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ˆî«ì{ᥭâï¡àì, 2002, ’®¬ 4, ‚ë¯ã᪠3

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¨á¯®«ì§®¢ « ¨­â¥£à « ¨¬ ­  | ‘⨫âì¥á  ¢¬¥áâ® ¨­â¥£à «  ‹¥¡¥£ . ‚ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ª®¬¯ ªâ 



Q ¤«ï ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ä㭪樮­ «®¢ ã⢥ত¥­¨¥ 1.1 ᮤ¥à¦¨âáï

c 2002 Šãáà ¥¢ €. ƒ., Œ «î£¨­ ‘. €.

3{35

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¯® áãé¥áâ¢ã ¢ à ¡®â¥ €. €. Œ àª®¢  [15] 1938 £®¤ , å®âï ®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ­¥ ¯à¨¢®¤¨âáï. ®ç⨠¢ 㪠§ ­­®¬ ¢¨¤¥ ⥮६  1.1 ãáâ ­®¢«¥­  ‘. Š ªãâ ­¨ [26] ¢ 1941 £®¤ã.
Ž¤­ ª® á«¥¤ã¥â ¯®¤ç¥àª­ãâì, ç⮠ᮢ६¥­­ ï ä®à¬  ⥮६ë 1.1,   â ª¦¥ à §«¨ç­ë¥

¥¥ ¢ à¨ ­âë, ­ §ë¢ ¥¬ë¥ ç á⮠⥮६ ¬¨ ¨áá  ® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨, | ¤¥«® à㪠£®à §¤® ¡®«ì襣® ç¨á«  ¬ â¥¬ â¨ª®¢ (†. €¤ ¬ à, €. „. €«¥ªá ­¤à®¢, ‘.  ­ å, ˆ.  ¤®­,
‘. ‘ ªá, Œ. ”à¥è¥, . •¥««¨, ¨ ¤à.).  ­­îî ¨áâ®à¨î â¥®à¥¬ë ¨áá  ® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ á¬. ¢ áâ âì¥ „¦. „. ƒà¥ï [25],   à §«¨ç­ë¥  á¯¥ªâë, ®¡®¡é¥­¨ï ¨ ¯à¨«®¦¥­¨ï |
¢ ®¡§®à å „¦.  ââ  [18] ¨ . ”. ‚¨«¥à  [45]. Šà âª¨© ¨áâ®à¨ç¥áª¨© ª®¬¬¥­â à¨© ¯®
í⮬㠢®¯à®áã ¨¬¥¥âáï ¨ ¢ ª­¨£ å . „¨­ªã«ï­ã [22], „¦. „¨áâ¥«ï ¨ „¦. “«ï [21],
‡. ‘¥¬ ¤¥­¨ [44], . ¤¢ à¤á  [17].
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¬¥àë (¢­¥è­¨¥ ¯«®â­®áâ¨), ¯®áª®«ìªã ¤«ï ­¥ª®¬¯ ªâ­®£®

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Cb (Q).

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A(Q)) | ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ëå ॣã«ïà­ëå
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⥮६ë 1 ¨ 2].

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1.3. ’¥®à¥¬  €«¥ªá ­¤à®¢ . „«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­áâ-

Q ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ý¡í஢᪨©þ ¢ à¨ ­â ⥮६ë 1.2, â. ¥. ⥮६  1.2 ®áâ ¥âáï ¢ ᨫ¥,
¥á«¨ § ¬¥­¨âì  «£¥¡àã A(Q) ­   «£¥¡àã A0 (Q), ¯®à®¦¤¥­­ãî ¢á¥¬¨ ä㭪樮­ «ì­®
®âªàëâ묨 ¬­®¦¥á⢠¬¨ ¢ Q.
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⮯®«®£¨ç¥áª¨¥. ‚ ç áâ­®áâ¨, ¢ ª ç¥á⢥ ᮢ®ªã¯­®á⨠¢á¥å ®âªàëâëå ¬­®¦¥á⢠¬®¦-

­® à áᬠâਢ âì ä㭪樮­ «ì­® ®âªàëâë¥ ¬­®¦¥á⢠, ¤«ï ª®â®àëå  ªá¨®¬  ­®à¬ «ì­®á⨠¢ë¯®«­ï¥âáï  ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. ’¥¬ á ¬ë¬, âॡ㥬®¥ ï¥âáï ç áâ­ë¬ á«ãç ¥¬ [2; ⥮६ë 1 ¨ 2].

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K -¯à®áâà ­á⢥ ¢¯¥à¢ë¥ ¯®«ã稫, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, . . Šà¨á⨠­ [20],   § â¥¬ ¯®¢â®à¨«

3{36

€. ƒ. Šãáà ¥¢, ‘. €. Œ «î£¨­

…. ¥àæ [19]. ‚ à¨ ­âë íâ¨å १ã«ìâ â®¢ ¯®«ã祭ë â ª¦¥ ¢ à ¡®â å ‡. ‹¨¯¥æª®£® [33,
36]. ‚ᥠ㯮¬ï­ãâë¥ à ¡®âë ᮤ¥à¦ âáï ¢ ªà㣥 ¨¤¥© €. €. Œ àª®¢  ¨ €. „. €«¥ªá ­¤à®¢  ¨, ¯® áãé¥áâ¢ã,  ¤ ¯â¨àãîâ à áá㦤¥­¨ï, ¨§¢¥áâ­ë¥ ¤«ï ᪠«ïà­®£® á«ãç ï.
à¨­æ¨¯¨ «ì­® ­®¢ë¥ ¨¤¥¨ ¯®ï¢¨«¨áì ¢ á¢ï§¨ á à ¡®â ¬¨ Œ.  ©â  [46{51]. Œ.  ©â ®¡­ à㦨«, ¢ ç áâ­®áâ¨, çâ® § ¤ ç  ¯à®¤®«¦¥­¨ï ¬¥àë á® §­ ç¥­¨ï¬¨ ¢ K -¯à®áâà ­á⢥
­¥ à §à¥è¨¬  ¬¥â®¤®¬ Š à â¥®¤®à¨, ¢ á¢ï§¨ á 祬 ®­ ¢¢¥« ¯®­ï⨥ ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®©
¬¥àë. „à㣮© ¯®¤å®¤ ª § ¤ ç¥ ¯à®¤®«¦¥­¨ï ¬¥àë ­ è¥« ‘. •ãà ­  [27, 28].  §­ë¥
 á¯¥ªâë í⮣® ¦¥ ªà㣠 ¯à®¡«¥¬ ¨§ãç «¨ €. ƒ. Šãáà ¥¢ ¨ ‘. €. Œ «î£¨­ [10, 11],
’. ‚.  ­ç¥¯ £¥á ­ ¨ ˜. ‚.  ««¥¤ [37, 38], „. ”६«¨­ [23], . ¨ç ­ [40, 41] ¨ ¤à.
–¥«ì ­ áâ®ï饩 à ¡®âë | ¤®ª § âì â¥®à¥¬ë €. „. €«¥ªá ­¤à®¢  ¨ €. €. Œ àª®¢  (⥮६ë 1.2 ¨ 1.3) ¤«ï ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¢ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥
¯à®áâà ­á⢠. ã¤¥¬ ¯à¨¤¥à¦¨¢ âìáï â¥à¬¨­®«®£¨¨ ¨ ®¡®§­ ç¥­¨© ¨§ ¬®­®£à ä¨© [5,
8, 9, 31].
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2. ‚ᯮ¬®£ â¥«ì­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï

