METODE ELIMINASI GAUSS id. pdf
MATEMATIKA TEKNIK
METODE ELIMINASI GAUSS
( Program Studi Teknik Sipil )
Kita akan mencoba menyelesaikan persamaan linier serentak dengan metode Eliminasi
Gauss
Misalkan diketahui persamaan linier serentak sebagai berikut :
4x + 2y + z = 17
2x + 6x + 3z = 21
2x + 4x + 9z = 23
Dalam mencoba penyelesaian dengan metode Eliminasi ini kita akan memakai konsep
matriks segitiga atas dan segitiga bawah.
Matriks segitiga atas : � =
�11
0
0
�12
�22
0
�11
�
Matriks segitiga bawah : � = 21
�31
�13
�23
�33
0
�22
�32
�1
�2
�3
0
0
�33
�1
�2
�3
Nah setelah kita mengenal matriks ∆atas dan matriks ∆bawah, kita akan mencoba
menyelesaikan permasalahan persamaan linier serentak dengan 2 cara tersebut :
Langkah pertama kita buat persamaan tersebut dalam bentuk matriks sebagai berikut :
4 2 1 17
2 6 3 21
2 4 9 23
Untuk matriks segitiga atas maka sel a31 kita buat nol dengan operasi baris sebagai berikut :
Baris ke-3 kita jumlahkan dengan Baris ke-2 dikali (-1), sehingga kita peroleh bentuk matriks
baru sebagai berikut :
4
2
0
2 1 17
6 3 21
−2 6 2
Setelah itu langkah selanjutnya sel a21 kita buat nol dengan melakukan operasi baris
sebagai berikut :
Baris ke-2 kita jumlahkan dengan Baris ke-1 dikali dengan –(1/2) , sehingga diperoleh
bentuk matriks baru sebagai berikut :
4 2
1
17
0 5 5/2 25/2
0 −2
6
2
Kita lihat bahwa pada baris 2 sekarang memiliki deretan angka matriks 0 ; 5 ; 5/2 dan 25/2
Setelah itu tahap terakhir adalah melakukan operasi baris pada baris 3 dan baris 2, ya harus
dengan baris 2 karena posisi nol ada pada baris 3 dan baris 2, tepatnya pada sel a31 dan
a21, sehingga apabila dilakukan operasi tetap akan berharga nol.
Untuk itu Baris ke-3 kita jumlahkan dengan baris ke-2 dikalikan 2/5, sehingga diperoleh hasil
matriks sebagai berikut :
4 2
0 5
0 0
1
17
5/2 25/2
7
7
Nah sekarang kita sudah mendapatkan hasil akhirnya, berupa matriks segitiga atas,
selanjutnya kita selesaikan dengan mengambil nilai z lebih dahulu :
7z = 7
Z=1
Setelah itu :
5y + 5/2z = 25/2
5y + 5/2 = 25/2
10y = 25 – 5 = 20
Y=2
Bagian akhir perhitungan :
4x + 2y + z = 17
4x + 4 + 1 = 17
4x = 12
X=3
Sehingga diperoleh hasil akhir :
X = 3; y = 2; z = 1
Kita sekarang mencoba menyelesaikan dengan matriks ∆bawah :
4 2 1 17
2 6 3 21
2 4 9 23
Langkah pertama adalah membuat nol sel a31 sebagai berikut :
Kita pindahkan baris 3 ke baris 1 dan baris 1 ke baris 3 sebagai berikut :
2 4 9 23
2 6 3 21
4 2 1 17
Setelah itu Baris 1 yang baru dikurangi 3 kali baris ke-2 dan diperoleh bentuk matriks yang
baru
−4 −14 0 −40
2
6
3 21
4
2
1 17
Terlihat posisi baris 1 mengandung angka -4 ; -14 ; 0 dan -40
Sekarang kita lakukan operasi pada baris 2 dan baris 3 untuk membuat nol posisi sel a23
sebagai berikut :
Baris ke-2 dikurangi dengan3 kali baris ke-3 dan diperoleh bentuk matriks yang baru :
−4 −14 0 40
−10
0
0 −30
4
2
1 17
Kita pindahkan baris ke 2 ke posisi baris ke 1 karena nilai nol diperoleh pada 2 kolom,
sehingga bentuk matriks yang baru :
−10
0
0 −30
−4 −14 0 −40
4
2
1 17
Kita akan mendapatkan matriks segitiga bawah, dan apabila diselesaikan maka didapatkan
-10x = - 30
X=3
Untuk nilai y :
-4x – 14y = -40
-12 – 14y = -40
14y = 28
Y=2
Dan untuk nilai z diperoleh :
4x + 2y + z = 17
12 + 4 + z = 17
Z = 17 – 16 = 1
Jadi diperoleh hasil akhir adalah :
X = 3; y =2 ; z = 1
METODE ELIMINASI GAUSS
( Program Studi Teknik Sipil )
Kita akan mencoba menyelesaikan persamaan linier serentak dengan metode Eliminasi
Gauss
Misalkan diketahui persamaan linier serentak sebagai berikut :
4x + 2y + z = 17
2x + 6x + 3z = 21
2x + 4x + 9z = 23
Dalam mencoba penyelesaian dengan metode Eliminasi ini kita akan memakai konsep
matriks segitiga atas dan segitiga bawah.
