BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA
MODUL PROBABILITAS
BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2
SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA
DI SUSUN OLEH :
KHAIRUL BASARI, S.Pd
khairulfaiq.wordpress.com
e-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 2 of 37
Kegiatan Pembelajaran 1
A.
STANDAR KOMPETENSI
Menggunakan kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
B.
KOMPETENSI DASAR
Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah
C.
INDIKATOR PENCAPAIAN
1. Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan perkalian
D.
2
Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan permutasi
3
Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan kombinasi
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah pembelajaran ini siswa dapat :
1. Siswa mampu memahami aturan perkalian
2. Siswa mampu menggunan aturan perkalian dalam menentukan banyaknya
kemungkinan
3. Siswa mampu menyelesaiakan soal yang berhubungan dengan aturan perkalian
4. Siswa mampu memahami definisi faktorial
5. Siswa mampu memahami definisi permutasi
6. Siswa mampu memahami permutasi siklis
7. Siswa mampu menggunakan aturan permutasi untuk menyelesaikan soal
8. Siswa mampu menjelaskan syarat data yang baik
9. Siswa mampu memahami definisi kombinasi
10. Siswa mampu menggunakan aturan kombinasi untuk menyelesaikan soal
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 3 of 37
E. URAIAN MATERI
KAIDAH PENCACAHAN
1. Aturan Perkalian
Untuk menentukan banyaknya cara yang mungkin dari suatu kegiatan dapat digunakan
aturan perkalian. Jika kegiatan pertama terdapat k1 cara yang berbeda, kegiatan kedua
terdapat k2 cara yang berbeda, kegiatan ketiga terdapat k3 cara yang berbeda dan
seterusnya, maka :
Banyaknya cara kegiatan yang dilakukan misalkan Fn adalah k1 x k2 x k3 x … x kn
Fn = k1 × k2 × k3 × ... × kn
Contoh
1. Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng melalui jalan tol. Pada saat masuk
tol Kelapa Gading ada 2 loket dan saat keluar tol Cengkareng ada 3 loket. Ada berapa
macam cara yang mungkin, Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng
melalui tol tersebut.
Penyelesaian
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 4 of 37
2. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua,
sekretaris dan bendahara. Calon yang akan diplih sebagai ketua ada 2 orang, sekretaris
ada 3 orang dan bendahara ada 2 orang. Berapa banyak kemungkinan susunan
pengurus kelas tersebut.
Penyelesaian
Misalkan :
–
calon ketua kelas adalah K1 dan K2
–
calon sekretaris adalah S1, S2 dan S3
–
calon bendahara adalah B1 dan B2
B1
S1
S2
K1
S3
Pengurus
kelas
B2
B1
B2
B1
B2
B1
S1
K2
S2
S3
B2
B1
B2
B1
B2
Jika kita perhatikan diagram maka diketahui banyaknya kemungkinan susunan
pengurus kelas adalah 2 × 3 × 2 = 12
Selain menggunkan cara diagram diatas untuk menentukan banyaknya susunan
pengurus bis dilakukan dengan cara
Ketua
Sek
Bend
2
3
2
2 × 3 × 2 = 12
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 5 of 37
3. Jika disediakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 jika akan disusun bilangan yang terdiri
dari empat angka dan tidak ada angka yang berulang, maka banyaknya bilangan antara
4000 - 6000 yang dapat disusun adalah
Penyelesaian
Langkah penyelesaian
1. karena terdiri dari 4 angka maka sediakan 4 kotak kosong
2. karena bilangan yang diminta antara 4000 – 6000 maka kotak pertama hanya dapat
diisi oleh angka 4 dan 5 saja
3. karena tidak ada angka yang berulang maka angka yang sudah mengisi kotak
pertama tidak boleh mengisi kotak kedua, ketiga dan keempat.
2 pilihan
6 pilihan
5 pilihan
4 pilihan
Sehingga banyaknya angka yang dapat tersusun adalah 2 × 6 × 5 × 4 = 240
2. Faktorial
Hasil kali bilangan asli dari 1 sampai n disebut n!. Notasi n! Dibaca n faktorial.
Definisi Faktorial :
• n ! = 1× 2 × 3 × ... × (n − 2 )× (n − 1)× n
n ! = n × (n − 1) × (n − 2 ) × ... × 3 × 2 × 1
• 1! = 1
• 0! = 1
Contoh :
1. Tentukan nilai dari :
a. 5 !
b.
6!
5!
c.
n!
(n − 1) !
.
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 6 of 37
Penyelesaian
a. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
b.
6 ! 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 6 × 5!
=6
=
=
5!
5 × 4 × 3 × 2 ×1
5!
c.
n!
n × ( n − 1) × ( n − 2) × ( n − 3) × ... × 2 × 1 n × ( n − 1) !
=
=
=n
(n − 1) !
(n − 1) × ( n − 2) × ( n − 3) × ... × 2 × 1
( n − 1) !
2. Tentukan nilai n jika diketahui
a.
6!
= 3n
4!
b.
n!
=6
(n − 2)!
c.
2(n − 1)!
n!
=
(n − 2)! (n − 3)!
Penyelesian
a.
6!
= 3n
4!
6 × 5 × 4!
= 3n
4!
6 × 5 = 3n
30 = 3n
n = 10
b.
n!
=6
(n − 2)!
n × ( n − 1) × ( n − 2)!
=6
( n − 2)!
n(n − 1) = 6
n2 − n − 6 = 0
(n − 3)(n + 2) = 0
n=3
n = −2 → tidak memenuhi
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 7 of 37
c.
n!
2( n − 1)!
=
(n − 2)! (n − 3)!
n(n − 1)(n − 2)! 2(n − 1)(n − 2)(n − 3)!
=
(n − 2)!
( n − 3)!
n(n − 1) = 2(n − 1)( n − 2)
n 2 − n = 2(n 2 − 3n + 2)
n 2 − 5n + 4 = 0
( n − 4)( n − 1) = 0
n=4
n = 1 → tidak memenuhi
3. Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang
diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutanya.
Perhatikan penjelasan berikut :
Dua huruf A dan B maka banyaknya susunan huruf tersebut adalah
A, B ada 2 cara menyusun
B, A 2 × 1 = 2!
Dua huruf A, B dan C maka banyaknya susunan huruf tersebut adalah
A, B, C
A, C , B
B, A, C
ada 6 cara menyusun
B, C , A 3 × 2 × 1 = 3!
C , A, B
C , B, A
Dua huruf A ,B, C dan D jika disusun dua huruf maka banyaknya susunan
AB, BA, CA, DA ada 12 cara menyusun
4 × 3 × 2 × 1 4!
AC , BC , CB, DB
4×3 =
=
2 ×1
2!
AD, BD, CD, DC
a. Permutasi r unsur dari n unsur
Cara menenpatkan n buah unsur kedalam r tempat yang tersedia disebut permutasi r
unsur dari n unsur. (r ≤ n) didefinisikan
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 8 of 37
n
n
r
Pr = P = P( n ,r )
n!
=
( n − r )!
Contoh :
1. Tentukan nila dari
a. P28
b. P310
Penyelesaian
8!
(8 − 2)!
a. P28 =
8 × 7 × 6!
6!
= 56
=
b. P310 =
10!
(10 − 3)!
10 × 9 × 8 × 7!
7!
= 720
=
2. Tentukan nilai n jika diketahui
a. P2n = 42
b. P3n = 8P2n
Penyelesaian
a.
P2n = 42
n!
= 42
(n − 2)!
n(n − 1)(n − 2)!
= 42
(n − 2)!
n 2 − n = 42
(n − 7)(n + 6) = 0
n = 7 ∨ n = −6 → tidak memenuhi
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 9 of 37
b. P3n = 8P2n
n!
n!
=8
(n − 3)!
(n − 2)!
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)!
n(n − 1)(n − 2)!
=8
(n − 3)!
(n − 2)!
n(n − 1)(n − 2) = 8n(n − 1)
n−2=8
n = 10
3. Banyaknya bilangan yang terdiri dari empat angka yang disusun dari angka 1, 2, 3,
4, 5, 6 dan 7 dan jika tidak ada angka yang berulang adalah sebagai berikut.
Penyelesaianu
Langkah penyelesaian
Angka yang tersedian 7
Angka yang dibutuhkan 4
7!
(7 − 4)!
7 × 6 × 5 × 4 × 3!
=
3!
= 840
P47 =
Selain menggunakan permutasi juga dapat menggunakan cara aturan perkalian
7 pilihan
6 pilihan
5 pilihan 4 pilihan
Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 7 × 6 × 5 × 4 = 840
4. Dalam suatu rapat disediakan 8 kursi untuk peserta rapat. Ternyata yang hadir
hanya 4 orang peserta. Ada berapa banyak cara peserta rapat mengambil tempat
duduk.
Penyelesaian
8 × 7 × 6 × 5 × 4!
4!
= 1680
P48 =
Atau
8 pilihan
7 pilihan
6 plihan
5 pilihan
Banyaknya cara memilih tempat duduk adalah 8 × 7 × 6 × 5 = 1680
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 10 of 37
b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Misalkan kita ingin menyusun huruf-huruf AAB dalam satu baris,
AAB hanya ada 3 cara
3!
ABA
3=
2!
BAA
Terdapat 3 huruf pada susunan AAB yang berhubungan dengan 3! Susunan yang
berbeda jika setiap huruf adalah berbeda.
Definisi :
Jika P adalah banyaknya permutsi dari n unsur yang memuat a unsur (objek)
sama, b unsur (objek) sama, c unsur (objek) sama dan seterusnya, maka :
P(na , b, c ) =
n!
a!b!c!
Contoh :
Tentukan
banyaknya
cara
menyusun
susunan
berbeda
dari
huruf-huruf
KALIMANTAN
Penyelesaian
KALIMANTAN
- Banyaknya huruf seluruhnya 10
- Banyaknya huruf K = 1
- Banyaknya huruf A = 3
- Banyaknya huruf L = 1
- Banyaknya huruf I = 1
- Banyaknya huruf M = 1
- Banyaknya huruf N = 2
- Banyaknya huruf T = 1
Maka banyaknya menyusun berbeda huruf-huruf KALIMANTAN adalah
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 11 of 37
10!
