Pendekatan Pencarian Lokal Dalam Optimisasi Kombinatorik
BAB 2
OPTIMISASI KOMBINATORIAL
Optimisasi kombinatorial merupakan suatu cara yang digunakan untuk mencari
semua kemungkinan nilai real dari suatu fungsi objektif. Proses pencarian dapat
dilakukan dengan mendaftarkan satu per satu nilai yang mungkin atau juga dengan mengembangkan suatu algoritma pencarian. Nantinya setelah ditemukannya
semua kemungkinan tersebut, dipilihlah mana yang terbaik. Dengan kata lain,
optimisasi kombinatorial mencari nilai maksimum atau minimum tergantung dari
masalah yang dibicarakan. Algoritma dari optimalisasi kombinatorial digunakan
untuk menyelesaikan masalah yang cukup rumit dan memiliki ruang lingkup yang
cukup besar.
Masalah kombinatorial adalah masalah yang mempunyai himpunan solusi
layak (f easible) yang terhingga. Meskipun secara prinsip solusi dari masalah ini
bisa didapatkan dengan enumerasi lengkap, pada masalah kompleks dibutuhkan
waktu yang tidak bisa diterima secara praktis (Lee, 2004). Salah satu bentuk dari
masalah optimisasi adalah TSP (Travelling Salesman Problem). TSP sebagai
masalah yang mudah dipahami tapi sulit untuk dipecahkan (mendapat solusi
optimal). Dengan semakin banyaknya jumlah kota yang dilibatkan, pencarian
solusi untuk pemilihan rute terbaik untuk mengunjungi n kota akan semakin
sukar. Oleh karena itu dibutuhkan suatu program yang dapat menyelesaikan tugas
tersebut. Metode enumerasi lengkap harus menguji n! kemungkinan solusi. Untuk
masalah sederhana dengan n = 20 ada lebih dari 2, 4 × 1018 kemungkinan solusi.
Jika dengan menggunakan perhitungan komputer mungkin memerlukan waktu
lebih dari 5 jam untuk melakukan enumerasi lengkap, sebuah hal yang tidak bisa
diterima secara praktis. Algoritma pendekatan dalam berbagai literatur telah
sukses diterapkan pada berbagai masalah kombinatorial seperti perencanaan dan
penjadwalan produksi pada industri manufaktur. Meskipun solusi optimum tidak
diperoleh, tetapi solusi yang mendekati optimum bisa didapatkan dalam waktu
yang relatif singkat dan dapat diterima secara praktis.
Menurut Lawler (1976), analisis kombinatorial adalah studi matematika tentang pengaturan, pengelompokan, pemesanan, atau pemilihan objek diskrit, biasanya terbatas jumlahnya (finite in number). Pada awalnya, penelitian kombina5
Universitas Sumatera Utara
6
torial meneliti dengan pertanyaan-pertanyaan dari keberadaan atau pencacahan.
Artinya, “apakah suatu jenis pengaturan ada?” Atau, “berapa banyak pengaturan
yang ada?”. Penelitian kombinatorial pada saat ini telah mengalami kemajuan
yang lebih signifikan. Pertanyaan yang diajukan tidak “Apakah pengaturan ada”
atau “Berapa banyak pengaturan yang ada”, melainkan, “Bagaimana susunan
yang baik”. Keberadaan jenis pengaturan tertentu biasanya tidak menjadi pertanyaan, dan jumlah pengaturan tersebut mungkin tidak relevan. Tujuannya
adalah menemukan pola optimum, bagaimana menyelesaikan masalah yang besar
dalam jumlah yang tidak terbatas menjadi kemungkinan yang efektif. Banyak
masalah optimasi kombinatorial telah dihasilkan oleh penelitian dalam desain
komputer, teori komputasi, dan oleh aplikasi komputer pada masalah numerik
yang membutuhkan metode baru, pendekatan baru, dan wawasan matematika
baru.
