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‚« ¤¨ª ¢ª §áª¨© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨© ¦ãà­ «
ˆî­ì{ᥭâï¡àì, 2001, ’®¬ 3, ‚ë¯ã᪠3

“„Š 517.98

Ž ‚…•ˆ• Žƒˆ€ž™ˆ• ‘…Œ…‰‘’‚€
n-„ˆ‡šžŠ’›•

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‚ í⮩ áâ âì¥ ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï å à ªâ¥à¨§ æ¨ï áã¡«¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢, ïîé¨åáï
¢¥àå­¨¬¨ ®£¨¡ î騬¨ ᥬ¥©á⢠

n-¤¨§êî­ªâ­ëå

®¯¥à â®à®¢, ¤ ¥âáï ®¯¨á ­¨¥ ¢®§­¨-

ª îé¨å á㡤¨ää¥à¥­æ¨ «®¢ ¨ ¨å ªà ©­¨å â®ç¥ª.

1. ‚¢¥¤¥­¨¥

  ¯à®â殮­¨¨ ¢á¥© áâ âì¨, ¥á«¨ ­¥ ®£®¢®à¥­® ®á®¡®,

R,

à¥è¥âª¨ ­ ¤ ¯®«¥¬ ¢¥é¥á⢥­­ëå ç¨á¥«

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X

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¯à®áâà ­á⢮).  áᬠâਢ ¥¬ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï ¤¥©áâ¢ãîâ ¨§
1. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥.

¤¨§êî­ªâ­ë¬, ¥á«¨

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E.

­ §ë¢ ¥âáï

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ï¥âáï ¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¨ ¤«ï «î¡ëå ¯®¯ à­®

¤¨§êî­ªâ­ëå í«¥¬¥­â®¢

x0 ; x1 ; : : : ; xn

^j

2

X

n

T (xi )

i=0

j

¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥

= 0:

‚ ­ áâ®ï饩 áâ âì¥ ¨§ãç îâáï áã¡«¨­¥©­ë¥ ®¯¥à â®àë, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ë¥ ¢
¢¨¤¥ ¢¥àå­¨å ®£¨¡ îé¨å ᥬ¥©á⢠ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå

n-¤¨§êî­ªâ­ëå

®¯¥à â®-

஢. “áâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï, çâ® ¤ ­­ë© ª« áá áã¡«¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ᮤ¥à¦¨â ¢
ᥡ¥ á㬬ë

n

áã¡«¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢, á®åà ­ïîé¨å ª®­¥ç­ë¥ ¢¥àå­¨¥ £à -

­¨æë, ¯à¨ç¥¬ íâ® ¢ª«î祭¨¥ áâண®¥. Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢
í⨠ª« ááë ᮢ¯ ¤ îâ: ¨§¢¥áâ­®, çâ® ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥

n-¤¨§êî­ªâ­ë¥

®¯¥à â®-

àë, ¤¥©áâ¢ãî騥 ¢ ¯®à浪®¢® ¯®«­ë¥ ¢¥ªâ®à­ë¥ à¥è¥âª¨, ᢮¤ïâáï ª á㬬 ¬
n

¯®¯ à­® ¤¨§êî­ªâ­ëå à¥è¥â®ç­ëå £®¬®¬®à䨧¬®¢ (á¬. [1{2]).

à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ í⮣® ª« áá  áã¡«¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ ¦­ãî à®«ì ¨£-

à îâ ¢®¯à®áë £¥®¬¥âà¨ç¥áª®£® áâ஥­¨ï ¢®§­¨ª îé¨å á㡤¨ää¥à¥­æ¨ «®¢.
‡¤¥áì ¢®§­¨ª îâ § ¤ ç¨ ¢­ãâ७­¥© å à ªâ¥à¨§ æ¨¨ á㡤¨ää¥à¥­æ¨ «  ¨ ®¯¨á ­¨ï ¬­®¦¥á⢠ ¥£® ªà ©­¨å â®ç¥ª. ‘⮨⠯®¤ç¥àª­ãâì, çâ® í⨠§ ¤ ç¨ ¡ë«¨
à¥è¥­ë ¯¥à¢®­ ç «ì­® ¤«ï ª ­®­¨ç¥áª®£® ®¯¥à â®à  (= ®¯¥à æ¨¨ ¢§ïâ¨ï â®ç­®© ¢¥àå­¥© £à ­¨æë ã ¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­®© ä㭪樨) (á¬. [3, 2.2.9]), § â¥¬
¤«ï ®¯¥à â®à®¢, á®åà ­ïîé¨å ª®­¥ç­ë¥ ¢¥àå­¨¥ £à ­¨æë (á¬. [3, 2.5.7, 2.5.8]).



c 2001  ¤­ ¥¢ ‚. €.

