BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA - Solusi Numerik Fungsi Gelombang Arah Radial Elektron Atom Hidrogen Dengan Efek Relativistik

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

  2.1 Teori Atom Bohr

  Pada tahun 1913, Niels Bohr, fisikawan berkebangsaan Swedia, mengikuti jejak Einstein menerapkan teori kuantum untuk menerangkan hasil studinya mengenai spektrum atom hidrogen. Bohr mengemukakan teori baru mengenai struktur dan sifat-sifat atom. Teori atom Bohr ini pada prinsipnya menggabungkan teori kuantum Planck dan teori atom dari Ernest Rutherford yang dikemukakan pada tahun 1911. Bohr mengemukakan bahwa apabila elektron dalam orbit atom menyerap suatu kuantum energi, elektron akan meloncat keluar menuju orbit yang lebih tinggi. Sebaliknya, jika elektron itu memancarkan suatu kuantum energi, elektron akan jatuh ke orbit yang lebih dekat dengan inti atom. Meski demikian Bohr menggunakan fisika klasik Newton. Pada saat perhitungan jumlah tingkat energi pada atom Hidrogen Bohr mematuhi hukum Newton energi kinetik (Ek) pada elektron yang mengorbiti proton atom Hidrogen: Dengan

  = Energi Kinetik (J) = Massa elektron (Kg)

  = Kecepatan elektron (m/s)

  2.2 Teori Relativits Khusus

  Teori relativitas khusus di kemukakan Einstein pada tahun 1905 merupakan salah satu tulang punggung fisika moderen. Sumbangannya terutama dalam bentuk penataan dan pelurusan konsep-konsep dasar dalam fisika, khususnya yang berkaitan dengan ruang-waktu, momentum-energi sebagai aspek kinematika semua gejala alam. Diawal abab ke 20-an Einstein mengembangkan teori energi kinetik benda yang bergerak. Rumusan energi kinetik yang di kembang itu sebagai berikut: Pada persamaan (2.2) massa relativitas, adalah massa diam dan c adalah kecepatan cahaya, juga adalah massa relatif benda yang berpindah akan bertambah dengan kecepatan v oleh fungsi kecepatan berikut: Demikian massa ( ) relatif setiap benda akan mendekati takhingga dalam batas kecepatan v mendekati kecepatan cahaya c. jika massa diam lebih besar dari nol ( ). Jika diterapkan pada ekspansi binomial untuk energi kinetik dalam persamaan (2.2) dibanding dengan kecepatan jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya . Energi kinetik relativistik dijelaskan oleh persamaan (2.2) sebanding dengan hukum Newton pada persamaan (2.1) untuk elektron: Dengan,

  = Energi kinetik (j) = Massa relativitas (kg)

  =Massa elektron diam (kg) =Kecepatan elektron (m/s)

  =Kecepatan cahaya (m/s)

2.3 Persamaan Maxwell

  Teori relativitas khusus merupakan perkembangan yang dihasilkan empat persamaan Maxwell elektromagnetik kecepatan cahaya (c), dalam sistem satuan (MKS) dapat di tentukan fungsi dua konstanta bebas dan untuk interaksi elektromagnetik.

  Adapun keempat (4) persamaan Maxwell tersebut adalah sebagai berikut: Dimana, Untuk mendapatkan nilai kecepatan cahaya, perhatikan penjabaran persamaan berikut: Dimana, Dengan,

  = Operator Del = Besar medan listrik (N/C) =Besar medan magnet (T) =Intensitas medan magnet =Kerapatan Fluks listrik

  = Permebilitas magnetik ruang hampa ( ) = Kermitivitas elektrostatis pada ruang hampa. ( )

  =Kecepatan cahaya ( ) Jika persamaan Maxwell berlaku dalam setiap kerangka acuan baik diam atau bergerak, maka kecepatan cahaya (c) juga konstanta secara teoritis. Jika kecepatan cahaya konstan hasil dari persamaan (2.3) untuk massa dari setiap benda bergerak serta penurnan dilatasi waktu untuk benda bergerak terhadap suatu benda saat diam

