Tugas Aljabar Linier RESUME MENGHITUNG D
Tugas Aljabar Linier
Disusun oleh :
Papua Franklin Delano. Jarollo ( 2017-31-010 )
Maikel Yamle ( 2017-31-009 )
Alfa Louis Waimuri ( 2017-31-011)
Aplena Lidia Semunya ( 2017-31-012 )
RESUME MENGHITUNG DERTEMINAN MATRIKS
MENGGUNAKAN METODE EKSPANSI LAPLACE
1. Minor
A. Definisi Minor
B.Contoh Minor
2. Ekspansi Baris
A. Ekspansi baris pertama
B. Ekspansi baris kedua
C. Ekspansi baris ketiga
3. Elemen nol
A. Satu elemen nol
B. Dua elemen nol
C. Tiga elemen nol
4. Ekspansi Kolom
A. Ekspansi Kolom pertama
B. Ekspansi Kolom dua
C. Ekspansi Kolom tiga
Determinan Matriks 3×3 Metode Ekspansi Kofaktor
Walaupun konsep dasar minor dan kofaktor sama, akan tetapi terdapat perbedaan penggunaan
minor dan kofaktor dalam menghitung determinan dan invers matriks 3×3.
Dalam determinan, minor-kofaktor yang dihitung hanya terbatas pada baris atau kolom
tertentu saja dan biasa disebut ekspansi baris dan ekspansi kolom.
Sedangkan dalam invers, kita harus menghitung sembilan elemen minor dan kofaktor sampai
diperoleh matriks baru yaitu matriks minor dan matriks kofaktor.
Minor
Definisi minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya
dihilangkan.
Minor dilambangkan dengan “Mij” dimana “i” sebagai baris dan “j” sebagai kolom matriks
yang dihilangkan.
Baris dan kolom dihilangkan bukan berarti dibuang, akan tetapi baris dan kolom tersebut
hanya tidak diikutsertakan dalam submatriks yang baru.
Submatriks artinya bagian kecil dari matriks, sedangkan matriks persegi adalah matriks yang
mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom atau sebut saja berordo nxn. Misalnya
matriks persegi 3×3 maka submatriksnya berordo 2×2.
Jadi, menghitung minor matriks 3×3 adalah menghitung determinan submatriks 2×2.
Contoh: M12 = baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan
Matriks
Submatriks
Minor
Contoh: M23 = baris ke-2 dan kolom ke-3 dihilangkan
Matriks
Submatriks
Minor
Kofaktor
Dalam kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor
dilambangkan dengan “Cij” dan dapat dihitung dengan rumus:
Contoh:
Kofaktor (C11)
Kofaktor (C12)
Kofaktor (C13)
Cara mudah untuk mengetahui nilai kofaktor, yaitu:
Jika i + j = bilangan genap maka kofaktor bernilai positif
Dan jika i + j = bilangan ganjil maka kofaktor bernilai negatif
Sebenarnya tanpa menghitung satu persatu kita bisa dengan mudah mengetahui tanda
kofaktor matriks. Caranya cukup tuliskan tanda positif dan negatif secara bergantian di depan
lambang minor.
Seperti yang saya tulis sebelumnya bahwa terdapat perbedaan cara menghitung determinan
dan invers matriks 3×3.
Oleh karena itu, untuk selanjutnya pembahasan minor-kofaktor dalam invers bisa dibaca
dalam invers matriks ordo 3×3.
Sedangkan pembahasan ini berlanjut ke determinan metode ekspansi kofaktor yaitu ekspansi
baris dan kolom.
Ekspansi Baris
Ekspansi baris dimulai dari setiap elemen kolom pertama atau elemen dengan nilai j = 1
(ai1) dan arahnya bergerak secara mendatar sepanjang jumlah kolom matriks.
Rumus umum determinan ekspansi baris:
Kenapa tandanya + (plus) semua?
Karena tanda plus atau minus ditentukan oleh kofaktor dan ekspansi baris mana yang
digunakan.
Jika ekspansi baris ganjil misalnya ekspansi baris pertama dan baris ketiga, maka tandanya
dimulai dengan positif.
Dan jika ekspansi baris genap seperti ekspansi baris kedua dan baris keempat, maka
rumusnya dimulai dengan tanda negatif.
Dan hal yang hampir sama juga berlaku pada rumus umum ekspansi kolom.
Jadi, berdasarkan pola rumus umum tersebut dapat ditentukan tiga rumus determinan
ekspansi baris matriks 3×3, yaitu:
Ekspansi baris pertama
Ekspansi baris kedua
Ekspansi baris ketiga
Meskipun mudah namun tanda kofaktor justru yang paling sering menjadi penyebab
kesalahan menghitung determinan. Jadi, telitilah dalam menuliskan rumus ekspansi!
