PERAMALAN DENGAN MODEL ARCH SKRIPSI

  

PERAMALAN DENGAN MODEL ARCH

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

  

Program Studi Matematika

Oleh:

SUHARTINI

  

NIM : 003114038

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

  

MOTTO

™ Serahkanlah perbuatanmu kepada Tuhan, maka terlaksanalah segala

rencanamu. (Amsal 16:3).

  ™ Do not dwell in the past, do not dream of the future, concentrate the mind on the present moment. ( Budha )

™ Our greatest glory is not in never falling, but in rising every time we fall. (Budha).

  Dengan penuh kasih karya ini kupersembahkan untuk : Bapak dan Ibukku, Mas Arno, mas Ardi, mbak yanti, wandi,

  

ABSTRAK

Model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic) merupakan

model autoregresif dalam keadaan variansi tidak konstan. Model ini akan diguna-

kan untuk menentukan, meramalkan dan memperbaharui nilai parameter dari data

runtun waktu yang variansinya tidak konstan. Nilai parameter dari model ARCH

dapat diperoleh dengan menggunakan metode maksimum likelihood.

  

ABSTRACT

ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic) model is inconstant vari-

ance autoregressive model. Variance is a variable in statistic that illustrate how far

the changes of the data to mean. This model will be used to fit, to forecast, and to

update renew parameter from inconstant variance of time series data. ARCH

model parameter value can be obtained by using likelihood maximum method.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur kepada Hati kudus Tuhan Yesus dan bunda Maria, karena

berkat karunia dan rahmatnya yang telah mereka berikan penulis dapat menyele-

saikan skripsi ini.

  Banyak hambatan dan kesulitan yang ditemui penulis dalam menyusun dan

menulis skripsi ini. Namun, berkat bantuan dan dorongan dari berbagai pihak,

baik langsung maupun tidak langsung, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan.

Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

  1. Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si , selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu, pikiran, memimjamkan buku, serta kesabaran membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini.

  2. Bapak YG. Hartono, S.Si, M.Sc, selaku ketua program studi mate- matika FMIPA USD Yogyakarta.

  3. Ibu Mv. Any Herawati, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing akademik.

  4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc dan Ibu Lusia Krismiyati Budi- asih, S.Si, M.Si, selaku dosen penguji yang telah memberikan masu- kan-masukan dan koreksi.

  5. Bapak dan ibu dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu yang ber- guna kepada penulis selama dibangku kuliah. ix 7.

  Mas Tukijo yang telah memberikan pelayanan administrasi dalam urusan-urusan perkuliahan kepada penulis.

  8. Kedua orangtuaku yang tak henti-hentinya memberikan dukungan baik moral, spiritual, maupun materi sehingga penulis dapat menye- lesaikan skripsi ini.

  9. Kakak-kakakku, mas Ardi, mas Arno dan adiku yang selalu mem- berikan dukungan, doa, bantuan materi serta kesabarnya selama ini.

  10. Keluarga mbak Yanti dan keponakan-keponakanku Angela, Jepin yang selalu memberi semangat, doa, bantuan materi.

  11. Teman-temanku Sumi, Vin, Dora, Dewi, Deni, Veri (’01), Anjrah, Heri (Ndoet), yang selalu setia menemani, memberikan semangat dan mendengarkan curhatku. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena

itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang bermanfaat bagi

kesempurnaan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini memberikan man-

faat dan berguna bagi semua pihak.

  Yogyakarta, 22 Februari 2007 Penulis

  

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL.................................................................................... i

  HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................... ii HALAMAN PENGESAHAN...................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................. iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................... v

ABSTRAK ................................................................................................... vi

ABSTRACT................................................................................................. vii

KATA PENGANTAR ................................................................................. viii

DAFTAR ISI................................................................................................ x

  

BAB I PENDAHULUAN..................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah.......................................................

  1 B. Rumusan Masalah ................................................................

  2 C. Tujuan Penulisan..................................................................

  2 D. Pembatasan Masalah ............................................................

  2 E. Manfaat Penulisan................................................................

  3 F. Metode Penulisan .................................................................

  3 G. Sistematika Penulisan ..........................................................

  3 BAB II LANDASAN TEORI................................................................ 5

  xi D.

