d. Alternatif 1: - Halaman 21-40

Alternatif 2:

1
n 1
cosn1 x sin x 
I n2C
n
n
1
6 1
1
5
I 6  cos6 xdx  cos61 x sin x 
I 62C  cos5 x sin x  I 4C
6
6
6
6
1
5
3 

3
5
1
1

 cos5 x sin x 
cos4 xdx  C  cos5 x sin x   cos3 x sin x  cos x sin x  x   C
6
6
8 
8
64
6
1
5
5
5
 cos5 x sin x  cos3 x sin x  cos x sin x  x  C
6
24

16
16
d. Alternatif 1:
4
1 1
3
1
1

1 1
cos8 x  (cos2 x) 4    cos 2 x    cos 2 x  cos 2 2 x  cos3 2 x  cos4 2 x
8
4
16
 16 4
2 2



I n  cosn xdx 





2

1 1 1
3 1 1
1 1
 11 1


 cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x 
16  2 2
8 2 2
16 4
 4 2 2



1
1 1 1
1
1
3 3
1 1

  cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x    cos 4 x  cos2 4 x 
4
16  4 2
8
8
16 16
16 4

1
1
1
1 1
3

1 3
  cos 2 x  cos 4 x    2 cos 4 x cos 2 x   cos 4 x  cos2 4 x
64
64 32
8 2
16
4 8
1 1 1
1
7
17 3


 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 2 x     cos 8x 
64  2 2
16
32
64 8

17 3

7
1
1
1
1

 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos 2 x 

cos 8 x
64 8
32
16
16
128 128
35 7
7
1
1

 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x 

cos 8x
128 16
32
16
128
Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
cos8 x  a  b cos 2 x  c cos 4 x  d cos 6 x  e cos 8 x
8 C4
C
C
C
C
 821  8 813 cos 2 x  8 812 cos 4 x  8 811 cos6x  8 810 cos8x
2
2
2
2
2
35 7
7

1
1

 cos 2 x  cos 4 x  cos6x 
cos8x
128 16
32
16
128
1
1
7

 35 7
 cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x 
cos 8x dx
cos8 xdx  
128
16
32


 128 16
35
7
7
1
1
cos 2 xdx 
cos 4 xdx 
cos 6 xdx 

dx 
cos 8 xdx
128
16
32
16
128
35
7

7
1
1
sin 4 x  sin 6 x 

x  sin 2 x 
sin 8x  C
128
32
128
96
1024
Alternatif 2:
n 1
1
I n  cosn xdx  cosn1 x sin x 
I n2C
n
n
1

7
1
8 1
I 8  cos8 xdx  cos81 x sin x 
I 82C  cos7 x sin x  I 6C
8
8
8
8
5 
5
5
71
1
  sin 7 x cos x   cos5 x sin x  cos3 x sin x  cos x sin x  x   C
8
16 
16
24
86




















21 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

35
35
35
7
1
 cos7 x sin x  cos5 x sin x 
xC
cos x sin x 
cos3 x sin x 
128
128
192
48
8
e. Alternatif 1:
5
5

1 1
cos10 x  cos2 x    cos 2 x 

2 2
1
5
10
10
5
1

 cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x  cos 4 2 x  cos5 2 x
32 32
32
32
32
32
2
5 1 1
10  1 1
1
5


 10  1 1

 cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x  
32  2 2
32  2 2
32 32


 32  2 2





2

1 1 1

  cos 4 x  cos 2 x
32  2 2

1
5 1 1
10
10
10 10
1
5

  cos 2 x   cos 4 x  cos 2 x  cos 4 x cos 2 x    cos 4 x  cos2 4 x  
4
32  4 2
64
64
64 64
32 32

1
1 1 1

2
  cos 4 x  cos 4 x  cos 2 x
4
32  4 2

1
5
5
5
10
10
12 20

 cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x cos 2 x 
 cos 4 x 
cos 2 x 
cos2 4 x 
128
128
128 64
64
64
64 64
1
1
cos2 4 x cos 2 x
cos 4 x cos 2 x 
128
64
1
5
11
15
29 41


cos2 4 x cos 2 x
cos2 4 x 
cos 2 x  cos 4 x  cos 4 x cos 2 x 
128
128
64
64
128 128
5 1 1
11
15
29 41

(cos 6 x  cos 2 x) 


cos 2 x  cos 4 x 
  cos 8x  
128  2 2
128
64
128 128

1 1 1

  cos8 x  cos 2 x
128  2 2

29
41
15
11
11
5
5
cos 2 x  cos 4 x 
cos 6 x 
cos 2 x 



cos 8x 
128 128
64
128
128
256 256
1
1
cos 2 x 
cos 8 x cos 2 x
256
256
63 105
15
11
5
1
cos10x  cos6 x 


cos 2 x  cos 4 x 
cos6 x 
cos8x 
256 256
64
128
256
512
1
1
5
11
15
63 105
cos6 x
cos10x 
cos8x 
cos6 x 
cos 2 x  cos 4 x 


512
512
256
128
64
256 256
63 105
15
45
5
1


cos 2 x  cos 4 x 
cos 6 x 
cos 8x 
cos10x
256 256
64
512
256
512
Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
cos10 x  a  b cos 2x  c cos 4x  d cos 6x  e cos8x  f cos10x
10 C 5
C
C
C
C
C
 1021  101014 cos 2 x  101013 cos 4 x  101012 cos6x  101011 cos8x  101010 cos10x
2
2
2
2
2
2
126 210
120
45
10
1


cos 2 x 
cos 4 x 
cos6x 
cos8x 
cos10x
512 512
512
512
512
512
22 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

63 105
15
45
5
1

cos 2 x  cos 4 x 
cos 6 x 
cos 8x 
cos10x
256 256
64
512
256
512
63
105
15
45
5
1
cos10 xdx 
cos 2 xdx 
cos 4 xdx 
cos6 xdx 
cos8 xdx 
dx 
cos10xdx
256
256
64
512
256
512
1
1
15
15
63
105

x
sin10x  C
sin 8x 
sin 6 x 
sin 4 x 
sin 2 x 
5120
2048
1024
256
256
512
Alternatif 2:
1
n 1
I n  cosn xdx  cosn1 x sin x 
I n2C
n
n
1
10  1
1
9
I 10  cos10 xdx  cos101 x sin x 
I 102C  cos9 x sin x  I 8C
10
10
10
10
35 
35
35
7
9 1
1
 cos9 x sin x   cos7 x sin x  cos5 x sin x 
x  C
cos x sin x 
cos3 x sin x 
10
128 
128
192
48
10  8
63
63
21
21
9
1
 cos9 x sin x  cos7 x sin x 
xC
cos x sin x 
cos3 x sin x 
cos5 x sin x 
256
256
128
160
80
10
f. Alternatif 1:
6
6

