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1 6= x 2 A.
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V (an , 1) 6= V
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á ­ ¨¬¥­ì訬 ç¨á«®¬ s ®¡à §ãîé¨å v1 , v2 , : : : ; vs . ®áª®«ìªã V (a , 1) = V ,
ª®â®à®© ¤ ­­ ï £à㯯  ¨«¨ ª®«ìæ® ¤¥©áâ¢ã¥â. „«ï £àã¯¯ë € €-¬®¤ã«ì

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P,1 v S. â® ®§­ ç ¥â,
á⥯¥­¨ t. ’®£¤  0 6= 0 6=  ¨ v  a , v 0 a,1 2
â® áãé¥áâ¢ã¥â ­¥­ã«¥¢®© ¯®«¨­®¬
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P,1
v (0 + 1 + : : : +  ,1 a ,1 ) 2 v R1hai ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ­¥­ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®=1
à  (0 + 1 + : : : +  ,1 ) 2 R1 , ⮠㬭®¦¨¢ ­  ¯®¤å®¤ï饥 ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«®, ¬ë ­ ©¤¥¬ ­¥âਢ¨ «ì­ë© ¯®«¨­®¬ g 2 Z[x] á⥯¥­¨ ­¥ ¡®«ìè¥ s , 1,

P,1 v S. â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã f . ® ¢ë¡®àã V ,
¤«ï ª®â®à®£® v g (a) 2
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ªàã祭¨ï ­ ¤ R1 á ®¤­¨¬ ¯®à®¦¤ î騬 v = v + V2 ¨ V3 (a , 1) = V3 ¤«ï ¢á¥å
n 2 N . ’¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ à áᬠâਢ âì R1 ª ª R, V3 ª ª V ¨ áç¨â âì, çâ®
V | ª®­¥ç­®¬¥à­ë© ®¤­®¯®à®¦¤¥­­ë© S -¬®¤ã«ì.
‚ í⮬ á«ãç ¥ V ª ª S -¬®¤ã«ì ¨§®¬®à䥭 ª®«ìæã S0 = S= ker V . ãáâì
p | ¯à®á⮥ ç¨á«®, ­¥ ¤¥«ï饥 m. …᫨ pV = V , â® pvg(a) = v ¤«ï ­¥ª®â®à®£®
¯®«¨­®¬  g ­ ¤ R á⥯¥­¨ ­¥ ¡®«ìè¥ s , 1, ¨ v (pg , 1) = 0 ¢®¯à¥ª¨ ¢ë¡®àã f .
®í⮬ã pS0 | ᮡá⢥­­ë© ¨¤¥ « ¢ S0 ¨ ç¨á«® jS0 =pS0 j = jV : pV j ª®­¥ç­®.
ãáâì M | ¬ ªá¨¬ «ì­ë© ¨¤¥ « ¨§ S0 ᮤ¥à¦ é¨© pS0 . ’®£¤  a 62 M , S0 =M |
ª®­¥ç­®¥ ¯®«¥ ¨ ¯®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â n 2 N , ¤«ï ª®â®à®£® a + M = 1 + M .
„à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, a , 1 2 M , S0 (a , 1)  M 6= S0 ¨ V (a , 1) 6= V . â®

¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â «¥¬¬ã ¤«ï R = Z[1=m]. ’¥ ¦¥ à áá㦤¥­¨ï (á ­¥i=1

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£¤¥ p | ¯à®á⮩ ¤¥«¨â¥«ì ç¨á«  m, â® V0 = fx 2 V j nx = 0g | ᮡá⢥­­ë©
A-¬®¤ã«ì. ãáâì V1 = V=V0 . ’®£¤  V1 | ­¥­ã«¥¢®© ®¤­®¯®à®¦¤¥­­ë© ä஡¥­¨ãᮢ A-¬®¤ã«ì ­ ¤ ¯®«¥¬ ¯®à浪  p. …᫨ ¯®à冷ª £à㯯ë V1 ª®­¥ç¥­, â® ¨
¯®à冷ª V ª®­¥ç¥­. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì «¥¬¬ã
¤«ï A-¬®¤ã«ï ­ ¤ ¯®«¥¬ F ¯®à浪  p.
…᫨ T 6= V , â® V1 = V=T | ä஡¥­¨ãᮢ A-¬®¤ã«ì ¡¥§ ªàã祭¨ï ¨ ¬ë

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2{21

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V = hfui ; vi ji 2 Zgi
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ui x = vi ; vi x = ,ui , vi ; ui y = ,ui , vi,1 ; vi y = ui+1
i

¤«ï ¢á¥å 楫ëå ç¨á¥« . ˆ§ (1) ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® 楫®£®

Z.

