matematika diskrit pewarnaan graf (1)
matematika diskrit - pewarnaan graf
http://rahadikusuma.blogspot.com/2013/12/matematika-diskrit-pewarnaangraf_30.html
Kata Pengantar.
Puji syukur saya ucapkan kepada Allah swt. Karena atas ijinnya Akhirnya saya dapat
menyelesaikan tugas makalah matematika diskrit “ Pewarnaan Graf” dengan tepat waktu.
Matematika diskrit merupakan mata kuliah yang fundamental dalam pendidikan ilmu komputer
atau teknik informatika. Saat ini matematika diskrit merupakan mata kuliah wajib pada program
pendidikan yang termasuk ke dalam kelompok teknologi informasi. Makalah ini membahas
tentang materi matematika diskrit yaitu pewarnaan graf. Graf sangat erat kaitannya dengan
kehidupan sehari-hari kita. Misalnya pada sebuah peta yg menggambarkan suatu daerah yg di
dalamnya banyak terdapat objek-objek diskrit, dimana kita dapat menggambarkan dengan baik
agar lebih mudah di pahami oleh pengguna peta dengan menggunakan metode graf , pewarnaan
graf dalam pengaturan warna lampu lalu lintas di perempatan jalan sehingga mencegah
terjadinya tabrakan di perempatan jalan tersebut, penyusunan jadwal matakuliah,jadwal shift
kerja dan masih banyak persoalan-persoalan unik lain yg dapat kita selesaikan dengan metode
graf. Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, mungkin terdapat kesalahankesalahan. Koreksi, saran perbaikan,keritik membangun sangat saya harapkan.
I. PENDAHULUAN
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan
sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek
dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan
dengan garis. Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), yang dalam hal ini : V =
himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) = {v1,v2,…,vn}
dan
E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepanjang simpul = {e1,e2,…,en}
Atau dapat ditulis singkat notasi G = (V, E). definisi tersebut menyatakan V tidak boleh kosong,
sedangkan E boleh kosong. Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun,
tetapi simpulnya harus ada, minimal satu. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek
diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Secara geometri, graf bisa digambarkan seperti
contoh berikut :
Gambar
1.
Contoh
graf
Pada gambar diatas, sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan sisi-ganda (multiple edges atau
parallel edges) karena kedua sisi tersebut menghubungkan dua simpul yang sama, yaitu simpul 1
dan simpul 3. Sedangkan sisi e8 = (3,3) dinamakan sisi gelang atau kalang (loop) karena ia
berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda
pada suatu graf, maka graf dapat digolongkan menjadi dua jenis, yaitu graf sederhana dan graf
tak-sederhana.
Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda.
Gambar
2.
Contoh
graf
sederhana
Sedangkan graf tak-sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua
jenis graf-tak-sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda
adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu adalah graf yang mengandung gelang
termasuk jika mempunyai sisi ganda pada graf tersebut. Graf pada Gambar 1 merupakan salah
satu contoh graf semu. Gambar di bawah ini adalah graf ganda.
Gambar
3.
Contoh
graf
Berikut ini beberapa terminologi dasar yang menyangkut tentang graf :
ganda
1. Bertetangga
Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung
langsung dengan sebuah sisi pada graf G.
2. Bersisian
Untuk sembarang sisi e = (vj,vk), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul vj dan simpul vk. 3.
Simpul Terpencil
Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Atau, dapat
juga simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul
lainnya. 4. Graf Kosong
Graf kosong adalah graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong. Dan ditulis
sebagai Nn, yang dalam hal ini n adalah jumlah simpul. 5. Derajat
Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul
tersebut. 6. Lintasan
Lintasan yang panjangnya n dan simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah
barisan selang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2, … , vn-1, en,
vn sedemikian sehingga i1 = (v0,v1), e2 = (v1,v2), … , en = (vn-1,vn), adalah sisi – sisi dari graf
G. 7. Siklus atau Sirkuit
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut siklus atau sirkuit. 8.
Terhubung
Graf tak berarah G disebut graf terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke v.
II. PEWARNAAN GRAF
Pewarnaan graf (graph coloring) adalah kasus khusus dari pelabelan graf. Pelabelan disini
maksudnya, yaitu memberikan warna pada titik-titik pada batas tertentu. Ada tiga macam
pewarnaan graf :
1. Pewarnaan simpul
Pewarnaan simpul (vertex coloring) adalah member warna pada simpul-simpul suatu graf
sedemikian sehingga tidak ada dua simpul bertetangga mempunyai warna yang sama.
Gambar 4. Contoh pewarnaan simpul
2. Pewarnaan sisi
Pewarnaan sisi (edge coloring) adalah memberi warnaberbeda pada sisi yang bertetangga
sehingga tidak ada dua sisi yang bertetangga mempunyai warna yang sama.
Gambar 5. Contoh pewarnaan sisi
3. Pewarnaan bidang
Pewarnaan bidang adalah memberi warna pada bidang sehingga tidak ada bidang yang
bertetangga mempunyai warna yang sama. Pewarnaan bidang hanya bisa dilakukan dengan
membuat graf tersebut menjadi graf planar terlebih dahulu. Graf planar adalah graf yang dapat
digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi yang tidak saling memotong (bersilangan),
seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.
