MAKALAH TEORI GRAPH ( 1 )

Modul

TEORI GRAPH
Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Diskrit

Dosen Pembimbing :

Prof. Dr. H. Wahyu Widada, M.Pd

Disusun Oleh:
A. Naashir M. Tuah Lubis
NPM. A2C016001

PROGRAM STUDI PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS BENGKULU
BENGKULU
2018

Kata Pengantar
Bismillahirrahmanirrahim...

Alhamdulillah, puji syukur kami ucapkan atas kehadirat Allah swt, yang
telah memberikan taufiq dan hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan
modul ini. Dan tak lupa pula shalawat beserta salam kepada junjungan kita nabi
besar Muhammad saw, semoga kita mendapat syafa’atnya di yaumil akhir kelak.
Amin.
Adapun tujuan penulisan modul ini adalah untuk memenuhi tugas akhir
pada mata kuliah Matematika Diskrit dengan dosen pembimbing Bapak Prof.
Dr. H. Wahyu Widada, M.Pd.
Penulis berharap semoga modul ini dapat memberikan manfaat bagi para
pembaca pada umumnya dan juga dalam dunia pendidikan serta bermanfaat bagi
kita selaku mahasiswa/i dalam proses pembelajaran khususnya pada mata kuliah
Matematika Diskrit terutama pembahasan/topik mengenai Teori Graph.
Dengan segala keterbatasan, kami selaku penulis telah berupaya
semaksimal mungkin dalam menyelesaikan modul ini. Namun, kami menyadari
bahwa modul ini masih banyak terdapat kekurangan serta sangat jauh dari
kesempurnaan baik dari segi penulisan, tata bahasa, isi dan lain sebagainya. Untuk
itu kami sangat mengharapkan kepada Bapak dosen, teman-teman sekalian
maupun para pembaca agar kiranya sudi dan bersedia untuk memberikan kritis
besrta sarannya yang membangun demi kesempurnaan dan perbaikan review
jurnal ini ke depannya. Akhirnya kami ucapkan terima kasih.

Bengkulu, Januari 2018

Penulis

BAB I
Konsep dan Sifat Dasar Graph
1.1 Konsep Dasar Pada Graph
1.1.1 Pengertian Graph
Graph G adalah himpunan terurut (V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
himpunan berhingga yang elemen-elemennya disebut titik (vertex) dari G dengan
V(G) ≠ ∅, dan E(G) menyatakan himpuanan sisi (edge) yaitu pasangan tak terurut
dari V(G).
Banyaknya himpunan titik V(G) disebut orde dari graph G. Misalkan x dan y
adalah titik pada graph G, jika x dan y dihubungkan oleh sisi e, maka x dan y
dikatakan bertetangga (adjacent), sedangkan titik x dan y dikatakan menempel
(incident) dengan sisi e, demikian juga sisi e dikatakan menempel dengan titik x
dan y. Himpunan tetangga (Neigborhood) dari suatu titik x, dinotasikan dengan
N(x) adalah himpunan titik-titik yang bertetangga dengan x.
Graph dari masalah jembatan Konigsberg dapat disajikan sebagai berikut :

Misalkan graph tersebut adalah G(V, E) dengan
V = { A, B, C, D }
E = { (A, C), (A, C), (A, B), (A, B), (B, D), (A, D), (C, D)}
= { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}
Pada graph tersebut sisi e1 = (A, C) dan sisi e2 = (A, C) dinamakan sisiganda (multiple edges atau paralel edges) karena kedua sisi ini menghubungi dua
buah simpul yang sama, yaitu simpul A dan simpul C. Begitu pun dengan sisi e3
dan sisi e4. Sementara itu, pada graph di atas, tidak terdapat gelung (loop), yaitu

sisi yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Graph yang tidak
memiliki sisi rangkap dan tidak memiliki gelung disebut graph sederhana.
Kemudian graph yang memiliki sisi-ganda tetapi tidak memiliki gelung disebut
graph rangkap.
1.1.2 Beberapa Jenis Graph
Dari definisi graph, himpunan sisi (E) memungkinkan berupa himpunan
kosong. Jika graph tersebut mempunyai himpunan sisi yang merupakan himpunan
kosong maka graph tersebut dinamakan graph kosong (null graph atau empty
graph).
Contoh :
Graph kosong dengan 3 simpul (Graph N3 )

Graph lengkap merupakan graf sederhana yang setiap simpulnya terhubung
(oleh satu sisi) ke semua simpul lainnya. Dengan kata lain, setiap simpulnya
bertetangga. Graph lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan Kn.
Jumlah sisi pada sebuah graph lengkap yang terdiri dari n buah simpul adalah n(n
– 1)/2 sisi.
Contoh :

Grap lengkap Kn, 3  n  6
Sebuah graph sederhana G dikatakan graph bipartisi jika himpunan simpul
pada graph tersebut dapat dipisah menjadi dua himpunan tak kosong yang
disjoint, misalkan V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G
menghubungkan sebuah simpul pada V1 dan sebuah simpul pada V2. Dengan
demikian, pada graph bipartisi tidak ada sisi yang menghubungkan dua simpul
pada V1 atau V2. Graph bipartisi tersebut dinotasikan oleh G (V1, V2).

Contoh :

Graph diatas dapat direpresentasikan menjadi graph bipartisi G(V1, V2), dimana
V1= {a, b} dan V2 = {c, d, e}
1.1.3 Subgraph

Sebuah subgraph dari graph G = (V(G), E(G)) adalah sebuah graph H =
(V(H), E(H)) sedemikian hingga V(H) ϵ V(G) dan E(H) ϵ E(G). Atau dengan kata
lain sebuah graph G disebut subgraph dari graph G jika semua simpul dan semua
sisi dalam G ada dalam g dan setiap sisi dari g mempunyai simpul akhir yang
sama dengan G . Sebagai contoh graph dalam gambar (b) adalah salah satu
subgraph dari graph-graph dalam gambar (a).

