BENTUK-BENTUK IRISAN BIDANG DATAR DENGAN TABUNG DALAM SISTEM KOORDINAT DIMENSI TIGA
BENTUK-BENTUK
IRISAN BIDANG DATAR DENGAN TABUNG
DALAM SISTEM KOORDINAT DIMENSI TIGA
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana S1
Oleh
Festi Dwijayanti
0901060007
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO
2014
ABSTRACT
THE SHAPES OF PLANE FIGURES’ INCISION WITH CYLINDER
IN THREE DIMENSIONAL COORDINAT By : Festi Dwijayanti NIM : 0901060007
The purposes of this research are (1) investigate the general shape of plane figure’s incision with conicoid, (2) investigate the shape of plane figure’s incision with right circular cylinder, (3) obtain the gr aph sketch of the plane figure’s
2
incision with right circular cylinder in R . The steps in this research are to inspect the matters which is related to the three dimension space, and to transformate
2
3
coordinate system in R and R , to analyze the general sh ape of the plane figure’s incision with conicoid, to determine the cylinder’s incision shapes which is analogue with the plane figure’s incision with conicoid, to draw the cylinder’s
2
incision graph using coordinat system transformation in R . Based of the result of this research obtained that the shape of plane figure’s incision with conicoid is the shapes which form a part of conic. Cylinder’s incision when is elips, with is the angle between cylinder axis with normal vector plane. The spesific case occured when that the incision is circle. Two paralel lines and two coincide lines occured when
.
Key words : Plane, incision, right circular cylinder, coordinate system
2
3 transformation in R and R . v
ABSTRAK
BENTUK-BENTUK
IRISAN BIDANG DATAR DENGAN TABUNG DALAM SISTEM KOORDINAT DIMENSI TIGA Oleh : Festi Dwijayanti NIM : 0901060007
Tujuan dalam penelitian ini adalah (1) menyelidiki bentuk umum irisan bidang datar dengan konikoida, (2) menyelidiki bentuk-bentuk irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, (3) memperoleh gambar grafik irisan bidang datar
2
dengan tabung lingkaran tegak di R . Langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini adalah mengkaji hal-hal yang berkaitan dengan ruang dimensi tiga
2
3
serta transformasi sistem koordinat di R dan R , menganalisis bentuk umum irisan bidang datar dengan konikoida, menentukan bentuk-bentuk irisan tabung yang analog dengan irisan bidang datar dengan konikoida, melukis grafik irisan
2
tabung menggunakan transformasi sistem koordinat di R . Berdasarkan hasil penelitian diperoleh bahwa bentuk irisan bidang datar dengan konikoida adalah bentuk-bentuk yang merupakan anggota irisan kerucut. Irisan tabung ketika berupa elips, dengan adalah sudut antara poros tabung dengan vektor normal bidang. Kasus khusus terjadi ketika yaitu irisan berupa lingkaran. Dua garis sejajar dan dua garis berimpit terjadi ketika .
Kata kunci: Bidang datar, irisan, tabung lingkaran tegak, transformasi sistem
2
3 koordinat di R dan R .
vi
ix
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb.Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga atas Ridhonya peneliti dapat menyelesaikan penyusunan skripsi yang berjudul
“Bentuk-bentuk Irisan Bidang Datar dengan Tabung dalam Sistem Koordinat Dimensi Tiga
”.
Skripsi ini disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar sarjana S1 Program Studi Pendidikan Matematika di Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto. Peneneliti dapat menyelesaikan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini peneliti mengucapkan terima kasih kepada:
1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto.
2. Drs. Ahmad, M. Pd., Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto.
3. Erni Widiyastuti, M. Si., Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto.
4. Chumaedi Sugihandardji, S. Si., M. Si, Dosen Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, petunjuk, dan arahan dalam penyusunan skripsi ini.
5. Dr. Akhmad Jazuli, M. Si., Dosen Pembimbing II yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, petunjuk, dan arahan dalam penyusunan skripsi ini.
6. Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu yang bermanfaat selama belajar di Universitas Muhammadiyah Purwokerto.
7. Semua pihak yang telah membantu peneliti dalam proses penyusunan skripsi ini.
Semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan senantiasa mendapatkan balasan yang berlipat ganda dari Allah SWT.
Peneliti menyadari bahwa skripsi ini masih memiliki banyak kekurangan maka dari itu peneliti berharap semoga kekurangan dalam skripsi ini bisa menjadi bahan evaluasi bagi penelitian selanjutnya sehingga bisa lebih baik. Peneliti juga berharap skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi dunia pendidikan dan
.
berbagai pihak yang membutuhkan Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Purwokerto, Februari 2014 Peneliti
x
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN .................................................................... ii SUSUNAN DEWAN PENGUJI ................................................................. iii HALAMAN PERNYATAAN ................................................................... iv ABSTRAK .................................................................................................. v MOTTO ...................................................................................................... vii PERSEMBAHAN ....................................................................................... viii KATA PENGANTAR ................................................................................ ix DAFTAR ISI ............................................................................................... xi DAFTAR GAMBAR .................................................................................. xiii DAFTAR LAMBANG ............................................................................... xvi BAB I PENDAHULUAN ...........................................................................
1 A. Latar Belakang ................................................................................
1 B. Rumusan Masalah ...........................................................................
3 C. Batasan Masalah..............................................................................
3 D. Tujuan Penelitian ............................................................................
3 E. Manfaat Penelitian ..........................................................................
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA .................................................................
