LAB MANAJEMEN DASAR MODUL STATISTIKA 1 N
LAB MANAJEMEN DASAR
MODUL STATISTIKA 1
Nama :
NPM/Kelas :
Fakultas/Jurusan :
Hari dan Shift Praktikum :
Fakultas Ekonomi
Universitas Gunadarma
Kelapa dua E531
1
UKURAN STATISTIK
Pendahuluan
Ukuran statistik merupakan ukuran yang menunjukkan bagaimana suatu gugus data memusat dan
menyebar. Di dalam ukuran statistik ada tiga bentuk ukuran deskripsi data, yaitu : ukuran pusat data,
ukuran variabilitas data dan ukuran bentuk distribusi data. Ukuran pusat data yang banyak digunakan
untuk mendeskripsikan data adalah mean (rata-rata hitung), median dan modus.
Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut disperse atau variasi atau
keragaman data. Ukuran disperse data yang umum dipakai adalah jangkauan (range), variansi dan
standar deviasi.
UKURAN PEMUSATAN
1. MEAN (rata-rata hitung)
Rata-rata dihitung dengan menjumlahkan seluruh angka data yang selanjutnya dibagi dengan
banyaknya (jumlah) data. Jumlah data untuk data sampel disebut sebagai ukuran sampel yang
disimbolkan dengan n dan untuk data populasi disebut sebagai ukuran populasi yang disimbolkan
dengan N.
Untuk rata-rata hitung sekumpulan data hasil observasi dihitung dengan menggunakan rumus
berikut :
Rata-rata (X¯ ) = ∑(Xi) / N
Dimana : Xi = nilai dari observasi yang ke-i
N = banyaknya observasi ukuran sample.
2. MEDIAN
Median adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian
yang sama besar.
Letak median = (n+1)/2
Kuartil adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi empat
bagian yang sama besar. Nilai kuartil terdiri dari kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3.
Nilai kuartil 2 suatu gugus data sama dengan nilai median tersebut.
3. MODUS
Modus merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang frekuensinya paling tinggi.
UKURAN PENYEBARAN
1. Jangkauan (range)
Jangkauan atau range (r) suatu gugus data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai
minimum.
2. Variansi
Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap
rata-rata hitung. Variansi untuk sampel dilambangkan dengan s2. sedangkan untuk populasi
dilambangkan dengan σ2
Variansi (s)2 = [∑(Xi-X)] / (n-1)
3. Standar Deviasi
Standar deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi. Standar deviasi seringkali disebut
simpangan baku.
2
Contoh :
Diketahui data umur pegawai PT DOFI yaitu 19 40 38 31 42 20 27 22 37 42
Untuk mencari nilai-nilai ukuran statistik data tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah
langkah-langkah berikut :
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di
bawah ini.
2. Pilih menu Data, New data set. Masukkan nama dari data set adalah umur, lalu tekan tombol OK.
3. Masukkan data umur pegawai PT. DOFI. Jika data editor tidak aktif maka dapat diaktifkan dengan
menekan RGui di taskbar windows pada bagian bawah layar monitor. Jika sudah selesai dalam
pengisian data tekan tombol Close.
Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double click pada variable
yang ingin di setting
3
4. Untuk mengecek kebenaran data yang sudah dimasukkan, tekan tombol View data set maka akan
muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. Jika ada data yang salah, tekan tombol edit data
set, lalu perbaiki data yang salah.
5. Jika data sudah benar, pilih menu Statistic, Summaries, Active data set.
4
6. Akan muncul tampilan :
Maka kita bisa mengetahui bahwa dari data umur pegawai PT. DOFI, memiliki nilai :
Minimum : 19.00
Kuartil 1 : 23.25
Median
: 34.00
Mean
: 31.80
Kuartil 3 : 39.50
Maximum : 42.00
5
Untuk mengetahui standar deviasi, lakukan langkah berikut :
1. Tekan Statistic, Summaries, Numerical Summeries.
2. Maka akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini, kemudian tekan tombol OK.
Mean sd
0%
25% 50% 75% 100% n
31.80 9.2111 19 23.25 34.00 39.50 42 10
6
Dari tampilan ini, anda bisa mendapatkan tambahan informasi numeric, yaitu standar deviasi :
9.2111. Perhatikan perbandingan tampilan pertama dan kedua. Terlihat bahwa nilai minimum
pada tampilan pertama sama dengan nilai kuartil 0% pada tampilan kedua. Nilai median sama
dengan quartile 50% dan seterusnya. Nilai n menunjukkan banyaknya data.