Ž ¢¥àå­¨å ®£¨¡ îé¨å ᥬ¥©á⢠

n-¤¨§êî­ªâ­ëå ®¯¥à â®à®¢

3{9

2. ‚ᯮ¬®£ â¥«ì­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï
¥à¥¤ ⥬ ª ª ¯à¨áâ㯨âì ª ¯®¤à®¡­®¬ã ¨§«®¦¥­¨î, ­ ¯®¬­¨¬ ­¥ª®â®àë¥
ᢥ¤¥­¨ï ®¡ ®á­®¢­ëå ®¡ê¥ªâ å, à áᬠâਢ ¥¬ëå ¢ ¤ ­­®© à ¡®â¥. Œë ¡ã¤¥¬

á«¥¤®¢ âì ®¡é¥¯à¨­ïâë¬ ®¡®§­ ç¥­¨ï¬ ¨ â¥à¬¨­®«®£¨¨ ᮣ« á­® [3{5].
ˆ§¢¥áâ­®, ç⮠ॣã«ïà­ë¥ (= ¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­ë¥) ®¯¥à â®àë, ¤¥©áâ-

X ¢ E , ®¡à §ãîâ K -¯à®áâà ­á⢮ Lr (X; E ) ॣã«ïà­ëå ®¯¥à â®à®¢
á ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬ ª®­ãᮬ, ª®â®àë© ®¡®§­ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ L+ (X; E ).
‘㡤¨ää¥à¥­æ¨ «®¬ (¢ ­ã«¥) @P áã¡«¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à  P , ­ §ë¢ ¥âáï
¢ãî騥 ¨§

¬­®¦¥á⢮

@P

:=

fT 2 L(X; E ) : (8x 2 X )T x 6 P (x)g;

L(X; E ) | ¯à®áâà ­á⢮ «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¨§ X ¢ E .
‘¨¬¢®«®¬ Ch(P ) ®¡®§­ ç ¥âáï ᮢ®ªã¯­®áâì ¢á¥å ªà ©­¨å (¨«¨ íªáâ६ «ì­ëå) â®ç¥ª á㡤¨ää¥à¥­æ¨ «  @P . —¥à¥§ Orth(E ) ®¡®§­ ç ¥¬ ª®«ìæ®
®à⮬®à䨧¬®¢ ­  E á ¥¤¨­¨æ¥© IE .
£¤¥

2.

’¥®à¥¬ 

[3, 2.2.7].

‘«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥­¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:

S 2 Ch(P );
(2) ¥á«¨ ¤«ï ®¯¥à â®à®¢ S1 ; : : : ; Sn 2 @P ¨ ®à⮬®à䨧¬®¢ 1 ; : : : ; n 2
n  = I , n   S = S , â®   S =
[0; IE ] ¢ë¯®«­ïîâáï ᮮ⭮襭¨ï
E k=1 k k
k
k=1 k
k  Sk ¤«ï ª ¦¤®£® k = 1; : : : ; n.
„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ­¥¯ãá⮣® ¬­®¦¥á⢮ Q ®¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬ l1 (Q; E )
ᮢ®ªã¯­®áâì ¢á¥å (¯®à浪®¢®) ®£à ­¨ç¥­­ëå ®â®¡à ¦¥­¨© ¨§ Q ¢ E . ¥á«®¦­® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® l1 (Q; E ) ï¥âáï K -¯à®áâà ­á⢮¬ ¯à¨ ­ ¤¥«¥­¨¨ ¯®ª®®à¤¨­ â­ë¬¨  «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬¨ ®¯¥à æ¨ï¬¨ ¨ 㯮p冷祭¨¥¬. Ž¯¥p â®p "Q ¨§
l1 (Q; E ) ¢ E , ¤¥©áâ¢ãî騩 ¯® ¯p ¢¨«ã:

(1)

®¯¥à â®à

P

P

"Q : f 7! supff () :  2 Qg

(

f 2 l1 (Q; E ));

"n ¨á¯®«ì§ãîâ, ª®£¤  ¬®é­®áâì
"n ¯p¨ í⮬ ­ §ë¢ îâ ª®­¥ç­®¯®p®¦¤¥­-

­ §ë¢ îâ ª ­®­¨ç¥áª¨¬ ®¯¥p â®p®¬. ‘¨¬¢®«
¬­®¦¥á⢠

­ë¬.

Q p ¢­  n.

‘ ¬ ®¯¥p â®p

P ­ §ë¢ îâ ¢®§p áâ î騬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå x; y 2
X ¨§ x 6 y á«¥¤ã¥â, çâ® P (x) 6 P (y ).
‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ª®­¥ç­®¯®p®¦¤¥­­®£® ®¯¥p â®p  "n ä®p¬ã«ã [3, 2.1.5(1)]
‘ã¡«¨­¥©­ë© ®¯¥p â®p

¬®¦­® ãâ®ç­¨âì:

3.
¤ 

à¥¤«®¦¥­¨¥. ãáâì

P | ¢®§p áâ î騩 áã¡«¨­¥©­ë© ®¯¥p â®p.

@ (P  "n ) = fS 2 L+ (X n ; E ) : (8x 2 X ) S (x; x; : : : ; x) 6 P (x)g:

’®£-

3{10

‚. €.  ¤­ ¥¢

4.

à¥¤«®¦¥­¨¥ [3, 2.1.8 (1)].

ãáâì

P1 ; : : : ; Pn | áã¡«¨­¥©­ë¥ ®¯¥p â®-

pë. ’®£¤  á¯p ¢¥¤«¨¢® ¯p¥¤áâ ¢«¥­¨¥:

@

n
_
i=0

Pi

!
=

[

0  @P0 +


+ n  @Pn : 0 ; 1; : : : ; n 2 Orth+ (E );
n
X
i=0

5.

’¥®à¥¬  [2, 3.6].

„«ï ®¯¥p â®p 

T

2 Lr (X; E )



i = IE :

á«¥¤ãî騥 ã⢥p¦¤¥­¨ï

p ¢­®á¨«ì­ë:

(1)

®¯¥p â®p

(2)

¤«ï

L+ (X; E ) â ª¨å,
Orth+ (E ) â ª¨¥,
i Ti = 0.

