Aplikasi Fungsi Green Menggunakan Algoritma Monte Carlo dalam Persamaan Diferensial Semilinear
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Cabang ilmu matematika yang sering digunakan dalam memodelkan suatu permasalahan adalah persamaan diferensial. Berdasarkan variabel bebasnya, terdapat dua jenis
persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial
parsial. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang mempunyai
satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang mempunyai lebih dari satu variabel bebas. Contohnya persamaan panas,
persamaan gelombang, persamaan transport, dan persamaan Poisson. Berdasarkan
bentuknya, terdapat persamaan diferensial homogen dan persamaan diferensial nonhomogen. Berdasarkan ordenya, terdapat persamaan diferensial orde satu, persamaan
diferensial orde dua, persamaaan diferensial orde tiga, dan persamaan diferensial orden (orde tinggi). Sedangkan berdasarkan kelinearannya, persamaan diferensial dibagi
menjadi dua, yaitu persamaan diferensial linear, dan persamaan diferensial nonlinear
(Boyce et al. 2008).
Persamaan diferensial nonlinear juga diklasifikasikan ke dalam tiga subkelas
yang dibagi berdasarkan ketidaklinearannya, yaitu quasilinear, semilinear, dan fully
nonlinear. Secara umum, jika ketidaklinearannya berada pada turunan tertinggi dari
suatu fungsi maka tingkat ketidaklinearannya akan semakin tinggi. Pada penelitian ini
akan lebih khusus membahas persamaan diferensial yang bersifat semilinear (Pinchover dan Rubinstein, 2005).
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi dari persamaan diferensial diantaranya metode faktor integrasi, metode karakteristik, metode
variabel tak tentu, metode variabel pemisah dan beberapa metode lainnya yang dapat
digunakan sesuai dengan tipe persamaan diferensial yang akan dicari solusinya.
1
Universitas Sumatera Utara
2
Selain metode - metode diatas, metode lain yang dapat digunakan dalam mencari
solusi dari persamaan diferensial adalah dengan mencari operator invers dari suatu
operator diferensial. Metode ini dikenal dengan metode representasi integral. Untuk
mendapatkan operator invers dari suatu persamaan diferensial, maka perlu mencari
suatu fungsi yang dikenal dengan fungsi Green.
Fungsi Green pertama kali dikemukakan pada tahun 1828 oleh seorang matematikawan Inggris yang berasal dari kota Nottingham bernama George Green. Green
mempublikasikan sebuah esai matematika yang berjudul ”An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.” Esai ini
terdiri dari 70 halaman berisikan asal mula teorema Green dan penerapannya. Dalam tulisannya tersebut, Green mencoba untuk menentukan potensial listrik di dalam
sebuah vakum yang dibatasi oleh konduktor dengan potensial tertentu.
Esai yang ditulis Green mulai terkenal pada tahun 1850-1854 dan mendapat sorotan dari School of Matematical Physic di Jerman. Walaupun Green tidak menamai
fungsi pada tulisannya tersebut, Riemann (1826 - 1866) memberikan nama ”Green’s
Function” atau Fungsi Green. Kemudian pada tahun 1877, Carl Neumann menerapkan
konsep fungsi green pada penelitiannya mengenai persamaan Laplace pada dimensi
dua. Neumann menemukan bahwa dimensi dua yang ekuivalen dengan fungsi Green
tidak digambarkan dalam bentuk singular dari
1
|r−r0 |
sebagai kasus dimensi tiga, tetapi
1
dalam bentuk singular dari log |r−r
.
0|
Setelah fungsi Green berhasil dalam menyelesaikan persoalan persamaan Laplace, para matematikawan mencoba untuk menggunakan fungsi Green untuk menyelesaikan persamaan lain. Pada persamaan panas, Hobson (1856-1933) menemukan ruang
bebas dari fungsi Green pada dimensi satu, dua, dan tiga. Seorang matematikawan
Prancis, Appell (1855-1930) menyadari bahwa terdapat formula yang serupa dengan
fungsi Green untuk persamaan panas dimensi satu, tetapi yang memperkenalkan teori
modern dari fungsi Green dalam penerapannya pada persamaan panas adalah Sommerfeld (1868-1951).
