BAB. 7 (Relativitas Gerak Klasik)
BAB. 7
(Relativitas Gerak
Klasik)
10/28/18
1
Untuk menetukan posisi dan gerak suatu benda
perlu sistem koordinat.
Suatu partikel dapat dikatakan diam atau bergerak
tergantung pada acuan (sistem koordinat) yang digunakannya.
Partikel dengan acuan A disebut diam tetapi
dengan acuan B partikel bergerak, itulah sebabnya
kecepatan memiliki arti relatif.
Bila kita membicarakan sistem acuan, akhirnya
pembicaraan kita tidak lepas dari sistem koordinat.
10/28/18
2
1. Inersial,[v tetap (boleh nol), a 0]
Sistem koordinat
2. Non inersial, a 0
Dalam analisis penyelidikan (pengamatan), posisi
acuan dapat diganti sebagai pengamat (artinya
pengamatan adalah diri sendiri yang bergerak atau
diam).
Dengan kata lain analisis gejala relativitas, sistem
acuan yang terpakai sistem inersial atau tidak.
10/28/18
3
Contoh.
Keretapi yang bergerak dengan lintasan lurus dengan v = 40 m s-1. Seorang kondektur berjalan
dengan v = 5 m s-1, dari arah lokomotif menuju
gerbong terakhir. Berapakah kecepatan kondektur
tersebut ?
Pertanyaan tersebut dapat dijawab, 5 m s-1.
v tersebut diacukan terhadap penumpang diam
(penumpang duduk pada tempat duduknya).
Pertanyaan tersebut dapat dijawab, 35 m s-1.
Kecepatan tersebut diacukan pada orang diam di
luar kereta api (40 - 5) m s-1.
10/28/18
4
Kemungkinan jawaban tersebut masih akan bertambah lagi (bila diacukan pada yang lain misal
terhadap bulan, bintang dan lain-lain).
10/28/18
5
Kerangka Acuan Inersial
1. Pengamatan Terhadap Dua Gerakan Translasi.
vB
B
rB
rAB
rA
0
vA
A
rAB = rB - rA
rBA = rA - rB
rBA = - (rB – rA) =- rAB
Misal benda A dan B menggunakan kerangka acuan (xyz) dan diacukan pada pengamat 0,
10/28/18
6
dr A
Kecepatan A relatif terhadap 0, V A
dt
dr A
Kecepatan B relatif terhadap 0, VB
dt
Kecepatan partikel A relatif terhadap B, V AB
dr AB
dt
Kecepatan partikel B relatif terhadap A, VBA
V AB VBA
drBA
dt
Persm di atas menginformasikan bahwa kecepatan B relatif terhadap A sama dengan lawan (-)
kecepatan A relatif terhadap B.
10/28/18
7
drAB drB drA
VB V A VAB
dt
dt
dt
dV A
Percepatan A relatif terhadap 0, A A
dt
AAB = AB - AA
dVB
Percepatan B relatif terhadap 0, A B
dt
AAB = - ABA
10/28/18
8
Contoh.
Pesawat A, terbang ke utara dengan v = 300 m s-1
relatif terhadap tanah. Pada saat yang bersamaan
pesawat lain (B) terbang dengan sudut 60o arah ke
timur laut, dengan kelajuan 200 m s-1 terhadap
tanah. Carilah v relatif pesawat A terhadap B dan
B relatif terhadap A !
Penyelesaian.
Kecepatan A relatif terhadap B (VAB), VBA = VA - VB
Kecepatan B relatif terhadap A (VBA), VAB = VB - VA
10/28/18
9
vA
vAB
- vBA
B
60o
- vA
vB
T
- vB
Besar, VBA dihitung dengan menggunakan cara,
VBA = [VA2 + VB2 - 2 (VA)(VB) cos 60o]1/2
= [3002 + 2002 - 2 (300)(200) cos 60o]1/2
= 264,6 m s-1
VAB = - VBA = - 264,6 m s-1.
10/28/18
10
Contoh.
Pesawat terbang dengan kecepatan tetap V dari
A → B dan kembali ke A lagi. Jarak A - B adalah ℓ
dan dalam perjalanan tersebut terjadi gerakan
angin dengan arah tetap berkecepatan v (tetap).
a. Hitung total waktu perjalanan pesawat tersebut (arah angin sejajar arah terbang).
b. Hitung total waktu perjalanan jika arah angin
tegak lurus arah terbang.
