Model Transmisi Penyakit Dengan Ketergantungan Demografi
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika ikut memberikan peran
penting dalam menggambarkan penyebaran penyakit. Peran tersebut dapat dituangkan dalam bentuk model matematika yang dapat di analisis sifat-sifatnya.
Penyakit menular dianggap sebagai penyakit yang serius dan korbannya mencapai
2,5 milyar orang diseluruh dunia, khususnya pada daerah tropis. Rata-rata kematian yang terinfeksi penyakit ini berkisar antara 40%. Meskipun hampir semua
penyakit menular ini terjadi pada daerah tropis. Penyakit tropis ini merupakan
penyakit menular dan apabila tidak segera dilakukan penyembuhan dapat mengakibatkan kematian bagi penderitanya (Notoatmodjo, 2003). Beberapa penelitian
menunjukkan bahwa penyakit menular mungkin saja terjadi di daerah dingin.
Berbagai jenis penyakit menular perkembangannya saat ini semakin banyak.
Salah satu penyebabnya adalah gaya hidup dan lingkungan yang semakin tidak
sehat. Secara umum ada dua jenis penyakit yaitu penyakit menular dan penyakit
tidak menular. Dalam kelompok penyakit menular ada yang ringan dan ada
yang berat, yang ringan misalnya influenza dan diare. Sedangkan yang berat
seperti HIV/AIDS, polio, demam berdarah, campak, TBC, malaria, flu burung,
SARS dan sederet penyakit lainnya. Menular atau tidaknya suatu penyakit tetap
harus diwaspadai dan tidak boleh dianggap remeh sebab ketika seseorang terkena
suatu penyakit aktivitas kehidupannya sudah parah dan dapat mengakibatkan
kematian.
Perilaku asymptotic solusi dari model penularan penyakit menular tidak
hanya bergantung pada perumusan epidemiologi, tetapi juga proses demografi
tergabung ke dalam sebuah model. Model epidemiologi sederhana sering menganggap bahwa nilai keseluruhan populasi konstan. Untuk epidemi (laju wabah
jangka pendek penyakit) populasi sering diasumsikan tetap dan tertutup. Untuk
pemodelan situasi endemi (ketekunan jangka panjang penyakit), kelahiran dan
kematian terjadi secara seimbang sehingga ukuran total populasi tetap konstan.
1
Universitas Sumatera Utara
2
Untuk hasil pada model dengan ukuran populasi tetap, survei pada pemodelan
epidemiologi diberikan dalam Hethcote dan Levin (1989). Sebagian besar jumlah
kematian yang disebabkan oleh infeksi penyakit mempengaruhi ukuran populasi.
Namun ukuran populasi tumbuh atau menurun secara signifikan karena lain faktor. Dalam kasus ini ukuran populasi diasumsikan konstan sehingga model harus
menggabungkan fitur demografis yang memungkinkan ukuran populasi bervariasi.
Beberapa model epidemiologi dengan berbagai ukuran populasi mengasumsikan konstan imigrasi dan kematian proporsional dengan ukuran populasi sehingga populasi mendekati ukuran keseimbangan. Model-model lain menganggap
lebih alami proses demografi di mana angka kelahiran dan kematian adalah sebanding dengan ukuran populasi. Anderson dan May (1978, 1979) mengusulkan
berbagai model untuk penyakit menular dengan berbagai ukuran populasi dan
menerapkan beberapa data tentang penyakit di laboratorium populasi tikus. Beberapa model epidemiologi dengan berbagai ukuran populasi dianalisis secara
matematis oleh Busenberg dan Driessche (1990) dan beberapa model untuk AIDS
dengan berbagai ukuran populasi dianalisis.