T

ï¥âáï

Pn T
Pin=0 1

«î¡ëå
çâ®
çâ®

n-¤¨§êî­ªâ­ë¬;

¯®¯ p­®

i=0

=

i =

¤¨§êî­ªâ­ëå

jT j
IE

i

¨ ¤«ï ª ¦¤®£®

‚áî¤ã ­¨¦¥, ¨¬¥ï ­¥ª®â®pë© ­ ¡®p í«¥¬¥­â®¢
áç¨â âì, çâ®

T0 ; T1 ; : : : ; Tn 2
 0 ;  1 ; : : : ; n 2
0; 1; : : : ; n ¢ë¯®«­¥­®

®¯¥p â®p®¢

­ ©¤ãâáï ®p⮬®p䨧¬ë

x,1 := xn , xn+1 := x0 .

=

fx0; x1; : : : ; xn g, ãá«®¢¨¬áï

‘«¥¤ãî饥 ã⢥p¦¤¥­¨¥ ¯p¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© íª¢¨¢ «¥­â­ãî ä®p¬ã«¨p®¢ªã ®¯p¥¤¥«¥­¨ï ¯®«®¦¨â¥«ì­®£®

6.

’¥®à¥¬  [2, 3.4].

ãáâì

n-¤¨§ê⭮£® ®¯¥p â®p .
X , E | ¢¥ªâ®p­ë¥ p¥è¥âª¨, T

2 L+ (X; E )

.

‘«¥¤ãî騥 ã⢥p¦¤¥­¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ë:

(1)
(2)

T ï¥âáï n-¤¨§êî­ªâ­ë¬;
¤«ï ¢á¥å x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 X ¢ë¯®«­ï¥âáï
®¯¥p â®p

T

n
_
i=0

xi

!

=

n
_
i=0

T (x0 _


_ xi,1 _ xi+1 _


_ xn ):

3. ‘ã¡«¨­¥©­ë¥ ®¯¥à â®àë, á®åà ­ïî騥

n-áã¯à¥¬ã¬ë

A  Lr (X; E ) ­ §ë¢ ¥âáï á« ¡® ¯®p浪®¢® ®£p ­¨ç¥­­ë¬, ¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®£® x 2 X ¬­®¦¥á⢮ fT x : T 2 Ag ¯®p浪®¢® ®£p  ¯®¬­¨¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮

­¨ç¥­® ¢

7.

E.

‡ ¬¥ç ­¨¥.

¥á«®¦­® ¯p®¢¥p¨âì, ç⮠᢮©á⢮ (2) ¤«ï «¨­¥©­®£® ®¯¥-

p â®p  ¢ ⥮p¥¬¥ 6 ¢ë¯®«­ï¥âáï ¨ ¤«ï ¡®«¥¥ è¨p®ª¨å ª« áᮢ ®â®¡p ¦¥­¨©,
祬 ª« áá ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå

n-¤¨§êî­ªâ­ëå

®¯¥p â®p®¢: ¤«ï «î¡®£® á« ¡® ¯®-

p浪®¢® ®£p ­¨ç¥­­®£® ᥬ¥©á⢠ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå

T

p®¢ (  )2 ¨§

X

¢

E

¨å ¢¥på­ïï ®£¨¡ îé ï

P,

n-¤¨§êî­ªâ­ëå

®¯¥p â®-

¤¥©áâ¢ãîé ï ¯® ä®p¬ã«¥

Ž ¢¥àå­¨å ®£¨¡ îé¨å ᥬ¥©á⢠

n-¤¨§êî­ªâ­ëå

3{11

®¯¥à â®à®¢

= supfT (x) :  2 g (x 2 X ), ï¥âáï áã¡«¨­¥©­ë¬ ®¯¥p â®p®¬, 㤮¢«¥â¢®pïî騬 p ¢¥­áâ¢ã

P (x)

P

n
_

=0

!

xi

=

n
_
i

i

=0

_


_ xi,1 _ xi+1 _


_ xn )

P (x0

()

¤«ï ¢á¥å x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 X . Œ®â¨¢¨pãïáì í⨬ ­ ¡«î¤¥­¨¥¬, ¢¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騩 ª« áá áã¡«¨­¥©­ëå ®¯¥p â®p®¢.
8. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. ãáâì P : X ! E | áã¡«¨­¥©­ë© ®¯¥p â®p ¨§ X ¢ E .
ã¤¥¬ £®¢®p¨âì, çâ® P á®åp ­ï¥â n-áã¯p¥¬ã¬ë, ¥á«¨ P 㤮¢«¥â¢®pï¥â ãá«®¢¨î
(). ‚ á«ãç ¥ n = 1 £®¢®pïâ, çâ® P á®åp ­ï¥â ª®­¥ç­ë¥ ¢¥på­¨¥ £p ­¨æë.
Š ª ¬ë ãáâ ­®¢¨¬ ¯®§¦¥, 㪠§ ­­®¥ ᢮©á⢮ ï¥âáï å p ªâ¥p¨áâ¨ç¥áª¨¬
¤«ï ¨§ãç ¥¬®£® ª« áá  áã¡«¨­¥©­ëå ®¯¥p â®p®¢, ¯p¥¤áâ ¢¨¬ëå ¢ ¢¨¤¥ ¢¥på­¨å
®£¨¡ îé¨å ᥬ¥©á⢠ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå n-¤¨§êî­ªâ­ëå ®¯¥p â®p®¢.
ˆ§ã稬 ¯®¤p®¡­¥¥ ᢮©á⢠ ¢¢¥¤¥­­®£® ª« áá  ®¯¥p â®p®¢.
9. à¥¤«®¦¥­¨¥. (1) ãáâì P : X ! E | áã¡«¨­¥©­ë© ®¯¥p â®p, á®n-áã¯p¥¬ã¬ë.