  Autoregresi (AR).................................................................. 19

  BAB III MODEL ARCH........................................................................ 32 A. ARCH................................................................................... 32 B. Pengujian Adanya Efek ARCH Dalam Data Runtun Waktu 41 C. Fungsi Kelihood ARCH....................................................... 47 BAB IV PENERAPAN MODEL ARCH PADA DATA HARGA SAHAM COMPOSITE INDEX............................................... 53 A. Identifikasi Model ARCH.................................................... 53 B. Uji Efek ARCH.................................................................... 57 C. Pembentukan Model Akhir .................................................. 58 BAB V PENUTUP................................................................................. 60 A. Simpulan .............................................................................. 60 B. Saran..................................................................................... 60 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................

  61 LAMPIRAN.................................................................................................

  

LAMPIRAN 1 Data Harga Saham Composite Index dari

tanggal 03 Januari 2005 sampai 29 Desem- ber 2005..........................................................

  62 LAMPIRAN 2 Hasil Analisa Data yang Telah Didifferenc- ing Satu Kali dengan Menggunakan AR (3) ..

  66 LAMPIRAN 3 Hasil Analisa Data yang Telah Didifferenc-

  xii LAMPIRAN 5 Hasil Analisis Penentuan Modal Akhir..........

  69 LAMPIRAN 6 Tabel Distribusi Statistik-t .............................

  70 LAMPIRAN 7 Tabl Distribusi Khi-Kuadrat ..........................

  71

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Pada kenyataannya data runtun waktu tidak semuanya memiliki variansi kon-

  stan. Model Autoregresif (AR) merupakan model yang menganggap bahwa data run- tun waktu memiliki variansi yang konstan. Variansi merupakan variabel dalam statistik yang menggambarkan seberapa jauh perubahan data terhadap nilai rata- ratanya. Persamaan umum AR adalah

• Υ = Υ + K Υ β β β ε

  t 1 t 1 k t k t − −

  dengan : Υ = deret waktu tunggal

  t

  deret waktu tunggal yang ketinggalan i perioda

  1 , 2 , 3 , K ,

  Υ =

  ( i = k ) t

  −i

  β = parameter ε = galat

  Bila variansi galat berubah terhadap waktu maka keadaan ini disebut heteroskedastisitas. Untuk itulah Robert F. Engle pada tahun 1982 menawarkan model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedastic). Model ARCH

  Bentuk model ARCH adalah

  ∞

  − ∑ i =

  2 ε = v h dengan h = α α ε + dan v berdistribusi normal standar. t t t t i t i t

1 Peramalan dengan model ARCH dapat kita lakukan cukup dengan adanya data

  runtun waktu tunggal. Peramalan dengan model ini tidak perlu memandang aspek- aspek lain yang dapat mempengaruhi perubahan data runtun waktu.

B. Rumusan Masalah

  Pokok bahasan yang akan dibahas dalam tulisan ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

  1. Apa yang dimaksud dengan model ARCH?

  2. Bagaimana penerapan model ARCH dalam peramalan dengan

  menggunakan data runtun waktu?

  C. Tujuan Penulisan

  Untuk menjelaskan dan membahas kegunaan model ARCH dalam peramalan data runtun waktu serta landasan teori yang mendukungnya.

  D. Pembatasan Masalah

  Dalam tulisan ini peramalan dengan model ARCH hanya akan membahas

  2. Uji efek ARCH menggunakan pengganda langrange (langrange multiplier).

  3. Estimasi model ARCH menggunakan maksimum likelihood distibusi normal.

  4. Pembuktian distribusi khi-kuadrat tidak dibuktikan.

  E. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah untuk semakin memahami dan menguasai penggunaan model ARCH dalam peramalan khususnya peramalan dengan menggunakan data runtun waktu.

  F. Metode Penulisan

  Metode yang digunakan dalam penulisan ini menggunakan metode kepustakaan dan data diolah menggunakan software Eviws dan Minitab.

  G. Sistematika Penulisan

BAB I : menjelaskan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penu- lisan, manfaat penulisan, sistematika penulisan. BAB II : menjelaskan tentang konsep dasar runtun waktu, fungsi autokovariansi dan

BAB III : menjelaskan tentang model ARCH, ARCH, pengujian adanya efek ARCH dalam data runtun waktu, fungsi likelihood ARCH. BAB IV : menjelaskan Penerapan Model ARCH Pada Data Harga Saham Composite Index, identifikasi model awal, uji efek ARCH, penentuan model akhir. BAB V :menjelaskan tentang simpulan dan saran.

