Penerapan Metode Stepping Stone atau Metode Potensial dalam Menentukan Biaya Distribusi Minimum Beras Miskin (Raskin) pada Perum Bulog Sub Divre Medan
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Program Linier
2.1.1 Pengertian Program Linier
Program linear (Linear Programming yang disingkat LP) merupakan salah satu
teknik Operasi Riset yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. LP
merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka
untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau
meminimumkan biaya. LP banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan
masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan
penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas
sebuah fungsi tujuan linear dan sistem kendala linear, (Mulyono, 2004).
Program linear yang diterjemahkan dari Linear Programming (LP) adalah
suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang
terbatas diantara aktifitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin
dilakukan, (Dimyati dan Dimyati, 2004).
Menurut Frederick S. Hiller dan Gerald J. Lieberman, linier programming
merupakan suatu model matematis untuk menggambarkan masalah yang
dihadapi. Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini
merupakan fungsi-fungsi linier. Pemrograman merupakan sinonim untuk kata
perencanaan. Dengan demikian membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk
memperoleh hasil yang optimal, ialah suatu hasil untuk mencapai tujuan yang
ditentukan dengan cara yang paling baik (sesuai dengan model matematis)
diantara semua alternatif yang mungkin.
Contoh untuk permasalahan yang memaksimumkan adalah masalah
keuntungan, sedangkan contoh untuk permasalahan meminimumkan adalah
masalah biaya, persediaan, dan lain-lain. Kendala-kendala yang sering dijumpai
adalah keterbatasan bahan mentah, tenaga kerja, dan lain sebagainya. Kendala –
kendala ini dapat diekspresikan dalam bentuk sejumlah persamaan atau
pertidaksamaan linear dalam variabel atau peubahnya. Jadi fungsi yang akan
Universitas Sumatera Utara
11
dioptimumkan merupakan suatu penyelesaian atau solusi layak yang mempunyai
nilai fungsi tujuan yang dikehendaki. Nilai yang dikehendaki dapat berupa nilai
terbesar yaitu fungsi tujuan berupa nilai maksimum sedangkan nilai terkecil
yaitu fungsi tujuan berupa nilai minimum.
2.1.2 Model Program Linier
Masalah yang dapat diselesaikan dengan model program linier memiliki ciri-ciri
sebagai berikut :
1. Semua variabel penyusunnya bernilai tidak negatif
2. Fungsi obyektif dapat dinyatakan sebagai fungsi linier variabel-variabelnya
3. Kendala dapat dinyatakan sebagai suatu sistem persamaan linier.
Secara matematis, bentuk standard model program linier adalah sebagai berikut:
Mencari � = �1 , �2 , … , �
0 yang memaksimumkan atau meminimumkan
�(�) = �(�1 , �2 , … , � )
1 �1
=
dengan kendala:
11 �1
...
21 �1
+
+
1 �1
+
12 �2
22 �2
+
2 �2
+ ⋯+
+ ⋯+
2 �2
+ ⋯+
1
2
+⋯+
� =
� =
�
1
2
� =
Ciri pertama dipenuhi oleh banyak masalah karena pada umumnya
variabel yang digunakan (�1 , �2 , … , � ) menyatakan suatu kuantitas (misalnya
jumlah barang, lama waktu, dll) yang hendak dioptimalkan, sedangkan variabel
( 1,
2, …
,
) menyatakan biaya. Jelas bahwa nilai-nilai kuantitas tersebut tidak
negatif. Akan tetapi bila diinginkan ada variabel yang boleh bernilai negatif,
model program linier tetap bisa diselesaikan dengan suatu transformasi.
Ciri kedua berarti bahwa setiap variabel memiliki koefisien konstan. Tidak
boleh ada variabel yang berpangkat selain 1, dan tidak boleh ada pergandaan
variabel. Ciri linier ini juga berlaku pada semua kendalanya. Dalam beberapa
kasus ada kemungkinan bentuk fungsi atau kendala yang tidak linier dapat
Universitas Sumatera Utara
12
ditransformasikan ke bentuk linier. Apabila demikian, model program linier
dapat digunakan.
2.1.3 Metode Program Linier
Sebenarnya bukan hanya masalah kombinasi produksi saja yang dapat
diselesaikan dengan mempergunakan model programasi pangkat satu ini,
melainkan segala jenis optimisasi pemanfaatan sumber daya, optimisasi
masukan (input) serta optimisasi keluaran (output) dan lain sebagainya.
