Pendekatan Pencarian Lokal Dalam Optimisasi Kombinatorik
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dipandang sebagai
persoalan optimisasi, seperti mencari suatu jalan dengan rute terpendek ataupun
mencari jalan alternatif agar cepat sampai pada tujuan. Untuk mencari jalan
ataupun rute tersebut, kita dapat mendaftarkan satu per satu jalan yang mungkin
dapat dilalui, lalu memilih dari semua kemungkinan yang ada dan menetapkan pada satu hasil yang terbaik. Pencarian yang dilakukan merupakan cara percobaan
kombinatorik (matematika diskrit) sehingga persoalan tersebut merupakan permasalahan optimisasi kombinatorial. Penggunaan optimisasi kombinatorial bukan
hanya pada persoalan mencari jalan terpendek atau dengan kata lain mencari nilai minimum, namun dapat juga dilakukan untuk mencari nilai maksimum seperti
pada bidang industri, yaitu dalam hal memproduksi suatu barang. Dalam hal ini
tentunya pemilik industri menginginkan barang yang diproduksi nantinya akan
menghasilkan keuntungan yang banyak dengan tetap menjaga mutunya. Pada
kasus ini juga pemilik akan mencari semua kemungkinan yang ada dan menetapkan pada satu hasil yang optimal sehingga apa yang diinginkan dapat dicapai.
Lee (2004) menyatakan disamping aplikasinya optimisasi kombinatorik mempunyai aspek-aspek yang terhubung dengan cabang lain dari matematika (aljabar,
analisis, topologi, dan tentu saja subdisiplin lain dari matematika diskrit seperti
teori graf, dan percobaan kombinatorik) seperti halnya komputer sains. Dalam
komputer sains, proses pencarian semua kemungkinan dengan mengembangkan
sebuah algoritma pencarian dan disajikan dalam sebuah program komputer.
Permasalahan optimisasi kombinatorial dapat diselesaikan dengan beberapa
pendekatan. Salah satu pendekatan yang digunakan adalah pendekatan pencarian lokal (local search). Pendekatan pencarian lokal terinspirasi oleh teknik pencarian lokal yang digunakan dalam optimasi kombinatorial. Orlin et al., (2004)
mengemukakan banyak masalah optimisasi kombinatorial adalah NP − hard, dan
salah satu pendekatan yang sering digunakan untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan pendekatan pencarian lokal. Pencarian lokal didasarkan pada
konsep sebuah ketetanggaan (neighborhood), yang dikatakan tetangga p adalah
1
Universitas Sumatera Utara
2
himpunan solusi yang memiliki kedekatan dengan p, misalnya karena dapat dengan mudah dihitung dari p atau karena memiliki banyak struktur yang sama
dengan p. Sebuah fungsi pembangkit ketetanggaan mungkin dapat menghasilkan
solusi optimum atau mungkin tidak dapat menghasilkan solusi optimum. Ketika fungsi ketetanggaan dapat menghasilkan solusi optimum global, maka semua
langkah dimulai dari setiap titik layak awal merupakan solusi yang tepat. Sebuah contoh dari masalah optimasi kombinatorial terdiri dari himpunan solusi
layak dan nilai fungsi solusi. Masalahnya terdiri dari pencarian solusi dengan
nilai yang optimum diantara semua solusi yang layak. Pada umumnya masalah
yang dibahas adalah masalah yang diselesaikan dengan komputasi, sehingga algoritma pendekatan harus digunakan. Salah satu jenis algoritma pendekatan yang
digunakan adalah algoritma pencarian lokal.
Beberapa penelitian tentang algoritma pencarian lokal dengan berbagai variasinya telah terdapat dalam berbagai literatur untuk berbagai masalah optimasi
kombinatorik. Pada awalnya, Choudhary dan Purohit (2011) menyebutkan masalah NP − complete dapat diselesaikan dengan bantuan computing distribusi dan
parrallelism. Kemudian pada tahun 2012, Baghel et al., menyajikan sebuah laporan survey algoritma metaheuristik untuk menyelesaikan masalah optimisasi kombinatorial. Sharma (2003) membahas masalah pencarian lokal dengan optimisasi
kombinatorial menunjukkan bahwa hasil dari analisis pencarian lokal terkait dengan (i) kerumitan waktu, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh algoritma untuk
sampai pada jawaban akhir, (ii) ukuran dari ketetanggaan yang dicari, (iii) pilihan element pivot.