1!3!1!1!1!2!1!
10!
=
3!2!
10.9.8.7.6.5.4.3!
=
3!2!
10.9.8.7.6.5.4
=
2!
= 10.9.8.7.6.5.2
= 302400
P(10
1, 3,1,1,1, 2,1) =
b. Permutasi Siklis
Permutasi siklis yaitu susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran (kurva
tertutup) dengan memperhatikan urutannya. Permutasi siklis dari n unsur dapat
dinyatakan sebagai berikut.
P( siklis ) = (n − 1)!
Contoh :
Dalam suatu rapat pengurus Yayasan dihadiri 6 orang pengurus yang duduk melingkar
pada sebuah meja bundar, ada berapa cara mereka duduk pada kursi yang tersedia.
Penyelesaian
P( siklis ) = (6 − 1)!
= 5!
= 5.4.3.2.1
= 120
4. Kombinasi
Kombinasi adalah susunan beberapa unsur yang diambil dari sebagian atau seluruh unsur
suatu himpunan tanpa memperhatikan urutanya.
Konbinasi r unsur dari n unsur dinyatakan sebagai berikut :
n
n C r = C r = C ( n,r ) =
n!
(n − r )!r!
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 12 of 37
Contoh
1. Tentukan nilai dari C 28
Penyelesaian
8!
(8 − 2)!2!
8!
=
6!2!
8.7.6!
=
6!2!
8.7
=
2!
= 4. 7
C 28 =
= 28
2. Jika diketahui nC3 = 2n tentukan nilai dari 2nC7
Penyelesaian
n
C3 = 2n
n!
= 2n
(n − 3)!3!
n(n − 1)(n − 2)
= 2n
6
(n 2 − n)(n − 2) = 12n
n 3 − 3n 2 + 2n = 12n
n 2 − 3n − 10 = 0
(n + 2)(n − 5) = 0
n=5
Maka nilai
10!
(10 − 7)!7!
10.9.8.7!
=
3!7!
= 10.3.4
C710 =
= 120
3. Seorang murid diminta menyelesaikan 15 soal dari 23 soal yang diberikan, tetapi
nomor ganjil harus dikerjakan. Banyaknya pilihan berbeda yang dapat diambil adalah
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 13 of 37
Penyelesaian
-
Soal nomor ganjil 1, 3, 5, ..., 23 = 12 soal
-
Siswa diminta mengerjakan 15 soal berarti soal nomor genap ada 3 soal yang harus
dikerjakan
-
Jumlah soal nomor genap ada 11 soal akan dipilih 3 maka
11!
(11 − 3)!3!
11!
=
8!3!
11.10.9.8!
=
8!3!
990
=
6
= 165
C311 =
Jadi banyaknya pilihan ada 165 pilihan
4. Tim bola basket terdiri atas lima orang. Jika tersedia 8 orang pemain maka banyaknya
cara untuk menyusun tim adalah
Penyelesaian
8!
(8 − 5)!5!
8.7.6.5!
=
3!5!
8.7.6.
=
3!
= 56
C 58 =
F. TUGAS
1. Tono mempunyai 3 pasang sepatu berwarna hitam, putih, dan coklat. Tono juga
mempunyai 4 pasang kaos kaki berwarna biru, hitam, merah dan coklat. Berapa
banyak pasangan sepatu dan kaos kaki yang dapat dipakai Tono.
2. Sebuah poliklinik mempunyai 4 dokter spesialis dan 8 dokter umum. Banyak
pasangan dokter spesialis an dokter umum yang dapat dibuat adalah
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 14 of 37
3. Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Banyaknya bilangan cacah berlainan yang
dapat disusun, yang terdiri atas tiga angka dari angka-angka tersebut adalah …
4. Nilai n yang memenuhi persamaan
5. Nilai dari
(n + 1)! = n! adalah
5(n − 1)! 3(n − 2)
12!
8!
adalah...
+
9! 3!2!5!
6. Nilai n yang memenuhi persamaan 10.P2n = P4n+1 adalah....
7. Nilai n yang memenuhi persamaan P6n = 6!.C 5n adalah....
8. Nilai n yang memenuhi persamaan C 32 n = P3n +1 adalah....
9. Nilai n yang memenuhi persamaan
P11 14
=
adalah....
3
n + 3 P11
n+ 4
10. Seorang ibu mempunyai 7 mainan yang akan dibagikan kepada tiga anaknya. Anak
pertama dan kedua mendapat 2 mainan, sedangkan anak ketiga mendapat 3 mainan.
Ada berapa cara ibu tersebut membagi mainan kepada ketiga anaknya
11. Banyaknya cara untuk menyusun pengurus terdiri atas 1 ketua, 1 bendahara, dan 1
penulis dari 9 calon pengurus adalah
12. Banyak
susunan
berbeda
yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada
kata
“MATEMATIKA” adalah
13. Sebelum berpisah dengan teman-temannya, Amir dan semua temannya saling
berjabatan tangan satu kali. Amir menghitung ada sebanyak 66 jabat tangan. Berapa
orangkah yang hadir dalam pertemuan tersebut?
14. Banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0, 1. 2, 3, 4,
5, 6, 7, dan tidak ada angka yang sama adalah
15. Ada 10 orang tamu, tetapi hanya tersedia 4 kursi. Jika salah seorang tamu selalu duduk
di kursi tertentu, maka banyaknya cara duduk di kursi tamu tersebut adalah ….
16. Banyaknya cara menyusun pasangan ganda putra dari 10 orang pemain bulu tangkis
pria adalah ….
17. Dari 12 orang yang terdiri dari 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja
yang beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja itu terdapat paling sedikit 2
pria, banyak cara membentuknya ada
18. Dalam ekspansi ( 1 – 2x ) 11, koefisien x3 adalah k kali koefisien x2. Nilai k adalah
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 15 of 37
19. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri dari satu huruf dan diikuti oleh dua
angka yang berbeda dan angka kedua adalah bilangan genap. Banyaknya nomor
undian ada
20. Jika C rn menyatakan banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen dan
C 2n = n +5,maka C n2 n adalah
G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR
Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains
Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.
Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI.
Klaten : Intan Pariwara..
Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga
Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas
XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan
Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 16 of 37
Kegiatan Pembelajaran 2
A.
STANDAR KOMPETENSI
Menggunakan kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
B.
KOMPETENSI DASAR
Menentukan ruang sampel suatu percobaan
C.
INDIKATOR PENCAPAIAN
1. Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan
D.
2
Mampu menentukan banyaknya titik sampel suatu percobaan
3
Mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah pembelajaran ini siswa dapat :
1. Memahami pengertian ruang sampel suatu percobaan
2. Menentukan banyakknya ruang sampel dari pelemparan uang logam
3. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari pelemparan uang logam
4. Menentukan banyaknya ruang sampel dari pelemparan mata dadu
5. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari pelemparan mata dadu
6. Menentukan ruang sampel dari seperangkat kartu remi
7. Menentukan banyakya ruang sampel dari suatu kejadian yang berkaitan dengan
kehidupan sehari-hari
8. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari suatu kejadian yang berkaitan
dengan kehidupan sehari-hari
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 17 of 37
E. URAIAN MATERI
1. Pengertian Ruang Sampel
Definisi :
Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S
2. Menentukan Ruang sampel Suatu Percobaan
a. Ruang sampel pada Uang Logam
-
Pada pelemparan sebuah uang logam sekali maka kemungkinan yang muncul
adalah sisi Gambar atau sisi Angka
.
S = {A, G}
n(S) = 2
n(S) = 21
-
Pada pelemparan sebuah uang logam dua kali maka kemungkinan yang muncul
A
AA
S = {AA, AG, GA, GG}
A
G
AG
n(S) = 4
A
GA
n(S) = 2 x 2
n(S) = 22
G
G
-
GG
Pada pelemparan sebuah uang logam tiga kali maka kemungkinan yang muncul
A
AAA
G
A
AAG
AGA
G
AGG
A
GAA
G
A
GAG
GGA
G
GGG
A
A
G
G
GAG, GGA, GGG}
n(S) = 8
A
G
S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA,
n(S) = 2 x 2 x 2
n(S) = 23
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 18 of 37
Dari uraian diatas maka dapat kita simpulkan bahwa :
1). Satu buah uang logam diambung a kali, maka banyaknya ruang sampel n(S) = 2a
2). m buah uang logam diambung 1 kali, maka banyaknya ruang sampel n(S) = 2m
b. Ruang sampel pada mata Dadu
-
Pada percobaan sebuah mata dadu bermata enam diambung sekali, maka
kemungkinan muncul
sisi bernomor 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 atau 6
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
-
n(S) = 61
Pada percobaan sebuah mata dadu bermata lima diambung sekali maka
kemungkinan muncul
sisi bernomor 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5
S = {1, 2, 3, 4, 5}
n(S) = 5
-
n(S) = 51
Pada percobaan sebuah mata dadu bermata enam diambung sebanyk 2 kali, maka
kemungkinan muncul
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
n(S) = 36
n(S) = 62
Jadi pada percobaan pelemparan mata dadu banyak ruang sampel adalah ;
a. Pada dadu bermata 6 diambung sekali maka n(S) = 61
b. Pada dadu bermata 6 diambung sebanyak n kali maka n(S) = 6n
c. Pada dadu bermata a diambung sebanyak n kali maka n(S) = an
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 19 of 37
c. Menentukan ruang sampel pada permasalahan sehari-hari
Contoh :
1. Kantong A berisi 6 kelereng hitam, dan 4 kelereng putih. Kantong B berisi 5
kelereng hitam dan 3 kelereng putih. Dari kantong A diambil 3 buah dan dari
kantong B diambil 2 buah kelereng secara acak, ruang sampel masing-masing
kantong adalah
Penyelesaian
Banyaknya ruang sampel pada kantong A
-
Jumlah kelereng keseluruhannya ada 10 buah kelereng
-
Diambil 3 buah
n( S ) = C310
10!
(10 − 3)!3!
10.9.8.7!
=
7!3!
10.9.8
=
3!
= 10.3.4
=
= 120
Jadi banyaknya ruang sampel pada kantong A adalah 120
Banyaknya ruang sampel pada kantong B
-
Jumlah kelereng keseluruhannya ada 8 buah kelereng
-
Diambil 2 buah
n( S ) = C28
8!