Penyelesaian.
a.
10/28/18
2V
t t1 t 2
2
V v V v (V v 2 )
11
v
Arah V diusahakan
sehingga perjalanan pesawat menuju
A → B. Besar kecepatan perjalanan
pesawat
menjadi
sehingga waktu total perjalanan tersebut menjadi,
B
A
V
v
√(V2 – v2) sehingga waktu total t = t1 + t2
t
10/28/18
V 2 v2
V 2 v2
2
V 2 v2
12
Contoh.
Seorang menyeberang sungai dengan perahu.
Perahu ber-v 4 m s-1 dan arus air 3 m s-1. Perahu
diarahkan tepian sungai dan lebar sungai 20 m.
Dalam berapa detik orang tersebut sampai ke
seberang dan berapa jarak tempuh orang ?
Penyelesaian.
Lintasan penyeberangan orang dipengaruhi oleh
dua kecepatan, (kecepatan perahu dan arus air).
Nilai kecepatan penyeberangan orang menjadi,
V2 = Vp2 + Va2 + 2 (Vp)(Va) cos 90o
10/28/18
= 42 + 32 + 2 (4)(3)(0)
= 25 atau kecepatanya V = 5 m s-1
13
Waktu mencapai seberang, lebar sungai dibagi v
penyeberangan (dalam hal ini kecepatan perahu).
Waktu untuk menyeberang t = x/V atau
t = 20 m/4 m s-1 = 5 detik.
Jarak ditempuh orang x = V! t, (V! = 5 m s-1)
x = (5 m s-1)(5 s) = 25 m.
0rang (perahu) terbawa ke muara (terbawa arus
ke arah muara).
10/28/18
14
Contoh.
Perjalanan perahu (v tetap) di sungai, melewati
sebuah botol di titik A. Satu jam kemudian perahu berbalik arah (abaikan perubahan perahu
saat berbalik) dan bertemu dengan botol kembali di titik B, (jarak A – B = 6 km). Berapakan
kecepatan arus air sungai ?
Penyelesaian.
A
C
va
B
vp
Dianggap perahu berbalik arah di titik C.
10/28/18
15
v perahu relatif terhadap arus sungai, vp.
v arus sungai relatif terhadap tanah, va.
v perahu relatih terhadap tanah, vp + va, perjalanan
A C, sedangkan perjalanan C B adalah vp - va .
Perahu, AC = AB + BC (vAC)(tAC) = AB + (vBC)(tBC)
(vAC)(tAC) = AB + (vBC)(tAB botol – tAC perahu)
AB
(vp + va)(1) = 6 + (vp - va)
v t AC
a
6
(vp + va) = 6 + (vp - va)
v 1
a
vp
10/28/18
2 vp 6
va
v a 3 km ( jam)
1
16
Cara lain.
Waktu yang diperlukan perahu dari A C = 1 jam.
Waktu dari C B = 1 jam
Jadi waktu dari A C B = 2 jam.
Waktu 2 jam = waktu yang diperlukan botol dari
A B.
Kecepatan arus (botol) = (6 km/2 jam) = 3 km
jam-1
10/28/18
17
2. Dua Pengamat Yang Melakukan Gerak Translasi.
y!
y
v
r
z
r!
0!
0
z!
A
x
x!
Dua pengamat 0 (pada
sistem xyz) dan 0! (pada sistem x!y!z!) yang
bergerak relatif satu dengan lainnya dengan ge
rak translasi (v) tetap.
Pada t = 0 antara 0
dan 0! berimpit.
Pada saat t ≠ 0, 0! bergerak dengan kecepatan tetap v.
10/28/18
18
Sumbu x dan x! berimpit sedang sumbu y, z dan
y!, z! bergerak sejajar.
Pengamat 0 melihat 0! bergerak dengan kecepatan (v) sebaliknya 0! melihat 0 bergerak dengan kecepatan (- v).
Partikel A bergerak diamati oleh 0 dan 0!. serta
saat t = 0 kedua titik 00! berimpit.
Gerak 0! dinyatakan dengan 00! = v t dan v = v i.