1 1
12
2
cos x  cos x    cos 2 x 

2 2
1
6
15
20
15
1
6

 cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x  cos4 2 x  cos5 2 x  cos6 2 x
64
64
64
64
64
64 64
2
15  1 1
15  1 1
1
6
 20  1 1



 cos 2 x    cos 4 x     cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x  
64  2 2
64  2 2
64 64
 64  2 2


























2

3

1 1 1
6 1 1


  cos 4 x  cos 2 x    cos 4 x 
64  2 2
64  2 2


1
6
15 15
20
20
cos 4 x 
cos 2 x 

 cos 2 x 

cos 4 x cos 2 x 
64 64
128 128
128
128
1 2 
1 2  6 1 1
15  1 1
  cos 4 x  cos 4 x     cos 4 x  cos 4 x  cos 2 x 
4
4
64  4 2
 64  4 2

1
3
1 1 3

2
3
  cos 4 x  cos 4 x  cos 4 x 
8
8
64  8 8

6
15
15 15
20
15
17 32



cos 2 x 
cos2 4 x 
cos 4 x 
cos 4 x cos 2 x 
cos 4 x 
cos 2 x 
256
256
256 128
128
128
128 128
1
3
1
3
6
6

cos3 4 x
cos2 4 x 
cos 4 x 
cos2 4 x cos 2 x 
cos 4 x cos 2 x 
512
512
512 512
256
128
1
6
33
26
123
99
70


cos3 4 x
cos2 4 x cos 2 x 
cos2 4 x 
cos 4 x cos 2 x 
cos 4 x 
cos 2 x 
512
256
512
128
512
512 256
33  1 1
26
123
99
70

cos6x  cos 2x    cos8x  


cos 4 x 
cos 2 x 
512  2 2
256
512
512 256

1 1 1
6 1 1


  cos8x  cos 2 x 
  cos8x  cos 4 x
512  2 2
256  2 2


6
33
33
26
26
123
99
70



cos 2 x 
cos8 x 
cos 2 x 
cos6 x 
cos 4 x 
cos 2 x 
512
1024 1024
256
256
512
512 256
23 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
1
6
cos8 x cos 4 x
cos 4 x 
cos8x cos 2 x 
1024
1024
512
231 198
247
26
33
6
cos 2 x 
cos 4 x 
cos6 x 
cos8x 


(cos10x  cos6 x) 
1024 512
1024
256
1024
1024
1
(cos12x  cos 4 x)
2048
6
6
33
26
247
231 198


cos6 x 
cos10x 
cos8x 
cos6 x 
cos 4 x 
cos 2 x 
1024
1024
1024
256
1024
1024 512
1
1
cos12x 
cos 4 x
2048
2048
1
6
33
110
495
231 198
cos12x
cos10x 
cos8 x 
cos6 x 
cos 4 x 
cos 2 x 


2048
1024
1024
1024
2048
1024 512
1
3
33
55
495
231 99
cos12x
cos10x 
cos8 x 
cos6 x 
cos 4 x 
cos 2 x 


2048
512
1024
512
2048
1024 256
Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.
cos12 x  a  b cos 2x  c cos 4x  d cos 6x  e cos8x  f cos10x  g cos12x
12 C6
C
C
C
C
C
C
 1221  121251 cos 2 x  121241 cos 4 x  121231 cos6x  121221 cos8x  121211 cos10x  121201 cos12x
2
2
2
2
2
2
2
1
12
66
220
495
462 792
cos12x
cos10x 
cos8x 
cos6x 
cos 4 x 
cos 2 x 


2048
2048
2048
2048
2048
2048 2048
1
3
33
55
495
231 99
cos12x
cos10x 
cos8 x 
cos6 x 
cos 4 x 
cos 2 x 


2048
512
1024
512
2048
1024 256
231
99
495
55
33
cos12 xdx 
cos 2 xdx 
cos 4 xdx 
cos6 xdx 
dx 
cos8xdx 
1024
256
2048
512
1024
1
3
cos12xdx
cos10xdx 
2048
512
3
33
55
495
231
99

x
sin10x 
sin 8x 
sin 6 x 
sin 4 x 
sin 2 x 
5120
8192
3072
8192
1024
512
1
sin12x  C
24576
Alternatif 2:
1
n 1
I n  cosn xdx  cosn1 x sin x 
I n2C
n
n
1
11
1
12  1
I 12  cos12 xdx  cos121 x sin x 
I 122C  cos11 x sin x  I 10C
12
12
12
12
1
11
 cos11 x sin x 
cos10 xdx  C
12
12
21
21
9
11  1
1
 cos11 x sin x   cos9 x sin x  cos7 x sin x 
cos3 x sin x 
cos5 x sin x 
128
160
80
12  10
12
63 
63
x  C
cos x sin x 
256 
256
1
11
33
77
77
sin9 x cos x 
cos7 x sin x 
cos5 x sin x 
 cos11 x sin x 
cos3 x sin x 
12
120
320
640
512























24 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

6.

231
231
xC
cos x sin x 
1024
1024
Selesaikanlah
c. cos5 xdx
a. cos xdx
b.


 cos

3


d.  cos

xdx

7

 cos
f.  cos

9

xdx

11

xdx

e.

