Matematika I i II
Matematika I i II
Tin Perkov
ak. god. 2018/19.
Uvodne informacije
• e-mail: [email protected]
• internet-stranica kolegija:
https://sites.google.com/site/tinperkov/matematika
• nastava: predavanja i seminari
• termini konzultacija i druge obavijesti: na stranici kolegija i na panou
kod sobe 325
• ispit: pismeni i usmeni
– samo na predroku pismeni dio zamjenjuju dva kolokvija
– uvjet za izlazak na usmeni: najmanje 45% bodova na kolokvijima
(kumulativno) ili najmanje 45% bodova na pismenom
– mogu´ce je sluˇsati Matematiku II i pisati kolokvije i ako nije poloˇzena Matematika I
– nije mogu´ce iza´ci na pismeni ni usmeni dio ispita iz Matematike II
ako nije poloˇzena Matematika I
• literatura:
´ c: Matematika, Skolska
ˇ
– S. Mintakovi´c, F. Curi´
knjiga, Zagreb 2003.
– stranica kolegija (predavanja, seminari, zbirka zadataka)
• sadrˇzaj kolegija:
– skupovi, relacije, funkcije
– brojevi (prirodni, cijeli, racionalni, realni, kompleksni)
– geometrija
1
1
Skupovi
Pojam skupa
Skup je osnovni matematiˇcki pojam. U kolegijima Matematika I i II
upoznat ´cemo se s temeljnim disciplinama elementarne matematike: aritmetikom i geometrijom. Osnovni pojmovi ovih disciplina su: broj, toˇcka,
pravac, ravnina. Gotovo svi matematiˇcki pojmovi definirani su preko skupova. Govorimo o skupovima brojeva, pravac i ravninu promatramo kao
skupove toˇcaka itd. Stoga je vaˇzno da na samom poˇcetku ponovimo osnovne
ˇcinjenice o skupovima.
Skup je potpuno odreden svojim elementima. Da bi skup bio zadan,
potrebno je za svaki objekt znati pripada li tom skupu ili ne.
• S = {1,2,3} – skup zadan nabrajanjem elemenata
• S = {n ∈ N : n 6 3} – skup zadan kriterijem po kojem za svaki objekt
moˇzemo provjeriti pripada li tom skupu ili ne
Pripadnost skupu oznaˇcava se znakom ∈, a nepripadnost znakom ∈.
/
• 2 ∈ S ˇcitamo: “2 je element skupa S”
• 4∈
/ S ˇcitamo: “4 nije element skupa S”
Skupovi A i B su jednaki ako imaju iste elemente. Preciznije, A = B
ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B i obrnuto.
• {1,2,3} = {2,1,3} – nije vaˇzan redoslijed nabrajanja elemenata
• {3,1,2,3} = {2,2,1,3} – nije vaˇzno jesu li neki elementi kod zadavanja
skupa navedeni viˇse puta
o
na
2
4
: a ∈ Z,b ∈ N – uoˇcimo npr. =
• Q=
b
3
6
Postoji skup bez elemenata. Zovemo ga prazni skup i oznaˇcavamo ∅.
Podskup
Ve´c smo vidjeli jedan primjer podskupa: skup S = {n ∈ N : n 6 3}
zapravo je zadan kao podskup skupa N kojem pripadaju oni elementi skupa
N koji zadovoljavaju uvjet n 6 3.
Definicija 1. Kaˇzemo da je skup A podskup skupa B ako je svaki element
skupa A ujedno i element skupa B. Pritom piˇsemo A ⊆ B.
2
Koristimo i oznaku B ⊇ A i pritom kaˇzemo da je B nadskup skupa A.
Kaˇzemo da je skup A pravi podskup skupa B i piˇsemo A ⊂ B ako je A ⊆ B
i pritom A 6= B. Koristimo i oznaku B ⊃ A i pritom kaˇzemo da je B pravi
nadskup skupa A.
• S = {1,2,3} ⊆ N
• N⊆Z⊆Q⊆R⊆C
• neki podskupovi ravnine: pravci, duˇzine, geometrijski likovi
• geometrijska tijela su podskupovi prostora
“Biti podskup” je relacija medu skupovima. Zovemo je i relacija inkluzije.
