Solusi model PL dengan metode simpleks

  Pemrograman Linier (2) Solusi model PL dengan metode simpleks

  Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia

• c
• . . . + c

• a
• . . . + a
• a
• . . . + a
• a
• . . . + a

  mn x

n ≤

b m x i ≥

  2

  2 x

  m

  1

  1 x

  .. . a m

  .. .

  .

  2 ..

  2n x n ≤ b

  2

  22 x

  21 x

  1

  1 a

  1n x n ≤ b

  2

  12 x

  1

  11 x

  Dengan kendala: a

  

n

x

n

  2

  2 x

  1

  1 x

  Bentuk umum model PL Ingat kembali bentuk umum model PL maksimum Maks Z = c

  0, i = 1, 2, . . . n

• c
• . . . + c

• a
• . . . + a
• s
• a
• . . . + a
• s
• a
• . . . + a
• s

  2n x n

  2 = b

  2 ..

  .

  .. .

  .. . a m

  1 x

  1

  m

  2 x

  2

  mn x n

  m = b m x i ≥

  0, i = 1, 2, . . . n s i ≥

  0, i = 1, 2, . . . m

  2

  1

  22 x

  21 x

  Bentuk baku model PL maksimisasi Maks Z = c

  1 x

  1

  2 x

  2

  

n

x

n

  Dengan kendala: a

  11 x

  1

  12 x

  2

  1n x n

  

1

= b

  1 a

  i disebut juga variabel slack

• s

• Bentuk baku digunakan untuk menyelesaikan model PL dengan

  metode simpleks

  Tinjau kembali model PL untuk problem Chocolatier Burie, beserta solusi optimalnya yang diperoleh dengan metode grafis: Maks Z = 55M + 89H Dengan kendala:

  ≤

  4M + 18H 1296 ≤

  12M + 6H 1824 M, H ≥ Daerah solusi dari model tersebut

  Alternatif solusi dan solusi optimal: (M, H) Z = 55M + 89H (0, 0) (0, 72) 6408

  (130.5, 43) 11004.5 (maksimum) (152, 0) 8360 Diperoleh solusi optimal Z = 11004.5, dengan M = 130.5 dan H

  = 43. Akan ditunjukkan penyelesaian model PL ini dengan metode simpleks .

Metode simpleks Metode simpleks adalah prosedur aljabar untuk menyelesaikan masalah PL. Tidak seperti pada metode grafis, metode simpleks mengevaluasi beberapa alternatif solusi saja (tidak semua) untuk menemukan solusi optimal.

  Metode ini bersifat iteratif.

Metode simpleks

  Metode simpleks adalah prosedur aljabar untuk menyelesaikan masalah PL. Tidak seperti pada metode grafis, metode simpleks mengevaluasi beberapa alternatif solusi saja (tidak semua) untuk menemukan solusi optimal.

  Metode ini bersifat iteratif. Penyelesaian PL dengan metode simpleks Berikut diberikan contoh penyelesaian model PL pada kasus Chocolatier Burie

  . Langkah pertama, buatlah bentuk baku dari model.

  Maks Z = 55M + 89H Dengan kendala:

  1

  4M + 18H +s = 1296

  2

  12M + 6H +s = 1824

  1 2 ≥ M, H, s , s Iterasi ke-0: tabel simpleks awal

  Itr. No. Basis Z M H s 1 s

  2 Solusi Rasio (0)

  Z 1 -55 -89 (1) s

  1

  4

  18 1 1296 (2) s

  2

  12

  6 1 1824 Solusi pada iterasi ke-0 (solusi dasar awal): M = 0, H = 0, Z = 0 Iterasi ke-0: menentukan kolom pivot

  Itr. No. Basis Z M H s

  1 s

  2 Solusi Rasio (0) Z 1 -55 -89 (1) s

  1

  4

  18 1 1296 (2) s

  2

  12

  6 1 1824 Pilih kolom pivot, yaitu kolom yang memiliki koefisien paling negatif pada baris (0); dalam kasus ini adalah kolom H. Iterasi ke-0: menghitung rasio

