Jadi, det ( ) = 30 2) Adjoin Matriks
Matriks
A. Determinan, Adjoin, dan Invers Matriks
1) Determinan Matriks
Definisi (Pengertian)
Determinan Matriks dinotasikan dengan det (𝐴) = |𝐴|, misal:
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
Jika 𝐴 = [
], maka det 𝐴 = |
| atau det (𝐴) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐 𝑑
𝑐 𝑑
𝑎11 𝑎12
𝑎11 𝑎12
(𝐴)
Jika 𝐴2×2 = [𝑎
],
maka
det
=
|
𝑎
𝑎
𝑎 | atau
21
22
21
det (𝐴) = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12
2
Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [
3
2 1
Jawab:
𝐴=[
]
3 4
22
1
], maka carilah det (𝐴) !
4
2 1
det (𝐴) = |
|
3 4
= (2)(4) − (3)(1)
=8−3
=5
Jadi, det (𝐴) = 5
Jika 𝐴3×3
𝑎11
det (𝐴) = |𝑎21
𝑎31
𝑎11
𝑎
det (𝐴) = | 21
𝑎31
𝑎11
= [𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 |
𝑎33
𝑎13 |
𝑎23 | |
𝑎33 |
𝑎13
𝑎23 ], maka
𝑎33
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
det (𝐴) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11 − 𝑎33 𝑎21 𝑎12
det (𝐴) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 − 𝑎33 𝑎21 𝑎12 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13
det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) + 𝑎12 (𝑎23 𝑎31 − 𝑎33 𝑎21 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 )
det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) − 𝑎12 (−𝑎23 𝑎31 + 𝑎33 𝑎21 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 )
det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) − 𝑎12 (𝑎33 𝑎21 − 𝑎23 𝑎31 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 )
det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) − 𝑎12 (𝑎21 𝑎33 − 𝑎31 𝑎23 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 )
𝑎22
det (𝐴) = 𝑎11 |𝑎
32
𝑎23
𝑎21
𝑎33 | − 𝑎12 |𝑎23
𝑎31
𝑎21
𝑎33 | + 𝑎13 |𝑎31
𝑎22
𝑎32 |
7 3 0
Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [2 0 4], maka carilah det (𝐵) !
3 0 1
1
Jawab:
Cara 1
Cara 2
7 3
𝐵 = [2 0
3 0
0
4]
1
7 3
𝐵 = [2 0
3 0
0
4]
1
7 3 0 | 7 3
det (𝐵) = |2 0 4| | 2 0
3 0 1 | 3 0
=7⋅0⋅1+3⋅4⋅3+0⋅2⋅0−3⋅0⋅0−0⋅4⋅7−1⋅2⋅3
= 0 + 36 + 0 − 0 − 0 − 6
= 30
0 4
2 4
2 0
| − 3|
| + 0|
|
0 1
3 1
3 0
= 7( 0 ⋅ 1 − 0 ⋅ 4) − 3( 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 4) + 0( 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0)
= 7(0 − 0) − 3(2 − 12) + 0(0 − 0)
= 7(0) − 3(−10) + 0(0)
= 0 + 30 + 0
= 30
det (𝐵) = 7 |
Jadi, det (𝐵) = 30
2) Adjoin Matriks
Definisi (Pengertian)
Adjoin Matriks dinotasikan dengan adj (𝐴) = [𝐴], misal:
𝑎 𝑏
𝑑 −𝑏
Jika 𝐴 = [
], maka adj (𝐴) = [
]
𝑐 𝑑
−𝑐 𝑎
𝑎11
Jika 𝐴2×2 = [𝑎
21
𝑎12
𝑎22
(𝐴)
],
maka
adj
=
[
𝑎22
−𝑎21
2
Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [
3
2 1
]
Jawab:
𝐴=[
3 4
−𝑎12
𝑎11 ]
1
], maka carilah adj (𝐴) !
4
4 −1
]
adj (𝐴) = [
−3 2
Jadi, adj (𝐴) = [
4 −1
]
−3 2
Metode Minor-Kofaktor
Definisi (Pengertian)
Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah determinan matriks bagian
dari 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-𝑖 dan
2
kolom ke-𝑗. Jika 𝐴 adalah sebuah matriks bujur sangkar berordo 𝑛 × 𝑛, maka minor elemen
𝑎𝑖𝑗 yang dinotasikan dengan 𝑀𝑖𝑗 , didefinisikan sebagai determinan dari sub matriks A
berordo (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) setelah baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dihilangkan. Kofaktor
matriks 𝐴 dilambangkan 𝑐𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 det (𝑀𝑖𝑗 )
Misal
𝐴3×3
𝑎11
𝑎
= [ 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎11
Minor elemen 𝑎11 adalah [𝑎21
𝑎31
Sehingga
𝑎22
𝑀11 = [𝑎
32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎22
𝑎23
𝑎33 ] jika dan hanya jika det (𝑀11 ) = |𝑎32
𝑎22
𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 |𝑎
𝑎11
𝑎
Minor elemen 𝑎12 adalah [ 21
𝑎31
Sehingga
𝑎21
𝑀12 = [𝑎
31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎21
𝑎23
)
(𝑀
=
|
]
jika
dan
hanya
jika
det
12
𝑎31
𝑎33
𝑎21
𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 |𝑎
𝑎11
Minor elemen 𝑎13 adalah [𝑎21
𝑎31
Sehingga
𝑎21
𝑀13 = [𝑎
31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
31
𝑎21
𝑎23
𝑎33 | = − |𝑎31
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎21
𝑎22
𝑎32 ] jika dan hanya jika det (𝑀13 ) = |𝑎31
𝑎21
𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 |𝑎
𝑎11
𝑎
Minor elemen 𝑎21 adalah [ 21
𝑎31
Sehingga
𝑎12
𝑀21 = [𝑎
32
𝑎22
𝑎23
|
=
|
𝑎32
𝑎33
𝑎12
𝑎22
𝑎32
31
𝑎21
𝑎22
|
=
|
𝑎31
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎12
𝑎13
𝑎33 ] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = |𝑎32
𝑎12
𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 |𝑎
32
3
𝑎12
𝑎13
|
=
−
|
𝑎32
𝑎33
𝑎23
𝑎33 |
𝑎23
𝑎33 |
𝑎23
𝑎33 |
𝑎23
𝑎33 |
𝑎22
𝑎32 |
𝑎22
𝑎32 |
𝑎13
𝑎33 |
𝑎13
𝑎33 |
𝑎11
Minor elemen 𝑎22 adalah [𝑎21
𝑎31
Sehingga
𝑎11
𝑀22 = [𝑎
31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎11
𝑎13
𝑎33 ] jika dan hanya jika det (𝑀22 ) = |𝑎31
𝑎11
𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 |𝑎
𝑎11
𝑎
Minor elemen 𝑎23 adalah [ 21
