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413
Documenta Math.
´gularite
´ et Conducteur de Swan p-adiques
Irre
Adriano Marmora
Received: July 6, 2004
Communicated by Takeshi Saito
Abstract. Let V be a de-Rham representation of the Galois group of
a local field of mixed characteristic (0, p). We relate the Swan conductor of the associated Weil-Deligne representation to the irregularity of
the corresponding p-adic differential equation.
2000 Mathematics Subject Classification: 11F80,11F85,11S15,12H25
Keywords and Phrases: p-adic representation, de-Rham representation, Swan conductor, p-adic differential equation, p-adic irregularity.
1
Introduction
Soient K un corps de valuation discr`ete complet de caract´eristique 0, de corps
r´esiduel k parfait de caract´eristique p > 0, et K une clˆoture alg´ebrique de
K. On note GK le groupe de Galois de K/K et IK le sous-groupe d’inertie.
Fontaine a d´efini une hi´erarchie sur les repr´esentations p-adiques de GK (i.e.
les Qp -espaces vectoriels de dimension finie munis d’une action continue de
GK ) : repr´esentations de de Rham ⊃ rep. semi-stables ⊃ rep. cristallines.
Le th´eor`eme de monodromie p-adique affirme que toute repr´esentation de
de Rham est potentiellement semi-stable, i.e. sa restriction `a un sous-groupe
ouvert de GK est semi-stable. Le but de cet article est l’´etude d’invariants
num´eriques qui mesurent le d´efaut de semi-stabilit´e de repr´esentations potentiellement semi-stables. Une telle repr´esentation est enti`erement d´ecrite par
son module de Weil-Deligne Dpst (V ). Celui-ci est muni d’une action de GK
dont la restriction `
a l’inertie se factorise par un quotient fini. Fontaine [10]
d´efinit les conducteurs de Swan et d’Artin de V , not´es respectivement sw(V )
et ar(V ), comme ´etant les conducteurs de Swan et d’Artin de Dpst (V ). Dans
un travail r´ecent [3], Berger associe `a toute repr´esentation de de Rham V une
´equation diff´erentielle p-adique NdR (V ) munie d’une structure de Frobenius.
` une ´equation diff´erentielle p-adique M munie d’une structure de Frobenius,
A
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Adriano Marmora
Christol et Mebkhout [7] associent un invariant entier irr(M ), l’irr´egularit´e de
M.
Pour tout n ∈ N, soient µn le groupe des racines pn -i`emes de l’unit´e dans K
et Kn = K(µn ). Pour une repr´esentation p-adique V de GK , on note Vn sa
restriction au sous-groupe Gal(K/Kn ). Le r´esultat principal de cet article est
le suivant.
´ore
`me 1.1. Pour toute repr´esentation de de Rham V de GK , on a
The
irr(NdR (V )) = lim sw(Vn ).
n→+∞
Le th´eor`eme 1.1 est l’analogue en caract´eristique z´ero d’un th´eor`eme de Tsuzuki
en caract´eristique p > 0. Soit E un corps de valuation discr`ete complet, de
caract´eristique p et de corps r´esiduel parfait. Dans [22], Tsuzuki montre que
la cat´egorie des repr´esentations p-adiques de GE = Gal(E sep /E) dont l’inertie
agit par un quotient fini (monodromie finie), est ´equivalente `a la cat´egorie des
ϕ-∇-modules ´etales sur un corps valu´e E † (E) de caract´eristique 0, d’anneau
d’entiers hens´elien et de corps r´esiduel E (voir §4.3 pour la d´efinition). Puis
dans [23], il d´emontre l’´egalit´e entre le conducteur de Swan de la restriction `a
l’inertie d’une telle repr´esentation et l’irr´egularit´e du ∇-module correspondent.
Dans la d´emonstration de 1.1, on se ram`ene, par la th´eorie du corps des normes,
au cas d’un corps de valuation discr`ete complet d’´egale caract´eristique p > 0.
Cependant, on ne peut pas appliquer directement le r´esultat de Tsuzuki, car
dans notre cas, l’action de l’inertie ne se factorise pas par un quotient fini.
La strat´egie de la d´emonstration consiste `a d´ecrire la repr´esentation de WeilDeligne en termes de l’´equation diff´erentielle de Berger, puis de reprendre une
partie de la preuve de Tsuzuki (l’induction de Brauer). Comme corollaires du
th´eor`eme 1.1, on en d´eduit un r´esultat analogue pour le conducteur d’Artin
(cf. 5.7) et l’´egalit´e entre un polygone de Newton de pentes p-adiques et une
limite de polygones de Newton de pentes de Swan (cf. 5.9).
Quand cet article a ´et´e d´ej`a achev´e, l’auteur a re¸cu une pr´epublication
de P.Colmez [6] dont le r´esultat principal est une formule pour sw(V ) en
termes d’une filtration sur DdR (V ). Les deux travaux sont ind´ependants et
les m´ethodes utilis´ees semblent diff´erentes.