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi Baris Pertama
Rumus manapun (ekspansi baris ke-1, ke-2, atau ke-3) yang digunakan akan menghasilkan
nilai determinan yang sama yaitu 17. Coba anda hitung sendiri jika hasilnya berbeda
kemungkinan salah perhitungan.
Lalu untuk apa ada tiga rumus jika salah satunya saja sudah bisa menghitung determinan?
Jawabannya adalah “elemen nol”.
Maksudnya jika suatu matriks memiliki satu atau beberapa elemen nol, maka perhitungan
determinannya bisa lebih cepat.
Kemudian karena posisi elemen nol bisa berada di baris pertama, kedua atau ketiga. Maka,
disinilah fungsi dari ketiga rumus ekspansi baris dalam menghitung determinan.
Satu Elemen Nol
Jika hanya ada satu elemen nol, perhitungan determinan bisa menggunakan rumus ekspansi
baris atau kolom. Dengan syarat gunakanlah baris atau kolom yang berisi elemen nol.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi baris kedua
Dua Elemen Nol
Pertama, dua elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama
dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris seperti contoh diatas.
Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi baris ketiga
Tiga elemen nol
Pertama, tiga elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama
dengan cara satu elemen nol.
Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama, gunakan cara dua elemen nol.
Ketiga, tiga elemen nol dalam baris yang sama, maka nilai determinan = 0.
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi baris kedua
Ekspansi Kolom
Ekspansi kolom diawali dari setiap elemen baris pertama atau elemen dengan nilai i = 1
(a1j) dan arahnya bergerak menurun sepanjang jumlah baris matriks.
Rumus umum determinan ekspansi kolom:
Kemudian tiga rumus determinan ekspansi kolom matriks 3×3, yaitu:
Ekspansi kolom pertama
Ekspansi kolom kedua
Ekspansi kolom ketiga
Berikut ini contoh perhitungan determinan matriks dengan salah satu rumus ekspansi kolom.
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi kolom pertama
Seperti halnya ekspansi baris, penggunaan rumus ekspansi kolom disesuaikan dengan posisi
dan jumlah elemen nol dalam matriks.
Satu Elemen Nol
Jika hanya ada satu elemen nol, bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi kolom ketiga
Dua elemen nol
Pertama, dua elemen nol dalam dua baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan
sama dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris atau kolom seperti
contoh diatas.
Kedua, dua elemen nol dalam kolom yang sama.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi Kolom Kedua
Tiga elemen nol
Caranya hampir sama dengan tiga elemen nol yang dibahas sebelumnya.
Pertama, tiga elemen nol dalam tiga baris atau kolom berbeda, maka hitung dengan cara satu
elemen nol.
Kedua, dari tiga elemen nol, dua diantaranya dalam kolom yang sama. Maka, caranya seperti
dua elemen nol.
Ketiga, jika tiga elemen nol dalam satu kolom, maka nilai determinan = 0.
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi kolom pertama
Determinan Matriks dengan Teorema Laplace (Reduksi Menurut Baris / Kolom)
Kali ini saya akan memberikan cara mencari determinan matriks 3x3 dengan Teorema
Laplace reduksi menurut baris / kolom...
oke, bisa dilihat soal dibawah ini...
soal :
* Hitung Determinan matriks diatas !
Jawaban :
reduksi menurut kolom 1
= a11.k11 - a21.k21 + a31.k31
= 0 - 2((6.3)-(2.8)) + 0
= -2(18-16) = -2(2) = - 4
#catatan:
1. bagaimana kalau mau reduksi menurut baris 2 ?
> boleh. reduksi menurut baris / kolom berapapun boleh boleh saja, saya memakai reduksi
menurut kolom 1 karena angka 0 nya banyak sehingga menghitungnya menjadi lebih
mudah :)
2. ((6.3)-(2.8)) itu didapat dari mana ?
> karena angka 2 terdapat di baris 2 & kolom 1, maka tutup baris 2 & kolom 1 seperti
dibawah ini
3. " = 0 - 2((6.3)-(2.8)) + 0 ". kenapa - 2((6.3)-(2.8)) ? kok bukan + 2((6.3)-(2.8)) ?
> karena karena angka 2 disitu adalah a21. 2+1 = 3 (ganjil), jika ganjil maka tandanya dibalik
( yang tadinya + menjadi - )
4. apakah jika dicari dengan aturan sarrus hasilnya juga " - 4 " ?