BAB II LANDASAN TEORI Dalam peramalan dikenal adanya model deret berkala dan model regresi. Pada

  jenis model deret berkala, penduga masa depan dilakukan berdasarkan nilai masa lalu dari suatu variabel atau kesalahan masa lalu. Sedangkan model regresi mengasumsikan bahwa faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab- akibat dengan satu atau lebih variabel bebas (variabel independen).

  Suatu model regresi yang memiliki satu variabel bebas disebut model regresi sederhana atau model regresi linear klasik. Model regresi linear klasik dapat dinyatakan sebagai berikut:

  (2.1) Υ = β β Χ ε + +

  i 1 i i

  dengan: Υ = variabel tak bebas (variabel dependen) Χ = variabel bebas (variabel independen ) β = parameter ε = unsur gangguan stokastik

  Model tersebut memiliki beberapa asumsi yaitu:

  Asumsi 1:

  Asumsi 2:

  Tidak adanya autokorelasi atau tidak terdapat korelasi diantara unsur gangguan sto- kastik, yaitu

  Kov ε , ε = Ε ( ε − Ε ( ) ε ) ε − Ε ε ( i j ) ( i i ( j ( ) j ) )

  = Ε ( ε − ) ε − ( i ( j ) )

  = Ε ( ) ε ε i j

  = dengan i dan j adalah indeks untuk dua pengamatan yang berbeda.

  Asumsi 3:

  2 Varian ε adalah suatu bilangan konstan positif yang sama dengan σ dengan kata i

  lain asumsi ini menyatakan homoskedastisitas atau variansi sama, yaitu:

2 Var

  ( ) ε = Ε ( ε − Ε ( ) ε ) i i i

  2 = Ε

  ( ) ε i

  2 =

  σ Penyimpangan dari asumsi 3 disebut sebagai heteroskedastisitas (variansi yang tidak konstan), yaitu:

2 Var ( )

  ε = σ

  i i Asumsi 4: Variabel bebas Χ tak stokastik atau tetap. Untuk menaksir parameter β digunakan metode kuadrat terkecil biasa ( method

  of ordinary least squares (OLS) ). Langkah –langkahnya sebagai beriku :

  Persamaan (2.1) dapat ditulis menjadi ˆ ˆ

  β β ε + + Υ = Χ

  i 1 i i

  ˆ = Υ ε +

  (2.2)

  i i

  dengan Υˆ merupakan nilai taksiran Υ . Secara alternatif persamaan (2.2) dapat din-

  i i

  yatakan sebagai berikut ˆ

  = Υ − Υ ε

  i i i

  ˆ ˆ = Υ − − Χ

  (2.3) β β

  i 1 i

  yang menunjukkan bahwa ε (galat) hanyalah perbedaan antara nilai Υ sebenarnya

  i

  dengan yang ditaksir. Untuk sampel berukuran N pasang observasi jumlah kuadrat galatnya dapat dinyatakan sebagai berikut

  2

  2

  ˆ ε = Υ − Υ

  i ( i i ) ∑ ∑

  2

  ˆ ˆ = Υ − β − β Χ

  (2.4)

  ( i 1 i ) ∑

  

ˆ

  Bila persamaan (2.4) diturunkan terhadap β maka diperoleh persamaan

  2

  ∂ ε

  i ( )

  ∑

  ˆ ˆ = − 2 Υ − − Χ =

  (2.5) β β

  ( i 1 i ) ∑

  ˆ ∂ β

  ˆ Bila persamaan (2.4) diturunkan terhadap

  β maka diperoleh persamaan

  

1

  ε β β ε

  2

  i i i i i i i N

  β Selain menaksir parameter

  β kita tentukan koefisien determinasi

  2 R . Koefisien

  determinasi merupakan ukuran ikhtisar yang menyatakan seberapa baik garis regresi sampel mencocokkan data. Bila persamaan (2.2) kedua sisi dikurangi Υ maka per- samaannya menjadi

  (2.11) ˆ i i i

  ε + Υ − Υ = Υ − Υ Kemudian persamaan (2.11) kedua sisi dikuadratkan sehingga persamaannya menjadi