Gambar (a) Graph, (b) Subgraph
Konsep dasar subgraph mempunyai kesamaan dengan himpunan dari teori
himpunan. Sebuah subgraph dapat menjadi bagian dari yang lain. Lambang dari g
ϵ G dimaksudkan dalam arti g adalah sebuah subgraph dari G. Dengan penjelasan
diatas maka dapat dibuat hal-hal sebagai berikut :
1. Setiap graph adalah subgraph dari dirinya sendiri.
2. Sebuah subgraph dari sebuah subgraph G adalah juga subgraph dari G.

3. Sebuah simpul tunggal dalam sebuah simpul G adalah sebuah subgraph
dari G.
4. Sebuah sisi yang tunggal bersam dengan simpul akhirnya adalah sebuah
subgraph dari G.
1.1.4 Walk, Path, Sirkit/Cycle

Sebuah walk didefinisikan sebagai barisan alternatif berhingga dari simpulsimpul dan sisi yang diawali dan diakhiri dengan simpul sedemikian hingga tiaptiap sisi yang bersisian (edge incident) dengan simpul yang terdahulu dan dengan
simpul yang berikutnya. Simpul yang merupakan simpul awal dan simpul akhir
disebut dengan terminal simpul. Pada Gambar dapat diplih sebuah walk yaitu v1,
e3, v5, e7, v6, e8, v3, e9, v7, e6, dan v4.
Dapat juga sebuah walk dimulai dan diakhiri oleh simpul yang sama, walk
yang demikian disebut dengan close walk. Sebaliknya sebuah walk yang tidak
close disebut open walk

Gambar. Graph dengan walk yang bergaris tebal
Sebuah open walk yang didalamnya tidak ada simpul yang muncul lebih dari
sekali disebut dengan sebuah path (path sederhana atau path dasar).
Pada Gambar graph dengan walk dapat diambil sebuah path yaitu v1, v5, v6,
v3, v7, v4 sebagai contoh. Tetapi v1, v5, v6, v7, v3, v1 bukan merupakan path tetapi
sudah merupakan cycle. Jumlah sisi-sisi dalam sebuah path disebut dengan length
dari path.

Gambar Path

Sebuah path tertutup yang mana dimulai dari simpul awal sampai ke simpul
tujuan dan kembali lagi ke simpul awal dikatakan sebagai sirkuit/cycle.

Banyaknya sisi dalam suatu cycly disebut panjang cycly. Cycle dengan panjang k
disebut cycle-k, disimbolkan dengan Ck. Sebuah cycle di graph G yang memuat
semua sisi G disebut Cycle Euler, dan graph yang memuat cycle euler disebut
graph euler. Kemudian sebuah cycle di graph G yang memuat semua titik pada G
disebut Cycle Hamilton, dan graph yang memuat cycle hamilton disebut graph
hamilton.

Gambar 2.7 Sirkuit
1.1.5 Graph Terhubung dan Komponen Graph
Sebuah graph dikatakan terhubung (connected) jika ada sedikitnya satu path
antara setiap pasangan simpul dalam graph . Sebaliknya graph adalah tidak
terhubung (disconnected) jika tidak ada path antara setiap pasangan simpul dalam
graph . Sebagai contoh masing-masing untuk connected graph dan disconnected
graph dapat dilihat pada Gambar di bawah

Gambar Graph yang berisi connected graph

Gambar (a),(b). Disconnected graph
Sebuah komponen graph G adalah sebuah bagian graph terhubung maksimal
(titik dan sisi) dari G. Graph H dikatakan bagian graph terhubung maksimal dari

graph G jika tidak ada graph bagian lain dari G yang terhubung dan memuat H.
Jadi setiap graph terhubung memiliki tepat satu komponen sedangkan graph tak
terhubung memiliki paling sedikit dua komponen.
Contoh :

Gambar Graph dua komponen

Gambar Graph satu komponen

1.1.6 Komplemen Graph
Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graph. G1 = (V1, E1) adalah subgraph dari
G jika V1 Í V dan E1 Í E. Komplemen dari subagraph G1 terhadap graph G adalah
graph G2 = (V2, E2) sedemikian sehingga E2 = E - E1 dan V2 adalah himpunan
simpul yang anggota-anggota E2 bersisian dengannya.

Contoh :
2

2

1

1

3

3

1
3

6
4

5

Gambar Graph G

6
2

5

Subgraph G

5

Komplemen dari subgraph

1.1.7 Isomorfisme pada Graph
Dua graf (V(G1),E(G1)) dan (V(G2),E(G2)). Suatu pemetaan satu-satu dari
V(G1) ke dalam V(G2) dikatakan isomorphisme dari (V(G1),E(G1)) kedalam
(V(G2),E(G2)), jika untuk masing-masing pasangan (vi,vj) V(G1), (vi,vj) E(G1),
maka Dua graf G1 dan G2 dikatakan isomorphik, jika ada isomorphisme antara G1
dan G2. Contoh graf isomorphik diberikan pada Gambar

Dari Gambar , G1 dan G2 dikatakan isomorphik karena terdapat pemetaan
satusatu antara titik-titik graph G1 dan titik-titik graph G2, sehingga setiap dua titik
yang bertetangga di G2 prapeta kedua titik tersebut juga bertetangga. Misalkan
diberikan dua graf G1 = (V(G1),E(G1)) dan G2 = (V(G2),E(G2)). dengan V(G1) =

{v1, v2, ..., v6} dan V(G2) = {u1, u2, ..., u6}. Definisikan pemetaan θ sebagai
berikut:θ (v1) = u1 ,θ (v2) = u2 ,θ (v3) = u3 , θ (v4) = u4, θ (v5) = u5 , dan θ (v6) = u6 .
Dapat diperiksa bahwa θ (v1) = u1: θ (v4) = u4 dan bertetangga, juga v1 dan v4
bertetangga; θ (v1) = u1 dan θ (v5) = u5 bertetangga, juga v1 dan v5 bertetangga; θ (v1)
= u1 dan θ (v6) = u6 bertetangga, juga v1 dan v6 bertetangga. Demikian pula denganθ

