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Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations
Proc. 8th Coll. QTDE, 2008, No. 3 1-13;
http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/

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P❙❙ ❫❵r❛❜ ❣❱❲❞❡ ❳◆❙P❙ ❖❞♠❤❝❩❙ ❚❙❘♠❳❖❲❞P ❳◆❘❳ ♠❘❞ ♠◆❘❞❡❙ ❳◆❙ ◗❲❚❲P❖❳❭❜ q❞ ❳◆❙ ♠❖❳❙❩ ◗❘◗❙❚ ❳◆❙ ✐❲❤❤❲❯❖❞❡ ❱❲❩❙❤
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❥❵❧
ω(t, x)u (t, x) = α · (|v(t, x)|u (t, x)) + K(ω(t, x))p (t, x)u (t, x) − ku(t, x)g(ω(t, x))
❥❴❧
ω (t, x) = bu(t, x)g(ω(t, x))
❥♣❧
(K(ω(t, x))p (t, x)) = bu(t, x)g(ω(t, x)),
❥t❧
v(t, x) = −K(ω(t, x))p (t, x),
t > 0, x ∈ (0, 1),
❯❖❳◆ P❲❱❙ ❖❞❖❳❖❘❤ ❘❞❩ ❬❲❝❞❩❘❚❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞P ❯◆❙❚❙ ω ❖P ❳◆❙ ◗❲❚❲P❖❳❭❦ u ❖P ❳◆❙ ♠❲❞♠❙❞❳❚❘❳❖❲❞ ❲✐ ❳◆❙ ❩❖PP❲❤❨❙❩
♠◆❙❱❖♠❘❤ P❲❤❝❳❙ ♠❘❚❚❖❙❩ ❬❭ ❳◆❙ ❢❝❖❩❦ p ❖P ❳◆❙ ◗❚❙PP❝❚❙❦ v ❖P ❳◆❙ ❨❙❤❲♠❖❳❭❦ ✐❝❚❳◆❙❚❦ α ❦ k ❦ b ❘❚❙ ❡❖❨❙❞ ♠❲❞P❳❘❞❳P❦ K
❘❞❩ g ❘❚❙ ❡❖❨❙❞ ❚❙❘❤ ✐❝❞♠❳❖❲❞P❜ ✉❬P❙❚❨❙ ❳◆❘❳ ❘✐❳❙❚ ❙❤❖❱❖❞❳❘❖❲❞ ❲✐ ❳◆❙ ✐❲❝❚❳◆ ❙✈❝❘❳❖❲❞ ❲❞❙ ❲❬❳❘❖❞P ❘ P❭P❳❙❱ ❳◆❘❳
♠❲❞❳❘❖❞P
❳◆❚❙❙ ❩❖✇❙❚❙❞❳ ❳❭◗❙P ❲✐ ❩❖✇❙❚❙❞❳❖❘❤ ❙✈❝❘❳❖❲❞Ps ❘❞ ❲❚❩❖❞❘❚❭❦ ❘ ◗❘❚❘❬❲❤❖♠ ❘❞❩ ❘❞ ❙❤❤❖◗❳❖♠ ❲❞❙❦ P❙❙ ❫❵❵❦ ❴❵❛❜
①❖❱❖❤❘❚ ❱❲❩❙❤ ❯❘P P❳❝❩❖❙❩ ❖❞ ❫❵❵❛ ❬❭ ❝P❖❞❡ ❳◆❙ ❱❙❳◆❲❩ ❲✐ ②❲❳◆❙❜ ①❲❱❙ ❞❝❱❙❚❖♠❘❤ ❙♥◗❙❚❖❱❙❞❳P ❯❙❚❙ ❩❲❞❙ ❖❞ ❫❴❵❛
♠❲❞♠❙❚❖❞❡ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ P❭P❳❙❱❦ ◆❲❯❙❨❙❚❦ ♠❲❚❚❙♠❳ ◗❚❲❲✐ ❲❞ ❙♥❖P❳❙❞♠❙ ❲✐ P❲❤❝❳❖❲❞P ❯❘P ❞❲❳ ❱❘❩❙ ❥❘❞❩ ❲❞❙ ♠❘❞ ◆❘❚❩❤❭
③❞❩ ◗❘◗❙❚P ❩❙❘❤❖❞❡ ❯❖❳◆ P❝♠◆ ❪❖❞❩ ❲✐ P❭P❳❙❱P ❖❞ ❚❖❡❲❚❲❝P ❱❘❳◆❙❱❘❳❖♠❘❤ ❯❘❭❧❜ q❞ ❳◆❙ ✐❲❤❤❲❯❖❞❡❦ ❯❙ ♠❲❞P❖❩❙❚
❘ ❡❙❞❙❚❘❤❖④❘❳❖❲❞ ❲✐ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ P❭P❳❙❱❜ ⑤❘❱❙❤❭❦ ❯❙ ❘❩❱❖❳ ❘❤P❲ ❞❲❞❤❲♠❘❤ ❩❙◗❙❞❩❙❞♠❙ ❲❞ ❳◆❙ ❝❞❪❞❲❯❞P❜ ①❝♠◆
❞❲❞❤❲♠❘❤❖❳❭ ❖P ❙P◗❙♠❖❘❤❤❭ ❚❙❘P❲❞❘❬❤❙ ✐❲❚ ❩❖✇❝P❖❲❞ ◗❚❲♠❙PP❙P ❥◆❙❘❳ ❲❚ ◗❲◗❝❤❘❳❖❲❞❧ ❯◆❙❚❙ ❳◆❙ ❩❖✇❝P❖❲❞ ♠❲❙⑥♠❖❙❞❳
❱❘❭ ❩❙◗❙❞❩ ❲❞ ❳❙❚❱P ❯◆❖♠◆ ❩❙◗❙❞❩ ❲❞ ❳◆❙ ❝❞❪❞❲❯❞P ❖❞ ❘ ❞❲❞❤❲♠❘❤ ❯❘❭ ❥❙❜❡❜❦ ❲❞ ❳◆❙ ❖❞❳❙❡❚❘❤ ❲✐ ❳◆❙ ❩❙❞P❖❳❭❧❜

♦❝❚❳◆❙❚❱❲❚❙❦ ❞❲❞❤❲♠❘❤ ❱❲❩❙❤P ❘❚❖P❙ ❘❤P❲ ❖❞ ♠❤❖❱❘❳❲❤❲❡❭❦ P❙❙ ❳◆❙ ◗❘◗❙❚P ❫❴❦ ❵❴❦ ❵♣❦ ❵t❛ ❯◆❙❚❙ ❘ ♠❤❖❱❘❳❲❤❲❡❭ ❱❲❩❙❤
♠❲❞❳❘❖❞❖❞❡ ✐❝❞♠❳❖❲❞❘❤ ❩❖✇❙❚❙❞❳❖❘❤ ❙✈❝❘❳❖❲❞P ❯❘P P❳❝❩❖❙❩❜ ♦❲❚ P❲❱❙ ❲❳◆❙❚ ◗❚❲❬❤❙❱P ❖❞❨❲❤❨❖❞❡ ❞❲❞❤❲♠❘❤ ❩❖✇❙❚❙❞❳❖❘❤
❙✈❝❘❳❖❲❞P❦ P❝♠◆ ❘P ❳❚❘❞P❱❖PP❖❲❞ ◗❚❲❬❤❙❱P❦ P❙❙ ❫❵⑦❦ ❵⑧❦ ❵⑨❛❦ ❘❞❩ ❘P ❞❲❞❤❲♠❘❤ ❬❲❝❞❩❘❚❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞P❦ P❙❙ ❫❴r❦ ❴⑩❦ ❴♣❛❜
q❞ ❳◆❙ ✐❲❤❤❲❯❖❞❡ ❯❙ P◆❲❯ ❙♥❖P❳❙❞♠❙ ❘❞❩ ◗❚❲◗❙❚❳❖❙P ❲✐ ❯❙❘❪ P❲❤❝❳❖❲❞P ❥P❝♠◆ ❘P ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❘❞❩ P❳❘❬❖❤❖④❘❳❖❲❞
❘P t → ∞❧ ❳❲ ❘ ❞❲❞❤❲♠❘❤ ❡❙❞❙❚❘❤❖④❘❳❖❲❞ ❲✐ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ P❭P❳❙❱ ❬❭ ❝P❖❞❡ ❳◆❙ ❳◆❙❲❚❭ ❲✐ ❲◗❙❚❘❳❲❚P ❲✐ ❱❲❞❲❳❲❞❙ ❳❭◗❙❜
✉❝❚ ❘PP❝❱◗❳❖❲❞P ❯❖❤❤ ❬❙ ❳◆❙ ❡❙❞❙❚❘❤❖④❘❳❖❲❞P ❲✐ ❳◆❙ ♠❤❘PP❖♠❘❤ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞P❜ ❶❲❯❙❨❙❚ ❳◆❙P❙ ❘❚❙ P❳❚❖♠❳ ❘PP❝❱◗❳❖❲❞P❦
❳◆❙ ❙♥❘❱◗❤❙P ❡❖❨❙❞ ❘✐❳❙❚ ❙❘♠◆ P❳❘❳❙❱❙❞❳ ❯❖❤❤ P◆❲❯ ❳◆❘❳ ❳◆❙ ❚❙P❝❤❳P ❘◗◗❤❭ ❖❞ ❘ ❤❘❚❡❙ ♠❤❘PP ❲✐ ◗❚❲❬❤❙❱P❜
❷❸❷ ❹❺❻❼❻❽❺❾
❿❙❳ Ω ⊂ R ❬❙ ❘ ❬❲❝❞❩❙❩ ❩❲❱❘❖❞ ❯❖❳◆ ❳◆❙ ❝❞❖✐❲❚❱ C ❚❙❡❝❤❘❚❖❳❭ ◗❚❲◗❙❚❳❭ ❥P❙❙ ❫❵❛❧❦ ✐❝❚❳◆❙❚❦ ❤❙❳ 0 < T < ∞ ❦
❬❙ ❚❙❘❤ ❞❝❱❬❙❚P❜ q❞ ❳◆❙ ✐❲❤❤❲❯❖❞❡❦ Q := (0, T ) × Ω ❦ Q := (0, ∞) × Ω ❜ ➀❙❞❲❳❙ ❬❭ W (Ω)
2❳◆❙≤ ❝P❝❘❤
p , p ①❲❬❲❤❙❨
< ∞ P◗❘♠❙ ❯❖❳◆ ❳◆❙ ❞❲❚❱
t

x

x

x

x

t

x

x

x

n

1

1

2

T

kvkW 1,pi (Ω) =

Z

Ω

(|v|pi +

∞

n
X

1/pi
|Dj v|pi )