  ( ) ( ) ( ) (2.12) ˆ

  2 ˆ

  2

  Χ − Χ Υ Χ Χ − Υ Χ

  2 ∑ ∑ ∑ ∑

  i i i i i

  ε ε Karena persamaan (2.5)

  ∑ = 0 i

  ε dan persamaan (2.6)

  ∑ = Χ i i

  ε maka

  ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ

  1 Υ − Χ + = Υ − Υ i i i i

  =

  2 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

  Persamaan (2.5) dapat ditulis menjadi (2.7)

  β i i i i β

  ˆ ˆ

  1 ∑ ∑

  Χ + = Υ

  i i N β β

  Persamaan (2.6) dapat ditulis menjadi (2.8)

  ˆ ˆ

  2

  1 ∑ ∑ ∑

  Χ + Χ = Χ Υ

  Dari persamaan (2.7) dan (2.8) diperoleh

  2

  ( ) (2.9) ˆ

  2

  2

  1 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

  Χ − Χ Υ Χ − Υ Χ = i i i i i i

  N N

  β

  ( )

  (2.10) ˆ

  2

• Υ − Υ + Υ − Υ = Υ − Υ

Sehingga persamaan (2.12) menjadi

  2

  2

  2

  ˆ

  ε

  Υ − Υ = Υ − Υ (2.14)

• i ) i

  ( ) i (

  ∑ ∑ ∑

  dengan

  2

  = jumlah kuadrat total ( total sum of squares (TSS) ) Υ − Υ

  ( i ) ∑

  2 ˆ

  = jumlah kuadrat yang dijelaskan ( explined sum of squares (ESS) )

  Υ − Υ ( i )

  ∑

  2

  ε = jumlah kuadrat galat/residual ( residual sum of squares (RSS) )

  i ∑

  Definisi 2.1:

  2 Koefisien determinasi R didefinisikan sebagai

  2 ˆ Υ − Υ

  ( ) ESS i

  2 ∑

  R = =

  2 TSS Υ − Υ

  ( i ) ∑ Teorema 2.1

  2 ˆ Υ − Υ

  ( i )

  2 ∑

  Bila dengan T merupakan banyaknya observasi maka sta-

  TR = N

  2 Υ − Υ

  ( i ) ∑ 2 sistik uji TR akan berdistribusi khi-kuadrat.

  Bukti : Karena merupakan nilai taksiran Υ maka

  Υˆ i i

  2

  ˆ Υ − Υ

  ( ) i

  ∑

  2

  ˆ

  Var Υ = = S ( ) i n

  1 −

  2

  Υ − Υ

  ( i ) ∑

  2

  sedangkan Var ( ) Υ = = σ

  i N

  akibatnya

  2

  ˆ Υ − Υ

  ( i )

  2 ∑

  TR = N

  2

  Υ − Υ

  ( i ) ∑

  2 ( n −

  1 ) S = N

  2 N σ

  2 S n

  1 = ( − )

  2

  σ

  2

  2 Jadi terbukti bahwa TR berdistribusi

  χ dengan derajat bebas n-1. ■ Sedangkan model regresi yang memiliki lebih dari satu variabel bebas disebut mode regresi linear berganda. Model regresi linear berganda dapat dinyatakan sebagai berikut:

  Υ Χ + + + = Χ ... Χ + + (2.15) β β β β ε

  i

  1 1 i

  2 2 i k ki i

  dengan: Υ = variabel tak bebas

  = unsur gangguan stokastik ε i = observasi ke - i, (i = 1,2,3,...)

  Model tersebut memiliki asumsi yang sama dengan asumsi pada model regresi linear klasik. Sedangkan untuk menaksir parameter β juga menggunakan metode OLS.

A. Konsep Dasar Runtun Waktu

  Suatu runtun waktu (deret waktu/deret berkala) adalah sekumpulan observasi yang berurutan dalam waktu tertentu. Suatu runtun waktu dinotasikan dengan Υ

  t

  dengan t menunjuk pada perioda waktu yang berturutan. Bila t adalah bilangan asli maka Υ merupakan runtun waktu diskrit. Bila t sembarang bilangan real maka Υ

  t t merupakan runtun waktu kontinu.