(v2) = u2 bertetangga dengan θ (v4) = u4, , θ (v5) = u5 , dan θ (v6) = u6 . Dapat
diperiksa bahwa v2 juga bertetangga dengan v4, v5, dan v6 . Hal yang sama terjadi
pada titik v3, Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa setiap pasangan vi,vj ∈
V(G1), dengan (vi,vj) ∈E(G1) mengakibatkan (θ (vi)θ (vj))∈ E(G2).Jadi terdapat
isomorfisma antar G1 dan G2. Dengan kata lain G1 isomorphik dengan G2.
1.2 Derajat Titik Graph
Derajat suatu titik vi dalam graf G, dilambangkan “ d(vi)”, adalah banyaknya
sisi x ∈ E(G) yang terkait dengan titik vi.
Contoh. Graf G berikut memiliki d(u) = 2, d(w) = 3, d(z) = 1

Titik suatu graf yang berderajat nol disebut titik terasing dan graf yang hanya
terdiri dari satu titik-titik terasing disebut graf trivial. Sedang titik yang derajatnya
satu disebut titik terminal atau titik ujung.
Teorema Untuk sembarang graf G, banyaknya titik yang berderajat ganjil, selalu
genap.
Bukti : Misalkan Vgenap dan Vganjil masing – masing adalah himpunan
himpunan simpul yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada G(V,E). Maka
persamaan dapat ditulis sebagi berikut
:
Karena d(vj) untuk setiap vj ∈ Vgenap, maka suku pertama dari ruas kanan
persamaan harus bernilai genap. Ruas kiri persamaan juga harus bernilai genap.
Nilai

genap pada ruas kiri hanya benar bila suku kedua dari ruas kanan juga harus

genap. Karena d(vk) untuk setiap vk ∈ Vganjil maka banyak titik vk di dalam harus genap agar
jumlah derajatnya bernilai genap. Jadi banyaknya titik yang berderajat ganjil selalu genap.

BAB II
Graph Pohon
2.1 Pengertian Graph Pohon
Pohon (Tree) adalah graph terhubung yang tidak mengandung sirkuit.
Karena merupakan graph terhubung maka pada pohon selalu terdapat path atau
jalur yang menghubungkan kedua simpul di dalam pohon.
Pohon (tree) merupakan salah satu bentuk khusus dari struktur suatu graph.
Misalkan A merupakan sebuah himpunan berhingga simpul (vertex) pada suatu
graph G yang terhubung. Untuk setiap pasangan simpul di A dapat ditentukan
suatu lintasan yang menghubungkan pasangan simpul tersebut. Untuk itu perlu
diingat kembali bahwa :
 Suatu Graph G disebut terhubung apabila untuk setiap dua simpul dari
graph G selalu terdapat jalur yang menghubungkan kedua simpul
tersebut.
 Sirkuit atau cycle adalah suatu lintasan tertutup dengan derajat setiap
simpul dua.
Suatu graph terhubung yang setiap pasangan simpulnya hanya dapat
dihubungkan oleh suatu lintasan tertentu, maka graph tersebut dinamakan pohon
(tree). Dengan kata lain, pohon (tree) merupakan graph tak-berarah yang
terhubung dan tidak memiliki sirkuit.
a

b

a

b

a

b

a

b

c

d

c

d

c

d

c

d

e

f

e

f

e

f

e

Contoh:
Pohon (G1)

pohon (G2)

bukan pohon (G3)

bukan pohon (G4)

f

Karena defenisi pohon mengacu dari teori graph, maka sebuah pohon dapat
mempunyai hanya sebuah simpul tanpa sebuah sisipun. Dengan kata lain, jika
G=(V,E) adalah pohon, maka V tidak boleh berupa himpunan kosong, namun E
boleh kosong. Pada sebagian literatur, pohon yang dimaksudkan oleh Defenisi
pohon di atas sering juga disebut pohon bebas (free tree) untuk membedakannya
dengan pohon berakar (rooted tree). Pohon berakar akan dibahas lebih lanjut
pada materi berikutnya.
Pohon juga seringkali didefinisikan sebagai graph tak-berarah dengan sifat
bahwa hanya terdapat sebuah lintasan unik antara setiap pasangan simpul. Tinjau
kembali graph G1 di atas. Setiap simpul di G1 terhubung dengan lintasan tunggal.
Sebagai contoh, dari b ke f hanya ada satu lintasan, yaitu b, a, d, f. demikian juga
untuk setiap pasangan simpul manapun di G1
Teorema 2.1 Jika T pohon, maka untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda di T
terdapat tepat satu lintasan (path) yang menghubungkan kedua titik tersebut.
Bukti
Misalkan ada lintasan (path) berbeda yang menghubungkan titik u dan titik v di T,
katakanlah e1 dan e2, dengan e1≠e2. Maka e1 dan e2 akan menghubungkan titik u
dan titik v, sehingga ada dua lintasan yang terhubung pada kedua titik tersebut dan
membentuk sikel. Berdasarkan definisi, T tidak memiliki sikel. Dengan demikian,
haruslah e1=e2. Hal ini bertentangan dengan pemisalan bahwa e1≠e2. Jadi,
terbukti bahwa setiap dua titik yang berbeda di T memiliki tepat satu lintasan
yang menghubungkan kedua titik tersebut.
Teorema 2.2 Banyaknya titik dari sebuah pohon T sama dengan banyaknya sisi
ditambah satu atau ditulis: Jika T pohon, maka |V (T)| = |E (T)| +1
Bukti
Kita buktikan teorema di atas dengan induksi pada |V(T)|. Jika pohon T
mempunyai satu titik, jelas banyak sisi T adalah nol. Jadi teorema benar untuk
pohon T dengan satu titik. Asumsikan bahwa pernyataan dalam teorema benar
untuk pohon dengan k titik, artinya jika pohon T mempunyai paling banyak k
titik, maka |V(T)| = |E(T)| + 1. Akan ditunjukkan bahwa jika pohon T mempunyai
k + 1 titik maka |V(T)| = |E(T)| + 1. Misalkan T adalah pohon dengan k + 1 titik

dan l adalah sebuah sisi T. Maka T – l memiliki tepat dua komponen T1 dan T2 ,
dan masing-masing komponen adalah pohon dengan titik kurang dari k + 1.
Sehingga menurut asumsi, |V(Ti)| = |E(Ti)| + 1 ; i = 1,2.
Selanjutnya |E(T)| = |E(T1)| + |E(T2)| + 1, sehingga
|V(T)| = |V(T1)| + |V(T2)|
= |E(T1)| + 1 + |E(T2)| + 1
= (|E(T1)| + |E(T2)| + 1) + 1
= |E (T)| + 1
Dengan demikian teorema terbukti.
Teorema 2.3
a.