xdx

Solusi:
a. cos xdx  sin x  C



b. Alternatif 1:

 cos

3











xdx  cos2 x cos xdx  1  sin 2 x cos xdx  cos xdx  sin 2 x cos xdx

1
 sin x  sin 3 x  C
3
Alternatif 2:
1
1
1
cos3 xdx  sin x  sin 3 x  C  sin x  sin 3 x  C
1
3
3
Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang
nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.
Alternatif 3:
1
n 1
I n  cosn xdx  cosn1 x sin x 
I n2C
n
n
1
2
1
3 1
I 3  cos3 xdx  cos31 x sin x 
I 32C  cos2 x sin x  I 1C
3
3
3
3
1
1
2
2
 cos2 x sin x 
cos xdx  C  cos2 x sin x  sin x  C
3
3
3
3
c. Alternatif 1:









 cos

5






  cos x  2 sin x cos x  sin x cos xdx
2
1
  cos xdx  2 sin x cos xdx   sin x cos xdx  sin x  sin x  sin
3
5
2

xdx  cos 4 x cos xdx  1  sin 2 x cos xdx  1  2 sin 2 x  sin 4 x cos xdx
2

4

2

3

4

5

xC

Alternatif 2:
1
2
1
2
1
cos5 xdx  sin x  sin 3 x  sin 5 x  C  sin x  sin 3 x  sin 5 x  C
1
3
5
3
5
Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang
nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.
Alternatif 3:
n 1
1
I n  cosn xdx  cosn1 x sin x 
I n2C
n
n
1
4
1
5 1
I 5  cos5 xdx  cos51 x sin x 
I 52C  cos4 x sin x 
cos3 xdx  C
5
5
5
5
1
4
8
2
41
1

 cos4 x sin x   cos2 x sin x  sin x   C  cos4 x sin x  cos2 x sin x  sin x  C
5
15
15
3
53
5

d. Alternatif 1:









 cos

7







3





xdx  cos6 x cos xdx  1  sin 2 x cos xdx  1  3 sin 2 x  3 sin 4 x  sin 6 x cos xdx

25 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

 cos x  3sin x cos x  3sin x cos x  sin x cos xdx
  cos xdx  3 sin x cos xdx  3 sin x cos xdx   sin x cos xdx



2

4

6

2

4

6

3
3
3
1
1
 sin x  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x  C  sin x  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x  C
3
5
5
7
7
Alternatif 2:
3
1
1
3
3
1
cos7 xdx  sin x  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x  C  sin x  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x  C
5
7
1
3
5
7
Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang
nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.
Alternatif 3:
1
n 1
I n  cosn xdx  cosn1 x sin x 
I n2C
n
n
1
7 1
1
6
I 7  cos7 xdx  cos71 x sin x 
I 72C  cos6 x sin x  I 5C
7
7
7
7
1
6
 cos6 x sin x 
cos5 xdx  C
7
7
8
4
61
1

 cos6 x sin x   cos4 x sin x  cos2 x sin x  cos x   C
15
15
75
7

1
6
8
16
 cos6 x sin x  cos4 x sin x  cos2 x sin x  cos x  C
7
35
35
35
e. Alternatif 1:









 cos

9




  1  4 sin x  6 sin x  4 sin x  sin xcos xdx
  cos x  4 sin x cos x  6 sin x cos x  4 sin x cos x  sin x cos xdx
  cos xdx  4 sin x cos xdx  6 sin x cos xdx  4 sin x cos xdx   sin x cos xdx
4

xdx  cos8 x cos xdx  1  sin 2 x cos xdx
2

4

2

6

8

4

2

6

4

8

6

8

4
6
4
1
 sin x  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x  sin 9 x  C
3
5
7
9
Alternatif 2:
1
4
6
4
1
cos9 xdx  sin x  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x  sin 9 x  C
1
3
5
7
9
4 3
6 5
4 7
1 9
 sin x  sin x  sin x  sin x  sin x  C
3
5
7
9
Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang
nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.
Alternatif 3:
n 1
1
I n  cosn xdx  cosn1 x sin x 
I n2C
n
n
1
8
1
9 1
I 9  cos9 xdx  cos91 x sin x 
I 92C  cos8 x sin x  I 7C
9
9
9
9
1
8
 cos8 x sin x 
cos7 xdx  C
9
9









26 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

16
8
6
81
1

 cos8 x sin x   cos6 x sin x  cos4 x sin x  cos2 x sin x  cos x   C
35
35
35
9 7
9

128
64
16
8
1 8
 cos x sin x  cos6 x sin x 
cos x  C
cos2 x sin x 
cos4 x sin x 
315
315
105
63
9
f. Alternatif 1:

 cos

11




  1  5 sin x  10 sin x  10 sin x  5 sin x  sin xcos xdx
  cos x  5sin x cos x  10sin x cos x  10sin x cos x  5sin x cos x sin x cos xdx
  cos xdx  5 sin x cos xdx  10 sin x cos xdx  10 sin x cos xdx  5 sin x cos xdx 
 sin xcos xdx
5

xdx  cos10 x cos xdx  1  sin 2 x cos xdx
2

4

2

6

8

4

10

6

2

8

4

10

6

8

10

5
10
10
5
1
 sin x  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x  sin 9 x  sin10 x  C
3
5
7
9
11
5 3
10
5
1
 sin x  sin x  2 sin 5 x  sin 7 x  sin 9 x  sin10 x  C
3
7
9
11
Alternatif 2:
1
5
10
10
5
1
cos11 xdx  sin x  sin 3 x  sin 5 x  sin 7 x  sin 9 x  sin10 x  C
1
3
5
7
9
11
5
10
5
1
 sin x  sin 3 x  2 sin 5 x  sin 7 x  sin 9 x  sin10 x  C
3
7
9
11
Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang
nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.
Alternatif 3:
1
n 1
I n  cosn xdx  cosn1 x sin x 
I n2C
n
n
1
11  1
1
10
I 11  cos11 xdx  cos111 x sin x 
I 112C  cos10 x sin x  I 9C
11
11
11
11
1
10
10
9
 cos x sin x 
cos xdx  C
11
11
64
16
8
10  1
1
 cos10 x sin x   cos8 x sin x  cos6 x sin x 
cos2 x sin x 
cos4 x sin x 
315
105
63
11  9
11
128

cos x   C
315

128 2
32
80
10
1
 cos10 x sin x  cos8 x sin x 
cos x sin x 
cos4 x sin x 
cos6 x sin x 
693
231
693
99
11
256
cos x  C
693
7. Selesaikanlah









π
2

a.

 sin
0

π
2

π
2

8

xdx

b.

 sin
0

11

xdx

c.

 cos

8

0

π
2

xdx

d.

 cos

10

xdx

0

Solusi:

27 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

n 1
1
a. I n  sin n xdx   sin n 1 x cos x 
I n  2C
n
n



π
2

π

π

π





2
n 1 2
 2 n 1
 1
sin xdx  sin n1 x cos x  
sin n2 xdx 
sin n2 xdx
n
n
n
0

0
0
0



n

π
2

π

π

π

π









72
7 52
7 5 32
7 5 3 12
7 5 3 1 π
sin xdx 
sin 6 xdx  
sin 4 xdx   
sin 2 xdx     dx     
80
8 60
8 6 40
8 6 4 20
8 6 4 2 2
0