Neka je S skup. Postoji skup ˇciji elementi su toˇcno svi podskupovi
skupa S. Zovemo ga partitivni skup skupa S i oznaˇcavamo P(S).
• za S = {1,2,3}, P(S) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
• P(∅) = {∅}
Operacije sa skupovima
Neka su A i B skupovi. Postoji skup koji ˇcine svi elementi koji pripadaju
skupu A ili skupu B, drugim rijeˇcima elementi koji pripadaju barem jednom
od tih skupova. Zovemo ga unija skupova A i B i oznaˇcavamo A∪B. Piˇsemo:
A ∪ B = {x : x ∈ A ili x ∈ B}
(1)
Skup koji ˇcine svi elementi koji pripadaju skupu A i skupu B zovemo
presjek skupova A i B i oznaˇcavamo A ∩ B.
A ∩ B = {x : x ∈ A i x ∈ B}
(2)
Definicija 2. Kaˇzemo da su A i B disjunktni ako nemaju zajedniˇckih elemenata, tj. ako je A ∩ B = ∅.
Skup koji ˇcine svi elementi koji pripadaju skupu A, ali ne pripadaju skupu
B, zovemo razlika skupova A i B i oznaˇcavamo A \ B (ˇcitamo: “A bez B”).
A \ B = {x : x ∈ A i x ∈
/ B}
(3)
Ako je pritom B ⊆ A, onda kaˇzemo da je skup A \ B komplement skupa
B s obzirom na skup A.1
1
Ako se iz konteksta podrazumijeva da se promatraju komplementi s obzirom na A,
ponekad piˇsemo B c umjesto A \ B i skup A zovemo univerzalni skup. Npr. skup neparnih
brojeva je komplement skupa parnih brojeva s obzirom na univerzalni skup Z.
3
Primjer 1. Zadani su skupovi A = {1,2,3,4} i B = {3,4,5,6}.
• A ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
• A ∩ B = {3,4}
• A \ B = {1,2}
• B \ A = {5,6}
Skup
A × B = {(a,b) : a ∈ A,b ∈ B}
(4)
zovemo Kartezijev produkt skupova A i B. Elemente Kartezijevog produkta
zovemo uredeni parovi.
Napomena 1. Uredeni parovi bitno su razliˇciti od dvoˇclanih skupova. Za
skupove nije bitan redoslijed u nabrajanju elemenata i nije bitno ponavlja li
se neki element ili ne, tj. suviˇsno je pisati neki element viˇse puta. Za uredene
parove bitan je redoslijed, te prvi i drugi element mogu biti jednaki.
Za uredene parove vrijedi (a,b) = (c,d) toˇcno onda ako je a = c i b = d.
• {1,2} = {2,1}, ali (1,2) 6= (2,1)
• {1,1} = {1}, ali (1,1) 6= {1}
• za A = {1,2} i B = {a,b,c}, A × B = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
• S = {1,2,3}, S × S = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
Skupove, njihove medusobne odnose i skupovne operacije ˇcesto grafiˇcki
prikazujemo Vennovim dijagramima. Skupove prikazujemo kao likove u ravnini omedene krivuljama, a po potrebi neke njihove elemente prikazujemo
kao istaknute toˇcke.
Kartezijev produkt R×R grafiˇcki prikazujemo kao pravokutni koordinatni
sustav u ravnini. Na sliˇcan naˇcin moˇzemo grafiˇcki prikazati i Kartezijeve
produkte drugih skupova.
Relacije i funkcije
Definicija 3. Neka su A i B skupovi. Svaki podskup R ⊆ A × B zovemo
relacija izmedu A i B.
4
Drugim rijeˇcima, relacija je skup nekih uredenih parova elemenata iz A i
B. Pritom za a ∈ A i b ∈ B takve da je uredeni par (a,b) u relaciji R obiˇcno
piˇsemo aRb.
Primjer 2. Relacija 6 je podskup skupa R × R. Npr. uredeni par (1,2) je u
relaciji 6, ˇsto zapisujemo kao 1 6 2.
Koriste´ci grafiˇcki prikaz Kartezijevog produkta, relacije moˇzemo prikazati
naglaˇsavaju´ci toˇcke koje odgovaraju uredenim parovima elemenata koji su
u relaciji. Relacije moˇzemo grafiˇcki prikazati i Vennovim dijagramima sa
strelicama koje povezuju elemente koji su u relaciji.
