ANALISIS SISTEM ANTREAN DENGAN DISIPLIN PELAYANAN PREEMPTIVE.

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari, menunggu adalah salah satu peristiwa yang sering terjadi. Peristiwa menunggu tersebut sering disebut antrean, contohnya seorang nasabah bank harus menunggu untuk memperoleh layanan yang diperlukan dari seorang pelayan (fasilitas layanan) dan seseorang harus menunggu di bioskop untuk mendapatkan tiket menonton film. Kejadian ini terjadi karena terdapat banyak pelanggan yang ingin dilayani sedangkan jumlah pelayan sangat terbatas. Bagi sebagian orang menunggu merupakan kegiatan yang sangat membosankan, tidak efisien dan dianggap membuang-buang waktu.

Teori antrean adalah salah satu ilmu matematika yang dapat memecahkan masalah dalam antrean. Teori antrean dikemukakan dan dikembangkan oleh K.A Erlang, seorang insinyur Denmark, pada tahun 1910. Menurut Sinalungga (2008:238), teori antrean (Queueing theory) merupakan studi probabilistik kejadian garis tunggu (waiting lines), yakni suatu garis tunggu dari pelanggan yang memerlukan layanan dari sistem yang ada. Menurut Wospakrik (1996:302), sistem antrean adalah himpunan pelanggan, pelayanan beserta aturan yang mengatur antara kedatangan pelanggan dan pelayanannya.

Disiplin antrean merupakan urutan pelanggan untuk memperoleh layanan. Disiplin antrean yang sering diterapkan dalam kehidupan sehari-hari antara lain First Come First Served (FCFS) suatu aturan dimana yang akan dilayani ialah pelanggan yang datang terlebih dahulu, Last Come First Served (LCFS) merupakan antrean dimana yang datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal, Service in Random Order (SIRO) atau pelayanan dalam urutan acak atau sering dikenal juga Random Selection For Service (RSS), Priority Service (PS) artinya prioritas pelayanan diberikan kepada mereka yang mempunyai prioritas paling tinggi dibandingkan dengan mereka yang memiliki prioritas paling rendah.

Dalam beberapa kasus seperti di Rumah Sakit disiplin antrean yang diterapkan adalah Priority Service, hal ini dikarenakan alasan kebutuhan pasien, yaitu pasien yang keadaanya lebih kritis akan dilayani terlebih dahulu tanpa mempertimbangkan pasien yang datang lebih awal. Priority Service (PS) atau prioritas pelayanan terdapat dua aturan yang dapat diikuti, yaitu :

1. Aturan Preemptive

Disiplin pelayanan Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Misalnya, kasus seperti di rumah sakit saat pendaftaran pasien untuk memperoleh ruang inap. Pasien dengan prioritas yang lebih tinggi akan dilayani terlebih dahulu dari pada pasien dengan prioritas yang lebih rendah,

meskipun pasien dengan prioritas yang lebih rendah datang terlebih dahulu. Dalam hal ini, pasien dengan prioritas yang lebih tinggi adalah pasien dengan kondisi penyakit yang lebih parah daripada pasien dengan prioritas yang lebih rendah.

2. Aturan Non-Preemptive

Disiplin pelayanan Non-Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan. Misalnya, dalam suatu pesta, dimana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan mendapat pelayanan terlebih dahulu dibandingkan tamu dengan kategori biasa.

Dalam beberapa penelitian telah dibahas mengenai disiplin antrean prioritas pelayanan, contohnya “A Non-Preemptive Priority Queueing System with a Single Server Serving Two Queues M/G/1 and M/D/1 with Optional Server Vacations Based on Exhaustive Service of the Priority Units” oleh Kailash C. Madan tahun 2011 membahas tentang aplikasi dari prioritas pelayanan Non-Preemptive. “Sistem Antrean Dengan Prioritas Pelayanan” oleh Durratun Ni’amah dan Sugito pada tahun 2011 mengkaji tentang analisis formula prioritas pelayanan Non-Preemptive. “Distribusi Waktu Tunggu Pada Disiplin Pelayanan Prioritas (Studi Kasus: Instalasi Rawat Darurat Di RSUD Dr. Soetomo Surabaya)” oleh Tommy Yoga Aditama, Laksmi Prita Wardhani pada tahun 2013 membahas tentang aplikasi dari prioritas pelayanan Preemptive. “Cost and Profit Analysis of Markovian Queuing System with Two Priority Classes: A Computational Approach” oleh S. S. Mishra and D.

K. Yadav membahas tentang biaya dan keuntungan dalam penerapan sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive.

Berdasarkan penelitian sebelumnya, penelitian tersebut hanya membahas tentang aplikasi dari sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive. Oleh karena itu, pada tugas akhir ini akan dibahas penurunan formula probabilitas n pelanggan dalam sistem dan ukuran-ukuran keefektifan sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive, sehingga tugas akhir ini berjudul “ANALISIS SISTEM ANTREAN DENGAN DISIPLIN PELAYANAN PREEMPTIVE”

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka dirumuskan permasalahan dari penelitian ini adalah bagaimana analisis ukuran keefektivan sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive?

C. Tujuan Penelitian

Dengan memperhatikan rumusan masalah di atas, maka tujuan penelitian ini adalah menjelaskan bagaimana analisis ukuran keefektivan sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive.

D. Manfaat Penelitian

Hasil Penulisan tugas akhir ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut:

1. Bagi mahasiswa, menambah pengetahuan mengenai sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive, sehingga dapat digunakan sebagai acuan untuk membuat karya ilmiah yang terkait dengan teori antrean.

2. Bagi lembaga, dapat menambah referensi mengenai sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive.

BAB II KAJIAN TEORI

Pada bab ini akan dijabarkan tentang dasar-dasar yang digunakan dalam pembahasan model antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive, mencangkup tentang teori antrean, pola kedatangan model antrean satu server dengan disiplin pelayanan Preemptive yang berdistribusi Poisson, waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial, dan Probability Generating Function (PGF)

A. Sistem Antrean

Prinsip utama pada situasi mengantri adalah pelanggan dan server. Kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan dari suatu sumber populasi, dapat terjadi dua kemungkinan yaitu pelanggan langsung mendapatkan pelayanan dari fasilitas atau harus mengantri diantrean jika fasilitas sibuk. Berdasarkan titik pokok dari analisis antrean, kedatangan dari pelanggan diwakili dengan waktu antar kedatangan antara pelanggan yang datang berturut-turut dan pelayanan diwakili dengan waktu pelayanan tiap pelanggan. Secara umum, waktu antar kedatangan dan pelayanan dapat bersifat suatu kemungkinan atau tidak pasti, sebagaimana pelanggan datang pada suatu restoran, atau bersifat telah ditentukan atau dijadwalkan seperti kedatangan pelamar pekerjaan pada suatu wawancara (Taha, 2007:551).

Menurut Bronson (1996:310), proses antrean merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan,

dan akhirnya meninggalkan fasilitas pelayanan setelah mendapat pelayanan. Proses ini dimulai saat pelanggan-pelanggan yang memerlukan pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang disebut sebagai sumber input.

Sistem antrean adalah himpunan pelanggan, pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan dan pelayanannya. Sistem antrean merupakan proses kelahiran dan kematian dengan suatu populasi yang terdiri atas para pelanggan yang sedang menunggu pelayanan atau yang sedang dilayani. Kelahiran terjadi jika seorang pelanggan memasuki fasilitas pelayanan, sedangkan kematian terjadi jika pelanggan meninggalkan fasilitas pelayanan. Keadaan sistem adalah jumlah pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan (Wospakrik, 1996: 302).

B. Faktor Sistem Antrean

Terdapat beberapa faktor penting yang berpengaruh terhadap sistem antrean dan pelayanannya, antara lain:

1. Distribusi Kedatangan

Pada sistem antrean, distribusi kedatangan merupakan faktor penting yang berpengaruh besar terhadap kelancaran pelayanan. Distribusi kedatangan terbagi menjadi dua, diantaranya:

a. Kedatangan secara individu (single arrivals) b. Kedatangan secara kelompok (bulk arrivals)

Distribusi kedatangan diasumsikan bahwa kedatangan customer mengikuti suatu proses dengan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas yang sering digunakan ialah distribusi Poisson, dimana kedatangan bersifat bebas, tidak terpengaruh oleh kedatangan sebelum ataupun sesudahnya. Asumsi distribusi Poisson menunjukkan bahwa kedatangan customer sifatnya acak dan mempunyai nilai rata-rata kedatangan sebesar lamda (Kakiay, 2004: 11).