Posisi partikel A dinyatakan sebagai,
0A = 00! + 0!A atau r! = r – v t.
x! = x – v t, y! = y dan z! = z, t! = t.
x = x! + v t, y = y! dan z = z!, t = t!
10/28/18
19
Persm di atas disebut persamaan relativitas klasik
(Galileo).
Relativitas Galileo (relativitas klasik) didasarkan
pada postulat berikut:
1. waktu merupakan besaran mutlak
2. hukum gerak Newton invariant
v relatif A terhadap 0, V = dr/dt
dx
dy
dz
V i j k
dt
dt
dt
v relatif A terhadap 0!, V! = dr!/dt
10/28/18
!
!
!
dx
dy
dz
V! i!
j!
k!
dt
dt
dt
20
V! = V - v
Vx!! V x v, V y!! V y , V z!! V z
Transformasi balik, V x Vx!! v, V y V y!! , V z V z!!
Tetapi, bila partikel A bergerak sejajar dengan
sumbu y maka persm di atas berlaku Vx = Vz = 0,
Vy = V kemudian,
Vx!! v, V y!! V dan V z!! 0,
Sehingga, V! = √V2 + v2
Percepatan partikel A relatif terhadap 0, (A) dan
0!, (A!) maka
A! = A
10/28/18
21
Contoh.
Posisi partikel A diamati oleh seorang pengamat 0,
memberikan informasi r = (6 t2 - 4 t) i – 3 t3 j + 3
k. Hasil pengamatan partikel A dari 0! Menghasilkan r! = (6 t2 + 3 t) i – 3 t3 j + 3 k, (posisi
dinyatakan dalam satuan meter). Hitunglah v
relatif sistem 0! terhadap 0. Tunjukkan a partikel
dalam kedua sistem sama !
Penyelesaian.
v t = r – r!
= [(6 t2 - 4 t) i – 3 t3 j + 3 k]
– [(6 t2 + 3 t) i – 3 t3 j + 3 k] = - 7 t i
10/28/18
22
Kecepatan sistem 0! terhadap 0, v = - 7 i.
dr
Percepatan A terhadap 0, A
12 i 18 t j
dt
!
d
r
Percepatan A terhadap 0! , A !
12 i 18 t j
dt
10/28/18
23
Contoh.
Pesawat terbang pada ketinggian 1500 m di atas
tanah dengan v tetap 100 m s-1 mendatar dan
menjatuhkan benda. Carilah bentuk-bentuk persm
dari benda mengenai (1) gerak benda (2) v benda
dan (3) a menurut pengamat di bumi dan pilotnya.
Penyelesaian.
Pengamat bumi 0 [kerangka acuan (xyz)] dan pilot
[pengamat 0! kerangka acuan (x!y!z!)] dalam soal
ini v = 100 m s-1.
10/28/18
24
1. Persm gerak benda
Pengamat bumi 0 kerangka acuan (xyz) benda
jatuh nampak terbawa mendatar dengan v 100
m s-1 sehingga persm gerak benda menjadi,
x = v t = (100 t) m
y = h - ½ g t2 = 1500 - ½ g t2
dan
Pilot pengamat 0! [kerangka acuan (x!y!z!)],
Gerak benda jatuh dalam sb. y!, x! = 0 dan
y! = - ½ g t2
10/28/18
25
2. Persm kecepatan gerak benda
Pengamat di bumi 0 [kerangka acuan (xyz)],
persm kecepatan diperoleh dengan cara mendiferensialkan persm gerak (atau koordinat) terhadap t ,
dx
V x v 100 m s 1
dt
dy
Vy g t
dt
dan
Pilot pengamat 0! [kerangka acuan (x!y!z!)]
persm v gerak benda jatuh dalam sumbu y!,
10/28/18
26
!
dx
!
V x! 0
dt
dan
dy !
V y!! g t
dt
3. Persm percepatan
Pengamat di bumi 0 [kerangka acuan (xyz)],
Persm a diperoleh dengan mendiferensialkan
persm v (atau koordinat) terhadap t,
dV x
Ax 0 m s 2
dt
10/28/18
dan
27
dV y
dt
Ay g
Pilot pengamat 0! [kerangka acuan (x!y!z!)]
