Syarat Perlu Suatu Modul Merupakan Modul Distributif Lemah dan Ring Endomorfisma dari Modul Distributif Lemah Fitriani

  ݂ ܷ ܭ ܯ

  R -modul M dikatakan uniserial jika untuk

  ( ܯǡ ܯ) ൌ ܧ݊݀

  ோ

  ሺܯሻ merupakan ring, yang dinamakan ring endomorfisma dari M [1].

  Dalam kaitannya dengan endomorfisma dari R- modul M didefinisikan submodul fully invariant sebagai berikut. Misalkan R ring dan M adalah R- modul kanan. Submodul N dari M dikatakan fully

  invariant jika

  ݂ሺܰሻ termuat di N untuk setiap ݂ א ܧ݊݀

  ோ

  ሺܯሻ. Jika ܵ ൌ ܧ݊݀

  ோ

  ሺܯሻ adalah ring endomorfisma dari M, maka M adalah (S, R)- bimodul dan N submodul dari M R-modul kanan merupakan submodul fully invariant jika dan hanya jika N merupakan sub-bimodul dari M [2]. Untuk setiap R-modul M, 0 dan M jelas merupakan submodul fully invariant dari M. Jika setiap submodul dari M merupakan submodul fully invariant , maka R-modul M disebut modul duo [2].

  setiap L dan N yang merupakan submodul dari M, berlaku ܮ ك ܰ atau ܰ ك ܮ[2]. Dalam [2] telah ditunjukkan modul uniserial yang memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition) merupakan modul duo.

  ሺܯሻ. Dengan operasi penjumlahan dan komposisi fungsi, ܪ݋݉

  Secara umum, submodul dari modul duo bukan merupakan modul duo. Demikian halnya dengan bayangan homomorfisma dari modul duo. Salah satu kondisi yang harus dipenuhi agar setiap submodul dari modul duo berkaitan dengan modul quasi injektif. Sedangkan, kondisi yang harus dipenuhi modul duo agar bayangan homomorfismanya merupakan modul duo berkaitan dengan modul quasi proyektif.

  Modul quasi injektif didefinisikan sebagai berikut. Misalkan M dan U adalah R-modul. U dikatakan

  M

  ݂ǣ ܭ ՜ ܯ dan homomorfisma ݃ǣ ܭ ՜ ܷ, terdapat homomorfisma ݄ǣ ܷ ՜ ܯ sedemikian sehingga

  ݄ ל ݃ ൌ ݂, yaitu diagram berikut komutatif.

  R -modul U dikatakan quasi injektif jika U adalah U -injektif [3].

  Selanjutnya, modul quasi proyektif didefinisikan sebagai berikut. Misalkan M dan P adalah R-modul. P dikatakan M-proyektif jika untuk setiap epimorfisma

  ݃ǣ ܯ ՜ ܰ dan homomorfisma

  ݄ǣ ܲ ՜ ܰ, terdapat homomorfisma ℎ

  ݃

  ோ

  ோ

  

Syarat Perlu Suatu Modul Merupakan Modul Distributif

Lemah dan Ring Endomorfisma dari Modul Distributif

Lemah

  ) ൌ ݂(݉

  

Fitriani

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung\

Jl. Prof. Soemantri Brojonegoro No. 1 Bandar Lampung

  

Email: fitriani_mathunila@yahoo.co.id

Abstrak. Misalkan R adalah ring dengan elemen satuan

  1 ≠ 0 dan M adalah R-modul. Submodul U dikatakan submodul distributif lemah dari M jika ܷ ൌ ܷ ת ܺ ൅ ܷ ת ܻ untuk setiap submodul ܺǡ ܻ ك ܯ sedemikian sehingga

  ܺ ൅ ܻ ൌ ܯ. R-modul M dikatakan modul distributif lemah jika setiap submodulnya merupakan submodul distributif lemah. Modul distributif lemah merupakan generalisasi dari modul distributif. Salah satu contoh modul distributif lemah adalah modul duo. Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai syarat perlu suatu modul merupakan modul distributif lemah dan sifat ring endomorfisma dari modul distributif lemah Kata Kunci: Modul Distributif Lemah, Modul Distributif, Modul Duo, Ring Endomorfisma.

  PENDAHULUAN Misalkan R ring dan M, N adalah R-modul.