1,pi

➁➂➃➄➃➄ ➃➒➅➆➇➈➛➒➉→➅➉➄↔➆➇➧➄➊➋➋➆➇➌➍➎

➏➐ ➌➂➍ ➆↔➑➊➒➓➉➇➃➉➒
➔➉➌➃➆➒➉→↔➆➇ ➋➊➏→➃➙➉➌➃➆➒
➣➆➊➒➎➉➌➃➆➒ ➍→➄➍➅➂➍➇➍➦
↔➆➇ ↕➙➃➍➒➌➃➛➙ ➜➍➄➍➉➇➙➂ ➊➒➎➍➇ ➓➇➉➒➌ ➝➁➞➟ ➁ ➠➡➢➤➥➢➦ ➁➂➃➄
➋➉➋➍➇
➉➒➎
➒➆
➨➍➇➄➃➆➒
➃➌
➃➄
➄➊➏➧➃➌➌➍➎
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➭➯➲➳➵➸➯➲➺➻➼
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❮➵❰
➯➷Ñ Ò➳Ð➯➼➵➼➬
➆➅ ➃➒ ➋➆➇➆➊➄ ➧➍➎➃➊➧❐ ↔➊➒➙➌➃➆➒➉→ ➎➃Ô➍➇➍➒➌➃➉→ ➍Õ➊➉➌➃➆➒❐ ➧➆➒➆➌➆➒➍ ➆➋➍➇➉➌➆➇➄
Ö×Ø▼➀Ö❦ Ù❚❲♠❜ ⑧❳◆ Ú❲❤❤❜ Ø▼➀Ö❦ ❴ÛÛ⑧ ⑤❲❜ ♣❦ ◗❜ ❵
∗

j=1

❯ ◆❙❚❙
❩❙❞❲❳❙P ❳◆❙ ❩❖P❳❚❖❬❝❳❖❲❞❘❤ ❩❙❚❖❨❘❳❖❨❙ ❯❖❳◆ ❚❙P◗❙♠❳ ❳❲ ❳◆❙ ❳◆ ❨❘❚❖❘❬❤❙ ❥❬❚❖❙❢❭
❧❜
Dj
j
D = (D1 , . . . , Dn )
q❞ ❘❩❩❖❳❖❲❞ ❦ ❤❙❳ ❬❙ ❘ ♠❤❲P❙❩ ❤❖❞❙❘❚ P❝❬P◗❘♠❙ ❲✐ 1,pi
❯◆❖♠◆ ♠❲❞❳❘❖❞P 1,pi
❥❳◆❙ ♠❤❲P❝❚❙ ❲✐ ∞
❖❞
(Ω)
Vi
W
W
C0 (Ω)
(Ω)
❧❦
❘❞❩

❤❙❳
❬❙
❳◆❙
✁ ❘❞❘♠◆ P◗❘♠❙ ❲✐ ❱ ❙❘P❝❚❘❬❤❙ ✐❝❞♠❳❖❲❞P 0
P❝♠◆
❳◆❘❳
❖P
p
W 1,pi (Ω)
Lpi (0, T ; Vi )
u : (0, T ) → Vi
kukVii
❖❞❳❙❡❚❘❬❤❙ ❘❞❩ ❳◆❙ ❞❲❚❱
❖P ❡❖❨❙❞ ❬❭
kuk

Lpi (0,T ;Vi )

=

Z

0

▼◆❙ ❩❝❘❤ P◗❘♠❙ ❲✐

T

ku(t)kpVii dt

1/pi

.

❖P
❯◆❙❚❙ 1
❘❞❩ ∗ ❖P ❳◆❙ ❩❝❘❤ ❲✐ ❜ ✂ ❙ ❯❚❖❳❙ ❬❚❖❙❢❭
1
1
Lpi (0, T ; Vi ) Lqi (0, T ; Vi∗ )

Vi
Vi
pi❦ + qi❖P =
❜
▼◆❙
◗❘❖❚❖❞❡
❬❙❳❯❙❙❞
❦
❘❞❩
❩❙❞❲❳❙❩
❬❭
❘❞❩
❦ ❚❙P◗❙♠❳❖❨❙❤❭❦
✐❝❚❳◆❙❚ ❦
Xi := Lpi (0, T ; Vi )
Vi∗ Vi
Xi∗ Xi
h·, ·i
[·, ·]
P❳❘❞❩P ✐❲❚ ❳◆❙ ❩❙❚❖❨❘❳❖❨❙ ❲✐ ❘ ✐❝❞♠❳❖❲❞

❜
q❳
❖P
❯❙❤❤
❪❞❲❯❞
❥P❙❙
❫❴⑦❛❧
❳◆❘❳
❖✐
❦
Dt u
u ∈ Lpi (0, T ; Vi )
u ∈ Xi Dt u ∈ Xi∗
❳◆❙❞
P❲ ❳◆❘❳
❱ ❘❪❙P
P❙❞P❙ ❜
2
u ∈ C([0, T ], L (Ω))

❷❸✄

☎

u(0)

❺ ✆ ✝ ✞ ✟ ❼❻❽❺❾ ❺ ✠ ❻ ✡ ☛

☞✆

❺ ✌ ✟☛ ✝

❿❙❳ ❝P ♠❲❞P❖❩❙❚ ❳◆❙ ✐❲❤❤❲❯❖❞❡ P❭P❳❙❱ ❲✐ ❙✈❝❘❳❖❲❞Ps
Dt ω(t, x) = f (t, x, ω(t, x), u(t, x); u),
ω(0, x) = ω0 (x),
n
X
Di [ai (t, x, ω(t, x), u(t, x), Du(t, x), p(t, x), Dp(t, x); ω, u, p)] +
Dt u(t, x) −

❥⑩❧
❥r❧

i=1

+a0 (t, x, ω(t, x), u(t, x), Du(t, x), p(t, x), Dp(t, x); ω, u, p) = g(t, x),

u(0, x) = 0,

❥⑦❧

n
X
Di [bi (t, x, ω(t, x), u(t, x), p(t, x), Dp(t, x); ω, u, p)] +
−
i=1

+b0 (t, x, ω(t, x), u(t, x), p(t, x), Dp(t, x); ω, u, p) = h(t, x)

❯ ❖❳◆ P❲❱ ❙ ❬ ❲❝❞❩❘❚❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞P❜ ▼◆❖P P❭P❳❙❱ ❖P ❘ ❡❙❞❙❚❘❤❖④❘❳❖❲❞ ❲✐ ❳◆❙ ❱ ❲❩❙❤ ❥❵❧✍ ❥t❧❦ ✐❝❞♠❳❖❲❞P
❱ ❘❭
i
♠❲❞❳❘❖❞ ❞❲❞❤❲ ♠❘❤ ❩❙◗❙❞❩❙❞♠❙ ❲❞ ❳◆❙ ❝❞❪❞❲❯❞ ✐❝❞♠❳❖❲❞P
❯◆❖♠◆ ❘❚❙ ❯❚❖❳❳❙❞ ❘✐❳❙❚ ❳◆❙ P❭❱❬❲❤f, ✎a✏✎i ,❜ bq❞
❳◆❙
ω, u, p ❳◆❙❞ ❯❙ ❱ ❘❭ ❩❙③❞❙ ❳◆❙ ❯❙❘❪ ✐❲❚❱ ❲✐ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙
❞❙♥❳ P❙♠❳❖❲❞ ❯❙ ✐❲❚❱❝❤❘❳❙ P❲❱ ❙ ❘PP❝❱ ◗❳❖❲❞P ❲❞ ❳◆❙P❙ ✐❝❞♠❳❖❲❞P
P❭P❳❙❱ ❘❞❩ ◗❚❲❨❙ ❙♥❖P❳❙❞♠❙ ❲✐ ❯❙❘❪ P❲❤❝❳❖❲❞P❜
❷❸✑

✒ ✓✓✞ ✝ ☞

❻❽❺❾ ✓

q❞ ❯ ◆❘❳ ✐❲❤❤❲❯ P❦ ❦
❦
❚❙✐❙❚ ✐❲❚ ❳◆❙ ❨❘❚❖❘❬❤❙P ❦
❘❞❩
❦ ❚❙P◗❙♠❳❖❨❙❤❭❦ ✐❝❚❳◆❙❚❦ ❦
ξ (ζ❩❙◗❙❞❩❙❞♠❙
ω (u, Du)
(p, Dp)
w v1
0 , ζ) (η0 , η)
❘❞❩ ✐❲❚ ❳◆❙ ❞❲❞❤❲♠❘❤
❲❞ ❦ ❘❞❩ ❜
v2

ω u

p

❥❣ ❵❧ ♦❲❚ ③♥❙❩
✐❝❞♠❳❖❲❞P
n+1
(w, v1 , v2 ) ∈ L∞ (QT ) × X1 × X2
× Rn+1 × L∞ (QT ) × X1 × X2 →
i : QT × R × R
❥
❧ ◆❘❨❙ ❳◆❙ Ú❘❚❘❳◆ ✔ ❲❩❲❚❭ ◗❚❲◗❙❚❳❭❦ a❖❜❙
❜❦ ❳◆❙❭ ❘❚❙ ❱ ❙❘P❝❚❘❬❤❙
❖❞
✐❲❚ ❙❨❙❚❭
R i = 0, . . . , n
(t, x) ∈ QT
❘❞❩
♠❲❞❳❖❞❝❲❝P
❖❞
✐❲❚
❘
❜❘
❜
❜
n+1
n+1
n+1
n+1
(ξ, ζ0 , ζ, η0 , η) ∈ R × R

×R

❥❣ ❴❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳ ❘ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ✐❝❞♠❳❖❲❞

c1 : R → R+
P❝♠◆ ❳◆❘❳
∞
q1
k1 : L (QT ) × X1 × X2 → L (QT )

(ξ, ζ0 , ζ, η0 , η) ∈ R × R

❘❞❩ ❬❲❝❞❩❙❩ ❲◗❙❚❘❳❲❚P

×R

(t, x) ∈ QT

c1 : L∞ (QT ) × X1 × X2 → R+

❦

|ai (t, x, ξ, ζ0 , ζ, η0 , η; w, v1 , v2 )| ≤


p2
p2
≤ c1 (w, v1 , v2 )c1 (ξ) |ζ0 |p1 −1 + |ζ|p1 −1 + |η0 | q1 + |η| q1 + [k1 (w, v1 , v2 )](t, x) ,

✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜
❦ ❙❨❙❚❭
❘❞❩
(t, x)❧❜ ∈ QT
(ξ, ζ0 , ζ, η0 , η) ∈ R × Rn+1 × Rn+1
(w, v1 , v2 ) ∈ L∞ (QT ) × X1 × X2
❥
i = 0, . . . , n