 ¯®¬­¨¬ ­¥ª®â®àë¥ ¯®­ïâ¨ï ¨ ä ªâë ¨§ ⥮ਨ ¢¥ªâ®à­ëå ¬¥à ¨ ⥮ਨ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ëå ¯à®áâà ­áâ¢. ®¤à®¡­®á⨠¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [10] ¨ [31].
2.1. ãáâì A | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¡ã«¥¢   «£¥¡à . Žâ®¡à ¦¥­¨¥ , ®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ­ 
A ¨ ¤¥©áâ¢ãî饥 ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¢¥ªâ®à­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ Z , ­ §ë¢ îâ (ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­®© ¢¥ªâ®à­®© ) ¬¥à®©, ¥á«¨ (a1 _ a2 ) = (a1 ) + (a2 ) ¤«ï «î¡®© ¯ àë ¤¨§êî­ªâ­ëå í«¥¬¥­â®¢ a1 ; a2 2 A. ãáâì Z = F | ¢¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª . Œ¥àã  : A ! F
­ §ë¢ îâ ®£à ­¨ç¥­­®©, ¥á«¨ (A) | ¯®à浪®¢® ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¢ F . …᫨
¦¥ (a) >, 0 ¤«ï ¢á¥å

a 2 A, â®  ¨¬¥­ãîâ ¯®«®¦¨â¥«ì­®©. Ž¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬
ba(A; F ) ba+ (A; F ) ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå (¯®«®¦¨â¥«ì­ëå) ¢¥ªâ®à­ëå
¬¥à, ®¯à¥¤¥«¥­­ëå ­  A ¨ ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¢ F . Ÿá­®, çâ® ¯à®áâà ­á⢮ ba(A; F ) á
®¯¥à æ¨ï¬¨, ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë¬¨ ¨§ F A , ¨ 㯮à冷祭­®¥ ª®­ãᮬ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ¬¥à
ba+ (A; F ), ¡ã¤¥â 㯮à冷祭­ë¬ ¢¥ªâ®à­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬.
à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® Y | à¥è¥â®ç­®-­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ ¤ ¢¥ªâ®à­®©
à¥è¥âª®© F ¨ ¢®§ì¬¥¬ ¢¥ªâ®à­ãî ¬¥àã  : A>
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­  A ¨ ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¢ Y . …᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ­ ¨¬¥­ì訩 í«¥¬¥­â ¢ ¬­®¦¥á⢥ maj()
¢á¥å ¬ ¦®à ­â ¬¥àë  (®â­®á¨â¥«ì­® ¯®à浪 , ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­®£® ¨§ ba(A; F )), â® ¥£®
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>. Œ ¦®à¨à㥬ãî ¬¥à㠯ਭïâ® ­ §ë¢ âì â ª¦¥ ¬¥à®© ®£à ­¨ç¥­­®©
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¢¥ªâ®à­®© ¢ à¨ æ¨¨ ,   â®ç­ãî ¬ ¦®à ­âã >> | ¢¥ªâ®à­®© ¢ à¨ æ¨¥© ¬¥àë .
ãáâì dca(A; Y ) | ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å áç¥â­®  ¤¤¨â¨¢­ëå ¬¥à, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¨§
A ¢ Y . ‘ç¥â­ ï  ¤¤¨â¨¢­®áâì  2 da(A; Y ) ®§­ ç ¥â, ª ª ®¡ëç­®, çâ® ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®á⨠¯®¯ à­® ¤¨§êî­ªâ­ëå í«¥¬¥­â®¢ (an )  A ¢ë¯®«­ï¥âáï

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k=1



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¯à®áâà ­á⢠ ­ ¤ E ¨ F ᮮ⢥âá⢥­­®. ‚®§ì¬¥¬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à T : X ! Y ¨
¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ®¯¥à â®à S : E ! F . …᫨ ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥
2.2.

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â® ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® S ¬ ¦®à¨àã¥â T ¨«¨, çâ® S ï¥âáï ¬ ¦®à ­â®© ®¯¥à â®à 
T . ‚ í⮩ á¨âã æ¨¨ ®¯¥à â®à T ­ §ë¢ îâ ¬ ¦®à¨à㥬ë¬. ãáâì maj(T ) ®¡®§­ ç ¥â
¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¬ ¦®à ­â ®¯¥à â®à  T . Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¬ ¦®à¨à㥬ëå ®¯¥à â®à®¢
¨§ X ¢ Y ®¡®§­ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ M (X; Y ), á«¥¤®¢ â¥«ì­®,
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3{38

