BAB 6. Dinamika Partikel - Hukum Newton 1&2

BAB 6 . Dinamika Pa rtike l

  Pendahuluan.

  Dinamika (cabang mekanika), mempelajari menga- pa benda menjadi bergerak (diam) dan jika ber- gerak bagaimana lintasan gerak benda tersebut.

  Dinamika, membicarakan mengapa benda di sekitar permukaan bumi selalu jatuh menuju bumi, benda bergerak lurus, melingkar dan lain sebagainya.

  Di alam benda selalu berinteraksi dengan benda la- in.

  Hasil interaksi, menyebabkan benda bergerak dan pada umumnya lintasannya lengkung.

  Lanjutan.

  Konsep interaksi antar benda memunculkan kon- sep gaya (notasi F).

  

F inilah yang menjadi dasar pembicaraan dalam di-

namika.

  Gerakan benda-benda langit, akibat interaksi antar benda langit yang satu dengan yang lain, hasil ge- rakannya berupa garis lengkung.

  Bumi mengelilingi matahari dengan lintasan elips (lengkung tertutup).

  Bumi mengelilingi matahari merupakan hasil inter- aksi antara bumi-matahari. Lanjutan.

  

Sir Isaac N ewton (1642 - 1727) ilmuwan ber-

kebangsaa n Inggris, banyak j asanya dalam

mengemba ngkan mekanika.

  I, (kelembama n) Hukum Newton (tentang gerak)

  II, ( F )  m a

• III, (aksi reaksi) 

  Hukum Pertama Newton.

  Partikel bebas (partikel yang berdiri sendiri, kon- sep ideal) dianggap partikel yang tidak melaku- kan (tidak memiliki) interaksi dengan partikel lain.

  Benda bebas dibuat dengan cara benda/partikel dilindungi agar tidak melakukan interaksi dengan benda lain (kita mengabaikan interaksinya).

  Hal tersebut sebenarnya sulit diperoleh, karena bagaimanapun partikel di alam pasti melakukan interaksi dengan partikel-partikel lain. Lanjutan.

  Sir Isaac Newton mendefinisikan hukum pertama dengan pernyataan partikel (zarah) bebas selalu mempertahankan keberadaannya.

  Sehingga, jika diam (v = 0) akan tetap diam dan jika bergerak (v ≠ 0) akan bergerak lurus dengan kecepatan tetap (atau a = 0).

  Hukum pertama Newton disebut juga hukum kelem- baman (hukum inersial). Momentum  p.

  Momentum (= p) besaran vektor.

  Benda yang bergerak selalu memiliki p.

  Benda massa m bergerak dengan kecepatan (v) memiliki p yang didefinisikan, sebagai,

  p = m v p mv

    x x

   p p mv komponen p (dalam koordinat kartesian)

      y y

    p mv

   z z

   Lanjutan.

p menyatakan kualitas gerak benda dalam sis-

tem.

p, sebuah partikel dapat dipandang sebagai ukur-

an kesulitan untuk mendiamkan benda.

  Besaran mv disebut p linier partikel untuk (mem- bedakan dengan p anguler).

• 1
• ^-1 Satuan p, kg m s dan dimensinya [MLT ].

  p dihubungkan dengan hukum inersial,  parti- kel bebas selalu bergerak dengan p tetap. Benda m = 4 kg, memiliki v = 50 i m s ^-1 . Berapa- kah p-nya juga besar p benda tersebut ?

  Contoh. p = m v

  = (4 kg)( 50 i m s ^-1 ) = 200 i kg m s ^-1 Penyelesaian.

  Besar momentumnya, p = 200 kg m s ^-1 Hukum Kedua Newton.

  Seandainya benda, memiliki p berubah, benda akan memiliki a (percepatan penyebab perubah- an v).

  Perubahan momentum (p) tiap satuan waktu (t) disebut F.

  Pernyataan F (besaran vektor) dimunculkan oleh Newton sebagai hukum kedua.

  d p d ( m v ) d v dm F m v

      dt dt dt dt _-2

  Satuan (F), kg m s atau newton (N) dimensi [M L _-2 T ].

  2

  

2

  

1

t m t t m o o o

  F R v R F v v      

  Sistem klasik (m tetap),  dm/dt = 0 dan

  dv/dt = a, sehingga F = m a

  Persm (F = m a), dikenal sebagai hukum Newton kedua.

  Jika pada benda bekerja banyak F, (F lebih dari satu tetapi setitik tangkap) sehingga formulasi hu- kum Newton kedua menjadi,  F = m a.

  Lanjutan. Lanjutan.

  Massa memperlihatkan karakteristik sifat benda pada suatu F.