❥❣ ♣❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳P ❘ ♠❲❞P❳❘❞❳
P❝♠◆ ❳◆❘❳ ✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜
❦ ❙❨❙❚❭
❦
˜ η0 , η) ∈
C > 0
(t, x) ∈ QT
(ξ, ζ0 , ζ, η0 , η) (ξ, ζ0 , ζ,
❘❞❩
n+1
n+1
∞
R×R

×R

(w, v1 , v2 ) ∈ L (QT ) × X1 × X2

n 

X
˜ η0 , η; w, v1 , v2 ) (ζi − ζ˜i ) ≥ C · |ζ − ζ|
˜ p1 .
ai (t, x, ξ, ζ0 , ζ, η0 , η; w, v1 , v2 ) − ai (t, x, ξ, ζ0 , ζ,
i=1

❥❣ t❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳ ❘ ♠❲❞P❳❘❞❳
❦ ❘ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ✐❝❞♠❳❖❲❞
❘❞❩ ❬❲❝❞❩❙❩ ❲◗❙❚❘❳❲❚P
c2 > 0
γ: R → R
Γ : L∞ (QT ) →
❦
P❝♠◆
❳◆❘❳
∞
1
L (QT ) k2 : X1 → L (QT )
n
X

ai (t, x, ξ, ζ0 , ζ, η0 , η; w, v1 , v2 )ζi ≥ c2 (|ζ0 |p1 + |ζ|p1 ) − γ(ξ)[Γ(w)](t, x)[k2 (v1 )](t, x)

i=0

Ö ×Ø▼➀Ö ❦ Ù❚❲♠❜ ⑧❳◆ Ú❲❤❤❜ Ø▼➀Ö ❦ ❴ÛÛ⑧ ⑤❲ ❜ ♣ ❦ ◗ ❜ ❴

✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜

❘❞❩ ❙❨❙❚❭

(t, x) ∈ QT

❦

(ξ, ζ0 , ζ, η0 , η) ∈ R × Rn+1 × Rn+1 (w, v1 , v2 ) ∈ L∞ (QT ) × X1 × X2
lim

kv1 kX1 →+∞

❜ ♦❝❚❳◆❙❚ ❦
❥⑧❧

kk2 (v1 )kL1 (QT )
= 0.
kv1 kpX11

❖P ❬❲❝❞❩❙❩ ❖❞ ∞
❦
❘ ❜❙ ❜ ❖❞
❘❞❩
❯❙❘❪❤❭ ❖❞ ❦ P❳❚❲❞❡❤❭ ❖❞ p1
❦ ✐❝❚❳◆❙❚ ❦
(QT ) ωk → ω
QT
uk → u
X1
L (QT )
P❳❚❲❞❡❤❭ ❖❞ L ❳◆❙❞

❥❣ ⑩❧ q✐

(ωk )
pk → p

X2

lim kai (·, ωk , uk , Duk , pk , Dpk ; ωk , uk , pk ) − ai (·, ωk , uk , Duk , pk , Dpk ; ω, u, p)kLq1 (QT ) = 0.

k→∞

❥✁ ❵❧ ♦❲❚ ③♥❙❩
✐❝❞♠❳❖❲❞P
n+1
∞
(w, v1 , v2 ) ∈ L∞ (QT ) × X1 × X2
× X2 →
T ×R×R×R
❥
❧ ◆❘❨❙ ❳◆❙ Ú❘❚❘❳◆ ✔ ❲❩❲❚❭ ◗❚❲◗❙❚❳❭❦ ❖❜❙bi❜❦: Q
❳◆❙❭
❘❚❙ ❱ ❙❘P❝❚❘❬❤❙ ×❖❞L (QT ) × X1✐❲❚
❙❨❙❚❭
(t, x) ∈ QT
R i = 0, . . . , n
❜
n+1 ❘❞❩ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ❖❞
n+1 ✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜
(ξ, ζ0 , η0 , η) ∈ R × R × R

(ξ, ζ0 , η0 , η) ∈ R × R × R

❥✁ ❴❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳ ❘ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ✐❝❞♠❳❖❲❞

cˆ1 : R → R+
P❝♠◆ ❳◆❘❳
∞
q
kˆ1 : L (QT ) × X1 × X2 → L 2 (QT )

❘❞❩ ❬❲❝❞❩❙❩ ❲◗❙❚❘❳❲❚P

(t, x) ∈ QT

ˆc1 : L∞ (QT ) × X1 × X2 → R+



p1
|bi (t, x, ξ, ζ0 , η0 , η; w, v1 , v2 )| ≤ ˆc1 (w, v1 , v2 )ˆ
c1 (ξ) |η0 |p2 −1 + |η|p2 −1 + |ζ0 | q2 + [kˆ1 (w, v1 , v2 )](t, x)

✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜

❘❞❩ ❙❨❙❚❭

(t, x) ∈ QT

❦

❥

(ξ, ζ0 , η0 , η) ∈ R × R × Rn+1 (w, v1 , v2 ) ∈ L∞ (QT ) × X1 × X2 i = 0, . . . , n

❦

❧❜

❥✁ ♣❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳P ❘ ♠❲❞P❳❘❞❳ ˆ
P❝♠◆ ❳◆❘❳ ✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜
❦ ❙❨❙❚❭
❦
(t, x) ∈ QT
(ξ, ζ0 , η0 , η) (ξ, ζ0 , η˜0 , η˜) ∈ R×R×Rn+1
C >0
❘❞❩
∞
(w, v1 , v2 ) ∈ L (QT ) × X1 × X2

n
X

(bi (t, x, ξ, ζ0 , η0 , η; w, v1 , v2 ) − bi (t, x, ξ, ζ0 , η˜0 , η˜; w, v1 , v2 )) (ηi − η˜i ) ≥ Cˆ · (|η0 − η˜0 |p2 + |η − η˜|p2 ) .

i=0

❥✁ t❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳ ❘ ♠❲❞P❳❘❞❳
❦ ❘ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ✐❝❞♠❳❖❲❞
❘❞❩ ❬❲❝❞❩❙❩ ❲◗❙❚❘❳❲❚P ˆ ∞
Γ : L (QT ) →
cˆ2 > 0
γˆ : R → R
❦ˆ
P❝♠◆ ❳◆❘❳
∞
1
L (QT ) k2 : X2 → L (QT )
n
X
i=0

✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜



ˆ
x) |ζ0 |p1 + [kˆ2 (v2 )](t, x)
bi (t, x, ξ, ζ0 , η0 , η; w, v1 , v2 )ηi ≥ cˆ2 (|η0 |p2 + |η|p2 ) − γˆ (ξ)[Γ(w)](t,

(t, x) ∈ QT

❦ ❘❞❩ ❙❨❙❚❭

❦

(ξ, ζ0 , η0 , η) ∈ R × R × Rn+1 (w, v1 , v2 ) ∈ L∞ (QT ) × X1 × X2

❜ ♦❝❚❳◆❙❚ ❦
❥⑨❧

kkˆ2 (v2 )kL1 (QT )
= 0.
kv2 kpX22
kv2 kX2 →∞
lim

❖P ❬❲❝❞❩❙❩ ❖❞ ∞
❦
❘ ❜❙ ❜ ❖❞
❘❞❩
❯❙❘❪❤❭ ❖❞ ❦ P❳❚❲❞❡❤❭ ❖❞ p1
❦ ✐❝❚❳◆❙❚ ❦
(QT ) ωk → ω
QT
uk → u
X1
L (QT )
❯❙❘❪❤❭ ❖❞ L❳◆❙❞

❥✁ ⑩❧ q✐

(ωk )
pk → p

X2

lim kbi (·, ωk , uk , pk , Dpk ; ωk , uk , pk ) − bi (·, ωk , uk , pk , Dpk ; ω, u, p)kLq2 (QT ) = 0.

k→∞

❥♦ ❵❧ ♦❲❚ ③♥❙❩
✐❝❞♠❳❖❲❞
❖P ❘ Ú❘❚❘❳◆ ✔ ❲❩❲❚❭ ✐❝❞♠❳❖❲❞ ❦ ❖❜❙ ❜❦ ❖❳ ❖P ❱ ❙❘P❝❚❘❬❤❙
2
∞
v ∈ X1
T )×X1 → R
❖❞
✐❲❚ ❙❨❙❚❭ f : QT ×R 2×L
❘❞❩ (Q
♠❲❞❳❖❞❝❲❝P
❖❞
✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜
❜ ♦❝❚❳◆❙❚ ❦ ❳◆❙❚❙
(t, x) ∈ QT
(ξ, ζ0 ) ∈ R2
(t, x) ∈ QT
❙♥❖P❳P
❘ ❬❲❝❞❩❙❩ ❲◗❙❚❘❳❲❚(ξ, ζ0 ) ∈ R + P❝♠◆ ❳◆❘❳
K1 : X1 → R

❥❖❧ ✐❲❚ ❙❨❙❚❭ ❬❲❝❞❩❙❩ P❙❳
❳◆❙❚❙ ❖P ❘ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ✐❝❞♠❳❖❲❞
P❘❳❖P✐❭❖❞❡
I ⊂ R
K 1 : R → R+
|K1 (ζ0 )| ≤
p1
✐❲❚
❙❨❙❚❭
❦
❯❖❳◆
P❲❱
❙
❞❲❞❞❙❡❘❳❖❨❙
♠❲❞P❳❘❞❳P
❥❩❙◗❙❞❩❖❞❡
❲❞ ❧❦
d1 |ζ0 | q2 + d2
ζ0 ∈ R
d1 , d2
I
❥❖❖❧ ✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜
❦ ❙❨❙❚❭
❘❞❩ ❙❨❙❚❭
❦
˜
(t, x) ∈ QT

(ξ, ζ0 ), (ξ, ζ0 ) ∈ I × R

v ∈ X1

˜ ζ0 ; v)| ≤ K1 (v)K1 (ζ0 ) · |ξ − ξ|.
˜
|f (t, x, ξ, ζ0 ; v) − f (t, x, ξ,

❥♦ ❴❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳ ❘ ❬❲❝❞❩❙❩ ❲◗❙❚❘❳❲❚
❘❞❩ ❘ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ✐❝❞♠❳❖❲❞
P❝♠◆ ❳◆❘❳ ✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜
K2 : X1 → R+
K 2 : R → R+
❦ ❙❨❙❚❭
❘❞❩
2
˜
(t, x) ∈ QT

(ξ, ζ0 ), (ξ, ζ0 ) ∈ R

v ∈ X1

|f (t, x, ξ, ζ0 ; v) − f (t, x, ξ, ζ˜0 ; v)| ≤ K2 (v)K2 (ξ) · |ζ0 − ζ˜0 |.