Cet article est une partie de la th`ese de doctorat en math´ematique que je
pr´epare `
a l’universit´e de Paris 13, sous la direction d’Ahmed Abbes. Je tiens
ici `
a le remercier pour son soutien constant tout le long de ce travail et ses
lectures attentives des versions pr´eliminaires de ce texte. Je remercie ´egalement
le referee qui, par ses remarques, a am´elior´e ce manuscrit.
Notations
Soient k un corps parfait de caract´eristique p > 0, W = W(k) (resp. Wn =
Wn (k)) l’anneau des vecteurs de Witt infinis (resp. de longueur n ≥ 1) et
Ka = Fr W le corps des fractions de W . On note | · | la valeur absolue de Ka
normalis´ee par |p| = p−1 et σ l’endomorphisme de Frobenius agissant sur k,
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Wn , W et Ka . On fixe une extension finie K/Ka totalement ramifi´ee et une
clˆ
oture alg´ebrique K de K. On note OK la clˆoture int´egrale de OK dans K, k
son corps r´esiduel, OC le compl´et´e p-adique de OK et C = Fr OC . Pour toute
extension finie L de Ka , contenue dans K, on note OL son anneau d’entiers, kL
son corps r´esiduel et La = Fr W(kL ). Pour tout n ∈ N, soient µn le groupe des
racines pn -i`emes de l’unit´e dans K et Ln = L(µn ). On note L∞ la r´eunion des
Ln , pour n ∈ N, HL = Gal(K/L∞ ) et ΓL = Gal(L∞ /L). Soit χ : GK → Z∗p le
caract`ere cyclotomique. Une repr´esentation galoisienne p-adique (ou une Qp repr´esentation galoisienne) est un Qp -espace vectoriel de dimension finie, muni
d’une action lin´eaire et continue de GK . On note RepQp (GK ) la cat´egorie des
Qp -repr´esentations de GK .
2
Conducteurs
On note Bcris et Bst = Bcris [X] les anneaux des p´eriodes de Fontaine associ´es `a
K (cf. [12]). Soient N : Bst → Bst la Bcris -d´erivation qui envoie X sur −1 et ϕ
le Frobenius agissant sur Bcris et Bst . Cettes applications v´erifient N ϕ = pϕN .
Ces anneaux sont munis d’une action continue de GKa commutante avec ϕ et
N . Soit L/Ka une extension finie contenue dans K. On note GL = Gal(K/L).
GL
L
On rappelle que BG
st = Bcris = La (cf. [13, 5.1.2] et [12, 4.2.5]).
G
Pour tout V ∈ RepQp (GK ), Fontaine d´efinit Dcris (V ) = (Bcris ⊗Qp V ) K et
G
Dst (V ) = (Bst ⊗Qp V ) K . Ce sont des Ka -espaces vectoriels de dimensions
inf´erieures o`
u ´egales `
a la dimension de V sur Qp . Le Frobenius de Bcris induit
un endomorphisme σ-semi-lin´eaire ϕ : Dcris (V ) → Dcris (V ), appel´e Frobenius.
L’espace Dst (V ) est muni d’un Frobenius ϕ et d’un endomorphisme Ka -lin´eaire
N , v´erifiant N ϕ = pϕN . On rappelle que V est dite cristalline (resp. semistable) si dimKa Dcris (V ) = dimQp V (resp. dimKa Dst (V ) = dimQp V ). Elle est
dite potentiellement cristalline (resp. potentiellement semi-stable) s’il existe
une extension finie K ′ /K telle que la restriction de V `a GK ′ est cristalline
(resp. semi-stable). On note P le corps K ⊗Ka Fr W(k). C’est le compl´et´e padique de l’extension maximale non-ramifi´ee K nr de K dans K. Le groupe
d’inertie absolu de K est canoniquement isomorphe `a GP , le groupe de Galois absolu de P . Dans la suite, pour tout V ∈ RepQp (GK ), on consid`ere la
restriction de V `
a IK comme une repr´esentation p-adique de GP . Par [12,
5.1.5], une repr´esentation V est cristalline (resp. potentiellement cristalline,
resp. semi-stable, resp. potentiellement semi-stable) si et seulement si sa restriction `
a IK est cristalline (resp. potentiellement cristalline, resp. semi-stable,
resp. potentiellement semi-stable).
Soit V une repr´esentation p-adique potentiellement semi-stable de dimension
G′
u la limite est prise
n. Fontaine d´efinit Dpst (V ) = limG′ ≤G (Bst ⊗Qp V ) , o`
−→
K
sur les sous-groupes ouverts G′ de GK (cf. [13, 5.6.4]). C’est un Kanr -espace
vectoriel de dimension n, muni d’une action semi-lin´eaire de GK . Si L/K est
une extension galoisienne finie telle que V est semi-stable comme repr´esentation
G
de GL , alors (Bst ⊗Qp V ) L est un La -espace vectoriel de dimension n et l’action
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de GK se factorise par Gal(L/K). On a un isomorphisme de repr´esentations
G
Dpst (V ) ∼
= Kanr ⊗La (Bst ⊗Qp V ) L . Par cons´equent la restriction Dpst (V )|IK
est une repr´esentation lin´eaire de IK qui se factorise `a travers le sous-groupe
d’inertie de Gal(L/K).