  Bila F, bekerja pada benda m memperoleh per- ₁ cepatan a , maka F tersebut dikerjakan pada benda ₁

  

m memperoleh percepatan a . Sehingga diperoleh

_{2 2}

  persm F = m a = m a atau, _{1 1 2 2}

  m a

  1

  1  m a

  2

2 Massa benda dapat didefinisikan dengan menerap-

  kan F (sama) yang bekerja pada masing-masing benda dan membandingkan a-nya.

  Perbandingan tersebut tidak tergantung pada jenis

  F yang digunakan (misal gaya pegas, atraksi

  gravitasi, atraksi listrik atau magnet dan lain sebagainya)

  Contoh.

  Benda m = 2 kg dikenai F = 5 N. Hitunglah besar

  

a yang dihasilkan oleh F tersebut ? Jika pada

  mulanya benda diam pada sistem kerangka acuan tertentu. Hitunglah perpindahan dan v yang di- peroleh saat t = 5 detik ! Penyelesaian.

  F

5 N

  2  Percepatan , a 2 , 5 m s    m 2 kg

  F

  2  Kecepatan , v v t 2 , 5 m s ( 5 s )     o m

  

1  m 25 , 31 ) s 5 ( kg

  2

  5

  2

  1 ) s 5 (

  2

  1 , n Perpindaha

  2

  2  

     

       

     N t m

  F t v r r o o

  Johannes Kepler kg 4 , N )

( 6 ,

  F j i a     m Contoh.

  Sebuah partikel m = 0,4 kg dikenai dua F yaitu F ₁ = (2 i - 4 j) N dan F ₂ = (- 2,6 i + 5 j) N. Jika partikel mulai dari keadaan diam (t = 0) berada di titik asal, tentukan posisi dan v-nya pada t = 1,6 detik.

  Gaya total (jumlahan dua F) akan menjadi, F = F ₁ + F ₂ = (2 i - 4 j) N + (- 2,6 i + 5 j) N = (- 0,6 i + j) N. Penyelesaian.

  a partikel, Komponen percepatan, _-2 a = - 1,5 m s dan _{x -2} a = 2,5 m s . _y Partikel saat t = 0, mula-mula diam, di titik asal koordinat (x, y) setelah t = 1,6 detik menjadi, _{2 -2 2}

  x = ½ a t = ½ (- 1,5 m s )(1,6 s) _x

  = - 1,92 m, _{2 -2 2}

  y = ½ a t = ½ (2,5 m s )(1,6 s) _y

  = 3,20 m Posisi partikel setelah 1,6 detik (- 1,92 ; 3,20) m.

  Kecepatan (v = a t) partikel setelah 1,6 detik,

  Lanjutan.

• _-2

  Komponen v = a t = (-1,5 m s )(1,6 s) _{x x -1} = - 2,40 m s dan _-2

• _-1 v = a t = (2,5 m s )(1,6 s) = 4,0 ms . _{y y}

  Dengan notasi vektor r dan v ber-persm: Posisi, r = (- 1,92 i + 3,20 j) m _-1 Kecepatan, v = (- 2,40 i + 4,00 j) m s . Nama Gaya

  Jenis nama a memberikan bermacam jenis nama F.

  Contoh.

  Benda melakukan gerak melingkar padanya akan bekerja dua gaya yaitu, Gaya sentripetal (F = m a karena percepatan _{N N} sentripetal) Gaya tangensial (F = m a karena percepatan _{T T} tangensial). Gaya Sistem Koordinat.

  Kartesian, F = m (a + a + a ) _{x y z} Ada tiga jenis percepatan yaitu: a , a , a . _{x y z} Kutub, F = m (a + a ) _{r θ} Ada dua jenis percepatan yaitu : a dan a . _{r θ} Contoh.

  Partikel ditarik menuju pusat sistem koordinat oleh

  F radial. Tunjukkan ω berbanding terbalik dengan

  jarak kuadrat ! Penyelesaian.

  Dalam koordinat kutub terdapat dua a (dua jenis F yaitu radial (F ) dan tangensial (F ) dinyatakan seba- _{r T} gai,

  d d dr 

    ˆ a r r

    

    dt dt dt

   

  2

  2 ˆ ˆ dr d d d d d r dr d r

      ˆ ˆ

  ˆ r r r

        

  2

  2 dt dt dt dt dt dt dt dt Lanjutan.