Definicija 4. Neka su A i B skupovi. Relaciju f ⊆ A×B zovemo funkcija ili
preslikavanje ako za svaki element x ∈ A postoji toˇcno jedan element y ∈ B
takav da je uredeni par (x,y) u f .
Skup A zovemo domena, a skup B kodomena funkcije.
Drugim rijeˇcima, funkcija svakom elementu domene pridruˇzuje toˇcno jedan element kodomene. Ako je f funkcija s domenom A i kodomenom B,
piˇsemo f : A → B i ˇcitamo “f je funkcija s A u B”.
Funkciju moˇzemo zadati tablicom vrijednosti ili formulom, ˇsto ´cemo vidjeti u primjerima. Kod zadavanja funkcije formulom, oznaku x zovemo
varijabla funkcije. Za dani element x ∈ A, njemu pridruˇzeni y zovemo vrijednost funkcije i piˇsemo f (x) = y.
Primjer 3. Kvadriranje realnih brojeva je funkcija f : R → R, pri ˇcemu je
f (x) = x2 za svaki x ∈ R.
Definicija 5. Za funkciju f : A → B kaˇzemo da je injekcija ako razliˇcite
elemente skupa A preslikava u razliˇcite elemente skupa B, tj. za sve x1 ,x2 ∈ A
takve da je x1 6= x2 vrijedi f (x1 ) 6= f (x2 ).
Za funkciju f : A → B kaˇzemo da je surjekcija ako je svaki element
kodomene vrijednost funkcije za neki element domene, tj. za svaki y ∈ B
postoji x ∈ A takav da je f (x) = y.
Za funkciju kaˇzemo da je bijekcija ako je injekcija i surjekcija.
Kaˇzemo da su skupovi A i B ekvipotentni (ili jednakobrojni ) ako postoji
bijekcija f : A → B.
Primjer 4. Funkcija f (x) = x2 nije ni injekcija ni surjekcija.
Primjer 5. Skupovi A = {1,2,3} i B = {a,b,c} su ekvipotentni. Naime,
funkcija f : A → B zadana tablicom
x
f (x)
1 2
a b
je bijekcija.
5
3
c
Tin Perkov
ak. god. 2018/19.
Uvodne informacije
• e-mail: [email protected]
• internet-stranica kolegija:
https://sites.google.com/site/tinperkov/matematika
• nastava: predavanja i seminari
• termini konzultacija i druge obavijesti: na stranici kolegija i na panou
kod sobe 325
• ispit: pismeni i usmeni
– samo na predroku pismeni dio zamjenjuju dva kolokvija
– uvjet za izlazak na usmeni: najmanje 45% bodova na kolokvijima
(kumulativno) ili najmanje 45% bodova na pismenom
– mogu´ce je sluˇsati Matematiku II i pisati kolokvije i ako nije poloˇzena Matematika I
– nije mogu´ce iza´ci na pismeni ni usmeni dio ispita iz Matematike II
ako nije poloˇzena Matematika I
• literatura:
´ c: Matematika, Skolska
ˇ
– S. Mintakovi´c, F. Curi´
knjiga, Zagreb 2003.
– stranica kolegija (predavanja, seminari, zbirka zadataka)
• sadrˇzaj kolegija:
– skupovi, relacije, funkcije
– brojevi (prirodni, cijeli, racionalni, realni, kompleksni)
– geometrija
1
1
Skupovi
Pojam skupa
Skup je osnovni matematiˇcki pojam. U kolegijima Matematika I i II
upoznat ´cemo se s temeljnim disciplinama elementarne matematike: aritmetikom i geometrijom. Osnovni pojmovi ovih disciplina su: broj, toˇcka,
pravac, ravnina. Gotovo svi matematiˇcki pojmovi definirani su preko skupova. Govorimo o skupovima brojeva, pravac i ravninu promatramo kao
skupove toˇcaka itd. Stoga je vaˇzno da na samom poˇcetku ponovimo osnovne
ˇcinjenice o skupovima.
Skup je potpuno odreden svojim elementima. Da bi skup bio zadan,
potrebno je za svaki objekt znati pripada li tom skupu ili ne.