2. Distribusi Pelayanan

Distribusi pelayanan berkaitan dengan banyaknya fasilitas pelayanan yang dapat disediakan. Distribusi pelayanan terbagi menjadi dua komponen penting, yaitu:

a. Pelayanan secara individual (single service) b. Pelayanan secara kelompok (bulk service)

Distribusi probabilitas yang biasa digunakan pada ditribusi waktu pelayanan yaitu distribusi Poisson. Lain halnya dengan waktu antar pelayanan yang diasumsikan berdistribusi Eksponensial. Distribusi Eksponensial merupakan distribusi acak yang variabelnya berdiri sendiri tanpa memori masa lalu. Artinya, waktu antar pelayanan tidak bergantung dengan pelayanan sebelumnya. Rata-rata laju pelayanan dengan simbol (mu) merupakan banyaknya customer yang dapat dilayani dalam satuan waktu.

3. Kapasitas Sistem

Menurut Bronson (1996:310), kapasitas sistem adalah banyak maksimum pelanggan, baik pelanggan yang sedang berada dalam pelayanan maupun dalam antrean, yang ditampung oleh fasilitas pelayanan pada waktu yang sama. Suatu sistem yang tidak membatasi jumlah pelanggan di dalam fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas tak terbatas (infinite), sedangkan suatu sistem yang membatasi jumlah pelanggan di dalam fasilitas pelayanannya dikatakan memiliki kapasitas yang terbatas (finite), jika pelanggan memasuki sistem pada saat fasilitas pelayanan penuh maka pelanggan akan ditolak dan meninggalkan sistem tanpa memperoleh pelayanan.

4. Disiplin Antrean

Menurut Kakiay (2004:12), disiplin antrean merupakan aturan dimana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan menerima

layanan. Aturan pelayanan menurut kedatangan ini dapat didasarkan pada:

a. First Come First Served (FCFS)

FCFS merupakan suatu aturan dimana pelanggan yang datang lebih awal yang akan dilayani terlebih dahulu. Contohnya antrean disuatu kasir penjualan tiket menonton di bioskop, pelanggan yang datang paling awal akan mendapatkan tiket terlebih dahulu.

b. Last Come First Served (LCFS)

LCFS merupakan suatu aturan dimana pelanggan yang datang paling akhir yang akan dilayani terlebih dahulu. Contohnya antrean pada sistem bongkar muat barang di dalam truk, dimana barang yang terakhir masuk berada di tumpukan paling atas sehingga harus keluar terlebih dahulu.

c. Service In Random Order (SIRO)

SIRO atau pelayanan dalam urutan acak yang sering dikenal juga Random Selection For Service (RSS), merupakan suatu aturan pelayanan yang dilakukan secara acak, tidak mempermasalahkan siapa yang lebih dahulu datang. Contohnya pada saat arisan, dimana pelayanan dilakukan berdasarkan undian (Random) untuk ditentukan pemenangnya.

d. Priority Service (PS)

PS merupakan suatu aturan dimana pelanggan yang memiliki prioritas paling tinggi akan dilayani terlebih dahulu dari pada

pelanggan yang memiliki prioritas paling rendah. Contohnya dalam suatu pesta, dimana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan mendapat pelayanan terlebih dahulu dibandingkan tamu dengan kategori biasa. Dalam prioritas pelayanan terdapat dua aturan yang dapat diikuti, yaitu:

i. Aturan Preemptive (PRD)

Disiplin pelayanan Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya.

ii. Aturan Non-Preemptive (NPD)

Disiplin pelayanan Non-Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan.

5. Perilaku Coustomer

Perilaku manusia merupakan perilaku – perilaku yang mempengaruhi suatu sistem antrean ketika manusia mempunyai peran dalam sistem baik sebagai pelanggan maupun pelayan. Jika manusia berperan sebagai pelayan, dapat melayani pelanggan dengan cepat atau lambat sesuai kemampuannya sehingga mempengaruhi lamanya waktu tunggu (Taha, 1997:178).

Menurut Gross dan Harris (1998:3), perilaku manusia dalam sistem antrean jika berperan sebagai pelanggan sebagai berikut:

a. Jockeying adalah suatu perilaku manusia untuk mengurangi waktu tunggu dengan berpindah dari antrean satu ke yang lainnya.

b. Balking adalah suatu perilaku dimana seseorang tidak masuk dalam antrean dan langsung meninggalkan tempat antrean.

c. Reneging adalah suatu perilaku dimana seseorang masuk dalam antrean, namun belum memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrean tersebut.

6. Desain Pelayanan

Desain sarana pelayanan dapat diklasifikasikan dalam channel dan phase yang akan membentuk struktur antrean yang berbeda-beda (Sinalungga, 2008:249). Istilah channel menunjukkan jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau jumlah fasilitas pelayanan. Istilah phase berarti banyaknya stasiun-stasiun pelayanan, dimana pelanggan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap. Ada beberapa struktur model antrean yang biasa digunakan dalam sistem antrean, diantaranya yaitu:

a. Single Channel Single Phase

Single Channel Single Phase adalah suatu sistem antrean dimana pelanggan hanya dilayani oleh satu penyedia layanan (server) dan melalui satu phase pelayanan. Desain dari sistem antrean ini merupakan desain yang paling sederhana. Contohnya pada penjualan karcis masuk obyek wisata yang hanya memiliki satu loket saja.

Gambar 2.2 Sistem Antrean Single Channel Single Phase

b. Single Channel Multiple Phase

Single Channel Multiple Phase adalah suatu sistem antrean yang memiliki dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan atau seri atau bisa disebut juga disusun menjadi beberapa phase. Desain pelayanan seperti ini biasa diterapkan pada saat memperpanjang surat ijin mengemudi (SIM). Untuk memperpanjang SIM tersebut, seseorang diharuskan untuk menyelesaikan proses melalui loket – loket yang tersusun secara berurutan.

Gambar 2.3 Sistem Antria Single Channel Multiple Phase

c. Multiple Channel Single Phase

Multiple Channel Single Phase adalah suatu sistem antrean yang memiliki dua atau lebih fasilitas pelayanan (server) yang terdiri dari antrean tunggal. Contohnya seperti saat nasabah mengantri di bank dengan beberapa loket teller.

Gambar 2.4 Sistem Antrean Multiple Channel Single Phase

d. Multiple Channel Multiple Phase

Multiple Channel Multiple Phase adalah suatu sistem antrean yang memiliki beberapa phase, dimana setiap phase dilayani beberapa server. Hal ini berarti ada lebih dari satu pelanggan yang dilayani pada waktu yang bersamaan disetiap phase. Contohnya seperti pendaftaran pasien di rumah sakit. Pasien mendaftar di rumah sakit menuju loket pendaftaran yang terdiri dari beberapa loket. Kemudian, pasien melanjutkannya dengan menuju klinik yang diinginkan.

7. Sumber Pemanggilan

Sumber pemanggilan pada fasilitas pelayanan dapat berupa mesin maupun manusia. Bila ada sejumlah mesin yang rusak maka sumber pemanggilan akan berkurang dan tidak dapat melayani pelanggan. Sumber pemanggilan pelanggan bisa bersifat terbatas atau tak terbatas. Sumber pemanggilan yang terbatas (finite calling source) berarti bahwa pelanggan yang datang untuk mendapatkan pelayanan terbatas, seperti pada kerusakan mesin-mesin yang menunggu servis dari montir mesin tersebut. Sumber yang tak terbatas (infinite calling source) adalah pelanggan yang terus datang tanpa henti, seperti panggilan pada sentral telepon (Taha, 2007:552).

8. Fasilitas Pelayanan

Fasilitas pelayanan berkaitan erat dengan baris antrean yang akan dibentuk. Desain fasilitas pelayanan ini dapat dibagi dalam tiga bentuk, yaitu:

a. Bentuk series

Fasilitas pelayanan dengan bentuk series merupakan fasilitas pelayanan yang berurutan dalam satu garis lurus.

b. Bentuk paralel atau sejajar

Fasilitas pelayanan dengan bentuk paralel merupakan fasilitas pelayanan yang dilakukan secara bercabang dengan fungsi yang sama.

Fasilitas pelayanan dengan bentuk network station merupakan fasilitas pelayanan series dan paralel yang terjadi secara bersama sama.

C. Notasi Kendall

Karakteristik dan asumsi dari model antrean dirangkum dalam bentuk notasi. Menurut Kakiay (2004:17-18), bentuk kombinasi proses kedatangan dengan pelayanan pada umumnya dikenal sebagai standar universal. Standar universal disebut notasi Kendall yaitu:

dimana simbol merupakan unsur-unsur dasar dari model baris antrean. Penjelasan simbol-simbol yang dimaksud adalah sebagai berikut:

Distribusi kedatangan (Arrival Distribution) Distribusi waktu pelayanan atau keberangkatan

Banyaknya pelayan dalam paralel (dimana ) Disiplin antrean, seperti FCFS, LCFS, SIRO, atau PR.

Jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistem (Queue dan System) Banyaknya pelanggan yang ingin memasuki sistem sebagai sumber.

Notasi standar ini dapat diganti dengan kode-kode yang sebenarnya dari distribusi-distribusi yang terjadi dan bentuk lainnya, seperti:

Distribusi Markovian (Poisson) pada kedatangan atau keberangkatan (setara dengan distribusi antar kedatangan atau waktu pelayanan yang eksponensial)

Deterministic menyatakan waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan konstan.

Banyaknya server dalam bentuk paralel atau seri Jumlah maksimum pelanggan dalam sistem

Erlang Distribution menyatakan waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Erlang

General Distribution menyatakan distribusi umum dari keberangkatan atau waktu pelayanan

General Independent Distribution menyatakan distribusi independen umum dari kedatangan atau waktu antar kedatangan

General Discipline (disiplin umum) dalam antrean (FCFS, LCFS, dll)

Non-Preemptive Discipline Preemptive Discipline

Berikut ini adalah contoh notasi Kendall yang digunakan untuk menentukan model antrean:

Hal ini berarti: Distribution of Poisson Arrival atau kedatangan yang berdistribusi Poisson

Waktu pelayanan yang berdistribusi Eksponensial Banyaknya server

General Discipline (FCFS)

Kapasitas pelanggan dan sumber pemanggilan tidak terbatas

D. Distribusi Eksponensial dan Distribusi Poisson 1. Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial digunakan untuk menggambarkan distribusi waktu. Misalnya pada fasilitas jasa, dengan asumsi bahwa waktu pelayanan bersifat acak. Artinya waktu untuk melayani customer tidak tergantung pada lama waktu yang telah dihabiskan untuk melayani customer sebelumnya dan tidak bergantung pada jumlah customer yang menunggu untuk dilayani. Berikut ini merupakan definisi yang menjelaskan tentang distribusi Eksponensial: Definisi 2.1 (Djauhari, 1990: 175-176)

Variabel acak dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter jika memiliki fungsi kepadatan probabilitas sebagai berikut:

dimana menyatakan waktu yang dibutuhkan sampai terjadi satu kali sukses dengan adalah rata-rata banyaknya sukses dalam selang waktu satuan.

Fungsi distribusi kumulatif Eksponensial merupakan integral dari persamaan (2.1), sehingga diperoleh

2. Distribusi Poisson

Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun pada daerah yang spesifik dikenal sebagai eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat berupa menit, hari, minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat berarti garis, luas, sisi, maupun material. Distribusi Poisson adalah distribusi kemungkinan dari variabel random Poisson , yang mempresentasikan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu tertentu ataupun daerah yang spesifik (Dimyati, 1999:309).

Menurut Dimyati (1999:309), ciri-ciri eksperimen Poisson adalah:

a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu bersifat independen terhadap banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

b. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan selama suatu waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut.

c. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut dapat diabaikan.

Definisi 2.2 (Dimyati, 1999:309) Variabel acak diskrit dikatakan terdistribusi Poisson dengan parameter jika memiliki fungsi densitas peluang yang berbentuk:

(2.3) Dimana : hasil yang mungkin dari variabel acak diskrit

konstanta dasar (basis) logaritma natural nilai harapan dari , dimana adalah variabel acak diskrit

E. Probability Generating Function (PGF)

Probabilitas menghasilkan fungsi yang banyak digunakan dalam studi, proses stokastik dan sistem antrean adalah contoh khusus dari proses tersebut.

Definisi 2.3 (Bain & Engelhardt, 1992:61) Jika adalah suatu variabel acak diskrit dengan fungsi peluang maka nilai harapan dari didefinisikan sebagai

Definisi 2.4 (Purcell & Varberg, 2001:49) Andaikan adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang sehingga

(2.5)

maka turunan pertama dari adalah

(2.6) Definisi 2.5 (Purcell & Varberg, 2001 : 12) Deret geometri berbentuk

akan konvergen dan mempunyai jumlah

Definisi 2.6 (Bunday, 1996:10) Jika adalah suatu variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas untuk dengan probabilitas maka probability generating function (PGF) dari didefinisikan sebagai

probabilitas dapat dihitung dengan

Untuk , diperoleh

turunan pertama dari adalah

sehingga untuk , diperoleh

berdasarkan Definisi (2.3) maka diperoleh

Demikian pula untuk turunan kedua dari adalah

sehingga untuk , diperoleh

berdasarkan Definisi (2.3) maka diperoleh

Dari turunan pertama diperoleh nilai harapan dan dari turunan kedua diperoleh . Kedua hasil tersebut mengarah pada variansi dari .

Yang disebut varians dari variabel random ialah atau . Akar kuadrat dari varians disebut simpangan baku atau simpang baku.

F. Proses Kelahiran dan Kematian (Birth-Death Processes)

Proses kedatangan dan kepergian dalam suatu sistem antrean merupakan proses kelahiran dan kematian (birth - death processe). Kelahiran terjadi jika seorang pelanggan memasuki sistem antrean dan kematian terjadi jika seorang pelanggan meninggalkan sistem antrean tersebut.

Menurut Winston (1994:115), proses kelahiran dan kematian merupakan proses penjumlahan dalam suatu sistem dimana keadaan sistem selalu menghasilkan bilangan bulat positif. Keadaan sistem pada saat didefinisikan sebagai selisih antara banyaknya kelahiran dan kematian pada saat . Dengan demikian, keadaan sistem pada saat dalam suatu sistem antrean yang dinotasikan dengan , adalah selisih antara banyaknya kedatangan dan kepergian pada saat .

Misal, banyaknya kedatangan pelanggan pada saat dinotasikan dengan dan banyaknya kepergian pada saat dinotasikan dengan , maka banyaknya pelanggan yang berada dalam sistem pada saat adalah . Sedangkan peluang terdapat pelanggan dalam sistem antrean pada saat dinotasikan dengan atau

Akan dicari peluang terdapat pelanggan dalam suatu sistem antrean pada saat . Namun sebelumnya, diberikan definisi - definisi yang digunakan pada pembahasan selanjutnya.

Definisi 2.7 (Hogg dan Tanis, 2001:66) Kejadian dikatakan kejadian – kejadian yang saling asing jika

Definisi 2.8 (Bain dan Engelhardt, 1992:9) Jika sebuah percobaan adalah kejadian yang mungkin terjadi pada ruang sampel . fungsi peluang merupakan fungsi yang mengawankan setiap kejadian dengan bilangan real dan disebut peluang kejadian jika memenuhi ketentuan berikut.

1. 2.

3. Jika adalah kejadian yang saling asing, maka

Definisi 2.9 (Hogg dan Tanis, 2001:96) Kejadian dan dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

Jika kejadian dan tidak memenuhi kondisi tersebut maka disebut kejadian bergantung.

Definisi 2.10 (Dimyati & Dimyati, 2002:356) Probabilitas bahwa jumlah kombinasi kelahiran dan kematian lebih dari satu selama interval waktu sampai adalah (keterangan: adalah fungsi dari yang mendekati nol). Dengan demikian, fungsi tersebut memenuhi persamaan:

Definisi 2.11 (Purcell & Varberg, 1998:141) Definisi turunan sebagai berikut:

Asal limit fungsinya ada.

Teorema 2.1 (Bartle dan Sherbert, 2000:176-177) Misal dan didefinisikan pada missal , sehingga

dikatakan indeterminate dan maka limit dari di ada dan sama dengan

sehingga

Teorema tersebut disebut dengan aturan L’Hopital

Jika untuk berlaku Maka berdasarkan Definisi (2.11) adalah

Terbukti bahwa

Menurut Wospakrik (1996:297), asumsi-asumsi proses kelahiran dan kematian dalam antrean sebagai berikut:

i) Semua kejadian pada saat interval waktu yang sangat pendek mempunyai probabilitas yang sama apabila sebanyak pelangan berada dalam sistem antrean, maka probabilitas sebuah kedatangan terjadi antar dan , dinyatakan dengan

merupakan laju kedatangan.

ii)Probabilitas tidak ada kedatangan antara dan , dinyatakan dengan

iii) Probabilitas ada satu kepergian antara dan , dinyatakan dengan

merupakan laju pelayanan.

iv) Probabilitas tidak ada kepergian antara dan , dinyatakan dengan

v) Probalititas terjadi lebih dari satu kejadian pada selang waktu yang sangat pendek adalah sangat kecil sehingga dapat diabaikan, dapat dinyatakan dengan

vi) Proses kedatangan dan pelayanan merupakan kejadian yang saling bebas. Bedasarkan asumsi (vi), kedatangan dan kepergian merupakan kejadian-kejadian yang saling bebas, sehingga kejadian-kejadian-kejadian-kejadian pada interval waktu tertentu tidak mempengaruhi kejadian pada interval waktu sesudahnya. Proses kedatangan dan kepergian dalam suatu sistem antrean sesuai asumsi-asumsi proses kelahiran dan kematian dalam antrean ditunjukan pada Gambar 2.6 berikut.