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(1)

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ui a = ui+1 ; vi a , 1 = vi,1 ; ui a,1 = ,ui,1 ;
vi a,1 = ,ui + ui+1 + vi+1 :

(2)

u0 ; v0 | ¯®à®¦¤ î騥 ¤«ï Rhai-¬®¤ã«ï V . ® «¥¬V (an , 1) =
6 V . ® ãá«®¢¨î an = 1. ®
[1] £à㯯  € ª®­¥ç­  ¨ V | ª®­¥ç­® ¯®à®¦¤¥­­ ï £à㯯 . …᫨ R = F , â® V
ª®­¥ç­ . à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® R = Z. ’®£¤  V = V (x , 1)2 = V (,3x) = 3V , çâ®
­¥¢®§¬®¦­®. ‹¥¬¬  ¤®ª § ­ . B
‹¥¬¬  3.
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| ª®­¥ç­ ï £à㯯  ¯®à®¦¤¥­­ ï ¤¢ã¬ï í«¥¬¥­â ¬¨

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ï¥âáï ®¤­®¯®à®¦¤¥­­ë¬ ä஡¥­¨ãᮢë¬

¯®à®¦¤ î騬¨, ª®â®à ï

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(2)

£à㯯 

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2 (3),

ç¨á«  4, 4 ¨«¨ 8 ᮮ⢥âá⢥­­®;

(3)

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s  4'(n)

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¨§®¬®àä­  £à㯯¥

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2 (5)

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­¥ ¯à¥¢®á室¨â

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C „®ª § â¥«ìá⢮ í⮩ «¥¬¬ë, ¯® áãé¥áâ¢ã, ᮤ¥à¦¨âáï ¢ [1]. B

¯®à浪 

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C ãáâì G = hx; zi = AP , £¤¥ x3 = z3 = 1, F | ï¤à® ¨  | ¤®¯®«­¥­¨¥
¢ G. Œ®¦­® áç¨â âì, çâ® x 2 H . ãáâì z = fy , £¤¥ f 2 F , y 2 H . ’®£¤ 
G = hf; x; yi, H = hx; yi, F = hf H i. ãáâì M | ¬ ªá¨¬ «ì­ ï  ¡¥«¥¢  ¯®¤£à㯯  ¢ F , ᮤ¥à¦ é ï f . …᫨ ¤«ï ¢á¥å h 2 H ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ M h = Œ,
â® F = M |  ¡¥«¥¢  £à㯯 . à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® M h =
6 M ¤«ï ­¥ª®â®à®£® í«¥x
y
¬¥­â  h 2 H . ’®£¤  «¨¡® M =
6 M , «¨¡® M =
6 M . ˆ§-§  ᨬ¬¥âਨ ¬®¦­®
áç¨â âì, çâ® M x =
6 M . ® 2¢ë¡®àã
M;
[M x ; M ] =
6 1. ãáâì  ; b2 2 M . ’®£¤ 
2 x x
2 x2 x
2
x
2
x
x
x
x
x
x
1 = (a b) (a b) (a b) = ab   b a b = ab (a a )(bx b) = abx  ,1 (b,1 )x =
2
[a,1 ; (b,1 )x ] ¨ ¯®í⮬ã [a; bx ] = 1. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, [M; M x ] = 1. â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® F = M |  ¡¥«¥¢  £à㯯 . ’¥¯¥àì § ª«î祭¨¥ ⥮६ë
¢ë⥪ ¥â ¨§ «¥¬¬ 1, 2, 3. B

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¯®à浪  3.

