatorial optimization problem has a fully polynomial-time
approximation scheme if and only if it has a fully polynomial-time augmentation
scheme.
Keyword
: Local search, Approximation algorithms, Combinatorial optimization.
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Setinggi puji dan sedalam syukur penulis serahkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan berkah dan rahmadNya sehingga penulis dapat menyelesaikan
tesis yang berjudul ”PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL DALAM
OPTIMISASI KOMBINATORIK”. Tesis ini merupakan salah satu syarat
untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terimakasih kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku pembanding yang telah banyak memberikan
bantuan dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Kedua yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Utama yang telah banyak
memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku pembanding yang telah memberikan masukan
dan saran untuk kesempurnaan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar Program Studi Magister Matematika Fakultas MIPA
Universitas Sumatera Utara yang telah penuh ihklas mentransferkan ilmunya
sehingga sangat membantu penulis untuk memperkaya wawasan dan cakrawala
pengetahuan yang sangat berguna dalam menyelesaikan tesis ini.
Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada
penulis selama mengikuti perkuliahan.
iv
Universitas Sumatera Utara
Seluruh rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
tahun 2012 ganjil (Kak Fitra, Teh Wilma, Kak Liza, Hari, Ugi, Paklek, Bang Mail,
Bang Adi, Romi, Isna, Wenny, Kak Tiur, Kak Rini, Silvi, Kak Hana, Sari, Kak
Juli dan Bang Arie) yang telah memberikan bantuan moril dan berbagai masukan
kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Dra. Hj. Nurhafidah dan ayahanda tersayang Drs. H. Sairun Rambe (Alm) atas curahan kasih sayang dan
dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi dan membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini.
Tak lupa pula kepada adinda Anggia Putri Rambe, SH yang telah memberikan
semangat selama penulisan tesis ini. Terima kasih kepada keluarga besar AR’s
family, keluarga besar SMPN 3 Sunggal, sahabatku Fitry Wahyuni, M.Pd serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu-persatu. Semoga Allah
SWT memberikan balasan atas jasa-jasa yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan saran maupun kritik yang bersifat konstruktif untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat. Terimakasih.
Medan,
Juni 2014
Penulis,
Fadillah Khairunnisa Rambe
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Fadillah Khairunnisa Rambe dilahirkan di Medan pada tanggal 14 Agustus
1988, anak pertama dari dua bersaudara, dari pasangan Bapak Drs. H. Sairun
Rambe dan Ibu Dra. Hj. Nurhafidah. Penulis menamatkan sekolah dasar dari SD
Swasta Budi Setia Kecamatan Sunggal pada tahun 2000 kemudian melanjutkan
sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Binjai dan tamat pada tahun 2003,
dan pada tahun 2006 menamatkan sekolah menengah atas dari SMA Negeri 1
Binjai. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi di Universitas Negeri Medan
fakultas MIPA jurusan Pendidikan Matematika pada Strata Satu (S-1) dan tamat
tahun 2011. Pada tahun 2012, penulis melanjutkan pendidikan di program studi
Magister Matematika Universitas Sumatera Utara. Penulis bekerja sebagai guru
di SMP Negeri 3 Sunggal sejak Juli 2011 sampai sekarang.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metodologi Penelitian
4
BAB 2 OPTIMISASI KOMBINATORIAL
5
2.1 Kriteria Polinomial Terbatas (The Criterion of Polynomial Boundedness)
7
2.2 Metode Penyelesaian
7
BAB 3 PENDEKATAN PENCARIAN LOKAL
11
3.1 Pendekatan Pencarian Lokal
11
3.2 Optimisasi Kombinatorial
15
3.3 Kompleksitas Komputasi
16
BAB 4 PENCARIAN LOKAL DALAM OPTIMISASI KOMBINATORIK
4.1 Pola Optimisasi ε-Lokal
18
18
vii
Universitas Sumatera Utara
4.2 Perluasan (Extensions) dan Jenis Berbeda (Variants)
22
4.2.1 Ketetanggaan pasti (Exact neighborhoods)
22
4.3 Ketetanggaan Ukuran Polinomial (Polynomial-sized Neighborhoods)
23
4.4 Batasan Masalah Pemrograman Linier Bilangan Bulat
24
BAB 5 KESIMPULAN
25
DAFTAR PUSTAKA
26
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
3.1
Perbaikan berulang dasar
13
3.2
Pencarian variabel mendalam (variable depth search)
14
4.1
Roda (wheel) pada jalur n + 1
22
ix
Universitas Sumatera Utara