Catatan Kuliah MA4181 PENGANTAR PROSES S

Catatan Kuliah
MA4181 PENGANTAR PROSES STOKASTIK
“Smart and Stochastic”

disusun oleh

Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA
Institut Teknologi Bandung
2014

Tentang MA4181 (Pengantar) Proses Stokastik
A. Jadwal kuliah:
• Selasa; 11-; R.9138
• Kamis; 9-; R.9224
B. Silabus:
• Peubah acak dan distribusi
• Peluang bersyarat dan ekspektasi bersyarat
• Rantai Markov
• Distribusi eksponensial dan proses Poisson

• Topik khusus: Model AR, ARCH, dan INAR
C. Buku teks:
• Sheldon Ross, 2010, Introduction to Probability Models, 10th ed.
• Karlin dan Taylor, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rd
ed.
D. Penilaian:
• Ujian 1,2,3:
30 September 2014 (30%)
28 Oktober 2014 (30%)
2 Desember 2014 (30%)
• Kuis (10%)

MA4181 Pros.Stok.

i

K. Syuhada, PhD.

Daftar Isi
1 Peluang dan Peubah Acak

1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ruang Sampel dan Peluang . . . . .
1.3 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi
1.4 Distribusi Diskrit . . . . . . . . . . . .
1.5 Distribusi Kontinu . . . . . . . . . . .

ii

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

1
1
3
5
7
10

BAB 1
Peluang dan Peubah Acak
Silabus: Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function),
fungsi distribusi (cumulative ddistribution function), distribusi diskrit (binomial, Poisson, geometrik), distribusi kontinu (normal, seragam/uniform, eksponensial).
Tujuan:
1. Memahami definisi dan menentukan peubah acak (p.a)
2. Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.p ke f.d; f.d
ke f.p
3. Menghitung peluang suatu p.a dari distribusi diskrit atau kontinu

1.1

Pendahuluan

• Apa Proses Stokastik? Proses? Stokastik?
• Proses = runtunan perubahan (peristiwa) dl perkembangan sesuatu,
rangkaian tindakan, pembuatan, atau pengolahan yg menghasilkan produk (KBBI, 2008)
• Stokastik = mempunyai unsur peluang atau kebolehjadian (KBBI, 2008)
• Definisi: Proses stokastik {Yt } adalah koleksi peubah acak dengan t
menyatakan indeks waktu

1

(Contoh 1) Di perusahaan asuransi digunakan sistem Bonus Malus untuk
menentukan besar premi. Setiap pemegang polis berada dalam suatu keadaan
(state) dan premi tahunan merupakan fungsi dari keadaan ini. Keadaan pemegang polis berubah dari tahun ke tahun dengan memperhatikan banyak
klaim yang telah dilakukan. Pemegang polis biasanya akan menurunkan status keadaan jika dia tidak memiliki klaim pada tahun sebelumnya dan akan
menaikkan status keadaan jika memiliki setidaknya satu klaim. Untuk sistem
Bonus Malus, misalkan si (k) menyatakan keadaan pemegang polis berikut dari
sebelumnya berada di keadaan i dan telah mengajukan k klaim. Jika banyak
klaim yang dibuat adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter θ, maka keadaan pemegang polis akan membentuk Rantai Markov dengan
peluang transisi Pij . Berikut adalah contoh Sistem Bonus Malus dengan 4
keadaan:

Keadaan
1
2
3
4

0 klaim
1
1
2
3

Keadaan apabila...
1 klaim
2
3
4
4

2 klaim

3
4
4
4

3 klaim
4
4
4
4

(Contoh 2) Dua orang pasien, A dan B, membutuhkan ginjal. Jika dia
tidak mendapatkan ginjal baru, maka A akan meninggal setelah suatu waktu
yang berdistribusi exponensial dengan parameter µA . Begitu juga dengan B,
akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi eksponensial dengan
parameter µB . Ginjal akan tersedia menurut proses Poisson dengan parameter
λ. Telah ditentukan bahwa ginjal pertama yang datang diberikan ke pasien A
(atau ke pasien B jika B masih hidup dan A meninggal saat itu) lalu ke pasien
B (jika masih hidup). Berapa peluang B mendapat ginjal baru?
(Contoh 3a) Model Autoregressive atau AR orde satu:

Yt = α Yt−1 + εt
dimana εt diasumsikan saling bebas dan berdistribusi identik. Model AR(1)
dapat digunakan untuk memodelkan jumlah produksi, harga aset dsb. Perhatikan bahwa memprediksi Yn+1 merupakan salah satu bagian penting dari
pemodelan stokastik/deret waktu. Prediksi terbaik untuk Yn+1 adalah
E(Yn+1 |Yn , α
b)

MA4181 Pros.Stok.