𝑎31
Sehingga
𝑎11
𝑀23 = [𝑎
31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
31
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎11
𝑎12
)
(𝑀
=
|
]
jika
dan
hanya
jika
det
23
𝑎31
𝑎32
𝑎11
𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 |𝑎
𝑎11
Minor elemen 𝑎31 adalah [𝑎21
𝑎31
Sehingga
𝑎12
𝑀31 = [𝑎
22
𝑎12
𝑎22
𝑎32
31
𝑎12
𝑎13
𝑎23 ] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = |𝑎22
𝑎11
𝑎
Minor elemen 𝑎32 adalah [ 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
22
𝑎12
𝑎13
|
=
|
𝑎22
𝑎23
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎11
𝑎13
)
(𝑀
=
|
]
jika
dan
hanya
jika
det
32
𝑎21
𝑎23
𝑎11
𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 |𝑎
𝑎11
𝑎
Minor elemen 𝑎33 adalah [ 21
𝑎31
Sehingga
𝑎11
𝑀33 = [𝑎
21
𝑎11
𝑎12
𝑎32 | = − |𝑎31
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎12
𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 |𝑎
Sehingga
𝑎11
𝑀32 = [𝑎
21
𝑎11
𝑎13
|
=
|
𝑎31
𝑎33
𝑎12
𝑎22
𝑎32
21
𝑎11
𝑎13
|
=
−
|
𝑎21
𝑎23
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎12
𝑎11
)
(𝑀
=
|
]
jika
dan
hanya
jika
det
33
𝑎22
𝑎21
𝑎11
𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 |𝑎
21
4
𝑎12
𝑎11
𝑎22 | = |𝑎21
𝑎13
𝑎33 |
𝑎13
𝑎33 |
𝑎12
𝑎32 |
𝑎12
𝑎32 |
𝑎13
𝑎23 |
𝑎13
𝑎23 |
𝑎13
𝑎23 |
𝑎13
𝑎23 |
𝑎12
𝑎22 |
𝑎12
𝑎22 |
maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐴 sebagai berikut
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝐶(𝐴) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ]
𝑐31 𝑐32 𝑐33
Adjoin dari Matriks 𝐴 adalah Transpose dari Matriks Kofaktor 𝐴
adj (𝐴) = [𝐶(𝐴)]𝑇
7
Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [2
3
Jawab:
3 0
0 4], maka carilah adj (𝐵)!
0 1
7 3
Minor elemen 𝑎11 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
0
0 4
] jika dan hanya jika det (𝑀11 ) = |
𝑀11 = [
0
0 1
4
|
1
0 4
|= 0−0 =0
𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 |
0 1
7 3
Minor elemen 𝑎12 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
2
2 4
] jika dan hanya jika det (𝑀12 ) = |
𝑀12 = [
3
3 1
2
2 4
| = −|
𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 |
3
3 1
7 3
Minor elemen 𝑎13 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
2
2 0
] jika dan hanya jika det (𝑀13 ) = |
𝑀13 = [
3
3 0
4
|
1
4
| = −(2 − 12) = 10
1
0
|
0
2 0
2 0
|=0−0=0
|=|
𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 |
3 0
3 0
7 3
Minor elemen 𝑎21 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
3 0
3 0
𝑀21 = [
] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = |
|
0 1
0 1
3
𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 |
0
5
3 0
0
| = −(3 − 0) = −3
| = −|
0 1
1
7 3
Minor elemen 𝑎22 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
7 0
7 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀22 ) = |
𝑀22 = [
3 1
3 1
7
𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 |
3
7 3
Minor elemen 𝑎23 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 0
0
|= 7−0= 7
|=|
3 1
1
Sehingga
7 3
7 3
|
] jika dan hanya jika det (𝑀23 ) = |
𝑀23 = [
3 0
3 0
7
𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 |
3
7 3
Minor elemen 𝑎31 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 3
3
| = −(0 − 9) = 9
| = −|
3 0
0
Sehingga
3 0
3 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = |
𝑀31 = [
0 4
0 4
3
𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 |
0
7 3
Minor elemen 𝑎32 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
3 0
0
| = 12 − 0 = 12
|=|
0 4
4
Sehingga
7 0
7 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀32 ) = |
𝑀32 = [
2 4
2 4
7
𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 |
2
7 3
Minor elemen 𝑎33 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 0
0
| = −(28 − 0) = −28
| = −|
2 4
4
Sehingga
7 3
7 3
|
] jika dan hanya jika det (𝑀33 ) = |
𝑀33 = [
2 0
2 0
7
𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 |
2
6
7 3
3
| = 0 − 6 = −6
|=|
2 0
0
Sehingga diperoleh
𝑐11 = 0
𝑐12 = 10
𝑐13 = 0
𝑐21 = −3
𝑐22 = 7
𝑐23 = 9
𝑐31 = 12
𝑐32 = −28
𝑐33 = −6
maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐵 sebagai berikut
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝐶(𝐵) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ]
𝑐31 𝑐32 𝑐33
0
10
𝐶(𝐵) = [−3
7
12 −28
adj (𝐵) = [𝐶(𝐵)]𝑇
0
9]
−6
0
10
adj (𝐵) = [−3
7
12 −28
0
adj (𝐵) = [10
0
0 𝑇
9]
−6
−3 12
7 −28]
9
−6
3) Invers Matriks
Definisi (Pengertian)
Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks persegi, dan berlaku 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼, maka
dikatakan matriks 𝐴 dan 𝐵 saling invers. 𝐵 disebut invers dari 𝐴, atau ditulis 𝐴−1.
Matriks yang mempunyai invers disebut matriks non singular, sedangkan matriks
yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.
𝐴−1 =
1
[adj
det (𝐴)
(𝐴)], dimana det (𝐴) ≠ 0
2
Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [
3
2 1
]
Jawab:
𝐴=[
3 4
1
], maka carilah 𝐴−1 !