´finition 2.1. [10, 7.4.7] Soit V une repr´esentation p-adique potentiellement
De
semi-stable. Les conducteurs de Swan et d’Artin de Dpst (V )|IK sont aussi appel´es conducteur de Swan et d’Artin de V et not´es respectivement sw(V ) et
ar(V ).
Si GK agit par un quotient fini Gal(L/K) sur V , alors Dpst (V ) = Kanr ⊗Qp
V et sw(V ) et ar(V ) co¨ıncident avec sw(Gal(L/K), V ) et ar(Gal(L/K), V )
respectivement.
Pour une repr´esentation V potentiellement semi-stable, on consid`ere aussi la
variante
arcris (V ) = ar(V ) + dimKa Dst (V ) − dimKa Dcris (V ).
3
3.1
´orie de Hodge p-adique et (ϕ, Γ)-modules
The
Les anneaux
On pose OE = limn∈N (Wn JT K[ T1 ]), qui est aussi la compl´etion p-adique de
←−
W JT K[ T1 ]. C’est un anneau de valuation discr`ete, complet, de caract´eristique 0,
absolument non ramifi´e, de corps r´esiduel k((T )). Son corps de fractions OE [1/p]
est canoniquement isomorphe `a
( +∞
)
¯
X
¯
n¯
E=
an T ¯ an ∈ Ka , (an )n∈Z born´ee et lim |an | = 0 .
n→−∞
n=−∞
On pose
†
E =
(
+∞
X
¯
¯
an T ∈ E ¯¯ ∃ 0 < ρ < 1 v´erifiant
n
n=−∞
n
lim |an |ρ = 0
n→−∞
)
,
l’anneau des s´eries dans E qui convergent sur une couronne
{x ∈ C | ρ ≤ |x|C < 1} pour un r´eel 0 < ρ < 1. Pour tout s ∈ E † , on
note v1 (s) = inf n∈Z vKa (an ) la valuation de Gauss. On rappelle que cette
valuation sur E † est discr`ete et que l’anneau de valuation OE † est hens´elien,
de corps r´esiduel k((T ))(cf.[16, §2]).
On note aussi σ l’endomorphisme x 7→ xp de OK /pOK . Soit R (cf. [11, §A3.1.1])
la limite projective du syst`eme
σ
σ
σ
σ
· · · −→ OK /pOK −→ OK /pOK −→ OK /pOK −→ OK /pOK .
C’est une k-alg`ebre int`egre, parfaite de caract´eristique p. On dispose de
p
la description suivante : R ∼
= {(x(n) )n∈N | x(n) ∈ OC , (x(n+1) ) = x(n) },
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o`
u, `
a droite, la multiplication est donn´ee composante par composante et la
pm
(n)
somme par la formule (x + y)
= limm→+∞ (x(n+m) + y (n+m) ) . L’anneau
R est complet pour la valuation (non-disc`ete) d´efinie, pour tout x ∈ R, par
vR (x) = vC (x(0) ), o`
u vC est la valuation de C normalis´ee par vC (p) = 1.
Le corps Fr R est alg´ebriquement clos (cf. [11, A3.1.6]). On rappelle que
u les applications de transition sont la comW (O /pOK ), o`
W(R) ∼
= lim
←−n∈N n K
position des morphismes de troncation et du Frobenius σ de OK /pOK . C’est
une W(k)-alg`ebre. Le groupe GKa agit par fonctorialit´e sur W(R) et W(Fr R).
On appelle ϕ le Frobenius de W(R) (resp. W(Fr R)). On fixe une fois pour
toutes un ´el´ement ε ∈ R tel que ε(0) = 1 et ε(1) 6= 1. Pour tout x dans R, on
note [x] son rel`evement de Teichm¨
uller dans W(R).
pn
= 0 dans Wn (OK /pOK ).
On v´erifie facilement que ((ε(n) , 0, . . . , 0) − 1)
n
On en d´eduit, pour tout n ∈ N, un morphisme continu W [T ]/T p →
(n)
−n
Wn (OK /pOK ), qui envoie T sur (ε , 0, . . . , 0) − 1 et w ∈ W sur σ (w).
D’o`
u un morphisme continu de W -alg`ebres W JT K → W(R), qui envoie T
dans [ε] − 1. Comme [ε] − 1 est inversible dans W(Fr R), on obtient un homomorphisme continu de W -alg`ebres W JT K[ T1 ] → W(Fr R), qui se factorise
par compl´etion p-adique en
W JT K[ T1µ r ]
HH
HH
HH
HH
H$$
OE
// W(Fr R)
v;;
vv
v
v
vv i
vv
L’homomorphisme i est injectif car i(p) 6= 0. En inversant p, on obtient i : E →
Fr W(Fr R).
Lemme 3.1. [11, A3.2.2] Les anneaux i(E) et i(E † ) ne d´ependent pas du choix
de ε . Ils sont stables par les actions de GKa et du Frobenius ϕ sur W(Fr R).
Les actions induites de GKa et de ϕ sur E et E † sont donn´ees par
∀g ∈ GKa ,
g(T ) = (T + 1)χ(g) − 1,
ϕ(T ) = (T + 1)p − 1.