8

35
π
256
1
n 1
I n  2C
b. I n  sin n xdx   sin n 1 x cos x 
n
n




π
2

π

π





π

2
n 1 2
 1
 2 n 1
sin n xdx  sin n1 x cos x  
sin n2 xdx 
sin n2 xdx
n
n
n

0
0
0
0


π
2

π
2

π
2

π
2

π

10 8 6 4 2
10
10 8
10 8 6
sin xdx 
sin 9 xdx   sin 7 xdx    sin 5 xdx     sin 3 xdx
11 0
11 9 0
11 9 7 0
11 9 7 5 0
0





11







π

10 8 6 4 2 2
10 8 6 4 2
     sin xdx     
11 9 7 5 3
11 9 7 5 3 0





c. I n  cosn xdx 

1
n 1
cosn 1 x sin x 
I n  2C
n
n

π
2

π

π

π





2
n 1 2
1
 2 n 1
cos xdx  cos n 1 x sin x 
cos n 2 xdx 
cos n 2 xdx
n 0
n 0
n
0
0



n

π
2

π

π

π

π









72
7 52
7 5 32
7 5 3 12
7 5 3 1 π
cos8 xdx 
cos6 xdx  
cos 4 xdx   
cos 2 xdx     dx     
80
8 60
8 6 40
8 6 4 20
8 6 4 2 2
0



35
π
256
n 1
1
I n  2C
d. I n  cosn xdx  cosn 1 x sin x 
n
n




π
2

π

π

π





2
n 1 2
1
 2 n 1
cos xdx  cos n 1 x sin x 
cos n 2 xdx 
cos n 2 xdx
n 0
n 0
n
0
0



n

π
2

π

π

π

π

9 2
9 7 52
9 7 5 32
9 7 5 3 12
cos10 xdx 
cos8 xdx   
cos4 xdx    
cos2 xdx      dx
10 0
10 8 6 0
10 8 6 4 0
10 8 6 4 2 0
0











9 7 5 3 1 π 189
π
     
10 8 6 4 2 2 512
1
1
tan n 1 x  I n  2  C .
tan n 1 x  tan n  2 xdx  C  tan n xdx 
8. Jika I n  tan n xdx , buktikan I n 
n 1
n 1
Bukti:
I n  tan n xdx  tan n2 x tan 2 xdx  tan n2 x sec2 x  1 dx  tann2 x sec2 xdx  tann2 dx






















28 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
1
tan n1 x  I n2  C (qed)
tan n1 x  tan n 2 xdx  C  tan n xdx 
n 1
n 1
9. Selesaikanlah
c. tan 6 xdx
e. tan10 xdx
a. tan 2 xdx





b.


 tan

4


d.  tan

xdx

Solusi:
a. Alternatif 1:

 tan

2







8

xdx

f.




 tan

12

xdx



xdx  sec2 x  1 dx  sec2 xdx  dx  tan x  x  C

Alternatif 2:



I n  tan n xdx 

1
tan n1 x  I n2  C
n 1

1
tan 21 x  I 22  C  tan x  I 0  C  tan x  tan 0 xdx  C  tan x  dx  C
2 1
 tan x  x  C
b. Alternatif 1:
tan 4 xdx  tan 2 x tan 2 xdx  tan 2 x sec2 x  1 dx  tan 2 x sec2 xdx  tan 2 xdx

 tan

2



xdx 

















1
1
 tan 3 x  tan x  x   C  tan 3 x  tan x  x  C
3
3
Alternatif 2:
1
I n  tan n xdx 
tan n1 x  I n2  C
n 1
1
1
1
1
4
tan xdx 
tan 41 x  I 42  tan 3 x  I 2  C  tan 3 x  tan 2 dx  C  tan 3 x  tan x  x   C
3
3
4 1
3
1 3
 tan x  tan x  x  C
3
c. Alternatif 1:
tan 6 xdx  tan 4 x tan 2 xdx  tan 4 x sec2 x  1 dx  tan 4 x sec2 xdx  tan 4 xdx





















1
1
1

1
 tan 5 x   tan 3 x  tan x  x   C  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x  C
5
3
3
5


Alternatif 2:
1
I n  tan n xdx 
tan n1 x  I n2  C
n 1
1
1
1
tan 6 xdx 
tan 61 x  I 62  tan 5 x  I 4  tan 5 x  tan 4 dx  C
6 1
5
5
1
1
1
1


 tan 5 x   tan 3 x  tan x  x   C  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x  C
5
3
5
3

d. Alternatif 1:
tan8 xdx  tan 6 x tan 2 xdx  tan 6 x sec2 x  1 dx  tan 6 x sec2 xdx  tan 6 xdx





















1
1
1

tan 7 x   tan 5 x  tan 3 x  tan x  x   C
3
7
5

1
1
1
 tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x  C
7
5
3



29 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Alternatif 2:

1
tan n1 x  I n2  C
n 1
1
1
1
tan 8 xdx 
tan 81 x  I 82  tan 7 x  I 6  C  tan 7 x  tan 6 dx  C
8 1
7
7
1
1
1


 tan 7 x   tan 5 x  tan 3 x  tan x  x   C
3
5
7


1
1
1
 tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x  C
7
5
3
e. Alternatif 1:
tan10 xdx  tan8 x tan 2 xdx  tan8 x sec2 x  1 dx  tan8 x sec2 xdx  tan8 xdx



I n  tan n xdx 



















1
1
1

1
 tan 9 x   tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x   C
3
5
7
9


1
1
1
1
 tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x  C
9
7
5
3
Alternatif 2:
1
tan n1 x  I n2  C
I n  tan n xdx 
n 1
1
1
1
10
tan xdx 
tan 101 x  I 102  tan 9 x  I 8  C  tan 9 x  tan 8 dx  C
10  1
9
9







1
1
1

1
 tan 9 x   tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x   C
3
5
7
9


1
1
1
1
 tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x  C
9
7
5
3
f. Alternatif 1:
tan12 xdx  tan10 x tan 2 xdx  tan10 x sec2 x  1 dx  tan10 x sec2 xdx  tan10 xdx















1
1
1
1

1
tan11 x   tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x   C
3
5
7
11

9
1
1
1
1
1
 tan 11 x  tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x  C
11
9
7
5
3
Alternatif 2:
1
I n  tan n xdx 
tan n1 x  I n2  C
n 1
1
1
1
tan 12 xdx 
tan 121 x  I 122  tan 11 x  I 10  C  tan 11 x  tan 10 dx  C
12  1
11
11
1
1
1
1
1

 tan11 x   tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x   C
3
5
7
11
9

1
1
1
1
1
 tan 11 x  tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  x  C
11
9
7
5
3
10. Selesaikanlah
c. tan 5 xdx
e. tan 9 xdx
a. tan xdx






b.




