Modul Matematika Diskrit
TEKNIK MEMBILANG
Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya
anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh
anggota ruang sampel tersebut.
A. Prinsip Perkalian I
Perhatikan ilustrasi berikut ini andaikan
c1
a1
T
b
U
V
a2
c2
W
c3
H1
= {a1 a2} adalah macam jalur jalan dari kota T ke V
H2
= {b} adalah macam jalur jalan dari kota U ke V
H3
= {c1 c2 c3} adalah macam jalur jalan dari kota V ke W
Macamnya jalur jalan yang dapat dilewati dari kota T ke kota W melewati
kota U dan V adalah S={a1bc1, a1bc1, a1bc1, a1bc1, a1bc1, a1bc1} = H1. H2 . H3
perhatikan bahwa banyaknya jalur yang dimaksudkan adalah n(S) = 5 =2 . 1 .
3 = n(H1) . n(H2) . n(H3). Dengan gambaran tersebut kesimpulan yang
diperoleh adalah
Jika ada 2 jalur dari kota T ke U
1 jalur dari kota U ke V
3 Jalur dari kota V ke W
Maka ada
2 . 1 . 3 = 6 jalur jalan yang dapat ditempuh dari kota T ke kota W melewati
kota U dan V secara umum berlaku prinsip perkalian.
1
B. Prinsip Perkalian II
Jika
adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
Maka ada :
cara untuk mengambil semua keputusan.
Setelah mengenai prinsip perkalian ini, perhitungan ruang sampel untuk 2
contoh sebelumnya, dapat digambarkan seperti berikut :
Dari Obyek
Eksperimen
1) Membuat nomor undian terdiri dari 3 angka
*
+
2) Menyusun bilangan-bilangan terdiri dari 3
angka yang angka-angkanya saling berlainan.
Untuk Contoh 1
5 cara
1
5 cara
2
1
3
5 cara
2
4
1
3
5
2
4
5
*
+
S
3
1
4
5
2
3
1
4
2
5
3
4
5
2
Perhatikan bahwa :
( )
dapat diperoleh dari urutan pertama 5 cara dikalikan urutan
kedua 5 cara dan urutan ketiga 5 cara, yakni :
( )
Untuk contoh 2
4 cara
3 cara
2
5 cara
3
123 = e1
4
124 = e2
5
125 = e3
3
H= {1,2,3,4,5}
1
4
2
5
3
S
1
4
2
5
1
3
2
4
541 = e58
542 = e59
3
Diagram 2.2
543 = e60
Perhatikan bahwa :
( )
dapat diperoleh dari urutan pertama 5 cara dikalikan urutan
kedua 4 cara dan urutan ketiga 3 cara, yakni :
( )
Contoh Penggunaan Prinsip Perkalian Lainnya
Ada berapa cara kita dapat menyusun bilangan genap terdiri dari 4 angka
yang angka-angkanya saling berlainan ?
Jawab :
3
Pada soal tersebut yang dimaksud dengan objek eksperimen adalah
*
+
dan eksperimennya adalah menyusun nomor undian berupa bilangan genap tiga
angka yang angka-angkanya saling berlainan. Untuk mempersingkat penjelasan
dan mempermudah pemahaman diambil kesempatan bahwa penulisan himpunan
seperti { 0, 1, 2, 3 } yang dimaksud adalah sama dengan { 0, 1, 3, 4 }. Jika u 1, u2,
u3, u4 berturut-turut menyatakan urutan angka-angka yang mungkin pada urutan
pertama, kedua, ketiga, dan keempat maka u4 yang mungkin adalah angka-angka
0, 2, 4, 6, 8.
u1
u2
u3
u4
0
2
4
6
8
Diagram 3
Cara 1 ( dengan penalaran lengkap ).
Jika
maka untuk menuliskan angka-angka pada
ada 9 cara sebab
*
ada 8 cara sebab salah satu unsur dari *
yang menempati
+
.
ada 7 cara sebab 2 unsur diantara *
yang menempati
Jika
dan
+ sudah ada
+ sudah ada
.
maka untuk menuliskan angka-angka pada
ada 8 cara sebab
*
ada 8 cara sebab salah satu unsur dari *
nol sudah ada di
4
+
+ selain
ada 7 cara sebab unsur dari *
yang menempati
dan
+ selain nol sudah ada
.
Demikian seterusnya.
Jika
maka untuk menuliskan angka-angka pada
ada 8 cara sebab
*
+
ada 8 cara sebab salah satu unsur dari *
+ selain
nol sudah ada di
ada 7 cara sebab unsur dari *
yang menempati
dan
+ selain nol sudah ada
.
Demikian seterusnya.
Dengan demikian maka :
Jika
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
9.8.7
Jika
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8.8.7
Jika
448 cara.
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8.8.7
Jika
448 cara.
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8.8.7
Jika
504 cara.
448 cara.
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8.8.7
448 cara.
Kesimpulan : banyaknya cara yang dimaksud
Artinya banyaknya cara adalah n (S)
cara
cara.
Cara 2 (cara singkat)
Untuk
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
9 x 8 x 7 cara
Sedangkan untuk
504 cara.
≠ 0 maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8 x 8 x 7 cara sehingga untuk itu ada 4 x 8 x 8 x 7
Total : n (S)
5
1792 cara
PERMUTASI DAN KOMBINASI
A. Notasi Faktorial
Notasi faktorial merupakan materi penunjang yang diperkenalkan pada
siswa untuk memudahkan mereka memahami penurunan rumus permutasi
dan kombinasi. Contoh yang diberikan misalnya adalah sebagai berikut:
Keterangan :
dibaca lima faktorial
dibaca empat faktorial
B. Penurunan Rumus Permutasi
Kasus permutasi adalah eksperimen terhadap suatu obyek berupa himpunan
H yang menghasilkan ruang sampel dimana titik-titik sampelnya tidak
memungkinkan pengulangan elemen-elemen dalam H namun urutan
elemen-elemen H pada setiap titik sampelnya diperhatikan.
Misalkan ada 3 regu peserta tebak tepat tingkat SMA akan bertanding di
babak final yang menyediakan 3 macam kategori hadiah (hadiah I, II, dan
III). Ada berapa cara hadiah itu dapat diberikan?
Jika regu A, B, dan C adalah obyek-obyek yang dimaksud, maka yang
dimaksud sebagai himpunan obyek eksperimennya adalah H = {A, B, C}.
Eksperimen yang dimaksud adalah melakukan lomba tebak tepat kepada
ketiga regu tersebut. Ruang sampel dari eksperimen itu adalah himpunan
semua hasil yang mungkin terjadi.
Urutan I
A
*
+
II
B
III
C
B
A
C
C
A
A
B
B
A
C
B
C
6
S
Perhatikan bahwa susunan elemen seperti ABC, ACB, … hingga CBA
masing-masing disebut permutasi.
*
Selanjutnya diperoleh ruang sampel
( )
.
( )
(
+ sehingga
Dilihat dari diagramnya,
)
(
)
(
)
Banyaknya permutasi 3 hadiah dari 3 peserta
Apabila pesertanya 3 orang sementara hadiahnya hanya 2 macam (hadiah I
dan hadiah II) maka gambaran ruang sampelnya adalah seperti berikut.
I
II
III
B
A
*
C
A
B
+
S
C
A
C
B
Diagram 4
Ruang sampel
*
+ sehingga ( )
Dilihat dari diagramnya,
( )
(
)
3 cara×2 cara
(
)
banyaknya permutasi 2 hadiah dari 3 peserta
7
Dari kedua contoh sederhana tersebut mudah dibayangkan bahwa apabila
pesertanya 10 orang sementara hadiahnya 3 macam, maka ruang sampel S
mempunyai anggota sebanyak
( )
n(urutan I) × n(urutan II) × n(urutan III)
10 (cara) × 9 (cara) × 8 (cara)
(
)
Secara umum menggunakan prinsip perkalian, banyaknya permutasi dari n
obyek yang berlainan ada
( – )
( – )
sedangkan banyaknya permutasi r obyek yang dipilih dari n obyek yang
berlainan ada :
( – )
( – )
( – ( – ))
(
)
Dengan begitu banyaknya permutasi r obyek dari n obyek yang berlainan
diberikan lambang
(
)
Dibaca ″n faktorial″ dan
dengan
( – )( – )
( )( )
Contoh 1
Hitunglah:
a.
b.
Jawab
a. Dengan penalaran langsung, yaitu
(
)
8
(
)
,
(
)
, dan
Maka,
Jika menggunakan rumus, maka :
(
)
(
)
b. Dengan penalaran langsung diperoleh :
(
)
(
)
Contoh 2
Misalkan suatu sayembara memperebutkan 3 hadiah (hadiah I, II, dan III
masing-masing sebesar 10.000 rupiah, 7.500 rupiah dan 5.000 rupiah)
diikuti oleh 7 orang peserta. Untuk menentukan pemenangnya dilakukan
dengan mengacak nomor undiannya. Ada berapa cara hadiah-hadiah itu
dapat diberikan?
Jawab:
Perhatikan bahwa cara undian seperti itu tidak memungkinkan seseorang
mendapatkan lebih dari 1 hadiah (pengulangan elemen H dengan n(H) = 8
tidak dimungkinkan). Selain itu jika pemenangnya ABC artinya A dapat
hadiah I, B dapat hadiah II, dan C dapat hadiah III, oleh sebab itu jelas hasil
seperti
dan lain-lain. Kesimpulannya eksperimen
seperti itu merupakan kasus permutasi.