(8 − 2)!2!
8.7.6!
=
6!2!
8.7
=
2!
= 4. 7
=
= 28
Jadi banyaknya ruang sampel pada kantong B adalah 28
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 20 of 37
2. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Jika
pedagang ayam tersebut akan menjual 5 ekor dari ayamnya. Banyaknya anggota
ruang sampel dari penjualan ayam tersebut adalah
Penyelesaian
Jumlah ayam keseluruhannya ada 10 ekor
n( S ) = C510
10!
(10 − 5)!5!
10.9.8.7.6.5!
=
5!5!
10.9.8.7.6
=
5.4.3.2.1
= 2.3.2.7.3
=
= 252
Jadi banyaknya ruang sampel pada kejadian diatas adalah 252
F. TUGAS
1. Banyaknya ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu dan dua keping uang logam
secara bersamaan adalah...
2. Sebuah dadu dilemar tiga kali. Banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan
tersebut adalah
3. Pak Amir akan memancing pada sebuah kolam yang berisi 21 ikan mujahir, 12 ikan
mas, dan 27 ikan tawes. Banyaknya ruang sampel pada kasus di atas adalah...
4. Banyaknya ruang sampel pada penelitian jenis kelamin tiga bayi adalah
5. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 3 bola putih dan 9 bola biru. Apa bila 3 bola
diambil secara acak, maka banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan
tersebut adalah
6. Dari delapan titik akan dibuat suatu garis dengan tidak ada tiga titik yang segaris,
maka banyaknya garis yang mungkin adalah
7. Dari 1000 kaleng sari buah, terdapat 4 yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah
tersebut secara acak, maka banyaknya ruang sampel dari peristiwa di atas adalah
8. Dalam suatu kumpulan kanak-kanak ada 5 orang anak laki-laki dan 4 orang anak
perempuan. Andaikan dari kumpulan itu kita akan memilih sepasang anak yang terdiri
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 21 of 37
dari seorang anak laki-laki dan seorang anak perempuan untuk menari, maka
banyaknya pasangan /cara dalam pilihan itu adalah….
9. Dari angka 1, 2, 3, ..., 9 akan disusun sebuah bilangan yang terdiri dari 4 digit, jika
tidak ada angka yang berulang, maka banyaknya kemungkinan bilangan yang tersusun
adalah
G.
ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR
Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains
Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.
Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI.
Klaten : Intan Pariwara..
Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga
Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas
XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan
Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen
Pendidikan Nasional
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 22 of 37
Kegiatan Pembelajaran 3
A.
STANDAR KOMPETENSI
Menggunakan kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
B.
KOMPETENSI DASAR
Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya
C.
INDIKATOR PENCAPAIAN
1. Mampu menentukan peluang suatu kejadian
2
Mampu menentukan peluang kejadian komplemen suatu kejadian
3
Mampu menentukan kisaran nilai peluang
4. Mampu menentukan frekwensi harapan suatu kejadian
5. Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian
6. Mampu menentukan peluang kejadian saling asing
D.
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah pembelajaran ini siswa dapat :
1. Mampu menentukan peluang kejadian dengan menggunkan ruang sampel
2
Mampu menentukan peluang kejadian komplemen suatu kejadian
3
Mampu menentukan kisaran nilai peluang
4. Mampu menentukan frekwensi harapan suatu kejadian
5. Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian
6. Mampu menentukan peluang kejadian saling asing
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 23 of 37
E. URAIAN MATERI
1. Menentukan Peluang suatu kejadian
a. Menentukan peluang kejadian dengan pendekatan frekwensi relatif
Frekwensi relatif muncul kejadian A =
banyak muncul kejadian A
banyak percobaan yang dilakukan
Contoh :
1. Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang
terambilnya kartu bukan As adalah
Penyelesaian
- jumlah kartu bridge ada 52 kartu
- jumlah kartu As ada 4 kartu
- jumlah kartu bukan As ada 48 kartu
48
52
12
=
13
Peluang terambil bukan kartu As =
2. Dari sembilan bola di beri nomor 1, 2, 3, ..., 9. diambil 1 bola secara acak,
maka peluang terambilnya bola bernomor prima adalah
Penyelesaian
- jumlah bola ada 9
- jumlah bola bernomor prima 4
P( prima ) =
4
9
b. Menentukan peluang kejadian dengan menggunakan ruang sampel.
Jika A adalah suatu kejadian dengan A ⊂ S maka peluang kejadian A adalah
P ( A) =
n( A)
n( S )
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 24 of 37
Contoh :
1. Jika dua buah dadu dilambungkan bersama-sama, maka peluang munculnya
mata dadu berjumlah 8 adalah ….
Penyelesaian
+
1
2
3
4
5
6
1
1+1=2
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6
1+6=7
2
2+1=3
4
5
6
7
8
3
3+1=4
5
6
7
8
9
4
4+1=5
6
7
8
9
10
5
5+1=6
7
8
9
10
11
6
6+1=7
8
9
10
11
12
Dari tabel di atas diketahui
-
Banyaknya ruang sampel n(S) = 36
-
Banyaknya kemungkinan muncul mata dadu berjumlah 8 n(A8) = 5
Jadi peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 adalah
P( A8 ) =
5
36
2. Sebuah dadu dan sekeping mata uang logam yang dilempar undi bersama-sama
sekali. Peluang munculnya mata dadu sisi bernomor 5 dan sisi angka pada
uang logam adalah
Penyelesaian
Banyaknya ruang sampel 6 x 2 = 12
1
2
3
4
5
6
A
(A, 1)
(A, 2)
(A, 3)
(A, 4)
(A, 5)
(A, 6)
G
(G, 1)
(G, 2)
(G, 3)
(G, 4)
(G, 5)
(G, 6)
Banyaknya kejadian muncul sisi dadu 5 dan sisi uang logan Angka adalah 1
P( A) =
1
12
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 25 of 37
3. Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dilakukan percobaan menyusun nomor undi
yang terdiri atas tiga angka berlainan. Jika A menyatakan kejadian munculnya
nomor undi lebih dari 400, maka peluang kejadian A adalah
Penyelesaian
Banyaknya ruang sampel
5
4
3
n(S) = 5 x 4 x 3
n(S) = 60
Banyaknya bilangan yang lebih dari 400
2
4
3
n(A) = 2 x 4 x 3
n(A) = 24
maka
24
60
2
=
5
P ( A) =
c. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian
Jika A C adalah komplemen kejadian A maka peluang kejadian A C adalah
( )
P A C = 1 − P ( A)
Contoh
Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. jika diambil
sebuah bola secara acakb, berapakah peluang munculnya:
a. bola bernomor prima
b. bola bukan bernomor prima
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 26 of 37
Penyelesaian
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
n(S) = 10
dimisalkan A adalah kejadian muncul bola bernomor prima
A = {2, 3, 5, 7}
n(A) = 4
a. Peluang munculnya bola bernomor prima P(A) adalah
n( A)
n( S )
4
=
10
2
=
5
P( A) =
b. Peluang munculnya bola bukan bernomor prima P ( A C ) adalah
( )
P A C = 1 − P ( A)
2
= 1−
5
5−2
=
5
3
=
5
2. Kisaran Nilai Peluang
a. Jika kejadian A dalam ruang sampel S selalu terjadi, dimana A = S
n( A) = n( S ) , sehingga peluang kejadian A adalah P( A) =
maka
n( A) S
= =1
n( S ) S
b. Jika kejadian A dalam ruang sampel S tidak pernah terjadi/mustahil terjadi, dimana
A = ∅, maka n( A) = 0 sehingga peluang kejadian A adalah P ( A) =
n( A) 0
= =0
n( S ) S
c. Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P ( A) ≤ 1
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 27 of 37
3. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan terjadi
dalam beberapa kali percobaan. Frekuensi harapan kejadian A adalah : Fh ( A) = nP ( A)
Caontoh :
1. Sebuah dadu bermata enam dilemapar 90 kali. Frekuensi harapan mendapatkan
mata dadu 3 adalah
Penyelesaian
n( S ) = 6
n( A) = 1
P( A) =
1
6
Fh ( A) = 90
1
6
= 15
2. Disebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang terkena serangan
jantung adalah 0,07 dan peluang terkena penyakit liver adalah 0,17. jika sebanyak
25000 orang dewasa di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena
penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena penyakit liver
Penyelesaian
Peluang orang terkena serangan jantung 0,07 =
Jadi
frekuensi
harapan
25000
7
= 1750
100
orang
terkena
7
100
serangan
Peluang orang terkena penyakit liver adalah 0,17 =
Jadi
frekuensi
harapan
25000
17
= 4250
100
orang
terkena
jantung
adalah
liver
adalah
17
100
penyakit
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 28 of 37
3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil penyilangan diperoleh
hasil 1000 bunga dengan warna yang berbeda dengan perbandingan 1 putih : 3
merah muda : 1 merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, dan putih
yang dihasilkan.
Penyelesaian
Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1. n( S ) = 1 + 3 + 1
n( S ) = 5
maka banyaknya bunga yang diperoleh adalah
Bunga putih adalah
1
(1000) = 200 bunga
5
Bunga merah muda adalah
Bunga merah adalah
3
(1000) = 600 bunga
5
1
(1000) = 200 bunga
5
2. Peluang Kejadian Majemuk
a. Peluang gabungan dua kejadian
Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Peluang
gabungan dua kejadian (kejadian A dan kejadian B). Dapat ditulis P( A ∪ B )
ditentukan dengan aturan :
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
Contoh :
1. Dua puluh kartu diberi nomor 11 sampai 30. diambil satu kartu secara acak,
maka peluang yang terambil adalah kartu bernomor ganjil atau kartu bernomor
prima adalah
Penyelesaian
S = {11, 12, 13, ..., 30}
n(S) = 20
misalkan
A adalah kejadian terambil kartu bernomor ganjil adalah
A = {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
N ( A) = 10
P ( A) =
10 1
=
20 2
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 29 of 37
B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima adalah
B = {11, 13, 17, 19, 23, 29}
n(B) = 6
P( B) =
6
3
=
20 10
( A ∩ B ) = {11, 13, 17, 19,
23, 29}
n( A ∩ B ) = 6
P( A ∩ B ) =
6
3
=
20 10
Maka
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
10 6
6
+
−
20 20 20
10
=
20
1
=
2
=
2. Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara acak, peluang
terambilnya kartu warna merah atau kartu AS adalah
Penyelesaian
n(S) = 52
Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu warna merah n(A) = 26
P ( A) =
26 1
=
52 2
Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu AS n(B) = 4
P( B) =
4
1
=
52 13
n( A ∩ B) = 2
P( A ∩ B) =
2
1
=
52 26
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 30 of 37
Maka
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
26 4
2
+
−
52 52 52
28
=
52
7
=
13
=
3. suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar Matematika, 21 gemar Fisika,
dan 9 siswa gemar matematika dan Fisika. Peluang seorang siswa tidak gemar
matematika maupun Fisika adalah.