Bila suatu sisi dihapus dari pohon (dan titiknya tetap), maka diperoleh graph
yang tidak terhubung, dan karenanya graph itu bukan pohon.

b.

Bila sebuah sisi ditambahkan pada pohon (tanpa menambah titik baru),
diperoleh graph yang memiliki sikel, dan karena itu graph tersebut bukan
pohon.

Bukti
Jika sebuah sisi ditambahkan atau dihapuskan dari pohon, graph baru yang
diperoleh tidak lagi merupakan pohon, berdasarkan teorema 2. Karena
penghapusan sebuah sisi menjadikan graph itu tidak terhubung, dan penambahan
sisi membentuk sikel, maka teorema terbukti.
Hutan (forest) merupakan kumpulan pohon yang saling lepas. Dengan kata
lain, hutan merupakan graph tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit.
Setiap komponen di dalam graph terhubung tersebut adalah pohon. Dengan kata
lain kita dapat katakana (forest) adalah


kumpulan pohon yang saling lepas, atau


graph tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Setiap komponen di
dalam graph terhubung tersebut adalah pohon.
Pada gambar berikut adalah hutan yang terdiri dari 3 buah pohon

Sifat-sifat Pohon Misalkan G = (V, E) adalah graph tak-berarah sederhana dan
jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen:

1. G adalah pohon.
2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal.
3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi.
4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah sisi.
5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graph akan
membuat hanya satu sirkuit.
G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan. (jembatan adalah sisi yang
bila dihapus menyebabkan graph terpecah menjadi dua komponen)
2.2 Pohon Rentang (Spanning Trees)
Definisi Misalkan G adalah sebuah graph. Sebuah pohon di G yang memuat
semua titik G disebut pohon rentang (spanning tree) dari G.
Contoh :
Misalkan kita mempunyai graph G seperti pada gambar 4.6 di bawah ini. Terdapat
3 pohon rentang dari graph G, yaitu graph A, B, dan C. Tampak jelas bahwa
graph A, B, dan C masing-masing memuat semua simpul dari graph G serta
mengandung sisi-sisi dari G demikian sehingga tidak terbentuk sikel.

Teorema 2.4 Graph G terhubung jika dan hanya jika G memuat pohon rentang.
Bukti
Jika graph G memuat pohon rentang, jelas G terhubung. Kita buktikan konvers
pernyataan ini dengan induksi pada |E(G)|. Jika G terhubung dan |E(G)| = 0, maka
G = K1, sehingga jelas G memuat pohon rentang.
Asumsikan: setiap graph terhubung dengan k + 1 sisi, maka G memuat pohon
rentang. Pandang sebuah graph terhubung G dengan k + 1 sisi. Jika G tidak

memuat sikel, maka G sebuah pohon rentang. Jika G memuat sikel, dan misalkan
e adalah sebuah sisi dari sikel di G, maka graph G1 = G - e terhubung dengan k
sisi. Sehingga berdasarkan asumsi, G1 memuat pohon rentang. Sebut T, pohon
rentang di G1. Jelas, T adalah juga pohon rentang dari G. Teorema terbukti.
Sebuah graph terhubung mungkin memuat lebih dari satu pohon rentang,
seperti terlihat pada Gambar. Graph G memuat pohon rentang T1, T2, dan T3.

G

T1

T2

T3

T4

Jadi, pohon merentang:
 Pohon merentang dari graf terhubung adalah subgraf merentang yang
berupa pohon.
 Pohon merentang diperoleh dengan memutus sirkuit di dalam graf.
 Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon
merentang.
 Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah hutan
merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).

Pohon Rentang Minimum
 Graf terhubung-berbobot mungkin mempunyai lebih dari 1 pohon
merentang
 Pohon rentang yang berbobot minimum – dinamakan pohon merentang
minimum (minimum spanning tree)
Dalam kehidupan nyata, salah satu contoh aplikasi spanning tree adalah
menentukan rangkaian jalan dengan jarak total seminimum mungkin yang
menghubungkan semua kota sehingga setiap kota tetap terhubung satu sama lain.
Dalam menentukan suatu minimum spanning tree dari suatu graf terhubung,
kita dapat menentukannya dengan mengunakan dua cara yaitu algoritma Prim dan
algoritma Kruskal.
2.3 Algoritma Graph Pohon
Misalkan T adalah pohon merentang yang sisi-sisinya diambil dari graf G.
Algoritma

Prim

membentuk

pohon

merentang

minimum

langkah

per

langkah.pada setiap langkah kita mengambil sisi e dari graf G yang mempunyai
bobot minimum dan bersisian dengan simpul-simpul di dalam T tetapi e tidak
membentuk sirkuit di dalam T.
Algoritma Prim :
Langkah 1

: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum,
masukkan ke dalam T.

Langkah 2

: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan
bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak
membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.

Langkah 3

: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.

Jumlah langkah seluruhnya di dalam algoritma Prim adalah
a.

1 + (n – 2) = n – 1

b.

yaitu sebanyak jumlah sisi di dalam pohon rentang dengan n buah
simpul.

Algoritma Kruskal
( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari
bobot kecil ke bobot besar) .
Langkah 1

: T masih kosong

Langkah 2

: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak membentuk
sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T.