 tan

3

xdx


d.  tan

7

xdx

f.


 tan

11

xdx

30 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Solusi:
a.

 tan xdx  ln sec x  C

b. Alternatif 1:

 tan

3













xdx  tan x tan 2 xdx  tan x sec2 x  1 dx  tan x sec2 xdx  tan xdx 

1
tan 2 x  ln sec x  C
2

Alternatif 2:

1
tan n1 x  I n2  C
n 1
1
1
1
1
tan 3 xdx 
tan 31 x  I 32  tan 2 x  I 1  C  tan 2 x  tan xdx  C  tan 2 x  ln sec x  C
3 1
2
2
2
c. Alternatif 1:
tan5 xdx  tan3 x tan 2 xdx  tan3 x sec2 x  1 dx  tan3 x sec2 xdx  tan3 xdx



I n  tan n xdx 



















1
1
1

1
tan 4 x   tan 2 x  ln sec x   C  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x  C
4
2
2
4


Alternatif 2:
1
tan n1 x  I n2  C
I n  tan n xdx 
n 1
1
1
1
tan 5 xdx 
tan 51 x  I 52  tan 4 x  I 3  C  tan 4 x  tan 3 xdx  C
5 1
4
4
1
1
1
1


 tan 4 x   tan 2 x  ln sec x   C  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x  C
4
2
4

2
d. Alternatif 1:
tan 7 xdx  tan5 x tan 2 xdx  tan5 x sec2 x  1 dx  tan5 x sec2 xdx  tan5 xdx























1
1

1
 tan 6 x   tan 4 x  tan 2 x  ln sec x   C
2
6

4
1
1
1
 tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x  C
6
4
2
Alternatif 2:
1
tan n1 x  I n2  C
I n  tan n xdx 
n 1
1
1
1
tan 7 xdx 
tan 71 x  I 72  tan 6 x  I 5  C  tan 6 x  tan 5 xdx  C
6
7 1
6
1
1
1
1
1

1
 tan 6 x   tan 4 x  tan 2 x  ln sec x   C  tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x  C
6
4
2
2
6

4
e. Alternatif 1:
tan9 xdx  tan 7 x tan 2 xdx  tan5 x sec2 x  1 dx  tan 7 x sec2 xdx  tan 7 xdx





















1
1
1

1
 tan 8 x   tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x   C
2
4
8

6
1
1
1
1
 tan 8 x  tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x  C
8
6
4
2
Alternatif 2:
1
tan n1 x  I n2  C
I n  tan n xdx 
n 1



31 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
1
1
tan 91 x  I 92  tan 8 x  I 7  C  tan 8 x  tan 7 xdx  C
8
9 1
8
1
1
1

1
 tan 8 x   tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x   C
2
4
8

6
1
1
1
1
 tan 8 x  tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x  C
8
6
4
2
f. Alternatif 1:
tan11 xdx  tan9 x tan 2 xdx  tan9 x sec2 x  1 dx  tan9 x sec2 xdx  tan9 xdx

 tan

9



xdx 















1
1
1
1

1
tan10 x   tan 8 x  tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x   C
2
4
6
10

8
1
1
1
1
1
 tan 10 x  tan 8 x  tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x  C
10
8
6
4
2
Alternatif 2:
1
I n  tan n xdx 
tan n1 x  I n2  C
n 1
1
1
1
tan 11 xdx 
tan 111 x  I 112  tan 10 x  I 9  C  tan 10 x  tan 9 xdx  C
11  1
10
10
1
1
1
1

1
 tan10 x   tan 8 x  tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x   C
2
4
6
10

8
1
1
1
1
1
 tan 10 x  tan 8 x  tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  ln sec x  C
10
8
6
4
2
1
n 1
n
cot x  cot n2 xdx  C
11. Jika I n  cot xdx , buktikan bahwa I n  
n 1
1
cot n1 x  I n2  C .
 cot n xdx  
n 1
Bukti:
I n  cot n xdx  cot n2 x cot 2 xdx  cot n2 x csc2 x  1 dx















  cot



n 2







x csc2 xdx  cot n2 dx

1
cot n1 x  cot n2 xdx  C
n 1
1
cot n1 x  I n2  C (qed)

n 1
12. Selesaikanlah
a. cot 2 xdx
c. cot 6 xdx





b.


 cot



4


d.  cot

xdx

8

e.

xdx

f.

 cot
 cot

10

xdx

12

xdx

Solusi:
a. Alternatif 1:
cot 2 xdx  csc2 x  1 dx  csc2 xdx  dx   cot x  x  C











Alternatif 2:



I n  cot n xdx  

1
cot n1 x  I n2  C
n 1

32 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

 cot

2

1
cot 21 x  I 22  C   cot x  I 0  C
2 1
  cot x  cot 0 xdx  C   cot x  dx  C   cot x  x  C

xdx  





b. Alternatif 1:

 cot

4













xdx  cot 2 x cot 2 xdx  cot 2 x csc2 x  1 dx  cot 2 x csc2 xdx  cot 2 xdx

1
1
  cot 3 x   cot x  x   C   cot 3 x  cot x  x  C
3
3
Alternatif 2:
1
cot n1 x  I n2  C
I n  cot n xdx  
n 1
1
1
4
cot xdx  
cot 41 x  I 42  C   cot x  I 2  C
4 1
3
1 3
1
1
  cot x  cot 2 xdx  C   cot 3 x   cot x  x   C   cot 3 x  cot x  x  C
3
3
3
c. Alternatif 1:
cot 6 xdx  cot 4 x cot 2 xdx  cot 4 x csc2 x  1 dx  cot 4 x csc2 xdx  cot 4 xdx





















1
1
1

 1
  cot 5 x    cot 3 x  cot x  x   C   cot 5 x  cot 3 x  cot x  x  C
5
3
5

 3
Alternatif 2:
1
cot n1 x  I n2  C
I n  cot n xdx  
n 1
1
1
cot 6 xdx  
cot 61 x  I 62  C   cot 5 x  I 4  C
6 1
5
1 5
1

 1
  cot x  cot 4 xdx  C   cot 5 x    cot 3 x  cot x  x   C
5
3
5


1 5
1 3
  cot x  cot x  cot x  x  C
5
3
d. Alternatif 1:
cot8 xdx  cot 6 x cot 2 xdx  cot 6 x csc2 x  1 dx  cot 6 x csc2 xdx  cot 6 xdx





