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2.3. ãáâì G | à áè¨à¥­­®¥ K -¯à®áâà ­á⢮ á ¯®à浪®¢®© ¥¤¨­¨æ¥© 1,
  (Y; F ) | ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® bo-¯®«­®¥ à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ ¤
K -¯à®áâà ­á⢮¬ F .  áᬮâਬ ¯®¤ «£¥¡àã A -¯®«­®© ¡ã«¥¢®©  «£¥¡àë G(1) ¥¤¨­¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢
¯à®áâà ­á⢠ G ¨ ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ãî ¬¥àã  : A ! Y á â®ç­®©
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á®áâ®ïéãî ¨§ ¢á¥å A-¯à®áâëå (ª®­¥ç­®§­ ç­ëå)
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¥â, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ x = nk=1 k ek , £¤¥ 1 ; : : : ; n 2 R ¯à®¨§¢®«ì­ë,  
e1 ; : : : ; en 2 A ¯®¯ à­® ¤¨§êî­ªâ­ë. ®«®¦¨¬

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kxk := inf f : jxj 6 1g. ’®£¤  G(1) | AM -¯à®áâà ­á⢮. ãáâì C (A) | § ¬ëª ­¨¥
S (A) ¢ AM -¯à®áâà ­á⢥ G(1). Ž¯¥à â®à I ¤®¯ã᪠¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ >
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T : C (A) ! Y
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2.4. ¨¦¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì â ª¦¥ â®â ç áâ­ë© á«ãç © á¨âã æ¨¨ 2.3, ª®£¤ 
¢ ª ç¥á⢥ à áè¨à¥­­®£® K -¯à®áâà ­á⢠ G 䨣ãà¨àã¥â ¢¥ªâ®à­ ï à¥è¥âª  RQ ¢á¥å
¢¥é¥á⢥­­ëå ä㭪権, ®¯à¥¤¥«¥­­ëå ­  ­¥¯ãá⮬ ¬­®¦¥á⢥ Q. ãáâì A |  «£¥¡à 
¯®¤¬­®¦¥á⢠¬­®¦¥á⢠ Q, â. ¥. A  P (Q). âã  «£¥¡àã ¬®¦­® ®â®¦¤¥á⢨âì á ¨§®¬®àä­®©  «£¥¡à®© å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ä㭪権 f1A := PAn: A 2 Ag, â ª çâ® S (A) |
¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å A-¯à®áâëå ä㭪権 ­  Q. …᫨ f = k=1 k Ak (A1 ; : : : ; An 2 A)
¨  2 da(A; Y ), â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î
‘®®â¢¥âá⢨¥

¯à®áâà ­áâ¢

®áãé¥á⢫ï¥â «¨­¥©­ãî ¨§®¬¥âà¨î à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­ëå
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31].
‡ ä¨ªá¨à㥬 á«¥¤ãî騥 ®¡®§­ ç¥­¨ï: Q | ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮; T :=
TQ, F := FQ ¨ K := KQ | ᮮ⢥âá⢥­­® ᮢ®ªã¯­®á⨠®âªàëâëå, § ¬ª­ãâëå ¨
ª®¬¯ ªâ­ëå ¯®¤¬­®¦¥á⢠Q; Cb (Q) | ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå ­¥¯à¥à뢭ëå
ä㭪権 ­  Q. „«ï ᥬ¥©á⢠ D ¯®¤¬­®¦¥á⢠Q ®¡®§­ ç¨¬ ᨬ¢®«®¬ 0 (D) (ᮮ⢥âá⢥­­®, (D)) ­ ¨¬¥­ìèãî ¯®¤ «£¥¡àã (ᮮ⢥âá⢥­­®, ­ ¨¬¥­ìèãî -¯®¤ «£¥¡àã)
¢ P (Q), ᮤ¥à¦ éãî D. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, ª ª ®¡ëç­®, çâ® 0 (D) ¯®à®¦¤¥­  (  (D )  -¯®à®¦¤¥­ ) ᥬ¥©á⢮¬ D .

3{39

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(1) ãáâì C 2 A.  áᬮâਬ ᥬ¥©á⢠ ¬­®¦¥á⢠KC := fK 2 K\A : K  C g
¨ FC := fD 2 F \ A : D  C g, 㯮à冷祭­ë¥ ¯® ¢ª«î祭¨î. Œ¥àã  : A ! Y
­ §ë¢ îâ à ¤®­®¢®© (¨«¨ ª¢ §¨à ¤®­®¢®© ), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® C 2 A (ᮮ⢥âá⢥­­®,
¤«ï ª ¦¤®£® C 2 T \A) ¢ë¯®«­ï¥âáï (C ) = bo-lim f(K ) : K 2 KC g. Œ¥àã  : A ! Y
­ §ë¢ îâ ॣã«ïà­®© (¨«¨ ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®© ), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® C 2 A (ᮮ⢥âá⢥­­®,
¤«ï ª ¦¤®£® C 2 T \ A) ¢ë¯®«­ï¥âáï (C ) = bo-lim f(D) : D 2 FC g.
Š ª ¢¨¤­®, ¢ á«ãç ¥ ª®¬¯ ªâ­®£® Q í⨠¤¢  ®¯à¥¤¥«¥­¨ï à ¢­®á¨«ì­ë.
(2)
 2 da(A; Y )
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(
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C ‘¬. [31; ⥮६  6.2.2.]. B
€­ «®£¨ç­ë© १ã«ìâ â ¤«ï ᢮©á⢠ ª¢ §¨à ¤®­®¢®á⨠(ª¢ §¨à¥£ã«ïà­®áâ¨) áãé¥á⢥­­® á«®¦­¥¥ ¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® «¨èì ¯à¨ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ëå âॡ®¢ ­¨ïå.
(3)
 2 da(A; Y )
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á«ãç ¥, ª®£¤  à ¤®­®¢ 

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áç¥â­®  ¤¤¨â¨¢­  ¨  «£¥¡à 

’®£¤  ¬¥à 

ॣã«ïà­®©

¥¥ ¢¥ªâ®à­ ï ¢ à¨ æ¨ï

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-¯®à®¦¤ ¥âáï ¢å®¤ï騬¨ ¢ ­¥¥ § ¬ª­ãâ묨

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¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨

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C ‘¬. [10; ⥮६  2] ¨ [31; ⥮६  6.2.3.]. B

x 3. ”®à¬ã«¨à®¢ª  ®á­®¢­ëå १ã«ìâ â®¢

‡¤¥áì ¤ ¤¨¬ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ १ã«ìâ â®¢ ® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¬ ¦®à¨à㥬ëå ®¯¥à â®à®¢. „®ª § â¥«ìá⢠ ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥.
3.1. ãáâì E | à áè¨à¥­­®¥ K -¯à®áâà ­á⢮ á ¥¤¨­¨æ¥© 1,   L | ¯®¤à¥è¥âª  E ,
ᮤ¥à¦ é ï ¥¤¨­¨æã ¨ á®áâ®ïé ï ⮫쪮 ¨§ ®£à ­¨ç¥­­ëå í«¥¬¥­â®¢. —¥à¥§ E(1) ®¡®§­ ç ¥âáï ¯®«­ ï ¡ã«¥¢   «£¥¡à  ¢á¥å ¥¤¨­¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ K -¯à®áâà ­á⢠ E . ‚ E(1)
¢ë¤¥«ï¥âáï ¯®¤à¥è¥âª  ¢á¥å ᯥªâà «ì­ëå å à ªâ¥à¨á⨪ TL = fex :  2 R; x 2 Lg ¨
¯®¤à¥è¥âª  FL = f1 , ex :  2 R; x 2 Lg. ‘¨¬¢®«®¬ TL (ᮮ⢥âá⢥­­® FL ) ®¡®§­ ç ¥¬ â®ç­ë¥ ¢¥àå­¨¥ (­¨¦­¨¥) £à ­¨æë ¢á¥¢®§¬®¦­ëå ¯®¤¬­®¦¥á⢠¨§ TL (¨§ FL ) ¨
­ §ë¢ ¥¬ í«¥¬¥­âë ¨§ TL ®âªàëâ묨,   ¨§ FL | § ¬ª­ãâ묨. …᫨ E | ᥬ¥©á⢮
í«¥¬¥­â®¢ ¨§ E(1), â® ç¥à¥§ 0 (E ) ((E )) ®¡®§­ ç ¥âáï ­ ¨¬¥­ìè ï  «£¥¡à  (- «£¥¡à ), ¯®à®¦¤¥­­ ï E . ‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¢á¥£¤  ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® Y | íâ® bo-¯®«­®¥
à¥è¥â®ç­® ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ á ­®à¬¨àãî騬 K -¯à®áâà ­á⢮¬ F .
3.2. ‚¥ªâ®à­ãî ¯®¤à¥è¥âªã L  E ­ §ë¢ îâ à §¤¥«ïî饩, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå e1 2
FL ¨ e2 2 TL, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ­¥à ¢¥­áâ¢ã e1 6 e2 , áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â x 2 L â ª®©,
çâ® e1 6 x 6 e2 . “ª ¦¥¬ ¤¢  ¯à¨¬¥à  à §¤¥«ïîé¨å ¯®¤à¥è¥â®ª.
(1) ãáâì Q | ­®à¬ «ì­®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ®«®¦¨¬ E = R Q
| ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å ¢¥é¥á⢥­­ëå ä㭪権 ­  Q,   L = Cb (Q) | ¯à®áâà ­á⢮ ¢á¥å
®£à ­¨ç¥­­ëå ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権 ­  Q. ’®£¤  L ï¥âáï à §¤¥«ïî饩 ¢¥ªâ®à­®©
¯®¤à¥è¥âª®© ¢ E .
(2) ãáâì L ï¥âáï ¯®à浪®¢ë¬ ¨¤¥ «®¬ ¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¢
à áè¨à¥­­®¬ K -¯à®áâà ­á⢥ E . ’®£¤  TL = FL = E(1) ¨ L âਢ¨ «ì­ë¬ ®¡à §®¬
ï¥âáï à §¤¥«ïî饩 à¥è¥âª®©.

3{40

€. ƒ. Šãáà ¥¢, ‘. €. Œ «î£¨­

ãáâì F  E(1) ¨ A := (F ). Œ¥àã  : A ! Y ­ §®¢¥¬ F -ॣã«ïà­®©, ¥á«¨
2 F ; a0 6 ag. ‘«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â | ¢ à¨ ­â ⥮६ë
€. „. €«¥ªá ­¤à®¢  ¤«ï ¬ ¦®à¨à㥬ëå ®¯¥à â®à®¢.
3.3. ’¥®à¥¬ .
T :L!Y

(a) = bo-lim f(a0 ) : a0

ãáâì

¤¥«ïî饩 ¯®¤à¥è¥âª¥
 ¤¤¨â¨¢­ ï

FL

| ¬ ¦®à¨àã¥¬ë© ®¯¥à â®à, § ¤ ­­ë© ­  à §-

L K -¯à®áâà ­á⢠ E . ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ª®­¥ç­®
 : A(FL ) ! Y , ¨¬¥îé ï ®£à ­¨ç¥­­ãî ¢¥ªâ®à­ãî

-ॣã«ïà­ ï ¬¥à 

¢ à¨ æ¨î, â ª ï, çâ®

Tx =
‘®¯®áâ ¢«¥­¨¥

T

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M (L; Y )

¨ ¯à®áâà ­á⢠

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C „®ª § â¥«ìá⢮ ¯à¨¢®¤¨âáï ­¨¦¥ ¢ 4.1{4.7. B
ãáâì A(Q) ®¡®§­ ç ¥â  «£¥¡àã ¬­®¦¥áâ¢, ¯®à®¦¤¥­­ãî ᮢ®ªã¯­®áâìî ®âªàëâëå ¬­®¦¥á⢠⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠ Q.
ॣã«ïà­ëå ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ëå ¬ ¦®à¨à㥬ëå ¬¥à.

3.4. ’¥®à¥¬ . ãáâì Q | ­®à¬ «ì­®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, F | ­¥ª®â®K -¯à®áâà ­á⢮,   T : Cb (Q) ! F | ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ®¯¥à â®à. ’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â
¥¤¨­á⢥­­ ï ¯®«®¦¨â¥«ì­ ï ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ ï ॣã«ïà­ ï ¬¥à   : A(Q) ! F
஥

â ª ï, çâ®

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T $ T á«ã¦¨â «¨­¥©­ë¬ ¨ ¯®à浪®¢ë¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®à­ëå
L (Cb (Q); F ) ¨ bra(A(Q); F ).
C ‘®£« á­® 3.2 L := Cb(Q) | à §¤¥«ïîé ï ¯®¤à¥è¥âª  K -¯à®áâà ­á⢠ E = RQ .