  Fungsi ݂ǣ ܯ ՜ ܰ merupakan homomorfisma R- modul jika

  ݂(݉

  ଵ

  ൅ ݉

  ଶ

  ଵ

  ሺܯǡ ܰሻ ditulis dengan ܧ݊݀

  ) ൅ ݂(݉

  ଶ

  ) dan ݂(ݎ݉) ൌ ݎ݂(݉), untuk setiap ݉

  ଵ

  ǡ ݉

  ଶ

  ǡ ݉ א ܯ dan ݎ א ܴ . Himpunan semua homomorfisma R-modul dari M ke N dinotasikan dengan

  ܪ݋݉

  ோ ሺܯǡ ܰሻ.

  Jika ܯ ൌ ܰ, maka ܪ݋݉

  ோ

• injektif jika untuk setiap monomorfisma

  ݇ǣ ܲ ՜ ܯ sedemikian sehingga ݃ ל ݇ ൌ ݄, yaitu diagram berikut komutatif.

HASIL DAN PEMBAHASAN MODUL DISTRIBUTIF LEMAH

  R -modul M dikatakan

  Untuk setiap ݊ א ܰ, ݃(݊) = (݅ ל ݂ ל ݌)(݊) =

  ′

  ْ ܯ

  ′′

  . Misalkan ݌ǣ ܯ ՜ ܯ

  ′

  adalah pemetaan proyeksi kanonik dan ݅ǣ ܯ

  ′

  ՜ ܯ adalah pemetaan inklusi. Misalkan f adalah sebarang endomorfisma dari

  ܯ

  ′

  dan N sebarang submodul dari ܯ

  ′

  . Akan ditunjukkan N merupakan submodul fully invariant . Perhatikan bahwa ݃ ൌ ݅ ל ݂ ל ݌ merupakan endomorfisma pada M seperti terlihat pada diagram berikut.

  ݂(݊) yang berarti ݃(ܰ) ൌ ݂ሺܰሻ. Karena M merupakan modul duo, maka N merupakan submodul fully invariant. Akibatnya

  ′′

  ݃(ܰ) = ݂ሺܰሻ ك ܰ. Hasil ini menunjukkan bahwa setiap

  ݃ =

  ݅ ∘ ݂ ∘ ݌ ݌

  ݂ ݅

  ܯ

  ᇱ

  ܯ ܯ

  ᇱ

  ܯ ݇

  ݃

  ݃

  ܯ

  ܰ ܲ

  adalah submodul dari M sedemikian sehingga ܯ ൌ ܯ

  ǡ ܯ

  ߨ-proyektif jika ܯ ൌ ܺ ൅ ܻ, maka terdapat

  Lemma 1[2] Misalkan R ring. R-modul kanan M merupakan modul duo jika dan hanya jika setiap endomorfisma f dari M dan setiap

  ߙ א ܧ݊݀

  ோ

  ሺܯሻ sedemikian sehingga ߙሺܯሻ ك ܺ dan (1 − ߙሻሺܯሻ ك ܻ [4].

  Jika M adalah R-modul dan U submodul M, maka U dikatakan submodul distributif dari M jika ܷ ൌ ܷ ת ܺ ൅ ܷ ת ܻ untuk setiap submodul ܺǡ ܻ ك ܯ. R-modul M dikatakan modul distributif, jika setiap submodul dari M merupakan submodul distributif [4].

  Sebagai perumuman dari modul distributif, didefinisikan definisi modul distributif lemah sebagai berikut. Submodul U dikatakan submodul distributif lemah dari M jika

  ܷ ൌ ܷ ת ܺ ൅ ܷ ת ܻ untuk setiap submodul ܺǡ ܻ ك ܯ sedemikian sehingga

  ܺ ൅ ܻ ൌ ܯ. R-modul M dikatakan modul distributif lemah jika setiap submodulnya merupakan submodul distributif lemah[4]. Selanjutnya, ring R dikatakan distributif lemah jika

  R sebagai R -modul kiri merupakan modul

  distributif lemah. Modul distributif lemah merupakan generalisasi dari modul distributif.

  Beberapa karakterisasi modul distributif telah dibahas pada [5] dan pada [6] telah dibahas beberapa sifat modul distributif dalam kaitannya dengan modul perkalian.

  Dalam tulisan ini, akan dibahas syarat perlu suatu modul merupakan modul distributif lemah.

  Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Langkah pertama yang dilakukan adalah membahas sifat-sifat modul duo sebagai contoh modul distributif lemah. Langkah selanjutnya adalah menentukan syarat perlu suatu modul merupakan modul distributif lemah. Sebagai dasar dalam langkah ini adalah sifat-sifat modul distributif dan modul duo yang merupakan contoh dari modul distribuif lemah yang telah dilakukan pada langkah sebelumnya.