Berdasarkan Gambar 2.6 kemungkinan-kemungkinan kejadian saling asing yang dapat terjadi jika terdapat pelanggan dalam sistem pada waktu adalah sebagi berikut.

Tabel 2.1 Kemungkinan Kejadian Terdapat Pelanggan dalam Sistem Pada Saat

Kasus

Jumlah Pelanggan pada Waktu (t)

Jumlah Kedatangan pada Waktu

(∆t)

Jumlah Kepergian pada Waktu

(∆t)

Jumlah Pelanggan pada Waktu (t + ∆t)

1 n 0 0 n

2 n+1 0 1 n

3 n-1 1 0 n

4 n 1 1 n

Menurut asumsi (vi), kedatangan dan kepergian merupakan kejadian - kejadian yang saling bebas, sehingga peluang dari masing - masing kejadian tersebut adalah sebagai berikut:

1. Probabilitas kasus 1 =

2. Probabilitas kasus 2 =

3. Probabilitas kasus 3 =

4. Probabilitas kasus 4 adalah , sesuai dengan asumsi v.

Karena kasus – kasus tersebut saling asing, maka probabilitas terdapat pelanggan dalam system pada saat dinyatakan dengan:

(kasus 1 atau kasus 2 atau kasus 3 atau kasus 4)

probabilitas kasus 1 + probabilitas kasus 2 + probabilitas kasus 3 + probabilitas kasus 4

(2.11)

(2.12) Pada Persaman (2.12) dikurangkan pada ruas kanan dan kiri kemudian dibagi dengan maka diperoleh:

(2.13)

Karena sangat kecil dan mendekati nol, maka berdasarkan Definisi 2.11 didapatkan:

(2.14)

Persamaan (2.14) merupakan dasar perhitungan probabilitas terdapat pelanggan pada proses kedatangan murni dan kepergian murni. Persamaan (2.14) disebut sebagai Persamaan Kolmogorov untuk

Selanjutnya akan dibahas secara khusus probabilitas terdapat pelanggan untuk nilai Pada saat jumlah pelanggan dalam sistem adalah nol, maka probabilitas terjadinya nol kepergian pelanggan pada kasus 1 adalah satu.

Probabilitas terdapat pelanggan, dengan dalam waktu adalah

(kasus 1 atau kasus 2 atau kasus 4)

Probabilitas Kasus 1 + Probabilitas Kasus 2 + Probabilitas Kasus 4

nilai maka diperoleh

(2.15)

Pada persamaan (2.15) dikurangkan pada ruas kanan dan ruas kiri, kemudian diagi dengan , maka diperoleh

Karena sangat kecil dan mendekati nol, maka berdasarkan Definisi 2.11 didapatkan:

(2.16) Persamaan (2.14) dan (2.16) merupakan Persamaan Kolmogrov yang digunakan sebagai dasar untuk menentukan peluang bahwa ada

pelanggan dengan dan pada selang waktu yang dapat diringkas sebagai berikut

G. Distribusi Kedatangan

Distribusi kedatangan berhubungan dengan peluang terdapat kedatangan pelanggan dalam suatu sistem antrean pada interval waktu tertentu. Kedatangan yang dimaksud dalam pembahasan ini adalah kedatangan murni, yaitu kedatangan tanpa disertai kepergian, maka laju kepergian (Dimyati, 1999:358-359).

Peluang terdapat kedatangan pada waktu dapat diperoleh dengan mensubtitusikan dan ke persamaan (2.14) dan persamaan (2.16) sehingga diperoleh sebagai berikut:

Substitusikan dan ke persamaan (2.16) diperoleh

(2.17)

Substitusikan dan ke persamaan (2.14) diperoleh

(2.18) Definisi 2.12 (Kreeyszig, 2003:33) Persamaan differensial orde satu dapat dinyatakan sebagai

Persamaan (2.17) dapat dinyatakan sebagai persamaan differensial linear orde satu dengan . Maka penyelesaiannya adalah

Diasumsikan bahwa proses kedatangan murni dimulai pada saat sistem memiliki nol pelanggan, sehingga peluang terdapat nol pelanggan dalam sistem pada saat adalah 1 dinotasikan dengan

.

Peluang ada pelanggan pada adalah 0, hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

dengan demikian

dan diperoleh

_(2.20)

Jadi persamaan (2.20) merupakan solusi untuk persamaan (2.17).

Selanjutnya akan dicari solusi untuk persamaan (2.18) sebagai berikut: Berdasarkan Definisi (2.12), persamaan (2.18) dapat dinyatakan sebagai persamaan differensial linear orde satu dengan dan Maka penyelesaiannya adalah

_(2.21)

untuk nilai diperoleh

_(2.22)

Persamaan (2.20) disubstitusikan ke Persamaan (2.22) diperoleh

berdasarkan Persamaan (2.19) maka dari Persamaan (2.23) didapatkan

Sehingga diperoleh nilai , maka persamaan (2.23) menjadi

_(2.24)

Jadi Persamaan (2.24) adalah solusi dari Persamaan (2.18) untuk .

Selanjutnya dicari solusi persamaan (2.18) untuk sebagai berikut

untuk persamaan (2.21) menjadi

_(2.25)

Persamaan (2.24) disubstitusikan ke persamaan (2.25) didapatkan

Sehingga diperoleh nilai maka persamaan (2.26) menjadi

_(2.27)

Jadi persamaan (2.27) adalah solusi dari persamaan (2.26) untuk

Dari persamaan (2.20), (2.24), dan (2.27) dapat disimpulkan bahwa solusi umum dari persamaan (2.17) dan persamaan (2.18) adalah

_(2.28)

Bukti bahwa persamaan (2.28) adalah solusi umum dari persamaan (2.17) dan persamaan (2.18) adalah sebagai berikut

Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika

1. Persamaan (2.24) yaitu membuktikan bahwa persamaan (2.28) merupakan penyelesaian persamaan (2.18) unuk

2. Diasumsikan persamaan (2.28) merupakan penyelesaian persamaan (2.18) untuk , maka

3. Akan dibuktikan bahwa persamaan (2.28) merupakan penyelesaian dari persamaan (2.18) untuk

Untuk , persamaan (2.18) menjadi

(2.29) asumsi 2 didistribusikan ke persamaan (2.29) sehingga menjadi

(2.30) persamaan (2.30) merupakan persamaan differensial orde satu dengan dan

, sehingga penyelesaiannya adalah

(2.31) berdasarkan persamaan (2.19) maka persamaan (2.31) didapatkan

sehingga diperoleh nilai ,maka persamaan (2.31) menjadi

persamaan (2.32) merupakan penyelesaian dari persamaan (2.18) untuk dan memenuhi persamaan (2.28).

Jadi,

merupakan solusi umum dari persamaan (2.17) dan persamaan (2.18). Dengan demikian, berdasarkan Definisi (2.3) dapat disimpulkan bahwa kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson.

Teorema 2.2 (Gross dan Harris, 1998:16) Jika rata-rata kedatangan pelanggan dan rata-rata pelayanan mengikuti distribusi Poisson maka waktu antar kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

Berdasarkan Teorema (2.2) akan dibuktikan jika kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson maka waktu antar kedatangan pelanggan berdistribusi Eksponensial.

Bukti:

Berdasarkan uraian sebelumnya, diketahui bahwa kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson. adalah waktu antara ( ) kedatangan sampai kedatangan. Barisan ( ) merupakan barisan waktu antar kedatangan yang saling asing dan saling bebas.

Ambil yang merupakan waktu antara tidak ada pelanggan dalam sistem dan ketika ada kedatangan pertama. Akan ditunjukkan bahwa berdistribusi Eksponensial.

Ambil , maka banyaknya kedatangan pada waktu adalah nol, artinya

(tidak ada kedatangan selama waktu t )

berdasarkan persamaan (2.20), dengan menyatakan laju kedatangan rata-rata, maka fungsi distribusi dari dengan adalah

_(2.33)

berdasarkan Definisi (2.2), persamaan (2.33) merupakan distribusi kumulatif dari dstribusi Eksponensial yang secara umum ditulis

Sehingga fungsi densitas peluang dari untuk adalah

_(2.34)

Berdasarkan Definisi (2.1), merupakan variabel acak yang berdistribusi Eksponensial dengan parameter . Sesuai dengan asumsi

bebas, maka pembuktian di atas juga berlaku untuk ( ), . Jadi terbukti bahwa waktu antar kedatangan berdistribusi Eksponensial.