4
2 1
|
det (𝐴) = |
3 4
= (2)(4) − (3)(1)
=8−3
=5
7
4 −1
]
adj (𝐴) = [
−3 2
1
[adj (𝐴)]
det (𝐴)
1 4
−1
]
= [
5 −3
2
4
1
−
5
= [ 3 2 5]
−
𝐴−1 =
Jadi, 𝐴−1 = [
4
5
−
5
3
5
−
2
5
5
1
5
]
7 3 0
Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [2 0 4], maka carilah 𝐵 −1 !
3 0 1
7 3 0
Jawab:
𝐵 = [2 0 4]
3 0 1
0 4
2 4
2 0
| − 3|
| + 0|
|
0 1
3 1
3 0
= 7( 0 ⋅ 1 − 0 ⋅ 4) − 3( 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 4) + 0( 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0)
= 7(0 − 0) − 3(2 − 12) + 0(0 − 0)
= 7(0) − 3(−10) + 0(0)
= 0 + 30 + 0
= 30
det (𝐵) = 7 |
7 3
Minor elemen 𝑎11 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
0
0 4
] jika dan hanya jika det (𝑀11 ) = |
𝑀11 = [
0
0 1
4
|
1
0 4
|= 0−0 =0
𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 |
0 1
7 3
Minor elemen 𝑎12 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
2
2 4
] jika dan hanya jika det (𝑀12 ) = |
𝑀12 = [
3
3 1
2 4
2
𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 |
| = −|
3 1
3
8
4
|
1
4
| = −(2 − 12) = 10
1
7 3
Minor elemen 𝑎13 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
2
2 0
] jika dan hanya jika det (𝑀13 ) = |
𝑀13 = [
3
3 0
0
|
0
2 0
2 0
|=0−0=0
|=|
𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 |
3 0
3 0
7 3
Minor elemen 𝑎21 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
3 0
3 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = |
𝑀21 = [
0 1
0 1
3
𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 |
0
7 3
Minor elemen 𝑎22 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
3 0
0
| = −(3 − 0) = −3
| = −|
0 1
1
Sehingga
7 0
7 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀22 ) = |
𝑀22 = [
3 1
3 1
7
𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 |
3
7 3
Minor elemen 𝑎23 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 0
0
|= 7−0= 7
|=|
3 1
1
Sehingga
7 3
7 3
|
] jika dan hanya jika det (𝑀23 ) = |
𝑀23 = [
3 0
3 0
7
𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 |
3
7 3
Minor elemen 𝑎31 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 3
3
| = −(0 − 9) = 9
| = −|
3 0
0
Sehingga
3 0
3 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = |
𝑀31 = [
0 4
0 4
3
𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 |
0
9
3 0
0
| = 12 − 0 = 12
|=|
0 4
4
7 3
Minor elemen 𝑎32 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
7 0
7 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀32 ) = |
𝑀32 = [
2 4
2 4
7
𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 |
2
7 3
Minor elemen 𝑎33 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 0
0
| = −(28 − 0) = −28
| = −|
2 4
4
Sehingga
7 3
7 3
|
] jika dan hanya jika det (𝑀33 ) = |
𝑀33 = [
2 0
2 0
7
𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 |
2
Sehingga diperoleh
𝑐11 = 0
𝑐12 = 10
𝑐13 = 0
𝑐21 = −3
𝑐22 = 7
𝑐23 = 9
𝑐31 = 12
𝑐32 = −28
𝑐33 = −6
7 3
3
| = 0 − 6 = −6
|=|
2 0
0
maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐵 sebagai berikut
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝐶(𝐵) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ]
𝑐31 𝑐32 𝑐33
0
10
𝐶(𝐵) = [−3
7
12 −28
adj (𝐵) = [𝐶(𝐵)]𝑇
0
9]
−6
0
10
adj (𝐵) = [−3
7
12 −28
0
adj (𝐵) = [10
0
0 𝑇
9]
−6
−3 12
7 −28]
9
−6
10
1
[adj (𝐵)]
det (𝐵)
0 −3 12
1
= [10 7 −28]
30
0
9
−6
3
0
12
−
𝐵 −1 =
=
=
Jadi, 𝐵
−1
=
30
7
30
10
30
0
30
9
1
10
7
[30 30
1
0 −
3
[0
30
3
0 −
1
3
[0
10
1
10
7
30
28
−
30
6
− ]
30
2
5
14
−
15
1
− ]
5
2
5
14
−
30
3
15
1
− ]
5
10
B. Aplikasi Matriks
1) Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
Definisi (Pengertian)
Sistem persamaan linier dua variabel adalah suatu sistem persamaan linier
dengan dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan dua variabel 𝑥 dan
𝑦 adalah
𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1 ⋯ (1)
𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2 ⋯ (2)
Sehingga dapat dibentuk matriks
𝑎11 𝑎12 𝑥
𝑏
[𝑎
] [𝑦 ] = [ 1 ]
𝑎
𝑏2
21
22
Misal: 𝐴𝑋 = 𝐵
𝐴𝐴−1 𝑋 = 𝐴−1 𝐵
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
Sehingga
𝑎11
𝑥
[𝑦 ] = [𝑎
21
𝑎12 −1 𝑏1
𝑎22 ] [𝑏2 ]
Keterangan: 𝑎11 , 𝑎21 =koefisien 𝑥
𝑎12 , 𝑎22 =koefisien 𝑦
𝑏1 , 𝑏2 =konstanta
𝑥, 𝑦
=variabel
Contoh: Selesaikanlah SPLDV 2𝑥 + 𝑦 = 3 dan 𝑥 + 𝑦 = 5!
Diketahui: 𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 + 𝑦 = 5
Ditanya: penyelesaian ?