Maka banyaknya cara adalah ( )
3 faktor
C. Penurunan Rumus Kombinasi
Perlu diingat bahwa kasus kombinasi adalah eksperimen terhadap suatu
obyek berupa himpunan H yang menghasilkan ruang sampel dimana titiktitik sampelnya juga tidak memungkinkan pengulangan elemen-elemen H
tetapi urutan elemen H pada setiap titik sampelnya tidak diperhatikan.
Misalkan dari 4 bersaudara Ali (A), Budi (B), Cahya (C), dan Doni (D)
diundang 2 orang diantaranya untuk rapat keluarga. Ada berapa cara
undangan itu dapat dipenuhi? Bagaimana pula jika yang diundang adalah 3
orang dari 4 bersaudara itu?
9
Dari permasalahan tersebut yang dimaksud dengan obyek eksperimennya
adalah H = {A, B, C, D} sedangkan eksperimennya adalah mengundang
hadir dalam rapat keluarga sebanyak 2 orang wakilnya. Sesudah itu
eksperimennya diganti mengundang hadir dalam rapat keluarga sebanyak 3
orang wakilnya. Ruang sampel dari masing-masing eksperimen itu adalah
himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi pada eksperimen itu.
Penalaran selengkapnya adalah seperti berikut.
No
1.
2.
Obyek Eksperimen
*
*
+
+
Cara Eksperimen
mengundang 2 orang
wakilnya untuk rapat
keluarga
Hasil-hasil yang Mungkin
mengundang 3 orang
wakilnya untuk rapat
keluarga
( )
( )
Rangkaian hasil-hasil eksperimen yang mungkin terjadi seperti misalnya
AB, AC, AD pada contoh 1 di atas disebut kombinasi 2 elemen dari 4
elemen. Sedangkan ABC, ABD, ACD, BCD pada contoh 2 disebut
kombinasi 3 elemen dari 4 elemen.
Banyaknya kombinasi adalah banyaknya semua rangkaian elemen-elemen
dalam H yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu. Banyaknya kombinasi
2 elemen dari 4 elemen yang tersedia dilambangkan dengan
atau . /.
Dari kedua contoh itu diperoleh
atau
(
dan
Selanjutnya dalam hubungannya dengan permutasi dan penggunaan notasi
faktorial penurunan rumusnya dilakukan seperti berikut.
10
)
Untuk
(kombinasi 2 dari 4)
Macam
Kombinasi
Jika Elemen-elemen Kombinasi
itu dipermutasikan
Banyaknya
Permutasi
2 faktor
Untuk
(kombinasi 3 dari 4)
Macam
Kombinasi
Jika Elemen-elemen Kombinasi itu
dipermutasikan
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA
ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA
BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB
Banyaknya
Permutasi
3 faktor
Perhatikan bahwa
Dengan pemikiran yang sama, ternyata secara umum berlaku bahwa :
(
)
(
)
Contoh :
Dalam suatu arisan masih ada 12 orang yang belum mendapatkan hadiah.
Sementara itu dalam setiap pertemuan arisan ditetapkan 4 peserta berhak
mendapat hadiah masing-masing sebesar Rp 75.000,00. Jika diadakan
undian, ada berapa cara hadiah arisan itu dapat diberikan?
11
Jawab :
Perhatikan bahwa dengan aturan undian seperti itu tidak mungkin seseorang
untuk mendapatkan hadiah lebih dari satu kali (pengulangan elemen H
dengan
( )
tidak dimungkinkan). Karena hadiahnya sama bagi
para pemenang maka jika pemenangnya ABCD maka A, B, C, dan D
masing-masing akan menerima hadiah yang sama (yakni sebesar Rp
75.000,00), itu berarti hasil seperti
dan lain-lain.
Artinya urutan pemenang tidak diperhatikan, sehingga eksperimen seperti
itu merupakan kasus kombinasi. Maka banyaknya cara adalah
( )
(
)
D. Segitiga Pascal
Segitiga Pascal ialah segitiga yang dibentuk oleh bilangan-bilangan yang
bersesuaian dengan koefisien-koefisien pangkat bulat non negatif dari suatu
suku dua (
(
)
(
)
(
(
) Perhatikan bahwa
)
)
....................dan seterusnya...................
(
)
Koefisien-koefisien pangkat bulat non negatif dari (
dan seterusnya hingga
untuk
)
seperti
dan
seterusnya itulah yang kemudian membentuk pola bilangan yang terkenal
dengan nama segitiga Pascal, suatu penghormatan kepada matematikawan
Perancis bernama Blaise Pascal yang hidup pada tahun 1623 – 1662.
Dengan memperhatikan nilai koefisiennya saja untuk pangkat bulat nonnegatif dari nol hingga lima akan diperoleh segitiga Pascal seperti yang
ditunjukkan berikut.
12
Dengan adanya kesesuaian itu maka perhitungan-perhitungan kombinasi
yang hanya melibatkan bilangan-bilangan kecil langsung dapat dilakukan
berdasarkan kesesuaiannya dengan bilangan yang ada pada segitiga Pascal.
Contoh
Jawab:
13
PIGEONHOLE PRINCIPLE
(Prinsip Sarang Merpati)
Teorema :
Jika
merpati ditempatkan dalam
sarang dengan
, maka paling sedikit
ada satu sarang yang berisi dua atau lebih merpati.
Bukti :
Burung merpati diberi nomor dari 1 sampai n dan sarangnya diberi nomor dari 1
sampai m.
Sekarang masukan merpati nomor satu ke sarang nomor satu, merpati nomor 2 ke
sarang nomor 2, dan seterusnya hingga merpati nomor n ke sarang nomor m
sehingga tersisa ( –
) merpati yang belum mendapat sarang. Oleh karena itu,
pasti ada paling tidak satu sarang yang memuat dua atau lebih merpati.
Jika dikaitkan dengan fungsi :
Suatu fungsi dari satu himpunan berhingga ke suatu himpunan berhingga yang
lebih kecil tidak mungkin menjadi fungsi satu-satu. Ada sekurang-kurangnya dua
elemen dalam domain yang mempunyai image yang sama dalam kodomain.
Contoh
1.
Diantara delapan orang, pasti ada dua orang yang lahir pada hari yang sama.
Bukti :
Nama hari ada 7, nyatakan delapan orang dengan simbol
. dan
definisikan suatu fungsi A dari himpunan orang ke himpunan tujuh hari
seperti di tunjukan dalam diagram berikut:
Orang (merpati)
Hari (sarang)
A
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
Minggu
14
Jadi, terdapat sekurang-kurangnya dua panah yang mengarah pada hari yang
sama. Oleh karena itu sekurang-kurangnya terdapat dua orang yang
dilahirkan pada hari yang sama.
2.
Dari delapan bilangan asli yang pertama, ada 4 pasang yang jumlahnya
sembilan, tentukan :
a. Buktikan.
b. Bagaimana bila lima bilangan dipilih secara sembarang dari delapan
bilangan asli tersebut. Ada berapa pasang yang jumlahnya sembilan dan
ada berapa bilangan yang jumlahnya sembilan.
Penyelesaian :
a. Bukti :
Jadi TERBUKTI.
b. Jawaban :
Kesimpulan :
Dari lima bilangan asli dipilih akan membentuk minimal 1 pasang yang
berjumlah sembilan dan maksimal 2 pasang yang berjumlah sembilan,
apabila terbentuk 1 pasang maka ada dua bilangan dan apabila terbentuk 2
pasang maka ada empat bilangan.
3.
Misalkan terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola biru di dalam
sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak
(tanpa melihat ke dalam kotak) untuk menjamin bahwa sepasang bola yang
berwarna sama terambil.
Penyelesaian :
15
Jika setiap warna dianggap sebagai sarang merpati, maka n = 3. Karena itu,
jika orang mengambil paling sedikit n + 1 = 4 bola (merpati), maka dapat
dipastikan sepasang bola yang berwarna sama ikut terambil. Jika hanya
diambil 3 buah, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu
sama lain. Jadi 4 buah bola adalah jumlah minimum yang harus diambil dari
dalam kotak untuk menjamin terambil sepasang bola yang berwarna sama.
4.
Misalkan sebuah turnamen basket diikuti oleh n buah tim yang dalam hal ini
setiap tim bertanding dengan setiap tim lainnya dan setiap tim menang paling
sedikit satu kali. Tunjukkan bahwa paling sedikit ada 2 tim yang mempunyai
jumlah kemenangan yang sama.
Penyelesaian :
Jumlah kemenangan setiap tim paling sedikit 1 kali dan paling banyak
kali. Angka
berkorespondensi dengan
buah sarang merpati untuk
menampung n ekor merpati (tim basket). Jadi, paling sedikit ada 2 tim basket
yang mempunyai jumlah kemenangan sama.
5.
Dalam sekumpulan n orang di mana setiap orang minimal kenal dengan satu
orang di kelompok tersebut, terdapat dua orang yang memiliki banyaknya
kenalan di kelompok tersebut yang sama. (Contoh: ada dua orang yang samasama memiliki 20 kenalan dalam kelompok tersebut)
Penyelesaian :
Dalam kasus ini jelas bahwa banyaknya kenalan sebagai sarang merpati dan
banyaknya orang sebagai merpati.
Sekarang kita buktikan bahwa sarang lebih sedikit daripada merpatinya.
