Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
1. RELASI DAN FUNGSI
2. Dengan himpunan pasangan berurutan R:{(1,2),(2,3),(3,4)}
A B Himpunan A disebut daerah asal (domain) 1 a Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) 2 b 3 c Himpunan {a,b,c} disebut daerah hasil (Range) d e
dan x A
y B
4. Dengan rumus y = x + 1 jika
1 A 1 2 3
2
3
4
5
3. Dengan grafik/diagram B
Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggota A dengan semua anggota B. Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota himpunan B disebut fungsi/pemetaan dari himpunan A ke B.
Cara menyatakan relasi ada 4 cara, yaitu :
4
3
3
2
2
1
1
A B
4. Dengan rumus Contoh 1: Diketahui himpunan A:{1,2,3) dan B:{1,2,3,4,5}. Nyatakan relasi “kurang satu dari” dari himpunan A ke himpunan B dengan 4 cara di atas ! Jawab : 1. Dengan diagram panah
3. Dengan grafik/diagram
2. Dengan himpunan pasangan berurutan
1. Dengan diagram panah
5
a
Tidak semua daerah asal (Df) dan daerah hasil (Rf) terdefinisi. Misal hanya terdefinisi jika
a
dan pecahan terdefinisi jika b 0
a 0 b
Contoh 2: Tentukan Df dan Rf yang terdefinisi dari fungsi :
x
1
a) f(x) = x 3
b) f(x) =
2 x
3
Jawab : a) f(x) = x 3 terdefinisi jika 3 0 atau .....
x
Jadi Df : {x/........…….. } Karena a 0 maka Rf : {y/…….........}
x
1
3 0
x b) f(x) = terdefinisi jika 2 atau ......
2 x
3
Jadi Df:{x/.………...... }
x 1 x
1
f(x) = y =
2 x
3 2 x
3 y(2x -3) = x + 1
2xy - 3y = x + 1
2xy - x = 3y + 1
x(2y - 1) = 3y + 1
3 y
1
x =
2 y
1 Syarat pecahan di atas terdefinisi jika ........... 0 atau y ......
Jadi Rf:{y/.....………. }
LATIHAN SOAL
1. Nyatakan relasi berikut dengan rumus ! A B
a. -1 -1
1
3
2
8
3
b. R : {(-3,-3),(-2,-1),(-1,1),(0,3),(1,5),(2,7)}
c. Y
17
11
7
3 X 2 4 7
2. Mana yang merupakan fungsi ? Beri alasannya ! A B A B f A B f
a. 1 a
a. Y b. Y y = x
4 e. y =
c. y =
x 2
5
d. y = x x 2
2
1 2 x x x y
x 2 f.
2
a. Fungsi Konstan Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi konstan jika setiap elemen himpunan A berpasangan dengan tepat dengan sebuah elemen himpunan B.
Fungsi konstan secara umum dinyatakan dengan y = f(x) = c, dengan c konstanta dan
R x
.
Contoh 1: Lukislah garis y = 5 Jawab : Y
1
b. 1 f c. 1 a 2 b 2 a 2 b 3 c 3 b 3 c 4 d 4 c 4 d
2
3. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !
a. R : {(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)}
b. R : {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}
c. R : {(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)}
d. R : {(-1,1),(1,3),(2,4),(1,5)}
4. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !
1 y = x + 1
y x x
X X c.
y x 2
1
d. e Y Y Y 3
x y x y 2 2 4
0 X 0 X 0 X
5. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari : a. y = x + 1 b.
2. MACAM-MACAM FUNGSI
X
b. Fungsi Identitas Suatu fungsi disebut fungsi identitas jika untuk setiap anggota daerah asal dipasangkan dengan dirinya sendiri di daerah kawan.
Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x
c. Fungsi Modulus (Mutlak) Suatu fungsi disebut fungsi modulus jika setiap anggota daerah asal dipasangkan ke harga modulus/mutlaknya di daerah kawan.
x
Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) =
x
dibaca “harga mutlak x” yang besarnya :
x , jika x x
x , jika x
2
2 Misal : 0 3 ( 3 )
3 2 x
5
Contoh 2: Lukislah kurva y = Jawab : Dengan menggunakan bantuan tabel : x
1 2 2,5
3
4
5 y … … … … … … … Kurvanya : Y
X
d. Fungsi Linear Fungsi linear yaitu fungsi yang berderajat satu atau pangkat tertinggi dari variabel/peubahnya hanya satu.
Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = mx + c, dimana m adalah gradien/arah/kemiringan garis dan c adalah konstanta. Fungsi linear berupa garis lurus. Contoh 3: Lukislah garis y = 2x + 3 Jawab : Untuk melukis suatu garis tertentu syaratnya minimal diketahui dua titik. Misal x = 0 maka y = …. atau melalui titik ( … , … ) Misal y = 0 maka x = …. atau melalui titik ( … , … ) Y
0 X
e. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang berderajat dua atau pangkat tertingi dari variabelnya dua. 2
a , a , b , c R ax bx c
Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = , dimana 2
y x 2 x
8 Contoh 4: Lukislah kurva
Jawab : Cara melukisnya :
1. Titik potong dengan sumbu X jika y = … 2
x 2 x 8 (......... ...)(..... ........)
x = … , x = …
2. Titik potong dengan sumbu Y jika x = … y = ….
3. Titik Puncak = TP = ( …. , ….. ) = ….
4. Beberapa titik bantu jika perlu.
X -2 -1
1
2
3
4 Y … … … … … … … Kurvanya :
Y
0 X
3. SIFAT-SIFAT FUNGSI
Sifat-sifat fungsi ada 4 , yaitu :
a. Fungsi Injektif (Satu-satu)
a , a A , a a maka f ( a ) f ( a )
Jika 1 2 1 2 1 2
b. Fungsi Surjektif (Onto) Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B (daerah kawan).
c. Fungsi Into Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B.
d. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Jika dan hanya jika fungsi f bersifat injektif dan surjektif.
LATIHAN SOAL
) ( x g f
) ( ) ( ) )( ( x g x f x g f 3.
) ( ). ( ) )( . ( x g x f x g f 4.
) ( , ) ( ) ( ) (
x g x g x f x g f
Contoh 1: Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 1. Tentukan :
a. (f + g)(x)
b. (f – g)(x)
c. (f x g)(x) d.
Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x) yang akan dioperasikan secara aljabar, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut : 1.
Jawab : a. (f + g)(x) = ….
b. (f – g)(x) = ….
c. (f x g)(x) = ….
d.
) (x g f
= ….
1. Tentukan rumus f + g, f – g , g – f dan f x g untuk f dan g pada R dengan ketentuan sebagai berikut : f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3 – 5x
) ( ) ( ) ( x g x f x g f 2.
6 3 , 3 , 2 x untuk x x untuk x x untuk x y
1. Fungsi-fungsi berikut termasuk fungsi into, fungsi onto, fungsi satu-satu atau fungsi korespondensi satu-satu dari : a. 1 a b. 1 a c. 1 a d. 1 a 2 b
8 e. y x x
2 b 2 b 2 b 3 c 3 c 3 c 3 c d
4
2. Lukislah fungsi-fungsi berikut ini : a.
2 3 x y b.
12
3
4 y x c.
5 y d. y x x
2
2
2
1
4 f. y x
3 g.
1
4 2 x y
h.
5 ,
6 5 ,
1 x untuk x untuk x y i.
6 ,
4. ALJABAR FUNGSI
LATIHAN SOAL
f f
2. Tentukan lalu tentukan domainnya agar merupakan fungsi dari :
g g
a. f(x) = 2 – 3x, g(x) = 3 + 5x 2
b. f(x) = x, g(x) = x 2 x c. f(x) = x 1 , g(x) = x + 1
3. Jika f(x) = 2x – 5 dan g(x) = x + 7 dengan f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, maka tentukan : a. rumus f + g, g – f dan f x g
b. (f + g)(5), (f – g)(2) dan (f x g)(-1)
c. Gambar grafik f + g, g – f dan f x g
4. Fungsi f(x), g(x) dan h(x) di definisikan sebagai berikut : f(x) = {(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} g(x) = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} h(x) = {(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)} Tentukan :