Jawab:
11
Misal:
2 1
𝐴=[
]
1 1
1 1
1
1 −1
]= [
[
𝐴−1 =
1 −1
2 − 1 −1 2
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
𝑥
1 −1 3
][ ]
[𝑦] = [
−1 2 5
𝑥
(1 ⋅ 3) + (−1 ⋅ 5)
]
[𝑦] = [
(−1 ⋅ 3) + (2 ⋅ 5)
𝑥
3−5
]
[𝑦] = [
−3 + 10
𝑥
−2
[𝑦] = [ ]
7
1 −1
−1
]
]=[
−1 2
2
Jadi, 𝐻𝑃 = {(𝑥, 𝑦)|(−2,7), 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}
2) Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)
Definisi (Pengertian)
Sistem persamaan linier tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linier
dengan tiga variabel. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan tiga variabel 𝑥, 𝑦
dan 𝑧 adalah
𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑏1 ⋯ (1)
𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑏2 ⋯ (2)
𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑏3 ⋯ (3)
Sehingga dapat dibentuk matriks
Misal: 𝐴𝑋 = 𝐵
𝐴𝐴−1 𝑋 = 𝐴−1 𝐵
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
Sehingga
𝑎11
𝑥
[𝑦] = [𝑎21
𝑎31
𝑧
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎11
𝑎
[ 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13 𝑥
𝑏1
𝑎23 ] [𝑦] = [𝑏2 ]
𝑎33 𝑧
𝑏3
𝑎13 −1 𝑏1
𝑎23 ] [𝑏2 ]
𝑎33
𝑏3
Keterangan: 𝑎11 , 𝑎21 , 𝑎31 =koefisien 𝑥
𝑎12 , 𝑎22 , 𝑎32 =koefisien 𝑦
𝑎13 , 𝑎23 , 𝑎33 =koefisien 𝑧
𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3
=konstanta
𝑥, 𝑦, 𝑧
=variabel
Contoh: Selesaikanlah SPLDV 2𝑥 + 𝑧 = 5, 𝑥 + 𝑧 = 3, dan 𝑥 + 2𝑦 = 4!
Diketahui: 2𝑥 + 𝑧 = 5
𝑥+𝑧 = 3
𝑥 + 2𝑦 = 4
Ditanya: penyelesaian ?
12
Jawab:
Misal:
2 0 1
𝐴 = [1 0 1]
1 2 0
0 1
1
det (𝐴) = 2 |
|−0|
1
1 0
|
|+1|
2 0
1 2
1 0
= 2( 0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 2) − 0( 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1) + 1( 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 0)
= 2( 0 − 2) − 0( 0 − 1) + 1( 2 − 0)
= 2(−2) − 0(−1) + 1(2)
= −4 + 0 + 2
= −2
2 0
Minor elemen 𝑎11 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
Sehingga
0
0 1
] jika dan hanya jika det (𝑀11 ) = |
𝑀11 = [
2
2 0
1
|
0
0 1
| = 0 − 2 = −2
𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 |
2 0
2 0
Minor elemen 𝑎12 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
Sehingga
1
1 1
] jika dan hanya jika det (𝑀12 ) = |
𝑀12 = [
1
1 0
1
1 1
| = −|
𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 |
1
1 0
2 0
Minor elemen 𝑎13 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
Sehingga
1
1 0
] jika dan hanya jika det (𝑀13 ) = |
𝑀13 = [
1
1 2
1
|
0
1
| = −(1 − 0) = −2
0
0
|
2
1 0
1 0
|=2−0=2
|=|
𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 |
1 2
1 2
2 0
Minor elemen 𝑎21 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
Sehingga
0 1
0 1
|
] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = |
𝑀21 = [
2 0
2 0
13
0
𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 |
2
2 0
Minor elemen 𝑎22 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
0 1
1
| = −(0 − 2) = 2
| = −|
2 0
0
Sehingga
2 1
2 1
|
] jika dan hanya jika det (𝑀22 ) = |
𝑀22 = [
1 0
1 0
2
𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 |
1
2 0
Minor elemen 𝑎23 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
2 1
1
| = 0 − 1 = −1
|=|
1 0
0
Sehingga
2 0
2 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀23 ) = |
𝑀23 = [
1 2
1 2
2
𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 |
1
2 0
Minor elemen 𝑎31 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
2 0
0
| = −(4 − 0) = −4
| = −|
1 2
2
Sehingga
0 1
0 1
|
] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = |
𝑀31 = [
0 1
0 1
0
𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 |
0
2 0
Minor elemen 𝑎32 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
0 1
1
|= 0−0= 0
|=|
0 1
1
Sehingga
2 1
2 1
|
] jika dan hanya jika det (𝑀32 ) = |
𝑀32 = [
1 1
1 1
2
𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 |
1
2 0
Minor elemen 𝑎33 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
2 1
1
| = −(2 − 1) = −1
| = −|
1 1
1
Sehingga
2 0
2 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀33 ) = |
𝑀33 = [
1 0
1 0
14
2
𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 |
1
Sehingga diperoleh
𝑐11 = −2
𝑐12 = −2
𝑐13 = 2
𝑐21 = 2
𝑐22 = −1
𝑐23 = −4
𝑐31 = 0
𝑐32 = −1
𝑐33 = 0
2 0
0
|= 0−0= 0
|=|
1 0
0
maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐴 sebagai berikut
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝐶(𝐴) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ]
𝑐31 𝑐32 𝑐33
−2 −2 2
𝐶(𝐴) = [ 2 −1 −4]
0
1
0
adj (𝐴) = [𝐶(𝐴)]𝑇
−2 −2 2 𝑇
adj (𝐴) = [ 2 −1 −4]
0
1
0
−2 2 0
adj (𝐴) = [−2 −1 1]
2 −4 0
1
[adj (𝐴)]
det (𝐴)
−2 2 0
1
= [−2 −1 1]
−2
2 −4 0
1 −1 0
1
1
− ]
=[ 1
2
2
−1 2
0
𝐴−1 =
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
1
𝑥
−1 0
1 5
1
[𝑦] = [ 1
− ] [3]
2 4
2
𝑧
−1 2
0
(1 ⋅ 5) + (−1 ⋅ 3) + (0 ⋅ 4)
𝑥
1
1
[𝑦] = [(1 ⋅ 5) + ( ⋅ 3) + (− ⋅ 4)]
2
2
𝑧
(−1 ⋅ 5) + (2 ⋅ 3) + (0 ⋅ 4)
15
5−3+0
𝑥
3
[𝑦] = [ 5 + − 2 ]
2
𝑧
−5 + 6 + 0
2
𝑥
3
[𝑦] = [ ]
2
𝑧
1
3
Jadi, 𝐻𝑃 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)| (2, , 1) , 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}
2
16
A. Determinan, Adjoin, dan Invers Matriks
1) Determinan Matriks
Definisi (Pengertian)
Determinan Matriks dinotasikan dengan det (𝐴) = |𝐴|, misal:
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
Jika 𝐴 = [
], maka det 𝐴 = |
| atau det (𝐴) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐 𝑑
𝑐 𝑑
𝑎11 𝑎12
𝑎11 𝑎12
(𝐴)
Jika 𝐴2×2 = [𝑎
],
maka
det
=
|
𝑎
𝑎
𝑎 | atau
21
22
21
det (𝐴) = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12
2
Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [
3
2 1
Jawab:
𝐴=[
]
3 4
22
1
], maka carilah det (𝐴) !