  Dilihat dari sejarah nilai observasi, runtun waktu dapat dibedakan atas runtun waktu deterministik dan runtun waktu stokastik. Runtun waktu deterministik adalah runtun waktu dengan nilai observasi mendatang dapat dihitung atau diramalkan se- cara pasti melalui suatu fungsi berdasarkan nilai observasi yang lampau. Sedangkan runtun waktu stokastik adalah runtun waktu yang nilai observasi mendatang hanya menunjukkan struktur probabilistik yang digambarkan melalui fungsi tertentu ber- dasarkan observasi yang lampau. Contoh runtun waktu deterministik Υ = cos ( 2 ft )

  t π

  dengan Υ merupakan nilai observasi pada saat t . Sedangkan f merupakan fre-

  t matan). Contoh runtun waktu stokastik adalah ada N observasi yang nilainya dapat ditentukan sebagai Υ , Υ , Υ , K , Υ dengan Υ , Υ , Υ , K , Υ merupakan variabel-

  1

  2 3 n

  1

  2 3 n variabel random yang memiliki fungsi probabilitas.

  Suatu runtun waktu disebut stasioner bila

  a. Ε ( ) Υ = konstan untuk setiap t

  t

  b. Var ( ) Υ = konstan untuk setiap t

  t

  c. Kov ( Υ , Υ ) = konstan untuk setiap t dan Kov ( Υ , Υ ) dependen terhadap

  t t k t t k −

  −

  lag k Dengan demikian, suatu runtun waktu dikatakan stasioner bila rata-rata, variansi, dan kovariansinya tetap konstan sepanjang waktu. Sedangkan runtun waktu dikatakan tidak stasioner bila runtun waktu tersebut gagal memenuhi satu bagian atau lebih dari syarat tersebut. Untuk mencapai asumsi stasioneritas, data yang belum stasioner harus diubah menjadi stasioner. Hal itu dapat diatasi melalui metode pembedaan (differencing).

  Misal diketahui deret angka sebagai berikut : 2 , 4 , 6 , 8 , K , 20 yang mengandung trend linear dan tidak bersifat acak. Dengan mengurangkan nilai-nilai yang berurutan , 4-2, 6-4, 8-6, ... ,20-18, kita akan mendapatkan nilai-nilai pembedaan pertama (first

  

differeneces) yang merupakan deret angka 2,2,2,...,2 dan deret ini jelas stasioner. Jadi

  untuk mendapatkan kestasioneran dapat dibuat deret baru yang terdiri dari perbedaan

  Deret baru Υ′ akan mempunyai , n −

  1 buah nilai dan akan stasioner apabila trend t dari data awal Υ adalah linear (pada orde pertama). t

  Apabila autokorelasi dari data yang dibedakan pertama tidak mendekati nol sesudah lag kedua atau ketiga, berarti data belum bisa dikatakan stasioner. Oleh karena itu perlu dilakukan pembedaan lagi dari data pembedaan pertama sebagai berikut: (2.17) Υ ′′ = Υ′ − Υ′

  t t t

  1 −

  Υ ′′ dinyatakan sebagai deret pembedaan orde kedua (second order differences).

  t

  Deret ini akan mempunyai n −

  2 buah nilai. Dengan mensubstitusikan (2.16) ke

  dalam (2.17) akan diperoleh: Υ ′′ = ( Υ − Υ ) ( − Υ − Υ )

  t t t − 1 t − 1 t −

  2

  Υ ′′ = Υ − Υ Υ

• 2

  t t t 1 t

  2 − −

  Barisan { } ε merupakan proses white noise bila untuk setiap periode waktu t t maka berlaku

  I. untuk setiap t Ε ( ) ε =

  t

  2

2 II. Ε untuk setiap t

  ε = σ

  ( ) t

  III. Ε ( ) = untuk setiap t ≠ s ε t ε s

  Teorema 2.2 Bila ε white noise maka ε stasioner. t t

  Bukti: Pertama karena Ε ( ) = dan 0 suatu konstanta maka syarat pertama stasioner

  ε t dipenuhi.

  2

2 Kedua karena dan maka

  Ε ( ) ε = Ε ε = σ

  t ( ) t

2 Var ( ) ε = Ε ( ε − Ε ( ) ε )

  t t t

  2

  = Ε ( ε − )

  t

  2

  = Ε ε

  ( ) t

  2

  = σ Yang berarti syarat kedua stasioner dipenuhi.