a. f + g, f + h dan g + h
b. f – g, f – h dan g – h
c. f x g, f x h dan g x h
5. FUNGSI KOMPOSISI Fungsi komposisi berarti gabungan dari beberapa fungsi.
f g f memetakan x ke y ditulis y = f(x) x y z g memetakan y ke z ditulis z = g(y) h memetakan x ke z ditulis z = h(x) h h merupakan komposisi dari fungsi f dilanjutkan g ditulis h = g o f dibaca “g noktah f” atau “g bundaran f” z = h(x) = g(y) = g(f(x)) Karena h(x) = (gof)(x), maka : (gof)(x) = g(f(x))
Begitupun untuk komposisi tiga fungsi akan berlaku : (gofoh)(x) = g(f(h(x))) 2 Contoh 1: Jika f(x) = 2x-1 , g(x) = 3x+4 dan h(x) = 3 x , maka tentukan :
a) (fog)(x) b) (fogoh)(x) c) (goh)(-2) Jawab : a) (fog)(x) = …….
b) (fogoh)(x) = ……….
c) (goh)(-2) = g(h(-2)) = ....……….. Contoh 2: Diketahui f(x) = 2x-1 dan (fog)(x) = 6x+5, maka tentukan g(x) ! Jawab : (fog)(x) = f(g(x)) .... = ....
………….
9 x 12 x 7 , maka tentukan g(x) !
2
Contoh 3: Diketahui f(x) = 3x-2 dan (gof)(x) =Jawab : (gof)(x) = g(f(x)) ... = ....
Misal y = .... x = ....
Sehingga : g(y) = .....
= ..... Jadi g(x) = ....
LATIHAN SOAL
1
2
1. Jika f(x) = 5x - 3, g(x) = dan h(x) = 2 x 1 , maka tentukan :
x
1
a. (foh)(x)
b. (hog)(2)
c. (fogoh)(x)
1
d. (gofoh)(x)
e. (hofog)(2)
f. (gohof)( )
5
2. Tentukan : a. Jika f(x) = 4x + 3 dan (fog)(x) = 5x - 1, maka g(x) = ....
b. Jika g(x) = 2x - 3 dan (fog)(x) = 10x+7, maka f(x) = .... 2
c. Jika f(x) = 2x + 1 dan (gof)(x) = 12 x 12 x
1 2 , maka g(x) = ....
x
9 x
5 d. Jika g(x) = 3x - 5 dan (gof)(x) = 3 , maka f(x) = .... 2 2
x
1 5 x
5 e. Jika g(x) = x dan (gof)(x) = x , maka f(x) = .... 2
3. Jika f(x) = 3 - 2x, h(x) = x 2 x
2 dan (hof)(a) = 37, maka tentukan a !
4. Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x + p . Apabila f o g = g o f , maka tentukan nilai p ! 2
5. Jika f(x) = x + 2 dan (gof) (x) = 2 x x 4 1 , maka tentukan g(2x) !
6. SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI
Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi komposisi, kita gunakan contoh-contoh berikut : Contoh 1: Misal f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x – 1. Tentukan :
a. (fog)(x)
b. (gof)(x) Jawab : a. (fog)(x) = ….
b. (gof)(x) = ….
Jadi bersifat : …. 2 Contoh 2: Jika f(x) = x , g(x) = 2x – 2 dan h(x) = 3x, maka tentukan :
a. ((fog)oh)(x)
b. (fo(goh))(x) Jawab : a. (fog)(x) = … ((fog)oh)(x) = ….
b. (goh)(x) = …. (fo(goh))(x) = ….
Jadi bersifat : …. Contoh 3: Jika f(x) = 2x + 1 dan I(x) = x, maka tentukan :
a. (foI)(x)
b. (Iof)(x) Jawab : a. (foI)(x) = ….
b. (Iof)(x) = ….
Jadi bersifat : …..