Kelemahan dari model dengan tingkat kelahiran dan kematian sebanding
dengan ukuran populasi adalah ukuran populasi menurun atau tumbuh secara
eksponensial kecuali dalam kasus khusus ketika kelahiran sebanding dengan kematian. Kepunahan populasi dengan kerusakan eksponensial adalah kemungkinan
demografis, juga pertumbuhan eksponensial adalah tak terbatas pada populasi
manusia dan hewan sejak sumber daya yang terbatas akhirnya membatasi pertumbuhan. Model dengan pertumbuhan terbatas karena ketergantungan kepadatan telah diteliti oleh Anderson, et al., (1981). Tulisan ini akan membahas
model epidemi dengan ketergantungan kepadatan penduduk (density-dependent
restricted ).
Struktur demografi dengan populasi pertumbuhan yang terbatas pada ketergantung kepadatan penduduk (density-dependent) diberikan dengan persamaan:
dN /dt = r(1 − N/K)N
(1.1)
dalam jumlah keseluruhan populasi sebagai fungsi dari waktu t, r adalah bernilai positif untuk tingkat pertumbuhan yang konstan dan k adalah daya dukung
terhadap lingkungan (Edelstein, 1988).
Universitas Sumatera Utara
3
Model epidemiologi yang digunakan adalah tipe SIRS jika individu rentan
terserang terhadap penyakit menular sehingga terinfeksi, kemudian dilakukan pemulihan dan memiliki kekebalan setelah sembuh dari infeksi dan kemudian rentan
lagi ketika kekebalan tubuh menurun. Maka jumlah individu yang rentan, infeksi dan yang pulih pada rantang waktu t dilambangkan dengan X(t), Y(t) dan
Z(t). Semua individu yang berada dimasing-masing kelas, merupakan bagian dari
jumlah dari populasi yang dilambangkan N(t).
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, yang merupakan perumusan masalah dalam tulisan ini adalah bagaimanakah model epidemi diformulasikan mengikuti
dinamika populasi, dimana pertumbuhan terbatas karena ketergantungan kepadatan penduduk kepada dua hal yaitu tingkat kelahiran dan tingkat kematian
dalam hal ini dianggap angka kelahiran dan kematian bersifat stabil dengan kata
lain diasumsikan bahwa kelahiran dan kematian berbanding lurus. Model epidemi
yang telah dibahas pada literatur-literatur sebelumnya belum membahas tentang
keterbatasan pertumbuhan. Keterbatasan pertumbuhan ini terjadi karena menurunnya angka kelahiran dan meningkatnya angka kematian karena perpindahan
penyakit. Berbagai ukuran populasi dijelaskan oleh modifikasi persamaan diferensial yang dipengaruhi oleh penyakit sebagai penyebab kematian. Untuk itu
dibutuhkan menganalis penyebaran penyakit dengan ketergantungan demografi.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis model epidemi dengan ketergantungan kepadatan penduduk (density-dependent restricted), sehingga dapat diketahui tingkat keberhasilan model tersebut.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang model transmisi yang berhubungan dengan penyakit menular dalam suatu demografi.
Universitas Sumatera Utara
4
1.5 Metodologi Penelitian
Metode dalam penelitian ini adalah studi literatur dan kepustakaan pada
berbagai referensi yang relevan. Untuk memperoleh model penyebaran penyakit
dengan ketergantungan disuatu demografi:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai model transmisi
penyakit antara lain SIR atau SIRS dengan ketergantungan demografi.
2. Mempelajari teori-teori yang terkait dengan persoalan penyebaran penyakit.
Pertama-tama yang dilakukan adalah mengumpulkan segala informasi yang
berkenaan dengan model transmisi penyakit. Dimulai dengan model SIR
atau SIRS yang merupakan tipe standar tanda timbulnya penyakit menular
hingga bermacam-macam ukuran populasi digambarkan dengan persamaan
diferensial logistik yang termasuk sebagai hubungan penyebaran penyakit
mematikan.
3. Pemahaman model transmisi penyakit dengan ketergantungan demografi.
Pada tahap ini akan dipelajari dan dipahami model transmisi penyakit dengan ketergantungan demografi.
