STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER POSITIF

  Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 83 – 89

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER

POSITIF

LILI ANDRIANI

  

Program Studi Magister Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstrak.

email :liliandriani7@gmail.com

  Suatu sistem dikatakan dapat distabilkan jika terdapat kontrol feedback u t = _m×n Kx t untuk suatu K ∈ R sedemikian sehingga sistem _{n +}

Ex t t , x ∈ R

_{+1 = (A + BK)x}

_{t ∈ R}

_m

adalah stabil [4]. Dalam hal ini, vektor u dikatakan kontrol yang menstabilkan

_m×n sistem di atas. Pada makalah ini akan dikaji syarat agar terdapat matriks K ∈ R sedemikian sehingga sistem di atas adalah stabil, positif, dan regular.

  Kata Kunci : Stabilisasi, sistem deskriptor, regular, positif, linier, diskrit, invers drazin.

  1. Pendahuluan Diberikan suatu sistem persamaan beda (difference equations) linier sebagai berikut:

  E , t ∈ Z _{n×n n×m n} x t +1 = Ax t + Bu t (1.1) + dengan E, A ∈ R dan B ∈ R . Dalam sistem (1.1), x ∈ R menyatakan vari- _{m t} abel state (keadaan), u t ∈ R menyatakan variabel kontrol (input) dan Z meny-

• atakan himpunan bilangan bulat non negatif. Sistem (1.1) sering disebut sebagai sistem deskriptor diskrit linier [4]. Sistem (1.1) dikatakan regular jika rank(E) < n dan det(λE − A) 6= 0 untuk suatu λ ∈ C.

  Pada dekade terakhir ini, kepositifan solusi dari sistem (1.1) menjadi sorotan berbagai peneliti. Sistem (1.1) dengan ind(E) = q dikatakan positif jika untuk _{m n} ∈ R ∈ R setiap t ∈ Z dan untuk setiap fungsi input u t , berlaku x t . Kriteria

• tentang kepositifan sistem (1.1) telah dikaji oleh Virnik pada tahun 2008 [4].

  Disamping itu, kajian tentang kestabilan sistem (1.1) merupakan topik klasik yang telah dikaji oleh berbagai peneliti. Literatur [6] memuat kajian tentang kesta- bilan sistem (1.1) tanpa batasan kepositifan. Sistem (1.1) dikatakan stabil jika ρ _{f (E, A) < 1, dimana ρ f (E, A) adalah radius spectral dari pasangan matriks (E, A)} [6].

  Tahun 2008, Virnik [4] mengajukan kriteria untuk kestabilan sistem (1.1) dengan asumsi bahwa sistem (1.1) adalah positif. Tetapi, kriteria Virnik tidak mencakup fenomena berikut, ”Jika diberikan sistem (1.1) yang regular, positif, dan tidak stabil, bagaimanakah kriteria agar sistem tersebut dapat distabilkan (stabilizable)?”

  Lili Andriani

  Sistem (1.1) dikatakan dapat distabilkan jika terdapat kontrol feedback u t = Kx t _m×n untuk suatu K ∈ R sedemikian sehingga sistem _n E , ∈ R , x t = (A + BK)x t x (1.2)

• 1 _m
• ∈ R adalah stabil [4]. Dalam hal ini, vektor u t dikatakan kontrol yang mensta- bilkan sistem (1.1). Pada makalah ini akan dikaji syarat agar terdapat matriks _m×n

  K ∈ R sedemikian sehingga sistem (1.2) adalah stabil, positif, dan regular. _m×n Tahun 2013, telah dibicarakan syarat agar terdapat K ∈ R sedemikian se- hingga sistem (1.2) adalah stabil, positif, dan regular untuk kasus sistem deskriptor _m×n kontiniu positif linier. Pada tesis ini akan dikaji syarat agar terdapat K ∈ R sedemikian sehingga sistem (1.2) adalah stabil, positif, dan regular untuk kasus sistem deskriptor diskrit positif linier.

  2. Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif _{n×n D} Misalkan E ∈ R dengan ind(E) = q. Invers Drazin dari E ditulis E adalah suatu matriks yang memenuhi: _{D D} E E _{D D D}

  = EE E EE = E _{D q q}

• +1

  E E = E .