  Itr. No. Basis Z M H s 1 s

  2 Solusi Rasio (0) Z 1 -55 -89 (1) s

  1

  4

  18 1 1296 1296

  18 = 72

  (2) s

  2

  12

  6 1 1824 1824

  6 = 304

  Hitung rasio pada setiap baris (kecuali untuk baris Z), di mana: rasio = (solusi) / (koefisien pada kolom pivot) Iterasi ke-0: menentukan baris pivot

  Z M H s 1 s

  2 Itr. No. Basis Solusi Rasio (0) Z 1 -55 -89

  1296

  1 (1) s

  4

  18

  1 1296 = 72

  18 1824

  2 (2) s

  12

  6 1 1824 = 304

  6 Pilih baris pivot, yaitu baris yang memiliki rasio non-negatif terkecil;

  1 dalam kasus ini adalah baris (1), yang diasosiasikan sebagai variabel s .

  Elemen persekutuan antara kolom pivot dan baris pivot disebut elemen pivot ; dalam hal ini elemen pivot-nya adalah 18.

  1 Pada langkah ini, H akan masuk menjadi basis, dan s akan keluar dari basis. Iterasi ke-0: menentukan baris pivot

  Z M H s 1 s

  2 Itr. No. Basis Solusi Rasio (0) Z 1 -55 -89

  1296

  1 (1) s

  4

  18

  1 1296 = 72

  18 1824

  2 (2) s

  12

  6 1 1824 = 304

  6 Pilih baris pivot, yaitu baris yang memiliki rasio non-negatif terkecil;

  1 dalam kasus ini adalah baris (1), yang diasosiasikan sebagai variabel s .

  Elemen persekutuan antara kolom pivot dan baris pivot disebut elemen pivot ; dalam hal ini elemen pivot-nya adalah 18.

  1 Pada langkah ini, H akan masuk menjadi basis, dan s akan keluar dari basis. Iterasi ke-0: menentukan baris pivot

  Z M H s 1 s

  2 Itr. No. Basis Solusi Rasio (0) Z 1 -55 -89

  1296

  1 (1) s

  4

  18

  1 1296 = 72

  18 1824

  2 (2) s

  12

  6 1 1824 = 304

  6 Pilih baris pivot, yaitu baris yang memiliki rasio non-negatif terkecil;

  1 dalam kasus ini adalah baris (1), yang diasosiasikan sebagai variabel s .

  Elemen persekutuan antara kolom pivot dan baris pivot disebut elemen pivot ; dalam hal ini elemen pivot-nya adalah 18.

  1 Pada langkah ini, H akan masuk menjadi basis, dan s akan keluar dari basis. Update tabel

  Z M H s 1 s

  2 No. Basis Solusi Opr. Gauss-Jordan

  4

  1 lama ÷ (1) H

  1 72 (1)

  18

  18

  18 Operasi baris Gauss-Jordan

  1 Operasi pada baris pivot

  1 Pada kolom Basis, gantilah variabel keluar dengan variabel

  masuk

  2 Baris pivot baru = Baris pivot lama ÷ elemen pivot

  2 Operasi pada baris lainnya: Baris baru = (Baris lama) − (koefisien kolom pivot) × (Baris pivot baru) Update tabel

  Z M H s 1 s

  2 No. Basis Solusi Opr. Gauss-Jordan 317

  89 − lama baru

  (0) Z 1 6408 (0) + 89 · (1)

  9

  18

  4

  1 lama ÷ (1) H

  1 72 (1)

  18

  18

  18 Operasi baris Gauss-Jordan

  1 Operasi pada baris pivot

  1 Pada kolom Basis, gantilah variabel keluar dengan variabel masuk

  2 Baris pivot baru = Baris pivot lama ÷ elemen pivot

  2 Operasi pada baris lainnya:

  Baris baru = (Baris lama) − (koefisien kolom pivot) × (Baris pivot baru)