Masalah pencarian lokal adalah menemukan solusi optimum lokal. Pencarian dimulai pada solusi layak awal x0 ∈ F dan dengan menggunakan subroutin
yang ditingkatkan untuk mencari solusi yang lebih baik dalam lingkungan ketetanggaannya, sepanjang masih terdapat solusi yang lebih baik. Pencarian ketetanggaan adalah pengulangan dari solusi yang baru, pencarian dihentikan sampai
solusi lokal optimum ditemukan. Fungsi ketetanggan klasik mencakup ketetanggaan k-opt untuk TSP (Yannakakis,1997), maksimum dan minimum pada masalah ini adalah PLS (polynomial-time local search). Masalah Max-Cut (Maximum
cut problem) dan MAX 2SAT(Flip neighborhood), sebuah solusi yang mungkin
adalah partisi dari himpunan verteksnya menjadi dua bagian. Fungsi tujuan adalah bobot total dari sisi (edges) yang menyatu dalam dua bagian partisi. The
Universitas Sumatera Utara
3
flip neighborhood terdiri dari semua solusi yang diperoleh dengan memindahkan
sebuah verteks dari satu bagian pada graf partisi ke bagian lainnya (Schäffer
dan Yannakakis, 1991). Algoritma ε-lokal didesain untuk bekerja dalam setiap
masalah pencarian lokal dimana tersedianya pembuktian dari permasalahan, tanpa menghiraukan ukuran atau struktur pada lingkungannya (neighborhood) dan
penerapan dari pembuktian.
Dalam tulisan ini, penulis menyajikan konsep optimalitas ε-lokal dan menunjukkan bahwa optimum ε-lokal dapat diidentifikasi dengan waktu polinomial
pada masalah ukuran dan 1/ε sewaktu-waktu hubungan ketetanggan dapat dicari
dengan waktu polinomial untuk ε > 0. Penulis akan menganalisis algoritma yang
menghasilkan (δ + ε)-optimum lokal dengan waktu polinomial pada masalah ukuran dan 1/ε sehingga masalah optimisasi kombinatorial dapat memiliki banyak
pola pendekatan pada waktu polinomial jika dan hanya jika memiliki waktu polinomial yang lengkap (f ully) dengan pola tambahan (augmentation). Penelitian
ini mengacu pada tulisan Orlin et al., (2004) tentang pendekatan pencarian lokal
dengan optimisasi kombinatorik.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah optimisasi kombinatorik termasuk dalam masalah NP -hard (Non- Polynomial Hard problem), dimana waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah ini merupakan fungsi eksponensial dari ukuran masukan. Untuk itu dibutuhkan suatu pendekatan untuk mencari solusi optimum atau mendekati solusi
optimum, yaitu dengan menggunakan pendekatan pencarian lokal.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis penggunaan pendekatan pencarian
ε−lokal untuk menentukan solusi optimum lokal dalam optimisasi kombinatorik.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi teoritis khususnya dalam
bidang operasi riset. Serta bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang algoritma pencarian lokal dalam optimisasi kombinatorik.
Universitas Sumatera Utara
4
1.5 Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat studi literatur dan kepustakaan. Untuk memperoleh pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial, berikut adalah
langkah-langkah yang akan dilakukan:
1. Dengan menggunakan pola optimisasi waktu polinomial ε-lokal akan menghasilkan sebuah solusi optimum ε-lokal dengan cara bergerak dari satu solusi
yang mungkin ke solusi lain dalam konsep ketetangganya, begitu seterusnya.
Hal ini merupakan ciri khas dari algoritma pencarian lokal.
2. Mempelajari teori-teori yang terkait dengan permasalahan pencarian lokal.
Awalnya yang dilakukan adalah mengumpulkan informasi yang berkenaan
dengan permasalahan pencarian lokal. Sebelum mencari solusi optimum
lokal harus ditentukan bagaimana cara menentukan solusi awal yang layak.
Penentuan pencarian lokal dari beberapa titik yang berbeda berperan untuk
memilih hasil terbaik. Selanjutnya, sebuah tetangga yang “baik” dipilih
untuk mencari solusi.
3. Pemahaman persoalan pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial.
Pada tahap ini akan dipelajari dan dipahami algoritma pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial.
4. Merancang suatu pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi pencarian
lokal.
Berikut ini tahapan pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial
(a) Mengajukan asumsi awal.
(b) Memaparkan persoalan secara konseptual.
(c) Menganalisis faktor-faktor yang berkaitan dengan pencarian lokal, antara lain kompleksitas waktu, ukuran tetangga yang akan dicari, memilih elemen pivot.