Langkah 3

: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali
BAB III
Graph Planar

3.1 Pengertian Graph Planar dan Graph Bidang
Graph Bidang adalah graph yang digambarkan pada bidang datar (di kertas,
papan tulis, dll) sedemikian rupa sehingga setiap pasang sisi bertemu hanya pada
simpul akhirnya (jika mereka bertemu sama sekali).
Graph Planar adalah graph yang isomorfik dengan graph bidang, yaitu dapat
digambar kembali sebagai graph bidang.
Contoh :

Gambar Graph Pelanar
Pada gambar di atas semua merupakan Graph Planar, tetapi G1 dan G 4 tidak
graph bidang, karena G1dapat di gambarkan kembali menjadi G2 dan G 3
sedangkan G4 dapat di gambarkan kembali menjadi G 5.
Tidak semua graph adalah Planar.Untuk melihat ini, perlu dibicarakan tentang
teorema utama dalam matematika.
“Sebuah kurva Jordan pada bidang adalah kurva kontinu yang tidak memotong
dirinya sendiri dengan asal dan akhirnya bertemu.”

Sebagai contoh, pada Gambar di bawah kurva C 1 bukan kurva Jordan karena
memotong dirinya sendiri, C 2bukanlah kurva Jordan karena asal dan terminalnya
tidak tepat, yaitu dua titik akhir tidak bertemu,C 3 adalah kurva Jordan.

Gambar:c 1 dan c 2 bukan kurva jordan tetapi c 3 kurva jordan.

Gambar: Sebuah kurva Jordan
Jika J adalah kurva Jordan pada bidang maka bagian dari bidang yang
tertutup oleh J disebut interior J dan dilambangkan dengan int J , dikecualikan
untuk int J titik-titik yang benar-benar berada di J. Demikian pula bagian dari
bidang yang terletak di luar J disebut eksterior J dan dilambangkan dengan ext J.
Teorema kurva Jordan menyatakan bahwa jika J adalah kurva Jordan, jika
x adalah titik di int J dan y adalah titik dalam ext J maka setiap garis (lurus atau
melengkung) yang menghubungkan x ke y harus bertemu J pada beberapa titik,
yaitu harus menyeberang J.
Teorema ini hanyalah intuitif, diilustrasikan dalam Gambar di bawah ini.

Gambar
Bentuk lain dari teorema ini bahwa jika x 1 , x 2 adalah dua titik di int J
maka dapat ditemukan garis (lurus atau melengkung) hubungan x 1 ke x 2yang
terletak sepenuhnya dalam int J. Sebuah ilustrasi ini diberikan dengan kurva C 4
Gambar, dengan dua titik digabung dengan sebuah garis internal.

Sekarang digunakan Teorema Kurva Jordan untuk membuktikan bahwa
ada graph nonplanar.
Teorema 3.1 : K 5 graph lengkap pada lima simpul, adalah nonplanar.
Bukti:Ingatlah bahwa salah satu cara yang biasa digunakan menggambar K 5
seperti gambar di bawah ini.

Gambar K5
Diasumsikan bahwa K 5adalah planar dan akan di tunjukkan kontradiksi
dengan asumsi ini. Misal G menjadi graph bidang yang sesuai K 5dan
menunjukkan simpul dari Goleh v1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5.Karena G lengkap, setiap
pasangan simpul yang berbeda bergabung dengan sebuah sisi.Misal C
adalahsiklus v1 v 2 v 3 v 1 di G. Kemudian C membentuk kurva Jordan di bidang.
Karena v 4 tidak terletak di C maka harus terletak di int C atau ext C. Dianggap
bahwa v 4adalah int C. Kemudian (Kemungkinan lainnya, bahwa v 4adalah dalam
ext C, memiliki argumen yang sama.) sisi v 4 v 1 , v 4 v 2dan v 4 v 3membagi intC
menjadi tiga wilayah int C 1 , intC 2 dan int C 3 di mana C 1 , C2 , dan C 3 adalah siklus

v1 v 2 v 4 v 1 , v 2 v 3 v 4 v 2 dan v1 v 3 v 4 v 1 berturut-turut.Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar
Titik v5 yang tersisa harus terletak pada salah satu dari empat wilayah int C 1 ,
int C 2, int C 3 dan ext C. Jika v5 ∈ ext C kemudian, karena v 4 ∈int C, Teorema
Kurva Jordan memberitahu bahwa sisi v 4 v 5 harus melaluiC di beberapa titik.

Namun ini berarti bahwa sisi v 4 v 5harus menyeberang salah satu dari tiga sisi
v1 v 2 , v 2 v 3 dan v3 v1yang membentuk C. Ini bertentangan asumsi bahwa G adalah
graphbidang. Kemungkinan yang tersisa adalah bahwa v5 merupakan salah satu
dari int C 1, int C 2, int C 3.
Dianggap bahwa V 5 pada ∫ C 1, dua kasus lainnya yang diperlakukan sama.
Sekarang V 3adalah di bagian luar Curve Jordan diberikan siklus C 1=v 1 v 2 v 4 v1 .
Dengan

Teorema

Kurva

Jordan

sisi

bergabung

dengan

titik

V 5 ( di ∫ C1 ) ke v 3 ( di ext C 1 ) harus menyeberang kurvaC 1dan harus menyeberangi
salah satu dari tiga sisi v1 v 2 v 4 v 1.sekali lagi bertentangan dengan asumsi bahwa G
adalah bidang.kontradiksi akhir ini menunjukkan bahwa asumsi awal harus salah.
Oleh karena itu K 5 tidak planar.
Ingat bahwa cara yang biasa dari gambar K3.3 seperti yang ditunjukkan pada
Gambar dibawah Ini juga adalah nonplanar .