Persm a gerak benda jatuh dalam sumbu y!
dV x!!
dt
dV y!!
dt
10/28/18
Ax! ! 0
dan
A!y! g
28
(Relativitas Gerak
Klasik)
10/28/18
1
Untuk menetukan posisi dan gerak suatu benda
perlu sistem koordinat.
Suatu partikel dapat dikatakan diam atau bergerak
tergantung pada acuan (sistem koordinat) yang digunakannya.
Partikel dengan acuan A disebut diam tetapi
dengan acuan B partikel bergerak, itulah sebabnya
kecepatan memiliki arti relatif.
Bila kita membicarakan sistem acuan, akhirnya
pembicaraan kita tidak lepas dari sistem koordinat.
10/28/18
2
1. Inersial,[v tetap (boleh nol), a 0]
Sistem koordinat
2. Non inersial, a 0
Dalam analisis penyelidikan (pengamatan), posisi
acuan dapat diganti sebagai pengamat (artinya
pengamatan adalah diri sendiri yang bergerak atau
diam).
Dengan kata lain analisis gejala relativitas, sistem
acuan yang terpakai sistem inersial atau tidak.
10/28/18
3
Contoh.
Keretapi yang bergerak dengan lintasan lurus dengan v = 40 m s-1. Seorang kondektur berjalan
dengan v = 5 m s-1, dari arah lokomotif menuju
gerbong terakhir. Berapakah kecepatan kondektur
tersebut ?
Pertanyaan tersebut dapat dijawab, 5 m s-1.
v tersebut diacukan terhadap penumpang diam
(penumpang duduk pada tempat duduknya).
Pertanyaan tersebut dapat dijawab, 35 m s-1.
Kecepatan tersebut diacukan pada orang diam di
luar kereta api (40 - 5) m s-1.
10/28/18
4
Kemungkinan jawaban tersebut masih akan bertambah lagi (bila diacukan pada yang lain misal
terhadap bulan, bintang dan lain-lain).
10/28/18
5
Kerangka Acuan Inersial
1. Pengamatan Terhadap Dua Gerakan Translasi.
vB
B
rB
rAB
rA
0
vA
A
rAB = rB - rA
rBA = rA - rB
rBA = - (rB – rA) =- rAB
Misal benda A dan B menggunakan kerangka acuan (xyz) dan diacukan pada pengamat 0,
10/28/18
6
dr A
Kecepatan A relatif terhadap 0, V A
dt
dr A
Kecepatan B relatif terhadap 0, VB
dt
Kecepatan partikel A relatif terhadap B, V AB
dr AB
dt
Kecepatan partikel B relatif terhadap A, VBA
V AB VBA
drBA
dt
Persm di atas menginformasikan bahwa kecepatan B relatif terhadap A sama dengan lawan (-)
kecepatan A relatif terhadap B.
10/28/18
7
drAB drB drA
VB V A VAB
dt
dt
dt
dV A
Percepatan A relatif terhadap 0, A A
dt
AAB = AB - AA
dVB
Percepatan B relatif terhadap 0, A B
dt
AAB = - ABA
10/28/18
8
Contoh.
Pesawat A, terbang ke utara dengan v = 300 m s-1
relatif terhadap tanah. Pada saat yang bersamaan
pesawat lain (B) terbang dengan sudut 60o arah ke
timur laut, dengan kelajuan 200 m s-1 terhadap
tanah. Carilah v relatif pesawat A terhadap B dan
B relatif terhadap A !
Penyelesaian.
Kecepatan A relatif terhadap B (VAB), VBA = VA - VB
Kecepatan B relatif terhadap A (VBA), VAB = VB - VA
10/28/18
9
vA
vAB
- vBA
B
60o
- vA
vB
T
- vB
Besar, VBA dihitung dengan menggunakan cara,
VBA = [VA2 + VB2 - 2 (VA)(VB) cos 60o]1/2
= [3002 + 2002 - 2 (300)(200) cos 60o]1/2
= 264,6 m s-1
VAB = - VBA = - 264,6 m s-1.
10/28/18
10
Contoh.
Pesawat terbang dengan kecepatan tetap V dari
A → B dan kembali ke A lagi. Jarak A - B adalah ℓ
dan dalam perjalanan tersebut terjadi gerakan
angin dengan arah tetap berkecepatan v (tetap).
a. Hitung total waktu perjalanan pesawat tersebut (arah angin sejajar arah terbang).
b. Hitung total waktu perjalanan jika arah angin
tegak lurus arah terbang.
