Document - 23456 - STMIK EL RAHMA Matriks1
ALJABAR LINEAR
ALJABAR LINEAR
MATERI :
1.
PENDAHULUAN
2.
MATRIKS
3.
DETERMINAN
4.
INVERS
5.
PERSAMAAN LINIER
6.
VEKTOR
(2)
MATRIKS
MATRIKS
•
Definisi
Susunan segiempat yang terdiri atas
bilangan – bilangan real yang tersusun
atas baris dan kolom
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
A
2 1
2 22
21
1 12
11
m baris n kolom
(3)
• Baris ke-i dari A adalah :
• Kolom ke-j dari A adalah :
• Matriks A dapat juga ditulis : A = [aij]
• Jika m = n maka dikatakan A matriks Bujur sangkar, dan bilangan a11, a22, …, ann disebut
dengan diagonal utama
ai1 ai2 ain
(1i m)) 1
(
2 1
n j
a a a
mj j j
(4)
Jenis – jenis Matriks
Jenis – jenis Matriks
1. Matriks Diagonal
Matriks b.s. dengan elemen diluar
diagonal utama adalah nol, yaitu aij = 0 untuk i j
2. Matriks Skalar
Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah sama, yaitu
aij = c untuk i = j dan aij = 0 untuk i j
3. Matriks Segitiga Atas
Matriks b.s. dengan elemen dibawah
(5)
Jenis – Jenis Matriks
Jenis – Jenis Matriks
4. Matriks Segitiga Bawah
Matriks b.s. dengan elemen diatas
diagonal utama adalah nol
5. Matriks Identitas
Matriks diagonal dengan elemen pada
diagonal utama adalah 1 , yaitu
aij = 1 untuk i = j dan aij = 0 untuk i j
6. Matriks Nol
(6)
Operasi Matriks
Operasi Matriks
•
Persamaan Dua Matriks
•
Penjumlahan Matriks
•
Perkalian Skalar dan Matriks
•
Transpose Matriks
(7)
Persamaan Dua Matriks
Persamaan Dua Matriks
• Definisi
Dua matriks A = [aij] dan B = [bij]
dikatakan sama jika :
aij = bij, 1 i m, 1 j n
yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama.
• Contoh :
Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5
z y
x
w B
dan A
4
4 2
2 1
5 4
0
4 3
2
1 2
(8)
Penjumlahan Matriks
Penjumlahan Matriks
•
Definisi
Jika A = [aij] dan B = [bij] adalah matriks ukuran m x n, maka jumlahan A dan B
adalah matriks C = [cij] ukuran m x n dengan cij = aij + bij
Contoh
Diberikan Matriks A dan B adalah
maka
3 1
2
4 2
1
A
1 3
1
4 2
1
B
4 2
3
0 0
1 B
(9)
Perkalian Skalar & Matriks
Perkalian Skalar & Matriks
•
Definisi
Jika A = [a
ij] ukuran m x n dan r
adalah sebarang skalar real, maka
perkalian
skalar rA adalah
matriks B = [b
ij] ukuran m x n
dengan
b
ij= r a
ij• Contoh
Jika r = -3 dan
maka
1
2
4
A
3
6
12
(10)
Transpose Matriks
Transpose Matriks
•
Definisi
Jika A = [a
ij] adalah matriks ukuran m
x
n,
maka transpose dari A adalah matriks
A
t= [a
ijt]
ukuran n x m dengan
a
ijt= a
ji• Contoh
maka
2 5
0
3 2
4
A
2 3
5 2
0 4
t
(11)
Perkalian Matriks
Perkalian Matriks
• Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah
matriks C = [cij] ukuran m x n dimana
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
Ilustrasi
rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij
mp m m ip i i p p a a a a a a a a a a a a 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11
rowi(A)
pn pj p p n j n j b b b b b b b b b b b b 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11
Colj(B)
mn m m ij n n c c c c c c c c c c 2 1 2 22 21 1 12 11
(12)
Latihan Soal
Latihan Soal
1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:
Jika mungkin, maka hitunglah
a. AB d. CB + D g. BA + FD
b. BA e. AB + DF h. A(BD)
c. A(C + E) f. (D + F)A
2 0 4 3 2 1 A 5 1 4 2 1 3 B 2 1 1 5 4 3 1 3 2 C 2 1 3 2 D 2 4 3 5 1 2 3 0 1 E 1 4 3 2 F
(13)
2.