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…᫨ ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â 

£à㯯®© ”஡¥­¨ãá , â®
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H

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g 2 G

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¤¢ãáâ㯥­­® ­¨«ì¯®â¥­â­ .

® ⥮६¥ 1 ¢ë¯®«­¥­ë ãá«®¢¨ï (⥮६ë 5 ¨§ [2])
«ïà­ëå  ¢â®¬®à䨧¬®¢.
p-£à㯯 .

ãáâì

â® ®§­ ç ¥â, çâ®

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p1

C

f2;

3g-£à㯯ë ॣã-

| ¡¥áª®­¥ç­ ï, «®ª «ì­® 横«¨ç¥áª ï

p
p
i 1 = 1; ai+1 = ai ;

i 2

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¥áª®­¥ç­®© ®¡®¡é¥­­®© £à㯯®© ª¢ â¥à­¨®­®¢ ­ §®¢¥¬ £à㯯ã
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1 = hC21 ; tj t2 = a1 ; at = a,1 i:
i
i
Qi = hai ; ti ¨§®¬®àä­  ®¡®¡é¥­­®©
S
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¨ Q = i2N Qi . ‡ ¬¥â¨¬, çâ® N = hai j i 2
1

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£à㯯¥ ª¢ â¥à­¨®­®¢ ¯®à浪  2i+1

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¥¤¨­á⢥­­ ï ᮡá⢥­­ ï, ¡¥áª®­¥ç­ ï ¯®¤£à㯯  ¨§

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¨ «î¡®© í«¥¬¥­â

¨§ Q1 , ¯®à冷ª ª®â®à®£® ¡®«ìè¥ ç¥âëà¥å, «¥¦¨â ¢ N .
ƒà㯯  Q1 ¯®à®¦¤ ¥âáï í«¥¬¥­â ¬¨ ¯®à浪  4.
‹î¡ ï ᮡá⢥­­ ï ¯®¤£à㯯  ¨§ Q1 ®â«¨ç­  ®â ᢮¥£® ­®à¬ «¨§ â®à  ¨

«¨¡® ª®­¥ç­  ¨ ï¥âáï 横«¨ç¥áª®© ¨«¨ ®¡®¡é¥­­®© ª¢ â¥à­¨®­­®© £à㯯®©,
«¨¡® ᮢ¯ ¤ ¥â á

N.

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| £à㯯 , ¢ ª®â®à®© «î¡ë¥ ¤¢  í«¥¬¥­â 

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᢮©á⢮¬ xy = x,1 ¯®à®¦¤ îâ 2-¯®¤£à㯯ã á ¥¤¨­á⢥­­®© ¨­¢®«î樥©.

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¡ ï 2-£à㯯  á ¥¤¨­á⢥­­®© ¨­¢®«î樥© «¨¡® ï¥âáï «®ª «ì­® 横«¨ç¥áª®©,
«¨¡® ®¡®¡é¥­­®© £à㯯®© ª¢ â¥à­¨®­®¢ (¢®§¬®¦­®, ¡¥áª®­¥ç­®©).
…᫨ ¢
­®¬ á«ãç ¥

G

­¥â ­¥âਢ¨ «ì­ëå 2-í«¥¬¥­â®¢, â® ¤®ª §ë¢ âì ­¥ç¥£®. ‚ ¯à®â¨¢-

G

®¡« ¤ ¥â ¥¤¨­á⢥­­®© ¨­¢®«î樥©

¯®à浪  4, â® á­®¢  ¤®ª §ë¢ âì ­¥ç¥£®. ãáâì ¢

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¯®âॡã¥âáï á«¥¤ãîé ï «¥¬¬ .
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| í«¥¬¥­â ¯®à浪  4 ¨§

á®áâ ¢«ïîâ «®ª «ì­® 横«¨ç¥áªãî ¯®¤£à㯯ã
áâ ¢«ïîâ ­®à¬ «ì­ãî 2-¯®¤£à㯯ã, ¢ ª®â®à®©

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ᮤ¥à¦ âáï ¢

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t ¨§ C , çâ® tC0 | ¨­¢®«îæ¨ï ¢ C=C0 .
c 0 6= tC0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® í«¥¬¥­â  c 2 C , â® ht; tc ; yi | ª®­¥ç­ ï ­¥