Setiap orang minimal kenal dengan satu orang, maka banyaknya kenalan
yang mungkin adalah 1 kenalan, 2 kenalan, 3 kenalan, dan seterusnya sampai
kenalan. Sehingga ada
kemungkinan banyaknya kenalan pada
orang di dalam kelompok tersebut. Karena ada
orang, maka jelas bahwa
pasti terdapat dua orang yang memiliki banyak kenalan yang sama.
16
INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika adalah metode yang dipakai untuk membuktikan
pernyataan-pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif.
Prinsip induksi matematika berbunyi :
Misalkan P(n) adalah bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa
P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.untuk membuktikannya kita
hanya perlu menunjukan bahwa :
1. P(1) benar
2. P(n) benar, maka P(n+1) juga benar untuk setiap n≥1. sehingga P(n) benar
untuk semua bilangan bulat positif n.
Contoh :
1.
Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan bahwa jumlah n
buah bilangan ganjil positif pertama adalah :
Penyelesaian :
Misalkan P(n) menyatakan jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama
adalah
Akan dibuktikan untuk
( ) benar, yaitu
kita peroleh
karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
Misalkan ( ) benar, perhatikan bahwa:
Jadi kita dapat asumsikan bahwa:
(
Akan dibuktikan bahwa (
(
)
adalah benar.
) juga benar, yaitu :
)
(
hal ini dapat kita tunjukan sebagai berikut:
Ruas kiri
Ruas kanan ,
(
17
(
)
)
(
)-
(
(
)
)
)
(
(
2. Buktikan
)
)
(
bahwa
bilangan bulat positif !
)
untuk
setiap
Bukti :
Langkah 1
Akan diperlihatkan pernyataan benar untuk
(
)
, untuk
maka :
.
Langkah Induksi
Akan ditunjukkan pernyataan benar untuk setiap bilangan bulat
,
apabila pernyataan benar untuk
.
maka pernyataan benar untuk
(
Jika diasumsikan pernyataan
(
)
(
(
)
(
)
(
(
)
)(
(
)((
(
(
)
(
)
)
(
)
)
benar, maka
)
)
)
)
Karena kedua langkah induksi telah terpenuhi maka untuk setiap bilangan
positif
3.
(
berlaku bahwa :
Buktikan bahwa banyak
)
buah bilangan bulat positif ganjil pertama adalah
Bukti :
Misalkan ( ) merupakan pernyataan yang menyatakan bahwa jumlah
bilangan bulat positif ganjil pertama adalah
buah
maka :
Langkah 1
Untuk
maka
ganjil positif pertama adalah
maka
( ) benar , karena banyak buah bilangan
Langkah Induksi
Untuk
18
Andaikan untuk
(
pernyataan
maka akan ditunjukkan bahwa :
(
(
)
)
(
(
)
(
)
*(
(
19
) , yaitu
(
)
)
)+
)
benar,
(
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 01
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari suatu fungsi adalah
menggunakan konsep “Deret Taylor” disekitar
( )
( )
∑
, secara umum, yaitu :
( )
( )
Jika diekspansikan menjadi:
Contoh :
( )
( )
( )
( )
1. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( )
( )
...
( )
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
2. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( )
( )
( )
...
20
( )
( )
( )
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
(
)
Kesimpulan dari kedua contoh diatas adalah :
∑
(
21
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 02
Contoh :
1. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( )
( )
...
( )
(
(
(
)
(
)
)
(
)
)
(
)
( )
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
∑
2. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( )
( )
...
( )
(
(
(
)
)
)
(
(
(
)
)
)
( )
22
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
(
)
∑(
)
Kesimpulan dari kedua contoh diatas adalah :
∑
(
)
23
∑(
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 03
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( )
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( ) disekitar
(
) adalah
, dirumuskan sebagai
berikut :
( )
∑
( )
( )
( )
Jika di ekspansikan menjadi:
( )
( )
( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi
( )
pembangkit dari
(
) , dengan teorema Binomilia.
Berikut adalah langkah-langkahnya :
(
)
. /
{
(
∑. /
)(
. /
. /
(
. /
(
(
)
)
)(
)
∑. /
)
. /
)(
(
)
Menentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
∑. /
24
(
)
( )
( )
(
)
( )
Kesimpulan :
( )
( )
∑. /(
(
( )
)
∑. /(
)
Contoh soal :
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
(
Penyelesaian:
( )
(
)
( )
)
∑. /(
)
∑. /(
)
. /(
)
25
. /(
)
. /(
)
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 04
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( )
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( )disekitar
.
/ adalah
dirumuskan sebagai
berikut :
( )
( )
∑
( )
( )
Jika di ekspansikan menjadi:
( )
( )
( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi
pembangkit dari
( )
.
/ .
Berdasarkan formula diperoleh :
)
(
∑.
/
Maka diperoleh :
Kesimpulan :
( )
∑.
/(
Contoh Soal :
1.
( )
(
( )
(
( )
)
)
)
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
(
(
( )
)
)
/
.
Penyelesaian :
( )
∑.
∑.
/
(
)
26
(
)
/
(
)
( )
2.
( )
( )
( )
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
Penyelesaian :
( )
(
(
(
( )
( )
)
)
)
( )
∑.
/
(
( )
/
.
)
( )
27
(
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 05
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( )
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( )disekitar
adalah
dirumuskan sebagai
berikut :
( )
∑
( )
( )
( )
Apabila kita ekspansi “Deret Taylor” di atas, dapat diuraikan menjadi sebuah
deret sebagai berikut :
( )
( )
( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi
pembangkit dari
( )
.
Berdasarkan formula diperoleh :
)
(
Maka diperoleh :
( )
(
( )
)
Kesimpulan :
( )
(
( )
)
Contoh Soal :
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
Penyelesaian :
( )
( )
∑
∑
28
(
)
(
)
(
(
)
29
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 06
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( )
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( )disekitar
adalah
dirumuskan sebagai
berikut :
( )
∑
( )
( )
( )
Jika di ekspansikan menjadi:
( )
( )
( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi
pembangkit dari
( )
.
Berdasarkan formula diperoleh :
)
(
Maka diperoleh :
( )
(
( )
)
Kesimpulan :
( )
(
( )
)
Contoh Soal :
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
Penyelesaian :
( )
( )
(
∑
∑
)
(
30
(
)
)
)
(
(
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 07
Dengan konsep “Deret Taylor” di dapat fungsi pembangkit dari bentuk umum :
( )
Contoh :
( )
Cari fungsi pembangkit dari :
( )
(
)
( )
(
)
Penyelesaian :
(
((
(
(
)(
)(
)
)
)
31
)
)
BARISAN DARI SUATU FUNGSI PEMBANGKIT BIASA DAN FUNGSI
PEMBANGKIT EKSPONENSIAL
Misal (
)
(
Fungsi pembangkit biasa dari (
( )
∑
( )
∑
) adalah suatu barisan.
) didefinisikan sebagai berikut :
Fungsi pembangkit eksponensial dari (
Simpulan :
1.
2.
) didefinisikan sebagai berikut :
Barisan dari suatu Fungsi Pembangkit Biasa adalah :
( )
∑
(
)
( )
∑
(
)
Barisan dari suatu Fungsi Pembangkit Eksponensial adalah :
Contoh :
1.
Carilah barisan
dari fungsi pembangkit biasa (FPB) dari :
( )
Penyelesaian :
( )
(
)
32
( )
∑
(
)∑
∑
∑
∑
{
∑
Misal :
∑
∑
∑
∑
*
Jadi barisannya adalah
2.
Carilah barisan
( )
(
Penyelesaian :
( )
+
dari fungsi pembangkit biasa (FPB)
)
( )(
)
∑.
/(
( )∑.
/(
)
) ( )
33
Misal :
)(
∑(
∑.
/(
)
)
{
( )
)(
(
*
Jadi barisannya adalah
3.
( )
)
( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari (
a.
( )
+
). Tentukan
Fungsi Pembangkit Biasa
∑
Dengan
Maka untuk ( )
(
)
Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa (FPB), maka diperoleh
(
)
34
b.
( )
Definisi FPB:
( )
∑
maka untuk ( )
(
)
(∑
(
)
)
(
)
Berdasarkan definisi FPB, maka diperoleh
c.
( )
(
)
Definisi FPB:
( )
∑
Maka untuk ( )
(
(
(
)
)
35
)
d.
(
( )
)
Definisi FPB:
( )
∑
Maka untuk ( )
e.
(
( )
)
(
)
(
)
.
/
(
(
)
)
36
f.
( )
(
)
.
4.
/
(
)
)
Carilah nilai
a.
(
jika p(x) merupakan FPE barisan
( )
Definisi FPE:
( )
∑
Maka untuk ( )
(
)
∑ ( )
∑
Maka
( )
∑
Diperoleh
b.
( )
( )
(
)
)
(
37
(
)
c.
(∑
)
∑(
)
(∑
(
( )
)
)
∑
( )
∑
( )
∑
5.
(
Misal ( )
Tentukan (
( )
).
)
adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan (
Penyelesaian :
38
).
Misal,
( )
(
)(
)
∑
Jelas bahwa (
(
)
) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan
(
) adalah FPB dari barisan
sehingga diperoleh
∑
∑
Dengan demikian
(
) atau
2
39
(
)
FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL DARI SUATU BARISAN
Misal : (
)
(
) adalah suatu barisan.