Gambar K3,3
Teorema 3.2 Graph bipartit lengkap K3,3 adalah nonplanar.
3.2 Formula Euler
Sebuah graph bidang G membagi bidang menjadi beberapa wilayah yang
masing - masing disebut ”muka” (face) G. Lebih tepatnya, jika x adalah titik pada
bidang yang tidak diG, yaitu bukan simpul dari G atau titik di beberapa sisiG,
maka didefinisikan muka Gmengandungx yang merupakan himpunan semua titik
pada bidang yang dapat dihubungkan dari x menjadi garis (lurus atau
melengkung) yang tidak menyeberang sisi G atau melalui simpul dari G
Contoh, untuk titik x di graph G1 dari Gambar di bawah, muka yang
mengandung x ditampilkan sebagai wilayah bertitik. Dalam contoh ini jelas muka
G1 mengandung titik y adalah muka yang sama seperti yang mengandung x. Hal
ini dibatasi oleh siklus v 2 v 4 v 3 v 6 v 5 v 4 . Muka G1 mengandung titik z tidak dibatasi
oleh siklus apapun. Hal ini disebut muka eksterior G1

Gambar: Sebuah graph bidang dengan empat muka
Setiap graph bidang memiliki tepat satu muka eksterior. Setiap muka yang
lain dibatasi oleh jalan tertutup dalam graph dan disebut muka interior.
Sebagai contoh lain, pada Gambar di bawah memiliki graph G2 dengan
sembilan muka f 1 , … , f 9.Disini f 6adalah muka eksterior.

Gambar : Sebuah graph bidang dengan sembilan muka
Jumlah muka graph bidangG dilambangkan denganf {G} atau hanya dengan f
. Dengan demikian, untuk di atas, f (G1) = 4, f (G2) = 9.
Akibat selanjutnya, diberikan rumus sederhana yang menunjukkan
hubungan antara jumlah simpul, sisi, dan muka dalam graph bidang terhubung.
Teorema 3.3 (Formula Euler) :Misalkan G

graph bidang terhubung, dan

misalkan n,e, dan f masing-masing menunjukkan jumlah simpul, sisi dan muka G.
Kemudian
n-e + f = 2.
Bukti. Bukti Pertama . Dalam bukti ini menggunakan induksi pada f, jumlah
muka pada G.Jika f = 1maka G hanya memiliki satu muka, muka eksterior. Jika G
mengandung beberapa C siklus kemudian di wilayah yang dibatasi oleh bidangC,
ada setidaknya satu muka dibatasi dari G, mungkin karena G hanya memiliki
muka eksterior, yang tak terbatas. Jadi G tidak memiliki siklus.Oleh karena itu,
karena G terhubung, itu adalah pohon.

Kemudian, dengan teorema pada bagian graph pohon, jumlah e sisi G adalah
n - 1. Karenanya
n-e + f = n-(n-l) + l = 2
dan ini membuktikan teorema dalam kasus ketika f = 1.
Sekarang anggaplah bahwa f > 1 dan teorema tersebut benar untuk semua
graphbidang terhubung dengan kurang dari f muka. Karena f > 1,G bukanlah
pohon ,dengan Teorema pada bagian graph pohon ,G memiliki k sisi yang tidak
jembatan. Kemudian subgraph G – k masih terhubung dan karena setiap subgraph
dari graph bidang jelas graphbidang, G - k juga graph bidang. Selain itu, karena k
sisi harus menjadi bagian dari siklus (Teorema pada graph pohon yang berbunyi
“sebuah sisi e pada graph G adalah sebuah lintasan jika dan hanya jika e bukan
bagian dari salah satu cycle di G), memisahkan dua muka G dari yang lain dan
selanjutnya di G - k dua muka bergabung untuk membentuk satu mukaG - k. Ini
diilustrasikan pada Gambar 5.11.

Gambar : Dua muka bergabung ketika ujung siklus dihapus.
Dengan demikian, pemisalan n ( G−k ) , e ( G−k ) dan f (G−k) menunjukkan
jumlah

simpul,

sisi

dan

muka

masing-masing

dari

G−k ,

dimiliki

n ( G−k ) , e ( G−k ) =e−1 dan f ( G−k ) =f −1. Selain itu, dengan asumsi induksi,
karenaG−k memiliki kurang dari f muka, dimiliki
n ( G−k ) −e ( G−k ) + f ( G−k ) =2
dan juga n−( e−1 ) + ( f −1 ) =2yang memberikan n−e+ f =2, seperti yang
diperlukan. Oleh karena itu, dengan induksi, akibatnya adalah benar untuk semua
graphbidang terhubung.
Bukti Kedua. Kali inidigunakan induksi pada jumlah e dari sisi G. Jika e = 0
maka G harus memiliki hanya satu simpul , yaitu n = 1 dan satu muka, muka
eksterior, yaitu f =1. demikian
n−e+ f =1−0+1=2
dan sehingga hasilnya benar untuk e = 0.

Meskipun tidak perlu untuk melakukan hal ini, sekarang dilihat kasus ketika
e = 1. Kemudian jumlah simpul dari G adalah 1 atau 2, kemungkinan pertama
terjadi ketika sisi adalah loop. Kemungkinan kedua menimbulkan dua muka dan
satu muka masing-masing, seperti yang ditunjukkan pada Gambar di bawah.

Gambar: Graph bidang terhubung dengan satu sisi
Sehingga,
n−e+ f =

1−1+ 2,dalam kasus loop
=2, seperti yang dipersyaratkan
{2−1+1
, dalam kasus bukan loop }

Sekarang dianggap bahwa hasilnya adalah benar untuk setiap graph G bidang
terhubung dengan e-1.Sisi (untuk e ≥ 1). Misal ditambahkan satu ksisi baru untuk
G untuk membentuk supergraph terhubung dari G yang dilambangkan dengan G
+ k. Ada tiga cara untuk melakukan hal ini:
(a). k adalah loop, dalam hal ini telah diciptakan muka baru (dibatasi oleh
loop),namun jumlah simpul tetap tidak berubah, atau
(b). k terhubung dengan dua simpul yang berbeda dari G, dalam hal ini salah
satu muka G dibagi menjadi dua, sehingga sekali lagi jumlah muka telah
meningkat sebesar 1, tetapi jumlah simpul tetap tidak berubah, atau
(c). k adalah kejadian dengan hanya satu simpuldari G di mana kasus lain
simpul harus ditambahkan, meningkatkan jumlah simpul dengan satu,
tetapi menyisakan jumlah muka tidak berubah.
Sekarang misalkan n' , e' dan f 'menunjukkan jumlah simpul, sisi dan muka di
G dan n, e dan f menunjukkan jumlah simpul, sisi dan muka diG + k. Kemudian
dalam kasus (i),n−e+ f =n' −( e ' + 1 )+ ( f ' +1 )=n ' −e ' + f ' ,
dalam kasus (ii),n−e+ f =n' −( e ' + 1 )+ ( f ' +1 )=n ' −e ' + f ' ,
dalam kasus (iii),n−e+ f =(n ¿ ¿' +1)−( e ' +1 ) + f ' =n' −e' + f ' , ¿
Dan dengan asumsi induksi,n' −e' + f ' =2Jadi, dalam setiap kasus,n−e+ f =2.
Sekarang setiap graph bidang terhubung dengan esisi adalah bentuk G + k, untuk
beberapa graph bidang terhubung G dengane−1sisi dan k sisi baru.Oleh karena
itu, dengan induksi bahwa rumus benar untuk semua graph bidang.