‘®®â¢¥âá⢨¥
à¥è¥â®ª

®í⮬ã âॡ㥬®¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 3.4. B
3.5.  áᬮâਬ ¡í஢᪨© ¢ à¨ ­â ⥮६ë 3.2. „«ï í⮣® ­ã¦­  ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¬®¤¨ä¨ª æ¨ï ¯®­ïâ¨ï à §¤¥«ïî饩 ¯®¤à¥è¥âª¨. ‚¥ªâ®à­ãî ¯®¤à¥è¥âªã L  E
­ §ë¢ ¥¬ -à §¤¥«ïî饩, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå e1 2 FL , e2 2 TL , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ­¥à ¢¥­áâ¢ã e1 6 e2 , áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â x 2 L â ª®©, çâ® e1 6 x 6 x2 . à¨¬¥à®¬
-à §¤¥«ïî饩 à¥è¥âª¨ ï¥âáï ¯à®áâà ­á⢮ Cb (Q), £¤¥ Q | ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.
3.6. ’¥®à¥¬ .
T : L ! Y
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ன á¯à ¢¥¤«¨¢® ¨­â¥£à «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ¨§ ⥮६ë 3.2.

C „®ª § â¥«ìá⢮  ­ «®£¨ç­® 3.2. B
ãáâì A0 (
) ®¡®§­ ç ¥â  «£¥¡àã ¬­®¦¥áâ¢, ¯®à®¦¤¥­­ãî ᮢ®ªã¯­®áâìî ä㭪樮­ «ì­® ®âªàëâëå ¬­®¦¥á⢠⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠
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3.7. ’¥®à¥¬ . ãáâì
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F

F

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’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ®£à ­¨ç¥­­ ï ª®­¥ç­®  ¤¤¨â¨¢­ ï ॣã«ïà­ ï ¬¥à 

 := T : A0 (Q) ! F

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Tx =

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Q

x(q) d(q) (x 2 Cb (Q)):

3{41

Ž ⥮६ å ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï €. „. €«¥ªá ­¤à®¢  ¨ €. €. Œ àª®¢ 

T $ T á«ã¦¨â «¨­¥©­ë¬ ¨ ¯®à浪®¢ë¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢¥ªâ®à­ëå
L (Cb (Q); F ) ¨ bra(A0 (Q); F ).
C ¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® L := Cb (Q) | -à §¤¥«ïîé ï ¯®¤à¥è¥âª  K -¯à®áâà ­á⢠ E = RQ . ®í⮬ã âॡ㥬®¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 3.6. B
3.8. ’¥®à¥¬ã 3.4 ¤«ï ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® T ãáâ ­®¢¨« . Šà¨á⨠­ [20],   § â¥¬
‘®®â¢¥âá⢨¥
à¥è¥â®ª

…. ¥àæ [19]. ¥ª®â®à®¥ ãâ®ç­¥­¨¥ í⮩ ⥮६ë ᮤ¥à¦¨âáï ¢ à ¡®â¥ ‡. ‹¨¯¥æª®£® [36]. ’¥®à¥¬ã 3.7 ¯®«ã稫 ‡. ‹¨¯¥æª¨ ¢ [36]. Ž ¤à㣨å à §­®¢¨¤­®áâïå ⥮६ë
¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ⨯  ¨áá  á¬. …. ¥àæ [19], „¦. „¨áâ¥«ì ¨ „¦. “«ì [21], €. ƒ. Šãáà ¥¢
¨ ‘. €. Œ «î£¨­ [10], ’.  ­ç ¯ £¥á ­ ¨ ˜. ‚.  ««¥¤ [38], €. ‘¥¤  [43], . ”ãªáè⥩­¥à ¨ ‚. ‹ áª¨ [24], ‘. •ãà ­  [27, 28].
x

4. „®ª § â¥«ìá⢮ ®á­®¢­®£® १ã«ìâ â 

Ž£à ­¨ç¨¬áï ¤®ª § â¥«ìá⢮¬ ⥮६ë 3.4. ’¥®à¥¬  3.6 ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï  ­ «®£¨ç­®,   ®áâ «ì­ë¥ ä ªâë ¨§ ¯ à £à ä  3, ª ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥­® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥, ­¥¯®á।á⢥­­® á«¥¤ãîâ ¨§ 㪠§ ­­ëå ⥮६.  ç­¥¬ á ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ â¥«ì­®£® ã⢥ত¥­¨ï.
4.1. „«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® f 2 FL à áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ (f ) := fx 2 L : x > f g
á ¨­¤ãæ¨à®¢ ­­ë¬ ¨§ L ¯®à浪®¬. Š ª ¢¨¤­®, (f ) 䨫ìâàã¥âáï ¯® ã¡ë¢ ­¨î. „«ï
¯ àë í«¥¬¥­â®¢ f1 ; f2 2 FL ¢¢¥¤¥¬ ¬­®¦¥á⢮
(f1 ; f2 ):= f(x; x1 ; x2 ) 2 (f1 _ f2 )  (f1 )  (f2 ) : x1 + x2 6 xg
á ¯®ª®®à¤¨­ â­ë¬ 㯮à冷祭¨¥¬.

f1 f2
(f1 ; f2 )
 := (f1 _ f2 )  (f1 )  (f2 )
'2
2
6'
C ã¦­® «¨èì ã¡¥¤¨âìáï ¢ á¯à ¢¥¤«¨¢®á⨠¯®á«¥¤­¥£® ã⢥ত¥­¨ï. ‚®§ì¬¥¬
(x; x1 ; x2 ) 2 . ˆ§ ᢮©á⢠ ®â¤¥«¨¬®á⨠à¥è¥âª¨ L á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ y 2 L
â ª®£®, çâ® f1 6 y 6 1 , f2 . ®«®¦¨¬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î x01 := x1 ^ x ^ y, x0 := x ¨ x02 :=
(x , x01 ) ^ x2 . Š ª ¢¨¤­®, âனª  (x0 ; x01 ; x02 ) ¢å®¤¨â ¢ (f1 ; f2 ) ¨ (x0 ; x01 ; x02 ) 6 (x; x1 ; x2 ),
çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. B
4.2.
S:L!F
f 2 FL
ɇǬ

¨

¤¨§êî­ªâ­ë, â® ¬­®¦¥á⢮

 «ì­® ¢

.