Untuk melihat bentuk histogram dari data umur pegawai PT DOFI, lakukan langkah berikut :
1. Tekan R Commander, Graphs, Histogram kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di
bawah ini.
2. Pilih Frequency Counts, OK.
3. Akan terlihat bahwa kelas modus adalah antara 40-42 dengan frekuensi 3. Jika histogram tidak
aktif maka dapat diaktifkan dengan menekan RGui di Taskbar windows pada bagian bawah layar
monitor.
7
Untuk membersihkan script window pada R Commander, lakukan langkah berikut :
1. Letakkan kursor pada script window
2. Kilik Kanan
3. Klik kiri pada clear window
Untuk membersihkan output window pada R commander, lakukan langkah berikut :
1. Letakkan kursor pada output window
2. Kilik kanan
3. Klik kiri pada clear window
Untuk melakukan perhitungan, misalnya mencari nilai :
Jangkauan (r) = nilai maksimum–nilai minimum, maka lakukan langkah sebagai berikut :
8
1. Aktifkan R Commander kemudian tuliskan pada script window, misalkan a=26. lalu tekan tombol
submit
2. Tuliskan pada script window, misalkan b=19. lalu tekan tombol submit
3. Tuliskan pada script window, c=a-b. lalu tekan tombol submit
4. Tuliskan pada script window, c lalu tekan tombol submit
5. Maka hasilnya akan muncul pada output window
9
DISTRIBUSI BINOMIAL
Pendahuluan
Distribusi binomial merupakan suatu proses distribusi probabilitas yang dapat digunakan apabila
suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Proses Bernoulli adalah
suatu proses probabilitas yang dapat dilakukan berulang kali.
Misalnya :
Dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali. Hasil setiap pelemparan uang logam
tersebut hanya mungkin muncul sisi gambar atau angka saja.
Dalam pengambilan kartu yang dilakukan secara berturut-turut, kemungkinan yang muncul hanya
kartu merah atau kartu hitam saja.
Dari contoh di atas dapat diberikan suatu label “berhasil” untuk sisi gambar dan label “gagal” untuk
sisi angka ataupun sebaliknya. Begitu juga dengan pengambilan kartu, kita dapat memberi label
“berhasil” untuk pengambilan kartu warna merah dan label “gagal” untuk pengambilan kartu warna
hitam ataupun sebaliknya. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang berhasil atau gagal
setiap ulangan memiliki probabilitas yang sama yaitu 50% atau ½.
Sebenarnya ada sedikit persamaan antara distribusi binomial dengan distribusi poisson. Keduanya
berusaha mencari kemungkinan yang timbul dari suatu peristiwa/kejadian yang ada. Namun ada
beberapa hal yang membedakan penggunaan kedua distribusi tersebut yaitu:
Distribusi binomial digunakan jika besarnya sampel (n) < 20 (kurang dari 20) dan nilai
peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0.05
Distribusi poisson digunakan jika besarnya sampel (n) ≥ 20 (lebih dari 20 atau sama dengan 20)
dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) ≤ 0.05 (kurang dari 0.05 atau sama dengan
0.05)
Adapun ciri-ciri atau karakteristik distribusi binomial antara lain :
a. Percobaan diulang sebanyak n kali
b. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas
Misal :
“berhasil” atau “gagal”
“ya” atau “tidak”
“success” atau “failed”
c. Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap,
dimana p = 1 - q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1 - p
d. Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan x
e. Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya.
Catatan
Untuk memberikan kemudahan dalam membedakan antara nilai p dan nilai q, terlebih dahulu
harus ditetapkan yang mana yang merupakan kejadian yang dapat dikategorikan “sukses
atau berhasil” dan yang mana kejadian yang dapat dikategorikan “gagal”. Perlu diingat
bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari suatu permasalahan bisa
dikategorikan sebagai kejadian “sukses atau berhasil”. Dengan demikian kejadian yang
menjadi pertanyaan dari suatu permasalahan dapat disimbolkan dengan p.
Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan simbol yang tepat misalnya :
Kurang dari disimbolkan dengan <
Lebih dari disimbolkan dengan >
Paling banyak disimbolkan dengan ≤
10
Paling sedikit disimbolkan dengan ≥
Kurang dari sama dengan disimbolkan dengan ≤
Lebih dari sama dengan disimbolkan dengan ≥
Tujuan Praktikum Binomial
Tujuan dari praktikum materi distribusi binomial ini adalah untuk membantu praktikan dalam
mempelajari dan memahami bagaimana cara mencari nilai probabilitas (kemungkinan) dari suatu
kejadian binomial (kejadian dengan jumlah sampel < 20 dan nilai peluang berhasil > 0.05) dengan
menggunakan program R.