Fungsi pembangkit eksponensial dari (
( )
Misalnya,
∑
) didefinisikan sebagai berikut :
Adalah fungsi pembangkit eksponensial dari barisan (
)
Simpulan :
Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) dari suatu barisan (
( )
Contoh :
∑
1. Tulis fungsi pembangkit eksponensial dari barisan (
Penyelesaian :
)
( )
)
(
∑
2. Tulis fungsi pembangkit eksponensial (FPE) dari barisan :
(
)
(
Penyelesaian :
( )
)
∑
40
) adalah :
(
)
*
+
*
*
+
+
*
+
3. Tulis fungsi pembangkit eksponensial dari barisan berikut
a. (
)
( )
∑
(
(
)
(
( )
b. (
(
)
)
)
)
( )
∑
(
(
(
)
)
41
(
)
(
(
)
)
)
c. (
)
( )
Untuk
∑
∑
Maka untuk
( )
∑
∑
42
FUNGSI PEMBANGKIT BIASA (FPB) DARI SUATU BARISAN
Misal : (
)
(
Fungsi pembangkit biasa dari (
( )
Misalnya,
∑
) adalah suatu barisan.
) didefinisikan sebagai berikut :
Adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan .
/
Simpulan :
Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) dari barisan (
( )
Contoh :
1.
Tulis
(
fungsi
)
(
( )
(
( )
( )
∑
( )
Jadi
(
2.
)
pembangkit
biasa
(FPB)
)
∑
fungsi
(
(
)
(
)
(
)
(
barisan
dari
barisan
)
)
pembangkit
biasa
) adalah:
( )
∑
(FPB)
Tulis fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan (
( )
dari
)
(
( )
∑
) adalah
∑
43
)
(
)
( )
( )
( )
∑(
)
)
Jadi fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan (
adalah:
( )
∑(
(
)
)
3. Tulis fungsi pembangkit biasa dari barisan-barisan berikut.
a. (0,0,0,1,1,1,1,...)
( )
(
b. .
(
( )
( )
)
/
(
c. .
)
)
)
/
44
(
)
(
)
(
)
(
(
(
(
(
(
d. .
( )
)
(
( )
(
(
e. (
)
(
/
)
)
))
)
)
)
)
)
45
FUNGSI PEMBANGKIT BIASA UNTUK KOMBINASI DAN FUNGSI
PEMBANGKIT BIASA DARI PENEMPATAN OBJEK IDENTIK KE
KOTAK BERBEDA
Ada tiga jenis huruf
akan dibuat 4 huruf yang berasal dari huruf-huruf
dengan syarat :
Huruf a
Terpilih paling banyak 2
Huruf b
Terpilih paling banyak 3
Huruf c
Terpilih paling banyak 1
Kemungkinan yang terjadi :
{
}
Dapatkah cara ini diselesaikan dengan fungsi pembangkit ?
Kemungkinan :
a. Tidak terambil
b. Terambil sekali
c. Terambil dua kali
Fungsi pembangkit :
( )
⌊(
⌊(
⌊
)
)
⌊
(
(
)
) ⌋
⌋
⌊
(
(
⌋⌊
)
(
) ⌋ ⌊(
)
(
)
(
)
⌋⌊
⌋
⌋⌊
(
(
(
)
46
(
(
)
)
)
)
⌋
) ⌋
Koefisien
menunjukkan banyaknya cara yang mungkin dalam menyusun n
huruf, jika
dan
( )
, maka :
(
Fungsi pembangkit untuk
)(
( )
adalah
Dimana :
( )
(
)(
∑
)(
)
)
)(
( )
Catatan :
Fungsi pembangkit menentukan banyaknya cara memilih k obyek dari P tipe
obyek
1. Tidak diperkenankan pengulangan
( )
∑. /
Banyaknya cara memilih . /
. /
(
2. Diperkenankan pengulangan
( )
)
/
∑.
Banyaknya cara memilih .
/
.
/
(
47
(
)
)
Contoh soal :
1. Tentukan fungsi pembangkit untuk banyaknya cara memilih r obyek dari n
obyek dimana pengulangan tidak diperkenankan.
Jawaban :
Terdapat n obyek, karena pengulangan tidak diperkenankan maka tiap obyek
dapat dipilih 0 atau 1 kali saja. Sehingga fungsi pembangkit yang diminta
adalah :
( )
(
)(
(
)(
)
)
(
)
∑. /
2. Dengan beberapa cara 60 obyek yang identik dapat ditempatkan didalam 4 sel
(kotak) yang berbeda sedemikian sehingga setiap kotak mendapat paling
sedikit satu obyek.
Jawaban :
Karena ada 4 kotak dan tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek, maka
fungsi pembangkit untuk permasalahan ini adalah :
( )
(
)
(
(
∑.
∑.
)
/
)
| |
/
Jadi banyaknya cara memilih 60 obyek yang identik dalam 4 kotak yang
berbeda sedemikian sehingga tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek :
( )
48
.
/
.
/
FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL UNTUK PERMUTASI
akan dibuat kata “sandi” yang terdiri dari 4
Ada tiga jenis huruf
huruf yang berasal dari huruf-huruf
dengan syarat :
Huruf a
Terpilih paling banyak 2 kali
Huruf b
Terpilih paling banyak 2 kali
Huruf c
Terpilih paling banyak 1 kali
Kemungkinan yang terjadi :
*
Total ada : 6
12
12
+
*
+
*
+
30
Dapatkah cara ini diselesaikan dengan fungsi pembangkit ?
a. Terpilih paling banyak 2 kali
b. Terpilih paling banyak 2 kali
c. Terpilih paling banyak1 kali
A. Dengan FPB
( )
(
)(
)(
)
Banyaknya cara yang dimaksud ditunjukkan oleh koefisien
( )
. Sedangkan yang diharapkan 30 cara.
Jadi, permasalahan diatas diselesaikan dengan FPB tidak cocok.
49
dalam
B. Dengan FPE
(
*
( )
*
(
(
)
(
)
(
+*
)
(
)
(
+*
)
(
(
+0
(
)
)
1
)
(
)
+*
(
)
(
)
+
)
)
Koefisien
Sehingga,
(
)
(
*
Jadi, koefisien
(
Dengan
+
(
dalam ( ) adalah :
Kesimpulan :
demikian
FPE
)
)
)
digunakan
untuk
“PERMUTASI”
50
menyelesaikan
permasalahan
Contoh soal :
1. Tentukan banyaknya kata sandi dengan panjang k yang dapat dibentuk
dari huruf-huruf pembentuk kata “DISKRIT”
Jawaban :
DISKRIT
6 huruf yang berlaku
( )
*
+*
*
+
*
(
∑
(
+*
)
)
∑
∑
∑
Jadi koefisiennya adalah
51
+*
+*
+
+
PRINSIP INKLUSI - EKSKLUSI
Misalkan A dan B adalah sembarang himpunan, maka :
|A|
banyaknya elemen pada A
|B|
banyaknya elemen pada B
|
|
banyaknya elemen pada
Prinsip Inklusi – Eksklusi dinyatakan dalam bentuk :
|
Contoh soal :
|
| |
| |
|
|
1. Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa menyukai matematika diskrit,
13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 diantaranya menyukai keduaduanya. Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut :
Jawab :
|A|
25
|B | 13
|
Maka :
|
|
8
|
| |
| |
|
|
Jadi, terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut.
2. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi oleh 7 atau 11 ?
Jawab :
Misalkan P himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi 7 dan Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang
habis dibagi 11. Dengan demikian |
| adalah himpunan bilangan bulat
positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11, dan
P ∩ Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi 7 dan habis dibagi 11.
52
| |
⌊
|
|
| |
|
⌊
|
⌋
⌊
⌋
| |
(
| |
)
⌋
|
⌊
⌋
|
Jadi, terdapat 220 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi 7 atau habis dibagi 11. Ilustrasi dari penghitungan tesebut dapat dilihat
pada diagram di bawah ini.
P
| |
Q
|
|
| |
3. Dalam sebuah program studi pendidikan matematika yang terdiri atas 350
mahasiswa, terdapat 175 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan
diferensial dan 225 mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis
kompleks, dan 50 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan
diferensial dan analisis kompleks. Ada berapa mahasiswa di dalam
perkuliahan itu jika setiap mahasiswa mengambil mata kuliah persamaan
diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya?
Jawab :
Misalkan A adalah banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah
persamaan diferensial dan B menyatakan mahasiswa yang mengambil mata
kuliah analisis kompleks. Maka
merupakan himpunan mahasiswa yang
mengambil kedua mata kuliah tersebut. Banyaknya mahasiswa di dalam kelas
itu yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks,
atau kedua-duanya adalah
53
|
|
| |
| |
|
–
|
.
Ini berarti, terdapat 350 mahasiswa di dalam kelas yang mengambil mata
kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya. Karena
banyaknya siswa keseluruhan di dalam kelas tersebut adalah 350 mahasiswa,
artinya tidak terdapat mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari kedua
konsentrasi itu. Perhatikan diilustrasi berikut.
A
B
S
54
Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya
anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh
anggota ruang sampel tersebut.
A. Prinsip Perkalian I
Perhatikan ilustrasi berikut ini andaikan
c1
a1
T
b
U
V
a2
c2
W
c3
H1
= {a1 a2} adalah macam jalur jalan dari kota T ke V
H2
= {b} adalah macam jalur jalan dari kota U ke V
H3
= {c1 c2 c3} adalah macam jalur jalan dari kota V ke W
Macamnya jalur jalan yang dapat dilewati dari kota T ke kota W melewati
kota U dan V adalah S={a1bc1, a1bc1, a1bc1, a1bc1, a1bc1, a1bc1} = H1. H2 . H3
perhatikan bahwa banyaknya jalur yang dimaksudkan adalah n(S) = 5 =2 . 1 .