4
2 1
det (𝐴) = |
|
3 4
= (2)(4) − (3)(1)
=8−3
=5
Jadi, det (𝐴) = 5
Jika 𝐴3×3
𝑎11
det (𝐴) = |𝑎21
𝑎31
𝑎11
𝑎
det (𝐴) = | 21
𝑎31
𝑎11
= [𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 |
𝑎33
𝑎13 |
𝑎23 | |
𝑎33 |
𝑎13
𝑎23 ], maka
𝑎33
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
det (𝐴) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11 − 𝑎33 𝑎21 𝑎12
det (𝐴) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 − 𝑎33 𝑎21 𝑎12 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13
det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) + 𝑎12 (𝑎23 𝑎31 − 𝑎33 𝑎21 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 )
det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) − 𝑎12 (−𝑎23 𝑎31 + 𝑎33 𝑎21 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 )
det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) − 𝑎12 (𝑎33 𝑎21 − 𝑎23 𝑎31 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 )
det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) − 𝑎12 (𝑎21 𝑎33 − 𝑎31 𝑎23 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 )
𝑎22
det (𝐴) = 𝑎11 |𝑎
32
𝑎23
𝑎21
𝑎33 | − 𝑎12 |𝑎23
𝑎31
𝑎21
𝑎33 | + 𝑎13 |𝑎31
𝑎22
𝑎32 |
7 3 0
Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [2 0 4], maka carilah det (𝐵) !
3 0 1
1
Jawab:
Cara 1
Cara 2
7 3
𝐵 = [2 0
3 0
0
4]
1
7 3
𝐵 = [2 0
3 0
0
4]
1
7 3 0 | 7 3
det (𝐵) = |2 0 4| | 2 0
3 0 1 | 3 0
=7⋅0⋅1+3⋅4⋅3+0⋅2⋅0−3⋅0⋅0−0⋅4⋅7−1⋅2⋅3
= 0 + 36 + 0 − 0 − 0 − 6
= 30
0 4
2 4
2 0
| − 3|
| + 0|
|
0 1
3 1
3 0
= 7( 0 ⋅ 1 − 0 ⋅ 4) − 3( 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 4) + 0( 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0)
= 7(0 − 0) − 3(2 − 12) + 0(0 − 0)
= 7(0) − 3(−10) + 0(0)
= 0 + 30 + 0
= 30
det (𝐵) = 7 |
Jadi, det (𝐵) = 30
2) Adjoin Matriks
Definisi (Pengertian)
Adjoin Matriks dinotasikan dengan adj (𝐴) = [𝐴], misal:
𝑎 𝑏
𝑑 −𝑏
Jika 𝐴 = [
], maka adj (𝐴) = [
]
𝑐 𝑑
−𝑐 𝑎
𝑎11
Jika 𝐴2×2 = [𝑎
21
𝑎12
𝑎22
(𝐴)
],
maka
adj
=
[
𝑎22
−𝑎21
2
Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [
3
2 1
]
Jawab:
𝐴=[
3 4
−𝑎12
𝑎11 ]
1
], maka carilah adj (𝐴) !
4
4 −1
]
adj (𝐴) = [
−3 2
Jadi, adj (𝐴) = [
4 −1
]
−3 2
Metode Minor-Kofaktor
Definisi (Pengertian)
Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah determinan matriks bagian
dari 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-𝑖 dan
2
kolom ke-𝑗. Jika 𝐴 adalah sebuah matriks bujur sangkar berordo 𝑛 × 𝑛, maka minor elemen
𝑎𝑖𝑗 yang dinotasikan dengan 𝑀𝑖𝑗 , didefinisikan sebagai determinan dari sub matriks A
berordo (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) setelah baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dihilangkan. Kofaktor
matriks 𝐴 dilambangkan 𝑐𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 det (𝑀𝑖𝑗 )
Misal
𝐴3×3
𝑎11
𝑎
= [ 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎11
Minor elemen 𝑎11 adalah [𝑎21
𝑎31
Sehingga
𝑎22
𝑀11 = [𝑎
32
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎22
𝑎23
𝑎33 ] jika dan hanya jika det (𝑀11 ) = |𝑎32
𝑎22
𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 |𝑎
𝑎11
𝑎
Minor elemen 𝑎12 adalah [ 21
𝑎31
Sehingga
𝑎21
𝑀12 = [𝑎
31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎21
𝑎23
)
(𝑀
=
|
]
jika
dan
hanya
jika
det
12
𝑎31
𝑎33
𝑎21
𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 |𝑎
𝑎11
Minor elemen 𝑎13 adalah [𝑎21
𝑎31
Sehingga
𝑎21
𝑀13 = [𝑎
31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
31
𝑎21
𝑎23
𝑎33 | = − |𝑎31
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎21
𝑎22
𝑎32 ] jika dan hanya jika det (𝑀13 ) = |𝑎31
𝑎21
𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 |𝑎
𝑎11
𝑎
Minor elemen 𝑎21 adalah [ 21
𝑎31
Sehingga
𝑎12
𝑀21 = [𝑎
32
𝑎22
𝑎23
|
=
|
𝑎32
𝑎33
𝑎12
𝑎22
𝑎32
31
𝑎21
𝑎22
|
=
|
𝑎31
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎12
𝑎13
𝑎33 ] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = |𝑎32
𝑎12
𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 |𝑎
32
3
𝑎12
𝑎13
|
=
−
|
𝑎32
𝑎33
𝑎23
𝑎33 |
𝑎23
𝑎33 |
𝑎23
𝑎33 |
𝑎23
𝑎33 |
𝑎22
𝑎32 |
𝑎22
𝑎32 |
𝑎13
𝑎33 |
𝑎13
𝑎33 |
𝑎11
Minor elemen 𝑎22 adalah [𝑎21
𝑎31
Sehingga
𝑎11
𝑀22 = [𝑎
31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎11
𝑎13
𝑎33 ] jika dan hanya jika det (𝑀22 ) = |𝑎31
𝑎11
𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 |𝑎
𝑎11
𝑎
Minor elemen 𝑎23 adalah [ 21
𝑎31
Sehingga
𝑎11
𝑀23 = [𝑎
31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
31
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎11
𝑎12
)
(𝑀
=
|
]
jika
dan
hanya
jika
det
23
𝑎31
𝑎32
𝑎11
𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 |𝑎
𝑎11