Rumus umum binomial
b (x;n,p) = Cxn px qn-x
Keterangan :
n = banyaknya kejadian berulang
x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
p = peluang berhasil dalam setiap ulangan dimana p = 1 - q
q = peluang gagal dimana q = 1 - p
Langkah-langkah mengoperasikan program R untuk distribusi binomial :
a. Apabila diketahui x = …
Tekan R Commander
Perintah mencari probabilitas binomial pada Script Window atau dbinom (x,n,p), maka
tuliskan nilai x,n,p pada Script Window tersebut.
kemudian tekan Submit
maka pada output window akan muncul nilai probabilitasnya.
b. Apabila diketahui nilai …≤…x…≤……
Atau nilai x = sampai …
Tekan R Commander
Perintah mencari probabilitas binomial pada Script Window adalah sum (dbinom
(x,n,p)),maka tuliskan nilai x,n,p pada Script Window tersebut.
kemudian tekan Submit
maka pada output window akan muncul nilai probabilitasnya.
c. Apabila diketahui kata-kata paling banyak … atau x ≤
Tekan R Commander
Tekan distribution, discret distributions, binomial distribution, lalu binomial tail
probabilities.
Input variabel value (s) = nilai x
Contoh :
Paling banyak 5 orang menyatakan tertarik menonton sepak bola.
Maka nilai x ≤ 5, jadi input var value (s) =5
Input binomial trial = nilai n
Input probability of success = (nilai p)
Lalu pilih lower tail (karena ditanyakan probabilitas paling banyak )
Tekan ok
Maka akan diperoleh nilai probabilitas tersebut.
d. Apabila diketahui kata-kata paling sedikit … atau x≥
Tekan R Commander
11
Tekan distribution, discret distributions, binomial distribution, lalu binomial tail
probabilities
Perhatikan bahwa yang ditanyakan adalah paling sedikit, maka x ≥ atau x >….
Contoh :
Paling sedikit 5 orang menyatakan tertarik menonton sepak bola.
Maka nilai x ≥ 5 atau x > 4
Input variabel value (s) = 4
Input binomial trial s = nilai n
Input probability of success = (nilai p)
lalu pilih upper tail (karena yamg ditanyakan probabilitas paling sedikit atau lebih dari ).
Tekan ok
Maka akan diperoleh nilai probabilitas tersebut.
KASUS
Berdasarkan data BPS mengenai warga yang menerima BLT, 40 % warga miskin menyatakan
menerima BLT dan sisanya tidak menerima BLT. Apabila ditanyakan pada 5 orang warga miskin di
Indonesia, berapakah probabilitas:
a. Paling sedikit 4 orang diantaranya menerima BLT
b. 3 orang diantaranya menerima BLT
c. Paling banyak 2 orang tidak menerima BLT
d. Ada 2 sampai 4 orang yang tidak menerima BLT
JAWAB
a. x ≥ 4 atau x > 3
1. Tekan icon R Commander pada desktop,
2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial tail
probabilities
3. Masukkan variabel value (s) = 3, input binomial trial = 5, input probabilities of success =
0.4 serta pilih upper tail kemudian tekan tombol OK
12
4. Maka nilai probabilitas paling sedikit 4 orang menerima BLT adalah 0.08704 atau jika
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 87.04%
b. X = 3
1. Tekan icon R Commander pada desktop,
2. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah dbinom (x,n,p), , maka
tuliskan pada script window dbinom (3,5,0.4) kemudian tekan tombol Submit
3. Maka output window muncul probabilitas 3 orang menerima BLT adalah 0.2304 atau jika
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 23.04 %
13
Atau
1. Tekan icon R Commander pada desktop,
2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial
probabilities
3. Isi nilai n pada kotak binomial trials = 5 , kemudian input probabilities of success dengan nilai
probabilitas berhasil ( probabilities of success = 0.4 ) kemudian tekan tombol OK
4. Maka output window muncul probabilitas 3 orang menerima BLT adalah 0.2304 atau jika
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 23.04 %
14
c. x ≤ 2
1. Tekan icon R Commander pada desktop,
2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial tail
probabilities.
3. Input nilai variabel value (s) = 2, input binomial trial = 5, input probabilities of success =
0.6 (karena yang ditanyakan yang tidak menerima BLT), kemudian pilih lower tail (karena
yang ditanyakan paling banyak ) dan tekan tombol OK
4. Maka nilai probabilitas paling banyak 2 orang tidak menerima BLT adalah 0.31744 atau jika
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 31.744 %
15
d.