Lee (2004) mengemukakan masalah optimisasi diskrit adalah sebuah masalah memaksimumkan sebuah nilai real fungsi tujuan c di himpunan terbatas (finite
set) pada solusi layak S. Biasanya himpunan S muncul sebagai himpunan bagian
dari 2E (himpunan dari semua himpunan bagian E), untuk beberapa himpunan
terbatas E, masalah yang demikian merupakan masalah optimisasi kombinatorial. Solusi bisa saja didapat dengan menghitung semua kemungkinan, tentu saja
dengan waktu yang cukup lama. Dengan menggunakan algoritma lebih praktis
dibandingkan dengan menghitung semua solusi layak. Optimisasi diskrit memiliki aspek yang menghubungkannya dengan bidang lain dari matematika, seperti aljabar, geometri, logika, topologi, dan tentu saja bagian disiplin ilmu dari
matematika diskrit seperti teori graf, dan teori matroid. Karena itu banyak penelitian dalam optimisasi diskrit dijadikan sebagai aplikasi. Sebuah algoritma
secara teori lebih efisien untuk masalah dengan ukuran yang besar, jika jumlah langkah perhitungan diperlukan untuk menyelesaikan misalnya pada masalah
yang dibatasi oleh polinomial dalam jumlah bit yang diperlukan untuk masalah pengodean (encoding). Pada masalah optimisasi kombinatorial, komputasi
efektif untuk menyelesaikan masalah dalam RE (bilangan real |E|-ruang dimensi dengan koordinat diindeks oleh E). Dengan mempertimbangkan bagian konveks PS pada karakteristik vektor dalam S, bahwa himpunan bilangan konveks
terkecil memuat karakteristik vektor tersebut. Selanjutnya, dibutuhkan fungsi
c̃ : [0, 1]E 7→ R sehingga jika x(S) adalah karakteristik vektor pada himpunan
Universitas Sumatera Utara
7
layak S, lalu c̃(x(S)) = c(S). Keberhasilan pendekatan semacam itu tergantung
pada fungsi tujuan. Fungsi cekung (concave) relatif lebih mudah untuk memaksimumkan (deskripsi PS sebagai himpunan solusi dari pertidaksamaan linear),
seperti dalam kasus sebuah maksimum lokal adalah maksimum global.
2.1 Kriteria Polinomial Terbatas (The Criterion of Polynomial Boundedness)
Ketika algoritma diimplementasikan pada komersial, seharusnya hanya memerlukan pengeluaran waktu komputer dan penyimpanan data untuk setiap contoh dari masalah kombinatorial untuk diselesaikan. Hal ini membuktikan bahwa
metode pemrograman linier telah terbukti efektif untuk menyelesaikan berbagai
masalah optimisasi. Aturan kelayakan merupakan prinsip yang telah disepakati.
Namun hal yang lebih objektif adalah harus diterapkannya standar yang tepat,
salah satu standar yang berlaku umum di bidang optimisasi kombinatorial adalah
polinomial terbatas (boundedness polynomial). Sebuah algoritma dianggap “baik”
jika jumlah dasar langkah komputasi dibatasi oleh sebuah polinomial dalam ukuran masalah. Alasan pertama pentingnya batas polinomial adalah: fungsi polinomial berkembang lebih cepat dari pada fungsi eksponensial, dan fungsi eksponen
berkembang lebih cepat dari pada fungsi faktorial. Batas polinomial digunakan
untuk menyelesaikan masalah optimisasi dalam lingkup yang besar.
Selain itu, terdapat algoritma yang eksponensial secara teoritis, namun
berprilaku seperti algoritma polinomial untuk tujuan yang praktis. Sebagai contoh adalah algoritma simpleks yang telah diteliti secara empiris untuk menyelesaikan perhitungan aljabar dengan jumlah variabel dan kendala dari masalah
pemrograman linier. Meskipun algoritma polinomial memiliki batas, kriteria polinomial terbatas telah terbukti secara signifikan lebih praktis. Dalam kasus masalah yang melibatkan spesifikasi berbagai parameter numerik, misalnya panjang
busur, besaran parameter ini harus jelas dan harus diperhitungkan.
2.2 Metode Penyelesaian
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan sebuah masalah optimisasi. Beberapa
teknik matematika yang dapat digunakan dalam algoritma ini: (1) pemrograman
linear, (2) rekursi dan pencacahan, (3) heuristik, (4) statistik.