­ ©¤¥âáï â ª®© 2-í«¥¬¥­â
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¯®à浪  4. ®áª®«ìªã ¢ ª®­¥ç­®© ®¡®¡é¥­­®© £à㯯¥ ª¢ â¥à­¨®­®¢ ¯®à冷ª

2{23

Ž £à㯯 å ”஡¥­¨ãá , ᮤ¥à¦ é¨å í«¥¬¥­â ¯®à浪  3

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業âà  à ¢¥­ ¤¢ã¬, íâ  á¨âã æ¨ï ­¥¢®§¬®¦­  ¨
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h i 6= , â® ­ ©¤¥âáï
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0 , â® ¯®áª®«ìªã h 0 i | ­¥ ¡¥«¥¢  £à㯯 ,

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ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ 2-í«¥¬¥­âë ¨§ C . …᫨ N = NG ( y
í«¥¬¥­â x ¨§ N C , çâ® y x = y ,1 , ¯®í⮬ã x | 2-í«¥¬¥­â.
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(c,1 cx )x = (c,1 cx ),1 , c,1 cx 62 C0 ¨ ¯®í⮬㠭¥ ï¥âáï 2-í«¥¬¥­â®¬. â®

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áãé¥áâ¢ã¥â «®ª «ì­® 横«¨ç¥á-

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2. …᫨ N0 = C0 , â® N0 | ®¡®¡é¥­­ ï £à㯯 
ª¢ â¥à­¨®­®¢ (¢®§¬®¦­®, ¡¥áª®­¥ç­ ï). …᫨ ¢á¥ í«¥¬¥­âë ¯®à浪  4 ¨§ G á®-

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G,

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2
¯®à冷ª ª®â®à®£® ¡®«ìè¥ ç¥âëà¥å. ãáâì z = (yt)
| í«¥¬¥­â ¯®à浪  8.
2
’®£¤  x; r ­®à¬ «¨§ã¥â H = y; r
¨ xH; rH | ¨­¢®«îæ¨ï ¢ x; r =H . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ x; r | ª®­¥ç­ ï 2-¯®¤£à㯯  ¨§ G ᮤ¥à¦ é ï ¤¢¥ à §«¨ç­ë¥
横«¨ç¥áª¨¥ ¯®¤£àã¯¯ë ¯®à浪  8. â® ­¥¢®§¬®¦­®.

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’¥®à¥¬  2.

i

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B

ãáâì G | ­¥âਢ¨ «ì­ ï

¬®à䨧¬®¢  ¡¥«¥¢®© £à㯯ë.

f2 3g
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-£à㯯  ॣã«ïà­ëå  ¢â®-

…᫨ G ª®­¥ç­ , â® ¢¥à­® ®¤­® ¨§ á«¥¤ãîé¨å

ã⢥ত¥­¨©:

(1)

G | 横«¨ç¥áª ï £à㯯 ;

(2)

G

h j
2
= h
j

=

ç¨á¥« t ¨ s, s

(3)

G

3t =

x; y x
;

x; y x

y

2s = 1;

2s 3t =

y

­ âãà «ì­ëå ç¨á¥« t ¨ s, s

(4)

G

=

h

j

4 =

x; y; z x

4 = 1;
2;

t

z

3

y

= 1;

,1 xy
y

2 =

2 =

x

=

,1 i

x

¤«ï ­¥ª®â®àëå ­ âãà «ì­ëå

2s,1 3t ;

x

2

y ;

y

x

=

x

y

y

=

,1 i

x

,1 ; xz

=

¤«ï ­¥ª®â®àëå

y;

y

z

=

xy

, 1 i,

t | ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«®; ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, G | à áè¨à¥­¨¥ £àã¯¯ë ª¢ â¥à­¨®­®¢ Q ¯®à浪 

8

¯®á।á⢮¬ 横«¨ç¥áª®©

3-£à㯯ë,

¨­¤ãæ¨àãî饩 ¢ Q

2{24

€. •. †ãà⮢

­¥âਢ¨ «ì­ë©  ¢â®¬®à䨧¬;
(5)

