Soal Dan Pembahasan Identitas Trigonomet (1)
Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri
(1-5)
Posted on June 2, 2013 by @Rudolph_BL in Kalkulus, Trigonometri XI IPA.
1. Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah...
Penyelesaian:
Soal dengan bentuk seperti ini dapat dikerjakan dengan rumus Kuadran I. Dimana:
sin α = cos (90-α) atau cos α = sin (90-α).
Penyelesaiannya juga bisa menggunakan identitas trigonometri. Dimana:
sin²α + cos²α = 1
Jadi,
cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°
= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°
= cos²(90-75)° + cos²75° + cos²(90-55)° + cos²55°
= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°
= 1 + 1 = 2 -------> (identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)
2. Jika sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tanx adalah...
Penyelesaian:
Penyetaraan antara sisi kiri dan sisi kanan. Menggunakan aturan Kuadran I (seperti pada
soal nomor 1).
sin(x + α) = cos (x + α)
sin(x + α) = sin (90 - (x + α))
Setelah sisi kiri dan kanan sama, nah bisa ditentukan nilai x nya.
Setelah nilai x di dapat, baru deh dihitung nilai tanx nya
Jadi,
sin(x-600)° = cos(x-450)°
sin(x-600)° = sin(90 - (x-450))°
sin(x-600)° = sin(540 - x)°
x - 600° = 540° - x
2x = 540° + 600°
x = 1140°/2 = 570°
tan x = tan 570°
= tan (360 + 210)° = tan 210°
= tan (180 + 30)° -----> Kuadran III
= tan 30° = 1/3 √3
(bernilai + karena tangen pada kuadran III bernilai positif).
3. Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah...
Penyelesaian:
Identitas Trigonometri yang berpengaruh pada soal ini yakni:
sin²α + cos²α = 1 dan aturan sudut rangkap.
Jadi,
sinx + cosx = -1/5
(sinx + cosx)² = (-1/5)² -----> (Kuadratkan kedua ruas.)
sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25
sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25
1 + 2sinxcosx = 1/25 -----> (Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)
2sinxcosx = 1/25 - 1
2sinxcosx = 1/25 - 25/25
2sinxcosx = -24/25
sin2x = -24/25
(aturan sudut rangkap sin2x = 2sinxcosx).
4. Diketahui sinα.cosα = 8/25. Maka nilai dari 1/sinα - 1/cosα adalah...
Penyelesaian:
Karena berbentuk pecahan maka samakan dulu penyebutnya.
Identitas trigonometri yg berlaku pada soal ini adalah sin²α + cos²α = 1
Perhatikan pembahasannya pada gambar di bawah ini.
Jadi, nilai dari 1/sinα - 1/cosα adalah 1 7/8.
5. Nilai tanx dari persamaan cos2x - 3sinx - 1 = 0 adalah...
Penyelesaian:
Karena berbentuk persamaan maka unsur trigonometrinya mesti disamakan/disetarakan.
Menggunakan aturan sudut rangkap cos2α. Dimana:
cos2α = cos²α -sin²α atau
cos2α = 2cos²α - 1 atau
cos2α = 1 - 2sin²α
Setelah nilai x di dapat, kemudian dilanjutkan penentuan tanx nya.
Jadi,
cos2x - 3sinx - 1 = 0
cos2x - 3sinx = 1
(1 - 2sin²x) - 3sinx = 1
(mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena
bervariabel sama yakni sinx).
(1 - 2sin²x) - 3sinx = 1
-2sin²x - 3sinx = 1 - 1
-2sin²x - 3sinx = 0
sinx(-2sinx - 3) = 0
sinx = 0 atau -2sinx - 3 = 0
sin x = 0 atau sinx = -3/2
x = 0°
(sinx = -3/2 tidak memenuhi)
maka nilai tan x = tan 0° = 0
Soal dan Pembahasan Persamaan
Trigonometri (1-4)
Posted on July 2, 2013 by @Rudolph_BL in Kalkulus, Trigonometri XI IPA.
1.
Penyelesaian:
2.
Penyelesaian:
a.
b. Mencari nilai maksimum/minimum sebuah
fungsi f(x), dapat dilakukan dengan menurunkan fungsi kemudian mencari nilai x untuk f'(x) = 0
[stationer] lalu mensubtitusikan nilai x tersebut ke fungsi awal f(x).
3.
Penyelesaian:
4.
Penyelesaian:
Soal Nomor 1
Turunkan fungsi berikut:
y = 5 sin x
Pembahasan
y = 5 sin x
y' = 5 cos x
Soal Nomor 2
Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x
Tentukan nilai dari f ' ( π/2).