  2

  2

dr d d dθ d d r dr d

      ˆ ˆ

  ˆ ˆ ˆ r r r r

        

  

  2

  2

dt dt dt dt dt dt dt dt

_{2 2 2}

     dr d d  d r d  

     ˆ

  ˆ F

  2 r dan F r r       _{ 2}  _{r    }

   

dt dt dt dt dt

         

  Jika hanya F radial yang bekerja (diketahui) pada benda berarti F = 0, maka artinya memberlakukan _θ

  2 dr d d 1 d d

    2 r r

       

  2 dt dt r dt dt dt

    d d c

  2   r tetapan

       

  2 dt dt r Contoh.

  0rang berada dalam lift berdiri di atas neraca pe- gas terbaca 120 N. Lift yang dinaiki tersebut ber- gerak (dapat naik maupun turun) dengan perce- patan ¼ g. Berapakah w orang tersebut (yang ter- baca oleh skala neraca saat lift naik maupun tu- run) ? Penyelesaian. Saat lift naik. _{! !}

  m g + m A = m a atau g + A = a _{o o !} Diketahui percepatan A = ¼ g, atau a = 1,25 g. _o

  Berat orang saat naik, (120 N)(1,25) = 150 N Lanjutan.

  Saat lift turun. _{! !}

  m g – m A = m a atau g - A = a _{o ! o} Sehingga, a = 0,75 g.

  Berat orang saat turun, (120 N)(0,75) = 90 N

  Contoh.

  Dua buah benda massa m dan M, (m < M) di- hubungkan dengan tali dilewatkan pada piringan.

  Piringan dapat berputar pada sumbunya segala se- suatu yang berhubungan dengan piringan diabai- kan. Hitunglah a kedua benda tersebut, dan berapa besar tegangan talinya !

  Penyelesaian.

  Benda M bergerak turun (m naik), dengan perce- patan sama (a). Hukum Newton yang digunakan  F _i

  = m ^! a .  F _i dalam hal ini diwakili oleh M g –

  m g dan m ^!

  dalam hal ini diwakili oleh M + m sehingga berlaku, (M - m) g = (M + m) a

  M m 

  Percepatan, a g

   M m

   Cara lain.

  Benda M turun berlaku M g - T = M a ₁ dan m naik berlaku T - m g = m a ₂ (dalam hal ini T = T ) _{1 2} Kedua persm dijumlahkan dihasilkan,

  T ₂ T ₁ M m  a g

   m

  M m 

  Benda m naik dengan percepatan a

  M

  berlaku T – m g = m a sehingga ₂

  m g M m

  2 M m  T mg m g g ₂   

  M g M m M m

   

  g M m M m g

  M m M m M g M T

     

   

  2

  M g – T ₁

  = M a sehingga menghasilkan,

1 Benda M turun dengan percepatan a berlaku,

  Leonardo da Vinci Contoh.

  Perhatikan gambar di samping. Batang bermassa M dan bola m, (M > m). Pada awalnya bola berada pada ujung bawah batang. Setelah t detik, bola sejajar ujung atas batang. Bila panjang batang L tentukan tegangan tali (ideal).

  T Penyelesaian.

  M M g T M a

    ₁

  2 T ( M m ) g ( M a m a ) -     _{1 2} T m g m a   L ₂ m

  Percepatan relatif m, terhadap M, A = a + a = 2 a, (a = a = a). _{1 2 1 2}

  g M m M m a

     

      ) (

  2 ) (

  2 ) ( ( 2 )

  2

  2 ^{2 2} M m t L M m T a M m

  M m M m M a m M m

  M a m T  

     

     

  Panjang batang ditempuh oleh m, dengan waktu t sehingga,

  L = ½ A t ²

  = a t ² .

  Lanjutan.

  Contoh.

  Sebuah batu berat w dilemparkan vertikal ke atas di udara dari lantai dengan kecepatan awal v . Jika, ada gaya konstan f akibat gesekan/hambatan udara selama melayang dan asumsikan percepatan gra- vitasi bumi (g) konstan, maka tentukan :

  a). tinggi maksimum yang dicapai (nyatakan dalam: v , g, f dan w ) _o

  b). laju batu saat menyentuh lantai kembali (nyata- kan dalam: v , f dan w) _o Penyelesaian:

  f w  a

  

  a). Batu ke atas, a

  m

  (berupa perlambatan): Σ F = m a 

  f   a 1 g

      w

  a v h ^o

  Kecepatan saat menyentuh lantai :    

  2

  2

  f w g v g w f w v ah v

    

     

    

    

     

   

  2 ²  a v t o

  g w f w a

  t – ½ a t ² , dengan, sehingga, b. Gerak batu ke bawah, percepatan:

   h = v _o

  Tinggi maksm dicapai batu:

  2 w f g v h o m v ^v h _max v= 0 f w w f

  2

  1

     ^

      

  2 ^{2 2 2} Lanjutan.

  f w f w v v f w f w v v o

   

 



   

  2

2 Lanjutan.

  Contoh.