Gambar 6. Contoh Grraf Planar
Setelah terbentuk graf planar, lalu memberikan warna berbeda untuk setiap bidang yang
berdekatan. Dan jumlah warna yang digunakan harus sedikit mungkin.
Gambar 7. Contoh pewarnaan bidang
Dalam pewarnaan graf, jumlah warna yang digunakan untuk mewarnai simpul, sisi, maupun
bidang diusahakan sesedikit mungkin. Jumlah warna minimum yang dapat digunakan tersebut
disebut bilangan kromatik graf G, disimbolkan dengan χ(G). Suatu graf G yang mempunyai
bilangan kromatis k dilambangkan dengan χ(G) = k.
III. PENGATURAN WARNA PADA LAMPU LALU LINTAS MENGGUNAKAN GRAF
Sudah disebutkan sebelumnya bahwa sampai saat ini, teori graf masih diterapkan di berbagai
persoalan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya aplikasi pewarnaan graf dalam pengaturan
warna lampu lalu lintas di perempatan jalan sehingga mencegah terjadinya tabrakan di
perempatan jalan tersebut.
Gambar 8. Lampu lalu lintas perempatan jalan
Seperti yang ditunjukkan pada gambar diatas, sebuah perempatan jalan mempunyai 4 buah
lampu lalu lintas. Lampu lalu lintas pada jalan B dan F menyala bersamaan. Lampu lalu lintas
pada jalan D dan H juga menyala bersamaan. Dalam perempatan jalan tersebut diketahui jika
lampu di jalan B dan F menyala hijau maka jalur yang boleh digunakan adalah dari B ke E, F ke
A. selain itu jalur langsung belok kiri juga diperbolehkan, yaitu dari B ke C, dan F ke G. Jika di
jalan D dan H lampu hijau menyala maka jalur yang boleh digunakan untuk melintas adalah jalur
dari D ke E, D ke G, H ke A, dan H ke C. Dalam kondisi ini, jalur langsung belok kiri juga
diperoblehkan. Untuk menyelesaikan permasalahan pada pembuatan lampu lalu lintas pada
sebuah perempatan jalan, maka hal yang harus dilakukan terlebih dahulu adalah menentukan
jalur mana yang bisa berjalan dengan member lampu hijau di tempat tertentu dan member lampu
merah agar kendaraan pada lintasan yang lain berhenti sehingga tidak terjadi tabrakan.
Gambar 9. Jalur di perempatan jalan
Diketahui bahwa jalur yang bisa digunakan untuk melintas adalah dari B ke C, B ke E, D ke E, D
ke G, F ke G, F ke A, H ke A, dan H ke C. Setelah mengetahui jalur mana saja yang bisa
dilewati, berikut langkah-langkah untuk mengatur lampu lalu lintas menggunakan graf.
1. Membuat simpul-simpul sebagai tanda dari semua jalur yang bisa dilewati dalam perempatan
jalan. Letak dari simpul-simpul tersebut bebas, tidak ada aturan tertentu untuk mengharuskan
simpul harus diletakkan di posisi mana karena hal itu tidak terlalu berpengaruh.
Gambar 10. Simpul-simpul dari jalur jalan
2. Menentukan sisi untuk menghubungkan 2 simpul yang saling melintas atau berseberangan.
Untuk memudahkan hal ini, carilah simpul-simpul yang menunjukkan jalur mana saja yang akan
bertabrakan jika semua lampu lalu lintas berwarna hijau. Pada Gambar 9 terlihat bahwa jalur BE
dan DG, BE dan HC, FA dan DG, FA dan HC saling berseberangan. Karena BE dan DG
berseberangan, maka kedua simpul tersebut dihubungkan dengan garis yang disebut sisi. Setelah
itu, simpul-simpul lain yang saling berseberangan juga dihubungkan dengan sebuah sisi.
Gambar 11. Graf jalur jalan
3. Setelah menghubungkan semua simpul (jalur) yang saling berseberangan, langkah selanjutnya
yang harus dilakukan adalah memberi warna pada masing-masing simpul dengan ketentuan
pemberian warnanya sebagai berikut :
• Menggunakan jumlah warna sedikit mungkin
• Simpul yang bertetanggaan (terhubung dengan sisi) tidak boleh berwarna sama
• Memberi warna yang sama pada simpul yang tidak terhubung secara langsung
• Simpul yang tidak terhubung dengan sisi (simpul terpencil), berarti jalur tersebut boleh berlaku
lampu lalu lintas berwarna hijau terus.
• Warna yang digunakan bebas.
Gambar 12. Pewarnaan pada simpul graf
Berdasarkan gambar diatas, semua simpul telah diwarnai sesuai ketentuan pewarnaan pada graf.
Graf diatas memiliki bilangan kromatis 3 (χ(G) = 3) karena jumlah minimum warna yang
digunakan sebanyak 3. Simpul FA dan BE berwarna sama yaitu hijau karena keduanya tidak
terhubung/bertetanggaan. Tapi simpul DG dan HC terhubung dengan simpul FA dan BE
sehingga harus diberi warna yang berbeda yaitu warna merah. Sementara simpul HA, BC, DE,
FG diberi warna sama yaitu kuning karena simpul-simpul tersebut adalah simpul terpencil yang
tidak terhubung dengan simpul lain dan itu berarti bahwa jalur-jalur dari simpul tersebut tidak
ada yang saling melintas sehingga keempat jalur itu bisa berlaku lampu hijau terus.