Penyelesaia
n( S ) = 40
n( M ) = 25
n( F ) = 21
n( M ∩ F ) = 9
n (M ∪ F ) = n ( M ) + n ( F ) − n ( M ∩ F )
= 25 + 21 − 9
= 37
(
P (M ∪ F )
C
) = 1 − P (M ∪ F )
n (M ∪ F )
n( S )
37
= 1−
40
40 − 37
=
40
3
=
40
= 1−
b. Peluang gabungan dau kejadian yang saling asing/lepas
Misalkan A dan B adalah kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Jika
kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling lepas atausaling
asing, maka kejadian A dan kejadian B tidak dapat terjadi bersamaan.
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 31 of 37
Peluang gabungan dua kejadian yang saling asing dinyatakan
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
Contoh :
Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang
berurutan dari 1 sampai 10, sebuah kartu diambil dari kantong secara acak, maka
peluang kejadian yang terambil kartu nomor genap atau kartu bernomor prima
ganjil adalah
Penyelesaian
n( S ) = 10
Misalnya A kejadian terambil kartu bernomor genap maka
A = {2, 4, 6, 8, 10}
n( A) = 5
P ( A) =
n( A) 5 1
=
=
n( S ) 10 2
Misalkan B kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil
B ={3, 5, 7}
n( B) = 3
P( B) =
n( B ) 3
=
n( S ) 10
( A ∩ B) = 0
Maka
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
5
3
+
10 10
8
=
10
4
=
5
=
c. Peluang gabungan dau kejadian saling bebas
Kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bebas jika kejadian A
tidak mempengarui kejadian B dan sebaliknya.
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 32 of 37
Peluang dua kejadian yang saling bebas dinyatakan sebagai berikut :
P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B )
Contoh :
1. Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 sampai 11. dua bola diambil
dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukan peluang terambil
bola-bola bernomor ganjil dan genap.
Penyelesaian
n( S ) = 11
Mislakan A kejadian terambil bola bernomor ganjil A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
n( A) = 6
P ( A) =
6
11
Mislakan B kejadian terambil bola bernomor genap B = {2, 4, 6, 8, 10}
n( B ) = 5
P( B) =
5
11
Jadi peluang terambilnya bola bernomor ganjil dan genap adalah
P( A ∩ B) = P( A) × P( B )
6 5
= ×
11 11
30
=
121
2. Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus, peluang muncul sisi 3 pada dadu
pertama dan sisi 5 pada dadu kedua adalah
Penyelesaian
Dadu pertama
Dadu kedua
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 33 of 37
n( S ) = 36
Misalkan A kejadian muncul sisi 3 pada dadu pertama
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
n( A) = 6
P ( A) =
1
6
Misalkan B kejadian muncul sisi 3 pada dadu pertama
A = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}
n( B ) = 6
P( B) =
1
6
Peluang munculnya sisi 3 pada dadu pertama dan sisi 5 pada dadu kedua
P( A ∩ B) = P( A) × P( B )
1 1
= ×
6 6
1
=
36
3. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Kita ambil 2 bola sekaligus
dari kotak itu. Peluang bahwa yang terambil itu bola merah dan bola putih
adalah
Penyelesaian
n( S ) = C 28
8!
6!2!
= 28
=
Misalkan A adalah kejadian terambilnya bola merah
n( A) = C15
5!
4!1!
=5
=
Misalkan B adalah kejadian terambilnya bola putih
n( B) = C13
3!
2!1!
=3
=
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 34 of 37
n( A ∩ B) = n( A) × n( B)
= 5× 3
= 15
peluang terambilnya bola merah dan putih
n( A ∩ B)
n( S )
15
=
28
P( A ∩ B ) =
4. Ranti Marinda akan menempuh ujian Fisika, Kimia dan Matematika. Peluang
untuk lulus Fisika 70 %, Kimia 60 % dan Matematika 50 %. Peluang untuk
lulus ketiga-tiganya adalah
Penyelesaian
Peluang lulus Fisika 70% = 0,7
Peluang tidak lulus Fisika 30% = 0,3
Peluang lulus Kimia 60% = 0,6
Peluang tidak lulus Kimia 40% = 0,4
Peluang lulus Matematika 50% = 0,5
Peluang tidak lulus Matematika 50% = 0,5
Maka peluang Ranti lulus ketiganya mata pelajaran adalah
P (F ∩ K ∩ M ) = P ( F ) × P ( K ) × P ( M )
7 6 5
× ×
10 10 10
210
=
1000
= 21%
=
d. Peluang gabungan dua kejadian saling bersyarat
kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bersyarat, jika kejadian
A bergantung pada kejadian B atau sebaliknya
Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B dulu, ditentukan dengan aturan
P( A | B) =
P( A ∩ B )
; P( B ) > 0
P( B)
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 35 of 37
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A dulu, ditentukan dengan aturan
P( B | A) =
P( A ∩ B )
; P( A) > 0
P( A)
Contoh :
Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola
diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian,
peluang yang terambil kedua-duanya bola merah adalah.
Penyelesaianu
Pada pengambilan pertama n( S ) = C110 = 10
Misal A kejadian terambil bola merah maka n( A) = C16 = 6
P( A) =
6 3
=
10 5
Pada pengambilan kedua n( S ) = C19 = 9
Misal B kejadian terambil bola merah maka n( B ) = C15 = 5
5
9
P( A ∩ B ) = P( A).P( B / A)
P( B / A) =
3 5
5 9
1
=
3
=
F. TUGAS
1. Diketahui tiga keping mata uang logam dengan masing-masing mempunyai muka
angka dan gambar. Ketiga keping uang logam itu dilempar sekali bersama-sama.
Peluang kejadian muncul dua angka dan satu gambar adalah
2. Dari 1000 kaleng sari buah, terdapat 4 yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah
tersebut secara acak, maka besar peluang bahwa kedua-duanya rusak.
3. Dari 100 orang mahasiswa , terdaftar 45 orang mengikuti kuliah Bahasa Indonesia, 50
kuliah Sejarah dan 25 orang mengikuti kedua mata kuliah itu. Dipanggil seorang
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 36 of 37
diantara 100 orang mahasiswa itu. Maka peluang agar mahasiswa yang dipanggil itu
tidak mengikuti kuliah Bahasa Indonesia maupun Sejarah adalah
4. Dua buah dadu bersisi emam dilemparkan bersama-sama. Peluang kejadian mata dadu
yang muncul berjumlah 8 atau 12 adalah
5. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu brids. Peluang untuk terambil kartu As atau
K adalah
6. Jika sebuah dadu dilambungkan maka peluang munculnya mata dadu genap atau
prima adalah
7. Tuti ingin menjumpai ketiga kawannya yang rumahnya berlainan tempat. Peluang
Tuti menjumpai dua kawannya adalah
8. Menurut ramalan cuaca di Samarinda, peluang untuk hujan 60% dan peluang untuk
angin ribut 20%. Peluang di Samarinda untuk hujan dan angin ribut adalah
9. Bu Siska bercita-cita ingin memiliki 4 orang anak. Peluang bu Siska memiliki paling
sedikit 2 anak laki-laki adalah
10. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Akan dijual 5
ekor ayam. Peluang yang terjual 3 diantaranya ayam betina adalah
11. Adi, Beti, Cici, Dika dan Endah akan duduk secara acak pada 5 kursi yang berderet
dari kiri ke kanan. Peluang Adi dan Beti duduk selalu berdampingan adalah
12. Peluang siswa A dan B lulus ujian adalah 0,98 dan 0,95 . Peluang siswa A lulus dan
siswa B tidak lulus adalah
13. Dalam sebuah kotak terdapat 5 manik merah dan 4 manik putih. Jika diambil 2 manik
secara acak, peluang terambil satu manik merah dan satu manik putih adalah
14. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan rupiah dan 2 keping ratusan
rupiah. Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping
ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet,
peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah
15. Di dalam suatu kotak terdapat 6 bola warna putih, 3 bola warna merah, dan 1 bola
warna kuning akan diambil 3 buah bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2
bola warna merah dan 1 bola warna kuning adalah
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 37 of 37
G.
ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR
Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains
Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.
Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI.
Klaten : Intan Pariwara..
Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga
Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas
XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan
Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2
SMA NEGERI 10 ”MELATI” SAMARINDA
DI SUSUN OLEH :
KHAIRUL BASARI, S.Pd
khairulfaiq.wordpress.com
e-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 2 of 37
Kegiatan Pembelajaran 1
A.
STANDAR KOMPETENSI
Menggunakan kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
B.
KOMPETENSI DASAR
Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah
C.
INDIKATOR PENCAPAIAN
1. Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan perkalian
D.