L’action de GKa se factorise par ΓKa .
On rappelle bri`evement la construction du corps des normes (cf. [25, §2.2]).
L’extension maximale mod´er´ement ramifi´ee de K dans K∞ est finie. Soit
n1 le plus petit entier tel que K∞ /Kn1 soit totalement sauvagement ramifi´ee. On choisit une uniformisante u de Kn1 . Pour tout n ≥ n1 , le Frobenius de OKn+1 /uOKn+1 se factorise `a travers OKn /uOKn ⊂ OKn+1 /uOKn+1 .
Soit λn : OKn+1 /uOKn+1 → OKn /uOKn le morphisme ainsi d´efini. On pose
u les applications de transitions sont les λn . C’est
OEK = limn∈N OKn /uOKn , o`
←−
un anneau de valuation discr`ete, complet, de corps r´esiduel canoniquement isomorphe au corps r´esiduel de K∞ , qui est une extension finie k ′ de k. Il ne
d´epend pas du choix de u. Soit EK = Fr OEK . Par fonctorialit´e de la construcsep
oture s´eparable Esep
tion, on associe `
a K une clˆ
K de EK et Gal(EK /EK ) est
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canoniquement isomorphe `
a HK . Pour tout n ≥ n1 , on a un diagramme commutatif
Ä
// O /uO
OKn+1 /uOKn+1 Â
K
K
λn
²²
Ä
OKn /uOKn Â
σ
²²
// O /uO
K
K
O /uOK , on en d´eduit des applications injectives
Comme R ∼
= lim
←−n≥n1 K
OEK ֒→ R et EK ֒→ Fr R.
Soient E nr l’extension maximale non-ramifi´ee de E dans Fr W(Fr R) et OEsh son
anneau d’entiers. Par fonctorialit´e de la hens´elisation, GKa et ϕ agissent sur E nr .
L’inclusion i : OE ֒→ W(Fr R) induit, par r´eduction modulo p, un isomorphisme
canonique entre les corps r´esiduels de OE et EKa . Par cons´equent, Gal(E nr /E)
est canoniquement isomorphe `a HKa . Soit L une extension finie de Ka . On
H
pose EL = (E nr ) L . C’est une extension finie non ramifi´ee de E. Elle est munie
d’actions naturelles de ΓL et de ϕ . Pour L/Ka finie galoisienne, EL est muni
d’une action naturelle de Gal(L∞ /Ka ). On note OEL l’anneau de valuation de
′
′
EL . On note kL
le corps r´esiduel de EL et L′ = Fr W(kL
). Si L est absolument
′
′
non-ramifi´e, alors kL = kL et L = La = L (cf. [20, Ch.IV, Prop.17]). Dans ce
cas le corps EL a la description simple suivante.
Lemme 3.2. Soit L/Ka une extension finie non-ramifi´ee. Il existe un isomorphisme canonique EL ∼
= E ⊗Ka L, compatible avec l’action de ΓL et du Frobenius. Pour L/Ka finie galoisienne, cet isomorphisme est compatible a
` l’action
de Gal(L∞ /Ka ).
D´emonstration. L’anneau E⊗Ka L est un corps car Ka est alg´ebriquement ferm´e
dans E et p est inversible. Comme L = La ⊆ Fr W(Fr R), l’inclusion i s’´etend,
par lin´earit´e, en iL : E ⊗Ka L ֒→ Fr W(Fr R). L’image de cette application est
contenue dans EL . On a |iL (E ⊗Ka L) : E| = |kL : k| = |EL : EKa | = |EL : E|,
donc iL (E ⊗Ka L) = EL .
Proposition 3.3. [11, A2.2.1] Soient π une uniformisante de EL et π un
rel`evement dans OEL . Il existe un unique isomorphisme continu de L′ -alg`ebres,
ψπ : EL′ → EL qui envoie T sur π.
D´emonstration. L’anneau OEL est de valuation discr`ete, complet, absolument
non-ramifi´e. C’est donc un anneau de Cohen (cf. [9, IV0 19.8.5] ). Par [9,
IV0 19.8.6(ii)] il existe un isomorphisme ψ : OEL′ → OEL relevant l’isomor′
phisme kL
((T )) → EL qui envoie T sur π. On note ω = π − ψ(T ) ∈ pOEL . Soit
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Irre
s=
P
m
X
n∈Z
an T n ∈ OEL′ . On ´ecrit
n
an π =
m
X
n
an (ψ(T ) + ω) =
m
X
j=0
Ãm−j
X
i=0
m
X
an
n=0
n=0
n=0
=
419
aj+i
µ
n µ ¶
X
n
i=0
i
i
ψ(T ) ω n−i =
Ãm−j
!
µ
¶ !
¶
m
X
X
j
+
i
j+i
i
ψ
T i ωj ,
aj+i
ψ(T ) ω j =
i
i
j=0
i=0
¡j+i¢ i
P+∞
o`
u j = n − i. PourP
tout j ∈ N, P
on pose sj =
i=0 aj+i i T ∈ OEL′ .
n
j
On d´efinit ψπ (s) =
n
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Abstract. Let V be a de-Rham representation of the Galois group of
a local field of mixed characteristic (0, p). We relate the Swan conductor of the associated Weil-Deligne representation to the irregularity of
the corresponding p-adic differential equation.