❥♦♣❧ ▼◆❙❚❙ ❙♥❖P❳P

ω ∗ ∈ L∞ (Ω)

P❝♠◆ ❳◆❘❳ ✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜

(t, x) ∈ QT

❦ ❙❨❙❚❭

(ξ, ζ0 ) ∈ R2

❘❞❩

v ∈ X1

❦

(ξ − ω ∗ (x)) · f (t, x, ξ, ζ0 ; v) ≤ 0.

❥♦t❧ q✐

(ωk )

❖P ❬❲❝❞❩❙❩ ❖❞

L∞ (QT )

❘❞❩

uk → u

P❳❚❲❞❡❤❭ ❖❞

Lp1 (QT )

❳◆❙❞

lim kf (·, ωk , uk ; uk ) − f (·, ωk , uk ; u)kL1 (QT ) = 0.

k→∞

Ö ×Ø▼➀Ö ❦ Ù❚❲♠❜ ⑧❳◆ Ú❲❤❤❜ Ø▼➀Ö ❦ ❴ÛÛ⑧ ⑤❲ ❜ ♣ ❦ ◗ ❜ ♣

❷❸
X1

✁ ☛❼✂

❺
q✐ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ ❘PP❝❱◗❳❖❲❞P ❘❚❙ P❘❳❖P③❙❩ ❯❙ ❱ ❘❭ ❩❙③❞❙ ❲◗❙❚❘❳❲❚P A : L∞ (Q ) × X × X → X ∗ ❦ B : L∞ (Q ) ×
T
1
2
T
1
❬❭ s
× X → X∗
2

✠

✆✝

2

[A(ω, u, p), v1 ] :=

n
X

Z

ai (t, x, ω(t, x), u(t, x), Du(t, x), p(t, x), Dp(t, x); ω, u, p)Di v1 (t, x) dt dx+

QT i=1

+

Z

a0 (t, x, ω(t, x), u(t, x), Du(t, x), p(t, x), Dp(t, x); ω, u, p)v1 (t, x) dt dx,

❥❵Û❧

QT

[B(ω, u, p), v2 ] :=

Z

n
X

bi (t, x, ω(t, x), u(t, x), p(t, x), Dp(t, x); ω, u, p)Di v2 (t, x) dt dx+

QT i=1

+

✐❲❚ v

∈ X1

1

❘❞❩ v

2

Z

b0 (t, x, ω(t, x), u(t, x), p(t, x), Dp(t, x); ω, u, p)v2 (t, x) dt dx,

QT

∈ X2

❜ q❞ ❘❩❩❖❳❖❲❞ ❦ ❤❙❳ ❝P ❖❞❳❚❲❩❝♠❙ ❳◆❙ ❤❖❞❙❘❚ ❲◗❙❚❘❳❲❚ L : D(L) → X ∗ ❬❭
1

D(L) = {u ∈ X1 : Dt u ∈ X1∗ , u(0) = 0},

✁

❥❵❵❧
❥❵❴❧

Lu = Dt u.

❭ ❳◆❙ ❲◗❙❚❘❳❲❚P ❘❬❲❨❙ ❯❙ ❱ ❘❭ ❩❙③❞❙ ❳◆❙ ❯❙❘❪ ✐❲❚❱ ❲✐ P❭P❳❙❱ ❥⑩❧ ❥⑦❧ ❘P
✍

ω(t, x) = ω0 (x) +

Z

t

f (s, x, ω(s, x), u(s, x); u) ds

✐❲❚ ❘❜❘❜ (t, x) ∈ Q

❥❵♣❧
❥❵t❧
❥❵⑩❧

T

0

Lu + A(ω, u, p) = G
B(ω, u, p) = H

❯◆❙❚❙ G ∈ X ∗ ❘❞❩ H ∈ X ∗ ❘❚❙ ❡❖❨❙❞ ❬❭
1

2

[G, v1 ] =

Z

g(t, x)v1 (t, x) dt dx,

[H, v2 ] =

Z

h(t, x)v2 (t, x) dt dx

QT

QT

❯◆❙❚❙ v ∈ X ❥i = 1, 2❧❜ q❳ ❖P ❯❙❤❤ ❪❞❲❯❞ ❥P❙❙❦ ❙❜❡ ❜❦ ❫❴Û❛❧ ❳◆❘❳ ❲❞❙ ❲❬❳❘❖❞P ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ ❯❙❘❪ ✐❲❚❱ ❬❭ ❳❘❪❖❞❡
i
i
P❝⑥ ♠❖❙❞❳❤❭
P❱❲❲❳◆
P❲❤❝❳❖❲❞P❦ ❝P❖❞❡ ✄ ❚❙❙❞ ☎P ❳◆❙❲❚❙❱ ❘❞❩ ③❞❘❤❤❭ ♠❲❞P❖❩❙❚❖❞❡ ❳◆❙ ❯◆❲❤❙ P❭P❳❙❱ ❖❞ ❳◆❙ P◗❘♠❙
❜
Ú❤❙❘❚❤❭❦
❖✐ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❘❚❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❖P ◆❲❱❲❡❙❞❙❲❝P ⑤❙❝❱ ❘❞❞ ❳◆❙❞ V = W 1,p (Ω) ❥P❖❞♠❙ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❘❚❭
Lp (0, T ; V )
❳❙❚❱ ❨❘❞❖P◆❙P ❖❞ ✄ ❚❙❙❞ ☎P ❳◆❙❲❚❙❱ ❧ ❘❞❩ ❖✐ ❯❙ ◆❘❨❙ ◆❲❱❲❡❙❞❙❲❝P ➀❖❚❖♠◆❤❙❳ ❬❲❝❞❩❘❚❭
♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❳◆❙❞ V = W 1,p (Ω)
0❖❞ ❲❞❙
❥❖❞ ❲❚❩❙❚ ❳❲ ❙❤❖❱❖❞❘❳❙ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❘❚❭ ❳❙❚❱ ❖❞ ✄ ❚❙❙❞ ☎P ❳◆❙❲❚❙❱ ❧❜ ♦❝❚❳◆❙❚❦ ❖✐ ❯❙ ◆❘❨❙ ❘ ◗❘❚❳❖❳❖❲❞ ❦ ✐❲❚ ❙♥❘❱◗❤❙
❩❖❱❙❞P❖❲❞ ❯❖❳◆ ◆❲❱❲❡❙❞❲❝P ➀❖❚❖♠◆❤❙❳ ❘❞❩ ⑤❙❝❱ ❘❞❞ ❬❲❝❞❩❘❚❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞P ❳◆❙❞ V = {v ∈ W 1,p (0, 1) : v(0) =
❜
0, D v(1) = 0}
1

x

✝ ✞ ▲ ✟ ❋ ✠ ❊❑ ✠

✆

❍ ✡ ✟ ❍ ☛ ❏❋▲❍❊ ✟

q❞ ❳◆❖P P❙♠❳❖❲❞ ❯❙ ◗❚❲❨❙
☞ ✌✍✎✏✍✑ ✒✓ ✔✕✖✖ ✗✘✙ ✚✛ ✜✚ ✢✗✣✤✥✚✥✗✣✘ ✦✧ ★✩ ✪ ✦✧ ✫✩ ✬ ✦✭ ★✩ ✪ ✦✭ ✫✩ ✬ ✦✮ ★✩ ✪ ✦✮✯ ✩ ✜✰✙ ✱ ✕✲✳ ✲✲✙✤✴ ✵✛ ✙✣ ✱ ✗✰ ✙✶✙✰✷
ω0 ∈
✬
✗✱ ✖ ✰✗✹✲✙✺
∗ ✜✣ ✤
∗ ✚✛ ✙✰✙ ✙✸ ✥✘✚✘ ✜ ✘✗✲✕✚✥✗✣
∞
p2
(0,
T
;
V
)
G
∈
X
H
∈
X
ω
∈
L
(Q
),
u
∈
D(L),
p
∈
L
L∞ (Ω)
2
T
1
2
❥❵♣❧ ✪ ❥❵⑩❧ ✴

♦❖❚P❳ ❯❙ ✐❲❚❱❝❤❘❳❙ P❲❱❙ P❳❘❳❙❱❙❞❳P ❚❙❤❘❳❙❩ ❳❲ ❳◆❙ P❲❤❨❘❬❖❤❖❳❭ ❲✐ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ ❙✈❝❘❳❖❲❞P ❥❵♣❧ ❥❵⑩❧❜
✍

✻ ✏✎✼ ✎✽✾✿✾✎❀ ❁ ✓ ✧ ✘✘✕✺ ✙ ✚✛ ✜✚ ✢✗✣ ✤✥✚✥✗✣✘ ✦✮ ★✩ ✬ ✦✮ ❂✩ ✜✰✙ ✘✜✚✥✘✳ ✙✤✴ ✵✛ ✙✣ ✱ ✗✰ ✙✶✙✰✷ ✳ ✸ ✙✤
✜✣ ✤
u ∈✬ Lp1 (QT )
ω0 ∈✬
✬
❥❵♣❧
✚✛
✙✰✙
✙✸
✥✘✚✘
✜
✕✣✥❃✕✙
✘✗✲✕✚✥✗✣
✗✱
✚✛
✙
✥✣✚✙
✰✜✲
✙❃✕✜✚✥✗✣
✱
✕✰✚✛
✙✰
✱
✗✰
✚✛
✙
✘✗✲✕✚✥✗✣
❄
L∞ (QT )
ω ∈ L∞ (QT )
ω
✙✘✚✥✺ ✜✚✙
✛ ✗✲✤✘✴
∗
kωkL∞ (QT ) ≤ kω0 kL∞ (Ω) + kω kL∞ (Ω)

q❱❱❙❩❖❘❳❙❤❭ ✐❲❤❤❲❯P ✐❚❲❱ Ù❚❲◗❲P❖❳❖❲❞ ❴❜♣ ❖❞ ❫r❛ P❖❞♠❙ ✐❲❚ ③♥❙❩ ❞❲❞❤❲♠❘❤ ❨❘❚❖❘❬❤❙ u ❦ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥♦ ❵❧ ❖P ❳◆❙
P❘❱❙ ❘P ❖❞ ❳◆❙ ♠❖❳❙❩ ◗❘◗❙❚❜
✬ ✱ ✕✰✚✛ ✙✰ ✬ ✲✙✚
✻ ✏✎✼ ✎✽✾✿✾✎❀ ❆ ✓ ✧ ✘✘✕✺ ✙ ✦✮ ★✩ ✪ ✦✮✯ ✩ ✜✣✤ ✲✙✚
✹✙ ✚✛ ✙ ✘✗✲✕✚✥✗✣ ✗✱ ❥❵♣❧ ✢✗✰✰✙✘✖ ✗✣✤✥✣ ❄
(uk ) ⊂ Lp (QT )
ωk
✚✗ ✴ ❇✱
✥✣ p
✚✛ ✙✣
✜✴✙✴
✥✣
✛ ✙✰✙ ✥✘ ✚✛ ✙ ✘✗✲✕✚✥✗✣
✗✱ ❥❵♣❧ ✢✗✰✰✙✘✖ ✗✣ ✤✥✣ ❄ ✚✗ ✴
u
u →u
L (Q )
ω →ω
Q
ω
u
❅ ✰✗✗✱ ✴