Penyelesaian.
a.
10/28/18
2V
t t1 t 2
2
V v V v (V v 2 )
11
v
Arah V diusahakan
sehingga perjalanan pesawat menuju
A → B. Besar kecepatan perjalanan
pesawat
menjadi
sehingga waktu total perjalanan tersebut menjadi,
B
A
V
v
√(V2 – v2) sehingga waktu total t = t1 + t2
t
10/28/18
V 2 v2
V 2 v2
2
V 2 v2
12
Contoh.
Seorang menyeberang sungai dengan perahu.
Perahu ber-v 4 m s-1 dan arus air 3 m s-1. Perahu
diarahkan tepian sungai dan lebar sungai 20 m.
Dalam berapa detik orang tersebut sampai ke
seberang dan berapa jarak tempuh orang ?
Penyelesaian.
Lintasan penyeberangan orang dipengaruhi oleh
dua kecepatan, (kecepatan perahu dan arus air).
Nilai kecepatan penyeberangan orang menjadi,
V2 = Vp2 + Va2 + 2 (Vp)(Va) cos 90o
10/28/18
= 42 + 32 + 2 (4)(3)(0)
= 25 atau kecepatanya V = 5 m s-1
13
Waktu mencapai seberang, lebar sungai dibagi v
penyeberangan (dalam hal ini kecepatan perahu).
Waktu untuk menyeberang t = x/V atau
t = 20 m/4 m s-1 = 5 detik.
Jarak ditempuh orang x = V! t, (V! = 5 m s-1)
x = (5 m s-1)(5 s) = 25 m.
0rang (perahu) terbawa ke muara (terbawa arus
ke arah muara).
10/28/18
14
Contoh.
Perjalanan perahu (v tetap) di sungai, melewati
sebuah botol di titik A. Satu jam kemudian perahu berbalik arah (abaikan perubahan perahu
saat berbalik) dan bertemu dengan botol kembali di titik B, (jarak A – B = 6 km). Berapakan
kecepatan arus air sungai ?
Penyelesaian.
A
C
va
B
vp
Dianggap perahu berbalik arah di titik C.
10/28/18
15
v perahu relatif terhadap arus sungai, vp.
v arus sungai relatif terhadap tanah, va.
v perahu relatih terhadap tanah, vp + va, perjalanan
A C, sedangkan perjalanan C B adalah vp - va .
Perahu, AC = AB + BC (vAC)(tAC) = AB + (vBC)(tBC)
(vAC)(tAC) = AB + (vBC)(tAB botol – tAC perahu)
AB
(vp + va)(1) = 6 + (vp - va)
v t AC
a
6
(vp + va) = 6 + (vp - va)
v 1
a
vp
10/28/18
2 vp 6
va
v a 3 km ( jam)
1
16
Cara lain.
Waktu yang diperlukan perahu dari A C = 1 jam.
Waktu dari C B = 1 jam
Jadi waktu dari A C B = 2 jam.
Waktu 2 jam = waktu yang diperlukan botol dari
A B.
Kecepatan arus (botol) = (6 km/2 jam) = 3 km
jam-1
10/28/18
17
2. Dua Pengamat Yang Melakukan Gerak Translasi.
y!
y
v
r
z
r!
0!
0
z!
A
x
x!
Dua pengamat 0 (pada
sistem xyz) dan 0! (pada sistem x!y!z!) yang
bergerak relatif satu dengan lainnya dengan ge
rak translasi (v) tetap.
Pada t = 0 antara 0
dan 0! berimpit.
Pada saat t ≠ 0, 0! bergerak dengan kecepatan tetap v.
10/28/18
18
Sumbu x dan x! berimpit sedang sumbu y, z dan
y!, z! bergerak sejajar.
Pengamat 0 melihat 0! bergerak dengan kecepatan (v) sebaliknya 0! melihat 0 bergerak dengan kecepatan (- v).
Partikel A bergerak diamati oleh 0 dan 0!. serta
saat t = 0 kedua titik 00! berimpit.
Gerak 0! dinyatakan dengan 00! = v t dan v = v i.