2000 Mathematics Subject Classification: 11F80,11F85,11S15,12H25
Keywords and Phrases: p-adic representation, de-Rham representation, Swan conductor, p-adic differential equation, p-adic irregularity.
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Introduction
Soient K un corps de valuation discr`ete complet de caract´eristique 0, de corps
r´esiduel k parfait de caract´eristique p > 0, et K une clˆoture alg´ebrique de
K. On note GK le groupe de Galois de K/K et IK le sous-groupe d’inertie.
Fontaine a d´efini une hi´erarchie sur les repr´esentations p-adiques de GK (i.e.
les Qp -espaces vectoriels de dimension finie munis d’une action continue de
GK ) : repr´esentations de de Rham ⊃ rep. semi-stables ⊃ rep. cristallines.
Le th´eor`eme de monodromie p-adique affirme que toute repr´esentation de
de Rham est potentiellement semi-stable, i.e. sa restriction `a un sous-groupe
ouvert de GK est semi-stable. Le but de cet article est l’´etude d’invariants
num´eriques qui mesurent le d´efaut de semi-stabilit´e de repr´esentations potentiellement semi-stables. Une telle repr´esentation est enti`erement d´ecrite par
son module de Weil-Deligne Dpst (V ). Celui-ci est muni d’une action de GK
dont la restriction `
a l’inertie se factorise par un quotient fini. Fontaine [10]
d´efinit les conducteurs de Swan et d’Artin de V , not´es respectivement sw(V )
et ar(V ), comme ´etant les conducteurs de Swan et d’Artin de Dpst (V ). Dans
un travail r´ecent [3], Berger associe `a toute repr´esentation de de Rham V une
´equation diff´erentielle p-adique NdR (V ) munie d’une structure de Frobenius.
` une ´equation diff´erentielle p-adique M munie d’une structure de Frobenius,
A
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Christol et Mebkhout [7] associent un invariant entier irr(M ), l’irr´egularit´e de
M.
Pour tout n ∈ N, soient µn le groupe des racines pn -i`emes de l’unit´e dans K
et Kn = K(µn ). Pour une repr´esentation p-adique V de GK , on note Vn sa
restriction au sous-groupe Gal(K/Kn ). Le r´esultat principal de cet article est
le suivant.
´ore
`me 1.1. Pour toute repr´esentation de de Rham V de GK , on a
The
irr(NdR (V )) = lim sw(Vn ).
n→+∞
Le th´eor`eme 1.1 est l’analogue en caract´eristique z´ero d’un th´eor`eme de Tsuzuki
en caract´eristique p > 0. Soit E un corps de valuation discr`ete complet, de
caract´eristique p et de corps r´esiduel parfait. Dans [22], Tsuzuki montre que
la cat´egorie des repr´esentations p-adiques de GE = Gal(E sep /E) dont l’inertie
agit par un quotient fini (monodromie finie), est ´equivalente `a la cat´egorie des
ϕ-∇-modules ´etales sur un corps valu´e E † (E) de caract´eristique 0, d’anneau
d’entiers hens´elien et de corps r´esiduel E (voir §4.3 pour la d´efinition). Puis
dans [23], il d´emontre l’´egalit´e entre le conducteur de Swan de la restriction `a
l’inertie d’une telle repr´esentation et l’irr´egularit´e du ∇-module correspondent.
Dans la d´emonstration de 1.1, on se ram`ene, par la th´eorie du corps des normes,
au cas d’un corps de valuation discr`ete complet d’´egale caract´eristique p > 0.
Cependant, on ne peut pas appliquer directement le r´esultat de Tsuzuki, car
dans notre cas, l’action de l’inertie ne se factorise pas par un quotient fini.
La strat´egie de la d´emonstration consiste `a d´ecrire la repr´esentation de WeilDeligne en termes de l’´equation diff´erentielle de Berger, puis de reprendre une
partie de la preuve de Tsuzuki (l’induction de Brauer). Comme corollaires du
th´eor`eme 1.1, on en d´eduit un r´esultat analogue pour le conducteur d’Artin
(cf. 5.7) et l’´egalit´e entre un polygone de Newton de pentes p-adiques et une
limite de polygones de Newton de pentes de Swan (cf. 5.9).
Quand cet article a ´et´e d´ej`a achev´e, l’auteur a re¸cu une pr´epublication
de P.Colmez [6] dont le r´esultat principal est une formule pour sw(V ) en
termes d’une filtration sur DdR (V ). Les deux travaux sont ind´ependants et
les m´ethodes utilis´ees semblent diff´erentes.
Cet article est une partie de la th`ese de doctorat en math´ematique que je
pr´epare `
a l’universit´e de Paris 13, sous la direction d’Ahmed Abbes. Je tiens
ici `
a le remercier pour son soutien constant tout le long de ce travail et ses
lectures attentives des versions pr´eliminaires de ce texte. Je remercie ´egalement
le referee qui, par ses remarques, a am´elior´e ce manuscrit.