> iya, hasilnya akan sama. hanya beda cara saja
Disusun oleh :
Papua Franklin Delano. Jarollo ( 2017-31-010 )
Maikel Yamle ( 2017-31-009 )
Alfa Louis Waimuri ( 2017-31-011)
Aplena Lidia Semunya ( 2017-31-012 )
RESUME MENGHITUNG DERTEMINAN MATRIKS
MENGGUNAKAN METODE EKSPANSI LAPLACE
1. Minor
A. Definisi Minor
B.Contoh Minor
2. Ekspansi Baris
A. Ekspansi baris pertama
B. Ekspansi baris kedua
C. Ekspansi baris ketiga
3. Elemen nol
A. Satu elemen nol
B. Dua elemen nol
C. Tiga elemen nol
4. Ekspansi Kolom
A. Ekspansi Kolom pertama
B. Ekspansi Kolom dua
C. Ekspansi Kolom tiga
Determinan Matriks 3×3 Metode Ekspansi Kofaktor
Walaupun konsep dasar minor dan kofaktor sama, akan tetapi terdapat perbedaan penggunaan
minor dan kofaktor dalam menghitung determinan dan invers matriks 3×3.
Dalam determinan, minor-kofaktor yang dihitung hanya terbatas pada baris atau kolom
tertentu saja dan biasa disebut ekspansi baris dan ekspansi kolom.
Sedangkan dalam invers, kita harus menghitung sembilan elemen minor dan kofaktor sampai
diperoleh matriks baru yaitu matriks minor dan matriks kofaktor.
Minor
Definisi minor adalah determinan submatriks persegi setelah salah satu baris dan kolomnya
dihilangkan.
Minor dilambangkan dengan “Mij” dimana “i” sebagai baris dan “j” sebagai kolom matriks
yang dihilangkan.
Baris dan kolom dihilangkan bukan berarti dibuang, akan tetapi baris dan kolom tersebut
hanya tidak diikutsertakan dalam submatriks yang baru.
Submatriks artinya bagian kecil dari matriks, sedangkan matriks persegi adalah matriks yang
mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolom atau sebut saja berordo nxn. Misalnya
matriks persegi 3×3 maka submatriksnya berordo 2×2.
Jadi, menghitung minor matriks 3×3 adalah menghitung determinan submatriks 2×2.
Contoh: M12 = baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan
Matriks
Submatriks
Minor
Contoh: M23 = baris ke-2 dan kolom ke-3 dihilangkan
Matriks
Submatriks
Minor
Kofaktor
Dalam kofaktor, elemen minor matriks dapat bernilai positif dan negatif. Kofaktor
dilambangkan dengan “Cij” dan dapat dihitung dengan rumus:
Contoh:
Kofaktor (C11)
Kofaktor (C12)
Kofaktor (C13)
Cara mudah untuk mengetahui nilai kofaktor, yaitu:
Jika i + j = bilangan genap maka kofaktor bernilai positif
Dan jika i + j = bilangan ganjil maka kofaktor bernilai negatif
Sebenarnya tanpa menghitung satu persatu kita bisa dengan mudah mengetahui tanda
kofaktor matriks. Caranya cukup tuliskan tanda positif dan negatif secara bergantian di depan
lambang minor.
Seperti yang saya tulis sebelumnya bahwa terdapat perbedaan cara menghitung determinan
dan invers matriks 3×3.
Oleh karena itu, untuk selanjutnya pembahasan minor-kofaktor dalam invers bisa dibaca
dalam invers matriks ordo 3×3.
Sedangkan pembahasan ini berlanjut ke determinan metode ekspansi kofaktor yaitu ekspansi
baris dan kolom.
Ekspansi Baris
Ekspansi baris dimulai dari setiap elemen kolom pertama atau elemen dengan nilai j = 1
(ai1) dan arahnya bergerak secara mendatar sepanjang jumlah kolom matriks.
Rumus umum determinan ekspansi baris:
Kenapa tandanya + (plus) semua?
Karena tanda plus atau minus ditentukan oleh kofaktor dan ekspansi baris mana yang
digunakan.
Jika ekspansi baris ganjil misalnya ekspansi baris pertama dan baris ketiga, maka tandanya
dimulai dengan positif.
Dan jika ekspansi baris genap seperti ekspansi baris kedua dan baris keempat, maka
rumusnya dimulai dengan tanda negatif.
Dan hal yang hampir sama juga berlaku pada rumus umum ekspansi kolom.
Jadi, berdasarkan pola rumus umum tersebut dapat ditentukan tiga rumus determinan
ekspansi baris matriks 3×3, yaitu:
Ekspansi baris pertama
Ekspansi baris kedua
Ekspansi baris ketiga
Meskipun mudah namun tanda kofaktor justru yang paling sering menjadi penyebab
kesalahan menghitung determinan. Jadi, telitilah dalam menuliskan rumus ekspansi!
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi Baris Pertama
Rumus manapun (ekspansi baris ke-1, ke-2, atau ke-3) yang digunakan akan menghasilkan
nilai determinan yang sama yaitu 17. Coba anda hitung sendiri jika hasilnya berbeda
kemungkinan salah perhitungan.