1

k

k

1

T

k

T

❈

Ö×Ø▼➀Ö ❦ Ù❚❲♠❜ ⑧❳◆ Ú❲❤❤❜ Ø▼➀Ö ❦ ❴ÛÛ⑧ ⑤❲ ❜ ♣❦ ◗ ❜ t

❅ ✰✗✗✱ ✴ ✂ ❙ ❱ ❘❭ ❘PP❝❱ ❙ ❳◆❘❳ ✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜
❦
❜ ♦❖♥ P❝♠◆ ❘ ◗❲❖❞❳
❜ Ú❲❞P❖❩❙❚ ❳◆❙ ✐❲❤❤❲❯ ❖❞❡
x ∈ Ω uk (·, x) → u(·, x)
x∈Ω
❙P❳❖❱ ❘❳❙ s
|ωk (t, x) − ω(t, x)| ≤

Z

0

t

|f (s, x, ωk (s, x), uk (s, x); uk ) − f (s, x, ωk (s, x), uk (s, x); u)| ds+
Z t
|f (s, x, ωk (s, x), uk (s, x); u) − f (s, x, ω(s, x), u(s, x); u)| ds.
0

▼◆❙ ③❚P❳ ❖❞❳❙❡❚❘❤ ♠❲❞❨❙❚❡❙P ❳❲ Û ✐❲❚ ❘ ❜❘ ❜
❬❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥♦t❧❦ ✐❝❚❳◆❙❚ ❦ ❬❭ ❥♦ ❵❧❦ ❥♦❴❧ ❖❳ ❖P ❙❘P❭ ❳❲ P◆❲❯ ❳◆❘❳
x∈Ω
❳◆❙ P❙♠❲❞❩ ❖❞❳❙❡❚❘❤ ❖P ❤❙PP ❳◆❙❞
const ·

Z

t

p2

|ωk (s, x) − ω(s, x)|

ds

0

❶❙❞♠❙

|ωk (t, x) − ω(t, x)|p2 ≤ const ·

Z

1/p2

+ const ·

Z

T

|uk (s, x) − u(s, x)| ds.

0

t

|ωk (s, x) − ω(s, x)|p2 ds + r(uk , ωk )

❯ ◆❙❚❙ ❳◆❙ ❚❙❱ ❘❖❞❩❙❚ ❳❙❚❱
❳❙❞❩P ❳❲ Û ❘P
❜ ▼◆❝P ✄ ❚❲❞❯❘❤❤ ☎P ❤❙❱ ❱ ❘ ❭❖❙❤❩P
r(uk , ωk )
k→∞
|ωk (t, x) − ω(t, x)| ≤
❯◆❖♠◆ ❖❱ ◗❤❖❙P
❳◆❙ ❩❙P❖❚❙❩ ❘ ❜❙ ❜ ♠❲❞❨❙❚❡❙❞♠❙
❲✐
❜
0

const · r(uk ) → 0

(ωk )

✬
✻✏✎✼ ✎✽✾✿✾✎❀ ✓ ✧ ✘✘✕✺ ✙ ✦✧ ★✩ ✪ ✦✧ ✫✩ ✴ ✵✛ ✙✣ ✱ ✗✰ ✙✶✙✰✷ ✳ ✸ ✙✤
✜✣✤
✚✛ ✙✰✙ ✙✸✥✘✚✘ ✜
ω ∈ L∞ (QT ) p ∈ X2
G ∈ X1∗
✘✗✲✕✚✥✗✣
✗✱ ✖ ✰✗✹✲✙✺
✴
u ∈ D(L)
Lu + A(ω, u, p) = G
❅ ✰✗✗✱ ✴ ▼◆❙ ◗❚❲❲✐ ✐❲❤❤❲❯ P ✐❚❲❱ ▼◆❙❲❚❙❱ ❵❜❵ ❖❞ ❫❴❴❛ ❥❬❘P❙❩ ❲❞ ❳◆❙ ❳◆❙❲❚❭ ❲✐ ❱ ❲❞❲❳❲❞❙ ❳❭◗❙ ❲◗❙❚❘❳❲❚P❦ P❙❙ ❫t❛❧

P❖❞♠❙ ✐❲❚ ③♥❙❩
❘❞❩
♠❲❞❩❖❳❖❲❞P ❥❣ ❵❧✍ ❥❣ ⑩❧ ❖❱ ◗❤❭ ❳◆❘❳ ❲◗❙❚❘❳❲❚
✐❝❤③❤P
L∞❱(Q
p
∈ X2 ❜
A(ω, ·, p) : X1 → X1∗
T)
♠❲❞❩❖❳❖❲❞P q ✍ ✁ ω❲✐∈❳◆❙
❙❞❳❖❲❞❙❩
❳◆❙❲❚❙❱

✬
✻✏✎✼ ✎✽✾✿✾✎❀ ✂ ✓ ✔✕✖✖ ✗✘✙ ✚✛ ✜✚ ✦✭ ★✩ ✪ ✦✭ ✫✩ ✛ ✗✲✤✴ ✵✛ ✙✣ ✱ ✗✰ ✙✶✙✰✷ ✳ ✸ ✙✤
✜✣✤
✚✛✙✰✙
ω ∈ L∞ (QT ) u ∈ X1
H ∈ X2∗
✙✸✥✘✚✘ ✜ ✘✗✲✕✚✥✗✣
✗✱ ✖ ✰✗✹✲✙✺
✴
p ∈ X2
B(ω, u, p) = H
❅ ✰✗✗✱ ✴ ▼◆❙ P❳❘❳❙❱ ❙❞❳ ✐❲❤❤❲❯ P ✐❚❲❱ ❳◆❙ ❳◆❙❲❚❭ ❲✐ ❱ ❲❞❲❳❲❞❙ ❲◗❙❚❘❳❲❚P ❥P❙❙ ❫❴⑦❛❧ P❖❞♠❙ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞P ❥✁ ❵❧✍ ❥✁ ⑩❧

❖❱ ◗❤❭ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP❦ ❩❙❱ ❖♠❲❞❳❖❞❝❖❳❭❦ ◗P❙❝❩❲❱ ❲❞❲❳❲❞❖♠❖❳❭ ❘❞❩ ♠❲❙❚♠❖❨❙❞❙PP ❲✐ ❲◗❙❚❘❳❲❚
B(ω, u, ·) : X2 → X2∗
✐❲❚ ③♥❙❩
❜
∞
ω ∈ L (QT ), u ∈ X1

❅ ✰✗✗✱ ✗✱ ✵✛ ✙✗✰✙✺ ★✴ ▼◆❙ ❖❩❙❘ ❖P P❖❱ ❖❤❘❚ ❘P ❖❞ ❫r❛❜ ✂ ❙ ❩❙③❞❙ P❙✈❝❙❞♠❙P ❲✐ ❘◗◗❚❲♥❖❱ ❘❳❙ P❲❤❝❳❖❲❞P ❲✐ ◗❚❲❬❤❙❱ ❥❵♣❧✍

❥❵⑩❧ ❘❞❩ ❯❙ P◆❲❯ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐ ❳◆❙P❙ P❙✈❝❙❞♠❙P❜ ✁ ❭ ❝P❖❞❡ ❳◆❙ ❩❖❘❡❲❞❘❤ ❱ ❙❳◆❲❩ ❯❙ ❯❖❤❤ ♠◆❲❲P❙ ❯❙❘❤❪❭
♠❲❞❨❙❚❡❙❞❳ P❝❬P❙✈❝❙❞♠❙P ❘❞❩ ❯❙ ❨❙❚❖✐❭ ❳◆❘❳ ❳◆❙ ❯❙❘❪ ❤❖❱ ❖❳P ❲✐ ❳◆❙ P❝❬P❙✈❝❙❞♠❙P ❘❚❙ P❲❤❝❳❖❲❞P ❲✐ ❳◆❙ ◗❚❲❬❤❙❱ ❜
♦❲❚ P❖❱ ◗❤❖♠❖❳❭❦ ❖❞ ❳◆❙ ◗❚❲❲✐ ❯❙ ❲❱ ❖❳ ❳◆❙ ❨❘❚❖❘❬❤❙
❲✐ ✐❝❞♠❳❖❲❞P ❦ ❖✐ ❖❳ ❖P ❞❲❳ ♠❲❞✐❝P❖❞❡ ❜
ai b i
❘P ✐❲❤❤❲❯
P❜ ❿❙❳
✔✚✙✖ ★ ✄ ✜✖✖ ✰✗✸✥✺ ✜✚✥✗✣✴ ➀❙③❞❙ ❳◆❙ P❙✈❝❙❞♠❙P (t, x)
(ωk ), (uk ), (pk )
ω0 (t, x) ≡ u0 (t, x) ≡ p0 (t, x) ≡ 0
❥
❧ ❘❞❩ ✐❲❚
❤❙❳
❬❙ ❘ P❲❤❝❳❖❲❞ ❲✐ ❳◆❙ P❭P❳❙❱
s
(t, x) ∈ QT

k = 0, 1, . . .

ωk+1 , uk+1 , pk+1

ωk+1 (t, x) = ω0 (x) +

Z

t

f (s, x, ωk+1 (s, x), uk (s, x); uk ) ds

0

Luk+1 + A(ωk , uk+1 , pk ) = G
B(ωk , uk , pk+1 ) = H.