• S = {1,2,3} – skup zadan nabrajanjem elemenata
• S = {n ∈ N : n 6 3} – skup zadan kriterijem po kojem za svaki objekt
moˇzemo provjeriti pripada li tom skupu ili ne
Pripadnost skupu oznaˇcava se znakom ∈, a nepripadnost znakom ∈.
/
• 2 ∈ S ˇcitamo: “2 je element skupa S”
• 4∈
/ S ˇcitamo: “4 nije element skupa S”
Skupovi A i B su jednaki ako imaju iste elemente. Preciznije, A = B
ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B i obrnuto.
• {1,2,3} = {2,1,3} – nije vaˇzan redoslijed nabrajanja elemenata
• {3,1,2,3} = {2,2,1,3} – nije vaˇzno jesu li neki elementi kod zadavanja
skupa navedeni viˇse puta
o
na
2
4
: a ∈ Z,b ∈ N – uoˇcimo npr. =
• Q=
b
3
6
Postoji skup bez elemenata. Zovemo ga prazni skup i oznaˇcavamo ∅.
Podskup
Ve´c smo vidjeli jedan primjer podskupa: skup S = {n ∈ N : n 6 3}
zapravo je zadan kao podskup skupa N kojem pripadaju oni elementi skupa
N koji zadovoljavaju uvjet n 6 3.
Definicija 1. Kaˇzemo da je skup A podskup skupa B ako je svaki element
skupa A ujedno i element skupa B. Pritom piˇsemo A ⊆ B.
2
Koristimo i oznaku B ⊇ A i pritom kaˇzemo da je B nadskup skupa A.
Kaˇzemo da je skup A pravi podskup skupa B i piˇsemo A ⊂ B ako je A ⊆ B
i pritom A 6= B. Koristimo i oznaku B ⊃ A i pritom kaˇzemo da je B pravi
nadskup skupa A.
• S = {1,2,3} ⊆ N
• N⊆Z⊆Q⊆R⊆C
• neki podskupovi ravnine: pravci, duˇzine, geometrijski likovi
• geometrijska tijela su podskupovi prostora
“Biti podskup” je relacija medu skupovima. Zovemo je i relacija inkluzije.
Neka je S skup. Postoji skup ˇciji elementi su toˇcno svi podskupovi
skupa S. Zovemo ga partitivni skup skupa S i oznaˇcavamo P(S).
• za S = {1,2,3}, P(S) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
• P(∅) = {∅}
Operacije sa skupovima
Neka su A i B skupovi. Postoji skup koji ˇcine svi elementi koji pripadaju
skupu A ili skupu B, drugim rijeˇcima elementi koji pripadaju barem jednom
od tih skupova. Zovemo ga unija skupova A i B i oznaˇcavamo A∪B. Piˇsemo:
A ∪ B = {x : x ∈ A ili x ∈ B}
(1)
Skup koji ˇcine svi elementi koji pripadaju skupu A i skupu B zovemo
presjek skupova A i B i oznaˇcavamo A ∩ B.
A ∩ B = {x : x ∈ A i x ∈ B}
(2)
Definicija 2. Kaˇzemo da su A i B disjunktni ako nemaju zajedniˇckih elemenata, tj. ako je A ∩ B = ∅.
Skup koji ˇcine svi elementi koji pripadaju skupu A, ali ne pripadaju skupu
B, zovemo razlika skupova A i B i oznaˇcavamo A \ B (ˇcitamo: “A bez B”).
A \ B = {x : x ∈ A i x ∈
/ B}
(3)
Ako je pritom B ⊆ A, onda kaˇzemo da je skup A \ B komplement skupa
B s obzirom na skup A.1
1
Ako se iz konteksta podrazumijeva da se promatraju komplementi s obzirom na A,
ponekad piˇsemo B c umjesto A \ B i skup A zovemo univerzalni skup. Npr. skup neparnih
brojeva je komplement skupa parnih brojeva s obzirom na univerzalni skup Z.
3
Primjer 1. Zadani su skupovi A = {1,2,3,4} i B = {3,4,5,6}.
• A ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
• A ∩ B = {3,4}
• A \ B = {1,2}
• B \ A = {5,6}
Skup
A × B = {(a,b) : a ∈ A,b ∈ B}
(4)
zovemo Kartezijev produkt skupova A i B. Elemente Kartezijevog produkta
zovemo uredeni parovi.