åp ­ïî騩

⥫ì­ëå ®¯¥p â®p®¢.

(2)

ãáâì

Pi : X

’®£¤  ¥£® á㡤¨ää¥p¥­æ¨ «

! E (i = 1; : : : ; n)

á®á⮨⠨§ ¯®«®¦¨-

Pn
i=0 Pi

áã¡«¨­¥©­ë¥ ®¯¥p â®pë, á®åp ­ï-

î騥 ª®­¥ç­ë¥ ¢¥på­¨¥ £p ­¨. ’®£¤  ¨å á㬬 

P

n-áã¯p¥¬ã¬ë.

­¥©­ë¬ ®¯¥p â®p®¬, á®åp ­ïî騬

@P

=

ï¥âáï áã¡«¨-

C (1) ãáâì x; y 2 X , x 6 y. ’®£¤  ¨§ p áᬮâp¥­¨ï ᥬ¥©á⢠ fx0 ; : : : ; xng,
£¤¥ x0 := y ,   ¤«ï ª ¦¤®£® i = 1; : : : ; n xi := x ¢ë⥪ ¥â, çâ® P (x) 6 P (y ).
’p¥¡ã¥¬®¥ ⥯¥pì ¢ë⥪ ¥â ¨§ [3, 2.1.2].
(2) ‚®§ì¬¥¬ í«¥¬¥­âë x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 X . ’®£¤ 

_


_ xn ) = P1 (x0 _


_ xn ) +


+ Pn (x0 _


_ xn )
= P1 (x0 ) _


_ P1 (xn ) +


+ Pn (x0 ) _


_ Pn (xn )
= supfP1 (xi1 ) +


+ Pn (xin ) : i1 ; : : : ; in 2 f0; 1; : : : ; ngg:
‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ª ¦¤®¬ ­ ¡®p¥ fi1 ; : : : ; in g ®âáãâáâ¢ã¥â ¯® ªp ©­¥© ¬¥p¥
®¤¨­ í«¥¬¥­â ¨§ ¬­®¦¥á⢠ f0; 1; : : : ; ng. ®í⮬ã, 㯮p冷稢 ¢§ï⨥ áã¯p¥P (x0

¬ã¬®¢, ¯®«ã稬:

P (x 0

_ x1 _


_ xn ) =
i1 ; : : : ; in

=

n 
_
i

=0

P1 (x0

n
_

=0

i

sup

n

P1 (xi1 ) +




+ Pn (xin ) :
o

2 f0; : : : ; i , 1; i + 1; : : : ; ng

_


_ xi,1 _ xi+1 _


_ xn )+


+ Pn (x0 _


_ xi,1 _ xi+1 _


_ xn )



3{12

‚. €.  ¤­ ¥¢
n
_

=

i

=0

P (x

0 _


_ x ,1 _ x +1 _


_ x
i

i

)

n ;

B

çâ® ¨ âp¥¡®¢ «®áì ¤®ª § âì.

®ª ¦¥¬, çâ® ¯p¥¤«®¦¥­¨¥ 9 (2) ­¥«ì§ï ®¡p â¨âì. ®«¥¥ ⮣®, ¤«ï ª ¦¤®©
¢¥ªâ®p­®© p¥è¥âª¨

­ ©¤¥âáï

E

E -§­ ç­ë©

áã¡«¨­¥©­ë© ®¯¥p â®p, á®åp ­ïî-

騩 2-áã¯p¥¬ã¬ë, ­® ­¥ ïî騩áï á㬬®© ¤¢ãå áã¡«¨­¥©­ëå ®¯¥p â®p®¢,
á®åp ­ïîé¨å ª®­¥ç­ë¥ ¢¥på­¨¥ £p ­¨.
ãáâì

10. à¨¬¥à.

¦¥­¨¥ ¨§

E  E

¢

E,

E

p(x; y )

’®£¤ 

p

| ¯p®¨§¢®«ì­ ï ¢¥ªâ®p­ ï p¥è¥âª ,

p

| ®â®¡p -

¤¥©áâ¢ãî饥 ¯® ¯p ¢¨«ã
= (x + y )

+

,

(x; y )




2 E  E :

ï¥âáï áã¡«¨­¥©­ë¬ ®¯¥p â®p®¬, á®åp ­ïî騬 2-áã¯p¥¬ã¬ë. p®-

¢¥p¨¬, ­ ¯p¨¬¥p, ¯®á«¥¤­¥¥ ᢮©á⢮. ‚®§ì¬¥¬ ¯p®¨§¢®«ì­ë¥ í«¥¬¥­âë
(x0 ; y0 ),

1

e

= (x1 ; y1 ),

2

e

= (x2 ; y2 ) ¨§

E  E.