3 = n(H1) . n(H2) . n(H3). Dengan gambaran tersebut kesimpulan yang
diperoleh adalah
Jika ada 2 jalur dari kota T ke U
1 jalur dari kota U ke V
3 Jalur dari kota V ke W
Maka ada
2 . 1 . 3 = 6 jalur jalan yang dapat ditempuh dari kota T ke kota W melewati
kota U dan V secara umum berlaku prinsip perkalian.
1
B. Prinsip Perkalian II
Jika
adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
adalah banyaknya cara untuk mengambil keputusan
Maka ada :
cara untuk mengambil semua keputusan.
Setelah mengenai prinsip perkalian ini, perhitungan ruang sampel untuk 2
contoh sebelumnya, dapat digambarkan seperti berikut :
Dari Obyek
Eksperimen
1) Membuat nomor undian terdiri dari 3 angka
*
+
2) Menyusun bilangan-bilangan terdiri dari 3
angka yang angka-angkanya saling berlainan.
Untuk Contoh 1
5 cara
1
5 cara
2
1
3
5 cara
2
4
1
3
5
2
4
5
*
+
S
3
1
4
5
2
3
1
4
2
5
3
4
5
2
Perhatikan bahwa :
( )
dapat diperoleh dari urutan pertama 5 cara dikalikan urutan
kedua 5 cara dan urutan ketiga 5 cara, yakni :
( )
Untuk contoh 2
4 cara
3 cara
2
5 cara
3
123 = e1
4
124 = e2
5
125 = e3
3
H= {1,2,3,4,5}
1
4
2
5
3
S
1
4
2
5
1
3
2
4
541 = e58
542 = e59
3
Diagram 2.2
543 = e60
Perhatikan bahwa :
( )
dapat diperoleh dari urutan pertama 5 cara dikalikan urutan
kedua 4 cara dan urutan ketiga 3 cara, yakni :
( )
Contoh Penggunaan Prinsip Perkalian Lainnya
Ada berapa cara kita dapat menyusun bilangan genap terdiri dari 4 angka
yang angka-angkanya saling berlainan ?
Jawab :
3
Pada soal tersebut yang dimaksud dengan objek eksperimen adalah
*
+
dan eksperimennya adalah menyusun nomor undian berupa bilangan genap tiga
angka yang angka-angkanya saling berlainan. Untuk mempersingkat penjelasan
dan mempermudah pemahaman diambil kesempatan bahwa penulisan himpunan
seperti { 0, 1, 2, 3 } yang dimaksud adalah sama dengan { 0, 1, 3, 4 }. Jika u 1, u2,
u3, u4 berturut-turut menyatakan urutan angka-angka yang mungkin pada urutan
pertama, kedua, ketiga, dan keempat maka u4 yang mungkin adalah angka-angka
0, 2, 4, 6, 8.
u1
u2
u3
u4
0
2
4
6
8
Diagram 3
Cara 1 ( dengan penalaran lengkap ).
Jika
maka untuk menuliskan angka-angka pada
ada 9 cara sebab
*
ada 8 cara sebab salah satu unsur dari *
yang menempati
+
.
ada 7 cara sebab 2 unsur diantara *
yang menempati
Jika
dan
+ sudah ada
+ sudah ada
.
maka untuk menuliskan angka-angka pada
ada 8 cara sebab
*
ada 8 cara sebab salah satu unsur dari *
nol sudah ada di
4
+
+ selain
ada 7 cara sebab unsur dari *
yang menempati
dan
+ selain nol sudah ada
.
Demikian seterusnya.
Jika
maka untuk menuliskan angka-angka pada
ada 8 cara sebab
*
+
ada 8 cara sebab salah satu unsur dari *
+ selain
nol sudah ada di
ada 7 cara sebab unsur dari *
yang menempati
dan
+ selain nol sudah ada
.
Demikian seterusnya.
Dengan demikian maka :
Jika
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
9.8.7
Jika
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8.8.7
Jika
448 cara.
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8.8.7
Jika
448 cara.
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8.8.7
Jika
504 cara.
448 cara.
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8.8.7
448 cara.
Kesimpulan : banyaknya cara yang dimaksud
Artinya banyaknya cara adalah n (S)
cara
cara.
Cara 2 (cara singkat)
Untuk
maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
9 x 8 x 7 cara
Sedangkan untuk
504 cara.
≠ 0 maka angka urutan ke 1 2 dan 3 dapat dipilih dalam
8 x 8 x 7 cara sehingga untuk itu ada 4 x 8 x 8 x 7
Total : n (S)
5
1792 cara
PERMUTASI DAN KOMBINASI
A. Notasi Faktorial
Notasi faktorial merupakan materi penunjang yang diperkenalkan pada
siswa untuk memudahkan mereka memahami penurunan rumus permutasi
dan kombinasi. Contoh yang diberikan misalnya adalah sebagai berikut:
Keterangan :
dibaca lima faktorial
dibaca empat faktorial
B. Penurunan Rumus Permutasi
Kasus permutasi adalah eksperimen terhadap suatu obyek berupa himpunan
H yang menghasilkan ruang sampel dimana titik-titik sampelnya tidak
memungkinkan pengulangan elemen-elemen dalam H namun urutan
elemen-elemen H pada setiap titik sampelnya diperhatikan.
Misalkan ada 3 regu peserta tebak tepat tingkat SMA akan bertanding di
babak final yang menyediakan 3 macam kategori hadiah (hadiah I, II, dan
III). Ada berapa cara hadiah itu dapat diberikan?
Jika regu A, B, dan C adalah obyek-obyek yang dimaksud, maka yang
dimaksud sebagai himpunan obyek eksperimennya adalah H = {A, B, C}.
Eksperimen yang dimaksud adalah melakukan lomba tebak tepat kepada
ketiga regu tersebut. Ruang sampel dari eksperimen itu adalah himpunan
semua hasil yang mungkin terjadi.
Urutan I
A
*
+
II
B
III
C
B
A
C
C
A
A
B
B
A
C
B
C
6
S
Perhatikan bahwa susunan elemen seperti ABC, ACB, … hingga CBA
masing-masing disebut permutasi.
*
Selanjutnya diperoleh ruang sampel
( )
.
( )
(
+ sehingga
Dilihat dari diagramnya,
)
(
)
(
)
Banyaknya permutasi 3 hadiah dari 3 peserta
Apabila pesertanya 3 orang sementara hadiahnya hanya 2 macam (hadiah I
dan hadiah II) maka gambaran ruang sampelnya adalah seperti berikut.
I
II
III
B
A
*
C
A
B
+
S
C
A
C
B
Diagram 4
Ruang sampel
*
+ sehingga ( )
Dilihat dari diagramnya,
( )
(
)
3 cara×2 cara
(
)
banyaknya permutasi 2 hadiah dari 3 peserta
7
Dari kedua contoh sederhana tersebut mudah dibayangkan bahwa apabila
pesertanya 10 orang sementara hadiahnya 3 macam, maka ruang sampel S
mempunyai anggota sebanyak
( )
n(urutan I) × n(urutan II) × n(urutan III)
10 (cara) × 9 (cara) × 8 (cara)
(
)
Secara umum menggunakan prinsip perkalian, banyaknya permutasi dari n
obyek yang berlainan ada
( – )
( – )
sedangkan banyaknya permutasi r obyek yang dipilih dari n obyek yang
berlainan ada :
( – )
( – )
( – ( – ))
(
)
Dengan begitu banyaknya permutasi r obyek dari n obyek yang berlainan
diberikan lambang
(
)
Dibaca ″n faktorial″ dan
dengan
( – )( – )
( )( )
Contoh 1
Hitunglah:
a.
b.
Jawab
a. Dengan penalaran langsung, yaitu
(
)
8
(
)
,
(
)
, dan
Maka,
Jika menggunakan rumus, maka :
(
)
(
)
b. Dengan penalaran langsung diperoleh :
(
)
(
)
Contoh 2
Misalkan suatu sayembara memperebutkan 3 hadiah (hadiah I, II, dan III
masing-masing sebesar 10.000 rupiah, 7.500 rupiah dan 5.000 rupiah)
diikuti oleh 7 orang peserta. Untuk menentukan pemenangnya dilakukan
dengan mengacak nomor undiannya. Ada berapa cara hadiah-hadiah itu
dapat diberikan?
Jawab:
Perhatikan bahwa cara undian seperti itu tidak memungkinkan seseorang
mendapatkan lebih dari 1 hadiah (pengulangan elemen H dengan n(H) = 8
tidak dimungkinkan). Selain itu jika pemenangnya ABC artinya A dapat
hadiah I, B dapat hadiah II, dan C dapat hadiah III, oleh sebab itu jelas hasil
seperti
dan lain-lain. Kesimpulannya eksperimen
seperti itu merupakan kasus permutasi.
Maka banyaknya cara adalah ( )
3 faktor
C. Penurunan Rumus Kombinasi
Perlu diingat bahwa kasus kombinasi adalah eksperimen terhadap suatu
obyek berupa himpunan H yang menghasilkan ruang sampel dimana titiktitik sampelnya juga tidak memungkinkan pengulangan elemen-elemen H
tetapi urutan elemen H pada setiap titik sampelnya tidak diperhatikan.