G = hx; y; z; vi, £¤¥ hx; y; zi | £à㯯  ⨯  3, v2 = x2 , zv = z,1 , xv = y,1,

yv = x,1 ;
(6) G ¨§®¬®àä­  SL2 (5);
(7) G ᮤ¥à¦¨â ¯®¤£à㯯㠨­¤¥ªá  2, ¨§®¬®àä­ãî SL2 (5), ¨ ᨫ®¢áª ï
2-¯®¤£à㯯  ¨§ G | ®¡®¡é¥­­ ï £à㯯  ª¢ â¥à­¨®­®¢.
…᫨ G ¡¥áª®­¥ç­ , â® ¯®¤£à㯯  ¨§ G ¯®à®¦¤¥­­ ï ¢á¥¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨

¯®à浪  3, ï¥âáï 横«¨ç¥áª®©, ¨ ¢¥à­® ®¤­® ¨§ á«¥¤ãîé¨å ã⢥ত¥­¨©:
(8)

G | à áè¨à¥­¨¥ «®ª «ì­® 横«¨ç¥áª®© 2-£àã¯¯ë ¨«¨ (¢®§¬®¦­®, ¡¥á-

ª®­¥ç­®©) ®¡®¡é¥­­®© £àã¯¯ë ª¢ â¥à­¨®­®¢ ¯®á।á⢮¬ 3-£à㯯ë á ¥¤¨­á⢥­­®© ¯®¤£à㯯®© ¯®à浪  3;

G | ¯®«ã¯àאַ¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ «®ª «ì­® 横«¨ç¥áª®© 3-¯®¤£à㯯ë R
¨ 横«¨ç¥áª®© 2-¯®¤£à㯯ë hsi ¯®à浪   4, r s = r ,1 ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â 
r 2 R;
(10) G = (U  V )hti, £¤¥ U | «®ª «ì­® 横«¨ç¥áª ï 2-£à㯯  ¨«¨ ª®­¥ç­ ï £à㯯  ª¢ â¥à­¨®­®¢, V | «®ª «ì­® 横«¨ç¥áª ï 3-£à㯯 , t | í«¥¬¥­â
¯®à浪  4, U hti | (¢®§¬®¦­®, ¡¥áª®­¥ç­ ï) ®¡®¡é¥­­ ï £à㯯  ª¢ â¥à­¨®­®¢
¨ v t = v ,1 ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â  v 2 V .
Žâ¬¥â¨¬, ç⮠⮫쪮 ¢ á«ãç ¥ 8 £à㯯  G ¬®¦¥â ­¥ ¡ëâì «®ª «ì­® ª®­¥ç(9)

­®© (á¬. ¯à¨¬¥àë 1 ¨ 2 ¢ [3]).