’®£¤ 

+=
p(e0 _ e1 _ e2 ) = (x0 _ x1 _ x2 + y0 _ y1 _ y2 )

2
_
i;j

(xi + yj )

=0

0

=

e

+:

‘ ¤p㣮© áâ®p®­ë,

0 _ e1 ) _ p(e0 _ e2 ) _ p(e1 _ e2 )

p(e

+
+
+
= (x0 _ x1 + y0 _ y1 ) _ (x0 _ x2 + y0 _ y2 ) _ (x1 _ x2 + y1 _ y2 ) =

2
_
i;j

’ ª¨¬ ®¡p §®¬, p(e0 _ e1 _ e2 ) = p(e0 _ e1 ) _ p(e0 _ e2 ) _ p(e1 _ e2 ), â. ¥.

+:

(xi + yj )

=0
p

á®åp ­ï¥â

2-áã¯p¥¬ã¬ë.

®ª ¦¥¬, çâ®

p

­¥ p §« £ ¥âáï ¢ á㬬㠤¢ãå áã¡«¨­¥©­ëå ®¯¥p â®p®¢,

á®åp ­ïîé¨å ª®­¥ç­ë¥ ¢¥på­¨¥ £p ­¨.

1 + p2 ,

p

£¤¥

䨪á¨p㥬
pi (x; x)

| áã¡«¨­¥©­ë¥ ®¯¥p â®pë á 㯮¬ï­ãâë¬ á¢®©á⢮¬.
2g. ‘­ ç «  ¯p®¢¥p¨¬, çâ®

(
) >
(
> 0 ¤«ï ¢á¥å

­¥p ¢¥­á⢠
çâ®

1 2

p ;p

i 2 f1;

p¥¤¯®«®¦¨¬ ®¡p â­®¥: ¯ãáâì

pi x; y

pi x ^ y; x ^ y )

((x; y )

pi

> 0.

2 E  E ),

p

=

‡ -

‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ᨫã
¤®áâ â®ç­® ¯p®¢¥p¨âì,

x 2 E.

„¥©á⢨⥫쭮, ¨§ ᮮ⭮襭¨©:

1 (x; x) + p2 (x; x) = 2x+ ;
+ +
+ +
+
p1 (x ; x ) + p2 (x ; x ) = 2x ;
+ +
p (x; x) 6 p (x ; x )

p

i

á«¥¤ã¥â, çâ®
â®

pi (x; x)

i

+ ; x+ ) = p (x; x) (i = 1; 2).

pi (x

> 0. ˆâ ª,

i

pi (x; y )

> 0 ¤«ï ¢á¥å (

€ â ª ª ª

pi (x

x; y ) 2 E  E .

+ ; x+ ) = (p (x; x))+ ,
i

n

Ž ¢¥àå­¨å ®£¨¡ îé¨å ᥬ¥©á⢠

3{13

-¤¨§êî­ªâ­ëå ®¯¥à â®à®¢

’¥¯¥pì ¨§ ãp ¢­¥­¨©

x + y)+ = p1(x; y) + p2 (x; y);
,
(x + y ) = p1 (,x; ,y ) + p2 (,x; ,y )
¢ë⥪ ¥â, çâ® pi (x; y ) ^ pi (,x; ,y ) = 0 ((x; y ) 2 E  E ). ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, jx + y j =
(x + y )+ + (x + y ), = p1 (x; y ) _ p1 (,x; ,y ) + p2 (x; y ) _ p2 (,x; ,y ) = p1 (jxj; jy j) +
p2 (jxj; jyj) = jxj + jyj.
Ÿá­®, çâ® ¯®«ã祭­®¥ ᮮ⭮襭¨¥ jx+y j = jxj+jy j ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï ¢á¥å
x; y 2 E . p®â¨¢®p¥ç¨¥. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, p ­¥«ì§ï ¯p¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë
(

¤¢ãå áã¡«¨­¥©­ëå ®¯¥p â®p®¢, á®åp ­ïîé¨å ª®­¥ç­ë¥ ¢¥på­¨¥ £p ­¨æë.

®«¥¥ £«ã¡®ª¨¥ ¢§ ¨¬®á¢ï§¨ ¬¥¦¤ã áã¡«¨­¥©­ë¬¨ ®¯¥p â®p ¬¨, á®åp ­ïî騬¨

n-áã¯p¥¬ã¬ë, ¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬¨ n-¤¨§êî­ªâ­ë¬¨ ®¯¥p â®p ¬¨ p á-

ªp뢠îâáï ¯p¨ ¨§ã祭¨¨ £¥®¬¥âp¨¨ ¢®§­¨ª îé¨å á㡤¨ää¥p¥­æ¨ «®¢.

4. ‘â஥­¨¥ á㡤¨ää¥à¥­æ¨ « 
‘ä®p¬ã«¨p㥬 å p ªâ¥p¨§ æ¨î áã¡«¨­¥©­®£® ®¯¥p â®p , á®åp ­ïî饣®

n-áã¯p¥¬ã¬ë, ¢ â¥p¬¨­ å ¥£® á㡤¨ää¥p¥­æ¨ « .
11.