Minor elemen 𝑎31 adalah [𝑎21
𝑎31
Sehingga
𝑎12
𝑀31 = [𝑎
22
𝑎12
𝑎22
𝑎32
31
𝑎12
𝑎13
𝑎23 ] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = |𝑎22
𝑎11
𝑎
Minor elemen 𝑎32 adalah [ 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
22
𝑎12
𝑎13
|
=
|
𝑎22
𝑎23
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎11
𝑎13
)
(𝑀
=
|
]
jika
dan
hanya
jika
det
32
𝑎21
𝑎23
𝑎11
𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 |𝑎
𝑎11
𝑎
Minor elemen 𝑎33 adalah [ 21
𝑎31
Sehingga
𝑎11
𝑀33 = [𝑎
21
𝑎11
𝑎12
𝑎32 | = − |𝑎31
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎12
𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 |𝑎
Sehingga
𝑎11
𝑀32 = [𝑎
21
𝑎11
𝑎13
|
=
|
𝑎31
𝑎33
𝑎12
𝑎22
𝑎32
21
𝑎11
𝑎13
|
=
−
|
𝑎21
𝑎23
𝑎13
𝑎23 ]
𝑎33
𝑎12
𝑎11
)
(𝑀
=
|
]
jika
dan
hanya
jika
det
33
𝑎22
𝑎21
𝑎11
𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 |𝑎
21
4
𝑎12
𝑎11
𝑎22 | = |𝑎21
𝑎13
𝑎33 |
𝑎13
𝑎33 |
𝑎12
𝑎32 |
𝑎12
𝑎32 |
𝑎13
𝑎23 |
𝑎13
𝑎23 |
𝑎13
𝑎23 |
𝑎13
𝑎23 |
𝑎12
𝑎22 |
𝑎12
𝑎22 |
maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐴 sebagai berikut
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝐶(𝐴) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ]
𝑐31 𝑐32 𝑐33
Adjoin dari Matriks 𝐴 adalah Transpose dari Matriks Kofaktor 𝐴
adj (𝐴) = [𝐶(𝐴)]𝑇
7
Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [2
3
Jawab:
3 0
0 4], maka carilah adj (𝐵)!
0 1
7 3
Minor elemen 𝑎11 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
0
0 4
] jika dan hanya jika det (𝑀11 ) = |
𝑀11 = [
0
0 1
4
|
1
0 4
|= 0−0 =0
𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 |
0 1
7 3
Minor elemen 𝑎12 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
2
2 4
] jika dan hanya jika det (𝑀12 ) = |
𝑀12 = [
3
3 1
2
2 4
| = −|
𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 |
3
3 1
7 3
Minor elemen 𝑎13 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
2
2 0
] jika dan hanya jika det (𝑀13 ) = |
𝑀13 = [
3
3 0
4
|
1
4
| = −(2 − 12) = 10
1
0
|
0
2 0
2 0
|=0−0=0
|=|
𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 |
3 0
3 0
7 3
Minor elemen 𝑎21 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
3 0
3 0
𝑀21 = [
] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = |
|
0 1
0 1
3
𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 |
0
5
3 0
0
| = −(3 − 0) = −3
| = −|
0 1
1
7 3
Minor elemen 𝑎22 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
7 0
7 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀22 ) = |
𝑀22 = [
3 1
3 1
7
𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 |
3
7 3
Minor elemen 𝑎23 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 0
0
|= 7−0= 7
|=|
3 1
1
Sehingga
7 3
7 3
|
] jika dan hanya jika det (𝑀23 ) = |
𝑀23 = [
3 0
3 0
7
𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 |
3
7 3
Minor elemen 𝑎31 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 3
3
| = −(0 − 9) = 9
| = −|
3 0
0
Sehingga
3 0
3 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = |
𝑀31 = [
0 4
0 4
3
𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 |
0
7 3
Minor elemen 𝑎32 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
3 0
0
| = 12 − 0 = 12
|=|
0 4
4
Sehingga
7 0
7 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀32 ) = |
𝑀32 = [
2 4
2 4
7
𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 |
2
7 3
Minor elemen 𝑎33 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 0
0
| = −(28 − 0) = −28
| = −|
2 4
4
Sehingga
7 3
7 3
|
] jika dan hanya jika det (𝑀33 ) = |
𝑀33 = [
2 0
2 0
7
𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 |
2
6
7 3
3
| = 0 − 6 = −6
|=|
2 0
0
Sehingga diperoleh
𝑐11 = 0
𝑐12 = 10
𝑐13 = 0
𝑐21 = −3
𝑐22 = 7
𝑐23 = 9
𝑐31 = 12
𝑐32 = −28
𝑐33 = −6
maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐵 sebagai berikut
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝐶(𝐵) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ]
𝑐31 𝑐32 𝑐33
0
10
𝐶(𝐵) = [−3
7
12 −28
adj (𝐵) = [𝐶(𝐵)]𝑇
0
9]
−6
0
10
adj (𝐵) = [−3
7
12 −28
0
adj (𝐵) = [10
0
0 𝑇
9]
−6
−3 12
7 −28]
9
−6
3) Invers Matriks
Definisi (Pengertian)
Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks persegi, dan berlaku 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼, maka
dikatakan matriks 𝐴 dan 𝐵 saling invers. 𝐵 disebut invers dari 𝐴, atau ditulis 𝐴−1.
Matriks yang mempunyai invers disebut matriks non singular, sedangkan matriks
yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.
𝐴−1 =
1
[adj
det (𝐴)
(𝐴)], dimana det (𝐴) ≠ 0
2
Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [
3
2 1
]
Jawab:
𝐴=[
3 4
1
], maka carilah 𝐴−1 !