Metode Program Linier antara lain, yaitu :
a. Metode Grafik untuk pemecahan program linier
Masalah LP dapat diilustrasikan dan dipecahkan dengan grafik jika ia hanya
memiliki dua variabel keputusan. Meski masalah-masalah dengan dua
variabel keputusan jarang terjadi dalam dunia nyata, penafsiran geometris
dari metode grafis ini sangat bermanfaat. Dari sini, kita dapat menarik
kesimpulan yang akan menjadi dasar untuk pambentukan metode pemecahan
(solusi) yang umum melalui alogaritma simpleks.
b. Metode Simplex
Apabila suatu masalah LP hanya mengandung 2 (dua) kegiatan (atau
variabel-variabel keputusan) saja, maka akan dapat diselesaikan dengan
metode grafik. Tetapi bila melibatkan lebih dari dua kegiatan maka metode
grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simplex.
Metode simplex merupakan suatu cara yang lazim dipakai untuk menentukan
kombinasi optimal dari tiga variabel atau lebih.
c. Metode Transportasi
Metode transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk
mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang
sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal. Alokasi produk
ini harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat perbedaan biaya-biaya
alokasi dari satu sumber ke tempat-tempat tujuan berbeda-beda, dan dari
beberapa sumber ke suatu tempat tujuan juga berbeda-beda. Di samping itu,
Universitas Sumatera Utara
13
metode transportasi juga dapat digunakan untuk memecahkan masalahmasalah dunia usaha (bisnis) lainnya, seperti masalah-masalah yang meliputi
pengiklanan, pembelanjaan modal (capital financing) dari alokasi dana untuk
investasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan dan perencanaan serta
scheduling produksi. Ada beberapa macam metode transportasi, yang
semuanya terarah pada penyelesaian optimal dari masalah-masalah
transportasi yang terjadi.
d. Metode Penugasan
Seperti masalah transportasi, masalah penugasan (assignment problem)
merupakan suatu kasus khusus dari masalah linier programming pada
umumnya. Dalam dunia usaha (bisnis) dan industri, manajemen sering
menghadapi masalah-masalah yang berhubungan dengan penugasan optimal
dari bermacam-macam sumber yang produktif atau personalia yang
mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda untuk tugas yang berbedabeda pula.
Dalam skripsi ini digunakan metode transportasi.
2.2 Kajian Transportasi
2.2.1 Sejarah Permasalahan Transportasi
Masalah transportasi ini sebenarnya telah lama dipelajari dan dikembangkan
sebelum lahir model program linear. Pada tahun 1939, L.V Kantorovitch
mempelajari
beberapa
permasalahan
yang
berhubungan
dengan
model
transportasi. Kemudian, pada tahun 1941, F.L. Hitchcock merumuskan model
matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model
matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model baku,
sehingga sering disebut juga sebagai model Hitchcock. Ada lagi seseorang yang
bernama T.C. Koopmans pada tahun 1947 banyak mempelajari hal-hal yang
berhubungan dengan program transportasi (PT) atau model transportasi (MT).
Universitas Sumatera Utara
14
2.2.2 Persoalan Transportasi
Persoalan transportasi pertama kali diformulasikan sebagai suatu prosedur
khusus untuk mendapatkan program biaya minimum dalam mendistribusikan
unit yang homogen dari suatu produk atas sejumlah titik penawaran (sumber) ke
sejumlah titik permintaan (tujuan). Semua ditempatkan pada sumber dan tujuan
yang berbeda secara geografis, (Aminudin, 2008).
Ciri-ciri khusus persoalan transportasi adalah :
1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.
2. Jumlah barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan permintaan oleh
setiap tujuan besarnya tertentu.
3. Jumlah barang yang diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan besarnya
sesuai dengan permintaan atau kapasitas sumber. Apabila jumlah permintaan
tidak sama dengan penawaran maka harus ditambahkan variabel dummy.
4. Biaya pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan besarnya
tertentu.
Data yang dibutuhkan dalam metode transportasi adalah:
1. jumlah persediaan pada setiap daerah sumber dan jumlah permintaan pada
setiap daerah tujuan.
2. Biaya transportasi per unit barang dari setiap daerah sumber menuju berbagai
daerah tujuan.