H. Distribusi Kepergian

Distribusi kepergian berhubungan dengan peluang terdapat kepergian pelanggan dalam suatu sistem antrean pada interval waktu tertentu. Kepergian yang dimaksud dalam pembahasan ini adalah kepergian murni, yaitu kepergian yang tanpa disertai kedatangan, sehingga laju kedatangan .

Diasumsikan bahwa laju kepergian tidak tergantung pada banyaknya pelanggan yang berada dalam sistem, sehingga Peluang terdapat kepergian selama waktu dapat diperoleh dengan mensubsitusikan dan ke Persamaan (2.14) dan Persamaan (2.16) sehingga diperoleh

Substitusikan dan ke persamaan (2.16) diperoleh

(2.35)

Substitusikan dan ke persamaan (2.14) diperoleh

Akan ditunjukkan bahwa kepergian pelanggan berdistribusi Poisson. Jika jumlah pelanggan dalam sistem antrean selama adalah , maka

sehinggan untuk berlaku

(2.37) Sedangkan untuk berlaku

(2.38) berdasarkan Definisi (2.12), persamaan (2.17) dan persamaan (2.38) dapat dinyatakan sebagai persamaan differensial orde satu. Sehingga penyelesaian persamaan (2.37) adalah

Diasumsikan bahwa proses kepergian murni dimulai ( ) pada saat sistem memiliki pelanggan dalam sistem. Sehingga peluang terdapat pelanggan dalam sistem pada kondisi awal ( ) dinotasikan adalah 1. Jika maka . Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut

(2.39)

dengan demikian,

Selanjutnya akan dicari solusi untuk persamaan (2.38) sebagai berikut, penyelesaian dari persamaan (2.38) adalah

_(2.41) untuk maka

(2.42) subsitusi persamaan (2.40) ke persamaan (2.42) sehingga diperoleh

_(2.43) berdasarkan persamaan (2.39), maka

sehingga , maka persamaan (2.43) menjadi

_(2.44)

untuk , persamaan (2.41) menjadi

(2.45) persamaan (2.44) disubstitudikan ke persamaan (2.45) sehingga diperoleh

_(2.46)

berdasarkan persamaan (2.39) maka

sehingga diperoleh , maka persamaan (2.46) menjadi

_(2.47) Berdasarkan persamaan (2.40), persamaan (2.44), dan persamaan (2.47) dapat disimpulkan bahwa penyelesaian umum dari persamaan (2.37) dan persamaan (2.38) adalah

Pembuktiannya analog dengan pembuktian distribusi kedatangan yang telah dibahas pada sub bab sebelumnya. Jadi kepergian pelanggan juga berdistribusi Poisson, dengan parameter .

Berdasarkan Teorema (2.2) akan dibuktikan jika kepergian pelanggan berdistribusi Poisson maka waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

Bukti :

Misal keadaan awal suatu sistem antrean sebanyak pelanggan. Ambil sebagai waktu pelayanan pertama, menunjukkan waktu pelayanan kepada pelanggan ke sehingga barisan ( ) dengan merupakan barisan waktu pelayanan yang saling asing dan saling bebas.

Akan ditunjukkan bahwa berdistribusi Eksponensial. Ambil , maka jumlah kepergian pada waktu adalah nol, artinya

berdasarkan persamaan (2.40), dengan menyatakan laju pelayanan rata - rata, maka fungsi distribusi kumulatif dari dengan adalah

_(2.48) Berdasarkan Definisi (2.2), persamaan (2.48) merupakan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Eksponensial yang secara umum ditulis

sehingga fungsi densitas peluang dari untuk adalah

_(2.49) Berdasarkan Definisi (2.1), merupakan variabel acak yang berdistribusi Eksponensial dengan parameter µ. Sesuai dengan asumsi bahwa barisan waktu pelayanan pada sistem antrean adalah saling bebas, maka pembuktian diatas juga berlaku untuk ( ), . Jadi terbukti bahwa waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

I. Proses Kedatangan dan Kepergian Steady State

Kondisi steady state yaitu keadaan sistem yang tidak tergantung pada keadaan awal maupun waktu yang telah dilalui. Menurut Dimyati &

Dimyati (2002:361), jika sistem antrean mencapai kondisi steady state maka probabilitas menjadi konstan dan independen terhadap waktu.

Kondisi steady state terjadi ketika

dan sehingga untuk semua n, artinya tidak tergantung pada waktu.

Proses kedatangan dan kepergian pada pembahasan sebelumnya menghasilkan persamaan (2.14) dan persamaan (2.16). Untuk memperoleh kondisi steady state, substitusikan

dan pada persamaan (2.14) dan Persamaan (2.16), sehingga diperoleh persamaan kesetimbangan sebagai berikut

(2.50)

(2.51) Atau

(2.52) (2.53) akan dicari penyelesaian umum dari persamaan (2.50) dan persamaan (2.51) untuk , maka persamaan (2.52) menjadi

selanjutnya persamaan (2.53) disubtitusikan ke persamaan (2.54), sehingga diperoleh

untuk , maka persamaan (2.52) menjadi

Berdasarkan persamaan dari dan , maka diperoleh rumus umum dari persamaan (2.50) dan (2.51) adalah

(2.55)

Berlaku untuk

Nilai ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut ini:

Bukti dengan induksi matematika: 1. Untuk maka

Untuk maka

2. Diasumsikan bahwa persamaan (2.55) berlaku untuk maka

3. Akan dibuktikan persamaan (2.55) berlaku untuk

subsitusikan persamaan (2.55) ke persamaan (2.52), dengan diperoleh (2.56)

Jadi terbukti bahwa persamaan (2.55) berlaku untuk . Sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan (2.55) menyatakan peluang terdapat

pelanggan dalam keadaan steady state J. Ukuran Keefektifan Sistem Antrean

Menurut Taha (1997,189:190), ukuran keefektifan suatu sistem antrean dapat ditentukan setelah probabilitas steady state diketahui.

1. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrean ( ) 2. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalan antrean ( )

3. Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem antrean ( ) 4. Nilai harapan waktu tunggu dalam antrean ( )

Sebelum membahas lebih lanjut, akan diuraikan tiga Definisi yang mendukung pembahasan ukuran keefektifan suatu sistem.

Definisi 2.13 (Taha, 1993:596) Jumlah pelanggan dalam sistem adalah jumlah pelanggan dalam antrean ditambah jumlah pelanggan yang sedang mendapat layanan.

Definisi 2.14 (Taha, 1993:596) Laju kedatangan efektif merupakan laju kedatangan rata - rata dalam waktu yang panjang. Laju kedatangan efektif dinotasikan dan dinyatakan dengan

(2.57)

ditentukan dari yang bergantung pada keadaan dan probabilitas . Jika kapasitas dalam sistem tak terbatas yang mengakibatkan laju kedatangan dalam sistem stabil untuk semua n, maka

Terdapat hubungan yang kuat antara dan sehingga salah satu ukuran secara otomasis dapat ditentukan dari ukuran lainnya, maka

(2.58)

Hubungan langsung dari ukuran keefektifan juga terdapat antara dan , berdasarkan definisi

Diketahui bahwa adalah rata-rata laju pelayanan, maka waktu pelayanan yang diperkirakan adalah . Dengan demikian diperoleh,

(2.60)

Selanjutnya mengalikan kedua sisi persamaan (2.60) dengan , diperoleh

(2.61)

Pemanfaatan yang diperkirakan dari sebuah sarana pelayanan didefinisikan sebagai fungsi dari banyaknya rata-rata pelayan (server) yang sibuk. Karena selisih antara dan harus sama dengan banyaknya pelayan yang sibuk, maka diperoleh

_(2.62)

Solusi steady state dari kinerja sistem antrean di atas diturunkan dengan asumsi bahwa parameter-parameter dan adalah sedemikian sehingga kondisi steady state tercapai. Asumsi ini berlaku jika,

(2.63)

Definisi 2.15 (Dimyati, 2003:373) Laju pelayanan rata - rata untuk seluruh pelayan dalam sistem antrean adalah laju pelayanan rata - rata dimana pelanggan yang sudah mendapat pelayanan meninggalkan sistem antrean. Laju pelayanan rata - rata untuk seluruh pelayan dinyatakan dengan .

Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrean ( ) merupakan jumlah dari perkalian keseluruhan pelanggan dalam sistem dengan peluang terdapat pelanggan (Ecker, 1988:390), dinyatakan dengan

(2.64)

Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean ( ) merupakan jumlah dari perkalian pelanggan dalam antrean dengan peluang terdapat pelanggan (Hiller & Lieberman, 2011:852), dinyatakan dengan

Apabila merupakan waktu menunggu pelanggan dalam sistem antrean dan merupakan waktu menunggu pelanggan dalam antrean, maka hubungan , , , , dinyatakan dengan

(2.66)

(2.67)

Persamaan (2.66) dan (2.67) dikenal dengan formula Little Law, diperkenalkan pertama kali oleh John D.C Little pada tahun1961 (Gross dan Harris, 1998:11).