4. Langkah selanjutnya adalah mengelompokkan simpul-simpul tersebut berdasarkan kesamaan
warna.
• Merah = DG dan HC
• Hijau = BE dan FA
• Kuning = BC, DE, FG, dan HA
Dari pengelompokkan tersebut diperoleh 2 kondisi untuk lampu lalu lintas di perempatan jalan.
Lampu Merah = DG, HC
Lampu Hijau = BE, FA, BC, DE, FG, HA
Tabel 1. Kondisi lampu lalu lintas 1
Lampu Merah = BE, FA
Lampu Hijau = DG, HC, BC, DE, FG, HA
Tabel 2. Kondisi lampu lalu lintas 2
Berdasarkan tabel-tabel diatas, lampu merah berarti bahwa jalur tidak boleh digunakan untuk
melintas, sedangkan lampu hijau menunjukkan bahwa jalur bisa digunakan untuk melintas. Pada
Tabel 1, jika di jalan D dan H lampu merah menyala maka jalur DG dan HC tidak boleh
digunakan. Disaat yang bersamaan di jalan B dan F lampu hijau menyala sehingga jalur BE dan
FA boleh digunakan. Karena langsung belok kiri juga diperbolehkan, maka jalur BC, DE, FG,
HA juga bisa digunakan untuk melintas. Hal-hal tersebut juga berlaku untuk Tabel 2, ketika di
jalan B dan F lampu merah menyala maka di jalan D dan H lampu hijau akan menyala. Sehingga
jalur-jalur yang bisa digunakan antara lain DG, HC, BC, DE, FG, dan HA.
IV. PENYUSUNAN JADWAL DENGAN METODE PEWARNAAN GRAF
Salah satu aplikasi penerapan pewarnaan graf dalam kehidupan sehari-hari adalah dalam
penyusunan sebuah jadwal. Sebuah jadwal yang ada mula-mula dipetakan menjadi bentuk graf
terlebih dahulu. Proses pewarnaan graf ini nantinya akan dilakukan pada graf yang terbentuk.
Pemetaan dilakukan dengan mengasumsikan bahwa setiap jadwal adalah sebuah vertex (simpul)
dan urutan jadwal atau dua jadwal yang tidak bisa diadakan bersamaan dipetakan dengan
membuat edge(sisi) antara dua titik tersebut. Untuk kapasitas ruang yang ada akan dimodelkan
dengan batasan jumlah warna sama yang bisa digunakan untuk mewarnai simpul. Setelah proses
pewarnaan graf telah selesai, setiap simpul pada graf hasil pewarnaan tersebut akan memiliki
warna sama yang berbeda-beda. Dari warnawarna tersebut akan diketahui bahwa simpul dengan
warna yang sama bisa dijadwalkan bersamaan sedangkan untuk simpul dengan warna yang
berlainan harus dijadwalkan berbeda. Jumlah warna yang digunakan menunjukkan banyaknya
jadwal yang harus disusun dalam melakukan penyusunan jadwal. Karena penulis adalah seorang
mahasiswa, disini penulis akan mengambil contoh bagaimana menyusun jadwal kuliah dengan
metode pewarnaan graf ini. Misalkan terdapat himpunan delapan orang mahasiswa,
M= {1, 2, 3, 4, .., 8}
Dan lima buah mata kuliah yang dapat dipilih oleh kedelapan mahasiwa tersebut,
MK= {1, 2, 3, 4, 5}
Tabel berikut memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa.
Tabel 1. Tabel Mata Kuliah yang Diambil Oleh Delapan Orang Mahasiswa
Pada tabel tersebut terlihat matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiwa. Angka 1 pada
elemen (i, j) menandakan bahwa mahasiwa I memilih mata kuliah j, sedangkan angka 0
menyatakan bahwa mahasiswa tersebut tidak memilih mata kuliah j. Berdasarkan tabel tersebut,
akan ditentukan sebuah jadwal ujian sedemikian sehingga semua mahasiwa dapat mengikuti
semua ujian mata kuliah tersebut. Oleh karena itu tidak boleh terdapat jadwal ujian mata kuliah
yang bertabrakan dengan jadwal ujian mata kuliah lainnya yang juga diambil oleh mahasiswa
tersebut. Ujian dua buah mata kuliah dapat dijadwalkan pada waktu yang sama jika tidak ada
mahasiwa yang sama yang mengikuti ujian dua mata kuliah tersebut. Penyelesaian untuk
masalah ini sama dengan persoalan menentukan bilangan kromatik untuk sebuh graf. Pertamatama, persoalan tersebut dipetakan ke dalam sebuah graf, diman setiap simpul dalam graf
tersebut menyatakan mata kuliah. Dan sisi yang menghubungkan dua simpul menyatakan ada
mahasiwa yang memilih kedua mata kuliah tersebut.