áãé¥áâ¢ã¥â â ª®©

, çâ®

ãáâì

䨫ìâàã¥âáï ¢­¨§ ¨ ª®¨­¨æ¨-

®á«¥¤­¥¥ ®§­ ç ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£®

.

^fSx : f 6 x; x 2 Lg:

| ¯®«®¦¨â¥«ì­ë© ®¯¥à â®à.

¯®«®¦¨¬

0 (f ) =

’®£¤  ®â®¡à ¦¥­¨¥

0

᢮©á⢮ ¯«®â­®áâ¨

: FL ! F

f1 ; f2

 ¤¤¨â¨¢­®, ¨ ¯à¨

0 (f2 ) = 0 (f1 ) +

_f (f ) : f 6 f
0

2

„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£®

2 FL

,

f1

6 f2

¢ë¯®«­ï¥âáï

, f1; f 2 FL g:

C ¥¯®á।á⢥­­® ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 0 ¢¨¤­®, çâ® 0 (f1 _ f2) 6 0 (f1 ) + 0(f2 ).
ãáâì x0 2 L, x0 > f1 _ f2 . ’®£¤  (x0 ; x0 ; x0 ) 2  ¨ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á 4.1 ­ ©¤¥âáï
âனª  (x; x1 ; x2 ) 2 (f1 ; f2 ) â ª ï, çâ® (x0 ; x0 ; x0 ) > (x; x1 ; x2 ). Žâá ¢ë¢®¤¨¬ Sx0 >
Sx > S (x1 ) + S (x2 ) > 0 (f1 ) + 0 (f2 ). ¥à¥å®¤ ª ¨­ä¨¬ã¬ã ¯® ¢á¥¬ 㪠§ ­­ë¬ x0 ¤ ¥â
­¥à ¢¥­á⢮ 0 (f1 _ f2 ) > 0 (f1 ) + 0 (f2 ).

3{42

€. ƒ. Šãáà ¥¢, ‘. €. Œ «î£¨­

„ «¥¥, ¯ãáâì f 2 FL , f 6 f2 , f1 ¨ x2 2 L, f2 6 x2 . ’ ª ª ª à¥è¥âª  L à §¤¥«ïîé ï, â® áãé¥áâ¢ã¥â y 2 L, ¤«ï ª®â®à®£® f1 6 y 6 1 , f 2 TL . „«ï í«¥¬¥­â  x1 = x2 ^ y
¡ã¤¥â f 6 x2 , x1 ¨
Sx2 = S (x2 , x1 ) + Sx1 > 0 (f ) + 0 (f1 ):

®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï «î¡®£® x2 2 L ¯à¨ x2 > f2 , á«¥¤®¢ â¥«ì­®,
0 (f2 ) > 0 (f1 ) + 0 (f ) (f

6 f2 , f1):

()

„ «¥¥, ¤«ï x1 2 L, x1 > f1 ¨ ç¨á«  0 < " < 1 ¯®« £ ¥¬ f := (1 , e(01,"1,x1 ) ) ^ f2 . ’®£¤ 
f 6 f2 , f1 ¨ ¤«ï «î¡®£® x 2 L ¯à¨ x > f ¢¥à­® (1 , "),1 (x1 + x) > f2 . ’¥¬ á ¬ë¬
0 (f2 ) 6 (1 , "),1 (Sx1 + Sx). ®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¤«ï ª ¦¤®£® x 2 L
¯à¨ x > f , áâ «® ¡ëâì,

_
0 (f2 ) 6 (1 , "),1 (Sx1 + 0 (f )) 6 (1 , ") Sx1 + f0 (f ) : f



6 f2 , f1; f 2 Lg

:

®«ã祭­®¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï «î¡ëå x2 2 L ¯à¨ x2 > f2 ¨ " > 0, ¯®í⮬ã
0 (f2 ) 6 0 (f1 ) +

_

f0 (f ) : f 6 f2 , f1; f 2 FL g:

‘®¯®áâ ¢«ïï ¯®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ á (), ¯®«ãç ¥¬ ᢮©á⢮ âॡ㥬®¥ ¯«®â­®á⨠0 . B
4.3. ”ã­ªæ¨ï
¤®«¦¥­¨¥



0 ¤®¯ã᪠¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨­á⢥­­®¥  ¤¤¨â¨¢­®¥ FL -ॣã«ïà­®¥ ¯à®-

á ¬­®¦¥á⢠

FL

­  ¢áî  «£¥¡àã

A(FL) = A(TL)

.

C â® ã⢥ত¥­¨¥ ¢ë¢®¤¨âáï ¨§ ᢮©á⢠ ¯«®â­®áâ¨. „«ï e 2 A(FL ) ¯®« £ ¥¬
¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î
_
 (e):= f0 (f ) : f 2 FL ; f 6 eg:
‹¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® ¬­®¦¥á⢮

E := fe 2 A(FL ) : (8e0 2 A(FL )  (e0 ) =  (e0 ^ e) +  (e0 n e)g
ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®© ¢ A(FL ), ᮤ¥à¦ é¥© FL . ‡­ ç¨â, E = A(FL ) ¨  ï¥âáï
 ¤¤¨â¨¢­®© FL -ॣã«ïà­®© ¬¥à®© ­  A(FL ). B
0 (f ):= bo lim fT x : x 2 (f )g
0 : FL ! Y
0 (f2 ) = 0 (f1 ) + bo lim f0 (f ) : f 6 f2 , f1 ; f 2 FL g:
4.4. ”®à¬ã« 