Salah satu permasalahan khusus dalam program linier adalah masalah
transportasi. Untuk menyelesaikan permasalahan ini digunakan metode
transportasi. Dikatakan khusus, karena terletak pada karakteristik utama, yaitu
bahwa masalah-masalah tersebut cenderung membutuhkan sejumlah pembatas
dan variabel yang sangat banyak sehingga penggunaan komputer dalam
menyelesaikan metode simpleksnya akan sangat mahal dibandingkan secara
manual, (Fien Zulfikarijah, 2003)
Secara umum arti transportasi adalah adanya perpindahan barang dari satu
tempat ke tempat lain. Tempat atau tempat-tempat asal barang disebut juga
dengan istilah sumber atau sumber-sumber. Sedangkan tempat atau tempattempat tujuan disebut destination. Hal ini merupakan bagian dari kehidupan
nyata manusia untuk memindakan barang dari satu tempat ke tempat lain sesuai
Universitas Sumatera Utara
15
dengan kebutuhannya. Misalnya di suatu tempat asal barang mempunyai jumlah
produk yang berlebih sehingga perlu ditransportasikan ke tempat lain yang
memerlukannya, (Suyadi Prawirosentono, 2005).
Masalah transportasi merupakan masalah yang sering dihadapi dalam
pendistribusian barang. Misalkan ada
masing memiliki
1,
hendak di kirim ke
1, 2 , … ,
2, … ,
buah gudang (sumber) yang masing-
buah barang yang sama. Barang-barang tersebut
buah toko (tujuan) yang masing-masing membutuhkan
buah barang. Diasumsikan
1
+
2
+ …+
=
1
+
2
+ …+
. Biasanya karena letak geografis atau jarak yang berbeda, maka biaya
pengiriman dari suatu sumber ke tujuan tidaklah sama. Misalkan,
biaya pengiriman dari suatu sumber
ke tujuan
adalah
. Masalahnya adalah
bagaimana menentukan pendistribusian barang dari sumber sehingga semua
kebutuhan tujuan terpenuhi tetapi dengan biaya yang seminimum mungkin,
(Jong Jek Siang, 2014).
2.2.3 Model transportasi
Sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan m sumber dan n tujuan.
Sebuah sumber atau tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang
menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman
barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber
tujuan adalah
adalah
dan permintaan di
. Biaya unit transportasi antara sumber i dan tujuan j adalah
.
Anggaplah � mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber ke tujuan
, maka model program linier yang mewakili masalah transprotasi ini secara
umum adalah sebagai berikut:
Model transportasi berusaha menentukan sebuah rencana transportasi
sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Secara diagramatik,
model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
16
Misalkan ada m buah sumber dan n buah tujuan.
Sumber
a
=1
tujuan
�11
b
�12
=1
�1
=2
−
=2
−
−
−
=3
�21
�22
=3
−
�2
�
�
1
2
−
�
=
Gambar 2.1 Diagram Model Transportasi
Adapun keterangan pada Gambar 2.1, yaitu:
,
= 1,2,3, . . . ,
.
a.
Masing-masing sumber mempunyai kapasitas
b.
Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak
1,2,3, . . . , .
c.
Jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber ke tujuan adalah
sebanyak � .
d.
Ongkos pengiriman per unit dari sumber ke tujuan adalah
,
=
.
Universitas Sumatera Utara
17
Masalah transportasi pendistribusian berbagai komoditi dari berbagai
kelompok pusat penerima yang disebut tujuan sedemikian rupa sehingga
meminimalisasi biaya transportasi total. Apabila
total dan � ( = 1,2, … ,
didistribusikan dari sumber
merupakan biaya distribusi
; = 1,2, … , ) adalah jumlah unit yang harus
ke tujuan
maka dapat diformulasikan sebagai
berikut, (Taha Hamdy, 1996):
Fungsi Tunjuan:
�
=
=1 =1
�
Dengan Kendala:
�
�
�
;
;
= 1,2, … ,
= 1,2, … ,
0 untuk semua i dan j
Kendala yang pertama berarti semua jumlah unit yang di distribusikan tidak boleh
melebihi persediaan, sedangkan kendala yang kedua jumlah dari unit yang di
distribusikan harus memenuhi permintaan.