Pembahasan
Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:
f(x) = 3 cos x
f '(x) = 3 (−sin x)
f '(x) = −3 sin x
Untuk x = π/2 diperoleh nilai f '(x)
f '(π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (1) = −3
Soal Nomor 3
Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x
Pembahasan
y = −4 sin x
y' = −4 cos x
Soal Nomor 4
Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y'
Pembahasan
y = −2 cos x
y' = −2 (−sin x)
y' = 2 sin x
Soal Nomor 5
Tentukan y' dari y = 4 sin x + 5 cos x
Pembahasan
y = 4 sin x + 5 cos x
y' = 4 (cos x) + 5 (−sin x)
y ' = 4 cos x − 5 sin x
Soal Nomor 6
Tentukan turunan dari
y = 5 cos x − 3 sin x
Pembahasan
y = 5 cos x − 3 sin x
y' = 5 (−sin x) − 3 (cos x)
y' = −5 sin x − cos x
Soal Nomor 7
Tentukan turunan dari:
y = sin (2x + 5)
Pembahasan
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = sin (2x + 5)
y ' = cos (2x + 5) ⋅ 2
↑
Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5
y' = 2 cos (2x + 5)
Soal Nomor 8
Tentukan turunan dari y = cos (3x −1)
Pembahasan
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = cos (3x − 1)
y ' = − sin (3x −1) ⋅ 3
↑
Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1
Hasil akhirnya adalah
y' = − 3 sin (3x − 1)
Soal Nomor 9
Tentukan turunan dari:
y = sin2 (2x −1)
Pembahasan
Turunan berantai:
y = sin2 (2x −1)
y' = 2 sin 2−1 (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y' = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y' = 4 sin (2x −1) cos (2x −1)
Soal Nomor 10
Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x)
Turunan pertama fungsi f adalah f ' maka f '(x) =....
A. 6 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)
B. 3 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)
C. –2 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)
D. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x)
E. – 3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
(Soal Ebtanas 2000)
Pembahasan
f(x) = sin3 (3 – 2x)
Turunkan sin3 nya,
Turunkan sin (3 – 2x) nya,
Turunkan (3 – 2x) nya,
Hasilnya dikalikan semua seperti ini:
f(x) = sin3 (3 – 2x)
f ' (x) = 3 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2
f ' (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai
bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ
f ' (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
|_____________________|
↓
sin 2 (3 − 2x)
f ' (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
f ' (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x)
atau:
f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x)
Soal Nomor 11
Diketahui fungsi f(x) = sin2 (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …
A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
C. sin (2x + 3) cos (2x + 3)
D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
(Ebtanas 1998)
Pembahasan
Turunan berantai
f(x) = sin2 (2x + 3)
Turunkan sin2 nya,
Turunkan sin (2x + 3) nya,
Turunkan (2x + 3) nya.
f '(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2
f '(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)
(1-5)
Posted on June 2, 2013 by @Rudolph_BL in Kalkulus, Trigonometri XI IPA.
1. Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah...
Penyelesaian:
Soal dengan bentuk seperti ini dapat dikerjakan dengan rumus Kuadran I. Dimana:
sin α = cos (90-α) atau cos α = sin (90-α).
Penyelesaiannya juga bisa menggunakan identitas trigonometri. Dimana:
sin²α + cos²α = 1
Jadi,
cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°
= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°
= cos²(90-75)° + cos²75° + cos²(90-55)° + cos²55°
= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°
= 1 + 1 = 2 -------> (identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)
2. Jika sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tanx adalah...
Penyelesaian:
Penyetaraan antara sisi kiri dan sisi kanan. Menggunakan aturan Kuadran I (seperti pada
soal nomor 1).
sin(x + α) = cos (x + α)
sin(x + α) = sin (90 - (x + α))
Setelah sisi kiri dan kanan sama, nah bisa ditentukan nilai x nya.
Setelah nilai x di dapat, baru deh dihitung nilai tanx nya
Jadi,
sin(x-600)° = cos(x-450)°
sin(x-600)° = sin(90 - (x-450))°
sin(x-600)° = sin(540 - x)°
x - 600° = 540° - x
2x = 540° + 600°
x = 1140°/2 = 570°
tan x = tan 570°
= tan (360 + 210)° = tan 210°
= tan (180 + 30)° -----> Kuadran III
= tan 30° = 1/3 √3
(bernilai + karena tangen pada kuadran III bernilai positif).
3. Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah...
Penyelesaian:
Identitas Trigonometri yang berpengaruh pada soal ini yakni:
sin²α + cos²α = 1 dan aturan sudut rangkap.
Jadi,
sinx + cosx = -1/5
(sinx + cosx)² = (-1/5)² -----> (Kuadratkan kedua ruas.)
sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25
sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25
1 + 2sinxcosx = 1/25 -----> (Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)
2sinxcosx = 1/25 - 1
2sinxcosx = 1/25 - 25/25
2sinxcosx = -24/25
sin2x = -24/25
(aturan sudut rangkap sin2x = 2sinxcosx).
4. Diketahui sinα.cosα = 8/25. Maka nilai dari 1/sinα - 1/cosα adalah...
Penyelesaian:
Karena berbentuk pecahan maka samakan dulu penyebutnya.