2≤x≤4
1. Tekan icon R Commander pada desktop,
2. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah sum(dbinom (x,n,p)), ,
maka tuliskan pada script window sum(dbinom (2:4 ,5,0.6))
3. Tekan submit
4. Maka output window muncul probabilitas ada 2 sampai 4 orang yang tidak menerima BLT
adalah 0.8352 atau jika dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 83.52
16
DISTRIBUSI POISSON
Pendahuluan
Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distribusi ini
merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan
seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang
binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu.
Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya :
probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi poisson ini
digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.
Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial
Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas
probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan
probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah
bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau
kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan
rumus binomial. Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson digunakan
rumus sebagai berikut
P ( x ; µ ) = (e – µ. µ X ) / X !
Dimana :
e = 2.71828
µ = rata – rata keberhasilan = n . p
x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel
n = Jumlah / ukuran populasi
p = probabilitas kelas sukses
Rumus Proses Poisson
Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi,
misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh
jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita
sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses
kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut :
1. Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstant.
Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata–rata untuk periode jam
adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada
jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata–rata yaitu 36 kedatangan setiap ½
jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.
2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu
yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan
di menit berikutnya adalah sama.
3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin
pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan.
Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang
dapat melewati jalan masuk dalam waktu satu detik.
Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson digunakan rumus
sebagai berikut :
P ( x ) = (e –λ . t . (λ.t) x ) / X!
Dimana : λ = Tingkat rata–rata kedatangan tiap unit waktu
t = Jumlah unit waktu
x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu
17
Contoh :
Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya.
Perusahaan memperkirakan 3 % diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka
berapakah probabilitas 2 produk yang tidak sesuai standar ?
Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya
adalah sebagai berikut :
7. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di
bawah ini.
8. Tuliskan pada Script window dpois(2,3).
Angka 2 menunjukkan nilai X dan angka 3 menunjukkan nilai µ yang didapat dari perkalian n * p
(100 * 3%). Kemudian tekan tombol Submit.
9. Maka probabilitas 2 produk yang tidak sesuai standar adalah = 0.2240418 jika ditanyakan dalam
bentuk prosentase ( % ) maka jawabannya adalah 22.40418% ( atau 0.2240418 * 100 )
18
Atau cara lain tekan icon R commander, pilih menu Distributions, discreate distribution, poisson
distribution, poisson probabilities
Kemudian masukan mean = 3 ( didapat dari n * p ) = 100 * 3%
Lihat di kolom paling kiri x = 2 yaitu 0.2240 atau 22.40%
19
Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya.
Perusahaan memperkirakan 3% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka
berapakah probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar ?
Jika dalam contoh kasus ditanyakan probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar. Maka
langkah penyelesaiannya adalah :
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di
bawah ini.
2. Pilih menu Distributions, Discrete distribution, Poisson distribution, Poisson tail probabilities.
3. Kemudian masukkan Variable value(s) = 2 (karena variabel yang diamati adalah 2) dan Mean = 3
(didapat dari n*p yaitu 100 * 3%) lalu pilih Upper tail (karena yang ditanyakan probabilitas lebih
dari 2 orang). Kemudian tekan tombol OK
20
4. Maka probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar adalah 0.5768099 atau
57.68099%
Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya.
Perusahaan memperkirakan 3% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka
berapakah probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar ?
Jika dalam contoh kasus ditanyakan probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar.
Maka langkah penyelesaiannya adalah :
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di
bawah ini.