  Sebelum membahas modul distributif lemah dan sifat-sifatnya, berikut ini akan disajikan beberapa sifat-sifat dari modul duo yang akan digunakan dalam pembahasan mengenai modul distributif lemah.

  ݉ א ܯ,

  R -modul P dikatakan quasi-proyektif jika P adalah P -proyektif [3].

  ݉ א ܯ terdapat ݎ א ܴ sedemikian sehingga ݂(݉) ൌ ݉ݎ. Hal ini menunjukkan bahwa

  dan ܯ

  Bukti. Diberikan M merupakan modul duo

  Proposisi 2[2] Setiap hasil tambah langsung dari modul duo merupakan modul duo.

  ∎ Dalam Proposisi berikut akan ditunjukkan bahwa hasil tambah langsung dari modul duo juga merupakan modul duo.

  ݂(ܰ) termuat di N untuk setiap submodul N dari M. Akibatnya, setiap submodul dari M merupakan submodul fully invariant dan terbukti M adalah modul duo.

  ݉ א ܯ terdapat ݎ א ܴ sedemikian sehingga ݂(݉) ൌ ݉ݎ. Sebaliknya, misalkan untuk setiap endomorfisma f di M dan untuk setiap

  terdapat ݎ א ܴ sedemikian sehingga ݂(݉) ൌ ݉ݎ.

  R . Sehingga, untuk setiap

  ݂ሺܴ݉ሻ termuat di

  Karena M modul duo, maka N merupakan submodul fully invariant. Oleh karena itu, untuk setiap endomorfisma f dari M.

  invariant . Ambil ܰ ൌ ܴ݉ submodul dari M.

  kanan yang merupakan modul duo. Oleh karena itu, setiap submodul dari M adalah submodul fully

  Bukti. Misalkan R ring dan M adalah R-modul

  ′

METODE PENELITIAN

  submodul dari ܯ

  adalah homomorfisma, maka Im f merupakan modul distributif lemah.

  ൌ ݃ො ל ݌, maka ݃

  ∗

  adalah endomorfisma pada M. Perhatikan bahwa untuk setiap ݉ א ܯ, ݃(݉ ൅ ܭ) ൌ ݃

  ∗

  ( ݉) ൅ ܭ. Karena M merupakan modul duo, maka

  ݃

  ∗

  ( ܪ) termuat di

  ܪ. Oleh karena itu, ݃ሺܪȀܭሻ termuat di ܪȀܭ. Hasil ini menunjukkan bahwa ܪȀܭ merupakan submodul fully invariant . Karena pengambilan

  ܪȀܭ sebarang, maka dapat disimpulkan bahwa setiap submodul dari

  ܯȀܭ merupakan submodul fully invariant. Sehingga, ܯȀܭ adalah modul duo. Dengan kata lain, bayangan homomorfisma dari modul duo merupakan modul duo.

  ∎ Bayangan homomorfisma dari modul distributif lemah merupakan modul distributif lemah seperti ditunjukkan dalam Lemma berikut.

  Lemma 5[4] Jika M merupakan modul distributif lemah dan

  ݂ǣ ܯ ՜ ܰ

  Bukti. Diberikan M adalah modul distributif

  Dengan mengambil ݃

  ∎ Dalam lemma berikut akan ditunjukkan bahwa setiap submodul fully invariant dari modul

  ܯ

  ݃

  ݃ො ݌

  ݅ ܮ ܮ ܯ

  ݂

  ߨ- proyektif merupakan submodul distributif lemah. ݃

  ܫ݉ ݂ ؆ ܯȀܭ merupakan modul distributif lemah.

  lemah dan ݂ǣ ܯ ՜ ܰ merupakan homomorfisma modul. Berdasarkan Teorema Fundamental

  ܷȀܭ ൅ ܸȀܭ ൌ ܯȀܭ. Oleh karena itu, setiap submodul dari ܯȀܭ merupakan submodul distributif lemah. Akibatnya,

  ܺȀܭ ൌ ሾሺܺȀܭሻ ת ሺܷȀܭሻሿ ൅ ሾሺܺȀܭሻ ת ሺܸȀܭሻሿ, untuk setiap ܷȀܭǡ ܸȀܭ ك ܯȀܭ dengan

  Jadi, untuk setiap ܺȀܭ ك ܯȀܭ,

  Berdasarkan hipotesis, M merupakan modul distributif lemah. Oleh karena itu, diperoleh ܺ ൌ ܺ ת ܷ ൅ ܺ ת ܸ. Sehingga, ܺȀܭ ൌ ሺܺ ת ܷ ൅ ܺ ת ܸሻȀܭ ൌ ሾሺܺȀܭሻ ת ሺܷȀܭሻሿ ൅ ሾሺܺȀܭሻ ת ሺܸȀܭሻሿ.