Matriks segitiga atas : � =
�11
0
0
�12
�22
0
�11
�
Matriks segitiga bawah : � = 21
�31
�13
�23
�33
0
�22
�32
�1
�2
�3
0
0
�33
�1
�2
�3
Nah setelah kita mengenal matriks ∆atas dan matriks ∆bawah, kita akan mencoba
menyelesaikan permasalahan persamaan linier serentak dengan 2 cara tersebut :
Langkah pertama kita buat persamaan tersebut dalam bentuk matriks sebagai berikut :
4 2 1 17
2 6 3 21
2 4 9 23
Untuk matriks segitiga atas maka sel a31 kita buat nol dengan operasi baris sebagai berikut :
Baris ke-3 kita jumlahkan dengan Baris ke-2 dikali (-1), sehingga kita peroleh bentuk matriks
baru sebagai berikut :
4
2
0
2 1 17
6 3 21
−2 6 2
Setelah itu langkah selanjutnya sel a21 kita buat nol dengan melakukan operasi baris
sebagai berikut :
Baris ke-2 kita jumlahkan dengan Baris ke-1 dikali dengan –(1/2) , sehingga diperoleh
bentuk matriks baru sebagai berikut :
4 2
1
17
0 5 5/2 25/2
0 −2
6
2
Kita lihat bahwa pada baris 2 sekarang memiliki deretan angka matriks 0 ; 5 ; 5/2 dan 25/2
Setelah itu tahap terakhir adalah melakukan operasi baris pada baris 3 dan baris 2, ya harus
dengan baris 2 karena posisi nol ada pada baris 3 dan baris 2, tepatnya pada sel a31 dan
a21, sehingga apabila dilakukan operasi tetap akan berharga nol.
Untuk itu Baris ke-3 kita jumlahkan dengan baris ke-2 dikalikan 2/5, sehingga diperoleh hasil
matriks sebagai berikut :
4 2
0 5
0 0
1
17
5/2 25/2
7
7
Nah sekarang kita sudah mendapatkan hasil akhirnya, berupa matriks segitiga atas,
selanjutnya kita selesaikan dengan mengambil nilai z lebih dahulu :
7z = 7
Z=1
Setelah itu :
5y + 5/2z = 25/2
5y + 5/2 = 25/2
10y = 25 – 5 = 20
Y=2
Bagian akhir perhitungan :
4x + 2y + z = 17
4x + 4 + 1 = 17
4x = 12
X=3
Sehingga diperoleh hasil akhir :
X = 3; y = 2; z = 1
Kita sekarang mencoba menyelesaikan dengan matriks ∆bawah :
4 2 1 17
2 6 3 21
2 4 9 23
Langkah pertama adalah membuat nol sel a31 sebagai berikut :
Kita pindahkan baris 3 ke baris 1 dan baris 1 ke baris 3 sebagai berikut :
2 4 9 23
2 6 3 21
4 2 1 17
Setelah itu Baris 1 yang baru dikurangi 3 kali baris ke-2 dan diperoleh bentuk matriks yang
baru
−4 −14 0 −40
2
6
3 21
4
2
1 17
Terlihat posisi baris 1 mengandung angka -4 ; -14 ; 0 dan -40
Sekarang kita lakukan operasi pada baris 2 dan baris 3 untuk membuat nol posisi sel a23
sebagai berikut :
Baris ke-2 dikurangi dengan3 kali baris ke-3 dan diperoleh bentuk matriks yang baru :
−4 −14 0 40
−10
0
0 −30
4
2
1 17
Kita pindahkan baris ke 2 ke posisi baris ke 1 karena nilai nol diperoleh pada 2 kolom,
sehingga bentuk matriks yang baru :
−10
0
0 −30
−4 −14 0 −40
4
2
1 17
Kita akan mendapatkan matriks segitiga bawah, dan apabila diselesaikan maka didapatkan
-10x = - 30
X=3
Untuk nilai y :
-4x – 14y = -40
-12 – 14y = -40
14y = 28
Y=2
Dan untuk nilai z diperoleh :
4x + 2y + z = 17
12 + 4 + z = 17
Z = 17 – 16 = 1
Jadi diperoleh hasil akhir adalah :
X = 3; y =2 ; z = 1