Universitas Sumatera Utara
8
Program linier yang berhubungan dengan perbedaan (extremization) dari
subjek fungsi tujuan linier untuk kendala ketimpangan. Dari aspek geometrik,
kendala ketimpangan linier menggambarkan politipe cembung. Pemrograman
perhitungan linear merupakan hasil dari satu simpul (vertex) politipe ini ke yang
lain, dengan nilai fungsi tujuan yang menyertainya. Untuk memecahkan masalah optimasi kombinatorial dapat dilakukan dengan pemrograman linier untuk
merumuskan sistem kendala ketimpangan linear yang akan menyebabkan simpul
dari politipe cembung untuk sesuai dengan solusi layak masalah kombinatorial.
Biasanya hal ini menghasilkan sejumlah kendala yang dapat terdaftar secara eksplisit. Masalah optimasi kombinatorial juga dapat diselesaikan dengan metode
pemrograman linier, bahkan dalam kasus dimana tidak ada karakteristik yang
baik kendala ketimpangan diperlukan.
Pendekatan pencarian lokal juga merupakan suatu teknik yang digunakan
dalam optimisasi kombinatorial. Pencarian lokal adalah suatu algoritma iteratif
′
yang bergerak dari satu solusi S ke S lain berdasarkan struktur ketetanggaan
(neighborhood). Studi mengenai pencarian lokal telah menjadi pusat perhatian.
Banyak penelitian yang membahas tentang permasalahan pencarian lokal untuk
menemukan solusi optimum lokal. Didalam fungsi ketetanggaan klasik, ketetanggaan k-opt pada TSP (Lin,1965), ketetanggaan MAX CUT dan MAX 2SAT
(Schaffer dan Yannakakis, 1991). Meskipun dalam masalah tersebut termasuk
masalah ketetatanggan, berbentuk piramid perjalanan ketetanggaan, seperti pada TSP. Ausiello dan Protasi (1995) memperkenalkan klasifikasi GLO (untuk
mengawetkan optimum lokal) pada masalah optimisasi yang menjadi nilai fungsi
tujuan pada setiap optimum lokal di tanggung menjadi faktor konstan dari optimum lokal. Khana et al., (1998) melanjutkan ide ini menjadi masalah yang
awet GLO, yang diikuti untuk dengan sebuah modifikasi dari fungsi tujuan yang
digunakan untuk menghitung optimum lokal.
Pada salah satu pembahasan, inti dari ketetanggaan terdiri atas semua solusi pasti (exact), selain itu diasumsikan bahwa jumlah berbeda fungsi tujuan
dari solusi layak adalah batas polinomial. Karena itu, algoritma dasar pencarian lokal menghasilkan sebuah solusi optimum lokal pada waktu polinomial.
Perbedaannya, tidak dapat dibuat sejumlah asumsi pada nilai fungsi tujuan atau
mempertimbangkan ketetanggaan. Dalam tesis ini, akan diperlihatkan bahwa sebuah optimum ε-lokal dapat selalu dihitung dengan nilai polinomial dari sebutan
Universitas Sumatera Utara
9
meningkat menjadi subroutine. Di sisi lain, saat sebuah optimum ε-lokal memiliki sifat yang dekat dengan optimum lokal, nilai fungsi tujuannya tidak menjamin
bernilai dekat dengan optimum global. Namun, secara umum hal ini berlaku
untuk juga pada optimum lokal. Misalnya, penelitian yang dilakukan oleh Papadamitriou dan Steiglitz (1977) menunjukkan bahwa optimum lokal tidak efisien
pada pencarian ketetanggaan untuk TSP dapat berada dalam faktor konstan dari
nilai optimal kecuali P = NP. Namun, setiap kali masalah optimasi kombinatorial
memiliki lingkungan yang efisien dicari sehingga nilai setiap optimum lokal berada
dalam faktor konstan α ≥ 1 yang berasal dari minimum global, kemudian dapat
dihitung pada waktu polinomial sebuah ε-lokal dengan biaya lebih baik dari α + ε
pada global optimum.