❥❵r❧
❥❵⑦❧
❥❵⑧❧

✁ ❭ Ù❚❲◗ ❲P❖❳❖❲❞P ❴❦ t ❦ ⑩ ❯❙ ◆❘❨❙ P❲❤❝❳❖❲❞P
❦
❦
P❲ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ ❚❙♠❝❚❚❙❞♠❙
ωk+1 ∈ L∞ (QT )❜ uk+1 ∈ X1 pk+1 ∈ X2
❭❖❙❤❩P ❳◆❙ P❙✈❝❙❞♠❙P
∞
(ωk ) ⊂ L (QT ), (uk ) ⊂ X1 , (pk ) ⊂ X2
✂ ❙ P◆❲❯ ❳◆❘❳ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ ❩❙③❞❙❩ P❙✈❝❙❞♠❙P ❘❚❙ ❬❲❝❞❩❙❩ ❜ ✁ ❭ Ù❚❲◗❲P❖❳❖❲❞ ❴ ✐❲❚ ③♥❙❩
✔✚✙✖ ☎ ✄ ✹✗✕✣✤✙✤✣✙✘✘✴
✐❲❚ ❳◆❙ P❲❤❝❳❖❲❞ ❲✐ ❙✈❝❘❳❖❲❞ ❥❵r❧ ❙P❳❖❱ ❘❳❙
◆❲❤❩P ❳◆❝P
∞
ω
L (Ω)❖❞
kωk+1 kL∞ (QT ) ≤ kω0 kL∞ (Ω) + kω ∗ kL∞ (Ω)
(ωk )
❖P0❬∈❲❝❞❩❙❩
∞
L (QT )
⑤ ❲❯ ❬❭ ♠◆❲❲P❖❞❡ ❳◆❙ ❳❙P❳ ✐❝❞♠❳❖❲❞
❖❞ ❥❵⑦❧ ❘❞❩ ❬❭ ❝P❖❞❡ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥❣t❧ ❘❞❩ ❳◆❙ ❱ ❲❞❲❳❲❞❖♠❖❳❭ ❲✐
v = uk+1
❲◗❙❚❘❳❲❚ ❯❙ ❲❬❳❘❖❞
L

[G, uk+1 ] = [Luk+1 , uk+1 ] + [A(ωk , uk+1 , pk ), uk+1 ] ≥ c2

✂ ◆❙❞♠❙ ❬❭ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐

Z

(|uk+1 |p1 + |Duk+1 |p1 − γ(ωk )Γ(ωk )k2 (uk+1 )) ≥
QT



kk2 (uk+1 )kL1 (QT )
p1 −1
.
≥ c2 kuk+1 kX1 kuk+1 kX1 − kγ(ωk )Γ(ωk )kL∞ (QT ) ·
kuk+1 kX1
(ωk )

❯❙ ♠❲❞♠❤❝❩❙ ✐❲❚ P❲❱ ❙

K>0


kk2 (uk+1 )kL1 (QT )
p1 −1
≤ const.
1
−
K
·
kuk+1 kX
1
kuk+1 kpX11

Ö ×Ø▼➀Ö ❦ Ù❚❲♠❜ ⑧❳◆ Ú❲❤❤❜ Ø▼➀Ö ❦ ❴ÛÛ⑧ ⑤❲ ❜ ♣ ❦ ◗ ❜ ⑩

⑤❲❯ ❥⑧❧ ❖❱ ◗❤❖❙P ❳◆❘❳
❖P ❬❲❝❞❩❙❩ ❖❞ ❜
X1
▼◆❙ ❬ ❲❝❞❩❙❩❞❙PP (u
❲✐k )
❖❞
✐❲❤❤❲❯
P ❬❭ P❖❱ ❖❤❘❚ ❘❚❡❝❱ ❙❞❳P ❘P ❘❬❲❨❙ ❬❭ ❝P❖❞❡ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥✁ t❧ ❘❞❩ ❳◆❙
(pk )
X2
❬ ❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐ ❳◆❙ P❙✈❝❙❞♠❙P
❦
❜
(ωk ) (uk )
✂ ❙ ❞❙❙❩ ❘❤P❲ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP
❲✐ ❳◆❙ P❙✈❝❙❞♠❙
❖❞ ∗ ❜ ✁ ❭ ❶ ❤❩❙❚ P ❖❞❙✈❝❘❤❖❳❭
(Luk )

|[A(ωk , uk+1 , pk ), v]| ≤

n
X

☎

X1

kai (ωk , uk+1 , Duk+1 , pk , Dpk ; ωk , uk+1 , pk )kLq1 (QT )

i=0

❘❞❩ ✐❚❲❱ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥❣ ❴❧ ❖❳ ✐❲❤❤❲❯ P ❳◆❘❳ ✐❲❚ ❘❤❤

!

· kvkX1 .

i

kai (ωk , uk+1 , Duk+1 , pk , Dpk ; ωk , uk+1 , pk )kLq1 (QT ) ≤


≤ const · c1 (ωk )c1 (ωk , uk+1 , pk ) kuk+1 kpX11 + kpk kpX22 + kk1 (ωk , uk+1 , pk )kLq1 (QT ) .

▼◆❙❚❙✐❲❚❙ ❬❭ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐ ❳◆❙ P❙✈❝❙❞♠❙P
❘❞❩ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐ ❲◗❙❚❘❳❲❚P
❯❙
(ωk ), (uk ), (pk )
♠❲❞♠❤❝❩❙
P❲
❖P ❘ ❬❲❝❞❩❙❩ P❙✈❝❙❞♠❙ ❖❞c1 , ∗c1❜ , k2
|[Lu
X1
k+1 , v]| = |[A(ωk , uk+1 , pk ) + G, v]| ≤ const · kvkX1
✄
➀❝❙ ❳❲ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐ ❳◆❙ P❙✈❝❙❞♠❙P (Luk )
❥❖❞ ❚❙❢❙♥❖❨❙ ✁ ❘❞❘♠◆
P◗❘♠❙P❧
(uk ), (Luk ), (pk )
❙❘♠◆ ◆❘P ❘ ❯❙❘❪❤❭ ♠❲❞❨❙❚❡❙❞❳ P❝❬P❙✈❝❙❞♠❙ ❦ ✐❝❚❳◆❙❚❦ ❬❭ ❘◗◗❤❭❖❞❡ ❘ ❯❙❤❤ ❪❞❲❯❞ ❙❱❬❙❩❩❖❞❡ ❳◆❙❲❚❙❱ ❥P❙❙ ❫❴Û❛❧
❖❳ ✐❲❤❤❲❯ P ❳◆❘❳ ❳◆❙❚❙ ❙♥❖P❳ P❝❬P❙✈❝❙❞♠❙P ❥❯◆❖♠◆ ❯❖❤❤ ❬❙ ❩❙❞❲❳❙❩ P❘❱ ❙ ❘P ❳◆❙ ❲❚❖❡❖❞❘❤ P❙✈❝❙❞♠❙P❧ ❘❞❩ ✐❝❞♠❳❖❲❞P
❦
❦
P❝♠◆ ❳◆❘❳
∞
✔ ✚ ✙✖

❂

✢✗ ✣ ✶ ✙ ✰❄ ✙ ✣ ✢✙ ✴

ω ∈ L (QT ) u ∈ X1 p ∈ X2

uk → u

❯❙❘❪❤❭ ❖❞

P❳❚❲❞❡❤❭ ❖❞ p1
❘ ❜❙ ❜ ❖❞
L (QT ),
QT ;
❯❙❘❪❤❭ ❖❞ ∗
Luk → Lu
X1 ;
❯❙❘❪❤❭ ❖❞
X1 ,

pk → p

X2 .

q❞ ❯ ◆❘❳ ✐❲❤❤❲❯ P ❦ ❯❙ P◆❲❯ ❳◆❘❳
❘❚❙ P❲❤❝❳❖❲❞P ❲✐ ◗❚❲❬❤❙❱ ❥❵♣❧✍ ❥❵⑩❧❜
u, p ❦
①❖❞♠❙
❖❞ p1
❦ ω,
✐❝❚❳◆❙❚
❖P ❳◆❙ P❲❤❝❳❖❲❞ ❲✐ ❙✈❝❘❳❖❲❞ ❥❵r❧❦ ❬❭ Ù❚❲◗❲P❖❳❖❲❞ ♣ ❖❳ ✐❲❤❤❲❯ P ❳◆❘❳
→u
L (QT )
ωk+1
❘ u❜❙k❜ ❖❞
❘❞❩
✐❝❞♠❳❖❲❞P
P❘❳❖P✐❭
❳◆❙ ❖❞❳❙❡❚❘❤ ❙✈❝❘❳❖❲❞ ❥❵♣❧❜
ωk → ω
QT
ω, u
⑤ ❲❯ ❤❙❳ ❝P ♠❲❞P❖❩❙❚
❙✈❝❘❳❖❲❞ ❥❵⑧❧❜
♦❖❚P❳ ❯❙ P◆❲❯ ❳◆❘❳
❖❞ ❜ ▼❲ ❳◆❖P ❙❞❩ ❦ ❤❙❳ ❝P ❖❞❳❚❲❩❝♠❙ ❲◗❙❚❘❳❲❚
pk → p X2
❬❭
∞
∗
˜ ∞
B : L (QT ) × X1 × X2 × L (QT ) × X1 × X2 → X2
˜
[B(ω,
u, p; w, v1 , v2 ), z2 ] :=

Z

n
X

bi (t, x, ω(t, x), u(t, x), p(t, x), Dp(t, x); w, v1 , v2 )Di z2 (t, x) dt dx+

QT i=1

+

Z

b0 (t, x, ω(t, x), u(t, x), p(t, x), Dp(t, x); w, v1 , v2 )z2 (t, x) dt dx

❥❵⑨❧

QT

✐❲❚

z 2 ∈ X2

❜ ✉❬P❙❚❨❙

❜ ✁❭
˜
B(ω, u, p) = B(ω,
u, p; ω, u, p)

♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥✁ ♣❧ ❯❙ ◆❘❨❙

˜ k , uk , pk+1 ; ω, u, p) − B(ω
˜ k , uk , p; ω, u, p), pk+1 − p] ≥ Cˆ · kpk+1 − pkp2 .
[B(ω
X2

❥❴Û❧

✉❞ ❳◆❙ ❤❙✐❳ ◆❘❞❩ P❖❩❙ ❲✐ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ ❖❞❙✈❝❘❤❖❳❭ ❯❙ ◆❘❨❙ ❳◆❙ ✐❲❤❤❲❯❖❞❡ ❩❙♠❲❱ ◗❲P❖❳❖❲❞ s

˜ k , uk , pk+1 ; ω, u, p) − B(ω
˜ k , uk , p; ω, u, p), pk+1 − p] = [B(ω
˜ k , uk , pk+1 ; ωk , uk , pk+1 ), pk+1 − p]+
[B(ω
˜ k , uk , pk+1 ; ω, u, p) − B(ω
˜ k , uk , pk+1 ; ωk , uk , pk+1 ), pk+1 − p]+
+ [B(ω
˜
˜ k , uk , p; ω, u, p), pk+1 − p] − [B(ω,
˜
+ [B(ω,
u, p; ω, u, p) − B(ω
u, p; ω, u, p), pk+1 − p].