4 A. Matriks ............................................................................................
4
2 B. Transformasi Sistem Koordinat di R .............................................
11
2 C. Irisan Kerucut (Garis Lengkung Derajat Dua di R ) .......................
15
xi
3 D. Vektor dalam R ..............................................................................
25 E. Geometri Analitik Ruang ................................................................
31 BAB III METODOLOGI PENELITIAN....................................................
45 BAB IV PEMBAHASAN ...........................................................................
48 A. Irisan Konikoida ..............................................................................
48 B. Bentuk-bentuk Irisan Tabung ..........................................................
56
2 C. Gambar Irisan Tabung di R ...........................................................
97 BAB V PENUTUP ...................................................................................... 109
A. Kesimpulan ..................................................................................... 109
B. Saran ................................................................................................ 110 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 111
xii
xiii
DAFTAR GAMBAR
62 Gambar IV.B.6 Irisan tabung di R
59 Gambar IV.B.3 Irisan tabung di R
3
dengan ..................................
60 Gambar IV.B.4 Irisan tabung di R
2
dengan ..................................
61 Gambar IV.B.5 Irisan tabung di R
3
dengan ..................................
2
2
dengan ..................................
63 Gambar IV.B.7 Irisan tabung di R
3
dengan ..................................
64 Gambar IV.B.8 Irisan tabung di R
2
dengan ..................................
65 Gambar IV.B.9 Irisan tabung di R
3
dengan ..................................
dengan ....................................
58 Gambar IV.B.2 Irisan tabung di R
Gambar II.C.1 Translasi Sistem Koordinat di R
34 Gambar II.E.4 Rotasi Sistem Koordinat di R
2 ........................................
17 Gambar II.D.1 Vektor Basis Standar ..........................................................
26 Gambar II.D.2 Sudut antara dua vektor ......................................................
27 Gambar II.E.1 Sistem Koordinat Siku-siku di R
3 .......................................
32 Gambar II.E.2 Jarak Dua Titik di R
3 ...........................................................
33 Gambar II.E.3 Translasi Sistem Koordinat di R
3 ........................................
3 ............................................
dengan ....................................
35 Gambar II.E.5 Bidang di R
3 ........................................................................
37 Gambar II.E.6 Garis di R
3 ...........................................................................
40 Gambar IV.A.1 Bidang di R
3 .....................................................................
48 Gambar IV.A.2 Rotasi Sistem Koordinat ...................................................
49 Gambar IV.A.3 Translasi Sistem Koordinat ...............................................
52 Gambar IV.B.1 Irisan tabung di R
3
66
xiv
3
dengan ................................
79 Gambar IV.B.22 Irisan tabung di R
2
dengan ................................
80 Gambar IV.B.23 Irisan tabung di R
3
dengan ................................
81 Gambar IV.B.24 Irisan tabung di R
2
dengan ................................
82 Gambar IV.B.25 Irisan tabung di R
3
dengan ..................................
84 Gambar IV.B.26 Irisan tabung di R
dengan ................................
78 Gambar IV.B.21 Irisan tabung di R
86 Gambar IV.B.27 Irisan tabung di R
3
dengan ................................
88 Gambar IV.B.28 Irisan tabung di R
3
dengan ................................
90 Gambar IV.B.29 Irisan tabung di R
3
dengan ................................
92 Gambar IV.B.30 Irisan tabung di R
3
dengan ................................
94 Gambar IV.C.1 Contoh Irisan tabung dan bidang datar dengan .. 101
Gambar IV.C.2 Irisan tabung dan bidang datar dengan .................
3
dengan ................................
Gambar IV.B.10 Irisan tabung di R
72 Gambar IV.B.15 Irisan tabung di R
2
dengan ................................
67 Gambar IV.B.11 Irisan tabung di R
3
dengan ................................
68 Gambar IV.B.12 Irisan tabung di R
2
dengan ................................
69 Gambar IV.B.13 Irisan tabung di R
3
dengan ..................................
71 Gambar IV.B.14 Irisan tabung di R
2
dengan ..................................
3
2
dengan ................................
73 Gambar IV.B.16 Irisan tabung di R
2
dengan ................................
74 Gambar IV.B.17 Irisan tabung di R
3
dengan ................................
75 Gambar IV.B.18 Irisan tabung di R
2
dengan ................................
76 Gambar IV.B.19 Irisan tabung di R
3
dengan ................................
77 Gambar IV.B.20 Irisan tabung di R
104
xv
Gambar IV.C.3 Irisan tabung dan bidang datar dengan ......
107 Gambar IV.C.4 Irisan tabung dan bidang datar dengan ...............
108
2 R : Ruang Dimensi 2
3 R : Ruang Dimensi 3
2
: koordinat titik di R
3
: koordinat titik di R
2
: sistem koordinat siku-siku di R
3
: sistem koordinat siku-siku di R A=
( : matriks A )
A= : determinan matriks A |
| : vektor a
⃗ : panjang vektor a
| ⃗ | : sudut antara dua vektor : kurang dari : lebih dari : kurang dari atau sama dengan : Lebih dari atau sama dengan : tidak sama dengan : jika maka
T
A : transpose dari matriks A
H
A : transpose konjugat dari matriks A r(A) : rank dari matriks A
xvi