Klauck (1996) mempelajari kompleksitas dalam menemukan solusi terbaik
nilai fungsi tujuan adalah dengan pendekatan optimum lokal terburuk dengan
menggunakan batas dari bentuk reduksi PLS. Kelengkapan dibawah reduksi ini
memiliki implikasi bahwa pendekatan optimum lokal tidak dapat mencapai kondisi
efisien kecuali P = PLS (polynomial-time local search). Sebagai contoh, program
0/1 dengan ketetanggaan k − f lip dan TSP dengan ketetanggan k-opt bernilai konstan adalah lengkap dibawah reduksi ini. Sebuah fungsi ketetanggaan N
Q
dari masalah optimisasi kombinatorial
tepat jika setiap solusi optimal lokal
dengan N juga optimal lokal. Pada kasus ini, waktu polinomial penuh (fully
polynomial-time) pola optimisasi ε− lokal kenyataannya adalah pola pendekatan
waktu polinomial penuh. Sculz dan Weismantel (1995) menunjukkan bahwa jika masalah optimisasi kombinatorial mempunyai ketetanggaan yang pasti dapat
dicari keefisienanya dan ketepatanya, yang benar-benar dapat menemukan solusi
tepat optimal yang efisien. Kemudian melanjutkan pembahasan tentang masalah
program linier bilangan bulat 0/1 (contohnya masalah optimisasi kombinatorial)
pada bilangan bulat untuk sebuah optimum lokal dengan polynomial time kecuali
lingkungan yang tepat, dan diperoleh P = PLS (Sculz dan Weismantel 1999,
2002).
Hasil utama dalam penelitian Fischer (1995) adalah kemungkinan terbaik
diperoleh jika dilakukan pemeriksaan pada kelas algoritma yang bergerak secara berulang-ulang (iterative) yang bergerak dari satu solusi layak (f easible)
ke solusi layak di daerah tetangganya. Misalnya, diberikan sebuah solusi layak
Q
S(F , c) pada masalah optimisasi kombinatorial
dan sejumlah k, pertanyaan
Universitas Sumatera Utara
10
yang dimunculkan adalah apakah terdapat optimum lokal dengan ketetanggan
k dengan S. Fischer menunjukkan bahwa pertanyaan ini adalah NP complete
dengan MAX CUT dan MAX 2SAT dibawah flip ketetanggaan dan untuk TSP
dibawah ketetanggaan 2-opt, dan lainnya. Orlin, et al., (2004) menunjukkan
sambungan dari keluarga (Aε )ε>0 dengan algoritma untuk menemukan ε− optimal lokal dengan waktu polinomial dengan masukan ukuran dan log 1/ε implikasi
adanya algoritma waktu polinomial untuk menghitung optimum lokal.
Universitas Sumatera Utara
OPTIMISASI KOMBINATORIAL
Optimisasi kombinatorial merupakan suatu cara yang digunakan untuk mencari
semua kemungkinan nilai real dari suatu fungsi objektif. Proses pencarian dapat
dilakukan dengan mendaftarkan satu per satu nilai yang mungkin atau juga dengan mengembangkan suatu algoritma pencarian. Nantinya setelah ditemukannya
semua kemungkinan tersebut, dipilihlah mana yang terbaik. Dengan kata lain,
optimisasi kombinatorial mencari nilai maksimum atau minimum tergantung dari
masalah yang dibicarakan. Algoritma dari optimalisasi kombinatorial digunakan
untuk menyelesaikan masalah yang cukup rumit dan memiliki ruang lingkup yang
cukup besar.
Masalah kombinatorial adalah masalah yang mempunyai himpunan solusi
layak (f easible) yang terhingga. Meskipun secara prinsip solusi dari masalah ini
bisa didapatkan dengan enumerasi lengkap, pada masalah kompleks dibutuhkan
waktu yang tidak bisa diterima secara praktis (Lee, 2004). Salah satu bentuk dari
masalah optimisasi adalah TSP (Travelling Salesman Problem). TSP sebagai
masalah yang mudah dipahami tapi sulit untuk dipecahkan (mendapat solusi
optimal). Dengan semakin banyaknya jumlah kota yang dilibatkan, pencarian
solusi untuk pemilihan rute terbaik untuk mengunjungi n kota akan semakin
sukar. Oleh karena itu dibutuhkan suatu program yang dapat menyelesaikan tugas
tersebut. Metode enumerasi lengkap harus menguji n! kemungkinan solusi. Untuk
masalah sederhana dengan n = 20 ada lebih dari 2, 4 × 1018 kemungkinan solusi.
Jika dengan menggunakan perhitungan komputer mungkin memerlukan waktu
lebih dari 5 jam untuk melakukan enumerasi lengkap, sebuah hal yang tidak bisa
diterima secara praktis. Algoritma pendekatan dalam berbagai literatur telah
sukses diterapkan pada berbagai masalah kombinatorial seperti perencanaan dan
penjadwalan produksi pada industri manufaktur. Meskipun solusi optimum tidak
diperoleh, tetapi solusi yang mendekati optimum bisa didapatkan dalam waktu
yang relatif singkat dan dapat diterima secara praktis.