2.2.4
Keseimbangan Transportasi
Masalah transportasi dikatakan seimbang (balanced program) apabila jumlah
penawaran sama dengan jumlah permintaan. Dapat dituliskan, (Jong Jek Siang,
2014):
=
=1
=1
Suatu masalah transportasi dapat dimodelkan secara matematis, yaitu dengan
membentuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan tersebut menunjukkan biaya transportasi
dari sumber
ke tujuan , maka model program linier untuk permasalahan
transportasi dapat diformulasikan sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara
18
Fungsi tujuan:
=
=1 =1
�
dengan kendala:
� =
�
�
;
=
;
= 1,2, … ,
= 1,2, … ,
0 untuk semua dan
Keterangan:
= biaya transportasi per unit barang dari sumber ke tujuan
�
= jumlah barang yang didistribusikan dari sumber ke tujuan
= jumlah persediaan barang dari sumber
= jumlah permintaan barang oleh tujuan
= banyaknya sumber
= banyaknya tujuan
Kenyataannya, kasus seimbang tidak selalu terjadi. Pada umumnya, masalah yang
lebih sering terjadi adalah permasalahan tak seimbang dimana persediaan (supply)
lebih besar dari permintaan (demand) atau sebaliknya. Dalam kasus masalah tak
seimbang metode solusi transportasi mebutuhkan sedikit modifikasi yaitu dengan
menambahkan kolom dummy atau baris dummy untuk menyeimbangkan
persediaan dengan permintaan.
Jika permintaan (demand) melebihi persediaan (supply) maka dibuat sumber
dummy yang akan memenuhi kekurangan tersebut sebanyak
=1
−
=1
Sebaliknya, jika persediaan (supply) melebihi permintaan (demand) maka dibuat
sumber dummy yang akan menyerap kelebihan tersebut sebanyak
=1
−
=1
Universitas Sumatera Utara
19
Biaya transportasi per unit barang dari sumber dummy ke seluruh tujuan adalah
nol karena alokasi tersebut tidak mempengaruhi solusi dan pada kenyataanya
tidak terjadi pengiriman dari sumber dummy.
Bentuk umum dari Tabel Transportasi dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 2.1. Bentuk Umum Tabel Transportasi
Tujuan
1
1
2
S
.
u
.
m
.
11
�11
21
�21
.
r
j
�12
.
22
�1
.
�1
�2
.
.
.
.
.
1
1
2
�2
.
.
.
.
.
2
.
�2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Demand
1
1
2
�
2
2
�
.
.
1
�
�
3
�
�
3
2
�1
�2
I
�1
Supply
N
1
12
�22
.
b
e
2
.
.
�
.
.
.
.
.
�
� =
2.2.5 Algoritma Transportasi
Model transportasi pada saat dikenali pertama kali, diselesaikan secara manual
dengan algoritma yang dikenal sebagai algoritma transportasi.
Langkah – langkah mpengerjaannya adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
20
1. Mendiagnosis masalah mulai dengan pengenalan sumber, tujuan, parameter
dan variabel
2. Seluruh informasi tersebut kemudian dituangkan dalam matriks transportasi
Dalam hal ini:
a. Bila kapasitas sumber lebih besar dari permintaan seluruh tujuan maka
sebuah kolom dummy perlu ditambahkan untuk menampung kelebihan
kapasitas itu.
b. Bila kapasitas seluruh sumber lebih kecil dari sebuah permintaan tujuan
maka sebuah baris perlu ditambahkan untuk menyediakan kapasitas semu
yang akan memenuhi kelebihan permintaan itu. Jelas sekali bahwa
kelebihan permintaan itu tidak bisa dipenuhi.
3. Setelah matriks transportasi terbentuk kemudian dimulai menyusun tabel
awal. Metode untuk menyusun tabel awal yaitu:
a. Metode Northwest Corner
Metode Northwest Corner berfungsi untuk menentukan alokasi distribusi
awal yang akan membuat seluruh kapasitas sumber teralokasi seluruh tujuan.
4. Setelah didapat penyelesaian awal, maka langkah berikutnya adalah
memeriksa kembali apakah penyelesaian yang didapat sudah optimal atau
belum. Tujuan dari evaluasi ini adalah menentukan ada tidaknya pengiriman
dari sumber ke tujuan yang lebih baik. Terdapat 2 metode yang dapat
digunakan untuk menentukan solusi optimal yaitu:
a. Metode Stepping Stone
b. Metode Potensial
5. Jika penyelesaian belum optimal maka dilanjutkan dengan langkah iterasi
yaitu menentukan basis feasible yang baru dari variabel dasar yang masuk
dan keluar.
Universitas Sumatera Utara
21
2.2.5.1 Algoritma metode Stepping Stone
Langkah-langkah pemecahan masalah menggunakan metode Stepping Stone
dengan mengubah alokasi secara trial n eror
Algoritma
1. Mulai
2. Input jumlah p=a dan jumlah g=b
3. i=1 dan j=1
4. Input biaya transportasi
4.1 Selama i
LANDASAN TEORI
2.1 Program Linier
2.1.1 Pengertian Program Linier
Program linear (Linear Programming yang disingkat LP) merupakan salah satu
teknik Operasi Riset yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. LP
merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka
untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau
meminimumkan biaya. LP banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan
masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. LP berkaitan dengan
penjelasan suatu dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri atas
sebuah fungsi tujuan linear dan sistem kendala linear, (Mulyono, 2004).