1
1
 1

  cot 7 x    cot 5 x  cot 3 x  cot x  x   C
3
5
7


1
1
1
  cot 7 x  cot 5 x  cot 3 x  cot x  x  C
7
5
3
Alternatif 2:
1
cot n1 x  I n2  C
I n  cot n xdx  
n 1
1
1
1
8
cot xdx  
cot 81 x  I 82  C   cot 7 x  I 6  C   cot 7 x  cot 6 xdx  C
8 1
7
7
1
1
1


  cot 7 x    cot 5 x  cot 3 x  cot x  x   C
3
5
7


1
1
1
  cot 7 x  cot 5 x  cot 3 x  cot x  x  C
7
5
3
e. Alternatif 1:







33 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

 cot

10













xdx  cot8 x cot 2 xdx  cot8 x csc2 x  1 dx  cot8 x csc2 xdx  cot8 xdx

1
1
1

 1
  cot 9 x    cot 7 x  cot 5 x  cot 3 x  cot x  x   C
3
5
7
9


1 9
1
1
1
  cot x  cot 7 x  cot 5 x  cot 3 x  cot x  x  C
9
7
5
3
Alternatif 2:
1
cot n1 x  I n2  C
I n  cot n xdx  
n 1
1
1
1
cot10 xdx  
cot101 x  I 102  C   cot 9 x  I 8  C   cot 9 x  cot 8 xdx  C
10  1
9
9
1
1
1
1 9


  cot x    cot 7 x  cot 5 x  cot 3 x  cot x  x   C
3
5
7
9


1 9
1
1
1
  cot x  cot 7 x  cot 5 x  cot 3 x  cot x  x  C
9
7
5
3
f. Alternatif 1:
cot12 xdx  cot10 x cot 2 xdx  cot10 x csc2 x  1 dx  cot10 x csc2 xdx  cot10 xdx





















1
1
1
1

 1
cot11 x    cot 9 x  cot 7 x  cot 5 x  cot 3 x  cot x  x   C
3
5
7
9
11


1
1
1
1
1
  cot11 x  cot 9 x  cot 7 x  cot 5 x  cot 3 x  cot x  x  C
11
9
7
5
3
Alternatif 2:
1
I n  cot n xdx  
cot n1 x  I n2  C
n 1
1
1
1
12
cot xdx  
cot121 x  I 122  C   cot11 x  I 10  C   cot11 x  cot10 xdx  C
12  1
11
11
1
1
1
1
1


  cot11 x    cot 9 x  cot 7 x  cot 5 x  cot 3 x  cot x  x   C
3
5
7
9
11


1
1
1
1
1
  cot11 x  cot 9 x  cot 7 x  cot 5 x  cot 3 x  cot x  x  C
11
9
7
5
3
13. Selesaikanlah
c. cot 5 xdx
e. cot 9 xdx
a. cot xdx






b.


 cot



3


d.  cot

xdx

7

xdx

f.


 cot

11

xdx

Solusi:
a. cot xdx  ln sin x  C



b. Alternatif 1:
cot 3 xdx  cot x cot 2 xdx  cot x csc2 x  1 dx  cot x csc2 xdx  cot xdx















1
  cot 2 x  ln sin x  C
2
Alternatif 2:
1
cot n1 x  I n2  C
I n  cot n xdx  
n 1



34 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
1
cot 31 x  I 32  C   cot 2 x  I 1  C
3 1
2
1
1
  cot 2 x  cot xdx  C   cot 2 x  ln sin x  C
2
2
c. Alternatif 1:
cot 5 xdx  cot 3 x cot 2 xdx  cot 3 x csc2 x  1 dx  cot 3 x csc2 xdx  cot 3 xdx

 cot

3

xdx  

















1
1
1

 1
  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x  C   cot 4 x    cot 2 x  ln sin x   C
4
2
4

 2
Alternatif 2:
1
I n  cot n xdx  
cot n1 x  I n2  C
n 1
1
1
cot 5 xdx  
cot 51 x  I 52  C   cot 4 x  I 3  C
5 1
4
1
1

 1
  cot 4 x  cot 3 xdx  C   cot 4 x    cot 2 x  ln sin x   C
4
4

 2
1
1
  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x  C
4
2
d. Alternatif 1:
cot 7 xdx  cot 5 x cot 2 xdx  cot 5 x csc2 x  1 dx  cot 5 x csc2 xdx  cot 5 xdx





















1
1

 1
  cot 6 x    cot 4 x  cot 2 x  ln sin x   C
2
6

 4
1
1
1
  cot 6 x  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x  C
6
4
2
Alternatif 2:
1
cot n1 x  I n2  C
I n  cot n xdx  
n 1
1
1
1
cot 7 xdx  
cot 71 x  I 72  C   cot 6 x  I 5  C   cot 6 x  cot 5 xdx  C
7 1
6
6
1
1
 1

  cot 6 x    cot 4 x  cot 2 x  ln sin x   C
2
6
 4

1
1
1
  cot 6 x  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x  C
6
4
2
e. Alternatif 1:
cot 9 xdx  cot 7 x cot 2 xdx  cot 7 x csc2 x  1 dx  cot 7 x csc2 xdx  cot 7 xdx





















1
1
1
 1

  cot 8 x    cot 6 x  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x   C
2
4
8
 6

1
1
1
1
  cot 8 x  cot 6 x  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x  C
8
6
4
2
Alternatif 2:
1
cot n1 x  I n2  C
I n  cot n xdx  
n 1
1
1
1
cot 9 xdx  
cot 91 x  I 92  C   cot 8 x  I 7  C   cot 8 x  cot 7 xdx  C
9 1
8
8







35 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
1
1

 1
  cot 8 x    cot 6 x  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x   C
2
4
8

 6
1 8
1
1
1
  cot x  cot 6 x  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x  C
8
6
4
2
f. Alternatif 1:
cot11 xdx  cot 9 x cot 2 xdx  cot 9 x csc2 x  1 dx  cot 9 x csc2 xdx  cot 9 xdx















1
1
1
1

 1
cot10 x    cot 8 x  cot 6 x  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x   C
2
4
6
10

 8
1
1
1
1
1
  cot10 x  cot 8 x  cot 6 x  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x  C
10
8
6
4
2
Alternatif 2:
1
cot n1 x  I n2  C
I n  cot n xdx  
n 1
1
1
1
cot11 xdx  
cot111 x  I 112  C   cot10 x  I 9  C   cot10 x  cot 9 xdx  C
10
11  1
10
1
1
1
1