  Ketiga karena Ε ( ) ε = untuk setiap t dan Ε ( ε ε ) = untuk setiap t ≠ s maka

  t t s Kov ,

  ( ε ε ) = Ε ( ( ε − Ε ( ) ε ) ( ε − Ε ( ) ε ) ) t t k t t t k t k

  − − −

  = Ε ( ( ε − )( ε − ) )

  t t k −

  = Ε ( ) ε ε

  t t − k

  = Yang berarti syarat ketiga stasioner dipenuhi.

  Jadi terbukti bahwa ε stasioner. ■

  t

B. Fungsi Autokovariansi dan Fungsi Autokorelasi (ACF) Definisi 2.2:

  Autokovariansi antara Υ dan Υ didefinisikan sebagai

  t t k −

  

Kov ( Υ , Υ ) = Ε ( ( Υ − Ε ( ) Υ ) ( Υ − Ε ( Υ ) ) ) = γ (2.18)

t t k t t t k t k k

  − − − Teorema 2.3 Bila Υ runtun waktu stasioner maka γ = Var ( ) Υ dan γ = γ . t t k k

  −

  Bukti: γ = Kov ( Υ , Υ )

  t t = Ε ( ( Υ − Ε ( ) Υ ) ( Υ − Ε ( ) Υ ) ) t t t t

  2 = Ε ( Υ − Ε ( ) Υ ) t t

  = Var ( ) Υ t

  dengan mengingat syarat ketiga stasioner sehingga

  Kov ,

  γ = ( Υ Υ )

  k t t k −

  = Kov ( Υ , Υ )

• t t k

  = γ

  k

  ■

  − Fungsi autokovariansi merupakan plot dari γ terhadap lag k . k merupakan perkembangan lebih lanjut dari fungsi korelasi. Fungsi autokorelasi digunakan untuk mengetahui apakah suatu data pada waktu tertentu dipengaruhi oleh data pada waktu sebelumnya dan juga digunakan untuk mengetahui apakah suatu data stasioner atau tidak stasioner. Stasioneritas sangat diperlukan karena untuk mempermudah melakukan peramalan.

  Definisi 2.3 :

  Didalam runtun waktu korelasi antara Υ dan Υ disebut autokorelasi bila

  t t k −

  Kov , ( Υ Υ ) t t k

  − Korr Υ , Υ =

  ( ) t t k

  − Var ( ) ( Υ Var Υ ) t t k

  − Ε ( ( Υ − Ε ( ) Υ ) ( Υ − Ε ( Υ ) ) ) t t t − k t − k

  = (2.19)

  2

  2 Ε ( Υ − Ε ( ) Υ ) Ε ( Υ − Ε ( Υ ) ) t t t k t k

  ( ) ( − − )

  Karena syarat kedua stasioner dan sifat pertama autokovariansi persamaan (2.19) menjadi Ε ( ( Υ − Ε ( ) Υ ) ( Υ − Ε ( Υ ) ) )

  t t t k t k − −

  Korr ( Υ , Υ ) = t t k

  −

  2

  Ε ( Υ − Ε ( ) Υ )

  t t

  γ

  k

  (2.20) = = ρ

  k

  γ

  Teorema 2.4

  Bila Υ runtun waktu stasioner maka ρ = 1 dan ρ = ρ .

  t k k

  −

  Bukti: γ

  = =

  1

  ρ γ

  Menggunakan Teorema 2.3 maka diperoleh γ γ

  k k −

  ρ

  = = k

  γ γ =

  ρ ■

  − k Fungsi autokorelasi merupakan plot dari ρ terhadap lag k .

k

  Dalam praktek kita bisa menggunakan autokorelasi sampel, dengan

  t t

  1

  mengasumsikan Υ stasioner sehingga Υ = Υ = Υ − dan Var ( ) Υ = Var ( Υ )

  t t t k

  −

  sebagai berikut:

  Kov , ( Υ Υ ) t t k

  −

  ρ =

  k Var ( ) ( Υ Var Υ ) t t k

  − n

     Υ − Υ Υ − Υ 

  ( t )( t k ) −

  ∑ = 1 k + t

   

  n

  1 −

  =

  n

  2

  Υ − Υ

  ( t ) ∑ t

  1 = n −

  1

  n

  Υ − Υ Υ − Υ

  ( t )( t k ) −

  ∑ 1 k + t =

  = (2.21)