-

®¯à¥¤¥«ï¥â  ¤¤¨â¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥

, ®¡« ¤ î饥 ᢮©á⢮¬ ¯«®â­®áâ¨

-

C à¥¦¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï «î¡®£® f 2 FL á¥âì (T x)x2(f ) bo-äã­¤ ¬¥­â «ì­ , â ª ª ª ¯à¨ x1 ; x2 2 (f ) á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ï
>
>
o)
>
>6 S (jx1 , x2 j) 6 S (x1 , x1 ^ x2 ) + S (x2 , x1 ^ x2 ) (!
>T x1 , T x2>
0:

‚ ᨫã bo,¯®«­®âë Y ¯à¥¤¥« bo-lim fT x : x 2 (f )g áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ®â®¡à ¦¥­¨¥ 0
®¯à¥¤¥«¥­® ª®à४⭮. „®ª ¦¥¬  ¤¤¨â¨¢­®áâì. „«ï í⮣® ¢®§ì¬¥¬ ¤¨§êî­ªâ­ë¥

3{43

Ž ⥮६ å ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï €. „. €«¥ªá ­¤à®¢  ¨ €. €. Œ àª®¢ 

2 FL ¨ ¯®ª ¦¥¬, çâ® 0(f1 _ f2 ) = 0 (f1 ) + 0(f2 ). ®«ì§ãïáì ã⢥ত¥­¨¥¬
¨ ®¡®§­ ç¥­¨ï¬¨ ¨§ 4.1, ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 0 ¢ë¢®¤¨¬:

f1 ; f2

>
>
>
>
>: (x; x ; x ) 2 
>
>= o-lim >
>
>
>T (x , x1 , x2 )>
>
>0 (f1 _ f2 ) , 0 (f1 ) , 0 (f2 )>
>
1 2
>
>
>
>
>
>
= o-lim f>T (x , x1 , x2 )>: (x; x1 ; x2 ) 2 (f1 ; f2 )g
6 o-lim fS (x , x1 , x2) : (x; x1 ; x2 ) 2 (f1; f2 )g
= o-lim fS (x , x1 , x2 ) : (x; x1 ; x2 ) 2 g
=  (f1 _ f2 ) ,  (f1 ) ,  (f2 ) = 0;

®âªã¤  ¨ ¢¨¤­   ¤¤¨â¨¢­®áâì 0 .
®ª ¦¥¬, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮
>
>
>6  (f , f ) (f ; f 2 F ; f 6 f ):
>
>
()
>
>0 (f2 ) , 0 (f1 )>
2
1
1 2
L 1
2
„«ï í⮣® ¢¢¥¤¥¬ ¬­®¦¥á⢮ := f(x1 ; x2 ) 2 (f1 )  (f2 ) : x1 6 x2 g ¨ § ¬¥â¨¬,
çâ® ®­® 䨫ìâàã¥âáï ¯® ã¡ë¢ ­¨î ¨ ª®¨­¨æ¨ «ì­® ¢ (f1 )  (f2 ). ®«ì§ãïáì í⨬,
­ ¯¨è¥¬
0

>
>
>
>
>= o-lim f>
>
>
>T x2 , T x1>
>: (x1 ; x2 ) 2 (f1 )  (f2 )g
>0 (f2 ) , 0 (f1 )>
>
>
>
>: (x ; x ) 2 g 6 o-lim fS (x , x ) : (x ; x ) 2 g
>
= o-lim f>
>
>T (x2 , x1 )>
1 2
2
1
1 2
= o-lim fS (x2 , x1 ) : (x1 ; x2 ) 2 (f1 )  (f2 )g =  (x2 ) ,  (x1 ) =  (x2 , x1 ):
0

0

’¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬ ᢮©á⢮ ¯«®â­®áâ¨>
¤«ï ä㭪樨 >
0 . ãáâì e 2 A(FL ) ¨ f1 ; f2 2
>
>
>
>
FL , f1 6 e, f2 6 e. ’®£¤  ¨§ ®æ¥­ª¨ >0(f1 ) , 0 (f2 )> 6  (f1 _ f2 , f1 ) +  (f1 _
f2 , f2 ) ¢¨¤­  bo-äã­¤ ¬¥­â «ì­®áâì á¥â¨ f0 (f ) : f 2 (f )g, ¨ ¯®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â
bo-lim f0 (f ) : f 2 FL ^ eg. ˆá¯®«ì§ãï ᢮©á⢮ ¯«®â­®á⨠ ¨  ¤¤¨â¨¢­®áâì 0 ¬®¦¥¬
­ ¯¨á âì ¯à¨ «î¡ëå f1 ; f2 2 FL , f1 6 f2 á«¥¤ãîéãî 楯®çªã ᮮ⭮襭¨©:
>
>
>
>
>
>
>0 (f2 ) , 0 (f1 ) , bo-lim f0 (f ) : f 2 FL ; f 6 f2 , f1 g>
>
>
>

>
= o-lim >
>0 (f2 ) , 0 (f1 _ f )>
>: f 2 FL ; f 6 f2 , f1
6 o-lim f (f2 , f1 _ f2) : f 2 FL ; f 6 f2 , f1 g
_
=  (f2 ) =  (f1 ) , f (f ) : f 2 FL ; f 6 f2 , f1 g = 0;

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. B

0 ¤®¯ã᪠¥â ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨­á⢥­­®¥  ¤¤¨â¨¢­®¥ FL -ॣã«ïà­®¥ ¯à® á ¬­®¦¥á⢠ FL ­  ¢áî  «£¥¡àã A(FL ) = A(TL ). à¨ í⮬