4
2 1
|
det (𝐴) = |
3 4
= (2)(4) − (3)(1)
=8−3
=5
7
4 −1
]
adj (𝐴) = [
−3 2
1
[adj (𝐴)]
det (𝐴)
1 4
−1
]
= [
5 −3
2
4
1
−
5
= [ 3 2 5]
−
𝐴−1 =
Jadi, 𝐴−1 = [
4
5
−
5
3
5
−
2
5
5
1
5
]
7 3 0
Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [2 0 4], maka carilah 𝐵 −1 !
3 0 1
7 3 0
Jawab:
𝐵 = [2 0 4]
3 0 1
0 4
2 4
2 0
| − 3|
| + 0|
|
0 1
3 1
3 0
= 7( 0 ⋅ 1 − 0 ⋅ 4) − 3( 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 4) + 0( 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0)
= 7(0 − 0) − 3(2 − 12) + 0(0 − 0)
= 7(0) − 3(−10) + 0(0)
= 0 + 30 + 0
= 30
det (𝐵) = 7 |
7 3
Minor elemen 𝑎11 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
0
0 4
] jika dan hanya jika det (𝑀11 ) = |
𝑀11 = [
0
0 1
4
|
1
0 4
|= 0−0 =0
𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 |
0 1
7 3
Minor elemen 𝑎12 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
2
2 4
] jika dan hanya jika det (𝑀12 ) = |
𝑀12 = [
3
3 1
2 4
2
𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 |
| = −|
3 1
3
8
4
|
1
4
| = −(2 − 12) = 10
1
7 3
Minor elemen 𝑎13 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
2
2 0
] jika dan hanya jika det (𝑀13 ) = |
𝑀13 = [
3
3 0
0
|
0
2 0
2 0
|=0−0=0
|=|
𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 |
3 0
3 0
7 3
Minor elemen 𝑎21 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
3 0
3 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = |
𝑀21 = [
0 1
0 1
3
𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 |
0
7 3
Minor elemen 𝑎22 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
3 0
0
| = −(3 − 0) = −3
| = −|
0 1
1
Sehingga
7 0
7 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀22 ) = |
𝑀22 = [
3 1
3 1
7
𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 |
3
7 3
Minor elemen 𝑎23 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 0
0
|= 7−0= 7
|=|
3 1
1
Sehingga
7 3
7 3
|
] jika dan hanya jika det (𝑀23 ) = |
𝑀23 = [
3 0
3 0
7
𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 |
3
7 3
Minor elemen 𝑎31 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 3
3
| = −(0 − 9) = 9
| = −|
3 0
0
Sehingga
3 0
3 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = |
𝑀31 = [
0 4
0 4
3
𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 |
0
9
3 0
0
| = 12 − 0 = 12
|=|
0 4
4
7 3
Minor elemen 𝑎32 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
Sehingga
7 0
7 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀32 ) = |
𝑀32 = [
2 4
2 4
7
𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 |
2
7 3
Minor elemen 𝑎33 adalah [2 0
3 0
0
4]
1
7 0
0
| = −(28 − 0) = −28
| = −|
2 4
4
Sehingga
7 3
7 3
|
] jika dan hanya jika det (𝑀33 ) = |
𝑀33 = [
2 0
2 0
7
𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 |
2
Sehingga diperoleh
𝑐11 = 0
𝑐12 = 10
𝑐13 = 0
𝑐21 = −3
𝑐22 = 7
𝑐23 = 9
𝑐31 = 12
𝑐32 = −28
𝑐33 = −6
7 3
3
| = 0 − 6 = −6
|=|
2 0
0
maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐵 sebagai berikut
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝐶(𝐵) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ]
𝑐31 𝑐32 𝑐33
0
10
𝐶(𝐵) = [−3
7
12 −28
adj (𝐵) = [𝐶(𝐵)]𝑇
0
9]
−6
0
10
adj (𝐵) = [−3
7
12 −28
0
adj (𝐵) = [10
0
0 𝑇
9]
−6
−3 12
7 −28]
9
−6
10
1
[adj (𝐵)]
det (𝐵)
0 −3 12
1
= [10 7 −28]
30
0
9
−6
3
0
12
−
𝐵 −1 =
=
=
Jadi, 𝐵
−1
=
30
7
30
10
30
0
30
9
1
10
7
[30 30
1
0 −
3
[0
30
3
0 −
1
3
[0
10
1
10
7
30
28
−
30
6
− ]
30
2
5
14
−
15
1
− ]
5
2
5
14
−
30
3
15
1
− ]
5
10
B. Aplikasi Matriks
1) Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
Definisi (Pengertian)
Sistem persamaan linier dua variabel adalah suatu sistem persamaan linier
dengan dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan dua variabel 𝑥 dan
𝑦 adalah
𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1 ⋯ (1)
𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2 ⋯ (2)
Sehingga dapat dibentuk matriks
𝑎11 𝑎12 𝑥
𝑏
[𝑎
] [𝑦 ] = [ 1 ]
𝑎
𝑏2
21
22
Misal: 𝐴𝑋 = 𝐵
𝐴𝐴−1 𝑋 = 𝐴−1 𝐵
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
Sehingga
𝑎11
𝑥
[𝑦 ] = [𝑎
21
𝑎12 −1 𝑏1
𝑎22 ] [𝑏2 ]
Keterangan: 𝑎11 , 𝑎21 =koefisien 𝑥
𝑎12 , 𝑎22 =koefisien 𝑦
𝑏1 , 𝑏2 =konstanta
𝑥, 𝑦
=variabel
Contoh: Selesaikanlah SPLDV 2𝑥 + 𝑦 = 3 dan 𝑥 + 𝑦 = 5!
Diketahui: 𝑥 + 𝑦 = 3
2𝑥 + 𝑦 = 5
Ditanya: penyelesaian ?