Gambar 3: Graf Mata Kuliah Delapan Orang Mahasiswa
Dapat dilihat pada graf tersebut bahwa apabila terdapat dua buah simpul yang dihungkan oleh
kedua sisi, maka ujian kedua mata kuliah tersebut tidak dapatdiadakan secara bersamaan. Simpul
(mata kuliah) tidak boleh mendapat alokasi waktu (warna simpul) yang sama.Warna-warna yang
berbeda dapat diberikan kepada simpul-simpul graf tersebut. Jadwal yang efisien adalah jadwal
yang memungkinkan waktu sedikit mungkin untuk melaksanakan semua kegiatan tersebut. Oleh
karena itu, disini yang akan dicari adalah bilangan kromatik graf tersebut, χ(G). Dalam
mengerjakan pewarnaan graf ini, dapat menggunakan langkah-langkah pewarnaan graf secara
umum ataupun algoritma. Semua cara tergantung kepada individu yang akan menyusun sebuah
jadwal itu sendiri. Pada graf persoalan diatas, ditemukan bahwa bilangan kromatik graf tersebut
adalah dua. Oleh karena itu simpul pada graf tersebut dapat diwarnai oleh dua macam warna
yang menandakan bahwa ujian-ujian kelima mata kuliah tersebut dapat dilaksanakan hanya pada
dua waktu saja. Berikut merupakan gambar graf persoalan ini yang telah diberi warna.
Gambar 4: Graf yang Telah Diberi Warna Tiap Simpulnya
Pada gambar diatas, terlihat bahwa ujian untuk mata kuliah A, D, dan E dapat dilaksanakan pada
waktu yang bersamaan, begitu pula dengan mata kuliah B dan C. Perbedaan warna simpul
menunjukkan bahwa ujian mata kuliah tersebut dilaksanakan pada waktu yang berbeda.
Contoh lainnya adalah dalam menyusun sebuah jadwal rapat. Misalkan terdapat tugas kelompok.
Dalam satu kelas tedapat enam buah kelopokmahasiswa. Satu mahasiswa dapat bergabung ke
dalam kelompok lainnya juga.
Berikut merupakan daftar nama tiap-tiap kelompok.
K1= {Amir, Budi, Yanti}
K2= {Budi, Hasan, Tommy}
K3= {Amir, Tommy, Yanti}
K4= {Hasan, Tommy, Yanti}
K5= {Amir, Budi}
K6= {Budi, Tommy, Yanti}
Disini persoalan yang akan dipecahkan adalah bagaimana menyusun jadwal asistensi untuk tiap
kelompok agar tidak saling bertabrakan. Hal yang pertama dilakukan adalah memetakan
persoalan tersebut ke dalam graf seperti yang diperlihatkan pada graf berikut.
Gambar 5: Graf Persoalan Jadwal Asistensi
Pada graf tersebut, tiap simpul menandakan tiap kelompok dan sisi menandakan kelompok yang
memiliki anggota kelopoknya yang sama. Dengan menggunakan metode pewarnaan graf,
diperoleh bilangan kromatik graf tersebut adalah 5. Oleh karean itu, gambar graf yang telah
diwarnai tiap simpulnya adalah sebagai berikut.
Gambar 6: Graf Persoalan Jadwal Asistensi yang Telah Diberi Warna Tiap Simpulnya
Dari gambar diatas dapat terlihat bahwa untuk menyelesaikan masalah jadwal asistensi, jadwal
asistensi dapat dilakukan pada lima waktu yang berbeda. Dari contoh-contoh yang telah
dijabarkan diatas. Telah dijabarkan beberapa contoh penyelesaian permasalahan penyusunan
jadwaldengan metode pewarnaan graf. Untuk graf dengan jumlah simpul yang sedikit, dapat
ditentukan bilangan kromatik suatu graf dengan mudah. Namun untuk graf dengan jumlah
simpul yang banyak, disini diperlukan sebuah software komputer. Dalam pembuatan software
tersebut dapat menerapkan algoritma-algoritma yang telah dijabarkan pada bab 4 diatas.
V. KESIMPULAN
1. Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah lama tapi sampai sekarang masih memiliki
terapan di berbagai persoalan dalam kehidupan sehari-hari, salah satu contohnya adalah
penggunaan pewarnaan graf pada pengaturan lampu lalu lintas di perempatan jalan & Peyusunan
Jadwal Dengan Metode Pewarnaan Graf
2. Masalah pembuatan lampu lalu lintas dan masalah penyusunan jadwal dapat dimodelkan
dalam bentuk graf. Untuk mencari solusi dari permasalahan pengaturan warna lampu lintas dapat
digunakan teknik pewarnaan simpul pada graf.
3. Untuk penyelesaian dari pengaturan warna pada lampu lalu lintas di perempatan jalan, jumlah
minimum warna yang digunakan untuk pewarnaan simpul adalah 3.
4. Langkah awal penyelesaian adalah dengan memetakan suatu jadwal ke dalam graf lalu
menentukan bilangan kromatik graf tersebut.
5. Untuk graf dengan jumlah simpul yang sedikit, dapat ditentukan bilangan kromatik suatu graf
dengan mudah, Namun untuk graf dengan jumlah simpul yang banyak, disini diperlukan sebuah
software komputer.
VI. REFERENSI
1) Munir,Rinaldi, Matematika diskrit revisi ke 5,Informatika Bandung,2012.
2) Lipschutz,Seymor & Marc Lars Lipson,2000 Solved Problems in Discrete
Mathematics,McGraw-Hill,1992
3) P engaturan-warna-pada-lampu-lalu-lintas,
http://bloglogika.blogspot.com/2011/02/pengaturan warna-pada-lampu-lalu-lintas.html.