  ܭ ൌ ܭ݁ݎ ݂. Misalkan ܷȀܭ ൅ ܸȀܭ ൌ ܯȀܭ untuk suatu ܷǡ ܸ ك ܯ dan ܺȀܭ ك ܯȀܭ. Karena ܷȀܭ ൅ ܸȀܭ ൌ ܯȀܭ, maka diperoleh ܷ ൅ ܸ ൌ ܯ.

  Isomomorfisma Modul, diperoleh ܫ݉ ݂ ؆ ܯȀܭ, dengan

  ∗

  ݃ොǣ ܯȀܭ ื ܯ sedemikian sehingga ݌ ל ݃ො ൌ ݃, yaitu diagram berikut bersifat komutatif.

  ′

  ᇱ

  merupakan submodul fully

  invariant . Akibatnya,

  ܯ

  ′ merupakan modul duo.

  ∎ Secara umum, submodul dari modul duo bukan merupakan modul duo. Dalam Proposisi berikut akan ditunjukkan bahwa setiap submodul dari modul quasi injektif merupakan modul duo.

  Proposisi 3[2] Diberikan M merupakan modul duo. Jika M adalah modul quasi injektif, maka setiap submodul dari M adalah modul duo.

  Bukti. Misalkan M adalah modul duo yang

  merupakan modul quasi injektif, L sebarang submodul dari M dan f adalah endomorfisma dari

  L . Diberikan N adalah sebarang submodul dari L.

  Misalkan ݅ǣ ܮ ื ܯ adalah pemetaan inklusi yang bersifat injektif. Karena M merupakan modul quasi injektif, maka terdapat

  ݃ǣ ܯ ื ܮ sedemikian sehingga ݃ ל ݅ ൌ ݂, yaitu diagram berikut komutatif.

  Dengan mengambil ݂

  ᇱ

  ൌ ݅ ל ݃, maka ݂

  merupakan endomorfisma pada M. Diberikan sebarang ݊ א ܰ, maka ݂

  ݃ adalah sebarang endomorfisma dari ܯȀܭ. Misalkan ݌ǣ ܯ ื ܯȀܭ adalah pemetaan proyeksi natural. Karena M adalah modul quasi proyektif, maka terdapat

  invariant dari L. Karena pengambilan N sebarang,

  M yang memuat K dan

  merupakan modul quasi proyekif. Misalkan K adalah submodul dari M, H adalah submodul dari

  Bukti. Diberikan M adalah modul duo yang

  Proposisi 4[2] Diberikan M merupakan modul duo. Jika M adalah modul quasi proyektif, maka setiap bayangan homomorfisma dari M merupakan modul duo.

  ∎ Selanjutnya, dalam kaitannya dengan modul quasi proyektif, dalam Proposisi berikut akan ditunjukkan bahwa setiap bayangan homomorfisma dari modul quasi proyektif merupakan modul duo.

  dapat disimpulkan bahwa setiap submodul dari L merupakan submodul fully invariant. Sehingga, terbukti L adalah modul duo.

  ሺܰሻ ك ܰ. Hasil ini menunjukkan bahwa N adalah submodul fully

  ᇱ

  ᇱ

  ݂(ܰ) ൌ ݂

  ( ܰ) ൌ ݂ሺܰሻ. Selanjutnya, karena M adalah modul duo, diperoleh

  ᇱ

  ݅൫݃(݊)൯ ൌ ݃(݊) = (݃ ל ݅)(݊) ൌ ݂ሺ݊ሻ. Sehingga, ݂

  ( ݊) = (݅ ל ݃)(݊) =

  ܯ/ܭ ܯ/ܭ

  Lemma 6[4] Jika M adalah modul

  ௞

  ൫݂(݉)൯ െ ݂

  ௞

  ݂

  ( ݉ݏ) atau

  ௞

  ሺ݂(݉)ሻ ൌ ݂

  ௞

  Diperoleh, ݂

  ( ݉ݏ)