Misalkan dari 4 bersaudara Ali (A), Budi (B), Cahya (C), dan Doni (D)
diundang 2 orang diantaranya untuk rapat keluarga. Ada berapa cara
undangan itu dapat dipenuhi? Bagaimana pula jika yang diundang adalah 3
orang dari 4 bersaudara itu?
9
Dari permasalahan tersebut yang dimaksud dengan obyek eksperimennya
adalah H = {A, B, C, D} sedangkan eksperimennya adalah mengundang
hadir dalam rapat keluarga sebanyak 2 orang wakilnya. Sesudah itu
eksperimennya diganti mengundang hadir dalam rapat keluarga sebanyak 3
orang wakilnya. Ruang sampel dari masing-masing eksperimen itu adalah
himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi pada eksperimen itu.
Penalaran selengkapnya adalah seperti berikut.
No
1.
2.
Obyek Eksperimen
*
*
+
+
Cara Eksperimen
mengundang 2 orang
wakilnya untuk rapat
keluarga
Hasil-hasil yang Mungkin
mengundang 3 orang
wakilnya untuk rapat
keluarga
( )
( )
Rangkaian hasil-hasil eksperimen yang mungkin terjadi seperti misalnya
AB, AC, AD pada contoh 1 di atas disebut kombinasi 2 elemen dari 4
elemen. Sedangkan ABC, ABD, ACD, BCD pada contoh 2 disebut
kombinasi 3 elemen dari 4 elemen.
Banyaknya kombinasi adalah banyaknya semua rangkaian elemen-elemen
dalam H yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu. Banyaknya kombinasi
2 elemen dari 4 elemen yang tersedia dilambangkan dengan
atau . /.
Dari kedua contoh itu diperoleh
atau
(
dan
Selanjutnya dalam hubungannya dengan permutasi dan penggunaan notasi
faktorial penurunan rumusnya dilakukan seperti berikut.
10
)
Untuk
(kombinasi 2 dari 4)
Macam
Kombinasi
Jika Elemen-elemen Kombinasi
itu dipermutasikan
Banyaknya
Permutasi
2 faktor
Untuk
(kombinasi 3 dari 4)
Macam
Kombinasi
Jika Elemen-elemen Kombinasi itu
dipermutasikan
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA
ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCA
BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB
Banyaknya
Permutasi
3 faktor
Perhatikan bahwa
Dengan pemikiran yang sama, ternyata secara umum berlaku bahwa :
(
)
(
)
Contoh :
Dalam suatu arisan masih ada 12 orang yang belum mendapatkan hadiah.
Sementara itu dalam setiap pertemuan arisan ditetapkan 4 peserta berhak
mendapat hadiah masing-masing sebesar Rp 75.000,00. Jika diadakan
undian, ada berapa cara hadiah arisan itu dapat diberikan?
11
Jawab :
Perhatikan bahwa dengan aturan undian seperti itu tidak mungkin seseorang
untuk mendapatkan hadiah lebih dari satu kali (pengulangan elemen H
dengan
( )
tidak dimungkinkan). Karena hadiahnya sama bagi
para pemenang maka jika pemenangnya ABCD maka A, B, C, dan D
masing-masing akan menerima hadiah yang sama (yakni sebesar Rp
75.000,00), itu berarti hasil seperti
dan lain-lain.
Artinya urutan pemenang tidak diperhatikan, sehingga eksperimen seperti
itu merupakan kasus kombinasi. Maka banyaknya cara adalah
( )
(
)
D. Segitiga Pascal
Segitiga Pascal ialah segitiga yang dibentuk oleh bilangan-bilangan yang
bersesuaian dengan koefisien-koefisien pangkat bulat non negatif dari suatu
suku dua (
(
)
(
)
(
(
) Perhatikan bahwa
)
)
....................dan seterusnya...................
(
)
Koefisien-koefisien pangkat bulat non negatif dari (
dan seterusnya hingga
untuk
)
seperti
dan
seterusnya itulah yang kemudian membentuk pola bilangan yang terkenal
dengan nama segitiga Pascal, suatu penghormatan kepada matematikawan
Perancis bernama Blaise Pascal yang hidup pada tahun 1623 – 1662.
Dengan memperhatikan nilai koefisiennya saja untuk pangkat bulat nonnegatif dari nol hingga lima akan diperoleh segitiga Pascal seperti yang
ditunjukkan berikut.
12
Dengan adanya kesesuaian itu maka perhitungan-perhitungan kombinasi
yang hanya melibatkan bilangan-bilangan kecil langsung dapat dilakukan
berdasarkan kesesuaiannya dengan bilangan yang ada pada segitiga Pascal.
Contoh
Jawab:
13
PIGEONHOLE PRINCIPLE
(Prinsip Sarang Merpati)
Teorema :
Jika
merpati ditempatkan dalam
sarang dengan
, maka paling sedikit
ada satu sarang yang berisi dua atau lebih merpati.
Bukti :
Burung merpati diberi nomor dari 1 sampai n dan sarangnya diberi nomor dari 1
sampai m.
Sekarang masukan merpati nomor satu ke sarang nomor satu, merpati nomor 2 ke
sarang nomor 2, dan seterusnya hingga merpati nomor n ke sarang nomor m
sehingga tersisa ( –
) merpati yang belum mendapat sarang. Oleh karena itu,
pasti ada paling tidak satu sarang yang memuat dua atau lebih merpati.
Jika dikaitkan dengan fungsi :
Suatu fungsi dari satu himpunan berhingga ke suatu himpunan berhingga yang
lebih kecil tidak mungkin menjadi fungsi satu-satu. Ada sekurang-kurangnya dua
elemen dalam domain yang mempunyai image yang sama dalam kodomain.
Contoh
1.
Diantara delapan orang, pasti ada dua orang yang lahir pada hari yang sama.
Bukti :
Nama hari ada 7, nyatakan delapan orang dengan simbol
. dan
definisikan suatu fungsi A dari himpunan orang ke himpunan tujuh hari
seperti di tunjukan dalam diagram berikut:
Orang (merpati)
Hari (sarang)
A
Senin
Selasa
Rabu
Kamis
Jumat
Sabtu
Minggu
14
Jadi, terdapat sekurang-kurangnya dua panah yang mengarah pada hari yang
sama. Oleh karena itu sekurang-kurangnya terdapat dua orang yang
dilahirkan pada hari yang sama.
2.
Dari delapan bilangan asli yang pertama, ada 4 pasang yang jumlahnya
sembilan, tentukan :
a. Buktikan.
b. Bagaimana bila lima bilangan dipilih secara sembarang dari delapan
bilangan asli tersebut. Ada berapa pasang yang jumlahnya sembilan dan
ada berapa bilangan yang jumlahnya sembilan.
Penyelesaian :
a. Bukti :
Jadi TERBUKTI.
b. Jawaban :
Kesimpulan :
Dari lima bilangan asli dipilih akan membentuk minimal 1 pasang yang
berjumlah sembilan dan maksimal 2 pasang yang berjumlah sembilan,
apabila terbentuk 1 pasang maka ada dua bilangan dan apabila terbentuk 2
pasang maka ada empat bilangan.
3.
Misalkan terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola biru di dalam
sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak
(tanpa melihat ke dalam kotak) untuk menjamin bahwa sepasang bola yang
berwarna sama terambil.
Penyelesaian :
15
Jika setiap warna dianggap sebagai sarang merpati, maka n = 3. Karena itu,
jika orang mengambil paling sedikit n + 1 = 4 bola (merpati), maka dapat
dipastikan sepasang bola yang berwarna sama ikut terambil. Jika hanya
diambil 3 buah, maka ada kemungkinan ketiga bola itu berbeda warna satu
sama lain. Jadi 4 buah bola adalah jumlah minimum yang harus diambil dari
dalam kotak untuk menjamin terambil sepasang bola yang berwarna sama.
4.
Misalkan sebuah turnamen basket diikuti oleh n buah tim yang dalam hal ini
setiap tim bertanding dengan setiap tim lainnya dan setiap tim menang paling
sedikit satu kali. Tunjukkan bahwa paling sedikit ada 2 tim yang mempunyai
jumlah kemenangan yang sama.
Penyelesaian :
Jumlah kemenangan setiap tim paling sedikit 1 kali dan paling banyak
kali. Angka
berkorespondensi dengan
buah sarang merpati untuk
menampung n ekor merpati (tim basket). Jadi, paling sedikit ada 2 tim basket
yang mempunyai jumlah kemenangan sama.
5.
Dalam sekumpulan n orang di mana setiap orang minimal kenal dengan satu
orang di kelompok tersebut, terdapat dua orang yang memiliki banyaknya
kenalan di kelompok tersebut yang sama. (Contoh: ada dua orang yang samasama memiliki 20 kenalan dalam kelompok tersebut)
Penyelesaian :
Dalam kasus ini jelas bahwa banyaknya kenalan sebagai sarang merpati dan
banyaknya orang sebagai merpati.
Sekarang kita buktikan bahwa sarang lebih sedikit daripada merpatinya.
Setiap orang minimal kenal dengan satu orang, maka banyaknya kenalan
yang mungkin adalah 1 kenalan, 2 kenalan, 3 kenalan, dan seterusnya sampai
kenalan. Sehingga ada
kemungkinan banyaknya kenalan pada
orang di dalam kelompok tersebut. Karena ada
orang, maka jelas bahwa
pasti terdapat dua orang yang memiliki banyak kenalan yang sama.
16
INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika adalah metode yang dipakai untuk membuktikan
pernyataan-pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif.