Wikipedia, “Graph Coloring”, http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_coloring.
http://rahadikusuma.blogspot.com/2013/12/matematika-diskrit-pewarnaangraf_30.html
Kata Pengantar.
Puji syukur saya ucapkan kepada Allah swt. Karena atas ijinnya Akhirnya saya dapat
menyelesaikan tugas makalah matematika diskrit “ Pewarnaan Graf” dengan tepat waktu.
Matematika diskrit merupakan mata kuliah yang fundamental dalam pendidikan ilmu komputer
atau teknik informatika. Saat ini matematika diskrit merupakan mata kuliah wajib pada program
pendidikan yang termasuk ke dalam kelompok teknologi informasi. Makalah ini membahas
tentang materi matematika diskrit yaitu pewarnaan graf. Graf sangat erat kaitannya dengan
kehidupan sehari-hari kita. Misalnya pada sebuah peta yg menggambarkan suatu daerah yg di
dalamnya banyak terdapat objek-objek diskrit, dimana kita dapat menggambarkan dengan baik
agar lebih mudah di pahami oleh pengguna peta dengan menggunakan metode graf , pewarnaan
graf dalam pengaturan warna lampu lalu lintas di perempatan jalan sehingga mencegah
terjadinya tabrakan di perempatan jalan tersebut, penyusunan jadwal matakuliah,jadwal shift
kerja dan masih banyak persoalan-persoalan unik lain yg dapat kita selesaikan dengan metode
graf. Saya menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, mungkin terdapat kesalahankesalahan. Koreksi, saran perbaikan,keritik membangun sangat saya harapkan.
I. PENDAHULUAN
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan
sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek
dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan
dengan garis. Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), yang dalam hal ini : V =
himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) = {v1,v2,…,vn}
dan
E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepanjang simpul = {e1,e2,…,en}
Atau dapat ditulis singkat notasi G = (V, E). definisi tersebut menyatakan V tidak boleh kosong,
sedangkan E boleh kosong. Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun,
tetapi simpulnya harus ada, minimal satu. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek
diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Secara geometri, graf bisa digambarkan seperti
contoh berikut :
Gambar
1.
Contoh
graf
Pada gambar diatas, sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan sisi-ganda (multiple edges atau
parallel edges) karena kedua sisi tersebut menghubungkan dua simpul yang sama, yaitu simpul 1
dan simpul 3. Sedangkan sisi e8 = (3,3) dinamakan sisi gelang atau kalang (loop) karena ia
berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda
pada suatu graf, maka graf dapat digolongkan menjadi dua jenis, yaitu graf sederhana dan graf
tak-sederhana.
Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi-ganda.
Gambar
2.
Contoh
graf
sederhana
Sedangkan graf tak-sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua
jenis graf-tak-sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda
adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu adalah graf yang mengandung gelang
termasuk jika mempunyai sisi ganda pada graf tersebut. Graf pada Gambar 1 merupakan salah
satu contoh graf semu. Gambar di bawah ini adalah graf ganda.
Gambar
3.
Contoh
graf
Berikut ini beberapa terminologi dasar yang menyangkut tentang graf :
ganda
1. Bertetangga
Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung
langsung dengan sebuah sisi pada graf G.
2. Bersisian
Untuk sembarang sisi e = (vj,vk), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul vj dan simpul vk. 3.
Simpul Terpencil
Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Atau, dapat
juga simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpul-simpul
lainnya. 4. Graf Kosong
Graf kosong adalah graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong. Dan ditulis
sebagai Nn, yang dalam hal ini n adalah jumlah simpul. 5. Derajat
Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul
tersebut. 6. Lintasan
Lintasan yang panjangnya n dan simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah
barisan selang-seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2, … , vn-1, en,
vn sedemikian sehingga i1 = (v0,v1), e2 = (v1,v2), … , en = (vn-1,vn), adalah sisi – sisi dari graf
G. 7. Siklus atau Sirkuit
Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut siklus atau sirkuit. 8.
Terhubung
Graf tak berarah G disebut graf terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam
himpunan V terdapat lintasan dari u ke v.
II. PEWARNAAN GRAF
Pewarnaan graf (graph coloring) adalah kasus khusus dari pelabelan graf. Pelabelan disini
maksudnya, yaitu memberikan warna pada titik-titik pada batas tertentu. Ada tiga macam
pewarnaan graf :
1. Pewarnaan simpul
Pewarnaan simpul (vertex coloring) adalah member warna pada simpul-simpul suatu graf
sedemikian sehingga tidak ada dua simpul bertetangga mempunyai warna yang sama.
Gambar 4. Contoh pewarnaan simpul
2. Pewarnaan sisi
Pewarnaan sisi (edge coloring) adalah memberi warnaberbeda pada sisi yang bertetangga
sehingga tidak ada dua sisi yang bertetangga mempunyai warna yang sama.
Gambar 5. Contoh pewarnaan sisi
3. Pewarnaan bidang
Pewarnaan bidang adalah memberi warna pada bidang sehingga tidak ada bidang yang
bertetangga mempunyai warna yang sama. Pewarnaan bidang hanya bisa dilakukan dengan
membuat graf tersebut menjadi graf planar terlebih dahulu. Graf planar adalah graf yang dapat
digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi yang tidak saling memotong (bersilangan),
seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.