  Contoh.

  Sebuah sistem terdiri atas dua buah balok masing- masing bermassa m dan M (lihat gambar). Koefisien gesekan antara kedua balok µ dan balok M tidak _s ada gesekan dengan lantai. Tentukan besar gaya F yang harus diberikan pada balok m agar tidak turun ke bawah (nyatakan dalam : m, M, g dan µ ) _s Penyelesaian.

  Teori yang mendasari hukum Newton tentang gerak Tinjau benda massa m.

  Arah mendatar, Σ F = m a _{x x x}  F – N = m a

  Arah vertikal, Lanjutan.

  M m f F

  N

  Licin Σ F _y = 0  m g = f = μ _s N .

  s g m N

    Tinjau benda massa M.

  Arah mendatar, Σ F _x = M a _x  N = M a _x 

  M N a x

      

     

  1 .

  M m g m F s

  

  Dari, F – N = m a _x 

  Contoh.

  Perhatikan sistem di bawah ini

  L M m F

  μ ₂ μ ₁ Ada dua balok, masing-masing

  bermassa m dan M. Koefisien ge- sekan antara balok M dengan lantai µ ₁ , sedangkan koefisien gesekan antara balok m dengan balok M adalah μ ₂ . Balok m diberi gaya mendatar F yang cukup besar sehingga balok m akan bergerak dipunggung balok

  M. Balok M juga bergerak akibat gaya F ini (asumsi µ ₂

  cukup besar). Jika balok m berpindah sejauh L relatif terhadap balok M, maka berapa usaha yang dilakukan gaya F ? Untuk memudahkan hitungan anggap : Lanjutan.

  

M = 2 m, F = λ m g = 5,6 m g, μ = 0,5 dan μ = 0,1

_{2 1} Teori yang mendasari: Hukum Newton tentang gerak,

  GLBB, Usaha

  N ₂ N = gaya normal pada m karena M ₂

  Σ F = 0 dan N = m g dan Σ F = m a _{y 2 x 2} F

  m a ₂ F – f = m a ; f = μ N _{2 2 2 2 2} f ₂ F - μ m g = m a = μ m g mg _{2 2 2} F mg  

  2

  balok m,

  a 

  2 m a percepatan m relatif terhadap lerangka lab. ₂

• – N
₂ ^! – M g = 0

    g M m m a

  ) ( _{1 2 1}   

    Lanjutan. mg M

  N ₂ ^! N ₁ a ₁ f ₁ f ₂ N ₂ ^!

  = reaksi dari N ₂ = m g Σ F _y = 0

  N ₁

  N ₁

  = (m + M) g Σ F _x = M a ₁ f ₂ – f ₁ = M a ₁ , f ₂ = μ ₂

  m g μ ₂

  m g – μ ₁ (m + M) g = M a ₁ , f ₁ = μ ₁ (m + M) g 

   

   

  s ₁

  Selisih jarak,

    

  F mg S t a 

  1 t m

  2

  1

  2

  2 ₂ ² _{2 2}

  Total pergeseran massa m terhadap kerangka lab se- telah selang waktu t,

  M m m S t a    

  ) (

  1 gt M

  2

  1

  2

    ^{2 1 2 2} _{1 1} ) (

  Total pergeseran massa M setelah selang waktu t,

     Lanjutan.

       

  M gt F mg m t S S

  2 ^{1 2 2 2 2 1 2} M m m

  2 ) (

  dan s ₂  Lanjutan.

   

   

  Untuk waktu t _o

  L gt gt L

      

      

               

  2

  2

  1 ^{1 2 2 2 1 1 2 2 2}

  1 ^{1 2 2 2 1}

¹

^{2 2 2 1 2} Setelah t = t _o , selisih jarak = L, L = s ₂ – s ₁

  M m mg F gt Lanjutan.

  2

  2

   , dan dimana

             

         

     

  S S       

  

M

m M m mg F gt

   ini, massa m telah berpindah sejauh :

  F mg

  1 _{2  }

  1 _{2 2} S a t t ₂   ₂

  2 ₂ 2 m ₂ gt gt F

           _{2  2 }   2 mg

  2   L

     ₂  

              _{2 2 1 1} Usaha yang dilakukan oleh gaya F :

  L

  

    ₂  

  W F . S mg _F    ₂            _{2 2 1 1}

mgL

      ₂  

  5 , 712 mgL 

  

             _{2 2 1 1}

  II, (kelembama n) I, (tentang gerak) Newton Hukum

  III, ) (

• reaksi) (aksi

    m a F