2. Pilih menu Distributions, Discrete distribution, Poisson distribution, Poisson tail probabilities.
21
3. Kemudian masukkan Variable value(s) = 2 (karena variabel yang diamati adalah 2) dan Mean = 3
(didapat dari n*p yaitu 100*3%) lalu pilih Lower tail (karena yang ditanyakan probabilitas kurang
dari 2 orang). Kemudian tekan tombol OK
4. Maka probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar adalah 0.4231901 atau
42.31901%
22
DISTRIBUSI NORMAL
Pendahuluan
Distribusi normal adalah suatu distribusi yang digunakan untuk mengetahui probabilitas yang telah
diketahui rata-rata ( µ ) dan standar deviasinya ( σ ). Banyaknya kejadian yang terdistribusi normal,
tanda =, ≥ , dan ≤ diabaikan, jadi hanya ada tanda > dan
MODUL STATISTIKA 1
Nama :
NPM/Kelas :
Fakultas/Jurusan :
Hari dan Shift Praktikum :
Fakultas Ekonomi
Universitas Gunadarma
Kelapa dua E531
1
UKURAN STATISTIK
Pendahuluan
Ukuran statistik merupakan ukuran yang menunjukkan bagaimana suatu gugus data memusat dan
menyebar. Di dalam ukuran statistik ada tiga bentuk ukuran deskripsi data, yaitu : ukuran pusat data,
ukuran variabilitas data dan ukuran bentuk distribusi data. Ukuran pusat data yang banyak digunakan
untuk mendeskripsikan data adalah mean (rata-rata hitung), median dan modus.
Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut disperse atau variasi atau
keragaman data. Ukuran disperse data yang umum dipakai adalah jangkauan (range), variansi dan
standar deviasi.
UKURAN PEMUSATAN
1. MEAN (rata-rata hitung)
Rata-rata dihitung dengan menjumlahkan seluruh angka data yang selanjutnya dibagi dengan
banyaknya (jumlah) data. Jumlah data untuk data sampel disebut sebagai ukuran sampel yang
disimbolkan dengan n dan untuk data populasi disebut sebagai ukuran populasi yang disimbolkan
dengan N.
Untuk rata-rata hitung sekumpulan data hasil observasi dihitung dengan menggunakan rumus
berikut :
Rata-rata (X¯ ) = ∑(Xi) / N
Dimana : Xi = nilai dari observasi yang ke-i
N = banyaknya observasi ukuran sample.
2. MEDIAN
Median adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian
yang sama besar.
Letak median = (n+1)/2
Kuartil adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi empat
bagian yang sama besar. Nilai kuartil terdiri dari kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3.
Nilai kuartil 2 suatu gugus data sama dengan nilai median tersebut.
3. MODUS
Modus merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang frekuensinya paling tinggi.
UKURAN PENYEBARAN
1. Jangkauan (range)
Jangkauan atau range (r) suatu gugus data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai
minimum.
2. Variansi
Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap
rata-rata hitung. Variansi untuk sampel dilambangkan dengan s2. sedangkan untuk populasi
dilambangkan dengan σ2
Variansi (s)2 = [∑(Xi-X)] / (n-1)
3. Standar Deviasi
Standar deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi. Standar deviasi seringkali disebut
simpangan baku.
2
Contoh :
Diketahui data umur pegawai PT DOFI yaitu 19 40 38 31 42 20 27 22 37 42
Untuk mencari nilai-nilai ukuran statistik data tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah
langkah-langkah berikut :
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di
bawah ini.
2. Pilih menu Data, New data set. Masukkan nama dari data set adalah umur, lalu tekan tombol OK.
3. Masukkan data umur pegawai PT. DOFI. Jika data editor tidak aktif maka dapat diaktifkan dengan
menekan RGui di taskbar windows pada bagian bawah layar monitor. Jika sudah selesai dalam
pengisian data tekan tombol Close.
Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double click pada variable
yang ingin di setting
3
4. Untuk mengecek kebenaran data yang sudah dimasukkan, tekan tombol View data set maka akan
muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. Jika ada data yang salah, tekan tombol edit data
set, lalu perbaiki data yang salah.
5. Jika data sudah benar, pilih menu Statistic, Summaries, Active data set.
4
6. Akan muncul tampilan :
Maka kita bisa mengetahui bahwa dari data umur pegawai PT. DOFI, memiliki nilai :
Minimum : 19.00
Kuartil 1 : 23.25
Median
: 34.00
Mean
: 31.80
Kuartil 3 : 39.50
Maximum : 42.00
5
Untuk mengetahui standar deviasi, lakukan langkah berikut :
1. Tekan Statistic, Summaries, Numerical Summeries.
2. Maka akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini, kemudian tekan tombol OK.
Mean sd
0%
25% 50% 75% 100% n
31.80 9.2111 19 23.25 34.00 39.50 42 10
6
Dari tampilan ini, anda bisa mendapatkan tambahan informasi numeric, yaitu standar deviasi :
9.2111. Perhatikan perbandingan tampilan pertama dan kedua. Terlihat bahwa nilai minimum
pada tampilan pertama sama dengan nilai kuartil 0% pada tampilan kedua. Nilai median sama
dengan quartile 50% dan seterusnya. Nilai n menunjukkan banyaknya data.