  ( ݉)ݏ ൌ ݂

  ( ݉ݏ) = 0. Hasil ini menunjukkan

  ௞

  ( ݉) ൌ ݂

  ௞ାଵ

  ݏ א ܴ sedemikian sehingga ݂

  ( ݉)ܴ. Jadi, terdapat

  ௞ାଵ

  ( ݉)ܴ ൌ ݂

  ௞

  ݂

  Karena M memenuhi kondisi rantai naik, maka terdapat bilangan bulat positif ݇ sedemikian sehingga

  ௞

  ݂(݉) െ ݉ݏ א ܭ݁ݎ(݂

  ଶ

  ) ك ܴ݉. Oleh karena itu, ݂(݉) െ ݉ݏ א ܴ݉.

  ܯ۩ܯ bukan merupakan modul distributif lemah.

  ܯ۩ܯ. Akan ditunjukkan ܰ bukan merupakan submodul distributif lemah. Perhatikan bahwa ܰ ת (ܯ۩{0}) = {(0,0)} ൌ ܰ ת (ሼͲሽ۩ܯ). Oleh karena itu, N bukan merupakan submodul distributif lemah. Akibatnya,

  ݉ א ܯ, dengan ݉ ് Ͳ. Pilih ܰ ൌ ܴሺ݉ǡ ݉ሻ yang merupakan submodul dari

  Bukti. Diberikan sebarang

  ܯ۩ܯ bukan merupakan modul distributif lemah .

  Lemma 11[4] Jika M adalah sebarang modul tak nol, maka

  ∎ Dalam Lemma berikut akan ditunjukkan bahwa hasil tambah langsung dari modul distributif lemah yang tak nol bukan merupakan modul distributif lemah.

  Hasil ini menimbulkan kontradiksi dengan ݂ሺ݉ሻ ב ܴ݉. Jadi, haruslah terpenuhi ݂(݉) א ܴ݉. Oleh karena itu, berdasarkan Lemma 1, M merupakan modul duo. Sehingga, berdasarkan Akibat 7, M merupakan modul distributif lemah.

  Sehingga, ݂(݉) א ܴ݉.

  ௞

  ௞ ).

  = 0. Hal ini menimbulkan kontradiksi. Jadi, haruslah ܭ݁ݎ(݂

  ௞

  ( ݉)ݎ

  ௞

  ݉ ൌ ݂

  ( ݉) = 0. Oleh karena itu,

  ௞

  ), maka ݂

  ௞

  Andaikan ܴ݉ ك ܭ݁ݎ(݂

  ( ݉) ⊆ ⋯

  ݊. Diperoleh, ܴ݉ ك ݂(݉)ܴ ك ݂

  ߨ-proyektif,

  ∎ Salah satu akibat dari Lemma 6 adalah setiap modul duo yang merupakan modul

  Teorema 8. Misalkan M adalah modul

  ∎

  submodul dari M merupakan submodul distributif lemah. Sehingga, terbukti bahwa M merupakan modul disributif lemah.

  invariant , maka berdasarkan Lemma 6, setiap

  yang merupakan modul ߨ-proyektif. Karena setiap submodul dari M merupakan submodul fully

  Bukti. Diberikan R-modul M adalah modul duo

  ߨ-proyektif merupakan modul distributif lemah.

  Akibat 7 [4]Setiap modul duo yang merupakan modul

  ߨ-proyektif adalah modul distributif lemah sebagai berikut.

  ܷ ك ݂(ܷ) + (ͳ െ ݂)(ܷ) ك ܷ ת ܺ ൅ ܷ ת ܻ Jadi, ܷ ൌ ܷ ת ܺ ൅ ܷ ת ܻ, dengan ܺ ൅ ܻ ൌ ܯ. Terbukti U merupakan submodul distributif lemah dari M.

  proyektif. R-modul kanan M merupakan modul distributif lemah jika dan hanya jika setiap endomorfisma f dari M dan setiap

  ሺͳ െ ݂ሻሺܷሻ ك ܷ ת ܻ. Oleh karena itu,

  ሺͳ െ ݂ሻሺܯሻ ك ܻ. Selanjutnya, U yang merupakan submodul fully invariant akan berakibat ݂ሺܷሻ ك ܷ ת ܺ dan

  ሺܯሻ sedemikian sehingga ݂ሺܯሻ ك ܺ dan

  ோ

  ݂ א ܧ݊݀

  ܯ ൌ ܺ ൅ ܻ. Karena M adalah modul ߨ-proyektif, maka terdapat

  M . Misalkan

  ߨ-proyektif dan U merupakan submodul fully invariant dari

  Bukti. Diberikan M adalah modul

  maka setiap submodul fully invariant dari M merupakan submodul distributif lemah dari M .