Konsekuensi 3.4 Misalkan G adalah graph bidang dengan n simpul , e sisi , f
muka , dan k komponen terhubung . maka
n−e+ f =k +1
Konsekuensi 3.5 Misal G1 dan G2 adalah 2 graph bidang yang keduanya
digambarkan untuk Graph planar G yang sama.Maka f (G 1) = f(G2), yaitu, G1
dan G2 memiliki jumlah muka yang sama.
Bukti Misal n(G1), n(G2) menunjukkan jumlah simpul dan e(G1), e(G2)
jumlah sisi,masing -masing dalam G1, G2. Kemudian, karena G1 danG2 keduanya
isomorfis ke Gdimilikin(G1) = n(G2) dan e(G1) = e(G2). Menggunakan Formula
Euler didapatkan
f(G1) = e(G1) - n (G1) + 2 = e (G2) - n (G2) + 2 = f (G2),
Teorema berikutnya memberitahukan bahwa graph planar sederhana tidak
dapat memiliki "terlalu banyak" sisi.Dalam bukti digunakan definisi berikut.
“Misal,φ sebuah muka dari graf bidang G. didefinisikan derajat dariφ ,
dinotasikan dengan d(φ ), adalah jumlah sisi yang membatasi φ .”
Perhatikan bahwa d(φ )≥ 3 untuk setiap φ muka interior dari graf bidang
sederhana.
Teorema 3.6 Misalkan G graf planar sederhana dengan n simpul dan e sisi ,
dimana n≥ 3. maka e ≤ 3 n−6.
Bukti:Dengan menggambar ulang G, diasumsikan bahwa G adalah grafbidang
(yang berbeda dari planar). Pertama-tama dimisalkan G terhubung, Jika n = 3,
artinya, memiliki tiga simpul, kemudian, karena Gsederhana, G memiliki paling
banyak tiga sisi, yaitu, e ≤ 3. Dengan demikian
e≤(3 x 3) - 6 = 3n - 6,
sehingga hasilnya adalah benar dalam kasus ini.
Jadi sekarang bisa diasumsikan bahwa n ≥ 4. Jika G adalah pohon maka e = n
- 1 dan seterusnya, karena n ≥ 4, didapatkan e ≤3n - 6. Jika G tidak pohon, karena
terhubung, harus mengandung siklus. Selanjutnya ada siklus di Gpada setiap sisi
yang terletak pada batas muka eksteriorG. Kemudian, karena G adalah sederhana,
dimiliki d(φ )≥ 3 untuk muka masing-masing φ muka G.
b=∑ d (φ)
φϵ Φ

di manaΦ menunjukkan himpunan semua mukaG. Kemudian, karena masingmasing muka memiliki setidaknya tiga sisi pada batasnya, dimiliki
b≥3f
(Di mana f adalah jumlah mukaG). Namun, ketikadisimpulkan untuk
mendapatkanb, masing-masing sisi G dihitung sekali atau dua kali (dua kali ketika
terjadi seperti sebuah sisi membtasi dua muka) dan sebagainya
b≤2e
Dengan demikian
3 f ≤ b ≤ 2e .
Secara khusus 3 f ≤ 2 e dan sebagainya−f ≥−2 e/ 3. Sekarang, dengan teorema
Euler,n = e - f + 2 dan seterusnya
2e
e
n ≥ e− + 2= +2
3
3
Jadi 3 n ≥ e+6 yaitu 3 n−6,
Sekarang anggaplah G yang tidak terhubung. Misal G1,, ... , Gt komponen
yang terhubung dan untuk setiap i, 1≤ i ≤ t, misal ni dan ei Menunjukkan jumlah
simpul dan masing-masing sisi dalamG iKemudian, karena masing-masing G i
adalah graf planar, dimiliki, dari argumen di atas, bahwae i ≤ 3 ni−6 untuk
setiap i, 1≤ i≤ t Selain itu.
t

t

n=∑ ni dan e=∑ e i dan sebagainya
i=1

i=1

t

t

e ≤ ∑ ( 3 ni−6 ) =3 ∑ ni −6 t ≤ 3 n−6
i=1

i=1

Konsekuensi 3.7: jika G adalah graf planar sederhana maka G memiliki simpul v
dengan derajat kurang dari 6, yaitu, ada sebuah v di V(G) dengan d (v) ≤5.
Bukti:Jika G hanya memiliki satu simpul, simpul ini harus memiliki derajat 0.
Jika G hanya memiliki dua simpul maka keduanya harus memiliki derajatpaling
banyak 1.Dengan demikian dapat diduga bahwa n ≥ 3, yaitu, bahwa G setidaknya
memiliki tiga simpul.
Sekarang jika derajat untuk setiap simpul dari Gadalah setidaknya enam dimiliki