Universitas Sumatera Utara
3
Tokoh yang mengembangkan fungsi Green pada persamaan gelombang adalah
Kirchhoff (1824-1887). Kirchhoff menggunakan fungsi Green selama penelitiannya
mengenai persamaan Gelombang dimensi tiga. Kirchhoff berhasil menunjukkan bahwa fungsi Green pada dimensi tiga adalah
g(x, y, z, t|ξ, η, ζ, τ ) =
dengan R =
δ(t − τ − R/c)
4πR
p
(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2 . Walaupun Kirchhoff tidak menye-
butkan bahwa hasil yang didapatkannya adalah suatu fungsi Green, tetapi konsep dari
penyelesaiannya ini menggunakan fungsi yang dikenal sebagai fungsi delta Dirac. Dengan penyelesaian fungsi ini, Kirchhoff menemukan suatu teoremanya yaitu Teorema
Kirchhoff yang merupakan ekspresi matematika dari prinsip Huygen.
Aplikasi fungsi Green untuk persamaan diferensial biasa yang meliputi masalah nilai batas dilakukan oleh Burkhardt (1861-1914) dengan menggunakan hasil dari
teori Picard pada persamaan diferensial biasa, Burkhardt memperoleh fungsi Green
untuk masalah nilai batas. Kemudian, Bocher (1867-1918) mengembangkannya pada
masalah nilai batas orde ke-n (Duffy, 2001).
Fungsi Green dapat dicari untuk persamaan diferensial yang dilengkapi dengan
syarat batas tertentu. Persamaan diferensial yang diketahui syarat batasnya dinamakan
dengan Masalah Nilai Batas. Syarat batas mempunyai tiga tipe yaitu, syarat batas
tipe Dirichlet, Neumann, dan Robin. Syarat batas Dirichlet adalah nilai penyelesaian
pada batas domain. Syarat batas Neumann adalah nilai penyelesaian derivatif pada
batas domain. Syarat batas Robin adalah nilai penyelesaian pada batas domain dan
derivatifnya (Pinchover dan Rubinstein, 2005).
Dalam penelitian ini akan dibahas penyelesaian suatu persamaan diferensial semilinear dengan menggunakan fungsi Green. Selanjutnya fungsi Green akan dikontruksi menggunakan algoritma Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Dengan demikian kita akan melihat bagaimana hubungan antara fungsi Green yang dikonstruksi
dengan MCMC dengan solusi numeriknya.
Universitas Sumatera Utara
4
Berdasarkan uraian di atas maka penulis mengambil judul pada skripsi ini adalah ”Aplikasi Fungsi Green Menggunakan Algoritma Monte Carlo dalam Persamaan
Diferensial Semilinear”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang diatas, maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah bagaimana mengetahui fungsi Green dari suatu operator diferensial dan
mengkonstruksi fungsi Green menggunakan algoritma Markov Chain Monte Carlo
(MCMC) serta mencari solusi persamaan diferensial semilinear dengan menggunakan
fungsi Green.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah terbatas pada permasalahan semilinear eliptik orde dua pada ruang satu dimensi.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menyelesaikan suatu persamaan diferensial semilinear dengan menggunakan fungsi Green dan hubungannya dengan fungsi Green yang
dikonstruksi menggunakan algoritma MCMC.
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat mengetahui alternatif lain untuk mendapatkan fungsi Green yaitu dengan mengkonstruksi fungsi Green menggunakan algoritma
MCMC sekaligus dapat menjadi rujukan untuk penelitian selanjutnya.
1.6 Metodologi Penelitian
Metode merupakan suatu cara yang dilakukan penulis dalam menemukan hasil dari permasalahan dalam sebuah penelitian. Berdasarkan hal tersebut, penulis meng-
Universitas Sumatera Utara
5
gunakan metode kajian literatur atau kepustakaan, yaitu dengan membaca dan mengumpulkan informasi - informasi dari beberapa literatur yang berkaitan dengan permasalahan dalam penelitian ini.