• 89 · (1)

  18 (2) s

  2 Operasi pada baris lainnya:

  2 Baris pivot baru = Baris pivot lama ÷ elemen pivot

  1 Pada kolom Basis, gantilah variabel keluar dengan variabel masuk

  1 Operasi pada baris pivot

  Operasi baris Gauss-Jordan

  6 · (1) baru

  3 1 1392 (2) lama −

  1

  3 −

  32

  2

  18 72 (1) lama ÷

  Update tabel

  1

  1

  18

  4

  baru (1) H

  18 6408 (0) lama

  89

  9

  317

  1 −

  2 Solusi Opr. Gauss-Jordan (0) Z

  No. Basis Z M H s 1 s

  Baris baru = (Baris lama) − (koefisien kolom pivot) × (Baris pivot baru) Iterasi ke-1

  Z M H s 1 s

  2 Itr. No. Basis Solusi Rasio 317

  89 −

  (0) Z 1 6408

  9

  18

  4

  1 1 (1) H

  1

  72

  18

  18

  32

  1 2 − (2) s 1 1392

  3

  3 Solusi pada iterasi ke-1: M

  = 0, H = 72, Z = 6408

  1 Pada tahapan ini, H sudah masuk menjadi basis, dan s ke luar dari basis.

  Perhatikan bahwa pada baris (0) masih terdapat koefisien dari variabel non basis yang bernilai negatif, yang berarti nilai Z masih belum optimal; oleh karena itu lakukan langkah serupa dengan yang sebelumnya. Iterasi ke-1: menentukan kolom pivot

  1

  2 Itr. No. Basis Z M H s s Solusi Rasio 317

  89 −

  (0) Z 1 6408

  9

  18

  4

  1 1 (1) H

  1

  72

  18

  18

  32

  1 −

  2 (2) s 1 1392

  3

  3 Iterasi ke-1: menghitung rasio

  Itr. No. Basis Z M H s 1 s

  2 Solusi Rasio 317

  89 −

  Z (0) 1 6408

  9

  18

  4

  1

  72 H 1 (1)

  1 72 = 324

  18

  18

  4 /18

  32 1 1392 −

  (2) s

  3

  3

  32 /3

  2 1 1392 = 130.5 Iterasi ke-1: menentukan baris pivot

  Itr. No. Basis Z M H s 1 s

  4 /18

  32

  = 130, 5 elemen pivot =

  32 /3

  1392

  3 1 1392

  1

  −

  3

  32

  2

  = 324 (2) s

  72

  2 Solusi Rasio (0) Z

  72

  18

  1

  1

  18

  4

  18 6408 1 (1) H

  89

  9

  317

  1 −

  3 Update tabel

  No. Basis Z M H s 1 s

  2 Solusi Opr. Gauss-Jordan (2) M

  1 −

  1

  32 −

  3

  32 130,5 (2) lama ÷

  32

  3 Update tabel

  Z M H s 1 s

  2 No. Basis Solusi Opr. Gauss-Jordan 123 317 317

  (0) Z 1 11004,5 (0) (2)

• lama · baru

  32

  96

  9

  1

  3

  32 − − lama ÷

  (2) M 1 130,5 (2)

  32

  32

  3 Update tabel

  Z M H s 1 s

  2 No. Basis Solusi Opr. Gauss-Jordan 123 317 317

  (0) Z 1 11004,5 (0) (2)

• lama · baru

  32

  96

  9

  1

  1

  4 − lama − · baru

  (1) H

  1 43 (1) (2)

  16

  48

  18

  1

  3

  32 − − lama ÷

  (2) M 1 130,5 (2)