∑

v ∈V (G)

d(v )≥ 6 n

Namun, dengan

∑ d ( v )=2e .Jadi

v ∈V

2e≥ 6n dan e≥ 3n.karena Ini tidak

mungkin, menurut teorema di atas, e ≤ 3n - 6. Kontradiksi ini menunjukkan
bahwa G harus memiliki setidaknya satu simpuldari derajat yang kurang dari sama
dengan 6.
Konsekuensi 3.8 K5 adalah nonplanar.
5 x4
Bukti Di sini n = 5 dane= 2 =10sehingga3 n−6=9. Jadi e ≥ 3 n−6dan
sebagainya, dengan teorema itu, G = K5 tidak planar.
Konsekuensi 3.9 K3,3 adalah nonplanar.
Bukti KarenaK3,3 adalah bipartit tidak mengandung siklus ganjil (dari Teorema
1.3) dan sehingga tidak ada siklus yang panjangnya tiga. Oleh karena itu, setiap
muka dari gambar bidang K3,3, jika seperti itu ada, harus memiliki setidaknya
empat sisi batas. Jadi, dengan menggunakan argumen pembuktian Teorema 5.6,
didapatkan b≥4 f dan kemudian jika 4f≤ 2e, yaitu, 2f ≤ e = 9. Hal ini memberikan
f ≤ 9/2. Namun, dengan Formula Euler, f* = 2-n + e = 2 - 6 + 9 = 5, sebuah
kontradiksi.
3.4 Graph Dual dan Bidang
Misalkan G graf bidang. didefinisikan

Dual dari G

dengan graf G*

dibangun sebagai berikut.Untuk masing-masing f muka pada G terdapat simpul
yang sesuai f* dari G* dan setiap sisi e pada G ada sisi e* yang sesuai di G*
seperti jika sisi e terdapat di perbatasan dari dua muka f dan g kemudian
e*gabungan sisidengan simpul yang sesuai f* dan g* di G*. (Jika e adalah sisi
jembatan maka diperlakukan seolah-olah terjadi dua kali pada batas muka f di
mana itu terletak dan kemudian sisi e* yang sesuai adalah kejadian loop dengan
f* titik di G*)
Ternyata G* ganda dari graf bidang Gjuga planar.Ditunjukkan mengapa
demikian adalah dapat digambarkanG* sebagai grafbidang. Diberikan gambar
bidang dari G, tempatkan simpul f* dariG*di dalam muka yang sesuai f. Jika esisi
terletak di perbatasan dua muka f dan gpada G, bergabung dengan dua simpul f*
dan g* oleh sisi e* menggambarkan sehingga melintasi sisi e tepat satu kali dan

tidak ada melintasi sisi lain dari G. (Prosedur ini masih memungkinkan jika e
adalah sisi jembatan.) digunakan prosedur ini pada Gambar di bawah.
Jika sisi eadalah loop dalam G maka sisi hanya pada batas umum dari dua
muka, salah satunya, katakanlah f, terletak dalam wilayah bidangyang dikelilingi
oleh e dengan lainnya, katakanlah g, terletak di luar daerahini. Muka f tidak
mungkin satu-satunya muka tertutup oleh e tetapi, jelas dari definisi G*, setiap
lintasan dari simpul h*, sesuai dengan mukah, ke simpulg* harus menggunakan
sisi e* .Jadi e* adalah sebuah jembatan di G*.
Sebaliknya, jika sisie* adalah jembatan di G*, bergabung dengan simpul f*
dan g*, maka e* adalah satu-satunya jalan di G*dari f* untukf* ke g*. Ini berarti,
dari definisi G*, bahwa esisi dalam G harus menyertakan salah satu fmuka dan g
dan jugae harus loop.
Untuk meringkas, esisi adalah loop dalam G jika dan hanya jika e* adalah
sebuah jembatan di G*.

Gambar: Sebuah graf bidang dan dualnya
Terjadinya sisiparallel padaG* mudah dijelaskan.Sebuah pikiran sejenak
harus meyakinkan bahwa, mengingat dua muka f dang padaG, maka ada ksisi
paralel antara f* dan g*di G* jika dan hanya jika f dang memiliki ksisi pada batas
umum mereka.
Mungkin disadari bahwa telah didefinisikan dual dari grafbidang bukan graf
planar. Alasan ini adalah bahwa berbedanyabidang gambar G1 dan G2 dari graf
¿

¿

planar G yang sama dapat menyebabkan non-isomorfik duals G1danG 2.

Teorema 3.10 Misalkan G menjadi graf bidang terhubung dengan n simpul, e sisi
danf fakta.misalkan n*, e* dan f * menunjukkan jumlah simpul-simpul, sisi dan
muka masing-masing dari G*. Kemudian n* = f, e* = e dan f* = n.
Buktinya Yang pertama dua persamaan mengikuti dari definisi G*.Yang ketiga
kemudian mengikuti dari Formula Euler karena kedua G dan G* yang terhubung
grafbidang.
Sekarang anggaplah bahwamukaφ dari graf bidangG, sesuai dengan titik v
¿
¿
dari G, dimiliki e 1, ..., e n sebagai sisi batasnya. Kemudian, dengan konstruksi

dariG*, masing-masing e* sisimelintasi sisi yang sesuaie idari G, seperti yang
diilustrasikan pada Gambar 5.35, sisi ini semua kejadian dengan simpulv. Oleh
karena itu, φ mengandung vtitik.
Karena G* adalah grafbidang, juga dapat dibangun dual dari G*, yang disebut
dual ganda G dan dilambangkan dengan G**.Dari pembahasan paragraf
sebelumnya, hasil berikut ini mungkin tidak mengejutkan.
Teorema 3.11 Misalkan G menjadi graf bidang terhubung.Kemudian G isomorfis
ke G** bisa dilakukan dual.
Bukti Seperti yang terlihat di atas, setiap muka φ dari dualG** mengandung
setidaknya satu titik dari G, yaitu yang sesuai titikv. Sebenarnya ini adalah satusatunya titik dari G yang mengandung φ karena, menurut Teorema 5.16, jumlah
muka dari G*adalah sama dengan jumlah simpul dari G. Oleh karena itu, dalam
pembangunan dual ganda G**, dapat memilih titik v menjadi titik di G** sesuai
dengan φ muka dariG*. Pilihan ini memberi isomorfisma dibutuhkan.