LATIHAN SOAL
1 2 x
1
1. Jika f(x) = 4x - 3, g(x) = , h(x) = dan I(x) = x, maka buktikan :
x
a. fog gof b. foh hof c. fo(goh) = (fog)oh
d. go(hof) = (goh)of e. goI = Iog = g f. hoI = Ioh = h
x
2. Jika f(x) = 10x - 1, g(x) = 3x + 4 dan h(x) = , maka buktikan :
x
1
a. (fog)(2) (gof)(2) b. (foh)(-1) (hof)(-1)
c. ((fog)oh)(1) = (fo(goh))(1) d. (ho(gof))(m) = ((hog)of)(m) 2 2
3. Jika f(x) = 2x + 3, g(x) = 5 x 1 dan h(x) = 6 x , maka buktikan :
a. (foh) (2) (hof) (2)
b. (gof) (-1) (fog) (-1)
c. ((hog)of) (3) = (ho(gof)) (3)
d. (fo(goh)) (s) = ((fog)oh) (s)
7. INVERS SUATU FUNGSI
Perhatikan gambar berikut ini : A B y merupakan peta dari x oleh fungsi f dan x merupakan 1
f
f peta dari y oleh fungsi maka dikatakan fungsi f dan 1
f x y saling invers. 1 f 1 f ( y )
Jadi y = f(x) dan x = 1 1
fof x f of x I x ( )
Sifat invers :
Syarat fungsi mempunyai invers jika fungsi itu korespondensi satu-satu.
Cara menentukan invers dari y = f(x) :
1. Ubah y = f(x) menjadi x = g(y) 1
f ( ) y g y ( )
2. Ubah x = g(y) menjadi
3. Ubah y dengan x
Contoh 1: Tentukan invers dari y = 5x + 3 Jawab : y = 5x + 3 5x = .... x = .... 1
f ( y ) 1 .... f ( x )
3 x 1 y
Contoh 2: Tentukan invers dari
3 2 x 3 x
1 y
Jawab : y( ..... ) = 3x - 1
3 2 x ................ = ..........
................ = .......... x ( ...... ) = ..... 1 x = .....
f ( x ) ........
5 Contoh 3: Jika f(x) = , maka tentukan daerah asal dan daerah hasil f ! x
1
5 Jawab : f(x) = y = ..... x
1
.... = .... x = .... Jadi daerah asal Df:{x/ ..... } dan daerah hasil Rf: {y/ ....... }
LATIHAN SOAL
1. Tentukan invers dari :
x
1
a. f(x) = 4x + 5
e. f(x) =
x
3
25 x
1 x
1
b. f(x) =
f. f(x) =
3
3
2 x3
5
4
c. f(x) =
g. f(x) =
x 2 x
3 x
5
2 x
1 2
3
d. f(x) =
h. f(x) =
4
4 5 x
2 15 f (
2 )
2. Jika f(x) = , maka tentukan
x
3 2 1 ( x
4 ) f ( a )
5
3. Jika f(x) = dan , maka tentukan a !
3
4. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :
5 x 2 f ( x )
f ( x ) x
b.
c. f ( x ) x
4 x x
1 a.
2
8. INVERS FUNGSI KOMPOSISI
A g o f C 1 1 1
gof f og
B
f g 1 1 1
fog g of
x y z
1 1 f g 1 gof
Contoh 1: Jika f(x) = 5x - 3 dan g(x) = 2 + 4x, maka tentukan : 1 1 1
fog x g of ( x )
a)
b)
fog x f g x
Jawab : a)
= f(...........) = ....... y = .... x = ..... 1 fog x ......
b) f(x) = 5x - 3 g(x) = 2 + 4x y = 5x - 3 y = 2 + 4x x = .... x = .... 1 1 f ( x ) ..... g ( x ) ..... 1 1
g of ( x ) = .....
3 1 f ( x ) fog
3 Contoh 2: Diketahui dan g(x) = 4x - 1. Tentukan x
1 fog x f g x
Jawab :
= ......
y = ..... ...... = .... x = ..... 1 fog x ......
1 fog 3 ......
LATIHAN SOAL
1. Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 6x - 7, maka tentukan : 1 1 1 1 1 1
b.
c.
d.
( gof ) ( x ) ( g of )( x ) ( f og )( x ) ( fog ) ( 5 ) a.
1 1 x
3 ( gof ) ( x ) x
2
2. Jika f(x) = dan , maka tentukan g(x) !
2 1 ( fogoh ) ( ) x
1
3. Jika f(x) = 3 + 2x, g(x) = 2 + x dan h(x) = 2x, maka tentukan x jika 2 5 x
5
4. Diketahui f(x) = dan g(x) = 2x - 3. Tentukan : 1 1 1
b.
( fog ) ( x ) ( g of )( x ) a.
1 1 x
1 ( fog ) ( 3 )
5. Jika f(x) = 3x dan g(x) = , maka tentukan
2
1
2 1 fog ( x )
6. Jika f(x) = dan g(x) = maka tentukan
x
1 3 x