Gambar 6. Contoh Grraf Planar
Setelah terbentuk graf planar, lalu memberikan warna berbeda untuk setiap bidang yang
berdekatan. Dan jumlah warna yang digunakan harus sedikit mungkin.
Gambar 7. Contoh pewarnaan bidang
Dalam pewarnaan graf, jumlah warna yang digunakan untuk mewarnai simpul, sisi, maupun
bidang diusahakan sesedikit mungkin. Jumlah warna minimum yang dapat digunakan tersebut
disebut bilangan kromatik graf G, disimbolkan dengan χ(G). Suatu graf G yang mempunyai
bilangan kromatis k dilambangkan dengan χ(G) = k.
III. PENGATURAN WARNA PADA LAMPU LALU LINTAS MENGGUNAKAN GRAF
Sudah disebutkan sebelumnya bahwa sampai saat ini, teori graf masih diterapkan di berbagai
persoalan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya aplikasi pewarnaan graf dalam pengaturan
warna lampu lalu lintas di perempatan jalan sehingga mencegah terjadinya tabrakan di
perempatan jalan tersebut.
Gambar 8. Lampu lalu lintas perempatan jalan
Seperti yang ditunjukkan pada gambar diatas, sebuah perempatan jalan mempunyai 4 buah
lampu lalu lintas. Lampu lalu lintas pada jalan B dan F menyala bersamaan. Lampu lalu lintas
pada jalan D dan H juga menyala bersamaan. Dalam perempatan jalan tersebut diketahui jika
lampu di jalan B dan F menyala hijau maka jalur yang boleh digunakan adalah dari B ke E, F ke
A. selain itu jalur langsung belok kiri juga diperbolehkan, yaitu dari B ke C, dan F ke G. Jika di
jalan D dan H lampu hijau menyala maka jalur yang boleh digunakan untuk melintas adalah jalur
dari D ke E, D ke G, H ke A, dan H ke C. Dalam kondisi ini, jalur langsung belok kiri juga
diperoblehkan. Untuk menyelesaikan permasalahan pada pembuatan lampu lalu lintas pada
sebuah perempatan jalan, maka hal yang harus dilakukan terlebih dahulu adalah menentukan
jalur mana yang bisa berjalan dengan member lampu hijau di tempat tertentu dan member lampu
merah agar kendaraan pada lintasan yang lain berhenti sehingga tidak terjadi tabrakan.
Gambar 9. Jalur di perempatan jalan
Diketahui bahwa jalur yang bisa digunakan untuk melintas adalah dari B ke C, B ke E, D ke E, D
ke G, F ke G, F ke A, H ke A, dan H ke C. Setelah mengetahui jalur mana saja yang bisa
dilewati, berikut langkah-langkah untuk mengatur lampu lalu lintas menggunakan graf.
1. Membuat simpul-simpul sebagai tanda dari semua jalur yang bisa dilewati dalam perempatan
jalan. Letak dari simpul-simpul tersebut bebas, tidak ada aturan tertentu untuk mengharuskan
simpul harus diletakkan di posisi mana karena hal itu tidak terlalu berpengaruh.
Gambar 10. Simpul-simpul dari jalur jalan
2. Menentukan sisi untuk menghubungkan 2 simpul yang saling melintas atau berseberangan.
Untuk memudahkan hal ini, carilah simpul-simpul yang menunjukkan jalur mana saja yang akan
bertabrakan jika semua lampu lalu lintas berwarna hijau. Pada Gambar 9 terlihat bahwa jalur BE
dan DG, BE dan HC, FA dan DG, FA dan HC saling berseberangan. Karena BE dan DG
berseberangan, maka kedua simpul tersebut dihubungkan dengan garis yang disebut sisi. Setelah
itu, simpul-simpul lain yang saling berseberangan juga dihubungkan dengan sebuah sisi.
Gambar 11. Graf jalur jalan
3. Setelah menghubungkan semua simpul (jalur) yang saling berseberangan, langkah selanjutnya
yang harus dilakukan adalah memberi warna pada masing-masing simpul dengan ketentuan
pemberian warnanya sebagai berikut :
• Menggunakan jumlah warna sedikit mungkin
• Simpul yang bertetanggaan (terhubung dengan sisi) tidak boleh berwarna sama
• Memberi warna yang sama pada simpul yang tidak terhubung secara langsung
• Simpul yang tidak terhubung dengan sisi (simpul terpencil), berarti jalur tersebut boleh berlaku
lampu lalu lintas berwarna hijau terus.
• Warna yang digunakan bebas.
Gambar 12. Pewarnaan pada simpul graf
Berdasarkan gambar diatas, semua simpul telah diwarnai sesuai ketentuan pewarnaan pada graf.
Graf diatas memiliki bilangan kromatis 3 (χ(G) = 3) karena jumlah minimum warna yang
digunakan sebanyak 3. Simpul FA dan BE berwarna sama yaitu hijau karena keduanya tidak
terhubung/bertetanggaan. Tapi simpul DG dan HC terhubung dengan simpul FA dan BE
sehingga harus diberi warna yang berbeda yaitu warna merah. Sementara simpul HA, BC, DE,
FG diberi warna sama yaitu kuning karena simpul-simpul tersebut adalah simpul terpencil yang
tidak terhubung dengan simpul lain dan itu berarti bahwa jalur-jalur dari simpul tersebut tidak
ada yang saling melintas sehingga keempat jalur itu bisa berlaku lampu hijau terus.