❥❴ ❵❧

✂ ❙ P◆❲❯ ❳◆❘❳ ❙❘♠◆ ❳❙❚❱ ❲❞ ❳◆❙ ❚❖❡◆❳ ◆❘❞❩ P❖❩❙ ❳❙❞❩P ❳❲ Û ❜ ✁ ❭ ❚❙♠❝❚❚❙❞♠❙ ❥❵⑧❧❦ ˜
❦
B(ω❳◆❙
k , uk , pk+1 ; ωk , uk , pk+1 ) = H
✐❝❚❳◆❙❚ ❦
❯❙❘❪❤❭ ❖❞
❯◆❖♠◆ ❖❱ ◗❤❖❙P ❳◆❙ ♠❲❞❨❙❚❡❙❞♠❙ ❲✐ ❳◆❙ ③❚P❳ ❘❞❩
❤❘P❳ ❳❙❚❱ ❜ ▼◆❙ ♠❲❞❨❙❚❡❙❞♠❙
pk+1 → p
X2
❲✐ ❳◆❙ P❙♠❲❞❩
❳❙❚❱ ✐❲❤❤❲❯ P ✐❚❲❱
♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥✁ ⑩❧❜ q❞ ❲❚❩❙❚ ❳❲ ❨❙❚❖✐❭ ❳◆❙ ♠❲❞❨❙❚❡❙❞♠❙ ❲✐ ❳◆❙ ❳◆❖❚❩ ❳❙❚❱ ❦ ❲❬P❙❚❨❙
❳◆❘❳
˜ k , uk , p; ω, u, p) − B(ω,
˜
|[B(ω
u, p; ω, u, p), pk+1 − p]| ≤
n
X
kbi (ωk , uk , p, Dp; ω, u, p) − bi (ω, u, p, Dp; ω, u, p)kLq2 (QT ) · kpk+1 − pkX2
≤

❘❞❩ ❬❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥✁ ❴❧

❥❴❴❧

i=0

|bi (ωk , uk , p, Dp; ω, u, p) − bi (ω, u, p, Dp; ω, u, p)|q2 ≤


c1 (ω)|q2 ) |p|p2 + |Dp|p2 + |uk |p1 + |u|p1 + |kˆ1 (ω, u, p)|q2 .
≤ const · ˆc1 (ω, u, p) · (|ˆ
c1 (ωk )|q2 + |ˆ

Ö ×Ø▼➀Ö ❦ Ù❚❲♠❜ ⑧❳◆ Ú❲❤❤❜ Ø▼➀Ö ❦ ❴ÛÛ⑧ ⑤❲ ❜ ♣ ❦ ◗ ❜ r

➀ ❝❙ ❳❲ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐
❖❞ ∞
❘❞❩ ❳◆❙ ♠❲❞❨❙❚❡❙❞♠❙ ❲✐
❖❞ p1
❳◆❙ ❤❙✐❳ ◆❘❞❩ P❖❩❙ ❲✐ ❳◆❙
(QT )
(ωk )
L (QT )
(uk )
❘❬❲❨❙ ❖❞❙✈❝❘❤❖❳❭ ❖P ❙✈❝❖ ❖❞❳❙❡❚❘❬❤❙
❥P❙❙
❫❵Û❛❧❦ ❖❞ ❘❩❩❖❳❖❲❞ ❦ ❖❳ ❘ ❜❙ ❜ ♠❲❞❨❙❚❡❙P
❳❲ ÛL❦ ❳◆❙❚❙✐❲❚❙
❬❭ ✁ ❖❳❘❤❖ P ❳◆❙❲❚❙❱ ❳◆❙
❤❙✐❳ ◆❘❞❩ P❖❩❙ ♠❲❞❨❙❚❡❙P ❖❞ 1
❳❲ ❳◆❙ ④❙❚❲ ✐❝❞♠❳❖❲❞ ❜ ▼◆❝P ❥❬❙♠❘❝P❙ ❲✐ ❳◆❙ ❬❲❝❞❩❙❩❞❙PP ❲✐
❧ ❳◆❙ ❚❖❡◆❳
(QT )
◆❘❞❩ P❖❩❙ ❲✐ ❥❴❴❧ ❳❙❞❩P ❳❲ ÛL❜ ❶❙❞♠❙
❘❤❤ ❳❙❚❱ P ❲❞ ❳◆❙ ❚❖❡◆❳ ◆❘❞❩ P❖❩❙ ❲✐ ❙✈❝❘❳❖❲❞ ❥❴❵❧ ♠❲❞❨❙❚❡❙P(p
❳❲k )Û ❳◆❝P ❥❴Û❧
❖❱ ◗❤❖❙P
❖❞ ❜
k+1 → p
2
⑤ ❲❯ p❬❭
❝P❖❞❡ ❳◆❙ XP❘❱
❙ ❘❚❡❝❱ ❙❞❳P ❘P ❖❞ ❫r❛ ❲❞❙ ❲❬❳❘❖❞P ❳◆❘❳ ˜
˜
k , uk , pk+1 ; ω, u, p) → B(ω, u, p; ω, u, p) =
❯❙❘❪❤❭ ❖❞ ∗ ❜ ♦❝❚❳◆❙❚ ❦ ❬❭ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞ ❥✁ ⑩❧ ❖❳ ❖P ❞❲❳ B(ω
❩❖⑥ ♠❝❤❳
❳❲ P❙❙ ❳◆❘❳ ˜
B(ωk , uk , pk+1 ; ω, u, p) −
X2
B(ω, u, p)
˜ k , uk , pk+1 ; ωk , uk , pk+1 ) → 0 P❳❚❲❞❡❤❭ ❖❞ X2∗ ❳◆❝P B(ω
˜ k , uk , pk+1 ; ωk , uk , pk+1 ) → B(ω, u, p) ❜ ▼◆❙❞ ✐❚❲❱
B(ω
❚❙♠❝❚❚❙❞♠❙
❥❵⑧❧ ❯❙ ♠❲❞♠❤❝❩❙
❦ ❖❜❙ ❜❦
❘❚❙ P❲❤❝❳❖❲❞P ❲✐ ◗❚❲❬❤❙❱ ❥❵⑩❧❜
B(ω, u, p) = H
ω, u, p
♦❖❞❘❤❤❭❦
♠❘❞
❬❙ P◆❲❯❞ ❬❭ P❖❱ ❖❤❘❚
❘❚❡❝❱ ❙❞❳P ❘P ❘❬❲❨❙ ❜ ▼◆❙ ◗❚❲❲✐ ❲✐ ❳◆❙ ❳◆❙❲❚❙❱ ❖P ♠❲❱ ◗❤❙❳❙ ❜
☎

A(ω, u, p) = G

✝✞

✁✂ ✄

☛✠ ✟

◆❘❨❙
✂ ❙ P◆❲❯ P❲❱ ❙ ❙♥❘❱ ◗❤❙P ✐❲❚ ✐❝❞♠❳❖❲❞P P❘❳❖P✐❭❖❞❡ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞P ❥❣ ❵❧ ✍ ❥❣ ⑩❧❦ ❥✁ ❵❧ ✍ ❥✁ ⑩❧❜ ❿❙❳ ✐❝❞♠❳❖❲❞P
ai , b i
❳◆❙ ✐❲❚❱
ai (t, x, ξ, ζ0 , ζ, η0 , η; w, v1 , v2 ) = [π(w)](t, x)[ϕ(v1 )](t, x)[ψ(v2 )](t, x)P (ξ)Q(η0 , η)ζi |ζ|p1 −2 +
+ [˜
π (w)](t, x)[ϕ(v
˜ 1 )](t, x)P˜ (ξ)ζi |ζ|r1 −1 ,

❖✐

i 6= 0,

❥❴♣❧

a0 (t, x, ξ, ζ0 , ζ, η0 , η; w, v1 , v2 ) = [π(w)](t, x)[ϕ(v1 )](t, x)[ψ(v2 )](t, x)P (ξ)Q(η0 , η)ζ0 |ζ0 |p1 −2 +
+ [˜
π0 (w)](t, x)[ϕ˜0 (v1 )](t, x)P˜0 (ξ)ζ0 |ζ0 |r1 −1 ,

❥❴t❧

bi (t, x, ξ, ζ0 , η0 , η; w, v1 , v2 ) = [κ(w)](t, x)[λ(v1 )](t, x)[ϑ(v2 )](t, x)R(ξ)S(ζ0 )ηi |(η0 , η)|p2 −2 +
r2 −1
˜ 2 )](t, x)R(ξ)η
˜
+ [˜
κ(w)](t, x)[ϑ(v
, i = 0, . . . , n,
i |(η0 , η)|

❥❴⑩❧

❯ ◆❙❚❙
Ö ❵❜

❥

1 ≤ ri < pi − 1 i = 1, 2)

❘❞❩ ❳◆❙ ✐❲❤❤❲❯❖❞❡ ◆❲❤❩ ❜

❘❧ ✉◗❙❚❘❳❲❚P
❦
❦
❘❚❙ ❬❲❝❞❩❙❩ ❦ ❘❞❩
π : L∞ (QT ) → L∞ (QT ) ϕ : Lp1 (QT ) → L∞ (QT ) ψ : X2 → L∞ (QT )
ϕ
❘❚❙ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P❦
✐❝❚❳◆❙❚ ❦ ❖✐
❖P ❬❲❝❞❩❙❩ ❖❞ ∞
❘❞❩
❘ ❜❙ ❜ ❖❞
❳◆❙❞
ψ
(ωk )
L (QT )
ωk → ω
QT
π(ωk ) → π(ω)
❖❞ ∞
❜ q❞ ❘❩❩❖❳❖❲❞ ❦
❦
n+1
∞
n+1 ❦ ❘❞❩ ❳◆❙❚❙ ❙♥❖P❳P ❘ ◗❲P❖❳❖❨❙ ❤❲❯❙❚
L (Q
❬❲❝❞❩
✐❲❚T )❳◆❙ ❨❘❤❝❙P ❲✐ P ∈ C(R)❜ Q ∈ C(R ) ∩ L (R )
π, ϕ, ψ, P, Q

p1 −1
❬❧ ✉◗❙❚❘❳❲❚P
❦
❘❚❙ ❬❲❝❞❩❙❩ ❦ ❘❞❩
❘❚❙
p1
π
˜0 : L∞ (QT ) → L∞ (QT ) ϕ,
ϕ˜0
) → L p1 −r1 −1 (QT )
♠❲❞❳❖❞❝❲❝P❦π˜ ,✐❝❚❳◆❙❚
❦ ❖✐
❖P ❬❲❝❞❩❙❩˜ ❖❞ϕ˜0 : ∞L (QT ❘❞❩
❘ ❜❙ ❜ ❖❞
❳◆❙❞ ϕ˜
L (QT )
ωk → ω
π
˜ (ωk ) → π
˜ (ω)
❘❞❩
❖❞(ωk )∞
❜ q❞ ❘❩❩❖❳❖❲❞
❦ ˜ ˜
❦ ❲◗❙❚❘❳❲❚P QT ❘❞❩ ✐❝❞♠❳❖❲❞
❘❚❙
P , P0 ∈ C(R)
P˜
π
˜0 (ωk ) → π
˜0 (ω)
L (QT )
π
˜ , ϕ˜
❞❲❞❞❙❡❘❳❖❨❙ ❘❞❩