  ρ k

  n

  2

  Υ − Υ

  ( t ) ∑ t

  1 =

C. Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)

  Fungsi autokorelasi parsial (PACF) digunakan untuk menunjukkan keeratan hubungan antara Υ dan Υ .

  t t k −

  Definisi 2.4 :

  Autokorelasi parsial didefinisikan sebagai berikut: Η

  k ( )

  = (2.22)

  φ

  kk

  Μ

  k ( )

  dengan Μ dan Η adalah matriks autokorelasi k × k , yaitu

  k k ( ) ( )

  1 ρ ρ L ρ  1 2 k 1  −

   

  ρ

  1 ρ L ρ

  1 1 k

  2 −   Μ =  ρ ρ

1 L ρ 

  k

  2 1 k

  3 ( ) −

    M M M M M    

  ρ ρ ρ

  L

  1 k 1 k 2 k

  3 − − −  

  ρ

   1   

  ρ

  2  

  Sedangkan Η adalah Μ yang kolom terakhirnya diganti dapat ditulis

  k k ( ) ( )

    M

  1

  2

  1  

  1 L  ρ ρ ρ 

  1 L

  ρ ρ ρ

  1

  1

  2   Η = 

  1 L 

  ρ ρ ρ

  ( ) k

  2

  1

  3   M M M M M    

  L

  ρ ρ ρ ρ

  k − 1 k − 2 k − 3 k  

  Untuk memperoleh φ dengan k = 1 , 2 , 3 , K digunakan aturan Cramer akan diperoleh

  kk k

  1 , = φ = ρ

  11

  1

  1 ρ

  1

  2

  ρ ρ

  1 2 ρ − ρ

  2

  1 k =

  2 , φ = =

  22

  2

  1 ρ 1 −

  1 ρ

  1

  ρ

  1

  1

  1 ρ ρ

  1

  1

  ρ 1 ρ

  1

  2

  2

  3

  2

  ρ ρ ρ

  2

  1 3 ρ ρ ρ ρ −

• 2 ρ ρ − ρ ρ +

  3

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  3 k =

  3 , φ = =

  33

  

2

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ρ ρ ρ ρ ρ ρ +

  1 2 − −

  

1

  2

  2

  1

  1 ρ

  1 ρ

  1

  1 ρ

  2 ρ

1 D. Autoregresif (AR)

  Model Autoregresif memiliki persamaan umum sebagai berikut:

• Υ = Υ + Υ + + + ... Υ

  (2.23) φ φ φ φ ε

  t 1 t

  1 2 t 2 k t k t − − −

  Persamaan (2.23) juga merupakan persamaan regresi, tetapi berbeda dengan persamaan (2.15). Pada persamaan (2.15) variabel-variabel sebelah kanan merupakan asumsi pada persamaan regresi juga berlaku pada persamaan tersebut dengan ε t merupakan white noise.

  Bila persamaan (2.23) variabel sebelah kanan hanya dipengaruhi oleh nilai sebelumnya dari variabel tak bebas Υ yang ketinggalan satu perioda maka

  

t

  persamaannya disebut autoregresif orde satu (AR (1)). Persamaan AR (1) adalah (2.24)

  Υ = φ φ Υ ε + +

  t 1 t 1 t −

  Bila Υ diketahui maka akan diperoleh

  t Υ = + Υ +

  1 φ φ 1 ε

  1 Υ = φ φ + + Υ ε

  2

  1

  1

  2 = φ φ ( φ φ Υ ε ) ε + + + +

  1

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  1

  1

  2

  1 = φ ( φ ) φ Υ φ ε ε

• Υ = φ φ Υ ε

  3

  1

  2

  3

  2 = ( 1 ) Υ + + + +

  φ φ φ φ φ φ ε ε ε

  1

  1

  1

  1 2 )

  3

  2

  3

  2 = φ φ φ φ φ φ Υ φ ε φ ε ε + + + + + +

  1 (

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  3

  2

  3

  2 = φ 1 φ φ φ Υ φ ε φ ε ε + + + + + +

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  

3

( )

  M

  1 n n

  