2
Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan permutasi
3
Mampu menentukan banyak kemungkinan/cara menggunakan aturan kombinasi
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah pembelajaran ini siswa dapat :
1. Siswa mampu memahami aturan perkalian
2. Siswa mampu menggunan aturan perkalian dalam menentukan banyaknya
kemungkinan
3. Siswa mampu menyelesaiakan soal yang berhubungan dengan aturan perkalian
4. Siswa mampu memahami definisi faktorial
5. Siswa mampu memahami definisi permutasi
6. Siswa mampu memahami permutasi siklis
7. Siswa mampu menggunakan aturan permutasi untuk menyelesaikan soal
8. Siswa mampu menjelaskan syarat data yang baik
9. Siswa mampu memahami definisi kombinasi
10. Siswa mampu menggunakan aturan kombinasi untuk menyelesaikan soal
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 3 of 37
E. URAIAN MATERI
KAIDAH PENCACAHAN
1. Aturan Perkalian
Untuk menentukan banyaknya cara yang mungkin dari suatu kegiatan dapat digunakan
aturan perkalian. Jika kegiatan pertama terdapat k1 cara yang berbeda, kegiatan kedua
terdapat k2 cara yang berbeda, kegiatan ketiga terdapat k3 cara yang berbeda dan
seterusnya, maka :
Banyaknya cara kegiatan yang dilakukan misalkan Fn adalah k1 x k2 x k3 x … x kn
Fn = k1 × k2 × k3 × ... × kn
Contoh
1. Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng melalui jalan tol. Pada saat masuk
tol Kelapa Gading ada 2 loket dan saat keluar tol Cengkareng ada 3 loket. Ada berapa
macam cara yang mungkin, Andi berangkat dari Kelapa Gading ke Cengkareng
melalui tol tersebut.
Penyelesaian
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 4 of 37
2. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua,
sekretaris dan bendahara. Calon yang akan diplih sebagai ketua ada 2 orang, sekretaris
ada 3 orang dan bendahara ada 2 orang. Berapa banyak kemungkinan susunan
pengurus kelas tersebut.
Penyelesaian
Misalkan :
–
calon ketua kelas adalah K1 dan K2
–
calon sekretaris adalah S1, S2 dan S3
–
calon bendahara adalah B1 dan B2
B1
S1
S2
K1
S3
Pengurus
kelas
B2
B1
B2
B1
B2
B1
S1
K2
S2
S3
B2
B1
B2
B1
B2
Jika kita perhatikan diagram maka diketahui banyaknya kemungkinan susunan
pengurus kelas adalah 2 × 3 × 2 = 12
Selain menggunkan cara diagram diatas untuk menentukan banyaknya susunan
pengurus bis dilakukan dengan cara
Ketua
Sek
Bend
2
3
2
2 × 3 × 2 = 12
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 5 of 37
3. Jika disediakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 jika akan disusun bilangan yang terdiri
dari empat angka dan tidak ada angka yang berulang, maka banyaknya bilangan antara
4000 - 6000 yang dapat disusun adalah
Penyelesaian
Langkah penyelesaian
1. karena terdiri dari 4 angka maka sediakan 4 kotak kosong
2. karena bilangan yang diminta antara 4000 – 6000 maka kotak pertama hanya dapat
diisi oleh angka 4 dan 5 saja
3. karena tidak ada angka yang berulang maka angka yang sudah mengisi kotak
pertama tidak boleh mengisi kotak kedua, ketiga dan keempat.
2 pilihan
6 pilihan
5 pilihan
4 pilihan
Sehingga banyaknya angka yang dapat tersusun adalah 2 × 6 × 5 × 4 = 240
2. Faktorial
Hasil kali bilangan asli dari 1 sampai n disebut n!. Notasi n! Dibaca n faktorial.
Definisi Faktorial :
• n ! = 1× 2 × 3 × ... × (n − 2 )× (n − 1)× n
n ! = n × (n − 1) × (n − 2 ) × ... × 3 × 2 × 1
• 1! = 1
• 0! = 1
Contoh :
1. Tentukan nilai dari :
a. 5 !
b.
6!
5!
c.
n!
(n − 1) !
.
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 6 of 37
Penyelesaian
a. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
b.
6 ! 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 6 × 5!
=6
=
=
5!
5 × 4 × 3 × 2 ×1
5!
c.
n!
n × ( n − 1) × ( n − 2) × ( n − 3) × ... × 2 × 1 n × ( n − 1) !
=
=
=n
(n − 1) !
(n − 1) × ( n − 2) × ( n − 3) × ... × 2 × 1
( n − 1) !
2. Tentukan nilai n jika diketahui
a.
6!
= 3n
4!
b.
n!
=6
(n − 2)!
c.
2(n − 1)!
n!
=
(n − 2)! (n − 3)!
Penyelesian
a.
6!
= 3n
4!
6 × 5 × 4!
= 3n
4!
6 × 5 = 3n
30 = 3n
n = 10
b.
n!
=6
(n − 2)!
n × ( n − 1) × ( n − 2)!
=6
( n − 2)!
n(n − 1) = 6
n2 − n − 6 = 0
(n − 3)(n + 2) = 0
n=3
n = −2 → tidak memenuhi
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 7 of 37
c.
n!
2( n − 1)!
=
(n − 2)! (n − 3)!
n(n − 1)(n − 2)! 2(n − 1)(n − 2)(n − 3)!
=
(n − 2)!
( n − 3)!
n(n − 1) = 2(n − 1)( n − 2)
n 2 − n = 2(n 2 − 3n + 2)
n 2 − 5n + 4 = 0
( n − 4)( n − 1) = 0
n=4
n = 1 → tidak memenuhi
3. Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang
diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutanya.
Perhatikan penjelasan berikut :
Dua huruf A dan B maka banyaknya susunan huruf tersebut adalah
A, B ada 2 cara menyusun
B, A 2 × 1 = 2!
Dua huruf A, B dan C maka banyaknya susunan huruf tersebut adalah
A, B, C
A, C , B
B, A, C
ada 6 cara menyusun
B, C , A 3 × 2 × 1 = 3!
C , A, B
C , B, A
Dua huruf A ,B, C dan D jika disusun dua huruf maka banyaknya susunan
AB, BA, CA, DA ada 12 cara menyusun
4 × 3 × 2 × 1 4!
AC , BC , CB, DB
4×3 =
=
2 ×1
2!
AD, BD, CD, DC
a. Permutasi r unsur dari n unsur
Cara menenpatkan n buah unsur kedalam r tempat yang tersedia disebut permutasi r
unsur dari n unsur. (r ≤ n) didefinisikan
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 8 of 37
n
n
r
Pr = P = P( n ,r )
n!
=
( n − r )!
Contoh :
1. Tentukan nila dari
a. P28
b. P310
Penyelesaian
8!
(8 − 2)!
a. P28 =
8 × 7 × 6!
6!
= 56
=
b. P310 =
10!
(10 − 3)!
10 × 9 × 8 × 7!
7!
= 720
=
2. Tentukan nilai n jika diketahui
a. P2n = 42
b. P3n = 8P2n
Penyelesaian
a.
P2n = 42
n!
= 42
(n − 2)!
n(n − 1)(n − 2)!
= 42
(n − 2)!
n 2 − n = 42
(n − 7)(n + 6) = 0
n = 7 ∨ n = −6 → tidak memenuhi
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 9 of 37
b. P3n = 8P2n
n!
n!
=8
(n − 3)!
(n − 2)!
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)!
n(n − 1)(n − 2)!
=8
(n − 3)!
(n − 2)!
n(n − 1)(n − 2) = 8n(n − 1)
n−2=8
n = 10
3. Banyaknya bilangan yang terdiri dari empat angka yang disusun dari angka 1, 2, 3,
4, 5, 6 dan 7 dan jika tidak ada angka yang berulang adalah sebagai berikut.
Penyelesaianu
Langkah penyelesaian
Angka yang tersedian 7
Angka yang dibutuhkan 4
7!
(7 − 4)!
7 × 6 × 5 × 4 × 3!
=
3!
= 840
P47 =
Selain menggunakan permutasi juga dapat menggunakan cara aturan perkalian
7 pilihan
6 pilihan
5 pilihan 4 pilihan
Jadi banyaknya bilangan yang dapat dibentuk adalah 7 × 6 × 5 × 4 = 840
4. Dalam suatu rapat disediakan 8 kursi untuk peserta rapat. Ternyata yang hadir
hanya 4 orang peserta. Ada berapa banyak cara peserta rapat mengambil tempat
duduk.
Penyelesaian
8 × 7 × 6 × 5 × 4!
4!
= 1680
P48 =
Atau
8 pilihan
7 pilihan
6 plihan
5 pilihan
Banyaknya cara memilih tempat duduk adalah 8 × 7 × 6 × 5 = 1680
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 10 of 37
b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Misalkan kita ingin menyusun huruf-huruf AAB dalam satu baris,
AAB hanya ada 3 cara
3!
ABA
3=
2!
BAA
Terdapat 3 huruf pada susunan AAB yang berhubungan dengan 3! Susunan yang
berbeda jika setiap huruf adalah berbeda.
Definisi :
Jika P adalah banyaknya permutsi dari n unsur yang memuat a unsur (objek)
sama, b unsur (objek) sama, c unsur (objek) sama dan seterusnya, maka :
P(na , b, c ) =
n!
a!b!c!
Contoh :
Tentukan
banyaknya
cara
menyusun
susunan
berbeda
dari
huruf-huruf
KALIMANTAN
Penyelesaian
KALIMANTAN
- Banyaknya huruf seluruhnya 10
- Banyaknya huruf K = 1
- Banyaknya huruf A = 3
- Banyaknya huruf L = 1
- Banyaknya huruf I = 1
- Banyaknya huruf M = 1
- Banyaknya huruf N = 2
- Banyaknya huruf T = 1
Maka banyaknya menyusun berbeda huruf-huruf KALIMANTAN adalah
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 11 of 37
10!
1!3!1!1!1!2!1!
10!
=
3!2!
10.9.8.7.6.5.4.3!
=
3!2!
10.9.8.7.6.5.4
=
2!
= 10.9.8.7.6.5.2
= 302400
P(10
1, 3,1,1,1, 2,1) =
b. Permutasi Siklis
Permutasi siklis yaitu susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran (kurva
tertutup) dengan memperhatikan urutannya. Permutasi siklis dari n unsur dapat
dinyatakan sebagai berikut.
P( siklis ) = (n − 1)!
Contoh :
Dalam suatu rapat pengurus Yayasan dihadiri 6 orang pengurus yang duduk melingkar
pada sebuah meja bundar, ada berapa cara mereka duduk pada kursi yang tersedia.
Penyelesaian
P( siklis ) = (6 − 1)!
= 5!
= 5.4.3.2.1
= 120
4. Kombinasi
Kombinasi adalah susunan beberapa unsur yang diambil dari sebagian atau seluruh unsur
suatu himpunan tanpa memperhatikan urutanya.