Program linear yang diterjemahkan dari Linear Programming (LP) adalah
suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang
terbatas diantara aktifitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin
dilakukan, (Dimyati dan Dimyati, 2004).
Menurut Frederick S. Hiller dan Gerald J. Lieberman, linier programming
merupakan suatu model matematis untuk menggambarkan masalah yang
dihadapi. Linier berarti bahwa semua fungsi matematis dalam model ini
merupakan fungsi-fungsi linier. Pemrograman merupakan sinonim untuk kata
perencanaan. Dengan demikian membuat rencana kegiatan-kegiatan untuk
memperoleh hasil yang optimal, ialah suatu hasil untuk mencapai tujuan yang
ditentukan dengan cara yang paling baik (sesuai dengan model matematis)
diantara semua alternatif yang mungkin.
Contoh untuk permasalahan yang memaksimumkan adalah masalah
keuntungan, sedangkan contoh untuk permasalahan meminimumkan adalah
masalah biaya, persediaan, dan lain-lain. Kendala-kendala yang sering dijumpai
adalah keterbatasan bahan mentah, tenaga kerja, dan lain sebagainya. Kendala –
kendala ini dapat diekspresikan dalam bentuk sejumlah persamaan atau
pertidaksamaan linear dalam variabel atau peubahnya. Jadi fungsi yang akan
Universitas Sumatera Utara
11
dioptimumkan merupakan suatu penyelesaian atau solusi layak yang mempunyai
nilai fungsi tujuan yang dikehendaki. Nilai yang dikehendaki dapat berupa nilai
terbesar yaitu fungsi tujuan berupa nilai maksimum sedangkan nilai terkecil
yaitu fungsi tujuan berupa nilai minimum.
2.1.2 Model Program Linier
Masalah yang dapat diselesaikan dengan model program linier memiliki ciri-ciri
sebagai berikut :
1. Semua variabel penyusunnya bernilai tidak negatif
2. Fungsi obyektif dapat dinyatakan sebagai fungsi linier variabel-variabelnya
3. Kendala dapat dinyatakan sebagai suatu sistem persamaan linier.
Secara matematis, bentuk standard model program linier adalah sebagai berikut:
Mencari � = �1 , �2 , … , �
0 yang memaksimumkan atau meminimumkan
�(�) = �(�1 , �2 , … , � )
1 �1
=
dengan kendala:
11 �1
...
21 �1
+
+
1 �1
+
12 �2
22 �2
+
2 �2
+ ⋯+
+ ⋯+
2 �2
+ ⋯+
1
2
+⋯+
� =
� =
�
1
2
� =
Ciri pertama dipenuhi oleh banyak masalah karena pada umumnya
variabel yang digunakan (�1 , �2 , … , � ) menyatakan suatu kuantitas (misalnya
jumlah barang, lama waktu, dll) yang hendak dioptimalkan, sedangkan variabel
( 1,
2, …
,
) menyatakan biaya. Jelas bahwa nilai-nilai kuantitas tersebut tidak
negatif. Akan tetapi bila diinginkan ada variabel yang boleh bernilai negatif,
model program linier tetap bisa diselesaikan dengan suatu transformasi.
Ciri kedua berarti bahwa setiap variabel memiliki koefisien konstan. Tidak
boleh ada variabel yang berpangkat selain 1, dan tidak boleh ada pergandaan
variabel. Ciri linier ini juga berlaku pada semua kendalanya. Dalam beberapa
kasus ada kemungkinan bentuk fungsi atau kendala yang tidak linier dapat
Universitas Sumatera Utara
12
ditransformasikan ke bentuk linier. Apabila demikian, model program linier
dapat digunakan.
2.1.3 Metode Program Linier
Sebenarnya bukan hanya masalah kombinasi produksi saja yang dapat
diselesaikan dengan mempergunakan model programasi pangkat satu ini,
melainkan segala jenis optimisasi pemanfaatan sumber daya, optimisasi
masukan (input) serta optimisasi keluaran (output) dan lain sebagainya.