K. Model Antrean (M/M/1):(GD/∞/∞)

Proses kelahiran-kematian yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya digunakan untuk menganalisis ukuran keefektifan sistem antrean (M/M/1):(GD/∞/∞). Mengingat kembali bahwa sistem antrean

(M/M/1):(GD/∞/∞) memiliki waktu antar kedatangan Eksponensial (asumsikan rata-rata kedatangan per satuan waktu ) dan satu server dengan waktu antar pelayanan Eksponensial (asumsikan setiap customer waktu pelayanannya Eksponensial dengan rata-rata ) (Winston, 2004: 1072).

Sistem antrean (M/M/1):(GD/∞/∞) dimodelkan sebagai proses kelahiran-kematian dengan parameter berikut:

dengan menganggap . Selanjutnya, mengekspresikan ke dalam persamaan (2.55) yang telah digeneralisasi menjadi:

(2.68)

Selanjutnya, nilai dicari dengan menggunakan persamaan

yaitu jumlah semua untuk sama dengan 1, maka diperoleh

Persamaan tersebut merupakan deret geometri, maka dapat disubstitusikan ke dalam rumus deret geometri tak hingga yang didefinisikan dengan:

maka diperoleh,

Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (2.69) ke dalam persamaan (2.68), sehingga diperoleh rumus umum yaitu:

(2.70)

yang merupakan sebuah distribusi geometris.

Persyaratan matematis diperlukan untuk memastikan konvergensi dari serial geometris . Pada intinya, berarti bahwa yang menyatakan bahwa laju kedatangan harus lebih kecil dari laju pelayanan agar sistem mencapai kondisi steady state. Dengan demikian, dapat diturunkan ukuran-ukuran keefektifan model antrean (M/M/1):(GD/∞/∞) sebagai berikut:

Terlihat bahwa merupakan turunan sederhana dari terhadap . Selanjutnya dengan menggunakan definisi deret geometri maka diperoleh:

akibatnya,

Persamaan (2.72) kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (2.71), sehingga persamaannya menjadi:

Ukuran keefektifan rata-rata waktu customer menunggu dalamsistem dapat dicari dengan mensubstitusikan persamaan (2.73) ke persamaan (2.58)

karena model antrean (M/M/1):(GD/∞/∞) kapasitas sistem tak terbatas maka

Rata-rata waktu customer menunggu dalam antrean dapat dicari dengan cara mensubstitusikan persamaan (2.74) ke dalam persamaan (2.60), maka diperoleh

Selanjutnya, menentukan rata-rata banyaknya customer dalam antrean yaitu dengan cara mensubstitusikan persamaan (2.75) ke persamaan (2.59), sehingga diperoleh

karena model antrean (M/M/1):(GD/∞/∞) kapasitas sistem tak terbatas maka

Dengan demikian, banyak pelayanan yang sibuk atau kepadatan customer dapat dicari dengan mensubstitusikan persamaan (2.73) dan (2.76) ke dalam persamaan (2.62), sehingga diperoleh

BAB III PEMBAHASAN

Dalam skripsi ini akan dibahas tentang model antrean satu server dengan disiplin antrean Preemptive dengan pola kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Bab ini akan membahas tentang penurunan formula untuk mendapatkan ukuran keefektifan sistem, yaitu dilakukan dengan cara pendekatan Quasi Birth-Death Process dan Probability Generating Function (PGF). Ukuran keefektifan yang dimaksud adalah ekspektasi rata-rata banyak pelanggan dalam sistem antrean ( ), ekspektasi rata-rata banyak pelanggan dalam garis tunggu (antrean) ( ) , ekspektasi rata-rata waktu tungggu pelanggan dalam sistem antrean ( ), dan ekspektasi rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam garis tunggu (antrean) ( ).

A. Sistem Antrean Satu Server dengan Disiplin Antrean Preemptive

Sejauh ini dalam banyak penelitian, sering dianggap bahwa antrean dari pelayanan akan dilayani berdasarkan aturan disiplin antrean FCFS (First Come First Served) yaitu pelanggan yang datang lebih awal akan dilayani terlebih dahulu dari pada pelanggan yang datang paling akhir. Tentu saja tidak hanya disiplin antrean FCFS saja yang digunakan. Terdapat jenis disiplin antrean lain yang digunakan, misalnya, LCFS (Last Come First Served) yaitu pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu dari pada pelanggan yang datang paling awal, SIRO (Service In

Random Order) yaitu pelanggan dipilih berdasarkan undian (random) dan tidak dipengaruhi siapa yang datang lebih awal.

Pada kenyataannya, selain ketiga jenis disiplin antrean yang telah disebutkan di atas, pelanggan juga dapat dilayani secara prioritas atau yang dikenal dengan Priority Service (PS). Aturan dimana pelanggan akan dilayani berdasarkan tipe pelanggan. Pelanggan dengan prioritas tertinggi dalam sistem antrean akan masuk ke dalam layanan terlebih dahulu dibandingkan pelanggan dengan prioritas yang lebih rendah. Model-model di mana tipe pelanggan yang akan dilayani melalui pelayanan ditentukan oleh pelayan disebut model antrean prioritas. Dalam model-model antrean dengan prioritas, diasumsikan bahwa beberapa antrean yang pararel dibentuk di depan sebuah sarana pelayanan dengan setiap antrean diperuntukkan bagi para pelanggan dengan prioritas khusus. Jika terdapat antrean dalam sistem, dapat diasumsikan bahwa antrean 1 memiliki prioritas pelayanan tertinggi, dan antrean untuk pelanggan dengan prioritas terendah. Laju kedatangan dan pelayanan dapat berbeda untuk antrean dengan prioritas berbeda (Taha, 1996).

Disiplin pelayanan prioritas memiliki dua aturan yang dapat diikuti, yaitu:

1. Aturan Preemptive (PRD)

Disiplin pelayanan Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Misalnya, kasus seperti di rumah sakit saat pendaftaran pasien untuk

memperoleh ruang inap. Pasien dengan prioritas yang lebih tinggi akan dilayani terlebih dahulu dari pada pasien dengan prioritas yang lebih rendah, meskipun pasien dengan prioritas yang lebih rendah datang terlebih dahulu. Dalam hal ini, pasien dengan peioritas yang lebih tinggi adalah pasien dengan kondisi penyakit yang lebih parah daripada pasien dengan prioritas yang lebih rendah.

2. Aturan Non-Preemptive (NPD)

Disiplin pelayanan Non-Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan. Misalnya, dalam suatu pesta, dimana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan mendapat pelayanan terlebih dahulu dibandingkan tamu dengan kategori biasa.

Pada sistem antrean ini, pola kedatangan pelanggan memiliki laju kedatangan berdistribusi Poisson, terdapat satu server layanan yang memiliki laju pelayanan berdistribusi Eksponensial, dan disiplin pelayanan yang digunakan adalah disiplin prioritas Preemptive. Notasi untuk model antrean pada pembahasan ini adalah . Sesuai notasi dalam Kendall Lee, menyatakan distribusi kedatangan atau keberangkatan dari proses Poisson, menyatakan distribusi Eksponensial dari service time atau keberangkatan (departure), 1 menyatakan banyaknya server dalam sistem antrean, dan menyatakan aturan disiplin pelayanan prioritas Preemptive.

B. Quasi Birth-Death Process

adalah probabilitas steady state untuk unit prioritas dalam sistem dengan laju kedatangan dan laju pelayanan , unit prioritas dalam sistem dengan laju kedatangan dan laju pelayanan ,misalkan kedatangan pertama atau prioritas kelas yang lebih tinggi memiliki laju kedatangan , kedatangan kedua atau kelas yang lebih rendah memiliki laju kedatangan , maka total tingkat kedatangan adalah dengan faktor utility sistem atau peluang server sibuk adalah .