4. Langkah selanjutnya adalah mengelompokkan simpul-simpul tersebut berdasarkan kesamaan
warna.
• Merah = DG dan HC
• Hijau = BE dan FA
• Kuning = BC, DE, FG, dan HA
Dari pengelompokkan tersebut diperoleh 2 kondisi untuk lampu lalu lintas di perempatan jalan.
Lampu Merah = DG, HC
Lampu Hijau = BE, FA, BC, DE, FG, HA
Tabel 1. Kondisi lampu lalu lintas 1
Lampu Merah = BE, FA
Lampu Hijau = DG, HC, BC, DE, FG, HA
Tabel 2. Kondisi lampu lalu lintas 2
Berdasarkan tabel-tabel diatas, lampu merah berarti bahwa jalur tidak boleh digunakan untuk
melintas, sedangkan lampu hijau menunjukkan bahwa jalur bisa digunakan untuk melintas. Pada
Tabel 1, jika di jalan D dan H lampu merah menyala maka jalur DG dan HC tidak boleh
digunakan. Disaat yang bersamaan di jalan B dan F lampu hijau menyala sehingga jalur BE dan
FA boleh digunakan. Karena langsung belok kiri juga diperbolehkan, maka jalur BC, DE, FG,
HA juga bisa digunakan untuk melintas. Hal-hal tersebut juga berlaku untuk Tabel 2, ketika di
jalan B dan F lampu merah menyala maka di jalan D dan H lampu hijau akan menyala. Sehingga
jalur-jalur yang bisa digunakan antara lain DG, HC, BC, DE, FG, dan HA.
IV. PENYUSUNAN JADWAL DENGAN METODE PEWARNAAN GRAF
Salah satu aplikasi penerapan pewarnaan graf dalam kehidupan sehari-hari adalah dalam
penyusunan sebuah jadwal. Sebuah jadwal yang ada mula-mula dipetakan menjadi bentuk graf
terlebih dahulu. Proses pewarnaan graf ini nantinya akan dilakukan pada graf yang terbentuk.
Pemetaan dilakukan dengan mengasumsikan bahwa setiap jadwal adalah sebuah vertex (simpul)
dan urutan jadwal atau dua jadwal yang tidak bisa diadakan bersamaan dipetakan dengan
membuat edge(sisi) antara dua titik tersebut. Untuk kapasitas ruang yang ada akan dimodelkan
dengan batasan jumlah warna sama yang bisa digunakan untuk mewarnai simpul. Setelah proses
pewarnaan graf telah selesai, setiap simpul pada graf hasil pewarnaan tersebut akan memiliki
warna sama yang berbeda-beda. Dari warnawarna tersebut akan diketahui bahwa simpul dengan
warna yang sama bisa dijadwalkan bersamaan sedangkan untuk simpul dengan warna yang
berlainan harus dijadwalkan berbeda. Jumlah warna yang digunakan menunjukkan banyaknya
jadwal yang harus disusun dalam melakukan penyusunan jadwal. Karena penulis adalah seorang
mahasiswa, disini penulis akan mengambil contoh bagaimana menyusun jadwal kuliah dengan
metode pewarnaan graf ini. Misalkan terdapat himpunan delapan orang mahasiswa,
M= {1, 2, 3, 4, .., 8}
Dan lima buah mata kuliah yang dapat dipilih oleh kedelapan mahasiwa tersebut,
MK= {1, 2, 3, 4, 5}
Tabel berikut memperlihatkan matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiswa.
Tabel 1. Tabel Mata Kuliah yang Diambil Oleh Delapan Orang Mahasiswa
Pada tabel tersebut terlihat matriks lima mata kuliah dan delapan orang mahasiwa. Angka 1 pada
elemen (i, j) menandakan bahwa mahasiwa I memilih mata kuliah j, sedangkan angka 0
menyatakan bahwa mahasiswa tersebut tidak memilih mata kuliah j. Berdasarkan tabel tersebut,
akan ditentukan sebuah jadwal ujian sedemikian sehingga semua mahasiwa dapat mengikuti
semua ujian mata kuliah tersebut. Oleh karena itu tidak boleh terdapat jadwal ujian mata kuliah
yang bertabrakan dengan jadwal ujian mata kuliah lainnya yang juga diambil oleh mahasiswa
tersebut. Ujian dua buah mata kuliah dapat dijadwalkan pada waktu yang sama jika tidak ada
mahasiwa yang sama yang mengikuti ujian dua mata kuliah tersebut. Penyelesaian untuk
masalah ini sama dengan persoalan menentukan bilangan kromatik untuk sebuh graf. Pertamatama, persoalan tersebut dipetakan ke dalam sebuah graf, diman setiap simpul dalam graf
tersebut menyatakan mata kuliah. Dan sisi yang menghubungkan dua simpul menyatakan ada
mahasiwa yang memilih kedua mata kuliah tersebut.