Konbinasi r unsur dari n unsur dinyatakan sebagai berikut :
n
n C r = C r = C ( n,r ) =
n!
(n − r )!r!
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 12 of 37
Contoh
1. Tentukan nilai dari C 28
Penyelesaian
8!
(8 − 2)!2!
8!
=
6!2!
8.7.6!
=
6!2!
8.7
=
2!
= 4. 7
C 28 =
= 28
2. Jika diketahui nC3 = 2n tentukan nilai dari 2nC7
Penyelesaian
n
C3 = 2n
n!
= 2n
(n − 3)!3!
n(n − 1)(n − 2)
= 2n
6
(n 2 − n)(n − 2) = 12n
n 3 − 3n 2 + 2n = 12n
n 2 − 3n − 10 = 0
(n + 2)(n − 5) = 0
n=5
Maka nilai
10!
(10 − 7)!7!
10.9.8.7!
=
3!7!
= 10.3.4
C710 =
= 120
3. Seorang murid diminta menyelesaikan 15 soal dari 23 soal yang diberikan, tetapi
nomor ganjil harus dikerjakan. Banyaknya pilihan berbeda yang dapat diambil adalah
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 13 of 37
Penyelesaian
-
Soal nomor ganjil 1, 3, 5, ..., 23 = 12 soal
-
Siswa diminta mengerjakan 15 soal berarti soal nomor genap ada 3 soal yang harus
dikerjakan
-
Jumlah soal nomor genap ada 11 soal akan dipilih 3 maka
11!
(11 − 3)!3!
11!
=
8!3!
11.10.9.8!
=
8!3!
990
=
6
= 165
C311 =
Jadi banyaknya pilihan ada 165 pilihan
4. Tim bola basket terdiri atas lima orang. Jika tersedia 8 orang pemain maka banyaknya
cara untuk menyusun tim adalah
Penyelesaian
8!
(8 − 5)!5!
8.7.6.5!
=
3!5!
8.7.6.
=
3!
= 56
C 58 =
F. TUGAS
1. Tono mempunyai 3 pasang sepatu berwarna hitam, putih, dan coklat. Tono juga
mempunyai 4 pasang kaos kaki berwarna biru, hitam, merah dan coklat. Berapa
banyak pasangan sepatu dan kaos kaki yang dapat dipakai Tono.
2. Sebuah poliklinik mempunyai 4 dokter spesialis dan 8 dokter umum. Banyak
pasangan dokter spesialis an dokter umum yang dapat dibuat adalah
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 14 of 37
3. Diberikan angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Banyaknya bilangan cacah berlainan yang
dapat disusun, yang terdiri atas tiga angka dari angka-angka tersebut adalah …
4. Nilai n yang memenuhi persamaan
5. Nilai dari
(n + 1)! = n! adalah
5(n − 1)! 3(n − 2)
12!
8!
adalah...
+
9! 3!2!5!
6. Nilai n yang memenuhi persamaan 10.P2n = P4n+1 adalah....
7. Nilai n yang memenuhi persamaan P6n = 6!.C 5n adalah....
8. Nilai n yang memenuhi persamaan C 32 n = P3n +1 adalah....
9. Nilai n yang memenuhi persamaan
P11 14
=
adalah....
3
n + 3 P11
n+ 4
10. Seorang ibu mempunyai 7 mainan yang akan dibagikan kepada tiga anaknya. Anak
pertama dan kedua mendapat 2 mainan, sedangkan anak ketiga mendapat 3 mainan.
Ada berapa cara ibu tersebut membagi mainan kepada ketiga anaknya
11. Banyaknya cara untuk menyusun pengurus terdiri atas 1 ketua, 1 bendahara, dan 1
penulis dari 9 calon pengurus adalah
12. Banyak
susunan
berbeda
yang dapat dibuat dari huruf-huruf pada
kata
“MATEMATIKA” adalah
13. Sebelum berpisah dengan teman-temannya, Amir dan semua temannya saling
berjabatan tangan satu kali. Amir menghitung ada sebanyak 66 jabat tangan. Berapa
orangkah yang hadir dalam pertemuan tersebut?
14. Banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0, 1. 2, 3, 4,
5, 6, 7, dan tidak ada angka yang sama adalah
15. Ada 10 orang tamu, tetapi hanya tersedia 4 kursi. Jika salah seorang tamu selalu duduk
di kursi tertentu, maka banyaknya cara duduk di kursi tamu tersebut adalah ….
16. Banyaknya cara menyusun pasangan ganda putra dari 10 orang pemain bulu tangkis
pria adalah ….
17. Dari 12 orang yang terdiri dari 8 pria dan 4 wanita akan dibentuk kelompok kerja
yang beranggotakan 4 orang. Jika dalam kelompok kerja itu terdapat paling sedikit 2
pria, banyak cara membentuknya ada
18. Dalam ekspansi ( 1 – 2x ) 11, koefisien x3 adalah k kali koefisien x2. Nilai k adalah
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 15 of 37
19. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri dari satu huruf dan diikuti oleh dua
angka yang berbeda dan angka kedua adalah bilangan genap. Banyaknya nomor
undian ada
20. Jika C rn menyatakan banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen dan
C 2n = n +5,maka C n2 n adalah
G. ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR
Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains
Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.
Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI.
Klaten : Intan Pariwara..
Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga
Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas
XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan
Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 16 of 37
Kegiatan Pembelajaran 2
A.
STANDAR KOMPETENSI
Menggunakan kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
B.
KOMPETENSI DASAR
Menentukan ruang sampel suatu percobaan
C.
INDIKATOR PENCAPAIAN
1. Mampu menentukan ruang sampel suatu percobaan
D.
2
Mampu menentukan banyaknya titik sampel suatu percobaan
3
Mampu menentukan anggota himpunan suatu kejadian
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah pembelajaran ini siswa dapat :
1. Memahami pengertian ruang sampel suatu percobaan
2. Menentukan banyakknya ruang sampel dari pelemparan uang logam
3. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari pelemparan uang logam
4. Menentukan banyaknya ruang sampel dari pelemparan mata dadu
5. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari pelemparan mata dadu
6. Menentukan ruang sampel dari seperangkat kartu remi
7. Menentukan banyakya ruang sampel dari suatu kejadian yang berkaitan dengan
kehidupan sehari-hari
8. Menentukan titik smapel/anggota ruang sampel dari suatu kejadian yang berkaitan
dengan kehidupan sehari-hari
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 17 of 37
E. URAIAN MATERI
1. Pengertian Ruang Sampel
Definisi :
Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil
yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S
2. Menentukan Ruang sampel Suatu Percobaan
a. Ruang sampel pada Uang Logam
-
Pada pelemparan sebuah uang logam sekali maka kemungkinan yang muncul
adalah sisi Gambar atau sisi Angka
.
S = {A, G}
n(S) = 2
n(S) = 21
-
Pada pelemparan sebuah uang logam dua kali maka kemungkinan yang muncul
A
AA
S = {AA, AG, GA, GG}
A
G
AG
n(S) = 4
A
GA
n(S) = 2 x 2
n(S) = 22
G
G
-
GG
Pada pelemparan sebuah uang logam tiga kali maka kemungkinan yang muncul
A
AAA
G
A
AAG
AGA
G
AGG
A
GAA
G
A
GAG
GGA
G
GGG
A
A
G
G
GAG, GGA, GGG}
n(S) = 8
A
G
S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA,
n(S) = 2 x 2 x 2
n(S) = 23
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 18 of 37
Dari uraian diatas maka dapat kita simpulkan bahwa :
1). Satu buah uang logam diambung a kali, maka banyaknya ruang sampel n(S) = 2a
2). m buah uang logam diambung 1 kali, maka banyaknya ruang sampel n(S) = 2m
b. Ruang sampel pada mata Dadu
-
Pada percobaan sebuah mata dadu bermata enam diambung sekali, maka
kemungkinan muncul
sisi bernomor 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 atau 6
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
-
n(S) = 61
Pada percobaan sebuah mata dadu bermata lima diambung sekali maka
kemungkinan muncul
sisi bernomor 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5
S = {1, 2, 3, 4, 5}
n(S) = 5
-
n(S) = 51
Pada percobaan sebuah mata dadu bermata enam diambung sebanyk 2 kali, maka
kemungkinan muncul
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
n(S) = 36
n(S) = 62
Jadi pada percobaan pelemparan mata dadu banyak ruang sampel adalah ;
a. Pada dadu bermata 6 diambung sekali maka n(S) = 61
b. Pada dadu bermata 6 diambung sebanyak n kali maka n(S) = 6n
c. Pada dadu bermata a diambung sebanyak n kali maka n(S) = an
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 19 of 37
c. Menentukan ruang sampel pada permasalahan sehari-hari
Contoh :
1. Kantong A berisi 6 kelereng hitam, dan 4 kelereng putih. Kantong B berisi 5
kelereng hitam dan 3 kelereng putih. Dari kantong A diambil 3 buah dan dari
kantong B diambil 2 buah kelereng secara acak, ruang sampel masing-masing
kantong adalah
Penyelesaian
Banyaknya ruang sampel pada kantong A
-
Jumlah kelereng keseluruhannya ada 10 buah kelereng
-
Diambil 3 buah
n( S ) = C310
10!
(10 − 3)!3!
10.9.8.7!
=
7!3!
10.9.8
=
3!
= 10.3.4
=
= 120
Jadi banyaknya ruang sampel pada kantong A adalah 120
Banyaknya ruang sampel pada kantong B
-
Jumlah kelereng keseluruhannya ada 8 buah kelereng
-
Diambil 2 buah
n( S ) = C28
8!
(8 − 2)!2!
8.7.6!
=
6!2!
8.7
=
2!
= 4. 7
=
= 28
Jadi banyaknya ruang sampel pada kantong B adalah 28
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 20 of 37
2. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Jika
pedagang ayam tersebut akan menjual 5 ekor dari ayamnya. Banyaknya anggota
ruang sampel dari penjualan ayam tersebut adalah
Penyelesaian
Jumlah ayam keseluruhannya ada 10 ekor
n( S ) = C510
10!
(10 − 5)!5!
10.9.8.7.6.5!
=
5!5!