  32

  32

  3 Iterasi ke-2: tabel simpleks optimal

  Z M H s 1 s

  2 Itr. No. Basis Solusi Rasio 123 317 (0) Z 1 11004,5

  32

  96

  1

  1 −

  2 (1) H

  1

  43

  16

  48

  1

  3 − −

  (2) M 1 130,5

  32

  32 Solusi pada iterasi ke-2: M = 130, 5, H = 43, Z = 11004, 5 Pada tahapan ini, seluruh koefisien pada persamaan (0) tidak ada yang negatif, menandakan bahwa solusi optimal telah tercapai. Tabel simpleks lengkap Berikut ini adalah tabel simpleks untuk seluruh iterasi yang dilakukan:

  Itr. No. Basis Z M H s 1 s

  32 317

  2

  32

  3 −

  1

  3 1 1392

  1392

  32 /3

  = 130, 5 (0) Z

  1 123

  96 11004,5 2 (1) H

  4 /18

  1

  1

  16 −

  1

  48

  43 (2) M

  1 −

  1

  32 −

  3

  = 324 (2) s

  72

  2 Solusi Rasio (0) Z 1 -55 -89 (1) s

  (0) Z

  1

  4

  18 1 1296 1296

  18 = 72

  (2) s

  2

  12

  6 1 1824 1824

  6 = 304

  1 −

  72

  317

  9

  89

  18 6408 1 (1)

  H

  4

  18

  1

  1

  18

  32 130,5

Kondisi untuk variabel masuk dan variabel keluar

  Kondisi optimalitas . Dalam masalah maksimisasi [ minimisasi ], variabel masuk adalah variabel non-basis dengan koefisien paling negatif [ positif ] pada baris (0). Optimal dicapai jika semua koefisien dari variabel non-basis adalah non-negatif [ non-positif ].

  Kondisi kelayakan . Untuk masalah maksimisasi ataupun minimisasi, variabel keluar adalah variabel basis dengan rasio non-negatif terkecil. Langkah-langkah metode simpleks

  1 Buatlah tabel simpleks awal (didapatkan solusi dasar awal).

  2 Tentukan variabel masuk berdasarkan kondisi optimalitas.

  Berhenti jika tidak ada lagi variabel masuk; pada tahapan ini, solusi optimal telah tercapai. Jika tidak, lanjutkan ke langkah

  3.

  3 Tentukan variabel keluar berdasarkan kondisi kelayakan.

  4 Tentukan solusi dasar awal dengan menerapkan teknik Gauss-Jordan . Lanjutkan ke langkah 2. Contoh (Model PL maksimal)

Redi Miks memproduksi cat interior dan eksterior dari dua bahan mentah: M1 dan M2. Tabel berikut memberikan data dasar:

  Kebutuhan bahan mentah untuk per ton dari Ketersediaan maksimum Cat eksterior (ton) Cat interior (ton) harian (ton) M1

  6

  4

  24 M2

  1

  2

  6 Keuntungan

  5

  4 per ton (juta) Survey pemasaran menunjukkan bahwa permintaan harian untuk

cat interior maksimal 1 ton lebih banyak dari yang untuk eksterior . Juga, permintaan harian maksimum untuk cat interior adalah 2 ton . Redi Miks ingin menentukan berapa ton cat interior dan eksterior harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan harian . Buatlah model PL-nya dan tentukan solusi optimalnya dengan menggunakan metode simpleks! Contoh Gutchi Company memproduksi dompet, tas tangan, dan tas punggung. Pembuatan ketiga produk itu membutuhkan bahan mentah berupa kulit asli. Proses produksi juga membutuhkan dua jenis tenaga kerja terampil untuk menjahit dan finishing. Tabel berikut memberikan ketersediaan sumber daya, penggunaannya, dan keuntungan per unit produk.

  Kebutuhan sumber daya untuk per unit: Ketersediaan Dompet Tas tangan Tas punggung harian

  2

  1

  3

  42 Menjahit (jam)

  2

  1

  2

  40 Finishing (jam) 1 0,5

  1

  45 Harga jual ($)

  24

  22

  45 Formulasikan problem ini dengan model PL dan tentukan solusi optimalnya dengan menggunakan metode simpleks.