Langkah - langkah yang akan dilakukan penulis dalam melakukan penelitian
adalah sebagai berikut:
1. Menentukan fungsi Green dari suatu operator diferensial yang diberikan.
Pada tahap ini, penulis akan menentukan fungsi Green pada suatu operator diferensial linear baik secara analitik maupun secara numerik.
2. Mengkonstruksi fungsi Green menggunakan algoritma Markov Chain Monte
Carlo (MCMC).
Fungsi Green dengan pendekatan numerik juga dapat dilakukakan menggunakan
algoritma MCMC. Langkah yang dilakukan adalah membangun algoritma MCMC
dengan menggunakan program MATLAB sehingga diperoleh pendekatan fungsi
Green secara numerik.
3. Mencari solusi dari suatu persamaan diferensial semilinear dengan menggunakan
fungsi Green.
4. Membuat kesimpulan.
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, maka akan diperoleh hasil yang
merupakan jawaban dari suatu permasalahan yang dikemukakan.
Gambar 1.1 merupakan urutan dari penelitian yang dimulai dengan membahas
fungsi Green dari suatu operator diferensial eliptik. Pada tahap ini penulis mengkonstruksi fungsi Green secara analitik maupun dengan menggunakan pendekatan numerik. Setelah diketahui fungsi Green dari suatu operator diferensial, maka diperoleh
solusi dari suatu permasalahan semilinear.
Universitas Sumatera Utara
6
Permasalahan Nilai
Batas Semilinear
Persamaan nonlinear
(semilinear)
Operator Diferensial Eliptik
Mengkonstruksi
Fungsi Green
Analitik
Numerik
Integrasi
numerik
Algoritma
MCMC
Fungsi Green
Fungsi Green dan
fungsi semilinear
Solusi
Gambar 1.1.Bagan penelitian
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Cabang ilmu matematika yang sering digunakan dalam memodelkan suatu permasalahan adalah persamaan diferensial. Berdasarkan variabel bebasnya, terdapat dua jenis
persamaan diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial
parsial. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang mempunyai
satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang mempunyai lebih dari satu variabel bebas. Contohnya persamaan panas,
persamaan gelombang, persamaan transport, dan persamaan Poisson. Berdasarkan
bentuknya, terdapat persamaan diferensial homogen dan persamaan diferensial nonhomogen. Berdasarkan ordenya, terdapat persamaan diferensial orde satu, persamaan
diferensial orde dua, persamaaan diferensial orde tiga, dan persamaan diferensial orden (orde tinggi). Sedangkan berdasarkan kelinearannya, persamaan diferensial dibagi
menjadi dua, yaitu persamaan diferensial linear, dan persamaan diferensial nonlinear
(Boyce et al. 2008).
Persamaan diferensial nonlinear juga diklasifikasikan ke dalam tiga subkelas
yang dibagi berdasarkan ketidaklinearannya, yaitu quasilinear, semilinear, dan fully
nonlinear. Secara umum, jika ketidaklinearannya berada pada turunan tertinggi dari
suatu fungsi maka tingkat ketidaklinearannya akan semakin tinggi. Pada penelitian ini
akan lebih khusus membahas persamaan diferensial yang bersifat semilinear (Pinchover dan Rubinstein, 2005).
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi dari persamaan diferensial diantaranya metode faktor integrasi, metode karakteristik, metode
variabel tak tentu, metode variabel pemisah dan beberapa metode lainnya yang dapat
digunakan sesuai dengan tipe persamaan diferensial yang akan dicari solusinya.
1
Universitas Sumatera Utara
2
Selain metode - metode diatas, metode lain yang dapat digunakan dalam mencari
solusi dari persamaan diferensial adalah dengan mencari operator invers dari suatu
operator diferensial. Metode ini dikenal dengan metode representasi integral. Untuk
mendapatkan operator invers dari suatu persamaan diferensial, maka perlu mencari
suatu fungsi yang dikenal dengan fungsi Green.