QT

lim

Ö❴❜

p1 −1

R

kv1 kX1 →+∞

|ϕ˜0 (v1 )| p1 −r1 −1

= 0.

kv1 kpX11

❘❧ ✉◗❙❚❘❳❲❚P
❦
❦
❘❚❙ ❬❲❝❞❩❙❩ ❦
κ : L∞ (QT ) → L∞ (QT ) λ : Lp1 (QT ) → L∞ (QT ) ϑ : Lp2 (QT ) → L∞ (QT )
λ
❘❞❩ ❘❚❙ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P❦
✐❝❚❳◆❙❚ ❦ ❖✐
❖P ❬❲❝❞❩❙❩ ❖❞ ∞
❘❞❩
❘ ❜❙ ❜ ❖❞
❳◆❙❞
ϑ
(ωk )
L (QT )
ωk → ω
QT
κ(ωk ) →
❖❞ ∞
❜ q❞ ❘❩❩❖❳❖❲❞ ❦
❦
❦ ❘❞❩ ❳◆❙❚❙ ❙♥❖P❳P ❘ ◗❲P❖❳❖❨❙ ❤❲❯❙❚ ❬ ❲❝❞❩
∞
κ(ω)
L (QT❲✐)
✐❲❚ ❳◆❙ ❨❘❤❝❙P
❜ R ∈ C(R) S ∈ C(R) ∩ L (R)
κ, λ, ϑ, R, S

p2 −1
❬❧ ✉◗❙❚❘❳❲❚P
❦ ˜ p2
❘❚❙ ❬❲❝❞❩❙❩ ❦ ˜ ❖P ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P❦
∞
∞
p −r −1
ϑ
T ) → L (QT ) ϑ : L (QT ) → L 2 2
✐❝❞♠❳❖❲❞ ˜ κ˜ : L (Q
❦ ✐❝❚❳◆❙❚
❦ ❖✐
❖P ❬❲❝❞❩❙❩ ❖❞ ∞
❘❞❩ (QT ) ❘ ❜❙ ❜ ❖❞
❳◆❙❞
R ∈ C(R)
(ωk )
L (QT )
ωk → ω
QT
❖❞ ∞
❜ q❞ ❘❩❩❖❳❖❲❞ ❦ ❲◗❙❚❘❳❲❚P ˜ ❘❞❩ ✐❝❞♠❳❖❲❞ ˜
❘❚❙ ❞❲❞❞❙❡❘❳❖❨❙ ❘❞❩ κ˜ (ωk ) → κ˜ (ω)

L (QT )

R ∈ C(R)

κ
˜, ϑ

lim

kv2 kX2 →+∞

R

p2 −1

QT

˜ 2 )| p2 −r2 −1
|ϑ(v
kv2 kpX22

= 0.

❥❴♣❧ ❥❴⑩❧
☎
✆ ✝✆ ☎
✁ ❭ ❝P❖❞❡ ✞ ❲❝❞❡ P ❘❞❩ ❶ ❤❩❙❚ P ❖❞❙✈❝❘❤❖❳❖❙P ❖❳ ❖P ❞❲❳ ❩❖⑥ ♠❝❤❳ ❳❲ ◗❚❲❨❙ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ P❳❘❳❙❱ ❙❞❳ ❦ ❘ ❩❙❳❘❖❤❙❩ ◗❚❲❲✐

✻ ✏ ✎ ✼ ✎ ✽ ✾✿ ✾✎ ❀

✓

✧ ✘ ✘ ✕ ✺ ✙ ✚✛ ✜ ✚

♠❘❞ ❬ ❙ ✐❲❝❞❩ ❖❞ ❫⑩❛❜
✉◗ ❙❚❘❳❲❚P

☎

π, π
˜, π
˜0 , κ, κ
˜

◆❘❨❙ ❲❞❙ ❲✐ ❳◆❙ ✐❲❚❱ P

★

✛ ✗ ✲ ✤ ✬ ✚✛ ✙ ✣ ✱ ✕ ✣ ✢ ✚ ✥ ✗ ✣ ✘

✪

✱ ✕ ✲✳ ✲ ✢✗ ✣ ✤ ✥ ✚ ✥ ✗ ✣ ✘

✦✧ ★✩ ✪ ✦✧ ✫✩ ✬

✦✭ ★✩ ✪ ✦✭ ✫✩ ✴

☎

❱ ❘❭ ◆❘❨❙ ❳◆❙ ✐❲❚❱

[π(w)](t, x) =

Z

|w|β ,

❯◆❙❚❙

1≤β

❜ ♦❝❚❳◆❙❚ ❦ ❲◗❙❚❘❳❲❚P

ϕ, λ

❱ ❘❭

Qt

[ϕ(v)](t, x) = Φ

Z

Qt

|v|β



❲❚

Φ

Z

Qt


dv ,

Ö ×Ø▼➀Ö ❦ Ù❚❲♠❜ ⑧❳◆ Ú❲❤❤❜ Ø▼➀Ö ❦ ❴ÛÛ⑧ ⑤❲ ❜ ♣ ❦ ◗ ❜ ⑦

❯◆❙❚❙ 1 ≤ β ≤ p ❦ d ∈ Lq

❦

❯◆❙❚❙ 1 ≤ β ≤ p ❦ d

1 , d2

2

˜
[ϕ(v)](t,
˜
x) = Φ

❜ ①❖❱❖❤❘❚❤❭❦ ψ ❱ ❘❭ ◆❘❨❙ ❖❞ ❳◆❙ ✐❲❚❱

❘❞❩

(QT ) Φ ∈ C(R)
Φ ≥ const > 0
Z

❲❚
[ψ(v)](t, x) = Ψ
|v|β + |Dv|β
1

1

❦

Qt

∈ Lq2 (QT ) Ψ ∈ C(R)

Z

t

Z

Qt


d1 v + d2 |Dv| ,

❘❞❩ Ψ ≥ const > 0 ♦❲❚ ϕ˜ ♠❲❞P❖❩❙❚❦ ❙❜❡❜❦



Z

˜
Φ

d(s, x)v(s, x) ds ,

0

Ψ

Ω

❲❚


d(t, x)v(t, x) dx

Z

˜
Φ

t

β

|v(s, x)| ds

0

 β1 !

,

❯◆❙❚❙ d ∈ L∞ (Q ) ❦ 1 ≤ β ≤ p ❦ Φ˜ ∈ C(R) ❦ Φ˜ ≥ 0 ❘❞❩ |Φ(τ
❜ q❞ ❳◆❙ ♠❘P❙ ❲✐ ϕ˜ ❲❞❙ ◆❘P
˜
≤ const · |τ |p −r −1
0
P❖❱❖❤❘❚ ❙♥❘❱◗❤❙P T❘P ✐❲❚ ϕ˜ ❘❬❲❨❙❦1 ❙♥♠❙◗❳ Φ˜ ❩❲❙P ❞❲❳ ◆❘❨❙ ❳❲ ❬❙)|❞❲❞❞❙❡❘❳❖❨❙❜
♦❲❚ ❲◗❙❚❘❳❲❚P ˜ ❯❙ ❱❘❭ ♠❲❞P❖❩❙❚ P❖❱❖❤❘❚ ❙♥❘❱◗❤❙P ❘P ✐❲❚ ϕ, ϕ˜ ❘❬❲❨❙❦ ❬❭ ❚❙◗❤❘♠❖❞❡ ❙♥◗❲❞❙❞❳P p ❯❖❳◆ p
1
2
❘❞❩ r ❯❖❳◆ r ❜ ϑ, ϑ
1
2
q❳ ❖P ❞❲❳ ❩❖⑥ ♠❝❤❳ ❳❲ P◆❲❯ ❳◆❘❳ ❳◆❙ ❘❬❲❨❙ ❲◗❙❚❘❳❲❚P ✐❝❤③❤ ♠❲❞❩❖❳❖❲❞P Ö ❵✍ Ö❴❦ ✐❲❚ P❖❱❖❤❘❚ ❘❚❡❝❱❙❞❳P P❙❙❦ ❙❜❡ ❜❦
❫⑩❛❜
❣P ❘❞ ❙♥❘❱◗❤❙ ✐❲❚ ✐❝❞♠❳❖❲❞ f ♠❲❞P❖❩❙❚❦ ❙❜❡❜❦ f (t, x, ξ, ζ ; v) = −[ϕ(v)](t, x)f (t, x)f (ζ )(ξ − ω∗ (x)) ❦ ❯◆❙❚❙
0
1
2 0
❖P ❬❲❝❞❩❙❩ ❘❞❩ ❞❲❞❞❙❡❘❳❖❨❙❦ ✐❝❚❳◆❙❚❦
❦
❖P ❞❲❞❞❙❡❘❳❖❨❙❦
ϕ : Lp (QT ) → L∞ (QT )
f1 ∈ L∞ (QT ) f2 : R → R
❿❖◗P♠◆❖❳④ ♠❲❞❳❖❞❝❲❝P ❘❞❩ |f (ζ )| ≤ const · |ζ | ❜
1

1

1

2

0

0

p1
q2

✁ ❍ ☛ ❏❋▲❍❊ ✟ ▲❊

(0, ∞)
q❞ ❳◆❙ ◗❚❙❨❖❲❝P P❙♠❳❖❲❞ ❯❙ ◆❘❨❙ ◗❚❲❨❙❩ ❙♥❖P❳❙❞♠❙ ❲✐ P❲❤❝❳❖❲❞P ✐❲❚ ❘❤❤ ③❞❖❳❙ ❳❖❱❙ ❖❞❳❙❚❨❘❤ T ) ❜ q❞ ❯◆❘❳ ✐❲❤❤❲❯P
❯❙ P◆❘❤❤ P◆❲❯ ❙♥❖P❳❙❞♠❙ ❲✐ ❯❙❘❪ P❲❤❝❳❖❲❞P ❖❞ (0, ∞) ❜ ➀❙❞❲❳❙ ❬❭ X ∞ = Lp (0, ∞; V ) ❳◆❙(0,P◗❘♠❙
❲✐ ❱❙❘P❝❚❘❬❤❙
i
i
loc
✐❝❞♠❳❖❲❞P u : (0, ∞) → V P❝♠◆ ❳◆❘❳ u|
✐❲❚
❙❨❙❚❭
❦
✐❝❚❳◆❙❚❦
❤❙❳
❬❙ ❳◆❙
p
L∞
(Q∞ )
(0,T ) ∈ L (0, T ; Vi ) ✐❲❚ ❙❨❙❚❭ 0 < T < ∞
loc❯❙
P◗❘♠❙