’¥®à¥¬ . „«ï ¢®§p áâ î饣® áã¡«¨­¥©­®£® ®¯¥p â®p 

P :X!E

á«¥¤ãî騥 ã⢥p¦¤¥­¨ï p ¢­®á¨«ì­ë:

(1)

P

(2)

¤«ï ª ¦¤®£® ­ ¡®p 

á®åp ­ï¥â

n

-áã¯p¥¬ã¬ë;

t = (T0 ; T1; : : :; Tn )
Ti 2 L+ (X; E ) (i =
P
n
0; 1; : : :; n)
 = (0; 1; : : :; n)
i=0 Ti 2 @P
P
n
+
Orth (E )
j =0 j = IE
0 0 T0 ::: T0 ::: T0 1
BB T01 01 : : : Tii1 : : : Tnn1 CC
CC
BB
A=B
BB T0j T1j : : : 0 : : : Tnj CCC ;
CA
B@
,

, £¤¥

áãé¥áâ¢ã¥â ­ ¡®p

, ¤«ï ª®â®pëå

£¤¥

í«¥¬¥­â®¢

¨ ­ ©¤¥âáï ¬ âp¨æ 

.
.
.

.
.
.

.
.
.

.
.
.

.

.

.

.
.
.

.
.
.

.
.
.

.

.

.

.
.
.

T0n T1n : : : Tin : : : 0
Tij 2 L+ (X; E ) Tij = 0 (i = 0; 1; : : :; n; j = 0; 1; : : :; n)
A
@P
Pn  T j = T
i = 0; 1; : : :; n
A=t
i
j =0 j i
C Ž¯p¥¤¥«¨¬ á«¥¤ãî騥 ®â®¡p ¦¥­¨ï ¨§ X n+1 ¢ E :
,

ª ¦¤®© áâp®ª¨ ¬ âp¨æë
¢¥¤«¨¢® p ¢¥­á⢮

, ¨ á㬬  í«¥¬¥­â®¢

«¥¦¨â ¢ á㡤¨ää¥p¥­æ¨ «¥

P (x0; x1; : : :; xn ) = P

, â ª ï, çâ® á¯p -

¤«ï ¢á¥å

, â. ¥.

_n !

i=0

xi ;

Pi (x0 ; x1; : : :; xn) := P (x0 _ x1 _


_ xi,1 _ xi+1 _


_ xn );

.

3{14
£¤¥ (x0; x1; : : : ; x ) X +1, i 0; 1; : : :; n . ’®£¤  ä㭪樨 P : X +1 E ,
P : X +1
E (i = 0; 1; : : : ; n) ïîâáï
áã¡«¨­¥©­ë¬¨ ®¯¥p â®p ¬¨, ¤«ï
W
ª®â®pëå ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ P = =0 P , çâ®Wp ¢­®á¨«ì­® p ¢¥­áâ¢ã ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å á㡤¨ää¥p¥­æ¨ «®¢, â. ¥. @P = @ ( =0 P ). ãáâì " +1 | ª®­¥ç­®¯®p®¦¤¥­­ë© ª ­®­¨ç¥áª¨© ®¯¥p â®p ¨§ X +1 ¢ X . ‚®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì
ä®p¬ã«®© ¨§ ¯p¥¤«®¦¥­¨ï 3, ¢ë¢®¤¨¬
‚. €.  ¤­ ¥¢

n

n

i

n

2

2 f

n

g

!

!

n

i

i

n

= (x0; x1; : : : ; x )

@P

f

n

!

i

i

n

n

T0 x0 + T1 x1 +


+ T x
: T 2 L+ (X; E )(i = 0; 1; : : : ; n);
n

XT

n

n

i

=0

i 2

@P g:

i

€­ «®£¨ç­®, ¤«ï ª ¦¤®£® i = 0; 1; : : : ; n á¯p ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥
@P

i

= (x0; x1; : : : ; x )
f

n

!



0 x0 +

i
2
j

j






+  ,1 x ,1 +  +1 x +1 +
i
j

i
j

i






X

i

n

L+ (X; E ) (j = 0; 1; : : : ; n; j 6= i)

=0 6=

+ x :
i
n



i
2
j

n

@P g:

 ª®­¥æ, ¢ëç¨á«ïï á㡤¨ää¥p¥­æ¨ « @ (W =0 P ) ᮣ« á­® ¯p¥¤«®¦¥­¨î 4 ¨
áp ¢­¨¢ ï á @P , ¯®«ã稬 âp¥¡ã¥¬ë© p¥§ã«ìâ â. B
¨¦¥á«¥¤ãîé ï ⥮p¥¬  ï¥âáï ª«î祢®© ¤«ï ¯®­¨¬ ­¨ï ¢§ ¨¬®á¢ï§¥©
¬¥¦¤ã áã¡«¨­¥©­ë¬¨ ®¯¥p â®p ¬¨, á®åp ­ïî騬¨ n-áã¯p¥¬ã¬ë ¨ ¨å «¨­¥©­ë¬¨  ­ «®£ ¬¨ | n-¤¨§êî­ªâ­ë¬¨ ®¯¥p â®p ¬¨.
j

;j

i

n

i

i

12.