Menurut Lawler (1976), analisis kombinatorial adalah studi matematika tentang pengaturan, pengelompokan, pemesanan, atau pemilihan objek diskrit, biasanya terbatas jumlahnya (finite in number). Pada awalnya, penelitian kombina5
Universitas Sumatera Utara
6
torial meneliti dengan pertanyaan-pertanyaan dari keberadaan atau pencacahan.
Artinya, “apakah suatu jenis pengaturan ada?” Atau, “berapa banyak pengaturan
yang ada?”. Penelitian kombinatorial pada saat ini telah mengalami kemajuan
yang lebih signifikan. Pertanyaan yang diajukan tidak “Apakah pengaturan ada”
atau “Berapa banyak pengaturan yang ada”, melainkan, “Bagaimana susunan
yang baik”. Keberadaan jenis pengaturan tertentu biasanya tidak menjadi pertanyaan, dan jumlah pengaturan tersebut mungkin tidak relevan. Tujuannya
adalah menemukan pola optimum, bagaimana menyelesaikan masalah yang besar
dalam jumlah yang tidak terbatas menjadi kemungkinan yang efektif. Banyak
masalah optimasi kombinatorial telah dihasilkan oleh penelitian dalam desain
komputer, teori komputasi, dan oleh aplikasi komputer pada masalah numerik
yang membutuhkan metode baru, pendekatan baru, dan wawasan matematika
baru.
Lee (2004) mengemukakan masalah optimisasi diskrit adalah sebuah masalah memaksimumkan sebuah nilai real fungsi tujuan c di himpunan terbatas (finite
set) pada solusi layak S. Biasanya himpunan S muncul sebagai himpunan bagian
dari 2E (himpunan dari semua himpunan bagian E), untuk beberapa himpunan
terbatas E, masalah yang demikian merupakan masalah optimisasi kombinatorial. Solusi bisa saja didapat dengan menghitung semua kemungkinan, tentu saja
dengan waktu yang cukup lama. Dengan menggunakan algoritma lebih praktis
dibandingkan dengan menghitung semua solusi layak. Optimisasi diskrit memiliki aspek yang menghubungkannya dengan bidang lain dari matematika, seperti aljabar, geometri, logika, topologi, dan tentu saja bagian disiplin ilmu dari
matematika diskrit seperti teori graf, dan teori matroid. Karena itu banyak penelitian dalam optimisasi diskrit dijadikan sebagai aplikasi. Sebuah algoritma
secara teori lebih efisien untuk masalah dengan ukuran yang besar, jika jumlah langkah perhitungan diperlukan untuk menyelesaikan misalnya pada masalah
yang dibatasi oleh polinomial dalam jumlah bit yang diperlukan untuk masalah pengodean (encoding). Pada masalah optimisasi kombinatorial, komputasi
efektif untuk menyelesaikan masalah dalam RE (bilangan real |E|-ruang dimensi dengan koordinat diindeks oleh E). Dengan mempertimbangkan bagian konveks PS pada karakteristik vektor dalam S, bahwa himpunan bilangan konveks
terkecil memuat karakteristik vektor tersebut. Selanjutnya, dibutuhkan fungsi
c̃ : [0, 1]E 7→ R sehingga jika x(S) adalah karakteristik vektor pada himpunan
Universitas Sumatera Utara
7
layak S, lalu c̃(x(S)) = c(S). Keberhasilan pendekatan semacam itu tergantung
pada fungsi tujuan. Fungsi cekung (concave) relatif lebih mudah untuk memaksimumkan (deskripsi PS sebagai himpunan solusi dari pertidaksamaan linear),
seperti dalam kasus sebuah maksimum lokal adalah maksimum global.
2.1 Kriteria Polinomial Terbatas (The Criterion of Polynomial Boundedness)
Ketika algoritma diimplementasikan pada komersial, seharusnya hanya memerlukan pengeluaran waktu komputer dan penyimpanan data untuk setiap contoh dari masalah kombinatorial untuk diselesaikan. Hal ini membuktikan bahwa
metode pemrograman linier telah terbukti efektif untuk menyelesaikan berbagai
masalah optimisasi. Aturan kelayakan merupakan prinsip yang telah disepakati.