Gambar 3.1 Proses kedatangan dan kepergian sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive

Dari gambar 3.1 maka dapat dituliskan beberapa kemungkinan kejadian dari model antrean dengan disiplin prioritas Preemptive, yaitu:

(Tidak ada kedatangan = Prioritas dilayani + Prioritas dilayani)

Kasus 2

(Prioritas datang dan dilayani = Datang pelanggan dengan prioritas sebanyak unit kemudian dilayani pelanggan dengan prioritas sebanyak unit)

Kasus 3

(Prioritas datang dan dilayani = Dilayani pelanggan dengan prioritas kemudian ada kedatangan pelanggan dengan prioritas sebanyak unit lalu dilayani pelanggan dengan prioritas sebanyak unit)

Kasus 4

(Prioritas datang dan dilayani = terdapat kedatangan pelanggan dengan prioritas 1 sebanyak unit dan kedatangan pelanggan dengan peioritas 2 sebanyak unit kemudian dilayani pelanggan dengan prioritas 1 sebanyak unit)

Dari uraian kasus di atas dapat ditulis persamaan probabilitas untuk sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive dengan prioritas pertama dan prioritas kedua sebagai berikut

(3.2)

(3.3)

(3.4)

Langkah pertama yang dilakukan dalam menentukan ukuran keefektifan sistem antrean (M/M/1):(PRD/∞/∞) adalah mencari probabilitas

untuk masing-masing prioritas.

Jika adalah variabel diskrit yang menyatakan banyaknya pelanggan dalam sistem, dengan probabilitas maka berdasarkan Definisi (2.6) PGF dari adalah

1. Probabilitas prioritas pertama

(3.6)

Ketika , maka

(3.7)

Penyelesaian Persamaan (3.6) dengan mencari PGF dari adalah sebagai berikut

Persamaan (3.6) dikalikan dengan , maka didapatkan

Persamaan (3.8) terpenuhi jika . Jumlahkan persamaan tersebut dari

, maka

Berdasarkan Persamaan (3.5) maka Persamaan (3.9) adalah

Dari (3.7) diketahui bahwa , akibatnya

(3.11) Untuk mencari nilai , maka substitusikan ke Persamaan (3.5) diperoleh

Akibatnya

(3.12) Substitusikan Persamaan (3.12) ke Persamaan (3.11) diperoleh

(3.13)

Selanjutnya akan mencari turunan pertama dari (3.13) terhadap untuk memperoleh nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean untuk prioritas pertama

Mencari turunan parsial dari persamaan (3.13) dengan memisalkan

Substitusikan

2. Probabilitas prioritas kedua

Jika adalah variabel diskrit yang menyatakan banyaknya pelanggan dalam sistem, dengan probabilitas maka berdasarkan Definisi (2.6) PGF dari adalah

Penyelesaian Persamaan (3.3) dengan mencari PGF dari adalah sebagai berikut

Persamaan (3.3) dikalikan dengan , maka didapatkan

Persamaan (3.16) terpenuhi jika . Jumlahkan persamaan tersebut dari , maka

Berdasarkan Persamaan (3.15) maka Persamaan (3.16) adalah

Karena , maka

Diperoleh persamaan sebagai berikut

Persamaan (3.4) dikalikan dengan

Persamaan (3.18) terpenuhi jika . Jumlahkan persamaan tersebut dari

, maka

Berdasarkan persamaan (3.15) maka persamaan (3.19) adalah

Karena , maka

Diperoleh persamaan sebagai berikut

(3.20)

Untuk mencari nilai , substitusikan pada persamaan (3.20)

(3.21)

Substitusikan nilai pada (3.17) ke (3.21)

Diperoleh nilai untuk sebagai berikut,

persamaan (3.20) kalikan dengan

Kemudian substitusikan nilai

Maka nilainya

Jika , dan , maka

Selanjutnya akan mencari turunan pertama dari (3.24) terhadap untuk memperoleh nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean untuk prioritas kedua

Akan dicari turunan parsial dari persamaan (3.24) dengan memisalkan

Maka turunan pertama dari yaitu

Untuk dan , diperoleh

Ketika , diperoleh persamaan

C. Ukuran Keefektifan Model Antrean

Ukuran – ukuran keefektifan dari suatu sistem antrean tersebut adalah banyak pelanggan dalam sistem , banyak pelanggan yang menunggu dalam antrean , waktu tunggu setiap pelanggan dalam sistem , waktu tunggu setiap pelanggan dalam antrean . Ukuran – ukuran keefektifan terssebut dapat digunakan untuk menganalisis operasi situasi antrean, yang dimaksudkan untuk pembuatan rekomendasi tentang rancangan sistem tersebut.

1. Untuk antrean dengan prioritas pertama

Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem ( mempunyai hubungan sederhana antara jumlah pelanggan yang antri dan berbagai kemungkinan

Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem untuk prioritas pertama, yaitu diperoleh dari persamaan (3.14)

Rata-rata waktu tunggu dalam sistem dipengaruhi jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem dibanding tingkat kedatangan dalam sistem.

Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam sistem menggunakan little formula sebagai berikut:

Substitusikan Persamaan (3.26) ke Persamaan (3.27) sehingga di peroleh

Rata-rata waktu tunggu dalam antrean dipengaruhi oleh rata-rata waktu menunggu dalam sistem dengan waktu pelayanan.

Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut:

(3.29)

Substitusi persamaan (3.28) ke persamaan (3.29) sehingga diperoleh

Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean ( ) berkaitan erat dengan lamanya tingkat kedatangan dikali rata-rata waktu menunggu pelanggan dalam antrean.

Akan dicari nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut:

Substitusikan Persamaan (3.30) ke Persamaan (2.67)

2. Untuk antrean dengan prioritas kedua

Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem ( mempunyai hubungan sederhana antara jumlah pelanggan yang antri dan berbagai kemungkinan

Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem untuk prioritas kedua, yaitu diperoleh dari persamaan (3.25)

Rata-rata waktu tunggu dalam sistem dipengaruhi jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem dibanding tingkat kedatangan dalam sistem.

Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam sistem menggunakan little formula sebagai berikut:

Rata-rata waktu tunggu dalam antrean dipengaruhi oleh rata-rata waktu menunggu dalam sistem dengan waktu pelayanan.

Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut:

Substitusi persamaan (3.33) ke persamaan (3.29) sehingga diperoleh

Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean ( ) berkaitan erat dengan lamanya tingkat kedatangan dikali rata-rata waktu menunggu pelanggan dalam antrean.

Akan dicari nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut:

Substitusikan Persamaan (3.34) ke Persamaan (2.63)

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan

Berdasarkan analisis tentang sistem antrean (M/M/1):(PRD/∞/∞) , diperoleh persamaan probabilitas dan ukuran keefektifan dari sistem antrean tersebut yaitu sebagai berikut :

Untuk Prioritas Pertama 1. Persamaan PGF

2. Persamaan Ukuran Keefektifan Sistem

a. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrean ( )

b. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalan antrean ( )

c. Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem antrean (

Untuk Prioritas Kedua 1. Persamaan PGF

2. Persamaan Ukuran Keefektifan Sistem

a. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrean ( )

b. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalan antrean ( )

c. Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem antrean (

d. Nilai harapan waktu tunggu dalam antrean ( )

B. Saran

Berdasarkan hasil analisa untuk sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive, skripsi ini hanya menjabarkan formula ukuran keefektifan sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive saja, untuk penelitian atau skripsi selanjutnya dapat ditambahkan penerapan simulasi sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive.

DAFTAR PUSTAKA

Bain, L, & Engelhardt. (1992). Introduction to Probability and Mathematical Statistics. California: Wadsworth Publishing Company.

Bartle, R. G, & Sherbert, D. R. (2000). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons.

Bronson, R. (1996). Teori dan Soal-Soal Operations Research. (Terjemahan Hans Wospakrik). Jakarta: Erlangga.

Bunday, B. D. (1996). An Intoduction to Queuing Theory. New York: John Wiley & Sons.

Dimyati, A, & Tarliyah, T. (1999). Operation Research “Model-Model Pengambilan Keputusan”. Bandung: PT Sinar Baru Algesindo.

Dimyati, T. T., & Dimyati, A. (2002). Operations Research Model-model Pengambilan Keputusan. Bandung: Sinar Baru Algensindo.

Djauhari, M. A. (1990). Statistik Matematik. Bandung: Institud Teknologi Bandung.

Durratun, N, & Sugito. (2011). Sistem Antrean Dengan Prioritas Pelayanan Gross, D, & Harris, C. M. (1998). Fundamental of Queuing Theory 3rd. New

York: John Wiley & Sons.

Hiller,F.S, & Lieberman, G.J. (2005). Introduction to Operations Research. New York: McGraw-Hill.

Hogg, R. V, & Tanis, E. A. (2001). Probability and Statistical Inference. 6th. ed. New Jersey: Prentice Hall International, Inc.

Kailash, C. (2011). A Non-Preemptive Priority Queueing System with a Single Server Serving Two Queues M/G/1 and M/D/1 with Optional Server Vacations Based on Exhaustive Service of the Priority Units

Kakiay, Thomas J. (2004). Dasar Teori Antrean untuk Kehidupan Nyata. Yogyakarta: Andi.

Kreeyszig, E. (2003). Advance Engineering Mathematics. New York: John Wiley & Sons

Taha, A. H. (2007). Operations Research an Introduction. New Jersey: Pearson Education, Inc.