Gambar 3: Graf Mata Kuliah Delapan Orang Mahasiswa
Dapat dilihat pada graf tersebut bahwa apabila terdapat dua buah simpul yang dihungkan oleh
kedua sisi, maka ujian kedua mata kuliah tersebut tidak dapatdiadakan secara bersamaan. Simpul
(mata kuliah) tidak boleh mendapat alokasi waktu (warna simpul) yang sama.Warna-warna yang
berbeda dapat diberikan kepada simpul-simpul graf tersebut. Jadwal yang efisien adalah jadwal
yang memungkinkan waktu sedikit mungkin untuk melaksanakan semua kegiatan tersebut. Oleh
karena itu, disini yang akan dicari adalah bilangan kromatik graf tersebut, χ(G). Dalam
mengerjakan pewarnaan graf ini, dapat menggunakan langkah-langkah pewarnaan graf secara
umum ataupun algoritma. Semua cara tergantung kepada individu yang akan menyusun sebuah
jadwal itu sendiri. Pada graf persoalan diatas, ditemukan bahwa bilangan kromatik graf tersebut
adalah dua. Oleh karena itu simpul pada graf tersebut dapat diwarnai oleh dua macam warna
yang menandakan bahwa ujian-ujian kelima mata kuliah tersebut dapat dilaksanakan hanya pada
dua waktu saja. Berikut merupakan gambar graf persoalan ini yang telah diberi warna.
Gambar 4: Graf yang Telah Diberi Warna Tiap Simpulnya
Pada gambar diatas, terlihat bahwa ujian untuk mata kuliah A, D, dan E dapat dilaksanakan pada
waktu yang bersamaan, begitu pula dengan mata kuliah B dan C. Perbedaan warna simpul
menunjukkan bahwa ujian mata kuliah tersebut dilaksanakan pada waktu yang berbeda.
Contoh lainnya adalah dalam menyusun sebuah jadwal rapat. Misalkan terdapat tugas kelompok.
Dalam satu kelas tedapat enam buah kelopokmahasiswa. Satu mahasiswa dapat bergabung ke
dalam kelompok lainnya juga.
Berikut merupakan daftar nama tiap-tiap kelompok.
K1= {Amir, Budi, Yanti}
K2= {Budi, Hasan, Tommy}
K3= {Amir, Tommy, Yanti}
K4= {Hasan, Tommy, Yanti}
K5= {Amir, Budi}
K6= {Budi, Tommy, Yanti}
Disini persoalan yang akan dipecahkan adalah bagaimana menyusun jadwal asistensi untuk tiap
kelompok agar tidak saling bertabrakan. Hal yang pertama dilakukan adalah memetakan
persoalan tersebut ke dalam graf seperti yang diperlihatkan pada graf berikut.
Gambar 5: Graf Persoalan Jadwal Asistensi
Pada graf tersebut, tiap simpul menandakan tiap kelompok dan sisi menandakan kelompok yang
memiliki anggota kelopoknya yang sama. Dengan menggunakan metode pewarnaan graf,
diperoleh bilangan kromatik graf tersebut adalah 5. Oleh karean itu, gambar graf yang telah
diwarnai tiap simpulnya adalah sebagai berikut.
Gambar 6: Graf Persoalan Jadwal Asistensi yang Telah Diberi Warna Tiap Simpulnya
Dari gambar diatas dapat terlihat bahwa untuk menyelesaikan masalah jadwal asistensi, jadwal
asistensi dapat dilakukan pada lima waktu yang berbeda. Dari contoh-contoh yang telah
dijabarkan diatas. Telah dijabarkan beberapa contoh penyelesaian permasalahan penyusunan
jadwaldengan metode pewarnaan graf. Untuk graf dengan jumlah simpul yang sedikit, dapat
ditentukan bilangan kromatik suatu graf dengan mudah. Namun untuk graf dengan jumlah
simpul yang banyak, disini diperlukan sebuah software komputer. Dalam pembuatan software
tersebut dapat menerapkan algoritma-algoritma yang telah dijabarkan pada bab 4 diatas.
V. KESIMPULAN
1. Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah lama tapi sampai sekarang masih memiliki
terapan di berbagai persoalan dalam kehidupan sehari-hari, salah satu contohnya adalah
penggunaan pewarnaan graf pada pengaturan lampu lalu lintas di perempatan jalan & Peyusunan
Jadwal Dengan Metode Pewarnaan Graf
2. Masalah pembuatan lampu lalu lintas dan masalah penyusunan jadwal dapat dimodelkan
dalam bentuk graf. Untuk mencari solusi dari permasalahan pengaturan warna lampu lintas dapat
digunakan teknik pewarnaan simpul pada graf.
3. Untuk penyelesaian dari pengaturan warna pada lampu lalu lintas di perempatan jalan, jumlah
minimum warna yang digunakan untuk pewarnaan simpul adalah 3.
4. Langkah awal penyelesaian adalah dengan memetakan suatu jadwal ke dalam graf lalu
menentukan bilangan kromatik graf tersebut.
5. Untuk graf dengan jumlah simpul yang sedikit, dapat ditentukan bilangan kromatik suatu graf
dengan mudah, Namun untuk graf dengan jumlah simpul yang banyak, disini diperlukan sebuah
software komputer.
VI. REFERENSI
1) Munir,Rinaldi, Matematika diskrit revisi ke 5,Informatika Bandung,2012.
2) Lipschutz,Seymor & Marc Lars Lipson,2000 Solved Problems in Discrete
Mathematics,McGraw-Hill,1992
3) P engaturan-warna-pada-lampu-lalu-lintas,
http://bloglogika.blogspot.com/2011/02/pengaturan warna-pada-lampu-lalu-lintas.html.
Wikipedia, “Graph Coloring”, http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_coloring.