  ߨ-

  ݉ א ܯ,

  ( ݉)ݎ untuk setiap bilangan bulat positif

  proyektif . Jika M adalah modul uniserial yang memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition) pada submodul siklik, maka M merupakan modul distributif lemah.

  ௡ାଵ

  ( ݉) ൌ ݂

  ௡

  ݂

  ݂ሺ݉ሻ ב ܴ݉, maka ݉ א ݂ሺ݉ሻܴ. Sehingga, ݉ ൌ ݂ሺ݉ሻݎ, untuk suatu ݎ א ܴ. Akibatnya,

  ݉ א ܯ dengan ݉ ് Ͳ dan ݂ sebarang endomorfisma pada ܯ. Akan ditunjukkan M adalah modul duo. Andaikan

  chain condition ). Misalkan

  dan M memenuhi kondisi rantai naik (ascending

  Bukti. Diberikan M adalah modul uniserial

  ߨ-

  terdapat ݎ א ܴ sedemikian sehingga ݂(݉) ൌ ݉ݎ.

  Teorema 10. Misalkan M adalah modul

  ∎

  Berdasarkan Proposisi 3, setiap submodul dari M merupakan modul duo. Sehingga, dengan menggunakan Akibat 6, diperoleh setiap submodul dari M merupakan modul distributif lemah.

  Bukti. Misalkan M adalah modul quasi injektif.

  maka setiap submodul dari M adalah modul distributif lemah.

  ߨ-proyektif. Jika M adalah modul duo,

  Akibat 9. Diberikan M adalah modul quasi injektif dan

  ݎ א ܴ sedemikian sehingga ݂(݉) ൌ ݉ݎ. Sehingga dari Akibat 7, diperoleh R-modul kanan M merupakan modul distributif lemah jika dan hanya jika setiap endomorfisma f dari M dan setiap ݉ א ܯ, terdapat ݎ א ܴ sedemikian sehingga ݂(݉) ൌ ݉ݎ. ∎

  endomorfisma f dari M dan setiap ݉ א ܯ, terdapat

  Bukti. Berdasarkan Lemma 1, R-modul kanan M merupakan modul duo jika dan hanya jika setiap

  ∎

  , untuk suatu ܺ

  ᇱ

  ת ܺ۩ܻ

  ᇱ

  ൌ ܻ۩ܻ

  ᇱ

  Jadi, ܯ ൌ ܻ۩ܻ

  ᇱ .

  ൌ ܻ۩ܺ ת ܻ

  ᇱ

  ת ܻሻ ൅ ܺ ת ܻ

  ᇱ

  ) ൌ ሺܺ ת ܻ ൅ ܺ

  ܻ ת ܺ

  ת ܺ

  ) + ( ܻ ת ܺ)

  ᇱ

  ). Oleh karena itu, ܺ ൅ ܻ ൌ (ܺ ת ܻ) + (ܺ ת ܻ

  ᇱ

  ) dan ܻ ൌ (ܻ ת ܺ)⨁(ܻ ת ܺ

  ᇱ

  ܺ ൌ (ܺ ת ܻ)⨁(ܺ ת ܻ

  submodul dari M. Karena M merupakan modul distributif lemah, maka

  ᇱ

  ǡ ܻ

  ᇱ

  ᇱ

  ᇱ

RING ENDOMORFISMA DARI MODUL DISTRIBUTIF LEMAH

  Dan ܯ = ݂(ܯ)⨁(1 − ݂)(ܯ)

  ∎

  ݂݁ merupakan endomorfisma idempoten dari M.

  Oleh karena itu, ݂݂݁݁(݉) ൌ ݁൫݂݁݁(݉)൯ ൌ ݂݁݁(݉) ൌ ݂݁ሺ݉ሻ. Hasil ini menunjukan bahwa

  ݉ א ܯ. Karena ܫ݉(݂݁) = ܫ݉ሺ݁ሻ ת ܫ݉ሺ݂ሻ, maka ݂݁݁(݉) ൌ ݁൫݂݁(݉)൯ ൌ ݂൫݁(݉)൯ א ܫ݉ሺ݂ሻ.