Notations
Soient k un corps parfait de caract´eristique p > 0, W = W(k) (resp. Wn =
Wn (k)) l’anneau des vecteurs de Witt infinis (resp. de longueur n ≥ 1) et
Ka = Fr W le corps des fractions de W . On note | · | la valeur absolue de Ka
normalis´ee par |p| = p−1 et σ l’endomorphisme de Frobenius agissant sur k,
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´gularite
´ et Conducteur de Swan p-adiques
Irre
415
Wn , W et Ka . On fixe une extension finie K/Ka totalement ramifi´ee et une
clˆ
oture alg´ebrique K de K. On note OK la clˆoture int´egrale de OK dans K, k
son corps r´esiduel, OC le compl´et´e p-adique de OK et C = Fr OC . Pour toute
extension finie L de Ka , contenue dans K, on note OL son anneau d’entiers, kL
son corps r´esiduel et La = Fr W(kL ). Pour tout n ∈ N, soient µn le groupe des
racines pn -i`emes de l’unit´e dans K et Ln = L(µn ). On note L∞ la r´eunion des
Ln , pour n ∈ N, HL = Gal(K/L∞ ) et ΓL = Gal(L∞ /L). Soit χ : GK → Z∗p le
caract`ere cyclotomique. Une repr´esentation galoisienne p-adique (ou une Qp repr´esentation galoisienne) est un Qp -espace vectoriel de dimension finie, muni
d’une action lin´eaire et continue de GK . On note RepQp (GK ) la cat´egorie des
Qp -repr´esentations de GK .
2
Conducteurs
On note Bcris et Bst = Bcris [X] les anneaux des p´eriodes de Fontaine associ´es `a
K (cf. [12]). Soient N : Bst → Bst la Bcris -d´erivation qui envoie X sur −1 et ϕ
le Frobenius agissant sur Bcris et Bst . Cettes applications v´erifient N ϕ = pϕN .
Ces anneaux sont munis d’une action continue de GKa commutante avec ϕ et
N . Soit L/Ka une extension finie contenue dans K. On note GL = Gal(K/L).
GL
L
On rappelle que BG
st = Bcris = La (cf. [13, 5.1.2] et [12, 4.2.5]).
G
Pour tout V ∈ RepQp (GK ), Fontaine d´efinit Dcris (V ) = (Bcris ⊗Qp V ) K et
G
Dst (V ) = (Bst ⊗Qp V ) K . Ce sont des Ka -espaces vectoriels de dimensions
inf´erieures o`
u ´egales `
a la dimension de V sur Qp . Le Frobenius de Bcris induit
un endomorphisme σ-semi-lin´eaire ϕ : Dcris (V ) → Dcris (V ), appel´e Frobenius.
L’espace Dst (V ) est muni d’un Frobenius ϕ et d’un endomorphisme Ka -lin´eaire
N , v´erifiant N ϕ = pϕN . On rappelle que V est dite cristalline (resp. semistable) si dimKa Dcris (V ) = dimQp V (resp. dimKa Dst (V ) = dimQp V ). Elle est
dite potentiellement cristalline (resp. potentiellement semi-stable) s’il existe
une extension finie K ′ /K telle que la restriction de V `a GK ′ est cristalline
(resp. semi-stable). On note P le corps K ⊗Ka Fr W(k). C’est le compl´et´e padique de l’extension maximale non-ramifi´ee K nr de K dans K. Le groupe
d’inertie absolu de K est canoniquement isomorphe `a GP , le groupe de Galois absolu de P . Dans la suite, pour tout V ∈ RepQp (GK ), on consid`ere la
restriction de V `
a IK comme une repr´esentation p-adique de GP . Par [12,
5.1.5], une repr´esentation V est cristalline (resp. potentiellement cristalline,
resp. semi-stable, resp. potentiellement semi-stable) si et seulement si sa restriction `
a IK est cristalline (resp. potentiellement cristalline, resp. semi-stable,
resp. potentiellement semi-stable).
Soit V une repr´esentation p-adique potentiellement semi-stable de dimension
G′
u la limite est prise
n. Fontaine d´efinit Dpst (V ) = limG′ ≤G (Bst ⊗Qp V ) , o`
−→
K
sur les sous-groupes ouverts G′ de GK (cf. [13, 5.6.4]). C’est un Kanr -espace
vectoriel de dimension n, muni d’une action semi-lin´eaire de GK . Si L/K est
une extension galoisienne finie telle que V est semi-stable comme repr´esentation
G
de GL , alors (Bst ⊗Qp V ) L est un La -espace vectoriel de dimension n et l’action
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de GK se factorise par Gal(L/K). On a un isomorphisme de repr´esentations
G
Dpst (V ) ∼
= Kanr ⊗La (Bst ⊗Qp V ) L . Par cons´equent la restriction Dpst (V )|IK
est une repr´esentation lin´eaire de IK qui se factorise `a travers le sous-groupe
d’inertie de Gal(L/K).