4.5. ”ã­ªæ¨ï

¤®«¦¥­¨¥

(e) = bo-lim f0 (f ) : f

2 FL ^ eg (e 2 A(FL )):

C â®â 䠪⠬®¦­® ¯à®¢¥à¨âì ­¥¯®á।á⢥­­® ¯® ⮩ ¦¥ á奬¥, çâ® ¨ ¤«ï ä㭪樨  , á¬., ­ ¯à¨¬¥à, [35; ⥮६  1]. ‡¤¥áì ¤ ¤¨¬ ¤à㣮¥ ¤®ª § â¥«ìá⢮. ˆ§ ᢮©á⢠
¯«®â­®á⨠¢ë⥪ ¥â, çâ® ¢¥«¨ç¨­  (f2 ) , (f1 ) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â í«¥¬¥­â  e = f2 , f1.
Žâá, ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â ¬®¤ã«ïà­®¥ ⮦¤¥á⢮
0 (f1 _ f2 ) + 0 (f1 ^ f2 ) = 0 (f1 ) + 0 (f2 ) (f1 ; f2 2 FL ):
‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¥¤¨­á⢥­­®£®  ¤¤¨â¨¢­®£® ¯à®¤®«¦¥­¨ï ­  ¯®à®¦¤¥­­ãî  «£¥¡àã
A(FL ) ⥯¥àì áࠧ㠯®«ãç ¥âáï ¨§ á«¥¤ãî饣®  «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ä ªâ  4.6. B

3{44

€. ƒ. Šãáà ¥¢, ‘. €. Œ «î£¨­

A
A = A(L)

L
A
0 : L ! G
L
0(0) = 0
0(a _ b) + 0 (a ^ b) = 0(a) + 0 (b) (a; b 2 L):
 : A(L) ! G

4.6. ’¥®à¥¬ . ãáâì
¯®à®¦¤ îé ï
⨢­ãî £à㯯ã

A
G

, â. ¥.

| ¡ã«¥¢   «£¥¡à ,

| ¯®¤à¥è¥âª  ¢

. ãáâì

, ᮤ¥à¦ é ï

| ®â®¡à ¦¥­¨¥ ¨§

, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 à ¢¥­áâ¢ã

0

¨

¢ ª®¬¬ãâ -

¨ ¬®¤ã«ïà­®¬ã ⮦¤¥áâ¢ã

’®£¤  áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥  ¤¤¨â¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥

, ¯à®¤®«¦ î-

0
C â®â १ã«ìâ â ãáâ ­®¢«¥­ ¢ à ¡®â¥ . ¥ââ¨á  [39], § â¥¬ ¯¥à¥®âªàë⠉. Š¨è¨­áª¨¬ [30]. ®«¥¥ ¯à®á⮥ ¤®ª § â¥«ìá⢮ ­ ©¤¥­® ‡. ‹¨¯¥æª¨¬ ¢ [32]. B
4.7. Žáâ ¥âáï ãáâ ­®¢¨âì ¨­â¥£à «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ®¯¥à â®à  T .
饥

.

‚ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ïå ⥮६ë 3.2 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨­â¥£à «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥

Z

Tx = x d (x 2 L);
£¤¥

 : A(FL ) ! Y

|  ¤¤¨â¨¢­®¥

FL

-ॣã«ïà­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ¢ á®®â-

¢¥âá⢨¨ á 4.4 ¨ 4.5.

C ãáâì x 2 L ¨ n 2 N . ’ ª ª ª x ®£à ­¨ç¥­­ë© í«¥¬¥­â, â® ®­ ¨¬¥¥â ª®­¥ç­ãî
­®à¬ã kxk = inf f 2 R+ : jxj 6 1g. ®«®¦¨¬ k := kkxk=n, k = ,n; : : : ; n. ˆ§
®â¤¥«¨¬®á⨠L á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ yk 2 L â ª¨å, çâ®
,x
x
(k = ,n + 1; : : : ; n):
1 , e 6 yk 6 e,
k
k ,1
 áᬮâਬ í«¥¬¥­â
!
n
X
k
x
k
xn = n
yk , n1 :
k=,n+1

‹¥£ª® ¯à®¢¥àï¥âáï, çâ® jx , xn j 6 (kxk=n)1. Šà®¬¥ í⮣® á¯à ¢¥¤«¨¢ë ®æ¥­ª¨
>
>
>
>
>
>
>
>: y 2 L; 1 , ex 6 y 6 yk g
>Tyk , Ty>
>Tyk , (1 , exk )>
>= o-lim f>
k
6 o-lim fS (yk , y) : y 2 L; 1 , exk 6 y 6 yk g
= Syk ,  (1 , exk ) 6  (e,,xk ) ,  (1 , exk ):
„ «¥¥, ¯®« £ ¥¬
!
n
X
k
x
k
exk :
zn = n n1 ,
k=,n+1

‚­®¢ì ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮ jx , zn j 6 (kxk=n)1. ’¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì
>
>
>
>
>
>
>

Z

>
>
>
>
>
=
>
>

Txn , zn d

6 kxnk
6 kxk

n
X

>

>
>
kxk>
>
>
>

n



n
X



>
>
>k=,n+1

,

Tyk ,  1 , e

x

k



,


,


 e,,xk,1 ,  1 , exk

k=,n+1

n
X
,



exk,1

,

, 1,
n k=,n+1  1 ,
6  (1)
knxk = S (1)
knxk :



exk



>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

Ž ⥮६ å ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï €. „. €«¥ªá ­¤à®¢  ¨ €. €. Œ àª®¢ 

Žâá ¢ë¢®¤¨¬

>>Z
>>

3{45

>>T x , T xn>
>6 S (1)
knxk ;
Z >
> kxk
>6>
kxk
kxk
x d , zn d>
> >>(1) n 6  (1) n = S (1) n :

‘®¯®áâ ¢«ïï íâ® á ¯à¥¤ë¤ã騬 ­¥à ¢¥­á⢮¬, § ª«îç ¥¬
>> Z >
>(1):
>T>
>6 3kxk>
>T x , x d>

>

>

n

‚¢¨¤ã ¯à®¨§¢®«ì­®á⨠n, ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ¨­â¥£à «ì­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥. B
x 5. à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ à ¤®­®¢ë¬¨ ¬¥à ¬¨

€. €. Œ àª®¢ [15; ⥮६  16],   § â¥¬ €. „. €«¥ªá ­¤à®¢ [2; x 9, ⥮६ë 2 ¨
5] ãáâ ­®¢¨«¨, çâ® ¢ á«ãç ¥ ª®¬¯ ªâ­®£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠ ¢¥é¥á⢥­­ ï
ॣã«ïà­ ï ¬¥à  áç¥â­®  ¤¤¨â¨¢­  ­  ®¡« á⨠᢮¥£® § ¤ ­¨ï. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨
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