Posisi partikel A dinyatakan sebagai,
0A = 00! + 0!A atau r! = r – v t.
x! = x – v t, y! = y dan z! = z, t! = t.
x = x! + v t, y = y! dan z = z!, t = t!
10/28/18
19
Persm di atas disebut persamaan relativitas klasik
(Galileo).
Relativitas Galileo (relativitas klasik) didasarkan
pada postulat berikut:
1. waktu merupakan besaran mutlak
2. hukum gerak Newton invariant
v relatif A terhadap 0, V = dr/dt
dx
dy
dz
V i j k
dt
dt
dt
v relatif A terhadap 0!, V! = dr!/dt
10/28/18
!
!
!
dx
dy
dz
V! i!
j!
k!
dt
dt
dt
20
V! = V - v
Vx!! V x v, V y!! V y , V z!! V z
Transformasi balik, V x Vx!! v, V y V y!! , V z V z!!
Tetapi, bila partikel A bergerak sejajar dengan
sumbu y maka persm di atas berlaku Vx = Vz = 0,
Vy = V kemudian,
Vx!! v, V y!! V dan V z!! 0,
Sehingga, V! = √V2 + v2
Percepatan partikel A relatif terhadap 0, (A) dan
0!, (A!) maka
A! = A
10/28/18
21
Contoh.
Posisi partikel A diamati oleh seorang pengamat 0,
memberikan informasi r = (6 t2 - 4 t) i – 3 t3 j + 3
k. Hasil pengamatan partikel A dari 0! Menghasilkan r! = (6 t2 + 3 t) i – 3 t3 j + 3 k, (posisi
dinyatakan dalam satuan meter). Hitunglah v
relatif sistem 0! terhadap 0. Tunjukkan a partikel
dalam kedua sistem sama !
Penyelesaian.
v t = r – r!
= [(6 t2 - 4 t) i – 3 t3 j + 3 k]
– [(6 t2 + 3 t) i – 3 t3 j + 3 k] = - 7 t i
10/28/18
22
Kecepatan sistem 0! terhadap 0, v = - 7 i.
dr
Percepatan A terhadap 0, A
12 i 18 t j
dt
!
d
r
Percepatan A terhadap 0! , A !
12 i 18 t j
dt
10/28/18
23
Contoh.
Pesawat terbang pada ketinggian 1500 m di atas
tanah dengan v tetap 100 m s-1 mendatar dan
menjatuhkan benda. Carilah bentuk-bentuk persm
dari benda mengenai (1) gerak benda (2) v benda
dan (3) a menurut pengamat di bumi dan pilotnya.
Penyelesaian.
Pengamat bumi 0 [kerangka acuan (xyz)] dan pilot
[pengamat 0! kerangka acuan (x!y!z!)] dalam soal
ini v = 100 m s-1.
10/28/18
24
1. Persm gerak benda
Pengamat bumi 0 kerangka acuan (xyz) benda
jatuh nampak terbawa mendatar dengan v 100
m s-1 sehingga persm gerak benda menjadi,
x = v t = (100 t) m
y = h - ½ g t2 = 1500 - ½ g t2
dan
Pilot pengamat 0! [kerangka acuan (x!y!z!)],
Gerak benda jatuh dalam sb. y!, x! = 0 dan
y! = - ½ g t2
10/28/18
25
2. Persm kecepatan gerak benda
Pengamat di bumi 0 [kerangka acuan (xyz)],
persm kecepatan diperoleh dengan cara mendiferensialkan persm gerak (atau koordinat) terhadap t ,
dx
V x v 100 m s 1
dt
dy
Vy g t
dt
dan
Pilot pengamat 0! [kerangka acuan (x!y!z!)]
persm v gerak benda jatuh dalam sumbu y!,
10/28/18
26
!
dx
!
V x! 0
dt
dan
dy !
V y!! g t
dt
3. Persm percepatan
Pengamat di bumi 0 [kerangka acuan (xyz)],
Persm a diperoleh dengan mendiferensialkan
persm v (atau koordinat) terhadap t,
dV x
Ax 0 m s 2
dt
10/28/18
dan
27
dV y
dt
Ay g
Pilot pengamat 0! [kerangka acuan (x!y!z!)]
Persm a gerak benda jatuh dalam sumbu y!
dV x!!
dt
dV y!!
dt
10/28/18
Ax! ! 0
dan
A!y! g
28