Fungsi Green pertama kali dikemukakan pada tahun 1828 oleh seorang matematikawan Inggris yang berasal dari kota Nottingham bernama George Green. Green
mempublikasikan sebuah esai matematika yang berjudul ”An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism.” Esai ini
terdiri dari 70 halaman berisikan asal mula teorema Green dan penerapannya. Dalam tulisannya tersebut, Green mencoba untuk menentukan potensial listrik di dalam
sebuah vakum yang dibatasi oleh konduktor dengan potensial tertentu.
Esai yang ditulis Green mulai terkenal pada tahun 1850-1854 dan mendapat sorotan dari School of Matematical Physic di Jerman. Walaupun Green tidak menamai
fungsi pada tulisannya tersebut, Riemann (1826 - 1866) memberikan nama ”Green’s
Function” atau Fungsi Green. Kemudian pada tahun 1877, Carl Neumann menerapkan
konsep fungsi green pada penelitiannya mengenai persamaan Laplace pada dimensi
dua. Neumann menemukan bahwa dimensi dua yang ekuivalen dengan fungsi Green
tidak digambarkan dalam bentuk singular dari
1
|r−r0 |
sebagai kasus dimensi tiga, tetapi
1
dalam bentuk singular dari log |r−r
.
0|
Setelah fungsi Green berhasil dalam menyelesaikan persoalan persamaan Laplace, para matematikawan mencoba untuk menggunakan fungsi Green untuk menyelesaikan persamaan lain. Pada persamaan panas, Hobson (1856-1933) menemukan ruang
bebas dari fungsi Green pada dimensi satu, dua, dan tiga. Seorang matematikawan
Prancis, Appell (1855-1930) menyadari bahwa terdapat formula yang serupa dengan
fungsi Green untuk persamaan panas dimensi satu, tetapi yang memperkenalkan teori
modern dari fungsi Green dalam penerapannya pada persamaan panas adalah Sommerfeld (1868-1951).
Universitas Sumatera Utara
3
Tokoh yang mengembangkan fungsi Green pada persamaan gelombang adalah
Kirchhoff (1824-1887). Kirchhoff menggunakan fungsi Green selama penelitiannya
mengenai persamaan Gelombang dimensi tiga. Kirchhoff berhasil menunjukkan bahwa fungsi Green pada dimensi tiga adalah
g(x, y, z, t|ξ, η, ζ, τ ) =
dengan R =
δ(t − τ − R/c)
4πR
p
(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2 . Walaupun Kirchhoff tidak menye-
butkan bahwa hasil yang didapatkannya adalah suatu fungsi Green, tetapi konsep dari
penyelesaiannya ini menggunakan fungsi yang dikenal sebagai fungsi delta Dirac. Dengan penyelesaian fungsi ini, Kirchhoff menemukan suatu teoremanya yaitu Teorema
Kirchhoff yang merupakan ekspresi matematika dari prinsip Huygen.
Aplikasi fungsi Green untuk persamaan diferensial biasa yang meliputi masalah nilai batas dilakukan oleh Burkhardt (1861-1914) dengan menggunakan hasil dari
teori Picard pada persamaan diferensial biasa, Burkhardt memperoleh fungsi Green
untuk masalah nilai batas. Kemudian, Bocher (1867-1918) mengembangkannya pada
masalah nilai batas orde ke-n (Duffy, 2001).
Fungsi Green dapat dicari untuk persamaan diferensial yang dilengkapi dengan
syarat batas tertentu. Persamaan diferensial yang diketahui syarat batasnya dinamakan
dengan Masalah Nilai Batas. Syarat batas mempunyai tiga tipe yaitu, syarat batas
tipe Dirichlet, Neumann, dan Robin. Syarat batas Dirichlet adalah nilai penyelesaian
pada batas domain. Syarat batas Neumann adalah nilai penyelesaian derivatif pada
batas domain. Syarat batas Robin adalah nilai penyelesaian pada batas domain dan
derivatifnya (Pinchover dan Rubinstein, 2005).