Prinsip induksi matematika berbunyi :
Misalkan P(n) adalah bilangan bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa
P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.untuk membuktikannya kita
hanya perlu menunjukan bahwa :
1. P(1) benar
2. P(n) benar, maka P(n+1) juga benar untuk setiap n≥1. sehingga P(n) benar
untuk semua bilangan bulat positif n.
Contoh :
1.
Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan bahwa jumlah n
buah bilangan ganjil positif pertama adalah :
Penyelesaian :
Misalkan P(n) menyatakan jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama
adalah
Akan dibuktikan untuk
( ) benar, yaitu
kita peroleh
karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
Misalkan ( ) benar, perhatikan bahwa:
Jadi kita dapat asumsikan bahwa:
(
Akan dibuktikan bahwa (
(
)
adalah benar.
) juga benar, yaitu :
)
(
hal ini dapat kita tunjukan sebagai berikut:
Ruas kiri
Ruas kanan ,
(
17
(
)
)
(
)-
(
(
)
)
)
(
(
2. Buktikan
)
)
(
bahwa
bilangan bulat positif !
)
untuk
setiap
Bukti :
Langkah 1
Akan diperlihatkan pernyataan benar untuk
(
)
, untuk
maka :
.
Langkah Induksi
Akan ditunjukkan pernyataan benar untuk setiap bilangan bulat
,
apabila pernyataan benar untuk
.
maka pernyataan benar untuk
(
Jika diasumsikan pernyataan
(
)
(
(
)
(
)
(
(
)
)(
(
)((
(
(
)
(
)
)
(
)
)
benar, maka
)
)
)
)
Karena kedua langkah induksi telah terpenuhi maka untuk setiap bilangan
positif
3.
(
berlaku bahwa :
Buktikan bahwa banyak
)
buah bilangan bulat positif ganjil pertama adalah
Bukti :
Misalkan ( ) merupakan pernyataan yang menyatakan bahwa jumlah
bilangan bulat positif ganjil pertama adalah
buah
maka :
Langkah 1
Untuk
maka
ganjil positif pertama adalah
maka
( ) benar , karena banyak buah bilangan
Langkah Induksi
Untuk
18
Andaikan untuk
(
pernyataan
maka akan ditunjukkan bahwa :
(
(
)
)
(
(
)
(
)
*(
(
19
) , yaitu
(
)
)
)+
)
benar,
(
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 01
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari suatu fungsi adalah
menggunakan konsep “Deret Taylor” disekitar
( )
( )
∑
, secara umum, yaitu :
( )
( )
Jika diekspansikan menjadi:
Contoh :
( )
( )
( )
( )
1. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( )
( )
...
( )
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
2. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( )
( )
( )
...
20
( )
( )
( )
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
(
)
Kesimpulan dari kedua contoh diatas adalah :
∑
(
21
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 02
Contoh :
1. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( )
( )
...
( )
(
(
(
)
(
)
)
(
)
)
(
)
( )
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
∑
2. Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
( )
( )
...
( )
(
(
(
)
)
)
(
(
(
)
)
)
( )
22
( )
Jadi fungsi pembangkitnya adalah :
∑
(
)
∑(
)
Kesimpulan dari kedua contoh diatas adalah :
∑
(
)
23
∑(
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 03
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( )
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( ) disekitar
(
) adalah
, dirumuskan sebagai
berikut :
( )
∑
( )
( )
( )
Jika di ekspansikan menjadi:
( )
( )
( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi
( )
pembangkit dari
(
) , dengan teorema Binomilia.
Berikut adalah langkah-langkahnya :
(
)
. /
{
(
∑. /
)(
. /
. /
(
. /
(
(
)
)
)(
)
∑. /
)
. /
)(
(
)
Menentukan fungsi pembangkit dari ( )
( )
∑. /
24
(
)
( )
( )
(
)
( )
Kesimpulan :
( )
( )
∑. /(
(
( )
)
∑. /(
)
Contoh soal :
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
(
Penyelesaian:
( )
(
)
( )
)
∑. /(
)
∑. /(
)
. /(
)
25
. /(
)
. /(
)
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 04
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( )
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( )disekitar
.
/ adalah
dirumuskan sebagai
berikut :
( )
( )
∑
( )
( )
Jika di ekspansikan menjadi:
( )
( )
( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi
pembangkit dari
( )
.
/ .
Berdasarkan formula diperoleh :
)
(
∑.
/
Maka diperoleh :
Kesimpulan :
( )
∑.
/(
Contoh Soal :
1.
( )
(
( )
(
( )
)
)
)
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
(
(
( )
)
)
/
.
Penyelesaian :
( )
∑.
∑.
/
(
)
26
(
)
/
(
)
( )
2.
( )
( )
( )
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
Penyelesaian :
( )
(
(
(
( )
( )
)
)
)
( )
∑.
/
(
( )
/
.
)
( )
27
(
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 05
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( )
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( )disekitar
adalah
dirumuskan sebagai
berikut :
( )
∑
( )
( )
( )
Apabila kita ekspansi “Deret Taylor” di atas, dapat diuraikan menjadi sebuah
deret sebagai berikut :
( )
( )
( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi
pembangkit dari
( )
.
Berdasarkan formula diperoleh :
)
(
Maka diperoleh :
( )
(
( )
)
Kesimpulan :
( )
(
( )
)
Contoh Soal :
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
Penyelesaian :
( )
( )
∑
∑
28
(
)
(
)
(
(
)
29
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 06
Secara umum untuk menentukan fungsi pembangkit dari ( )
menggunakan konsep “Deret Taylor” ( )disekitar
adalah
dirumuskan sebagai
berikut :
( )
∑
( )
( )
( )
Jika di ekspansikan menjadi:
( )
( )
( )
( )
Dengan menggunakan konsep di atas, selanjutnya kita akan menentukan fungsi
pembangkit dari
( )
.
Berdasarkan formula diperoleh :
)
(
Maka diperoleh :
( )
(
( )
)
Kesimpulan :
( )
(
( )
)
Contoh Soal :
Tentukan fungsi pembangkit dari ( )
Penyelesaian :
( )
( )
(
∑
∑
)
(
30
(
)
)
)
(
(
)
FORMULA DISKRIT BAGIAN 07
Dengan konsep “Deret Taylor” di dapat fungsi pembangkit dari bentuk umum :
( )
Contoh :
( )
Cari fungsi pembangkit dari :
( )
(
)
( )
(
)
Penyelesaian :
(
((
(
(
)(
)(
)
)
)
31
)
)
BARISAN DARI SUATU FUNGSI PEMBANGKIT BIASA DAN FUNGSI
PEMBANGKIT EKSPONENSIAL
Misal (
)
(
Fungsi pembangkit biasa dari (
( )
∑
( )
∑
) adalah suatu barisan.
) didefinisikan sebagai berikut :
Fungsi pembangkit eksponensial dari (
Simpulan :
1.
2.
) didefinisikan sebagai berikut :
Barisan dari suatu Fungsi Pembangkit Biasa adalah :
( )
∑
(
)
( )
∑
(
)
Barisan dari suatu Fungsi Pembangkit Eksponensial adalah :
Contoh :
1.
Carilah barisan
dari fungsi pembangkit biasa (FPB) dari :
( )
Penyelesaian :
( )
(
)
32
( )
∑
(
)∑
∑
∑
∑
{
∑
Misal :
∑
∑
∑
∑
*
Jadi barisannya adalah
2.
Carilah barisan
( )
(
Penyelesaian :
( )
+
dari fungsi pembangkit biasa (FPB)
)
( )(
)
∑.
/(
( )∑.
/(
)
) ( )
33
Misal :
)(
∑(
∑.
/(
)
)
{
( )
)(
(
*
Jadi barisannya adalah
3.
( )
)
( ) adalah fungsi pembangkit biasa dari (
a.
( )
+
). Tentukan
Fungsi Pembangkit Biasa
∑
Dengan
Maka untuk ( )
(
)
Berdasarkan definisi fungsi pembangkit biasa (FPB), maka diperoleh
(
)
34
b.
( )
Definisi FPB:
( )
∑
maka untuk ( )
(
)
(∑
(
)
)
(
)
Berdasarkan definisi FPB, maka diperoleh
c.
( )
(
)
Definisi FPB:
( )
∑
Maka untuk ( )
(
(
(
)
)
35
)
d.
(
( )
)
Definisi FPB:
( )
∑
Maka untuk ( )
e.
(
( )
)
(
)
(
)
.
/
(
(
)
)
36
f.
( )
(
)
.
4.
/
(
)
)
Carilah nilai
a.
(
jika p(x) merupakan FPE barisan
( )
Definisi FPE:
( )
∑
Maka untuk ( )
(
)
∑ ( )
∑
Maka
( )
∑
Diperoleh
b.
( )
( )
(
)
)
(
37
(
)
c.
(∑
)
∑(
)
(∑
(
( )
)
)
∑
( )
∑
( )
∑
5.
(
Misal ( )
Tentukan (
( )
).
)
adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan (
Penyelesaian :
38
).
Misal,
( )
(
)(
)
∑
Jelas bahwa (
(
)
) adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan
(
) adalah FPB dari barisan
sehingga diperoleh
∑
∑
Dengan demikian
(
) atau
2
39
(
)
FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL DARI SUATU BARISAN
Misal : (
)
(
) adalah suatu barisan.