4. Menganalisis model transmisi penyakit pada suatu demografi.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan di bidang matematika ikut memberikan peran
penting dalam menggambarkan penyebaran penyakit. Peran tersebut dapat dituangkan dalam bentuk model matematika yang dapat di analisis sifat-sifatnya.
Penyakit menular dianggap sebagai penyakit yang serius dan korbannya mencapai
2,5 milyar orang diseluruh dunia, khususnya pada daerah tropis. Rata-rata kematian yang terinfeksi penyakit ini berkisar antara 40%. Meskipun hampir semua
penyakit menular ini terjadi pada daerah tropis. Penyakit tropis ini merupakan
penyakit menular dan apabila tidak segera dilakukan penyembuhan dapat mengakibatkan kematian bagi penderitanya (Notoatmodjo, 2003). Beberapa penelitian
menunjukkan bahwa penyakit menular mungkin saja terjadi di daerah dingin.
Berbagai jenis penyakit menular perkembangannya saat ini semakin banyak.
Salah satu penyebabnya adalah gaya hidup dan lingkungan yang semakin tidak
sehat. Secara umum ada dua jenis penyakit yaitu penyakit menular dan penyakit
tidak menular. Dalam kelompok penyakit menular ada yang ringan dan ada
yang berat, yang ringan misalnya influenza dan diare. Sedangkan yang berat
seperti HIV/AIDS, polio, demam berdarah, campak, TBC, malaria, flu burung,
SARS dan sederet penyakit lainnya. Menular atau tidaknya suatu penyakit tetap
harus diwaspadai dan tidak boleh dianggap remeh sebab ketika seseorang terkena
suatu penyakit aktivitas kehidupannya sudah parah dan dapat mengakibatkan
kematian.
Perilaku asymptotic solusi dari model penularan penyakit menular tidak
hanya bergantung pada perumusan epidemiologi, tetapi juga proses demografi
tergabung ke dalam sebuah model. Model epidemiologi sederhana sering menganggap bahwa nilai keseluruhan populasi konstan. Untuk epidemi (laju wabah
jangka pendek penyakit) populasi sering diasumsikan tetap dan tertutup. Untuk
pemodelan situasi endemi (ketekunan jangka panjang penyakit), kelahiran dan
kematian terjadi secara seimbang sehingga ukuran total populasi tetap konstan.
1
Universitas Sumatera Utara
2
Untuk hasil pada model dengan ukuran populasi tetap, survei pada pemodelan
epidemiologi diberikan dalam Hethcote dan Levin (1989). Sebagian besar jumlah
kematian yang disebabkan oleh infeksi penyakit mempengaruhi ukuran populasi.
Namun ukuran populasi tumbuh atau menurun secara signifikan karena lain faktor. Dalam kasus ini ukuran populasi diasumsikan konstan sehingga model harus
menggabungkan fitur demografis yang memungkinkan ukuran populasi bervariasi.
Beberapa model epidemiologi dengan berbagai ukuran populasi mengasumsikan konstan imigrasi dan kematian proporsional dengan ukuran populasi sehingga populasi mendekati ukuran keseimbangan. Model-model lain menganggap
lebih alami proses demografi di mana angka kelahiran dan kematian adalah sebanding dengan ukuran populasi. Anderson dan May (1978, 1979) mengusulkan
berbagai model untuk penyakit menular dengan berbagai ukuran populasi dan
menerapkan beberapa data tentang penyakit di laboratorium populasi tikus. Beberapa model epidemiologi dengan berbagai ukuran populasi dianalisis secara
matematis oleh Busenberg dan Driessche (1990) dan beberapa model untuk AIDS
dengan berbagai ukuran populasi dianalisis.