Metode Program Linier antara lain, yaitu :
a. Metode Grafik untuk pemecahan program linier
Masalah LP dapat diilustrasikan dan dipecahkan dengan grafik jika ia hanya
memiliki dua variabel keputusan. Meski masalah-masalah dengan dua
variabel keputusan jarang terjadi dalam dunia nyata, penafsiran geometris
dari metode grafis ini sangat bermanfaat. Dari sini, kita dapat menarik
kesimpulan yang akan menjadi dasar untuk pambentukan metode pemecahan
(solusi) yang umum melalui alogaritma simpleks.
b. Metode Simplex
Apabila suatu masalah LP hanya mengandung 2 (dua) kegiatan (atau
variabel-variabel keputusan) saja, maka akan dapat diselesaikan dengan
metode grafik. Tetapi bila melibatkan lebih dari dua kegiatan maka metode
grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simplex.
Metode simplex merupakan suatu cara yang lazim dipakai untuk menentukan
kombinasi optimal dari tiga variabel atau lebih.
c. Metode Transportasi
Metode transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk
mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang
sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal. Alokasi produk
ini harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat perbedaan biaya-biaya
alokasi dari satu sumber ke tempat-tempat tujuan berbeda-beda, dan dari
beberapa sumber ke suatu tempat tujuan juga berbeda-beda. Di samping itu,
Universitas Sumatera Utara
13
metode transportasi juga dapat digunakan untuk memecahkan masalahmasalah dunia usaha (bisnis) lainnya, seperti masalah-masalah yang meliputi
pengiklanan, pembelanjaan modal (capital financing) dari alokasi dana untuk
investasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan dan perencanaan serta
scheduling produksi. Ada beberapa macam metode transportasi, yang
semuanya terarah pada penyelesaian optimal dari masalah-masalah
transportasi yang terjadi.
d. Metode Penugasan
Seperti masalah transportasi, masalah penugasan (assignment problem)
merupakan suatu kasus khusus dari masalah linier programming pada
umumnya. Dalam dunia usaha (bisnis) dan industri, manajemen sering
menghadapi masalah-masalah yang berhubungan dengan penugasan optimal
dari bermacam-macam sumber yang produktif atau personalia yang
mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda untuk tugas yang berbedabeda pula.
Dalam skripsi ini digunakan metode transportasi.
2.2 Kajian Transportasi
2.2.1 Sejarah Permasalahan Transportasi
Masalah transportasi ini sebenarnya telah lama dipelajari dan dikembangkan
sebelum lahir model program linear. Pada tahun 1939, L.V Kantorovitch
mempelajari
beberapa
permasalahan
yang
berhubungan
dengan
model
transportasi. Kemudian, pada tahun 1941, F.L. Hitchcock merumuskan model
matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model
matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model baku,
sehingga sering disebut juga sebagai model Hitchcock. Ada lagi seseorang yang
bernama T.C. Koopmans pada tahun 1947 banyak mempelajari hal-hal yang
berhubungan dengan program transportasi (PT) atau model transportasi (MT).
Universitas Sumatera Utara
14
2.2.2 Persoalan Transportasi
Persoalan transportasi pertama kali diformulasikan sebagai suatu prosedur
khusus untuk mendapatkan program biaya minimum dalam mendistribusikan
unit yang homogen dari suatu produk atas sejumlah titik penawaran (sumber) ke
sejumlah titik permintaan (tujuan). Semua ditempatkan pada sumber dan tujuan
yang berbeda secara geografis, (Aminudin, 2008).
Ciri-ciri khusus persoalan transportasi adalah :
1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.
2. Jumlah barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan permintaan oleh
setiap tujuan besarnya tertentu.
3. Jumlah barang yang diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan besarnya
sesuai dengan permintaan atau kapasitas sumber. Apabila jumlah permintaan
tidak sama dengan penawaran maka harus ditambahkan variabel dummy.
4. Biaya pengangkutan komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan besarnya
tertentu.
Data yang dibutuhkan dalam metode transportasi adalah:
1. jumlah persediaan pada setiap daerah sumber dan jumlah permintaan pada
setiap daerah tujuan.
2. Biaya transportasi per unit barang dari setiap daerah sumber menuju berbagai
daerah tujuan.