 1
  cot10 x    cot 8 x  cot 6 x  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x   C
2
4
6
10

 8
1
1
1
1
1
  cot10 x  cot 8 x  cot 6 x  cot 4 x  cot 2 x  ln sin x  C
10
8
6
4
2
1
n2
secn  2 x tan x 
secn  2 xdx  C
14. Jika I n  secn xdx , buktikan bahwa I n  secn xdx 
n 1
n 1
1
n2
n2

sec x tan x 
I n2  C
n 1
n 1
Bukti:
secn xdx  secn2 x sec2 xdx


















u  sec n  2 x

Misalnya

dv  sec 2 xdx ,

dan

maka

du  (n  2) secn3 x sec x tan xdx

 (n  2) secn2 x tan xdx dan v  tan x , sehingga

 sec

n



xdx  secn2 x sec2 xdx


 sec x tan x  (n  2) sec xsec x  1dx  C
 sec x tan x  (n  2) sec xdx  (n  2) sec xdx  C
xdx  (n  2) sec xdx  sec x tan x  (n  2) sec xdx  C
n2
1
xdx 
sec x tan x 
sec xdx  C
n 1
n 1 
 secn2 x tan x  (n  2) secn2 x tan 2 xdx  C

 sec
 sec

n

n

n 2

n2

n 2

n 2



I n  secn xdx 
1
secn2
n 1
15. Selesaikanlah
a. sec2 xdx




2

n

n2

n

n2

n2

n2

1
n2
secn2 x tan x 
secn2 xdx  C
n 1
n 1
n2
x tan x 
I n2  C
(qed)
n 1



c.

 sec

6

xdx

e.

 sec

10

xdx

36 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

b.

 sec

4

xdx

d.

 sec

8

xdx

f.

 sec

12

xdx

Solusi:
a. Alternatif 1:

 sec

2

xdx  tan x  C

Alternatif 2:

n2
1
I n2  C
secn2 x tan x 
n 1
n 1
1
22
sec2 xdx 
sec22 x tan x 
I 22  C  tan x  C
2 1
2 1
b. Alternatif 1:
sec4 xdx  sec2 x sec2 xdx  sec2 x tan 2 x  1 dx  sec2 x tan 2 xdx  sec2 xdx



I n  secn xdx 






  tan





2







1
xd tan x  sec2 xdx  tan 3 x  tan x  C
3



1
 tan 3 x  tan x  C (cukup sampai di sini, jika dilanjutkan akan diperoleh jawaban yang
3
sama dengan jawaban pada alternatif 2)
1
1
1
 sec2 x  1 tan x  tan x  C  sec2 x tan x  tan x  tan x  C
3
3
3
1
2
 sec 2 x tan x  tan x  C
3
3
Alternatif 2:
n2
1
I n  secn xdx 
I n2  C
secn2 x tan x 
n 1
n 1
1
2
1
42
1
2
sec4 xdx 
I 42  C  sec2 x tan x  I 2  sec 2 x tan x  tan x  C
sec42 x tan x 
3
3
4 1
4 1
3
3
c. Alternatif 1:
sec6 xdx  sec4 x sec2 xdx  sec4 x tan 2 x  1 dx  sec4 x tan 2 xdx  sec4 xdx












 



  sec xtan x  1tan xdx   sec xdx   sec xtan x  tan xdx   sec xdx
  sec x tan xdx   sec x tan xdx   sec xdx
1
1
1
  tan xd tan x   tan xd tan x   sec xdx  tan x  tan x  tan x  tan x  C
5
3
3
2

2

2

4

2

2

4

2

4

2

4

2

4

4

2

4

5

3

3

1
2
 tan 5 x  tan 3 x  tan x  C (cukup sampai di sini, kalau dilanjutkan akan diperoleh
5
3
jawaban yang sama dengan jawaban pada alternatif 2)
2
1
2
 tan 2 x tan x  tan 2 x tan x  tan x  C
5
3
2
1
2
2
 sec x  1 tan x  sec2 x  1 tan x  tan x  C
5
3
1
2
2
 sec4 x  2 sec2 x  1 tan x  sec2 x tan x  tan x  tan x  C
5
3
3
1
2
1
2
1
 sec4 x tan x  sec2 x tan x  tan x  sec2 x tan x  tan x  C
5
5
5
3
3





















37 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
4
8
 sec4 x tan x  sec2 x tan x  tan x  C
5
15
15
Alternatif 2:
1
n2
secn2 x tan x 
I n  secn xdx 
I n2  C
n 1
n 1
1
62
1
4
sec6 xdx 
sec62 x tan x 
I 62  C  sec4 x tan x  I 4  C
6 1
6 1
5
5
2
41
1

 sec4 x tan x   sec2 x tan x  tan x   C
3
53
5

1
4
8
 sec4 x tan x  sec2 x tan x  tan x  C
5
15
15
d. Alternatif 1:
sec8 xdx  sec6 x sec2 xdx  sec6 x tan 2 x  1 dx  sec6 x tan 2 xdx  sec6 xdx






 



  sec xtan x  1 tan xdx   sec xdx
  sec xtan x  2 tan x  1tan xdx   sec xdx
  sec x tan xdx  2 sec x tan xdx   sec x tan xdx  sec
  tan xd tan x  2 tan xd tan x   tan xd tan x   sec xdx



2

2

2

2

4

2

6

2

6

2

2

2

6

6

4

2

4

2

6

2

xdx

6

1
2
1
1
2
tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  C
7
5
3
5
3
1
3
7
5
3
 tan x  tan x  tan x  tan x  C (cukup sampai di sini, kalau dilanjutkan akan
7
5
diperoleh jawaban yang sama dengan jawaban pada strategi 2)
3
2
1
3
 tan 2 x tan x  tan 2 x tan x  tan 2 x tan x  tan x  C
7
5
3
2
1
3
 sec2 x  1 tan x  sec2 x  1 tan x  sec2 x  1 tan x  tan x  C
7
5
1
3
6
4
 sec x  3sec x  3sec2 x  1 tan x  sec4 x  2 sec2 x  1 tan x  sec2 x tan x 
7
5
tan x  tan x  C
1
3
3
1
3
6
 sec6 x tan x  sec4 x tan x  sec2 x tan x  tan x  sec4 x tan x  sec2 x tan x 
7
7
7
7
5
5
3
tan x  sec2 x tan x  C
5
1
6
8
16
 sec6 x tan x  sec4 x tan x  sec2 x tan x  tan x  C
7
35
35
35
Alternatif 2:
n2
1
I n  secn xdx 
I n2  C
secn2 x tan x 
n 1
n 1
1
82
1
6
sec8 xdx 
sec82 x tan x 
I 82  C  sec6 x tan x  I 6  C
8 1
8 1
7
7
8
4
61
1

 sec6 x tan x   sec4 x tan x  sec2 x tan x  tan x   C
15
15
75
7



































38 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

1
6
8
16
 sec6 x tan x  sec4 x tan x  sec2 x tan x  tan x  C
7
35
35
35
e. Alternatif 1:
sec10 xdx  sec8 x sec2 xdx  sec8 x tan 2 x  1 dx  sec8 x tan 2 xdx  sec8 xdx