Kelemahan dari model dengan tingkat kelahiran dan kematian sebanding
dengan ukuran populasi adalah ukuran populasi menurun atau tumbuh secara
eksponensial kecuali dalam kasus khusus ketika kelahiran sebanding dengan kematian. Kepunahan populasi dengan kerusakan eksponensial adalah kemungkinan
demografis, juga pertumbuhan eksponensial adalah tak terbatas pada populasi
manusia dan hewan sejak sumber daya yang terbatas akhirnya membatasi pertumbuhan. Model dengan pertumbuhan terbatas karena ketergantungan kepadatan telah diteliti oleh Anderson, et al., (1981). Tulisan ini akan membahas
model epidemi dengan ketergantungan kepadatan penduduk (density-dependent
restricted ).
Struktur demografi dengan populasi pertumbuhan yang terbatas pada ketergantung kepadatan penduduk (density-dependent) diberikan dengan persamaan:
dN /dt = r(1 − N/K)N
(1.1)
dalam jumlah keseluruhan populasi sebagai fungsi dari waktu t, r adalah bernilai positif untuk tingkat pertumbuhan yang konstan dan k adalah daya dukung
terhadap lingkungan (Edelstein, 1988).
Universitas Sumatera Utara
3
Model epidemiologi yang digunakan adalah tipe SIRS jika individu rentan
terserang terhadap penyakit menular sehingga terinfeksi, kemudian dilakukan pemulihan dan memiliki kekebalan setelah sembuh dari infeksi dan kemudian rentan
lagi ketika kekebalan tubuh menurun. Maka jumlah individu yang rentan, infeksi dan yang pulih pada rantang waktu t dilambangkan dengan X(t), Y(t) dan
Z(t). Semua individu yang berada dimasing-masing kelas, merupakan bagian dari
jumlah dari populasi yang dilambangkan N(t).
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, yang merupakan perumusan masalah dalam tulisan ini adalah bagaimanakah model epidemi diformulasikan mengikuti
dinamika populasi, dimana pertumbuhan terbatas karena ketergantungan kepadatan penduduk kepada dua hal yaitu tingkat kelahiran dan tingkat kematian
dalam hal ini dianggap angka kelahiran dan kematian bersifat stabil dengan kata
lain diasumsikan bahwa kelahiran dan kematian berbanding lurus. Model epidemi
yang telah dibahas pada literatur-literatur sebelumnya belum membahas tentang
keterbatasan pertumbuhan. Keterbatasan pertumbuhan ini terjadi karena menurunnya angka kelahiran dan meningkatnya angka kematian karena perpindahan
penyakit. Berbagai ukuran populasi dijelaskan oleh modifikasi persamaan diferensial yang dipengaruhi oleh penyakit sebagai penyebab kematian. Untuk itu
dibutuhkan menganalis penyebaran penyakit dengan ketergantungan demografi.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis model epidemi dengan ketergantungan kepadatan penduduk (density-dependent restricted), sehingga dapat diketahui tingkat keberhasilan model tersebut.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang model transmisi yang berhubungan dengan penyakit menular dalam suatu demografi.
Universitas Sumatera Utara
4
1.5 Metodologi Penelitian
Metode dalam penelitian ini adalah studi literatur dan kepustakaan pada
berbagai referensi yang relevan. Untuk memperoleh model penyebaran penyakit
dengan ketergantungan disuatu demografi:
1. Mengumpulkan informasi dari literatur-literatur mengenai model transmisi
penyakit antara lain SIR atau SIRS dengan ketergantungan demografi.
2. Mempelajari teori-teori yang terkait dengan persoalan penyebaran penyakit.
Pertama-tama yang dilakukan adalah mengumpulkan segala informasi yang
berkenaan dengan model transmisi penyakit. Dimulai dengan model SIR
atau SIRS yang merupakan tipe standar tanda timbulnya penyakit menular
hingga bermacam-macam ukuran populasi digambarkan dengan persamaan
diferensial logistik yang termasuk sebagai hubungan penyebaran penyakit
mematikan.
3. Pemahaman model transmisi penyakit dengan ketergantungan demografi.
Pada tahap ini akan dipelajari dan dipahami model transmisi penyakit dengan ketergantungan demografi.
4. Menganalisis model transmisi penyakit pada suatu demografi.
Universitas Sumatera Utara