Napomena 1. Uredeni parovi bitno su razliˇciti od dvoˇclanih skupova. Za
skupove nije bitan redoslijed u nabrajanju elemenata i nije bitno ponavlja li
se neki element ili ne, tj. suviˇsno je pisati neki element viˇse puta. Za uredene
parove bitan je redoslijed, te prvi i drugi element mogu biti jednaki.
Za uredene parove vrijedi (a,b) = (c,d) toˇcno onda ako je a = c i b = d.
• {1,2} = {2,1}, ali (1,2) 6= (2,1)
• {1,1} = {1}, ali (1,1) 6= {1}
• za A = {1,2} i B = {a,b,c}, A × B = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
• S = {1,2,3}, S × S = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
Skupove, njihove medusobne odnose i skupovne operacije ˇcesto grafiˇcki
prikazujemo Vennovim dijagramima. Skupove prikazujemo kao likove u ravnini omedene krivuljama, a po potrebi neke njihove elemente prikazujemo
kao istaknute toˇcke.
Kartezijev produkt R×R grafiˇcki prikazujemo kao pravokutni koordinatni
sustav u ravnini. Na sliˇcan naˇcin moˇzemo grafiˇcki prikazati i Kartezijeve
produkte drugih skupova.
Relacije i funkcije
Definicija 3. Neka su A i B skupovi. Svaki podskup R ⊆ A × B zovemo
relacija izmedu A i B.
4
Drugim rijeˇcima, relacija je skup nekih uredenih parova elemenata iz A i
B. Pritom za a ∈ A i b ∈ B takve da je uredeni par (a,b) u relaciji R obiˇcno
piˇsemo aRb.
Primjer 2. Relacija 6 je podskup skupa R × R. Npr. uredeni par (1,2) je u
relaciji 6, ˇsto zapisujemo kao 1 6 2.
Koriste´ci grafiˇcki prikaz Kartezijevog produkta, relacije moˇzemo prikazati
naglaˇsavaju´ci toˇcke koje odgovaraju uredenim parovima elemenata koji su
u relaciji. Relacije moˇzemo grafiˇcki prikazati i Vennovim dijagramima sa
strelicama koje povezuju elemente koji su u relaciji.
Definicija 4. Neka su A i B skupovi. Relaciju f ⊆ A×B zovemo funkcija ili
preslikavanje ako za svaki element x ∈ A postoji toˇcno jedan element y ∈ B
takav da je uredeni par (x,y) u f .
Skup A zovemo domena, a skup B kodomena funkcije.
Drugim rijeˇcima, funkcija svakom elementu domene pridruˇzuje toˇcno jedan element kodomene. Ako je f funkcija s domenom A i kodomenom B,
piˇsemo f : A → B i ˇcitamo “f je funkcija s A u B”.
Funkciju moˇzemo zadati tablicom vrijednosti ili formulom, ˇsto ´cemo vidjeti u primjerima. Kod zadavanja funkcije formulom, oznaku x zovemo
varijabla funkcije. Za dani element x ∈ A, njemu pridruˇzeni y zovemo vrijednost funkcije i piˇsemo f (x) = y.
Primjer 3. Kvadriranje realnih brojeva je funkcija f : R → R, pri ˇcemu je
f (x) = x2 za svaki x ∈ R.
Definicija 5. Za funkciju f : A → B kaˇzemo da je injekcija ako razliˇcite
elemente skupa A preslikava u razliˇcite elemente skupa B, tj. za sve x1 ,x2 ∈ A
takve da je x1 6= x2 vrijedi f (x1 ) 6= f (x2 ).
Za funkciju f : A → B kaˇzemo da je surjekcija ako je svaki element
kodomene vrijednost funkcije za neki element domene, tj. za svaki y ∈ B
postoji x ∈ A takav da je f (x) = y.
Za funkciju kaˇzemo da je bijekcija ako je injekcija i surjekcija.
Kaˇzemo da su skupovi A i B ekvipotentni (ili jednakobrojni ) ako postoji
bijekcija f : A → B.
Primjer 4. Funkcija f (x) = x2 nije ni injekcija ni surjekcija.
Primjer 5. Skupovi A = {1,2,3} i B = {a,b,c} su ekvipotentni. Naime,
funkcija f : A → B zadana tablicom
x
f (x)
1 2
a b
je bijekcija.
5
3
c