10.9.8.7.6
=
5.4.3.2.1
= 2.3.2.7.3
=
= 252
Jadi banyaknya ruang sampel pada kejadian diatas adalah 252
F. TUGAS
1. Banyaknya ruang sampel dari pelemparan sebuah dadu dan dua keping uang logam
secara bersamaan adalah...
2. Sebuah dadu dilemar tiga kali. Banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan
tersebut adalah
3. Pak Amir akan memancing pada sebuah kolam yang berisi 21 ikan mujahir, 12 ikan
mas, dan 27 ikan tawes. Banyaknya ruang sampel pada kasus di atas adalah...
4. Banyaknya ruang sampel pada penelitian jenis kelamin tiga bayi adalah
5. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 3 bola putih dan 9 bola biru. Apa bila 3 bola
diambil secara acak, maka banyaknya hasil yang mungkin terjadi pada percobaan
tersebut adalah
6. Dari delapan titik akan dibuat suatu garis dengan tidak ada tiga titik yang segaris,
maka banyaknya garis yang mungkin adalah
7. Dari 1000 kaleng sari buah, terdapat 4 yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah
tersebut secara acak, maka banyaknya ruang sampel dari peristiwa di atas adalah
8. Dalam suatu kumpulan kanak-kanak ada 5 orang anak laki-laki dan 4 orang anak
perempuan. Andaikan dari kumpulan itu kita akan memilih sepasang anak yang terdiri
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 21 of 37
dari seorang anak laki-laki dan seorang anak perempuan untuk menari, maka
banyaknya pasangan /cara dalam pilihan itu adalah….
9. Dari angka 1, 2, 3, ..., 9 akan disusun sebuah bilangan yang terdiri dari 4 digit, jika
tidak ada angka yang berulang, maka banyaknya kemungkinan bilangan yang tersusun
adalah
G.
ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR
Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains
Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.
Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI.
Klaten : Intan Pariwara..
Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga
Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas
XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan
Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen
Pendidikan Nasional
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 22 of 37
Kegiatan Pembelajaran 3
A.
STANDAR KOMPETENSI
Menggunakan kaidah pencacahan dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
B.
KOMPETENSI DASAR
Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya
C.
INDIKATOR PENCAPAIAN
1. Mampu menentukan peluang suatu kejadian
2
Mampu menentukan peluang kejadian komplemen suatu kejadian
3
Mampu menentukan kisaran nilai peluang
4. Mampu menentukan frekwensi harapan suatu kejadian
5. Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian
6. Mampu menentukan peluang kejadian saling asing
D.
TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah pembelajaran ini siswa dapat :
1. Mampu menentukan peluang kejadian dengan menggunkan ruang sampel
2
Mampu menentukan peluang kejadian komplemen suatu kejadian
3
Mampu menentukan kisaran nilai peluang
4. Mampu menentukan frekwensi harapan suatu kejadian
5. Mampu menentukan peluang gabungan dua kejadian
6. Mampu menentukan peluang kejadian saling asing
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 23 of 37
E. URAIAN MATERI
1. Menentukan Peluang suatu kejadian
a. Menentukan peluang kejadian dengan pendekatan frekwensi relatif
Frekwensi relatif muncul kejadian A =
banyak muncul kejadian A
banyak percobaan yang dilakukan
Contoh :
1. Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang
terambilnya kartu bukan As adalah
Penyelesaian
- jumlah kartu bridge ada 52 kartu
- jumlah kartu As ada 4 kartu
- jumlah kartu bukan As ada 48 kartu
48
52
12
=
13
Peluang terambil bukan kartu As =
2. Dari sembilan bola di beri nomor 1, 2, 3, ..., 9. diambil 1 bola secara acak,
maka peluang terambilnya bola bernomor prima adalah
Penyelesaian
- jumlah bola ada 9
- jumlah bola bernomor prima 4
P( prima ) =
4
9
b. Menentukan peluang kejadian dengan menggunakan ruang sampel.
Jika A adalah suatu kejadian dengan A ⊂ S maka peluang kejadian A adalah
P ( A) =
n( A)
n( S )
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 24 of 37
Contoh :
1. Jika dua buah dadu dilambungkan bersama-sama, maka peluang munculnya
mata dadu berjumlah 8 adalah ….
Penyelesaian
+
1
2
3
4
5
6
1
1+1=2
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6
1+6=7
2
2+1=3
4
5
6
7
8
3
3+1=4
5
6
7
8
9
4
4+1=5
6
7
8
9
10
5
5+1=6
7
8
9
10
11
6
6+1=7
8
9
10
11
12
Dari tabel di atas diketahui
-
Banyaknya ruang sampel n(S) = 36
-
Banyaknya kemungkinan muncul mata dadu berjumlah 8 n(A8) = 5
Jadi peluang munculnya mata dadu berjumlah 8 adalah
P( A8 ) =
5
36
2. Sebuah dadu dan sekeping mata uang logam yang dilempar undi bersama-sama
sekali. Peluang munculnya mata dadu sisi bernomor 5 dan sisi angka pada
uang logam adalah
Penyelesaian
Banyaknya ruang sampel 6 x 2 = 12
1
2
3
4
5
6
A
(A, 1)
(A, 2)
(A, 3)
(A, 4)
(A, 5)
(A, 6)
G
(G, 1)
(G, 2)
(G, 3)
(G, 4)
(G, 5)
(G, 6)
Banyaknya kejadian muncul sisi dadu 5 dan sisi uang logan Angka adalah 1
P( A) =
1
12
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 25 of 37
3. Dari angka 1, 2, 3, 4, dan 5 akan dilakukan percobaan menyusun nomor undi
yang terdiri atas tiga angka berlainan. Jika A menyatakan kejadian munculnya
nomor undi lebih dari 400, maka peluang kejadian A adalah
Penyelesaian
Banyaknya ruang sampel
5
4
3
n(S) = 5 x 4 x 3
n(S) = 60
Banyaknya bilangan yang lebih dari 400
2
4
3
n(A) = 2 x 4 x 3
n(A) = 24
maka
24
60
2
=
5
P ( A) =
c. Menentukan peluang komplemen suatu kejadian
Jika A C adalah komplemen kejadian A maka peluang kejadian A C adalah
( )
P A C = 1 − P ( A)
Contoh
Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. jika diambil
sebuah bola secara acakb, berapakah peluang munculnya:
a. bola bernomor prima
b. bola bukan bernomor prima
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 26 of 37
Penyelesaian
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
n(S) = 10
dimisalkan A adalah kejadian muncul bola bernomor prima
A = {2, 3, 5, 7}
n(A) = 4
a. Peluang munculnya bola bernomor prima P(A) adalah
n( A)
n( S )
4
=
10
2
=
5
P( A) =
b. Peluang munculnya bola bukan bernomor prima P ( A C ) adalah
( )
P A C = 1 − P ( A)
2
= 1−
5
5−2
=
5
3
=
5
2. Kisaran Nilai Peluang
a. Jika kejadian A dalam ruang sampel S selalu terjadi, dimana A = S
n( A) = n( S ) , sehingga peluang kejadian A adalah P( A) =
maka
n( A) S
= =1
n( S ) S
b. Jika kejadian A dalam ruang sampel S tidak pernah terjadi/mustahil terjadi, dimana
A = ∅, maka n( A) = 0 sehingga peluang kejadian A adalah P ( A) =
n( A) 0
= =0
n( S ) S
c. Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P ( A) ≤ 1
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 27 of 37
3. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan terjadi
dalam beberapa kali percobaan. Frekuensi harapan kejadian A adalah : Fh ( A) = nP ( A)
Caontoh :
1. Sebuah dadu bermata enam dilemapar 90 kali. Frekuensi harapan mendapatkan
mata dadu 3 adalah
Penyelesaian
n( S ) = 6
n( A) = 1
P( A) =
1
6
Fh ( A) = 90
1
6
= 15
2. Disebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang terkena serangan
jantung adalah 0,07 dan peluang terkena penyakit liver adalah 0,17. jika sebanyak
25000 orang dewasa di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena
penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena penyakit liver
Penyelesaian
Peluang orang terkena serangan jantung 0,07 =
Jadi
frekuensi
harapan
25000
7
= 1750
100
orang
terkena
7
100
serangan
Peluang orang terkena penyakit liver adalah 0,17 =
Jadi
frekuensi
harapan
25000
17
= 4250
100
orang
terkena
jantung
adalah
liver
adalah
17
100
penyakit
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 28 of 37
3. Dalam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil penyilangan diperoleh
hasil 1000 bunga dengan warna yang berbeda dengan perbandingan 1 putih : 3
merah muda : 1 merah. Berapakah banyak bunga merah, merah muda, dan putih
yang dihasilkan.
Penyelesaian
Hasil yang diperoleh 1 : 3 : 1. n( S ) = 1 + 3 + 1
n( S ) = 5
maka banyaknya bunga yang diperoleh adalah
Bunga putih adalah
1
(1000) = 200 bunga
5
Bunga merah muda adalah
Bunga merah adalah
3
(1000) = 600 bunga
5
1
(1000) = 200 bunga
5
2. Peluang Kejadian Majemuk
a. Peluang gabungan dua kejadian
Misalkan A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Peluang
gabungan dua kejadian (kejadian A dan kejadian B). Dapat ditulis P( A ∪ B )
ditentukan dengan aturan :
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
Contoh :
1. Dua puluh kartu diberi nomor 11 sampai 30. diambil satu kartu secara acak,
maka peluang yang terambil adalah kartu bernomor ganjil atau kartu bernomor
prima adalah
Penyelesaian
S = {11, 12, 13, ..., 30}
n(S) = 20
misalkan
A adalah kejadian terambil kartu bernomor ganjil adalah
A = {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
N ( A) = 10
P ( A) =
10 1
=
20 2
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 29 of 37
B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima adalah
B = {11, 13, 17, 19, 23, 29}
n(B) = 6
P( B) =
6
3
=
20 10
( A ∩ B ) = {11, 13, 17, 19,
23, 29}
n( A ∩ B ) = 6
P( A ∩ B ) =
6
3
=
20 10
Maka
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
10 6
6
+
−
20 20 20
10
=
20
1
=
2
=
2. Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara acak, peluang
terambilnya kartu warna merah atau kartu AS adalah
Penyelesaian
n(S) = 52
Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu warna merah n(A) = 26
P ( A) =
26 1
=
52 2
Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu AS n(B) = 4
P( B) =
4
1
=
52 13
n( A ∩ B) = 2
P( A ∩ B) =
2
1
=
52 26
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 30 of 37
Maka
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
26 4
2
+
−
52 52 52
28
=
52
7
=
13
=
3. suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar Matematika, 21 gemar Fisika,
dan 9 siswa gemar matematika dan Fisika. Peluang seorang siswa tidak gemar
matematika maupun Fisika adalah.