Sebuah perusahaan membuat dua macam product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y. Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi khusus juga dihasilkan dalam prosespembuatan product tersebut. Jumlah polutan – polutan yang dihasilkan tersebut diberikan
(dalam kg) dalam bentuk matriks berikut :
400
250
200
150
100
300
A
Sulfur dioxide
Nitric oxide
Materi khusus
Product P Product Q
(14)
Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – polutan tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk itu per kg adalah (dalam dollar) diberikan dalam matriks B
berikut :
apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ?
10
15
9
7
12
8
B
Tanaman X Tanaman Y
Sulfur dioxide Nitric oxide Materi khusus
(1)
Perkalian Skalar & Matriks
Perkalian Skalar & Matriks
•
Definisi
Jika A = [a
ij] ukuran m x n dan r
adalah sebarang skalar real, maka
perkalian
skalar rA adalah
matriks B = [b
ij] ukuran m x n
dengan
b
ij= r a
ij• Contoh
Jika r = -3 dan
maka
1
2
4
A
3
6
12
(2)
Transpose Matriks
Transpose Matriks
•
Definisi
Jika A = [a
ij] adalah matriks ukuran m
x
n,
maka transpose dari A adalah matriks
A
t= [a
ijt]
ukuran n x m dengan
a
ijt= a
ji• Contoh
maka
2 5
0
3 2
4
A
2 3
5 2
0 4
t
(3)
Perkalian Matriks
Perkalian Matriks
• Definisi
Jika A = [aij] ukuran m x p dan B = [bij] ukuran p x n, maka perkalian A dan B, dinotasikan AB, adalah
matriks C = [cij] ukuran m x n dimana
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj
Ilustrasi
rowi(A)colj(B) = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = cij
mp m m ip i i p p a a a a a a a a a a a a 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11
rowi(A)
pn pj p p n j n j b b b b b b b b b b b b 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11
Colj(B)
mn m m ij n n c c c c c c c c c c 2 1 2 22 21 1 12 11
(4)
Latihan Soal
Latihan Soal
1. Diberikan matriks – matriks sebagai berikut:
Jika mungkin, maka hitunglah
a. AB d. CB + D g. BA + FD
b. BA e. AB + DF h. A(BD)
c. A(C + E) f. (D + F)A 2 0 4 3 2 1 A 5 1 4 2 1 3 B 2 1 1 5 4 3 1 3 2 C 2 1 3 2 D 2 4 3 5 1 2 3 0 1 E 1 4 3 2 F
(5)
2.
Sebuah perusahaan membuat dua macam product, P dan Q, dari setiap dua tanaman, X dan Y. Polutan sulfur dioxide, nitric oxide, dan materi khusus juga dihasilkan dalam prosespembuatan product tersebut. Jumlah polutan – polutan yang dihasilkan tersebut diberikan
(dalam kg) dalam bentuk matriks berikut :
400
250
200
150
100
300
A
Sulfur dioxide
Nitric oxide
Materi khusus
Product P Product Q
(6)
Pemerintah setempat mensyaratkan polutan – polutan tersebut harus didaur ulang. Biaya untuk itu per kg adalah (dalam dollar) diberikan dalam matriks B
berikut :
apa interpretasi dari hasil perkalian AB bagi perusahaan ?
10
15
9
7
12
8
B
Tanaman X Tanaman Y
Sulfur dioxide Nitric oxide Materi khusus