C …᫨ G ª®­¥ç­ , â® ¥ñ áâ஥­¨¥ ¨§¢¥áâ­® (á¬. [4, 5, 6]). ãáâì G |
¡¥áª®­¥ç­  ¨ A-¯®¤£à㯯  ¨§ G, ¯®à®¦¤¥­­ ï ¢á¥¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨ ¯®à浪  3. ®
[2] A | 横«¨ç¥áª ï £à㯯  ¨«¨ £à㯯  ¨§®¬®àä­ ï ®¤­®© ¨§ £à㯯 SL2 (3),
SL2 (5). ‚® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ CG (€)  A ¨ ¯®í⮬ã G = NG (A) | ª®­¥ç­ ï
£à㯯 . ˆâ ª A | 横«¨ç¥áª ï £à㯯 .
…᫨ jAj = 1, â® G | 2-£à㯯  ¨ ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1 G 㤮¢«¥â¢®àï¥â
ãá«®¢¨î 8. ®í⮬㠯ãáâì jAj = 3. …᫨ B = CG (A), â® ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1 ‚
㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ ¯ã­ªâ  8 ¨ ¯à¨ B = G ⥮६  ¤®ª § ­ .
ɇǬ B =
6 G, â® jG : B j = 2. ãáâì S = O2 (G). ’®£¤  G=S | à áè¨à¥­¨¥ 3£à㯯ë R á ¯®¬®éìî ¯®¤£à㯯ë hai ¯®à浪  2, ¨­¤ãæ¨àãî饩 ¢ R ॣã«ïà­ãî
£àã¯¯ã  ¢â®¬®à䨧¬®¢. ãáâì r 2 R. ’®£¤  [r; a] = ar a | í«¥¬¥­â ­¥ç¥â­®£®
¯®à浪  ¨ ¯®í⮬㠢 har ; ai áãé¥áâ¢ã¥â ¨­¢®«îæ¨ï i, ¤«ï ª®â®à®© ari = a. â®
®§­ ç ¥â, çâ® ri = a, r = ai ¨ r a = r ,1 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, a ¨­¢¥àâ¨àã¥â ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â ¨§ R, ¯®í⮬ã R  ¡¥«¥¢  ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì­®, «®ª «ì­® 横«¨ç¥áª ï.
ãáâì t | í«¥¬¥­â ¨§ G n B . ’®£¤  r t = r ,1 ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â  r 2 R.
ãáâì R | ᨫ®¢áª ï 3-¯®¤£à㯯  ¨§ G, ⮣¤  R «®ª «ì­® 横«¨ç¥áª ï
£à㯯  ¨ SR = B . „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ SR =
6 B , â® SR=S | ᮡá⢥­­ ï
¯®¤£à㯯  ¢ «®ª «ì­® 横«¨ç¥áª®© 3-£à㯯¥ B=S . ®í⮬ã R = hr i | 横«¨ç¥áª ï £à㯯  ª®­¥ç­®£® ¯®à浪  3a ¨ áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â r1 ¢ B ¯®à浪 
3a+1 .

2{25

Ž £à㯯 å ”஡¥­¨ãá , ᮤ¥à¦ é¨å í«¥¬¥­â ¯®à浪  3

®áª®«ìªã «®ª «ì­® ª®­¥ç­ , ¯®¤£à㯯  h 1i ᮯà殮­  á ¯®¤£à㯯®© ¨§
h i ¢ ª®­¥ç­®© £à㯯¥ h
­¥ 業âà 1 i ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. …᫨
«¨§ã¥â , â® | £à㯯  ª¢ â¥à­¨®­®¢ ¯®à浪  8,   | 横«¨ç¥áª ï £à㯯 .
‚ í⮬ á«ãç ¥ | ª®­¥ç­ ï £à㯯  ¢®¯à¥ª¨ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î. …᫨ ¦¥ 業âà «¨§ã¥â , â® | ­®à¬ «ì­ ï ¯®¤£à㯯  ¢ ¨ ¢ë¯®«­¥­ë ãá«®¢¨ï ¯ã­ªâ 
9. B
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2.
3.
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6.

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«®£¨ª  (¢ ¯¥ç â¨).
Ž ॣã«ïà­ëå  ¢â®¬®à䨧¬ å ¯®à浪  3 ¨ ¯ à å ”஡¥­¨ãá  // ‘¨¡. ¬ â. ¦ãà­.|2000.|’. 51, ü 2.
Ž áâ஥­¨¨ ­¥ª¢ à¨ ­â­®£® ¬­®¦¨â¥«ï ¢ ­¥ª®â®àëå £à㯯 å
”஡¥­¨ãá  // ‘¨¡. ¬ â. ¦ãà­.|1994.|’. 35, ü 4.|‘. 893{901.
Kennzeichnung endlichen linearen Gruppen als Permutationsgruppen // Abhandl. Math. Semin., Hamburg.|1936.|V. 11.|P. 17{40.
Š®­¥ç­ë¥ à á饯«ï¥¬ë¥ £à㯯ë.|Œ.:
 ãª , 1969.
Finite groups 3.|Berlin: Springer Verlag, 1982.
†ãà⮢ €. •.

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‘®§ã⮢ €. .

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Huppert B., Blackburn N.

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‘â âìï ¯®áâ㯨«  30 ¬ àâ  2000 £.