Penyelesaia
n( S ) = 40
n( M ) = 25
n( F ) = 21
n( M ∩ F ) = 9
n (M ∪ F ) = n ( M ) + n ( F ) − n ( M ∩ F )
= 25 + 21 − 9
= 37
(
P (M ∪ F )
C
) = 1 − P (M ∪ F )
n (M ∪ F )
n( S )
37
= 1−
40
40 − 37
=
40
3
=
40
= 1−
b. Peluang gabungan dau kejadian yang saling asing/lepas
Misalkan A dan B adalah kejadian yang berada dalam ruang sampel S. Jika
kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling lepas atausaling
asing, maka kejadian A dan kejadian B tidak dapat terjadi bersamaan.
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 31 of 37
Peluang gabungan dua kejadian yang saling asing dinyatakan
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
Contoh :
Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang
berurutan dari 1 sampai 10, sebuah kartu diambil dari kantong secara acak, maka
peluang kejadian yang terambil kartu nomor genap atau kartu bernomor prima
ganjil adalah
Penyelesaian
n( S ) = 10
Misalnya A kejadian terambil kartu bernomor genap maka
A = {2, 4, 6, 8, 10}
n( A) = 5
P ( A) =
n( A) 5 1
=
=
n( S ) 10 2
Misalkan B kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil
B ={3, 5, 7}
n( B) = 3
P( B) =
n( B ) 3
=
n( S ) 10
( A ∩ B) = 0
Maka
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
5
3
+
10 10
8
=
10
4
=
5
=
c. Peluang gabungan dau kejadian saling bebas
Kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bebas jika kejadian A
tidak mempengarui kejadian B dan sebaliknya.
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 32 of 37
Peluang dua kejadian yang saling bebas dinyatakan sebagai berikut :
P ( A ∩ B ) = P ( A) × P ( B )
Contoh :
1. Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 sampai 11. dua bola diambil
dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukan peluang terambil
bola-bola bernomor ganjil dan genap.
Penyelesaian
n( S ) = 11
Mislakan A kejadian terambil bola bernomor ganjil A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
n( A) = 6
P ( A) =
6
11
Mislakan B kejadian terambil bola bernomor genap B = {2, 4, 6, 8, 10}
n( B ) = 5
P( B) =
5
11
Jadi peluang terambilnya bola bernomor ganjil dan genap adalah
P( A ∩ B) = P( A) × P( B )
6 5
= ×
11 11
30
=
121
2. Pada pelemparan dua buah dadu sekaligus, peluang muncul sisi 3 pada dadu
pertama dan sisi 5 pada dadu kedua adalah
Penyelesaian
Dadu pertama
Dadu kedua
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(1, 5)
(1, 6)
2
(2, 1)
(2, 2)
(2, 3)
(2, 4)
(2, 5)
(2, 6)
3
(3, 1)
(3, 2)
(3, 3)
(3, 4)
(3, 5)
(3, 6)
4
(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)
5
(5, 1)
(5, 2)
(5, 3)
(5, 4)
(5, 5)
(5, 6)
6
(6, 1)
(6, 2)
(6, 3)
(6, 4)
(6, 5)
(6, 6)
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 33 of 37
n( S ) = 36
Misalkan A kejadian muncul sisi 3 pada dadu pertama
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
n( A) = 6
P ( A) =
1
6
Misalkan B kejadian muncul sisi 3 pada dadu pertama
A = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}
n( B ) = 6
P( B) =
1
6
Peluang munculnya sisi 3 pada dadu pertama dan sisi 5 pada dadu kedua
P( A ∩ B) = P( A) × P( B )
1 1
= ×
6 6
1
=
36
3. Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Kita ambil 2 bola sekaligus
dari kotak itu. Peluang bahwa yang terambil itu bola merah dan bola putih
adalah
Penyelesaian
n( S ) = C 28
8!
6!2!
= 28
=
Misalkan A adalah kejadian terambilnya bola merah
n( A) = C15
5!
4!1!
=5
=
Misalkan B adalah kejadian terambilnya bola putih
n( B) = C13
3!
2!1!
=3
=
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 34 of 37
n( A ∩ B) = n( A) × n( B)
= 5× 3
= 15
peluang terambilnya bola merah dan putih
n( A ∩ B)
n( S )
15
=
28
P( A ∩ B ) =
4. Ranti Marinda akan menempuh ujian Fisika, Kimia dan Matematika. Peluang
untuk lulus Fisika 70 %, Kimia 60 % dan Matematika 50 %. Peluang untuk
lulus ketiga-tiganya adalah
Penyelesaian
Peluang lulus Fisika 70% = 0,7
Peluang tidak lulus Fisika 30% = 0,3
Peluang lulus Kimia 60% = 0,6
Peluang tidak lulus Kimia 40% = 0,4
Peluang lulus Matematika 50% = 0,5
Peluang tidak lulus Matematika 50% = 0,5
Maka peluang Ranti lulus ketiganya mata pelajaran adalah
P (F ∩ K ∩ M ) = P ( F ) × P ( K ) × P ( M )
7 6 5
× ×
10 10 10
210
=
1000
= 21%
=
d. Peluang gabungan dua kejadian saling bersyarat
kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian yang saling bersyarat, jika kejadian
A bergantung pada kejadian B atau sebaliknya
Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B dulu, ditentukan dengan aturan
P( A | B) =
P( A ∩ B )
; P( B ) > 0
P( B)
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 35 of 37
Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A dulu, ditentukan dengan aturan
P( B | A) =
P( A ∩ B )
; P( A) > 0
P( A)
Contoh :
Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola
diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian,
peluang yang terambil kedua-duanya bola merah adalah.
Penyelesaianu
Pada pengambilan pertama n( S ) = C110 = 10
Misal A kejadian terambil bola merah maka n( A) = C16 = 6
P( A) =
6 3
=
10 5
Pada pengambilan kedua n( S ) = C19 = 9
Misal B kejadian terambil bola merah maka n( B ) = C15 = 5
5
9
P( A ∩ B ) = P( A).P( B / A)
P( B / A) =
3 5
5 9
1
=
3
=
F. TUGAS
1. Diketahui tiga keping mata uang logam dengan masing-masing mempunyai muka
angka dan gambar. Ketiga keping uang logam itu dilempar sekali bersama-sama.
Peluang kejadian muncul dua angka dan satu gambar adalah
2. Dari 1000 kaleng sari buah, terdapat 4 yang rusak. Bila diambil 2 kaleng sari buah
tersebut secara acak, maka besar peluang bahwa kedua-duanya rusak.
3. Dari 100 orang mahasiswa , terdaftar 45 orang mengikuti kuliah Bahasa Indonesia, 50
kuliah Sejarah dan 25 orang mengikuti kedua mata kuliah itu. Dipanggil seorang
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 36 of 37
diantara 100 orang mahasiswa itu. Maka peluang agar mahasiswa yang dipanggil itu
tidak mengikuti kuliah Bahasa Indonesia maupun Sejarah adalah
4. Dua buah dadu bersisi emam dilemparkan bersama-sama. Peluang kejadian mata dadu
yang muncul berjumlah 8 atau 12 adalah
5. Satu kartu diambil dari seperangkat kartu brids. Peluang untuk terambil kartu As atau
K adalah
6. Jika sebuah dadu dilambungkan maka peluang munculnya mata dadu genap atau
prima adalah
7. Tuti ingin menjumpai ketiga kawannya yang rumahnya berlainan tempat. Peluang
Tuti menjumpai dua kawannya adalah
8. Menurut ramalan cuaca di Samarinda, peluang untuk hujan 60% dan peluang untuk
angin ribut 20%. Peluang di Samarinda untuk hujan dan angin ribut adalah
9. Bu Siska bercita-cita ingin memiliki 4 orang anak. Peluang bu Siska memiliki paling
sedikit 2 anak laki-laki adalah
10. Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Akan dijual 5
ekor ayam. Peluang yang terjual 3 diantaranya ayam betina adalah
11. Adi, Beti, Cici, Dika dan Endah akan duduk secara acak pada 5 kursi yang berderet
dari kiri ke kanan. Peluang Adi dan Beti duduk selalu berdampingan adalah
12. Peluang siswa A dan B lulus ujian adalah 0,98 dan 0,95 . Peluang siswa A lulus dan
siswa B tidak lulus adalah
13. Dalam sebuah kotak terdapat 5 manik merah dan 4 manik putih. Jika diambil 2 manik
secara acak, peluang terambil satu manik merah dan satu manik putih adalah
14. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan rupiah dan 2 keping ratusan
rupiah. Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping
ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet,
peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah
15. Di dalam suatu kotak terdapat 6 bola warna putih, 3 bola warna merah, dan 1 bola
warna kuning akan diambil 3 buah bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2
bola warna merah dan 1 bola warna kuning adalah
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com
Page 37 of 37
G.
ALAT/BAHAN/SUMBER BELAJAR
Wono Setya Budhi, Ph.D. 2010. Bahan Ajar Persiapan Menuju Olimpiade Sains
Nasional/Internasional SMA Matematika 3. Jakarta : Zamrut Kumala.
Nur Aksin dkk. 2010. Buku Panduan Pendidik Matematika Untuk SMA/MA Kelas XI.
Klaten : Intan Pariwara..
Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta: Erlangga
Nugroho Soedyarto & Maryanto. 2008, BSE Matematika untuk SMA dan MA Kelas
XI Program IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Wahyudin Djumanta & R. Sudrajat. 2008, BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan
Matematika untuk SMA/MA Kelas XI IPA, Jakarta : Pusat Perbukuan
Departemen Pendidikan Nasional
Modul Peluang Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd
Khairulfaiq.wordpress.com, E-mail : muh_abas@yahoo.com