 



  sec xtan x  1 tan xdx   sec xdx
  sec xtan x  3 tan x  3 tan x  1tan xdx   sec xdx
  sec x tan xdx  3 sec x tan xdx  3 sec x tan xdx  sec x tan xdx   sec xdx
  tan xd tan x  3 tan xd tan x  3 tan xd tan x   tan xd tan x   sec xdx



2

2

2

6

2

3

2

8

4

8

2

2

8

2

6

8

2

6

4

2

4

2

2

8

8

1
3
3
1
1
3
 tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  C
9
7
5
3
7
5
1
4
6
4
 tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  C (cukup sampai di sini, kalau
9
7
5
3
dilanjutkan akan diperoleh jawaban yang sama dengan jawaban pada alternatif 2)
4
3
2
1
4
6
4
 tan 2 x tan x  tan 2 x tan x  tan 2 x tan x  tan 2 x tan x  tan x  C
9
7
5
3
4
3
2
1
4
6
4
 sec2 x  1 tan x  sec2 x  1 tan x  sec2 x  1 tan x  sec2 x  1 tan x  tan x  C
9
7
5
3




































1
4
sec8 x  4 sec6 x  6 sec4 x  4 sec2 x  1 tan x  sec6 x  3sec4 x 3sec2 x  1 tan x 
9
7
6
4
sec4 x  2 sec2 x  1 tan x  sec2 x  1 tan x  tan x  C
5
3
1
4
6
4
1
4
 sec8 x tan x  sec6 x tan x  sec4 x tan x  sec2 x tan x  tan x  sec6 x tan x 
9
9
9
9
9
7
6 4
12 2
6
12 4
12 2
4
sec x tan x  sec x tan x  tan x  sec x tan x  sec x tan x  tan x 
5
5
5
7
7
7
4 2
4
sec x tan x  tan x  tan x  C
3
3
1 8
8
16
64
128
sec4 x tan x 
sec2 x tan x 
 sec x tan x  sec6 x tan x 
tan x  C
9
63
105
315
315











Alternatif 2:

1
n2
secn2 x tan x 
I n2  C
n 1
n 1
1
10  2
1
8
I 102  C  sec8 x tan x  I 8  C
sec10 xdx 
sec102 x tan x 
10  1
10  1
9
9
1
81
6
8
16

 sec8 x tan x   sec6 x tan x  sec4 x tan x  sec2 x tan x  tan x   C
9
97
35
35
35

1 8
8
16
64
128
sec4 x tan x 
sec2 x tan x 
 sec x tan x  sec6 x tan x 
tan x  C
9
63
105
315
315
f. Alternatif 1:
sec12 xdx  sec10 x sec2 xdx  sec10 x tan2 x  1 dx  sec10 x tan2 xdx  sec10 xdx



I n  secn xdx 

















39 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014





  sec xtan x  4 tan x  6 tan x  4 tan x  1tan xdx   sec xdx
  sec x tan xdx  4 sec x tan xdx  6 sec x tan xdx 4 sec x tan xdx 
 sec x tan xdx   sec xdx
  tan xd tan x  4 tan xd tan x  6 tan xd tan x  4 tan xd tan x   tan xd tan x 
 sec xdx
4

 sec2 x tan 2 x  1 tan 2 xdx  sec10 xdx
2

8

2

10

2

2

6

4

2

2

8

2

2

10

6

2

4

10

10

8

6

4

2

10

1
4
6
4
1
1
4
6
tan11 x  tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x 
11
9
7
5
3
9
7
5
4 3
tan x  tan x  C
3
1
5
10
10
5
 tan 11 x  tan 9 x  tan 7 x  tan 5 x  tan 3 x  tan x  C (cukup sampai di sini,
11
9
7
5
3
kalau dilanjutkan akan diperoleh jawaban yang sama dengan jawaban pada alternatif 2)
5
4
3
2
1
5
10
10
5
tan 2 x tan x  tan 2 x tan x 
tan 2 x tan x 
tan 2 x tan x  tan 2 x tan x 

11
9
7
5
3
tan x  C
5
4
3
2
1
5
10
10
sec2 x  1 tan x  sec2 x  1 tan x 
sec2 x  1 tan x 

sec2 x  1 tan x 
11
9
7
5
5
2
sec x  1 tan x  tan x  C
3
1

sec10 x  5 sec8 x  10 sec6 x  10 sec4 x  5 sec2 x  1 tan x 
11
5
10
sec8 x  4 sec6 x 6 sec4 x  4 sec2 x  1 tan x 
sec6 x  3sec4 x 3sec2 x  1 tan x 
9
7
10
5
5
sec4 x  2 sec2 x  1 tan x  sec2 x tan x  tan x  tan x  C
3
5
3
1
5
10
10
5
1
 sec10 x tan x  sec8 x tan x  sec6 x tan x  sec4 x tan x  sec2 x tan x  tan x 
11
11
11
11
11
11
5 8
20 6
30 4
20 2
5
10 6
sec x tan x  sec x tan x  sec x tan x  sec x tan x  tan x  sec x tan x 
9
9
9
9
9
7
30 4
30 2
10
10 4
20 2
10
sec x tan x  sec x tan x  tan x  sec x tan x  sec x tan x  tan x 
7
7
7
5
5
5
5
5 2
sec x tan x  tan x  tan x  C
3
3
1
10
80
32
128 2
sec6 x tan x 
sec4 x tan x 
 sec10 x tan x  sec8 x tan x 
sec x tan x 
11
99
693
231
693
256
tan x  C
693
Alternatif 2:
n2
1
I n  secn xdx 
I n2  C
secn2 x tan x 
n 1
n 1
























































40 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014