Identitas trigonometri yg berlaku pada soal ini adalah sin²α + cos²α = 1
Perhatikan pembahasannya pada gambar di bawah ini.
Jadi, nilai dari 1/sinα - 1/cosα adalah 1 7/8.
5. Nilai tanx dari persamaan cos2x - 3sinx - 1 = 0 adalah...
Penyelesaian:
Karena berbentuk persamaan maka unsur trigonometrinya mesti disamakan/disetarakan.
Menggunakan aturan sudut rangkap cos2α. Dimana:
cos2α = cos²α -sin²α atau
cos2α = 2cos²α - 1 atau
cos2α = 1 - 2sin²α
Setelah nilai x di dapat, kemudian dilanjutkan penentuan tanx nya.
Jadi,
cos2x - 3sinx - 1 = 0
cos2x - 3sinx = 1
(1 - 2sin²x) - 3sinx = 1
(mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena
bervariabel sama yakni sinx).
(1 - 2sin²x) - 3sinx = 1
-2sin²x - 3sinx = 1 - 1
-2sin²x - 3sinx = 0
sinx(-2sinx - 3) = 0
sinx = 0 atau -2sinx - 3 = 0
sin x = 0 atau sinx = -3/2
x = 0°
(sinx = -3/2 tidak memenuhi)
maka nilai tan x = tan 0° = 0
Soal dan Pembahasan Persamaan
Trigonometri (1-4)
Posted on July 2, 2013 by @Rudolph_BL in Kalkulus, Trigonometri XI IPA.
1.
Penyelesaian:
2.
Penyelesaian:
a.
b. Mencari nilai maksimum/minimum sebuah
fungsi f(x), dapat dilakukan dengan menurunkan fungsi kemudian mencari nilai x untuk f'(x) = 0
[stationer] lalu mensubtitusikan nilai x tersebut ke fungsi awal f(x).
3.
Penyelesaian:
4.
Penyelesaian:
Soal Nomor 1
Turunkan fungsi berikut:
y = 5 sin x
Pembahasan
y = 5 sin x
y' = 5 cos x
Soal Nomor 2
Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x
Tentukan nilai dari f ' ( π/2).
Pembahasan
Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:
f(x) = 3 cos x
f '(x) = 3 (−sin x)
f '(x) = −3 sin x
Untuk x = π/2 diperoleh nilai f '(x)
f '(π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (1) = −3
Soal Nomor 3
Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x
Pembahasan
y = −4 sin x
y' = −4 cos x
Soal Nomor 4
Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y'
Pembahasan
y = −2 cos x
y' = −2 (−sin x)
y' = 2 sin x
Soal Nomor 5
Tentukan y' dari y = 4 sin x + 5 cos x
Pembahasan
y = 4 sin x + 5 cos x
y' = 4 (cos x) + 5 (−sin x)
y ' = 4 cos x − 5 sin x
Soal Nomor 6
Tentukan turunan dari
y = 5 cos x − 3 sin x
Pembahasan
y = 5 cos x − 3 sin x
y' = 5 (−sin x) − 3 (cos x)
y' = −5 sin x − cos x
Soal Nomor 7
Tentukan turunan dari:
y = sin (2x + 5)
Pembahasan
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = sin (2x + 5)
y ' = cos (2x + 5) ⋅ 2
↑
Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5
y' = 2 cos (2x + 5)
Soal Nomor 8
Tentukan turunan dari y = cos (3x −1)
Pembahasan
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = cos (3x − 1)
y ' = − sin (3x −1) ⋅ 3
↑
Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1
Hasil akhirnya adalah
y' = − 3 sin (3x − 1)
Soal Nomor 9
Tentukan turunan dari:
y = sin2 (2x −1)
Pembahasan
Turunan berantai:
y = sin2 (2x −1)
y' = 2 sin 2−1 (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y' = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y' = 4 sin (2x −1) cos (2x −1)
Soal Nomor 10
Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x)
Turunan pertama fungsi f adalah f ' maka f '(x) =....
A. 6 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)
B. 3 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)
C. –2 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)
D. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x)
E. – 3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
(Soal Ebtanas 2000)
Pembahasan
f(x) = sin3 (3 – 2x)
Turunkan sin3 nya,
Turunkan sin (3 – 2x) nya,
Turunkan (3 – 2x) nya,
Hasilnya dikalikan semua seperti ini:
f(x) = sin3 (3 – 2x)
f ' (x) = 3 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2
f ' (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai
bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ
f ' (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
|_____________________|
↓
sin 2 (3 − 2x)
f ' (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
f ' (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x)
atau:
f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x)
Soal Nomor 11
Diketahui fungsi f(x) = sin2 (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …
A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
C. sin (2x + 3) cos (2x + 3)
D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
(Ebtanas 1998)
Pembahasan
Turunan berantai
f(x) = sin2 (2x + 3)
Turunkan sin2 nya,
Turunkan sin (2x + 3) nya,
Turunkan (2x + 3) nya.
f '(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2
f '(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)