Taha, H. (1997). Riset Operasi. (Terjemahan Daniel Wirajaya). Jakarta: Bina Rupa Aksara.

Tommy ,Y.A, Laksmi dan Prita. (2013). Distribusi Waktu Tunggu Pada Disiplin Pelayanan Prioritas (Studi Kasus: Instalasi Rawat Darurat Di RSUD Dr. Soetomo Surabaya)

Varberg, D, & Purcell, E. J. (2001). Kalkulus Jilid 1. (Terjemahan 1 Nyoman Susila). Batam: Interaraksa.

Winston, W. L. (1994). Operation Research. California: Duxbury Press.

Wospakrik, H. (1996). Teori dan Soal-Soal Operations Research. Bandung: Erlangga.

ANALISIS SISTEM ANTREAN DENGAN DISIPLIN PELAYANAN PREEMPTIVE

SKRIPSI

Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universutas Negeri Yogyakarta

untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh : Nur Indra Istiani NIM. 12305141009

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

MOTTO

Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya (QS. Al Baqarah:286)

Hidup hanya sekali jadilah yang terbaik dalam tiap ruang yang kita cipta (Nur Indra Istiani).

Berproses itu penting, tetapi lebih penting lagi apabila kita bisa menyikapi hasil entah itu sebuah kegagalan maupun keberhasilan

HALAMAN PERSEMBAHAN

Alhamdulillahhirobbil‘alamin. Terima Kasih Ya Allah, sungguh tiada daya dan upaya kecuali dengan pertolongan-Mu. Kupersembahkan karya kecil ini untuk: Kedua Orangtuaku, Sunarso Harjo Prawiro dan Sri Rejeki, serta keluargaku yang

selalu memberi kasih sayang, doa, motivasi, dan memberi semangat kepadaku. Sahabat-sahabatku Sara, Mita, Susy, Sumar, Endah, Arum, Denanda dan Wirawan Dwi Nurwana yang telah memberi motivasi, dukungan, semangat,

kebahagiaan dan doa untukku.

Teman-teman Matsub 2012 yang telah memberikan banyak kenangan dan kebahagian selama kuliah di UNY, terimaksih atas canda, tawa dan tangis yang

telah kita ukir bersama.

Semua pihak yang ikut membantu dan membimbingku dalam penulisan tugas akhir ini.

ANALISIS SISTEM ANTREAN DENGAN DISIPLIN PELAYANAN PREEMPTIVE

Oleh Nur Indra Istiani

12305141009 ABSTRAK

Antrean dengan disiplin pelayanan prioritas memiliki dua aturan yang dapat diikuti, yaitu aturan Preemptive dan aturan Non-Preemptive. Disiplin pelayanan Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Tujuan dari penulisan ini adalah menganalisis model sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive dan dilakukan penurunan formula untuk mendapatkan persamaan probabilitas dan persamaan ukuran keefektifan sistem antrean.

Persamaan keseimbangan dalam penelitian ini diperoleh dengan mengasumsikan disiplin pelayanan Preemptive memiliki dua prioritas pelayanan. Persamaan PGF diperoleh menggunakan transformasi z terhadap variabel randomnya, kemudian dijumlahkan seluruh kemungkinannya. Selanjutnya nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem diperoleh dari turunan persamaan pgf terhadap , kemudian mensubstitusikan nilai .

Berdasarkan hasil analisis, diperoleh nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrean (M/M/1):(PRD/∞/∞) untuk prioritas pertama sebesar kuadrat per rasio utilitas pelanggan prioritas pertama . Sementara nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem (M/M/1):(PRD/∞/∞) untuk prioritas kedua sebesar rasio utilitas pelanggan prioritas kedua dikali peluang tidak ada kedatangan pelanggan prioritas pertama ditambah peluang tidak ada kedatangan pelanggan prioritas kedua. Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrean (M/M/1):(PRD/∞/∞) untuk prioritas pertama maupun prioritas kedua hasilnya lebih kecil dari nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem antrean (M/M/1):(GD/∞/∞).

KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb

Puji syukur senantiasa dipanjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga skripsi dengan judul “Analisis Sistem Antrean Dengan Disiplin Pelayanan Preemptive” ini dapat diselesaikan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa keberhasilan dan kelancaran dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih kepada:

1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik.

2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik.

3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik.

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

PERSETUJUAN ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN PERNYATAAN ... iv

MOTTO ... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi

ABSTRAK ... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR SIMBOL ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Rumusan Masalah ... 4

C. Tujuan Penelitian ... 4

D. Manfaat Penelitian ... 4

BAB II KAJIAN TEORI ... 6

A. Sistem Antrean ... 6

B. Faktor Sistem Antrean... 7

1. Pola Kedatangan ... 8

2. Pola Kepergian ... 8

3. Kapasitas Sistem ... 9

4. Disiplin Antrean ... 9

5. Perilaku Coustomer ... 11

6. Desain Pelayanan ... 12

7. Sumber Pemanggilan ... 15

viii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb

Puji syukur senantiasa dipanjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga skripsi dengan judul “Analisis Sistem Antrean Dengan Disiplin Pelayanan Preemptive” ini dapat diselesaikan untuk memenuhi sebagian persyaratan mendapatkan gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.

Penulis menyadari bahwa keberhasilan dan kelancaran dalam penulisan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih kepada:

1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik.

2. Bapak Dr. Ali Mahmudi selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik.

3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dan kelancaran dalam urusan akademik.

x DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

PERSETUJUAN ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN PERNYATAAN ... iv

MOTTO ... v

HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi

ABSTRAK ... vii

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... x

DAFTAR SIMBOL ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Rumusan Masalah ... 4

C. Tujuan Penelitian ... 4

D. Manfaat Penelitian ... 4

BAB II KAJIAN TEORI ... 6

A. Sistem Antrean ... 6

B. Faktor Sistem Antrean... 7

1. Pola Kedatangan ... 8

2. Pola Kepergian ... 8

3. Kapasitas Sistem ... 9

4. Disiplin Antrean ... 9

5. Perilaku Coustomer ... 11

6. Desain Pelayanan ... 12

7. Sumber Pemanggilan ... 15

xi

C. Notasi Kendall ... 16

D. Distribusi Eksponensial dan Distribusi Poisson ... 18

1. Distribusi Eksponensial ... 18

2. Distribusi Poisson ... 19

E. Probability Generating Function (PGF) ... 20

F. Proses Kelahiran dan Kematian (Birth-Death Processes) ... 24

G. Distribusi Kedatangan ... 33

H. Distribusi Kepergian ... 41

I. Proses Kedatangan dan Kepergian Steady State ... 45

J. Ukuran Keefektifan Sistem Antrean ... 48

K. Model Antrean (M/M/1):(GD/∞/∞) ... 52

BAB III PEMBAHASAN ... 58

A. Sistem Antrean Satu Server dengan Disiplin Antrean Preemptive ... 58

B. Quasi Birth-Death Process ... 61

Ukuran Keefektifan Model Antrean ... 74

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN... 79

A. Kesimpulan ... 79

B. Saran ... 81

xii

DAFTAR SIMBOL

: Peluang terdapat pelanggan dalam sistem pada saat : Peluang tidak ada pelanggan di dalam sistem

: Probabilitas steady state untuk prioritas 1 dan perioritas 2 : Banyaknya pelanggan dalam sistem antrean prioritas pertama : Banyaknya pelanggan dalam sistem antrean prioritas terendah

: Probabilitas satu kedatangan bila terdapat pelanggan di dalam sistem : Laju kedatangan pelanggan bila terdapat pelanggan di dalam sistem

: Probabilitas satu kepergian bila terdapat pelangan di dalam sistem : Laju pelayanan pelanggan bila terdapat pelanggan di dalam system : Banyaknya kedatangan pelanggan pada waktu

: Banyaknya kepergian pelanggan pada waktu

: Banyaknya pelanggan di dalam sistem sampai waktu : Faktor utilitas sistem atau peluang server sibuk : Suatu fungsi yang memenuhi

: NIlai harapan banyak pelanggan dalam sistem : Nilai harapan banyak pelanggan dalam antrean

: Nilai harapan waktu tunggu pelanggan dalam sistem : Nilai harapan waktu tunggu pelanggan dalam antrean

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Sistem Antrean ... 7

Gambar 2.2 Sistem Antrean Single Channel Single Phase ... 13

Gambar 2.3 Sistem Antria Single Channel Multiple Phase ... 13

Gambar 2.4 Sistem Antrean Multiple Channel Single Phase ... 14

Gambar 2.5 Sistem Antrean Multiple Channel Multiple Phase ... 14

Gambar 3.1 Proses kedatangan dan kepergian sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive ... 61