Namun hal yang lebih objektif adalah harus diterapkannya standar yang tepat,
salah satu standar yang berlaku umum di bidang optimisasi kombinatorial adalah
polinomial terbatas (boundedness polynomial). Sebuah algoritma dianggap “baik”
jika jumlah dasar langkah komputasi dibatasi oleh sebuah polinomial dalam ukuran masalah. Alasan pertama pentingnya batas polinomial adalah: fungsi polinomial berkembang lebih cepat dari pada fungsi eksponensial, dan fungsi eksponen
berkembang lebih cepat dari pada fungsi faktorial. Batas polinomial digunakan
untuk menyelesaikan masalah optimisasi dalam lingkup yang besar.
Selain itu, terdapat algoritma yang eksponensial secara teoritis, namun
berprilaku seperti algoritma polinomial untuk tujuan yang praktis. Sebagai contoh adalah algoritma simpleks yang telah diteliti secara empiris untuk menyelesaikan perhitungan aljabar dengan jumlah variabel dan kendala dari masalah
pemrograman linier. Meskipun algoritma polinomial memiliki batas, kriteria polinomial terbatas telah terbukti secara signifikan lebih praktis. Dalam kasus masalah yang melibatkan spesifikasi berbagai parameter numerik, misalnya panjang
busur, besaran parameter ini harus jelas dan harus diperhitungkan.
2.2 Metode Penyelesaian
Ada beberapa metode untuk menyelesaikan sebuah masalah optimisasi. Beberapa
teknik matematika yang dapat digunakan dalam algoritma ini: (1) pemrograman
linear, (2) rekursi dan pencacahan, (3) heuristik, (4) statistik.
Universitas Sumatera Utara
8
Program linier yang berhubungan dengan perbedaan (extremization) dari
subjek fungsi tujuan linier untuk kendala ketimpangan. Dari aspek geometrik,
kendala ketimpangan linier menggambarkan politipe cembung. Pemrograman
perhitungan linear merupakan hasil dari satu simpul (vertex) politipe ini ke yang
lain, dengan nilai fungsi tujuan yang menyertainya. Untuk memecahkan masalah optimasi kombinatorial dapat dilakukan dengan pemrograman linier untuk
merumuskan sistem kendala ketimpangan linear yang akan menyebabkan simpul
dari politipe cembung untuk sesuai dengan solusi layak masalah kombinatorial.
Biasanya hal ini menghasilkan sejumlah kendala yang dapat terdaftar secara eksplisit. Masalah optimasi kombinatorial juga dapat diselesaikan dengan metode
pemrograman linier, bahkan dalam kasus dimana tidak ada karakteristik yang
baik kendala ketimpangan diperlukan.
Pendekatan pencarian lokal juga merupakan suatu teknik yang digunakan
dalam optimisasi kombinatorial. Pencarian lokal adalah suatu algoritma iteratif
′
yang bergerak dari satu solusi S ke S lain berdasarkan struktur ketetanggaan
(neighborhood). Studi mengenai pencarian lokal telah menjadi pusat perhatian.
Banyak penelitian yang membahas tentang permasalahan pencarian lokal untuk
menemukan solusi optimum lokal. Didalam fungsi ketetanggaan klasik, ketetanggaan k-opt pada TSP (Lin,1965), ketetanggaan MAX CUT dan MAX 2SAT
(Schaffer dan Yannakakis, 1991). Meskipun dalam masalah tersebut termasuk
masalah ketetatanggan, berbentuk piramid perjalanan ketetanggaan, seperti pada TSP. Ausiello dan Protasi (1995) memperkenalkan klasifikasi GLO (untuk
mengawetkan optimum lokal) pada masalah optimisasi yang menjadi nilai fungsi
tujuan pada setiap optimum lokal di tanggung menjadi faktor konstan dari optimum lokal. Khana et al., (1998) melanjutkan ide ini menjadi masalah yang
awet GLO, yang diikuti untuk dengan sebuah modifikasi dari fungsi tujuan yang
digunakan untuk menghitung optimum lokal.
