Document - 23456 - STMIK EL RAHMA Matriks2

Latihan Soal #1
1. Sebuah perusahaan membuat dua macam product, P
dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y. Polutan
sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi khusus juga
dihasilkan dalam proses pembuatan product tersebut.
Jumlah polutan – polutan yang dihasilkan tersebut
diberikan (dalam kg) dalam bentuk matriks berikut :
Sulfur
dioxide

Nitric
oxide

Materi
khusus

300 100 150  Product P
A 

Product Q
200

250
400



Berikutnya …

Pemerintah setempat mensyaratkan
polutan – polutan tersebut harus
didaur ulang. Biaya untuk itu per kg
adalah (dalam dollar) diberikan dalam
matriks B berikut :
Tanaman X

Tanaman Y

 8 12 Sulfur dioxide


B  7 9  Nitric oxide

15 10 Materi khusus
apa interpretasi dari hasil perkalian
AB bagi perusahaan ?

Latihan Soal #2
2. a. Tunjukkan bahwa jika A mempunyai satu
baris nol, maka AB juga mempunyai satu
baris nol.
b. Tunjukkan bahwa jika B mempunyai satu
kolom nol, maka AB juga mempunyai satu
kolom nol.
3. a. Tunjukkan bahwa hasil kali dua matriks
segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
b. Tunjukkan bahwa hasil kali dua matriks
segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah

SIFAT - SIFAT OPERASI MATRIKS
I. Sifat Penjumlahan
Diberikan matriks A, B, dan C yang penjumlahannya terdefinisi.

1. A + B = B + A
2. A + (B + C) = (A + B) + C
3. Ada matriks nol, O, sedemikian hingga A + O = A
Matriks O ini disebut dengan matriks identitas
terhadap penjumlahan.
4. Untuk setiap matriks A, ada matriks -A sedemikian
hingga A + (-A) = O. Matriks –A ini disebut dengan
matriks invers terhadap penjumlahan

II. Sifat Perkalian
Diberikan matriks A, B, dan C yang
perkaliannya terdefinisi.
1. (AB)C = A(BC)
2. A(B + C) = AB + AC
3. (A + B)C = AC + BC
4. Ada matriks I sedemikian hingga AI = IA
= A.

Matriks I disebut matriks identitas
terhadap perkalian.

Sifat – Sifat Operasi Matriks
III. Sifat Perkalian Skalar & Matriks
Jika r dan s adalah bilangan real, dan A
dan B adalah matriks, maka
1. r(sA) = (rs)A
2. (r + s)A = rA + sA
3. r(A + B) = rA + rB
4. A(rB) = r(AB) = (rA)B

Sifat – Sifat Operasi Matriks
IV. Sifat transpose
Jika r adalah skalar, dan A dan B adalah
matriks, maka
1. (At)t = A
2. (A + B)t = At + Bt
3. (AB)t = BtAt
4. (rA)t = rAt
Suatu matriks A = [aij] dikatakan simetris jika
At = A

Perpangkatan pada Matriks
• Misal A adalah matriks b.s. dan p adalah bil.bulat
positif, maka
:
p
A

A 
AA A
p faktor

Jika A adalah matriks berukuran n x n, maka
A0 = In

• Sifat Perpangkatan :
Misal p dan q adalah bilangan bulat non negatif, dan
A dan B adalah matriks, maka
1. ApAq = Ap+q
2. (Ap)q = Apq

3. (AB)p = ApBp jika dan hanya jika AB = BA

Latihan Soal #3
1. Diberikan matriks :

1  3
A 

2

1



  1 3 2
B 

1

3

4



0 1 2 
C 

1
3

2



Buktikan sifat perkalian matriks bagian 2.
2. Diberikan matriks :

4 2 
A 


1

3



 0 2
B 


4
3



Buktikan sifat perkalian skalar dan matriks bagian 1, 2,
dan 3 untuk r = 6 dan s = -2.

Latihan Soal #4
3. Diberikan matriks :

 2 1  2
A 

3
2
5



 2  1
B  3 4 
1  2

Jika mungkin, hitunglah :
a. (AB)t c. AtBt
e. (Bt + A)C
b. BtAt
d. BtC + A

 2 1 3
C   1 2 4
 3 1 0

Latihan Soal #5
4. Jika

 4 2
, maka hitunglah
A 

1
3



a. A2 + 3A
b. 2A3 + 3A2 + 4A + 5I2
5. Misal p dan q adalah bil.bulat non negatif dan A
adalah matriks b.s. Tunjukkan bahwa :

ApAq = Ap+q dan (Ap)q = Apq

Latihan Soal #6
6. Jika AB = BA, dan p adalah bil.bulat non negatif,
maka tunjukkan
(AB)p = ApBp
7. Tunjukkan bahwa jika A adalah matriks simetris
maka At adalah juga matriks simetris.
8. Misalkan A dan B adalah matriks simetris.
Tunjukkan
a. (A + B) adalah matriks simetris
b. AB simetris jika dan hanya jika AB = BA.