  Dalam kasus sederhana dari atom Hidrogen kecepatan rata-rata jauh lebih kecil dari kecepatan cahaya, sehingga persamaan (2.1) berlaku untuk energi kinetik, tapi dengan meningkatnya nomor atom Z dalam atom yang lebih besar, elektron atom memiliki kecepatan rata-rata yang mendekati kecepatan cahaya. kemudian, persamaan (2.1) tidak berlaku lagi terhadap energi kinetik elektron dari hasil persamaan (2.2) harus di manfaatkan untuk menentukan tingkat energi dari relativistik model atom Bohr menyerupai Hidrogen yang mungkin lebih dari satu proton dalam inti dan hanya satu elektron di sekitar inti, memulai dengan konservasi energi, dari konservasi energi jumlah energi kinetik dan energi potensial dalam setiap sistem kedua partikel terikat konstan, yang disebut sebagai energi mekanik (EM) total dan konstan lebil kecil dari nol Pada energi potensial elektron berinteraksi dengan inti atom bermuatan positif fungsi negatif hukum coloumb, interaksi antara dua partikel pada bola.

  Dengan = Energi potensial (J) = Energi kinetic (J)

  = Energi total (J) Z = Nomor atom

  q = Muatan electron (C)

  r = Jarak pusat massa elektron dengan pusat massa dari inti atom (m) Menggabungkan persamaan (2.2) untuk energi relativitas elektron dengan persamaan (2.15) untuk energi potensial, menghasilkan jumlah tingkat energi relativistik model atom Bohr menyerupai Hidrogen Dalam persamaaan (2.16) adalah jumlah energi total Em pada ikatan dalam atom hidrogen yang dapat ditentukan dengan prinsip fungsi nomor bilangan kuantum. Dengan

  = Massa relativitas (kg) =Massa diam (kg)

  Z = Nomor atom Muatan electron (C)

  q =

  r = Jarak pusat massa elektron dengan pusat massa dari inti atom (m) = Energi total (J)

2.4. Model Atom Hidrogen

  Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleus dan satu elektron yang mengitarinya. Jika elektron berpindah dari kuli terluar ke kulit terdalam maka akan melepas energi, demikiaan sebaliknya jika elektron berpindah dari kulit terdalam ke kulit terluar maka akan menarik energi.

  Model kuantum atom hidrogen, elektron mengelilingi lintasan disekitar inti atom dengan jarak r. Demikian keliling dari lintasan elektron disekitar inti dengan jarak r: Dibalik pemikiran model kuantum Bohr ialah dualisme partikel dan juga bagian dari gelombang, berasal dari Louis de Broglie, pada awal abad ke 20, Louis de Broglie membuat fungsi invers panjang gelombang pada partikel yang berpindahndan besar partikel momentum (p) relatifistik Persamaan (2.18) h merupakan konstanta Planck dan m merupakan massa relativistik pada partikel yang berpindah dengan kecepatan v. Setiap jumlah orbit lingkaran, keliling s jumlah bilangan kuantum pada panjang gelombang pada parikel yang bergerak dan n lebih besar dari nol (n>0) Dengan

  = Mmomentum Relativistik (Kg m/s) = Jumlah keliling orbit lingkaran = Tetapan Planck ( )

  = Bilangan kuantum utama = Jarak pusat massa elektron dengan pusat massa dari inti atom (m)

  = Panjang gelombang (m) Persamaan (2.19) merupakan prinsip gelombang tetap. Disamping itu untuk setiap orbit lingkaran, besarnya gaya sentrifugal harus sama dengan gaya tarik antara partikel orbit lingkaran dan jauh lebih besar partikel di pusat orbit

  Pada saat persamaan diterapkan disekitar elektron orbit elektron pada atom hidrogen,dimana besar jumlah muatan elektron.

  Jika persamaan (2.21) dibagi r sehingga menjadi Dengan

  = Gaya sentrifugal (N) = Jarak pusat massa elektron dengan pusat massa dari inti atom (m)

  = Massa elektron (kg) = Kecepatan elektron (m/s)

  Z = Nomor atom

  q = Muatan elektron (C) Dari persamaan (2.19) hubungan antara besar momentum relativistik dengan jarak

  r dari orbit lingkaran:

  Dari subtitusi persamaan (2.23) ke (2.22) dapat ditentukan nilai kecepatan v yang merupakan kecepatan tangensial dari elektron dalam orbit lingkaran atom Hidrogen: Sehingga perbandingan kecepatan elektron v dengan kecepatan cahaya c Massa elektron relativistik dalam model atom Bohr menjadi lebih kecil hasil bagi pada persamaan (2.25), dan sama dengan setengah akar muatan elektron dibagi dengan konstanta Planck, permibilitas elektrostatis pada ruang dengan kecepatan cahaya Dengan =Konstanta atom hidrogen. dan dalam mekanika kuantum relativistik, digunakan secara konsisten. Oleh karena itu, dalam teori, jika inti adalah titik massa dengan lebih dari 137 foton, serendah mungkin n = 1 tingkat kuantum bisa tidak ada karena elektron akan dari pada memiliki kecepatan lebih besar dari cahaya pada bilangan gelombang kuantum n sama dengan satu (n = 1). Namun, jika ada inti dengan nomor atom lebih besar 137 (Z > 137), jumlah massa atom mungkin akan menjadi sekitar 300 (A 300). Hal ini sangat mungkin, karena itu, bahwa n=1 jari-jari Bohr relativistik akan kurang dari jari-jari seperti inti yang besar.

  Karena satu sekarang memiliki besarnya elektrik kecepatan v sebagai fungsi dari gelombang bilangan kuantum n, adalah mungkin untuk determinan besarnya sirkular orbit jari r sebagai fungsi dari juga. Dengan subtitusi persamaan (2.26) dan (2.27) ke persamaan (2.19) untuk elektron dalam orbit lingkaran, dan pemecahan untuk r.

  Dengan r = Jarak pusat massa elektron dengan pusat massa dari inti atom (m) n = Bilangan kuantum

  = Massa diam (kg) = Kecepatan elektron (m/s)

  Z = Nomor atom

  q = Muatan elektron (C)

  = Tetapan Planck ( ) = Permitivitas ruang hampa

  Kembali ke persamaan (2.16), sekarang mungkin untuk mengevaluasi pertanyaan jumlah mekanik energi En untuk model Bohr relativistik atom hidrogen seperti dengan substitusi dari persamaan (2.29) ke persamaan (2.16) Sekarang dapat mengatur ulang persamaan (2.29) menjadi sebagai berikut:

  Dengan =Jumlah energi mekanik atom Bohr (J)

  Perhatikan selama nomor atom Z kurang dari 138, nilai numerik dari persamaan (2.34) adalah negatif yang konsisten dengan sistem dua partikel terikat. Ekspresi dalam persamaan (2.34) akan digunakan dalam menentukan tingkat energi terkuantisasi di bagian mendatang mengenai persamaan gelombang Schrodinger relativistik, karena spin-orbit kopling tidak dipertimbangkan. juga, elektrodinamika kuantum tidak akan termasuk baik.

2.5 Persamaan Gelombang Schr dinger Relativistik

  Ketika Niels Bohr bekerja di luar struktur kuantum dari atom hidrogen menggunakan fisika klasik Newton, dia tidak mempertimbangkan tingkat kuantum yang memiliki bentuk orbit elips atau gerakan osilasi sederhana tanpa momentum angular. Dalam orbit elips, ada kecepatan radial serta kecepatan sudut yang muncul karena momentum sudut kurang dari nilai maksimal yang mungkin, karena momentum sudut maksimum terjadi untuk sistem dua-tubuh terikat hanya ketika orbit dalam bentuk melingkar. di samping itu, ia diperlakukan karakteristik partikel subatomik serta untuk foton ligth tiga-dimensi. Tiga gelombang dimensi dijelaskan oleh persamaan gelombang berikut fisika newtonian menggunakan persegi panjang koordinat x, y, dan z dimensi keempat waktu t dalam persamaan (2.34), adalah fungsi gelombang dan v adalah besarnya kecepatan gelombang dari gelombang tiga dimensi klasik, yang merupakan produk dari gelombang frekuensi f dan panjang gelombang : dan T periode gelombang tiga dimensi klasik menjadi kebalikan dari frekuensi solusi analitis genaral dengan ekspresi diferensial dalam persamaan (2.34) adalah fungsi berikut koordinat posisi persegi panjang dan waktu: untuk menurunkan persamaan gelombang Schr dinger untuk partikel bebas, pertama subtitusikan rumus umum dari persamaan (2.37) untuk persamaan (2.34) untuk menghasilkan berikut: setelah itu, satu kemudian menggunakan ekspresi dalam persamaan (2.19) untuk menggabungkan dualisme gelombang-partikel menghasilkan: melihat bahwa dalam persamaan (2.39), hasilnya adalah persamaan gelombang Schrodinger dari partikel bebas, dan dapat disusun kembali ke dalam ekspresi teks dalam jangka momentum kuadrat dari partikel bergerak: dalam notasi vektor, p momentum vektor dari partikel bergerak bebas direpresentasikan sebagai dimana dalam sistem koordinat Cartesian, vektor satuan x, y, dan z sumbu direpresentasikan sebagai x, y, dan z. notasi vektor menggunakan, persamaan (2.40) menjadi partikel untuk bergerak bebas:

dan ekspresi diffrensial dalam persamaan (2.42) dalam notasi vektor menjadi operator momentum-squared untuk partikel bebas yang memiliki sebagai fungsi gelombang nya. kembali ke ekspresi yang diberikan dalam persamaan (2.16) : perlu untuk menurunkan persamaan (2.16) menjadi rumus matematika dalam volving momentum relativistik kuadrat dari partikel menggunakan persamaan (2.34) tentang dualitas gelombang-partikel dari elektron dalam atom hidrogen seperti. Untuk menyelesaikan tugas ini, diperlukan kembali ke persamaan (2.3) untuk massa relativistik dari objek yang bergerak Persamaan (2.3) dapat di ubah dengan kedua sisi dan persamaan kuadrat, dikalikan terus dengan kecepatan cahaya yang ditingkatkan ke tenaga keempat untuk memperoleh: Kemudian gunakan sifat distribusi dari matematika dan menyusun yang lainya menjadi persamaan (2.44): Dengan

  = Massa relativitas (kg) = Massa diam (kg)

  = Kecepatan cahaya ( ) = Kecepatan elektron (m/s)

  p = Momentum relativistik (kg m/s)

  Penjumlahan dari momentum relativitas kuadrat , waktu dari kecepatan kuadrat cahaya dan masa enegi kuadrat adalah sama dengan masa relativitas energi kuadrat dari perpindahan partikel setelah mengambil akar kuadrat kedua sisi dan persamaan (2.45), mengungkapkan bahwa itu dapat disubtitusi kedalam persamaan gelombang relativitas Schr dinger dari persamaan (2.16) untuk pergerakan elektron: Mensubsitusi persamaan (2.37) kedalam persamaan (2.16) diikuti dengan menambahkan masa energi dan energi potensial pada kedua sisinya dari persamaan (2.16).

  Karena orbit perputaran alat penghubung tidak diambil pertimbangan elektron akan sama jika nilai putaran intrinsik adalah nol dari satu setengah dan masa energi dari elektron adalah konstan, nilai energi En dari model atom relativitas Bohr (persamaan 2.33) adalah menambahkan nilai masa elektron ke hasil persamaan gelombang relativitas Schr dinger untuk nilai energi En: Dengan

  = Energi mekanika atom Bohr (J) Tak sama dengan hasil energi dari model atom hidrogen relativitas Bohr hasil bilangan dari persamaan (2.48) adalah lebih baik dari nol, positif n lebih dari satu ketika ada lebih dari 137 proton didalam atom nukleus (Z>137). Jadi, persamaan (2.48) sekarang menjadi: Demikian, setelah mengkuadratkan kedua sisi dari persamaan (2.50) dan menunjukan beberapa manipulasi aljabar: Dengan mensubsitusi persamaan (2.43) dan menyatakan differensial dari partikel-partikel ke persamaan (2.55), diikuti satu versi dari persamaan gelombang relativitas Schr dinger:

  Langkah selanjutnya adalah membagi persamaan (2.56) dengan hasil dan diikuti pernyataan dan diperoleh: Kemudian, setelah beberapa aljabar, persamaan (2.57) menjadi versi yang sederhana dari hasil persamaan gelombang relativitas Schr dinger ke nol kemudian massa : Dan setelah mensubsitusi kedalam persamaan (2.48) untuk perhitungan tingkatan energi En, persamaan (2.58):

  Setelah ditambahkan, untuk mengikuti hasil bagi dari konstanta Planck h dan hasil akan di susun : Bagian yang akan datang memberikan pembicaran bagaiman memecahkan pernyataan sebagian differential di persamaan (2.59) menggunakan polar Spherical dari pada koordinat kartesius segi empat., operator momentum kuadrat dapat dipisahkan kedalam penjumlahan dari momentum jari-jari lingkaran kuadrat dan operator momentum kuadrat angular jika satu persamaan (2.59) terus dengan : Ini tepat karena adalah penjumlahan urut untuk momentum angular.