´finition 2.1. [10, 7.4.7] Soit V une repr´esentation p-adique potentiellement
De
semi-stable. Les conducteurs de Swan et d’Artin de Dpst (V )|IK sont aussi appel´es conducteur de Swan et d’Artin de V et not´es respectivement sw(V ) et
ar(V ).
Si GK agit par un quotient fini Gal(L/K) sur V , alors Dpst (V ) = Kanr ⊗Qp
V et sw(V ) et ar(V ) co¨ıncident avec sw(Gal(L/K), V ) et ar(Gal(L/K), V )
respectivement.
Pour une repr´esentation V potentiellement semi-stable, on consid`ere aussi la
variante
arcris (V ) = ar(V ) + dimKa Dst (V ) − dimKa Dcris (V ).
3
3.1
´orie de Hodge p-adique et (ϕ, Γ)-modules
The
Les anneaux
On pose OE = limn∈N (Wn JT K[ T1 ]), qui est aussi la compl´etion p-adique de
←−
W JT K[ T1 ]. C’est un anneau de valuation discr`ete, complet, de caract´eristique 0,
absolument non ramifi´e, de corps r´esiduel k((T )). Son corps de fractions OE [1/p]
est canoniquement isomorphe `a
( +∞
)
¯
X
¯
n¯
E=
an T ¯ an ∈ Ka , (an )n∈Z born´ee et lim |an | = 0 .
n→−∞
n=−∞
On pose
†
E =
(
+∞
X
¯
¯
an T ∈ E ¯¯ ∃ 0 < ρ < 1 v´erifiant
n
n=−∞
n
lim |an |ρ = 0
n→−∞
)
,
l’anneau des s´eries dans E qui convergent sur une couronne
{x ∈ C | ρ ≤ |x|C < 1} pour un r´eel 0 < ρ < 1. Pour tout s ∈ E † , on
note v1 (s) = inf n∈Z vKa (an ) la valuation de Gauss. On rappelle que cette
valuation sur E † est discr`ete et que l’anneau de valuation OE † est hens´elien,
de corps r´esiduel k((T ))(cf.[16, §2]).
On note aussi σ l’endomorphisme x 7→ xp de OK /pOK . Soit R (cf. [11, §A3.1.1])
la limite projective du syst`eme
σ
σ
σ
σ
· · · −→ OK /pOK −→ OK /pOK −→ OK /pOK −→ OK /pOK .
C’est une k-alg`ebre int`egre, parfaite de caract´eristique p. On dispose de
p
la description suivante : R ∼
= {(x(n) )n∈N | x(n) ∈ OC , (x(n+1) ) = x(n) },
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´gularite
´ et Conducteur de Swan p-adiques
Irre
417
o`
u, `
a droite, la multiplication est donn´ee composante par composante et la
pm
(n)
somme par la formule (x + y)
= limm→+∞ (x(n+m) + y (n+m) ) . L’anneau
R est complet pour la valuation (non-disc`ete) d´efinie, pour tout x ∈ R, par
vR (x) = vC (x(0) ), o`
u vC est la valuation de C normalis´ee par vC (p) = 1.
Le corps Fr R est alg´ebriquement clos (cf. [11, A3.1.6]). On rappelle que
u les applications de transition sont la comW (O /pOK ), o`
W(R) ∼
= lim
←−n∈N n K
position des morphismes de troncation et du Frobenius σ de OK /pOK . C’est
une W(k)-alg`ebre. Le groupe GKa agit par fonctorialit´e sur W(R) et W(Fr R).
On appelle ϕ le Frobenius de W(R) (resp. W(Fr R)). On fixe une fois pour
toutes un ´el´ement ε ∈ R tel que ε(0) = 1 et ε(1) 6= 1. Pour tout x dans R, on
note [x] son rel`evement de Teichm¨
uller dans W(R).
pn
= 0 dans Wn (OK /pOK ).
On v´erifie facilement que ((ε(n) , 0, . . . , 0) − 1)
n
On en d´eduit, pour tout n ∈ N, un morphisme continu W [T ]/T p →
(n)
−n
Wn (OK /pOK ), qui envoie T sur (ε , 0, . . . , 0) − 1 et w ∈ W sur σ (w).
D’o`
u un morphisme continu de W -alg`ebres W JT K → W(R), qui envoie T
dans [ε] − 1. Comme [ε] − 1 est inversible dans W(Fr R), on obtient un homomorphisme continu de W -alg`ebres W JT K[ T1 ] → W(Fr R), qui se factorise
par compl´etion p-adique en
W JT K[ T1µ r ]
HH
HH
HH
HH
H$$
OE
// W(Fr R)
v;;
vv
v
v
vv i
vv
L’homomorphisme i est injectif car i(p) 6= 0. En inversant p, on obtient i : E →
Fr W(Fr R).
Lemme 3.1. [11, A3.2.2] Les anneaux i(E) et i(E † ) ne d´ependent pas du choix
de ε . Ils sont stables par les actions de GKa et du Frobenius ϕ sur W(Fr R).
Les actions induites de GKa et de ϕ sur E et E † sont donn´ees par
∀g ∈ GKa ,
g(T ) = (T + 1)χ(g) − 1,
ϕ(T ) = (T + 1)p − 1.