’¥®à¥¬ . Šp ©­¨¥ â®çª¨ á㡤¨ää¥p¥­æ¨ «  áã¡«¨­¥©­®£® ®¯¥p â®-

n-áã¯p¥¬ã¬ë, ïîâáï n-¤¨§êî­ªâ­ë¬¨ ®¯¥p â®p ¬¨.
C ãáâì T 2 Ch(P ). „«ï ⮣®, ç⮡ë ãáâ ­®¢¨âì âp¥¡ã¥¬®¥, ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ªp¨â¥p¨¥¬ 6 n-¤¨§ê⭮£® ®¯¥p â®p . „«ï í⮣® ¢®§ì¬¥¬ ®¯¥p â®pë
T0 ; T1 ; : : : ; T 2 L+ (X; E ) â ª¨¥, çâ® T ? T (i 6= j ), =0 T = T . ‚ ᨫã
⥮p¥¬ë 11 ­ ©¤¥âáï ᥬ¥©á⢮ ®¯¥p â®p®¢ fT 2 L+ (X; E ) : i = 0; 1; : : : ; n; j =
0; 1; : : : ; ng ¨ ­ ¡®p ®p⮬®p䨧¬®¢ 0; 1; : : : ;  2 Orth+ (E ), 㤮¢«¥â¢®pïî-

p , á®åp ­ïî饣®

P

n

n

i

j

i

j

i

i

n

é¨å á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬:
(1) T = 0 ¤«ï ¢á¥å i = 0; 1; : : : ; n;
P =0 T @P ¤«ï ª ¦¤®£® j 0; 1; : : : ; n ;
(2)
P =0  = I ;
(3)
P =0  T = T ¤«ï ¢á¥å i = 0; 1; : : : ; n.
(4)
„«ï ª ¦¤®£® j 0; 1; : : : ; n ®¡®§­ ç¨¬ S := P =0 T . ‘®£« á­® ãá«®¢¨î
(2) ¢ë¯®«­¥­® S @P . Šp®¬¥
⮣®,
á㬬¨pãï ¯®
i = 0; : : : ; n ¢ ᮮ⭮襭¨¨
P
P
P
(4), ¯®«ã稬 p ¢¥­á⢮ T = =0 =0  T = =0  S . ‡ ä¨ªá¨p㥬 j
0; 1; : : : ; n . ‚ ᨫã ⥮p¥¬ë 2 ¢ë¯®«­¥­® p ¢¥­á⢮  S =  T . Žâá á
ãç¥â®¬ (4) ¨§ ¤¨§ê⭮á⨠ᥬ¥©á⢠ T : i = 0; : : : ; n ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¤«ï
j

i

n

j

i
n

i

i

i

n

2 f

g

E

j

j

j

2

i

i

2 f

g

j

n

j

i

i

j 2

f

n

n

i

j

j

j

n

i

j

g

j

j

f

i

2

j

j

g

j

Ž ¢¥àå­¨å ®£¨¡ îé¨å ᥬ¥©á⢠

i

= 0

6=

j

j Tij

3{15

Tj . ’¥¯¥pì,
á㬬¨pãï ¯® i, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ë¯®«­¥­® j Sj ? Tj . ® ¯®áª®«ìªã j Sj = j T ,
â® ¨§ ­¥p ¢¥­á⢠0 6 j Tj 6 j T ¨ 0 6 j Tj 6 Tj ¢ë¢®¤¨¬ 0 6 j Tj 6
j T ^ Tj = 0, â. ¥. j Tj = 0. ‚ ᨫ㠯p®¨§¢®«ì­®á⨠j , ¯p¨¢«¥ª ï ⥮p¥¬ã 5,
¯®«ã稬, çâ® T ï¥âáï n-¤¨§êî­ªâ­ë¬ ®¯¥p â®p®¬. B
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ á«ãç ¥, ª®£¤  n = 1 ¨ E | p áè¨p¥­­®¥ K -¯p®áâp ­á⢮,
ª ¦¤®£®

; : : : ; n, i

n-¤¨§êî­ªâ­ëå ®¯¥à â®à®¢

¢ë¯®«­ï¥âáï ᮮ⭮襭¨¥

?

⥮p¥¬ë 11 ¨ 12 ¡ë«¨ p ­¥¥ ¯®«ãç¥­ë ‘. ‘. Šãâ â¥« ¤§¥ (á¬. ­ ¯p¨¬¥p, [3,
2.5.7, 2.5.8]).

5. Žá­®¢­®© १ã«ìâ â
’¥¯¥pì ãáâ ­®¢¨¬ ®á­®¢­®© p¥§ã«ìâ â | å p ªâ¥p¨§ æ¨¨ áã¡«¨­¥©­ëå ®¯¥p â®p®¢, ¯p¥¤áâ ¢¨¬ëå ¢ ¢¨¤¥ ¢¥på­¨å ®£¨¡ îé¨å ᥬ¥©á⢠ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå

n-¤¨§êî­ªâ­ëå ®¯¥p â®p®¢.
13.

’¥®à¥¬ . „«ï áã¡«¨­¥©­®£® ®¯¥p â®p 

P

á«¥¤ãî騥 ã⢥p¦¤¥­¨ï

p ¢­®á¨«ì­ë:

(1) P ¯p¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ ¢¥på­¥© ®£¨¡ î饩 ᥬ¥©á⢠ ¯®«®¦¨â¥«ìn-¤¨§êî­ªâ­ëå ®¯¥p â®p®¢;
(2) P ï¥âáï ®¯¥p â®p®¬, á®åp ­ïî騬 n-áã¯p¥¬ã¬ë;
(3) P ¤®¯ã᪠¥â ¯p¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ á㯥p¯®§¨æ¨¨ áã¡«¨­¥©­®£®
®¯¥p â®p , á®åp ­ïî饣® ª®­¥ç­ë¥ ¢¥på­¨¥ £p ­¨æë, ¨ n-¤¨§ê⭮£® ®¯¥-

­ëå

p â®p .