Salah satu permasalahan khusus dalam program linier adalah masalah
transportasi. Untuk menyelesaikan permasalahan ini digunakan metode
transportasi. Dikatakan khusus, karena terletak pada karakteristik utama, yaitu
bahwa masalah-masalah tersebut cenderung membutuhkan sejumlah pembatas
dan variabel yang sangat banyak sehingga penggunaan komputer dalam
menyelesaikan metode simpleksnya akan sangat mahal dibandingkan secara
manual, (Fien Zulfikarijah, 2003)
Secara umum arti transportasi adalah adanya perpindahan barang dari satu
tempat ke tempat lain. Tempat atau tempat-tempat asal barang disebut juga
dengan istilah sumber atau sumber-sumber. Sedangkan tempat atau tempattempat tujuan disebut destination. Hal ini merupakan bagian dari kehidupan
nyata manusia untuk memindakan barang dari satu tempat ke tempat lain sesuai
Universitas Sumatera Utara
15
dengan kebutuhannya. Misalnya di suatu tempat asal barang mempunyai jumlah
produk yang berlebih sehingga perlu ditransportasikan ke tempat lain yang
memerlukannya, (Suyadi Prawirosentono, 2005).
Masalah transportasi merupakan masalah yang sering dihadapi dalam
pendistribusian barang. Misalkan ada
masing memiliki
1,
hendak di kirim ke
1, 2 , … ,
2, … ,
buah gudang (sumber) yang masing-
buah barang yang sama. Barang-barang tersebut
buah toko (tujuan) yang masing-masing membutuhkan
buah barang. Diasumsikan
1
+
2
+ …+
=
1
+
2
+ …+
. Biasanya karena letak geografis atau jarak yang berbeda, maka biaya
pengiriman dari suatu sumber ke tujuan tidaklah sama. Misalkan,
biaya pengiriman dari suatu sumber
ke tujuan
adalah
. Masalahnya adalah
bagaimana menentukan pendistribusian barang dari sumber sehingga semua
kebutuhan tujuan terpenuhi tetapi dengan biaya yang seminimum mungkin,
(Jong Jek Siang, 2014).
2.2.3 Model transportasi
Sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan m sumber dan n tujuan.
Sebuah sumber atau tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang
menghubungkan sebuah sumber dan sebuah tujuan mewakili rute pengiriman
barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber
tujuan adalah
adalah
dan permintaan di
. Biaya unit transportasi antara sumber i dan tujuan j adalah
.
Anggaplah � mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber ke tujuan
, maka model program linier yang mewakili masalah transprotasi ini secara
umum adalah sebagai berikut:
Model transportasi berusaha menentukan sebuah rencana transportasi
sebuah barang dari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan. Secara diagramatik,
model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
16
Misalkan ada m buah sumber dan n buah tujuan.
Sumber
a
=1
tujuan
�11
b
�12
=1
�1
=2
−
=2
−
−
−
=3
�21
�22
=3
−
�2
�
�
1
2
−
�
=
Gambar 2.1 Diagram Model Transportasi
Adapun keterangan pada Gambar 2.1, yaitu:
,
= 1,2,3, . . . ,
.
a.
Masing-masing sumber mempunyai kapasitas
b.
Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak
1,2,3, . . . , .
c.
Jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber ke tujuan adalah
sebanyak � .
d.
Ongkos pengiriman per unit dari sumber ke tujuan adalah
,
=
.
Universitas Sumatera Utara
17
Masalah transportasi pendistribusian berbagai komoditi dari berbagai
kelompok pusat penerima yang disebut tujuan sedemikian rupa sehingga
meminimalisasi biaya transportasi total. Apabila
total dan � ( = 1,2, … ,
didistribusikan dari sumber
merupakan biaya distribusi
; = 1,2, … , ) adalah jumlah unit yang harus
ke tujuan
maka dapat diformulasikan sebagai
berikut, (Taha Hamdy, 1996):
Fungsi Tunjuan:
�
=
=1 =1
�
Dengan Kendala:
�
�
�
;
;
= 1,2, … ,
= 1,2, … ,
0 untuk semua i dan j
Kendala yang pertama berarti semua jumlah unit yang di distribusikan tidak boleh
melebihi persediaan, sedangkan kendala yang kedua jumlah dari unit yang di
distribusikan harus memenuhi permintaan.