  ݂݁ merupakan elemen idempoten di ܧ݊݀ሺܯሻ . Diberikan sebarang

  ܫ݉ሺ݁ሻ ת ܫ݉ሺ݂ሻ juga merupakan hasil tambah langsung dari M. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa

  ܫ݉(݂݁) ൌ ܫ݉(݂݁). Dari persamaan (2) dan (3), diperoleh ܫ݉ሺ݁ሻ dan ܫ݉ሺ݂ሻ merupakan hasil tambah langsung dari M . Sehingga berdasarkan Lemma 7,

  ݂൫݁(ܯ)൯ ൌ ݂൫݁(ܯ) ת ݂(ܯ)൯ ൌ ݁(ܯ) ת ݂(ܯ) Selanjutya, dengan menerapkan e pada f(M) diperoleh: ݁൫݂(ܯ)൯ ൌ ݁൫݂(ܯ) ת ݁(ܯ)൯ ൌ ݂ሺܯሻ ת ݁(ܯ). Dari sini diperoleh ܫ݉(݂݁) ൌ ݁(ܯ) ת ݂(ܯ) ൌ ܫ݉ሺ݁ሻ ת ܫ݉ሺ݂ሻ dan ܫ݉(݂݁) ൌ ݁(ܯ) ת ݂(ܯ) ൌ ܫ݉ሺ݁ሻ ת ܫ݉ሺ݂ሻ. Sehingga,

  ݂(ܯ) ൌ ݂(ܯ) ת ݁(ܯ)۩݂(ܯ) ת ሺͳ െ ݁ሻሺܯሻ Dengan menerapkan f pada e(M) diperoleh:

  Karena M merupakan modul distributif lemah, maka ݁(ܯ) ൌ ݁(ܯ) ת ݂(ܯ)۩݁(ܯ) ת ሺͳ െ ݂ሻሺܯሻ dan

  (3)

  ᇱ

  ൌ ሺܺ ൅ ܻሻ۩ ܻ

  endomorfisma idempoten, maka: ܯ = ݁(ܯ)⨁(1 − ݁)(ܯ)

  Bukti. Karena e dan f merupakan

  ܫ݉(݂݁) ൌ ܫ݉(݂݁) ൌ ܫ݉ሺ݁ሻ ת ܫ݉ሺ݂ሻ dan fe adalah elemen idempoten.

  endomorfisma idempoten, maka

  ݁ǡ ݂ א ܧ݊݀ሺܯሻ adalah

  Teorema 2.2[4] Jika M merupakan modul distributif lemah dan

  ∎ Dalam Proposisi berikut diberikan sifat ring endomorfisma dari modul distributif lemah.

  Hasil ini menunjukkan bahwa X + Y merupakan hasil tambah langsung dari M. Jadi, terbukti M memenuhi SSP.

  ᇱ .

  ת ܺ

  ᇱ

  (2)

  ൌ ܻ۩ܻ

  Misalkan ܯ

  ଵ

  hasil tambah langsung dari M merupakan hasil tambah langsung dari M [4]. Jadi, jika R-modul M memenuhi sifat summand intersection dan U, V merupakan hasil tambah langsung dari M, maka ܷ ת ܸ merupakan hasil tambah langsung dari M.

  R -modul M dikatakan memenuhi sifat summand intersection jika irisan dari sebarang

  (Summand Sum Property) jika jumlahan dari sebarang hasil tambah langsung dari M merupakan hasil tambah langsung dari M [4]. Jadi, jika R- modul M memenuhi SSP dan U, V merupakan hasil tambah langsung dari M, maka U + V merupakan hasil tambah langsung dari M.

  R -modul M dikatakan memenuhi SSP

  ଶ [4].

  ْ ܯ

  ଵ

  ܯ ൌ ܯ

  dikatakan hasil tambah langsung (direct summand) dari M, ditulis

  ଶ

  dan ܯ

  = 0, maka ܯ

  sum property ) dan sifat summand intersection.

  ଶ

  ת ܯ

  ଵ

  dan ܯ

  ଶ

  ൅ ܯ

  ଵ

  adalah submodul dari R- modul M. Jika ܯ ൌ ܯ

  ଶ

  ǡ ܯ

  ଵ

  Dalam Lemma berikut akan ditunjukkan bahwa modul distributif lemah memenuhi SSP (summand

  Lemma 2.1.[4] Modul distributif lemah memenuhi Summand Sum Property (SSP) dan sifat summand intersection .