C (1)

) (2).

‘®£« á­® ⥮p¥¬¥ Šp¥©­  | Œ¨«ì¬ ­  ¤«ï á㡤¨ää¥p¥­æ¨-

P (x) = supfT (x) :
T 2 Ch(P )g. ‚®§ì¬¥¬ ¯p®¨§¢®«ì­ë¥ í«¥¬¥­âë x0 ; x1 ; : : : ; xn 2 X . ˆ§ ⥮p¥¬ë 12 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ®¯¥p â®pë ’ 2 Ch(P ) ïîâáï n-¤¨§êî­ªâ­ë¬¨,  ,
§­ ç¨â, á®åp ­ïîâ n-áã¯p¥¬ã¬ë (⥮p¥¬  6). Žâá «¥£ª® ¢ë¢®¤¨¬ âp¥¡ã¥ «®¢ (á¬. [3, 2.2.2]) ¤«ï ¢á¥å

x2X

¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥

¬®¥.

P (x) =
x 2 X ) ¨ ⥮p¥¬ë 12.
(2) ) (3). ãáâì T 2 Ch(P ). ’®£¤ , ª ª ¨§¢¥áâ­®, (á¬. [3, 2.1.4, 2.2.2)])
¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯p¥¤áâ ¢«¥­¨¥ P = "0
Q hQi, £¤¥ Q = Ch(P ) ¨ «¨­¥©­ë© ®¯¥p â®p hQi : X ! l1 (Q; E ) ¤¥©áâ¢ã¥â ¯® ¯p ¢¨«ã: hQi(x) := (’ ! ’x),
T 2 Q, â. ¥. hQi(x) | äã­ªæ¨ï ¨§ l1 (Q; E ), ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ª ¦¤®¬ã
T 2 Q í«¥¬¥­â T x. Žç¥¢¨¤­®, çâ® ª ­®­¨ç¥áª¨© ®¯¥p â®p "Q á®åp ­ï¥â ª®(2)

)

T x T

supf ( ) :

(1).
2

Žç¥¢¨¤­® ¢ ᨫã áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¯p¥¤áâ ¢«¥­¨ï

P

Ch( )g (

­¥ç­ë¥ ¢¥på­¨¥ £p ­¨æë, ¯®í⮬㠢 ᨫã ⥮p¥¬ë 6 ¤«ï § ¢¥p襭¨ï ¤®ª § -

hQi á®åp ­ï¥â n-áã¯p¥¬ã¬ë.
‡ ä¨ªá¨p㥬
x0 ; x1; : : : ; xn 2 X , T 2 Q. ˆ§ ⥮p¥¬ë 12 ¢ë⥪ ¥â, çâ® Q á®á⮨⠨§ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå n-¤¨§êî­ªâ­ëå ®¯¥p â®p®¢,  , §­ ç¨â, ¢ë¯®«­¥­®
Vn x )(’) = ’(Vn x ) = Vn T (x _


_ x _ x _


_ x ). ‘ ¤p㣮©
hQi(
0
i,1 i+1
n
i=0 i
i=0 i
i=0

⥫ìá⢠ ®áâ ¥âáï ¯®ª § âì, çâ®
í«¥¬¥­âë

3{16

‚. €.  ¤­ ¥¢

áâ®p®­ë, ¯®áª®«ìªã ¯®p冷ª ¢

_

1 (Q; E ) ¯®â®ç¥ç­ë©, á¯p ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥

l

!

n

i

0 _


_ xi,1 _ xi+1 _


_ xn )

hQi(x

=0

_

(T )

n

=

i

hQi(x

=0

_

0 _


_ xi,1 _ xi+1 _


_ xn )(T )

n

=

i

=0

T (x

0 _


_ xi,1 _ xi+1 _


_ xn ):

‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¢ë¯®«­¥­® p ¢¥­á⢮
xi

hQi

W

(

+1 _


_ xn ), çâ® ¨ âp¥¡®¢ «®áì ¤®ª § âì.

n
i

=0 xi ) =

W

n
i

=0 hQi(x0 _


_ xi,1 _

(3) ) (2). ‹¥£ª® ¯p®¢¥pï¥âáï á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ å p ªâ¥p¨§ æ¨¨ 6

î­ªâ­ëå ®¯¥p â®p®¢ ª ª ®¯¥p â®p®¢, á®åp ­ïîé¨å

n-áã¯p¥¬ã¬ë.

B

n-¤¨§ê-

‹¨â¥à âãà 
1. Bernau S. J., Huijsmans C. B., de Pagter B. Sums of lattice homomorphisms // Proc.
Amer. Math. Soc.|1992.|V. 115, No. 1.|P. 151{156.
2. Radnaev V. €. On n-disjoint operators // Siberian Adv. Math.|1997.|V. 7, No. 4.|
P. 45{79.
3. Šãáp ¥¢ €. ƒ., Šãâ â¥« ¤§¥ ‘. ‘. ‘㡤¨ää¥p¥­æ¨ «ë. ’¥®p¨ï ¨ ¯p¨«®¦¥­¨ï.|
®¢®á¨¡¨páª:  ãª , 1992.|269 á.
4. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive operators.|New York: Akad. Press, 1985.
5. Kusraev A. G. Dominated Operators.|Dordrecht: Kluwer, 2000.|446 á.
£. “« ­-“¤¥

‘â âìï ¯®áâ㯨«  26 ¨î«ï 2001