1

− −

  Υ =

• 2 n

  1

  1

  1

  1 1 n − ( n − 1 ) n 2 n 3 n n

  1 K Υ + + + + + + φ φ φ φ ε φ φ

  − − −

  n ( )

  K φ ε φ ε φ ε + + +

  1 n ( n 2 ) 1 n ( n 3 ) 1 n ( n n ) − − − − − −

  Sehingga untuk setiap 0 t ⟩ akan didapatkan

  t − 1 t −

  1 i t i

  (2.25) Υ = φ φ φ + Υ φ ε +

  t

  1

  1 1 t i Nilai harapan Υ pada persamaan (2.25) dapat dicari dengan mengingat syarat

  t

  pertama white noise adalah

  t − 1 t −

  1

   i t i  Ε ( ) Υ = Ε  φ φ φ Υ φ ε +  +

  t

  1

  1 1 t i −

  ∑ ∑ i i

  = =

   

  t 1 t

  1 − −

      = Ε  φ φ  Ε φ Υ Ε  φ ε 

  i t i 1 ( )

  1 1 t i

−

i i

  ∑ ∑

  = =

     

  t

  1 −

  (2.26) = φ φ φ Υ

• i t

  1

  1 ∑ i

  =

  Sedangkan nilai harapan dari Υ dengan mengingat syarat pertama white noise

  t k −

  adalah

  t k 1 t k

  1 − − − −

   

  i t − k i

  Ε ( Υ ) = Ε  φ φ φ Υ φ ε  + +

  t k

  1

  1 1 t k i − − −

  ∑ ∑ i i

  = =

   

  t k 1 t k

  1 − − − −

     

  i t k i −

  = Ε  φ φ + +  Ε φ Υ Ε  φ ε 

  1

  1 1 t k i ( ) − −

  ∑ ∑ i = i =

     

  t k

  1 − − i t k

  −

  = φ φ φ Υ + (2.27)

  1

  1 ∑ i =

  Persamaan (2.26) dan (2.27) keduanya dependen terhadap waktu. Karena Ε ( ) Υ ≠ Ε ( Υ ) maka { } Υ tidak stasioner.

  t t k t −

  Teorema 2.5

  bila ⟨

  1 maka

  φ

  1

  t k

  1 − − i

  2

3 φ

o

  1 (

  1

  1 1 ) ∑

  II. = 1 ... konvergen ke (2.29) + + + + φ φ φ φ φ φ

  1 i

  − φ =

  1 Bukti: t − k

I. Karena

  1 maka lim φ

  φ ⟨ =

  1

  1 t

  → ∞ t − k −

  1 i

  2

  3 II. Karena

  1 ... merupakan deret geometri yang φ φ = φ φ φ φ + + + +

  1 (

  1

  1 1 ) ∑ i

  =

  φ

  a

  konvergen dengan a = dan r = maka = φ φ

  1 ■

  1 1 φ − r −

  1 Jadi untuk t dan φ 1 , ( → ∞ ) ⟨

  1 t − 1 t −

  1

   i 

  t i

  lim lim

  ( ) Υ =  φ φ φ Υ φ ε 

  t

  1

  1 1 t i − ∑ ∑ t t

  → ∞ → ∞ i i

  = =

   

  ∞

  φ i (2.30)

  = φ ε +

  1 t i − ∑

  1 − φ i

  1 =

  Nilai harapan Υ dengan menggunakan persamaan (2.30) dan mengingat syarat

  t

  pertama white noise adalah

  ∞

   φ 

  i

  Ε ( ) Υ = Ε φ ε +

  t 1 t i −

  ∑

    1 − φ

  1 i =

   

  ∞

    φ  i 

  = Ε Ε  φ ε  +

    1 − φ i

  1 t i − ∑

  1 =

      φ Terlihat bahwa rata-rata dari Υ berhingga dan independen terhadap waktu. Jadi

  t

  φ Ε ( ) ( Υ = Ε Υ ) = untuk semua t .

  t t k −

  1 − φ

1 Nilai variansi Υ dengan menggunakan persamaan (2.30), (2.31) dan mengingat

  t

  syarat kedua white noise adalah

2 Var ( ) Υ = Ε ( Υ − Ε ( ) Υ )

  t t t

  2 ∞  φ φ  i

  = Ε φ ε − + 1 t i −

  ∑   1 −

  1 −

  φ i = φ