Lalu untuk apa ada tiga rumus jika salah satunya saja sudah bisa menghitung determinan?
Jawabannya adalah “elemen nol”.
Maksudnya jika suatu matriks memiliki satu atau beberapa elemen nol, maka perhitungan
determinannya bisa lebih cepat.
Kemudian karena posisi elemen nol bisa berada di baris pertama, kedua atau ketiga. Maka,
disinilah fungsi dari ketiga rumus ekspansi baris dalam menghitung determinan.
Satu Elemen Nol
Jika hanya ada satu elemen nol, perhitungan determinan bisa menggunakan rumus ekspansi
baris atau kolom. Dengan syarat gunakanlah baris atau kolom yang berisi elemen nol.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi baris kedua
Dua Elemen Nol
Pertama, dua elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama
dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris seperti contoh diatas.
Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi baris ketiga
Tiga elemen nol
Pertama, tiga elemen nol dalam baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan sama
dengan cara satu elemen nol.
Kedua, dua elemen nol dalam baris yang sama, gunakan cara dua elemen nol.
Ketiga, tiga elemen nol dalam baris yang sama, maka nilai determinan = 0.
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi baris kedua
Ekspansi Kolom
Ekspansi kolom diawali dari setiap elemen baris pertama atau elemen dengan nilai i = 1
(a1j) dan arahnya bergerak menurun sepanjang jumlah baris matriks.
Rumus umum determinan ekspansi kolom:
Kemudian tiga rumus determinan ekspansi kolom matriks 3×3, yaitu:
Ekspansi kolom pertama
Ekspansi kolom kedua
Ekspansi kolom ketiga
Berikut ini contoh perhitungan determinan matriks dengan salah satu rumus ekspansi kolom.
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi kolom pertama
Seperti halnya ekspansi baris, penggunaan rumus ekspansi kolom disesuaikan dengan posisi
dan jumlah elemen nol dalam matriks.
Satu Elemen Nol
Jika hanya ada satu elemen nol, bisa menggunakan rumus ekspansi baris atau kolom.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi kolom ketiga
Dua elemen nol
Pertama, dua elemen nol dalam dua baris atau kolom berbeda, cara perhitungan determinan
sama dengan cara satu elemen nol. Jadi, gunakan saja ekspansi baris atau kolom seperti
contoh diatas.
Kedua, dua elemen nol dalam kolom yang sama.
Contoh soal:
Penyelesaian:
Ekspansi Kolom Kedua
Tiga elemen nol
Caranya hampir sama dengan tiga elemen nol yang dibahas sebelumnya.
Pertama, tiga elemen nol dalam tiga baris atau kolom berbeda, maka hitung dengan cara satu
elemen nol.
Kedua, dari tiga elemen nol, dua diantaranya dalam kolom yang sama. Maka, caranya seperti
dua elemen nol.
Ketiga, jika tiga elemen nol dalam satu kolom, maka nilai determinan = 0.
Contoh Soal: hitunglah determinan matriks berikut dengan cara ekspansi kofaktor!
Penyelesaian:
Ekspansi kolom pertama
Determinan Matriks dengan Teorema Laplace (Reduksi Menurut Baris / Kolom)
Kali ini saya akan memberikan cara mencari determinan matriks 3x3 dengan Teorema
Laplace reduksi menurut baris / kolom...
oke, bisa dilihat soal dibawah ini...
soal :
* Hitung Determinan matriks diatas !
Jawaban :
reduksi menurut kolom 1
= a11.k11 - a21.k21 + a31.k31
= 0 - 2((6.3)-(2.8)) + 0
= -2(18-16) = -2(2) = - 4
#catatan:
1. bagaimana kalau mau reduksi menurut baris 2 ?
> boleh. reduksi menurut baris / kolom berapapun boleh boleh saja, saya memakai reduksi
menurut kolom 1 karena angka 0 nya banyak sehingga menghitungnya menjadi lebih
mudah :)
2. ((6.3)-(2.8)) itu didapat dari mana ?
> karena angka 2 terdapat di baris 2 & kolom 1, maka tutup baris 2 & kolom 1 seperti
dibawah ini
3. " = 0 - 2((6.3)-(2.8)) + 0 ". kenapa - 2((6.3)-(2.8)) ? kok bukan + 2((6.3)-(2.8)) ?
> karena karena angka 2 disitu adalah a21. 2+1 = 3 (ganjil), jika ganjil maka tandanya dibalik
( yang tadinya + menjadi - )
4. apakah jika dicari dengan aturan sarrus hasilnya juga " - 4 " ?
> iya, hasilnya akan sama. hanya beda cara saja