2

K. Syuhada, PhD.

(Contoh 3b) Model Autoregressive Conditional Heteroscedastic atau ARCH
dan Model Stochacti Volatility atau SV:
Yt = σt + εt
dimana
2
,
σt = α0 + α1 Yt−1

atau
ln σt = γ + δ ln σt−1 + ηt ,
Model ARCH dan/atau SV sangat tepat untuk memodelkan imbal hasil (return) saham.
(Contoh 4) Model Integer-Valued Autoregressive atau INAR orde satu:
Yt = α ◦ Yt−1 + εt ,
dimana
α ◦ Yt−1 = W1 + · · · + WYt−1 ,
dengan Wi ∼ Bin(1, α), dan εt ∼ P OI(λ). Model INAR(1) menggambarkan
bahwa “banyaknya pasien yang berada di IGD pada waktu t merupakan jumlah dari banyaknya pasien yang bertahan hidup dengan peluang α ditambah
banyaknya pasien yang datang pada waktu (t − 1, t]”

1.2

Ruang Sampel dan Peluang

Ilustrasi
1. Seorang agen asuransi menawarkan asuransi kesehatan kepada calon
nasabah. Nasabah dapat memilih tepat 2 jenis asuransi dari pilihan
A, B, C atau tidak memilih sama sekali. Proporsi nasabah memilih jenis
asuransi A, B dan C, berturut-turut, adalah 1/4, 1/3 dan 5/12. Hitung
peluang seorang nasabah memilih untuk tidak memilih jenis asuransi.
2. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa
(i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70%
pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20% mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih
dari satu mobil, 15% mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa
MA4181 Pros.Stok.

3

K. Syuhada, PhD.

seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu
mobil dan ini bukan sports car.
Ruang sampel dan Kejadian
• Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin
secara acak.
• Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari
suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer.
• Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari
kejadian-kejadian elementer.
Peluang
• Peluang kejadian A adalah
P (A) = lim

n→∞

n(A)
n

• Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian
A adalah
P (A) =

n(A)
n(S)

• Peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan
dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut:
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A
2. P (S) = 1
3. Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A1 , A2 , . . .,
P

∞
(∪

i=1

∞
) ∑
Ai =
P (Ai )
i=1

Teorema
1. P (Ac ) = 1 − P (A)
2. Jika A ⊂ B maka P (A) ≤ P (B)
3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
MA4181 Pros.Stok.

4

K. Syuhada, PhD.

1.3

Peubah Acak dan Fungsi Distribusi

Ilustrasi
1. Maskapai penerbangan “Serigala Air” mengetahui bahwa lima persen
pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan
ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi
yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?
2. Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan mean λ. Parameter λ berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tunjukkan bahwa
P (X = n) = (1/2)n+1

Peubah Acak
• Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”
• Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan
real R
P.A. Diskrit
Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan
{ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga
(∪
) ∑
P
{X = ai } =
P (X = ai ) = 1
i

i

Catatan:
Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.
FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung
{ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan
positif yang bersesuaian sedemikian hingga
∑
pi = 1
i

dan
FX (x) =

∑

pi

ai ≤x

MA4181 Pros.Stok.

5

K. Syuhada, PhD.

Jika diberikan himpunan
∑ terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif
{pi , i = 1, 2, . . . } sdh i pi = 1, fungsi peluang pX (x) adalah
pX (x) = pi = P (X = ai ),

dengan x = ai
Fungsi distribusi (kumulatif):
F (x) = P (X ≤ x)
Sifat-sifat:
(a) F fungsi tidak turun
(b) limx→∞ F (x) = 1
(c) limx→−∞ F (x) = 0
(d) F fungsi kontinu kanan Catatan:
• P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
• P (X ≤ b) ̸= P (X < b)
•
1 })
n→∞
n
(
1)
= lim P X ≤ b −
n→∞
n
(
1)
= lim F b −
n→∞
n

P (X < b) = P

(

lim

{

X ≤b−

P.A. Kontinu
Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi
peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi,
fX (x) =

d
FX (x)
dx

atau dengan kata lain
∫ x
FX (x) =
fX (t) dt
−∞

Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya
ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak
MA4181 Pros.Stok.

6

K. Syuhada, PhD.

kontinu. Catatan:
1 = FX (∞) =

∫

∞

fX (t) dt
−∞

P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) =
∫ a
P (X = a) =
fX (t) dt = 0

∫

b

fX (t) dt
a

a

Contoh/Latihan:
1. Tentukan
 fungsi
0,



3/5,
F (x) =

7/10,



1,

peluang dari fungsi distribusi berikut:
x < −3.1
−3.1 ≤ x < 0
0≤x 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 1/256
Distribusi Geometrik
Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk

MA4181 Pros.Stok.

9

K. Syuhada, PhD.

mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah
p(n) = P (X = n) = (1 − p)n−1 p,
untuk n = 1, 2, . . . dan p > 0.

1.5

Distribusi Kontinu

(silakan belajar sendiri)

MA4181 Pros.Stok.

10

K. Syuhada, PhD.