Untuk melihat bentuk histogram dari data umur pegawai PT DOFI, lakukan langkah berikut :
1. Tekan R Commander, Graphs, Histogram kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di
bawah ini.
2. Pilih Frequency Counts, OK.
3. Akan terlihat bahwa kelas modus adalah antara 40-42 dengan frekuensi 3. Jika histogram tidak
aktif maka dapat diaktifkan dengan menekan RGui di Taskbar windows pada bagian bawah layar
monitor.
7
Untuk membersihkan script window pada R Commander, lakukan langkah berikut :
1. Letakkan kursor pada script window
2. Kilik Kanan
3. Klik kiri pada clear window
Untuk membersihkan output window pada R commander, lakukan langkah berikut :
1. Letakkan kursor pada output window
2. Kilik kanan
3. Klik kiri pada clear window
Untuk melakukan perhitungan, misalnya mencari nilai :
Jangkauan (r) = nilai maksimum–nilai minimum, maka lakukan langkah sebagai berikut :
8
1. Aktifkan R Commander kemudian tuliskan pada script window, misalkan a=26. lalu tekan tombol
submit
2. Tuliskan pada script window, misalkan b=19. lalu tekan tombol submit
3. Tuliskan pada script window, c=a-b. lalu tekan tombol submit
4. Tuliskan pada script window, c lalu tekan tombol submit
5. Maka hasilnya akan muncul pada output window
9
DISTRIBUSI BINOMIAL
Pendahuluan
Distribusi binomial merupakan suatu proses distribusi probabilitas yang dapat digunakan apabila
suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Proses Bernoulli adalah
suatu proses probabilitas yang dapat dilakukan berulang kali.
Misalnya :
Dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali. Hasil setiap pelemparan uang logam
tersebut hanya mungkin muncul sisi gambar atau angka saja.
Dalam pengambilan kartu yang dilakukan secara berturut-turut, kemungkinan yang muncul hanya
kartu merah atau kartu hitam saja.
Dari contoh di atas dapat diberikan suatu label “berhasil” untuk sisi gambar dan label “gagal” untuk
sisi angka ataupun sebaliknya. Begitu juga dengan pengambilan kartu, kita dapat memberi label
“berhasil” untuk pengambilan kartu warna merah dan label “gagal” untuk pengambilan kartu warna
hitam ataupun sebaliknya. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang berhasil atau gagal
setiap ulangan memiliki probabilitas yang sama yaitu 50% atau ½.
Sebenarnya ada sedikit persamaan antara distribusi binomial dengan distribusi poisson. Keduanya
berusaha mencari kemungkinan yang timbul dari suatu peristiwa/kejadian yang ada. Namun ada
beberapa hal yang membedakan penggunaan kedua distribusi tersebut yaitu:
Distribusi binomial digunakan jika besarnya sampel (n) < 20 (kurang dari 20) dan nilai
peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0.05
Distribusi poisson digunakan jika besarnya sampel (n) ≥ 20 (lebih dari 20 atau sama dengan 20)
dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) ≤ 0.05 (kurang dari 0.05 atau sama dengan
0.05)
Adapun ciri-ciri atau karakteristik distribusi binomial antara lain :
a. Percobaan diulang sebanyak n kali
b. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas
Misal :
“berhasil” atau “gagal”
“ya” atau “tidak”
“success” atau “failed”
c. Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap,
dimana p = 1 - q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1 - p
d. Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan x
e. Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya.
Catatan
Untuk memberikan kemudahan dalam membedakan antara nilai p dan nilai q, terlebih dahulu
harus ditetapkan yang mana yang merupakan kejadian yang dapat dikategorikan “sukses
atau berhasil” dan yang mana kejadian yang dapat dikategorikan “gagal”. Perlu diingat
bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari suatu permasalahan bisa
dikategorikan sebagai kejadian “sukses atau berhasil”. Dengan demikian kejadian yang
menjadi pertanyaan dari suatu permasalahan dapat disimbolkan dengan p.
Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan simbol yang tepat misalnya :
Kurang dari disimbolkan dengan <
Lebih dari disimbolkan dengan >
Paling banyak disimbolkan dengan ≤
10
Paling sedikit disimbolkan dengan ≥
Kurang dari sama dengan disimbolkan dengan ≤
Lebih dari sama dengan disimbolkan dengan ≥
Tujuan Praktikum Binomial
Tujuan dari praktikum materi distribusi binomial ini adalah untuk membantu praktikan dalam
mempelajari dan memahami bagaimana cara mencari nilai probabilitas (kemungkinan) dari suatu
kejadian binomial (kejadian dengan jumlah sampel < 20 dan nilai peluang berhasil > 0.05) dengan
menggunakan program R.