2.6. Metode Beda Hingga (Finite Difference Method)

  Metode beda hingga adalah metode numerik yang umum digunakan untuk menyelesaikan persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Secara umum metode beda hingga adalah metode yang mudah digunakan dalam penyelesaian problem fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur, seperti interval dalam 1D (satu dimensi), domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik dalam ruang tiga dimensi.

  Berbeda dengan metode elemen hingga (Finite Element Method) yang memiliki banyak variasi bentuk elemennya, yaitu bentuk segi empat, segi tiga dan segi yang lain. Sedangkan metode beda hingga bentuk diskriisasi elemennya hanya berbentuk segi empat saja.

  Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah dalam analisis numerik, khususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Prinsipnya adalah mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Secara fisis, deret Taylor dapat diartikan sebagai besaran tinjauan pada suatu ruang dan waktu (ruang dan waktu tinjauan) dapat dihitung dari besaran itu sendiri pada ruang dan waktu tertentu yang mempunyai perbedaan yang kecil dengan ruang dan waktu tinjauan (Anderson, 1984). Atau secara matematis dapat dituliskan sebagai:

  Dengan h adalah Δr, subskrip i merupakan titik grid, superskrip n menunjukkan time step dan adalah reminder atau biasa disebut truncation

  error yang merupakan suku selanjutnya dari deret tersebut yang dapat dinyatakan

  sebagai berikut, Metode ini akan membuat pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda dengan membagi-bagi dalam grid atau kotak-kotak hitungan kecil yang secara keseluruhan masih memiliki sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi menjadi bagian-bagian yang kecil. Penerapan metode ini pada persamaan adveksi adalah memperkirakan persamaan differensial yang bersangkutan beserta syarat-syarat batasnya dengan seperangkat persamaan aljabar. Dengan mengganti daerah yang kontinu dengan suatu pola titik-titik tersebut. Sistem dibagi menjadi sejumlah subluas yang kecil dan memberi nomor acuan kepada setiap subluas.

  Metode beda hingga bersifat eksplisit, artinya keadaan suatu sistem atau solusi variabel pada suatu saat dapat digunakan untuk menentukan keadaan sistem pada waktu beriukutnya. Berbeda dengan metode implisit, yang mana penentuan solusi sistem harus dengan memecahkan sistem pada kedua keadaan, sekarang dan yang akan datang.

  Berdasarkan ekspansi Taylor di atas (persamaan 2.62), terdapat tiga skema beda hingga yang biasa digunakan dalam diskritisasi PDP, yaitu beda maju, maju mundur, dan maju tengah. Berikut adalah skema beda hingga untuk koordinat silinder pada arah radial. i,j+1 ∆θ i-1,j i,j i+1,J

i,j-1 r

_{j ∆r}

Θ i

Gambar 2.2 Skema beda hingga pada arah radial elektron

2.6.1. Beda Maju

  Untuk beda maju, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di geser ke depan sebesar ∆r. Berikut ekspansi Taylor : Secara umum, symbol ∂R/∂r*∆r menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi

  2

  2 R pada jika r digeser sebesar R/ menunjukkan

  ∆r. Sementara symbol ∂ ∂r lengkungan (curvature) dari titik tersebut jika r digeser sebesar ∆r.

  2.6.2. Beda Mundur

  Untuk beda mundur, mencari nilai suatu fungsi independent variabelnya di geser ke belakang sebesar ∆r. Berikut ekspansi Taylor :

  Maka, Secara umum, symbol

  ∂R/∂r*∆r menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi

  2

  2 R pada jika r digeser sebesar R/ menunjukkan

  ∆r. Sementara symbol ∂ ∂r lengkungan (curvature) dari titik tersebut jika r digeser sebesar ∆r.

  2.6.3. Beda Tengah

  Jenis beda hingga yang ketiga adalah beda tengah, di mana untuk mencari kemiringan dari fungsi tersebut dengan menggunakan perbedaan nilai fungsinya dari beda depan dan beda belakang. Secara matematis, beda tengah adalah penjumlahan dari beda depan dan beda belakang.

  Secara umum, symbol ∂R/∂r*∆r menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi

  2

  2 R pada jika r digeser sebesar ∆r. Sementara symbol ∂ R/ ∂r menunjukkan

  lengkungan (curvature) dari titik tersebut jika r digeser sebesar ∆r.