Dalam penelitian ini akan dibahas penyelesaian suatu persamaan diferensial semilinear dengan menggunakan fungsi Green. Selanjutnya fungsi Green akan dikontruksi menggunakan algoritma Markov Chain Monte Carlo (MCMC). Dengan demikian kita akan melihat bagaimana hubungan antara fungsi Green yang dikonstruksi
dengan MCMC dengan solusi numeriknya.
Universitas Sumatera Utara
4
Berdasarkan uraian di atas maka penulis mengambil judul pada skripsi ini adalah ”Aplikasi Fungsi Green Menggunakan Algoritma Monte Carlo dalam Persamaan
Diferensial Semilinear”.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang diatas, maka rumusan masalah pada penelitian ini adalah bagaimana mengetahui fungsi Green dari suatu operator diferensial dan
mengkonstruksi fungsi Green menggunakan algoritma Markov Chain Monte Carlo
(MCMC) serta mencari solusi persamaan diferensial semilinear dengan menggunakan
fungsi Green.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah terbatas pada permasalahan semilinear eliptik orde dua pada ruang satu dimensi.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menyelesaikan suatu persamaan diferensial semilinear dengan menggunakan fungsi Green dan hubungannya dengan fungsi Green yang
dikonstruksi menggunakan algoritma MCMC.
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat mengetahui alternatif lain untuk mendapatkan fungsi Green yaitu dengan mengkonstruksi fungsi Green menggunakan algoritma
MCMC sekaligus dapat menjadi rujukan untuk penelitian selanjutnya.
1.6 Metodologi Penelitian
Metode merupakan suatu cara yang dilakukan penulis dalam menemukan hasil dari permasalahan dalam sebuah penelitian. Berdasarkan hal tersebut, penulis meng-
Universitas Sumatera Utara
5
gunakan metode kajian literatur atau kepustakaan, yaitu dengan membaca dan mengumpulkan informasi - informasi dari beberapa literatur yang berkaitan dengan permasalahan dalam penelitian ini.
Langkah - langkah yang akan dilakukan penulis dalam melakukan penelitian
adalah sebagai berikut:
1. Menentukan fungsi Green dari suatu operator diferensial yang diberikan.
Pada tahap ini, penulis akan menentukan fungsi Green pada suatu operator diferensial linear baik secara analitik maupun secara numerik.
2. Mengkonstruksi fungsi Green menggunakan algoritma Markov Chain Monte
Carlo (MCMC).
Fungsi Green dengan pendekatan numerik juga dapat dilakukakan menggunakan
algoritma MCMC. Langkah yang dilakukan adalah membangun algoritma MCMC
dengan menggunakan program MATLAB sehingga diperoleh pendekatan fungsi
Green secara numerik.
3. Mencari solusi dari suatu persamaan diferensial semilinear dengan menggunakan
fungsi Green.
4. Membuat kesimpulan.
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, maka akan diperoleh hasil yang
merupakan jawaban dari suatu permasalahan yang dikemukakan.
Gambar 1.1 merupakan urutan dari penelitian yang dimulai dengan membahas
fungsi Green dari suatu operator diferensial eliptik. Pada tahap ini penulis mengkonstruksi fungsi Green secara analitik maupun dengan menggunakan pendekatan numerik. Setelah diketahui fungsi Green dari suatu operator diferensial, maka diperoleh
solusi dari suatu permasalahan semilinear.
Universitas Sumatera Utara
6
Permasalahan Nilai
Batas Semilinear
Persamaan nonlinear
(semilinear)
Operator Diferensial Eliptik
Mengkonstruksi
Fungsi Green
Analitik
Numerik
Integrasi
numerik
Algoritma
MCMC
Fungsi Green
Fungsi Green dan
fungsi semilinear
Solusi
Gambar 1.1.Bagan penelitian
Universitas Sumatera Utara