Pada salah satu pembahasan, inti dari ketetanggaan terdiri atas semua solusi pasti (exact), selain itu diasumsikan bahwa jumlah berbeda fungsi tujuan
dari solusi layak adalah batas polinomial. Karena itu, algoritma dasar pencarian lokal menghasilkan sebuah solusi optimum lokal pada waktu polinomial.
Perbedaannya, tidak dapat dibuat sejumlah asumsi pada nilai fungsi tujuan atau
mempertimbangkan ketetanggaan. Dalam tesis ini, akan diperlihatkan bahwa sebuah optimum ε-lokal dapat selalu dihitung dengan nilai polinomial dari sebutan
Universitas Sumatera Utara
9
meningkat menjadi subroutine. Di sisi lain, saat sebuah optimum ε-lokal memiliki sifat yang dekat dengan optimum lokal, nilai fungsi tujuannya tidak menjamin
bernilai dekat dengan optimum global. Namun, secara umum hal ini berlaku
untuk juga pada optimum lokal. Misalnya, penelitian yang dilakukan oleh Papadamitriou dan Steiglitz (1977) menunjukkan bahwa optimum lokal tidak efisien
pada pencarian ketetanggaan untuk TSP dapat berada dalam faktor konstan dari
nilai optimal kecuali P = NP. Namun, setiap kali masalah optimasi kombinatorial
memiliki lingkungan yang efisien dicari sehingga nilai setiap optimum lokal berada
dalam faktor konstan α ≥ 1 yang berasal dari minimum global, kemudian dapat
dihitung pada waktu polinomial sebuah ε-lokal dengan biaya lebih baik dari α + ε
pada global optimum.
Klauck (1996) mempelajari kompleksitas dalam menemukan solusi terbaik
nilai fungsi tujuan adalah dengan pendekatan optimum lokal terburuk dengan
menggunakan batas dari bentuk reduksi PLS. Kelengkapan dibawah reduksi ini
memiliki implikasi bahwa pendekatan optimum lokal tidak dapat mencapai kondisi
efisien kecuali P = PLS (polynomial-time local search). Sebagai contoh, program
0/1 dengan ketetanggaan k − f lip dan TSP dengan ketetanggan k-opt bernilai konstan adalah lengkap dibawah reduksi ini. Sebuah fungsi ketetanggaan N
Q
dari masalah optimisasi kombinatorial
tepat jika setiap solusi optimal lokal
dengan N juga optimal lokal. Pada kasus ini, waktu polinomial penuh (fully
polynomial-time) pola optimisasi ε− lokal kenyataannya adalah pola pendekatan
waktu polinomial penuh. Sculz dan Weismantel (1995) menunjukkan bahwa jika masalah optimisasi kombinatorial mempunyai ketetanggaan yang pasti dapat
dicari keefisienanya dan ketepatanya, yang benar-benar dapat menemukan solusi
tepat optimal yang efisien. Kemudian melanjutkan pembahasan tentang masalah
program linier bilangan bulat 0/1 (contohnya masalah optimisasi kombinatorial)
pada bilangan bulat untuk sebuah optimum lokal dengan polynomial time kecuali
lingkungan yang tepat, dan diperoleh P = PLS (Sculz dan Weismantel 1999,
2002).
Hasil utama dalam penelitian Fischer (1995) adalah kemungkinan terbaik
diperoleh jika dilakukan pemeriksaan pada kelas algoritma yang bergerak secara berulang-ulang (iterative) yang bergerak dari satu solusi layak (f easible)
ke solusi layak di daerah tetangganya. Misalnya, diberikan sebuah solusi layak
Q
S(F , c) pada masalah optimisasi kombinatorial
dan sejumlah k, pertanyaan
Universitas Sumatera Utara
10
yang dimunculkan adalah apakah terdapat optimum lokal dengan ketetanggan
k dengan S. Fischer menunjukkan bahwa pertanyaan ini adalah NP complete
dengan MAX CUT dan MAX 2SAT dibawah flip ketetanggaan dan untuk TSP
dibawah ketetanggaan 2-opt, dan lainnya. Orlin, et al., (2004) menunjukkan
sambungan dari keluarga (Aε )ε>0 dengan algoritma untuk menemukan ε− optimal lokal dengan waktu polinomial dengan masukan ukuran dan log 1/ε implikasi
adanya algoritma waktu polinomial untuk menghitung optimum lokal.
Universitas Sumatera Utara