(d) Membuat algoritma pendekatan pencarian lokal.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dipandang sebagai
persoalan optimisasi, seperti mencari suatu jalan dengan rute terpendek ataupun
mencari jalan alternatif agar cepat sampai pada tujuan. Untuk mencari jalan
ataupun rute tersebut, kita dapat mendaftarkan satu per satu jalan yang mungkin
dapat dilalui, lalu memilih dari semua kemungkinan yang ada dan menetapkan pada satu hasil yang terbaik. Pencarian yang dilakukan merupakan cara percobaan
kombinatorik (matematika diskrit) sehingga persoalan tersebut merupakan permasalahan optimisasi kombinatorial. Penggunaan optimisasi kombinatorial bukan
hanya pada persoalan mencari jalan terpendek atau dengan kata lain mencari nilai minimum, namun dapat juga dilakukan untuk mencari nilai maksimum seperti
pada bidang industri, yaitu dalam hal memproduksi suatu barang. Dalam hal ini
tentunya pemilik industri menginginkan barang yang diproduksi nantinya akan
menghasilkan keuntungan yang banyak dengan tetap menjaga mutunya. Pada
kasus ini juga pemilik akan mencari semua kemungkinan yang ada dan menetapkan pada satu hasil yang optimal sehingga apa yang diinginkan dapat dicapai.
Lee (2004) menyatakan disamping aplikasinya optimisasi kombinatorik mempunyai aspek-aspek yang terhubung dengan cabang lain dari matematika (aljabar,
analisis, topologi, dan tentu saja subdisiplin lain dari matematika diskrit seperti
teori graf, dan percobaan kombinatorik) seperti halnya komputer sains. Dalam
komputer sains, proses pencarian semua kemungkinan dengan mengembangkan
sebuah algoritma pencarian dan disajikan dalam sebuah program komputer.
Permasalahan optimisasi kombinatorial dapat diselesaikan dengan beberapa
pendekatan. Salah satu pendekatan yang digunakan adalah pendekatan pencarian lokal (local search). Pendekatan pencarian lokal terinspirasi oleh teknik pencarian lokal yang digunakan dalam optimasi kombinatorial. Orlin et al., (2004)
mengemukakan banyak masalah optimisasi kombinatorial adalah NP − hard, dan
salah satu pendekatan yang sering digunakan untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan pendekatan pencarian lokal. Pencarian lokal didasarkan pada
konsep sebuah ketetanggaan (neighborhood), yang dikatakan tetangga p adalah
1
Universitas Sumatera Utara
2
himpunan solusi yang memiliki kedekatan dengan p, misalnya karena dapat dengan mudah dihitung dari p atau karena memiliki banyak struktur yang sama
dengan p. Sebuah fungsi pembangkit ketetanggaan mungkin dapat menghasilkan
solusi optimum atau mungkin tidak dapat menghasilkan solusi optimum. Ketika fungsi ketetanggaan dapat menghasilkan solusi optimum global, maka semua
langkah dimulai dari setiap titik layak awal merupakan solusi yang tepat. Sebuah contoh dari masalah optimasi kombinatorial terdiri dari himpunan solusi
layak dan nilai fungsi solusi. Masalahnya terdiri dari pencarian solusi dengan
nilai yang optimum diantara semua solusi yang layak. Pada umumnya masalah
yang dibahas adalah masalah yang diselesaikan dengan komputasi, sehingga algoritma pendekatan harus digunakan. Salah satu jenis algoritma pendekatan yang
digunakan adalah algoritma pencarian lokal.
Beberapa penelitian tentang algoritma pencarian lokal dengan berbagai variasinya telah terdapat dalam berbagai literatur untuk berbagai masalah optimasi
kombinatorik. Pada awalnya, Choudhary dan Purohit (2011) menyebutkan masalah NP − complete dapat diselesaikan dengan bantuan computing distribusi dan
parrallelism. Kemudian pada tahun 2012, Baghel et al., menyajikan sebuah laporan survey algoritma metaheuristik untuk menyelesaikan masalah optimisasi kombinatorial. Sharma (2003) membahas masalah pencarian lokal dengan optimisasi
kombinatorial menunjukkan bahwa hasil dari analisis pencarian lokal terkait dengan (i) kerumitan waktu, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh algoritma untuk
sampai pada jawaban akhir, (ii) ukuran dari ketetanggaan yang dicari, (iii) pilihan element pivot.