L’action de GKa se factorise par ΓKa .
On rappelle bri`evement la construction du corps des normes (cf. [25, §2.2]).
L’extension maximale mod´er´ement ramifi´ee de K dans K∞ est finie. Soit
n1 le plus petit entier tel que K∞ /Kn1 soit totalement sauvagement ramifi´ee. On choisit une uniformisante u de Kn1 . Pour tout n ≥ n1 , le Frobenius de OKn+1 /uOKn+1 se factorise `a travers OKn /uOKn ⊂ OKn+1 /uOKn+1 .
Soit λn : OKn+1 /uOKn+1 → OKn /uOKn le morphisme ainsi d´efini. On pose
u les applications de transitions sont les λn . C’est
OEK = limn∈N OKn /uOKn , o`
←−
un anneau de valuation discr`ete, complet, de corps r´esiduel canoniquement isomorphe au corps r´esiduel de K∞ , qui est une extension finie k ′ de k. Il ne
d´epend pas du choix de u. Soit EK = Fr OEK . Par fonctorialit´e de la construcsep
oture s´eparable Esep
tion, on associe `
a K une clˆ
K de EK et Gal(EK /EK ) est
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418
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canoniquement isomorphe `
a HK . Pour tout n ≥ n1 , on a un diagramme commutatif
Ä
// O /uO
OKn+1 /uOKn+1 Â
K
K
λn
²²
Ä
OKn /uOKn Â
σ
²²
// O /uO
K
K
O /uOK , on en d´eduit des applications injectives
Comme R ∼
= lim
←−n≥n1 K
OEK ֒→ R et EK ֒→ Fr R.
Soient E nr l’extension maximale non-ramifi´ee de E dans Fr W(Fr R) et OEsh son
anneau d’entiers. Par fonctorialit´e de la hens´elisation, GKa et ϕ agissent sur E nr .
L’inclusion i : OE ֒→ W(Fr R) induit, par r´eduction modulo p, un isomorphisme
canonique entre les corps r´esiduels de OE et EKa . Par cons´equent, Gal(E nr /E)
est canoniquement isomorphe `a HKa . Soit L une extension finie de Ka . On
H
pose EL = (E nr ) L . C’est une extension finie non ramifi´ee de E. Elle est munie
d’actions naturelles de ΓL et de ϕ . Pour L/Ka finie galoisienne, EL est muni
d’une action naturelle de Gal(L∞ /Ka ). On note OEL l’anneau de valuation de
′
′
EL . On note kL
le corps r´esiduel de EL et L′ = Fr W(kL
). Si L est absolument
′
′
non-ramifi´e, alors kL = kL et L = La = L (cf. [20, Ch.IV, Prop.17]). Dans ce
cas le corps EL a la description simple suivante.
Lemme 3.2. Soit L/Ka une extension finie non-ramifi´ee. Il existe un isomorphisme canonique EL ∼
= E ⊗Ka L, compatible avec l’action de ΓL et du Frobenius. Pour L/Ka finie galoisienne, cet isomorphisme est compatible a
` l’action
de Gal(L∞ /Ka ).
D´emonstration. L’anneau E⊗Ka L est un corps car Ka est alg´ebriquement ferm´e
dans E et p est inversible. Comme L = La ⊆ Fr W(Fr R), l’inclusion i s’´etend,
par lin´earit´e, en iL : E ⊗Ka L ֒→ Fr W(Fr R). L’image de cette application est
contenue dans EL . On a |iL (E ⊗Ka L) : E| = |kL : k| = |EL : EKa | = |EL : E|,
donc iL (E ⊗Ka L) = EL .
Proposition 3.3. [11, A2.2.1] Soient π une uniformisante de EL et π un
rel`evement dans OEL . Il existe un unique isomorphisme continu de L′ -alg`ebres,
ψπ : EL′ → EL qui envoie T sur π.
D´emonstration. L’anneau OEL est de valuation discr`ete, complet, absolument
non-ramifi´e. C’est donc un anneau de Cohen (cf. [9, IV0 19.8.5] ). Par [9,
IV0 19.8.6(ii)] il existe un isomorphisme ψ : OEL′ → OEL relevant l’isomor′
phisme kL
((T )) → EL qui envoie T sur π. On note ω = π − ψ(T ) ∈ pOEL . Soit
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´gularite
´ et Conducteur de Swan p-adiques
Irre
s=
P
m
X
n∈Z
an T n ∈ OEL′ . On ´ecrit
n
an π =
m
X
n
an (ψ(T ) + ω) =
m
X
j=0
Ãm−j
X
i=0
m
X
an
n=0
n=0
n=0
=
419
aj+i
µ
n µ ¶
X
n
i=0
i
i
ψ(T ) ω n−i =
Ãm−j
!
µ
¶ !
¶
m
X
X
j
+
i
j+i
i
ψ
T i ωj ,
aj+i
ψ(T ) ω j =
i
i
j=0
i=0
¡j+i¢ i
P+∞
o`
u j = n − i. PourP
tout j ∈ N, P
on pose sj =
i=0 aj+i i T ∈ OEL′ .
n
j
On d´efinit ψπ (s) =
n