Rumus umum binomial
b (x;n,p) = Cxn px qn-x
Keterangan :
n = banyaknya kejadian berulang
x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
p = peluang berhasil dalam setiap ulangan dimana p = 1 - q
q = peluang gagal dimana q = 1 - p
Langkah-langkah mengoperasikan program R untuk distribusi binomial :
a. Apabila diketahui x = …
Tekan R Commander
Perintah mencari probabilitas binomial pada Script Window atau dbinom (x,n,p), maka
tuliskan nilai x,n,p pada Script Window tersebut.
kemudian tekan Submit
maka pada output window akan muncul nilai probabilitasnya.
b. Apabila diketahui nilai …≤…x…≤……
Atau nilai x = sampai …
Tekan R Commander
Perintah mencari probabilitas binomial pada Script Window adalah sum (dbinom
(x,n,p)),maka tuliskan nilai x,n,p pada Script Window tersebut.
kemudian tekan Submit
maka pada output window akan muncul nilai probabilitasnya.
c. Apabila diketahui kata-kata paling banyak … atau x ≤
Tekan R Commander
Tekan distribution, discret distributions, binomial distribution, lalu binomial tail
probabilities.
Input variabel value (s) = nilai x
Contoh :
Paling banyak 5 orang menyatakan tertarik menonton sepak bola.
Maka nilai x ≤ 5, jadi input var value (s) =5
Input binomial trial = nilai n
Input probability of success = (nilai p)
Lalu pilih lower tail (karena ditanyakan probabilitas paling banyak )
Tekan ok
Maka akan diperoleh nilai probabilitas tersebut.
d. Apabila diketahui kata-kata paling sedikit … atau x≥
Tekan R Commander
11
Tekan distribution, discret distributions, binomial distribution, lalu binomial tail
probabilities
Perhatikan bahwa yang ditanyakan adalah paling sedikit, maka x ≥ atau x >….
Contoh :
Paling sedikit 5 orang menyatakan tertarik menonton sepak bola.
Maka nilai x ≥ 5 atau x > 4
Input variabel value (s) = 4
Input binomial trial s = nilai n
Input probability of success = (nilai p)
lalu pilih upper tail (karena yamg ditanyakan probabilitas paling sedikit atau lebih dari ).
Tekan ok
Maka akan diperoleh nilai probabilitas tersebut.
KASUS
Berdasarkan data BPS mengenai warga yang menerima BLT, 40 % warga miskin menyatakan
menerima BLT dan sisanya tidak menerima BLT. Apabila ditanyakan pada 5 orang warga miskin di
Indonesia, berapakah probabilitas:
a. Paling sedikit 4 orang diantaranya menerima BLT
b. 3 orang diantaranya menerima BLT
c. Paling banyak 2 orang tidak menerima BLT
d. Ada 2 sampai 4 orang yang tidak menerima BLT
JAWAB
a. x ≥ 4 atau x > 3
1. Tekan icon R Commander pada desktop,
2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial tail
probabilities
3. Masukkan variabel value (s) = 3, input binomial trial = 5, input probabilities of success =
0.4 serta pilih upper tail kemudian tekan tombol OK
12
4. Maka nilai probabilitas paling sedikit 4 orang menerima BLT adalah 0.08704 atau jika
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 87.04%
b. X = 3
1. Tekan icon R Commander pada desktop,
2. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah dbinom (x,n,p), , maka
tuliskan pada script window dbinom (3,5,0.4) kemudian tekan tombol Submit
3. Maka output window muncul probabilitas 3 orang menerima BLT adalah 0.2304 atau jika
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 23.04 %
13
Atau
1. Tekan icon R Commander pada desktop,
2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial
probabilities
3. Isi nilai n pada kotak binomial trials = 5 , kemudian input probabilities of success dengan nilai
probabilitas berhasil ( probabilities of success = 0.4 ) kemudian tekan tombol OK
4. Maka output window muncul probabilitas 3 orang menerima BLT adalah 0.2304 atau jika
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 23.04 %
14
c. x ≤ 2
1. Tekan icon R Commander pada desktop,
2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial tail
probabilities.
3. Input nilai variabel value (s) = 2, input binomial trial = 5, input probabilities of success =
0.6 (karena yang ditanyakan yang tidak menerima BLT), kemudian pilih lower tail (karena
yang ditanyakan paling banyak ) dan tekan tombol OK
4. Maka nilai probabilitas paling banyak 2 orang tidak menerima BLT adalah 0.31744 atau jika
dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 31.744 %
15
d.