2.2.4
Keseimbangan Transportasi
Masalah transportasi dikatakan seimbang (balanced program) apabila jumlah
penawaran sama dengan jumlah permintaan. Dapat dituliskan, (Jong Jek Siang,
2014):
=
=1
=1
Suatu masalah transportasi dapat dimodelkan secara matematis, yaitu dengan
membentuk fungsi tujuan. Fungsi tujuan tersebut menunjukkan biaya transportasi
dari sumber
ke tujuan , maka model program linier untuk permasalahan
transportasi dapat diformulasikan sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara
18
Fungsi tujuan:
=
=1 =1
�
dengan kendala:
� =
�
�
;
=
;
= 1,2, … ,
= 1,2, … ,
0 untuk semua dan
Keterangan:
= biaya transportasi per unit barang dari sumber ke tujuan
�
= jumlah barang yang didistribusikan dari sumber ke tujuan
= jumlah persediaan barang dari sumber
= jumlah permintaan barang oleh tujuan
= banyaknya sumber
= banyaknya tujuan
Kenyataannya, kasus seimbang tidak selalu terjadi. Pada umumnya, masalah yang
lebih sering terjadi adalah permasalahan tak seimbang dimana persediaan (supply)
lebih besar dari permintaan (demand) atau sebaliknya. Dalam kasus masalah tak
seimbang metode solusi transportasi mebutuhkan sedikit modifikasi yaitu dengan
menambahkan kolom dummy atau baris dummy untuk menyeimbangkan
persediaan dengan permintaan.
Jika permintaan (demand) melebihi persediaan (supply) maka dibuat sumber
dummy yang akan memenuhi kekurangan tersebut sebanyak
=1
−
=1
Sebaliknya, jika persediaan (supply) melebihi permintaan (demand) maka dibuat
sumber dummy yang akan menyerap kelebihan tersebut sebanyak
=1
−
=1
Universitas Sumatera Utara
19
Biaya transportasi per unit barang dari sumber dummy ke seluruh tujuan adalah
nol karena alokasi tersebut tidak mempengaruhi solusi dan pada kenyataanya
tidak terjadi pengiriman dari sumber dummy.
Bentuk umum dari Tabel Transportasi dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel 2.1. Bentuk Umum Tabel Transportasi
Tujuan
1
1
2
S
.
u
.
m
.
11
�11
21
�21
.
r
j
�12
.
22
�1
.
�1
�2
.
.
.
.
.
1
1
2
�2
.
.
.
.
.
2
.
�2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Demand
1
1
2
�
2
2
�
.
.
1
�
�
3
�
�
3
2
�1
�2
I
�1
Supply
N
1
12
�22
.
b
e
2
.
.
�
.
.
.
.
.
�
� =
2.2.5 Algoritma Transportasi
Model transportasi pada saat dikenali pertama kali, diselesaikan secara manual
dengan algoritma yang dikenal sebagai algoritma transportasi.
Langkah – langkah mpengerjaannya adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
20
1. Mendiagnosis masalah mulai dengan pengenalan sumber, tujuan, parameter
dan variabel
2. Seluruh informasi tersebut kemudian dituangkan dalam matriks transportasi
Dalam hal ini:
a. Bila kapasitas sumber lebih besar dari permintaan seluruh tujuan maka
sebuah kolom dummy perlu ditambahkan untuk menampung kelebihan
kapasitas itu.
b. Bila kapasitas seluruh sumber lebih kecil dari sebuah permintaan tujuan
maka sebuah baris perlu ditambahkan untuk menyediakan kapasitas semu
yang akan memenuhi kelebihan permintaan itu. Jelas sekali bahwa
kelebihan permintaan itu tidak bisa dipenuhi.
3. Setelah matriks transportasi terbentuk kemudian dimulai menyusun tabel
awal. Metode untuk menyusun tabel awal yaitu:
a. Metode Northwest Corner
Metode Northwest Corner berfungsi untuk menentukan alokasi distribusi
awal yang akan membuat seluruh kapasitas sumber teralokasi seluruh tujuan.
4. Setelah didapat penyelesaian awal, maka langkah berikutnya adalah
memeriksa kembali apakah penyelesaian yang didapat sudah optimal atau
belum. Tujuan dari evaluasi ini adalah menentukan ada tidaknya pengiriman
dari sumber ke tujuan yang lebih baik. Terdapat 2 metode yang dapat
digunakan untuk menentukan solusi optimal yaitu:
a. Metode Stepping Stone
b. Metode Potensial
5. Jika penyelesaian belum optimal maka dilanjutkan dengan langkah iterasi
yaitu menentukan basis feasible yang baru dari variabel dasar yang masuk
dan keluar.
Universitas Sumatera Utara
21
2.2.5.1 Algoritma metode Stepping Stone
Langkah-langkah pemecahan masalah menggunakan metode Stepping Stone
dengan mengubah alokasi secara trial n eror
Algoritma
1. Mulai
2. Input jumlah p=a dan jumlah g=b
3. i=1 dan j=1
4. Input biaya transportasi
4.1 Selama i