  ᇱ

  ) ⨁ܺ

  adalah hasil tambah langsung dari M, maka ܯ ൌ ܺ۩ܺ

  SSP (summand sum property). Misalkan X dan Y

  Selanjutnya, akan ditunjukkan M memenuhi

  summand intersection .

  ܺ ת ܻ merupakan hasil tambah langsung dari M. Akibatnya, M memenuhi sifat

  . Jadi, Persamaan (1) dapat dituliskan sebagai ܯ ൌ (ܺ ת ܻ)۩ܼ. Sehingga, terbukti

  ᇱ

  ) ۩ܺ

  ᇱ

  Misalkan ܼ ൌ (ܺ ת ܻ

  ᇱ (1)

  ᇱ

  Bukti. Misalkan R-modul M merupakan modul

  ). Sehingga, diperoleh ܯ = (ܺ ∩ ܻ)⨁(ܺ ∩ ܻ

  ᇱ

  Karena M merupakan modul distributif lemah, maka ܺ ൌ (ܺ ת ܻ)⨁(ܺ ת ܻ

  ᇱ submodul dari M.

  ǡ ܻ

  ᇱ

  , untuk suatu ܺ

  ᇱ

  = ܻ۩ܻ

  ᇱ

  ܯ ൌ ܺ۩ܺ

  distributif lemah. Akan ditunjukkan M memenuhi sifat summand intersection. Jika X dan Y adalah hasil tambah langsung dari M, maka

• (

  Proc. Indian Acad . Sci. (Math. Sci.) Vol. 120, No. 5, November 2012 p. 525 – 534.

  [5] Zamani, N.(2009) On Torsion Free

  KESIMPULAN

  Distributive Modules. Contributions to

  Algebra and Geometry Vol. 50(2009), No. 2

  Berdasarkan hasil dan pembahasan, dapat p 327-336. disimpulkan beberapa karakterisasi modul [6] Escoriza, Jose., Torrecilalas, Blas. (1997). distributif lemah sebagai berikut. Bayangan

  Relative Multiplication and Distributive homomorfisma dari modul distributif lemah Modules. Comment math Univ. Carolin. Vol merupakan modul distributif lemah, setiap 38 (1997) No. 2 p 205-221. submodul fully invariant dari modul

  ߨ-proyektif merupakan submodul distributif lemah dari modul tersebut. Selain itu, jika M adalah modul

  ߨ- proyektif, maka R -modul kanan M merupakan modul distributif lemah jika dan hanya jika setiap endomorfisma f dari M dan setiap

  ݉ א ܯ, terdapat ݎ א ܴ sedemikian sehingga ݂(݉) ൌ ݉ݎ. Selanjutnya, setiap submodul dari modul duo yang merupakan modul quasi injektif dan

  ߨ- proyektif adalah modul distributif lemah. Dalam kaitannya dengan modul uniserial, setiap modul uniserial yang merupakan modul

  ߨ-proyektif yang memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain

  condition ) pada submodul siklik merupakan modul

  distributif lemah. Berdasarkan hasil dan pembahasan juga diperoleh bahwa jika M adalah sebarang modul tak nol, maka

  ܯ۩ܯ bukan merupakan modul distributif lemah. Modul distributif lemah memenuhi Summand

  Sum Property (SSP) dan sifat summand intersection . Selanjutnya, jika M merupakan

  modul distributif lemah dan ݁ǡ ݂ א ܧ݊݀ሺܯሻ adalah endomorfisma idempoten, maka

  ܫ݉(݂݁) ൌ ܫ݉(݂݁) ൌ ܫ݉ሺ݁ሻ ת ܫ݉ሺ݂ሻ dan fe adalah elemen idempoten.

  Penelitian ini masih dapat dilanjutkan dengan menyelidiki karakterisasi lain dari modul distributif lemah dan aplikasi dari modul distributif lemah, diantaranya dalam modul bersuplemen dan penentuan amplop proyektif (projective cover) dari suatu modul.

DAFTAR PUSTAKA

  [1] Wisbauer, R. (1991). Foundation of Module and Ring Theory . Gordon and Breach.

  Philadelphia, USA. [2] Harmanci,A.,A.C and Smith, P.,F., (2006)

  Duo Modules. Glasgow Mathematical Journal Trust 48(2006) p 533-545. [3] Clark, J., dkk. (2006). Lifting

  Modules(Supplement and Projectivity in Module Theory) , Birkhauser Verlag, Basel

  Switzerland. [4] Buyukasik, Engin and Demirci, Y., M.

  (2010). Weakly distributive modules. Applications to supplement submodules.