2≤x≤4
1. Tekan icon R Commander pada desktop,
2. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah sum(dbinom (x,n,p)), ,
maka tuliskan pada script window sum(dbinom (2:4 ,5,0.6))
3. Tekan submit
4. Maka output window muncul probabilitas ada 2 sampai 4 orang yang tidak menerima BLT
adalah 0.8352 atau jika dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 83.52
16
DISTRIBUSI POISSON
Pendahuluan
Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distribusi ini
merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan
seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang
binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu.
Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya :
probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi poisson ini
digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.
Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial
Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas
probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan
probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah
bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau
kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan
rumus binomial. Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson digunakan
rumus sebagai berikut
P ( x ; µ ) = (e – µ. µ X ) / X !
Dimana :
e = 2.71828
µ = rata – rata keberhasilan = n . p
x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel
n = Jumlah / ukuran populasi
p = probabilitas kelas sukses
Rumus Proses Poisson
Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi,
misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh
jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita
sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses
kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut :
1. Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstant.
Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata–rata untuk periode jam
adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada
jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata–rata yaitu 36 kedatangan setiap ½
jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.
2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu
yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan
di menit berikutnya adalah sama.
3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin
pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan.
Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang
dapat melewati jalan masuk dalam waktu satu detik.
Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson digunakan rumus
sebagai berikut :
P ( x ) = (e –λ . t . (λ.t) x ) / X!
Dimana : λ = Tingkat rata–rata kedatangan tiap unit waktu
t = Jumlah unit waktu
x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu
17
Contoh :
Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya.
Perusahaan memperkirakan 3 % diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka
berapakah probabilitas 2 produk yang tidak sesuai standar ?
Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya
adalah sebagai berikut :
7. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di
bawah ini.
8. Tuliskan pada Script window dpois(2,3).
Angka 2 menunjukkan nilai X dan angka 3 menunjukkan nilai µ yang didapat dari perkalian n * p
(100 * 3%). Kemudian tekan tombol Submit.
9. Maka probabilitas 2 produk yang tidak sesuai standar adalah = 0.2240418 jika ditanyakan dalam
bentuk prosentase ( % ) maka jawabannya adalah 22.40418% ( atau 0.2240418 * 100 )
18
Atau cara lain tekan icon R commander, pilih menu Distributions, discreate distribution, poisson
distribution, poisson probabilities
Kemudian masukan mean = 3 ( didapat dari n * p ) = 100 * 3%
Lihat di kolom paling kiri x = 2 yaitu 0.2240 atau 22.40%
19
Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya.
Perusahaan memperkirakan 3% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka
berapakah probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar ?
Jika dalam contoh kasus ditanyakan probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar. Maka
langkah penyelesaiannya adalah :
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di
bawah ini.
2. Pilih menu Distributions, Discrete distribution, Poisson distribution, Poisson tail probabilities.
3. Kemudian masukkan Variable value(s) = 2 (karena variabel yang diamati adalah 2) dan Mean = 3
(didapat dari n*p yaitu 100 * 3%) lalu pilih Upper tail (karena yang ditanyakan probabilitas lebih
dari 2 orang). Kemudian tekan tombol OK
20
4. Maka probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar adalah 0.5768099 atau
57.68099%
Perusahaan kerajinan tangan “BAGUS ART” mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya.
Perusahaan memperkirakan 3% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka
berapakah probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar ?
Jika dalam contoh kasus ditanyakan probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar.
Maka langkah penyelesaiannya adalah :
1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di
bawah ini.
2. Pilih menu Distributions, Discrete distribution, Poisson distribution, Poisson tail probabilities.
21
3. Kemudian masukkan Variable value(s) = 2 (karena variabel yang diamati adalah 2) dan Mean = 3
(didapat dari n*p yaitu 100*3%) lalu pilih Lower tail (karena yang ditanyakan probabilitas kurang
dari 2 orang). Kemudian tekan tombol OK
4. Maka probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar adalah 0.4231901 atau
42.31901%
22
DISTRIBUSI NORMAL
Pendahuluan
Distribusi normal adalah suatu distribusi yang digunakan untuk mengetahui probabilitas yang telah
diketahui rata-rata ( µ ) dan standar deviasinya ( σ ). Banyaknya kejadian yang terdistribusi normal,
tanda =, ≥ , dan ≤ diabaikan, jadi hanya ada tanda > dan