Masalah pencarian lokal adalah menemukan solusi optimum lokal. Pencarian dimulai pada solusi layak awal x0 ∈ F dan dengan menggunakan subroutin
yang ditingkatkan untuk mencari solusi yang lebih baik dalam lingkungan ketetanggaannya, sepanjang masih terdapat solusi yang lebih baik. Pencarian ketetanggaan adalah pengulangan dari solusi yang baru, pencarian dihentikan sampai
solusi lokal optimum ditemukan. Fungsi ketetanggan klasik mencakup ketetanggaan k-opt untuk TSP (Yannakakis,1997), maksimum dan minimum pada masalah ini adalah PLS (polynomial-time local search). Masalah Max-Cut (Maximum
cut problem) dan MAX 2SAT(Flip neighborhood), sebuah solusi yang mungkin
adalah partisi dari himpunan verteksnya menjadi dua bagian. Fungsi tujuan adalah bobot total dari sisi (edges) yang menyatu dalam dua bagian partisi. The
Universitas Sumatera Utara
3
flip neighborhood terdiri dari semua solusi yang diperoleh dengan memindahkan
sebuah verteks dari satu bagian pada graf partisi ke bagian lainnya (Schäffer
dan Yannakakis, 1991). Algoritma ε-lokal didesain untuk bekerja dalam setiap
masalah pencarian lokal dimana tersedianya pembuktian dari permasalahan, tanpa menghiraukan ukuran atau struktur pada lingkungannya (neighborhood) dan
penerapan dari pembuktian.
Dalam tulisan ini, penulis menyajikan konsep optimalitas ε-lokal dan menunjukkan bahwa optimum ε-lokal dapat diidentifikasi dengan waktu polinomial
pada masalah ukuran dan 1/ε sewaktu-waktu hubungan ketetanggan dapat dicari
dengan waktu polinomial untuk ε > 0. Penulis akan menganalisis algoritma yang
menghasilkan (δ + ε)-optimum lokal dengan waktu polinomial pada masalah ukuran dan 1/ε sehingga masalah optimisasi kombinatorial dapat memiliki banyak
pola pendekatan pada waktu polinomial jika dan hanya jika memiliki waktu polinomial yang lengkap (f ully) dengan pola tambahan (augmentation). Penelitian
ini mengacu pada tulisan Orlin et al., (2004) tentang pendekatan pencarian lokal
dengan optimisasi kombinatorik.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah optimisasi kombinatorik termasuk dalam masalah NP -hard (Non- Polynomial Hard problem), dimana waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah ini merupakan fungsi eksponensial dari ukuran masukan. Untuk itu dibutuhkan suatu pendekatan untuk mencari solusi optimum atau mendekati solusi
optimum, yaitu dengan menggunakan pendekatan pencarian lokal.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis penggunaan pendekatan pencarian
ε−lokal untuk menentukan solusi optimum lokal dalam optimisasi kombinatorik.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi teoritis khususnya dalam
bidang operasi riset. Serta bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang algoritma pencarian lokal dalam optimisasi kombinatorik.
Universitas Sumatera Utara
4
1.5 Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat studi literatur dan kepustakaan. Untuk memperoleh pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial, berikut adalah
langkah-langkah yang akan dilakukan:
1. Dengan menggunakan pola optimisasi waktu polinomial ε-lokal akan menghasilkan sebuah solusi optimum ε-lokal dengan cara bergerak dari satu solusi
yang mungkin ke solusi lain dalam konsep ketetangganya, begitu seterusnya.
Hal ini merupakan ciri khas dari algoritma pencarian lokal.
2. Mempelajari teori-teori yang terkait dengan permasalahan pencarian lokal.
Awalnya yang dilakukan adalah mengumpulkan informasi yang berkenaan
dengan permasalahan pencarian lokal. Sebelum mencari solusi optimum
lokal harus ditentukan bagaimana cara menentukan solusi awal yang layak.
Penentuan pencarian lokal dari beberapa titik yang berbeda berperan untuk
memilih hasil terbaik. Selanjutnya, sebuah tetangga yang “baik” dipilih
untuk mencari solusi.
3. Pemahaman persoalan pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial.
Pada tahap ini akan dipelajari dan dipahami algoritma pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial.
4. Merancang suatu pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi pencarian
lokal.
Berikut ini tahapan pendekatan pencarian lokal dengan optimisasi kombinatorial
(a) Mengajukan asumsi awal.
(b) Memaparkan persoalan secara konseptual.
(c) Menganalisis faktor-faktor yang berkaitan dengan pencarian lokal, antara lain kompleksitas waktu, ukuran tetangga yang akan dicari, memilih elemen pivot.
(d) Membuat algoritma pendekatan pencarian lokal.
Universitas Sumatera Utara