Fungsi pembangkit eksponensial dari (
( )
Misalnya,
∑
) didefinisikan sebagai berikut :
Adalah fungsi pembangkit eksponensial dari barisan (
)
Simpulan :
Fungsi Pembangkit Eksponensial (FPE) dari suatu barisan (
( )
Contoh :
∑
1. Tulis fungsi pembangkit eksponensial dari barisan (
Penyelesaian :
)
( )
)
(
∑
2. Tulis fungsi pembangkit eksponensial (FPE) dari barisan :
(
)
(
Penyelesaian :
( )
)
∑
40
) adalah :
(
)
*
+
*
*
+
+
*
+
3. Tulis fungsi pembangkit eksponensial dari barisan berikut
a. (
)
( )
∑
(
(
)
(
( )
b. (
(
)
)
)
)
( )
∑
(
(
(
)
)
41
(
)
(
(
)
)
)
c. (
)
( )
Untuk
∑
∑
Maka untuk
( )
∑
∑
42
FUNGSI PEMBANGKIT BIASA (FPB) DARI SUATU BARISAN
Misal : (
)
(
Fungsi pembangkit biasa dari (
( )
Misalnya,
∑
) adalah suatu barisan.
) didefinisikan sebagai berikut :
Adalah fungsi pembangkit biasa dari barisan .
/
Simpulan :
Fungsi Pembangkit Biasa (FPB) dari barisan (
( )
Contoh :
1.
Tulis
(
fungsi
)
(
( )
(
( )
( )
∑
( )
Jadi
(
2.
)
pembangkit
biasa
(FPB)
)
∑
fungsi
(
(
)
(
)
(
)
(
barisan
dari
barisan
)
)
pembangkit
biasa
) adalah:
( )
∑
(FPB)
Tulis fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan (
( )
dari
)
(
( )
∑
) adalah
∑
43
)
(
)
( )
( )
( )
∑(
)
)
Jadi fungsi pembangkit biasa (FPB) dari barisan (
adalah:
( )
∑(
(
)
)
3. Tulis fungsi pembangkit biasa dari barisan-barisan berikut.
a. (0,0,0,1,1,1,1,...)
( )
(
b. .
(
( )
( )
)
/
(
c. .
)
)
)
/
44
(
)
(
)
(
)
(
(
(
(
(
(
d. .
( )
)
(
( )
(
(
e. (
)
(
/
)
)
))
)
)
)
)
)
45
FUNGSI PEMBANGKIT BIASA UNTUK KOMBINASI DAN FUNGSI
PEMBANGKIT BIASA DARI PENEMPATAN OBJEK IDENTIK KE
KOTAK BERBEDA
Ada tiga jenis huruf
akan dibuat 4 huruf yang berasal dari huruf-huruf
dengan syarat :
Huruf a
Terpilih paling banyak 2
Huruf b
Terpilih paling banyak 3
Huruf c
Terpilih paling banyak 1
Kemungkinan yang terjadi :
{
}
Dapatkah cara ini diselesaikan dengan fungsi pembangkit ?
Kemungkinan :
a. Tidak terambil
b. Terambil sekali
c. Terambil dua kali
Fungsi pembangkit :
( )
⌊(
⌊(
⌊
)
)
⌊
(
(
)
) ⌋
⌋
⌊
(
(
⌋⌊
)
(
) ⌋ ⌊(
)
(
)
(
)
⌋⌊
⌋
⌋⌊
(
(
(
)
46
(
(
)
)
)
)
⌋
) ⌋
Koefisien
menunjukkan banyaknya cara yang mungkin dalam menyusun n
huruf, jika
dan
( )
, maka :
(
Fungsi pembangkit untuk
)(
( )
adalah
Dimana :
( )
(
)(
∑
)(
)
)
)(
( )
Catatan :
Fungsi pembangkit menentukan banyaknya cara memilih k obyek dari P tipe
obyek
1. Tidak diperkenankan pengulangan
( )
∑. /
Banyaknya cara memilih . /
. /
(
2. Diperkenankan pengulangan
( )
)
/
∑.
Banyaknya cara memilih .
/
.
/
(
47
(
)
)
Contoh soal :
1. Tentukan fungsi pembangkit untuk banyaknya cara memilih r obyek dari n
obyek dimana pengulangan tidak diperkenankan.
Jawaban :
Terdapat n obyek, karena pengulangan tidak diperkenankan maka tiap obyek
dapat dipilih 0 atau 1 kali saja. Sehingga fungsi pembangkit yang diminta
adalah :
( )
(
)(
(
)(
)
)
(
)
∑. /
2. Dengan beberapa cara 60 obyek yang identik dapat ditempatkan didalam 4 sel
(kotak) yang berbeda sedemikian sehingga setiap kotak mendapat paling
sedikit satu obyek.
Jawaban :
Karena ada 4 kotak dan tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek, maka
fungsi pembangkit untuk permasalahan ini adalah :
( )
(
)
(
(
∑.
∑.
)
/
)
| |
/
Jadi banyaknya cara memilih 60 obyek yang identik dalam 4 kotak yang
berbeda sedemikian sehingga tiap kotak mendapat paling sedikit satu obyek :
( )
48
.
/
.
/
FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONENSIAL UNTUK PERMUTASI
akan dibuat kata “sandi” yang terdiri dari 4
Ada tiga jenis huruf
huruf yang berasal dari huruf-huruf
dengan syarat :
Huruf a
Terpilih paling banyak 2 kali
Huruf b
Terpilih paling banyak 2 kali
Huruf c
Terpilih paling banyak 1 kali
Kemungkinan yang terjadi :
*
Total ada : 6
12
12
+
*
+
*
+
30
Dapatkah cara ini diselesaikan dengan fungsi pembangkit ?
a. Terpilih paling banyak 2 kali
b. Terpilih paling banyak 2 kali
c. Terpilih paling banyak1 kali
A. Dengan FPB
( )
(
)(
)(
)
Banyaknya cara yang dimaksud ditunjukkan oleh koefisien
( )
. Sedangkan yang diharapkan 30 cara.
Jadi, permasalahan diatas diselesaikan dengan FPB tidak cocok.
49
dalam
B. Dengan FPE
(
*
( )
*
(
(
)
(
)
(
+*
)
(
)
(
+*
)
(
(
+0
(
)
)
1
)
(
)
+*
(
)
(
)
+
)
)
Koefisien
Sehingga,
(
)
(
*
Jadi, koefisien
(
Dengan
+
(
dalam ( ) adalah :
Kesimpulan :
demikian
FPE
)
)
)
digunakan
untuk
“PERMUTASI”
50
menyelesaikan
permasalahan
Contoh soal :
1. Tentukan banyaknya kata sandi dengan panjang k yang dapat dibentuk
dari huruf-huruf pembentuk kata “DISKRIT”
Jawaban :
DISKRIT
6 huruf yang berlaku
( )
*
+*
*
+
*
(
∑
(
+*
)
)
∑
∑
∑
Jadi koefisiennya adalah
51
+*
+*
+
+
PRINSIP INKLUSI - EKSKLUSI
Misalkan A dan B adalah sembarang himpunan, maka :
|A|
banyaknya elemen pada A
|B|
banyaknya elemen pada B
|
|
banyaknya elemen pada
Prinsip Inklusi – Eksklusi dinyatakan dalam bentuk :
|
Contoh soal :
|
| |
| |
|
|
1. Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa menyukai matematika diskrit,
13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 diantaranya menyukai keduaduanya. Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas tersebut :
Jawab :
|A|
25
|B | 13
|
Maka :
|
|
8
|
| |
| |
|
|
Jadi, terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut.
2. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi oleh 7 atau 11 ?
Jawab :
Misalkan P himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi 7 dan Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang
habis dibagi 11. Dengan demikian |
| adalah himpunan bilangan bulat
positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11, dan
P ∩ Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi 7 dan habis dibagi 11.
52
| |
⌊
|
|
| |
|
⌊
|
⌋
⌊
⌋
| |
(
| |
)
⌋
|
⌊
⌋
|
Jadi, terdapat 220 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi 7 atau habis dibagi 11. Ilustrasi dari penghitungan tesebut dapat dilihat
pada diagram di bawah ini.
P
| |
Q
|
|
| |
3. Dalam sebuah program studi pendidikan matematika yang terdiri atas 350
mahasiswa, terdapat 175 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan
diferensial dan 225 mahasiswa yang mengambil mata kuliah analisis
kompleks, dan 50 mahasiswa yang mengambil mata kuliah persamaan
diferensial dan analisis kompleks. Ada berapa mahasiswa di dalam
perkuliahan itu jika setiap mahasiswa mengambil mata kuliah persamaan
diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya?
Jawab :
Misalkan A adalah banyaknya mahasiswa yang mengambil mata kuliah
persamaan diferensial dan B menyatakan mahasiswa yang mengambil mata
kuliah analisis kompleks. Maka
merupakan himpunan mahasiswa yang
mengambil kedua mata kuliah tersebut. Banyaknya mahasiswa di dalam kelas
itu yang mengambil mata kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks,
atau kedua-duanya adalah
53
|
|
| |
| |
|
–
|
.
Ini berarti, terdapat 350 mahasiswa di dalam kelas yang mengambil mata
kuliah persamaan diferensial, analisis kompleks, atau kedua-duanya. Karena
banyaknya siswa keseluruhan di dalam kelas tersebut adalah 350 mahasiswa,
artinya tidak terdapat mahasiswa yang tidak memilih salah satu dari kedua
konsentrasi itu. Perhatikan diilustrasi berikut.
A
B
S
54