Jawab:
11
Misal:
2 1
𝐴=[
]
1 1
1 1
1
1 −1
]= [
[
𝐴−1 =
1 −1
2 − 1 −1 2
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
𝑥
1 −1 3
][ ]
[𝑦] = [
−1 2 5
𝑥
(1 ⋅ 3) + (−1 ⋅ 5)
]
[𝑦] = [
(−1 ⋅ 3) + (2 ⋅ 5)
𝑥
3−5
]
[𝑦] = [
−3 + 10
𝑥
−2
[𝑦] = [ ]
7
1 −1
−1
]
]=[
−1 2
2
Jadi, 𝐻𝑃 = {(𝑥, 𝑦)|(−2,7), 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}
2) Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)
Definisi (Pengertian)
Sistem persamaan linier tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linier
dengan tiga variabel. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan tiga variabel 𝑥, 𝑦
dan 𝑧 adalah
𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑏1 ⋯ (1)
𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑏2 ⋯ (2)
𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑏3 ⋯ (3)
Sehingga dapat dibentuk matriks
Misal: 𝐴𝑋 = 𝐵
𝐴𝐴−1 𝑋 = 𝐴−1 𝐵
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
Sehingga
𝑎11
𝑥
[𝑦] = [𝑎21
𝑎31
𝑧
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎11
𝑎
[ 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13 𝑥
𝑏1
𝑎23 ] [𝑦] = [𝑏2 ]
𝑎33 𝑧
𝑏3
𝑎13 −1 𝑏1
𝑎23 ] [𝑏2 ]
𝑎33
𝑏3
Keterangan: 𝑎11 , 𝑎21 , 𝑎31 =koefisien 𝑥
𝑎12 , 𝑎22 , 𝑎32 =koefisien 𝑦
𝑎13 , 𝑎23 , 𝑎33 =koefisien 𝑧
𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3
=konstanta
𝑥, 𝑦, 𝑧
=variabel
Contoh: Selesaikanlah SPLDV 2𝑥 + 𝑧 = 5, 𝑥 + 𝑧 = 3, dan 𝑥 + 2𝑦 = 4!
Diketahui: 2𝑥 + 𝑧 = 5
𝑥+𝑧 = 3
𝑥 + 2𝑦 = 4
Ditanya: penyelesaian ?
12
Jawab:
Misal:
2 0 1
𝐴 = [1 0 1]
1 2 0
0 1
1
det (𝐴) = 2 |
|−0|
1
1 0
|
|+1|
2 0
1 2
1 0
= 2( 0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 2) − 0( 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1) + 1( 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 0)
= 2( 0 − 2) − 0( 0 − 1) + 1( 2 − 0)
= 2(−2) − 0(−1) + 1(2)
= −4 + 0 + 2
= −2
2 0
Minor elemen 𝑎11 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
Sehingga
0
0 1
] jika dan hanya jika det (𝑀11 ) = |
𝑀11 = [
2
2 0
1
|
0
0 1
| = 0 − 2 = −2
𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 |
2 0
2 0
Minor elemen 𝑎12 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
Sehingga
1
1 1
] jika dan hanya jika det (𝑀12 ) = |
𝑀12 = [
1
1 0
1
1 1
| = −|
𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 |
1
1 0
2 0
Minor elemen 𝑎13 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
Sehingga
1
1 0
] jika dan hanya jika det (𝑀13 ) = |
𝑀13 = [
1
1 2
1
|
0
1
| = −(1 − 0) = −2
0
0
|
2
1 0
1 0
|=2−0=2
|=|
𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 |
1 2
1 2
2 0
Minor elemen 𝑎21 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
Sehingga
0 1
0 1
|
] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = |
𝑀21 = [
2 0
2 0
13
0
𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 |
2
2 0
Minor elemen 𝑎22 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
0 1
1
| = −(0 − 2) = 2
| = −|
2 0
0
Sehingga
2 1
2 1
|
] jika dan hanya jika det (𝑀22 ) = |
𝑀22 = [
1 0
1 0
2
𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 |
1
2 0
Minor elemen 𝑎23 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
2 1
1
| = 0 − 1 = −1
|=|
1 0
0
Sehingga
2 0
2 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀23 ) = |
𝑀23 = [
1 2
1 2
2
𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 |
1
2 0
Minor elemen 𝑎31 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
2 0
0
| = −(4 − 0) = −4
| = −|
1 2
2
Sehingga
0 1
0 1
|
] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = |
𝑀31 = [
0 1
0 1
0
𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 |
0
2 0
Minor elemen 𝑎32 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
0 1
1
|= 0−0= 0
|=|
0 1
1
Sehingga
2 1
2 1
|
] jika dan hanya jika det (𝑀32 ) = |
𝑀32 = [
1 1
1 1
2
𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 |
1
2 0
Minor elemen 𝑎33 adalah [1 0
1 2
1
1]
0
2 1
1
| = −(2 − 1) = −1
| = −|
1 1
1
Sehingga
2 0
2 0
|
] jika dan hanya jika det (𝑀33 ) = |
𝑀33 = [
1 0
1 0
14
2
𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 |
1
Sehingga diperoleh
𝑐11 = −2
𝑐12 = −2
𝑐13 = 2
𝑐21 = 2
𝑐22 = −1
𝑐23 = −4
𝑐31 = 0
𝑐32 = −1
𝑐33 = 0
2 0
0
|= 0−0= 0
|=|
1 0
0
maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐴 sebagai berikut
𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝐶(𝐴) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ]
𝑐31 𝑐32 𝑐33
−2 −2 2
𝐶(𝐴) = [ 2 −1 −4]
0
1
0
adj (𝐴) = [𝐶(𝐴)]𝑇
−2 −2 2 𝑇
adj (𝐴) = [ 2 −1 −4]
0
1
0
−2 2 0
adj (𝐴) = [−2 −1 1]
2 −4 0
1
[adj (𝐴)]
det (𝐴)
−2 2 0
1
= [−2 −1 1]
−2
2 −4 0
1 −1 0
1
1
− ]
=[ 1
2
2
−1 2
0
𝐴−1 =
𝑋 = 𝐴−1 𝐵
1
𝑥
−1 0
1 5
1
[𝑦] = [ 1
− ] [3]
2 4
2
𝑧
−1 2
0
(1 ⋅ 5) + (−1 ⋅ 3) + (0 ⋅ 4)
𝑥
1
1
[𝑦] = [(1 ⋅ 5) + ( ⋅ 3) + (− ⋅ 4)]
2
2
𝑧
(−1 ⋅ 5) + (2 ⋅ 3) + (0 ⋅ 4)
15
5−3+0
𝑥
3
[𝑦] = [ 5 + − 2 ]
2
𝑧
−5 + 6 + 0
2
𝑥
3
[𝑦] = [ ]
2
𝑧
1
3
Jadi, 𝐻𝑃 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)| (2, , 1) , 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}
2
16