  Invers Drazin dari suatu matriks persegi E selalu ada dan tunggal [10]. Jika matriks _{D − −}

  1

  1 E nonsingular, maka E = E , dimana E menyatakan definisi invers matriks dalam pengertian biasa. _n×n Lema 2.1. [4] Misalkan A, B ∈ C .

  (1) Jika AB = BA, maka _{D D} AB

  A, _{D D} = B (2.1) BA

  B, _{D D D D} = A (2.2) A B A ,

  = B (2.3) (2) Jika AB = BA dan KerA ∩ KerB = 0, maka _{D D D}

  (I − AA )BB = I − AA . (2.4) Perhatikan kembali sistem deskriptor diskrit (1.1), dengan kondisi awal x , dan asumsikan bahwa det(λE − A) 6= 0, untuk suatu λ ∈ C. (2.5) ₋

  1 Dengan mengalikan kedua ruas (1.1) dengan (λE − A) , maka diperoleh:

  ˆ E A B , t ∈ Z , x t = ˆ x t + ˆ u t (2.6)

• 1

  dimana ₋

  1

  ˆ E

  E, = (λE − A) (2.7) ₋

  1

  ˆ A

  A, = (λE − A) (2.8) ₋

  1

  ˆ B B.

  = (λE − A) (2.9)

  Stabilisasi Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif

  E A Lema 2.2. [6] Untuk matriks ˆ dan ˆ yang didefinisikan pada (2.7) dan (2.8), berlaku (1) ˆ A ˆ E = ˆ E ˆ A .

  (2) ker ˆ A ∩ ker ˆ E = 0. Bukti. (1) Dari (2.7), diperoleh _{− −}

  1

  1

  λ ˆ E − ˆ A = λ(λE − A) E − (λE − A) A ₋

  1

  = (λE − A) (λE − A) (2.10) = I, atau

  ˆ A E − I.

  = λ ˆ (2.11) Akibatnya,

  ˆ A ˆ E E − I E E E − I E ˆ A.

  = (λ ˆ ) ˆ = ˆ (λ ˆ ) = ˆ (2.12) A ∩ ker ˆ E A E E − ˆ A (2) Misalkan x ∈ ker ˆ . Maka ˆ x = 0 dan ˆ x = 0, dan λ ˆ x = 0. E − ˆ A Karena λ ˆ = I, maka x = 0.

  Teorema 2.3. [4] Misalkan sistem (1.1) adalah regular dengan ind(E, A) = q, maka solusi dari sistem (1.1) adalah: _{t− q−}

  1

  X X

1 D t D D D t−i−

  1 D D i D

  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E A E Ex E E A Bu − E ˆ E E ˆ A A Bu

• x t = ( ˆ ) ( ˆ ) i (I − ˆ ) ( ˆ ) t

_{i i}

+i =0 =0 _n (2.13) untuk suatu x ∈ R .

  Bukti. Misalkan ˆ E dan ˆ A didefinisikan seperti dalam (2.7). Berdasarkan Lema _{D D} ˆ 2.2 berlaku ˆ A ˆ E = ˆ E ˆ A . Akibatnya, menurut Lema 2.1 diperoleh ˆ A ˆ E = ˆ E A .

  Selanjutnya _{t q−}

  X X

  1 _{D t D t−i D D D i}

• 1
• 1

  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E E A E E A E ˆ E B − E ˆ E E ˆ A B ,

• x t = ( ˆ ) x ( ˆ ) u i (I − ˆ ) ( ˆ )
• 1 _{i i}
• i+1

  _{t− q−}

  =0 =0

  1

  X X ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1 D t +1 D t−i D D i D

  A E A E E A B − E ˆ E E ˆ A E B x t = ( ˆ ) x ( ˆ ) u i (I − ˆ ) ( ˆ ) u t

• _{i i}

• i =0 =0

  A ˆ E E ˆ A A ∩ ker ˆ E Berdasarkan Lema 2.2, berlaku ˆ = ˆ dan ker ˆ = 0, akibatnya

• 1
• 1
• 1
• 1

  B u t − ˆ E ˆ A ^D

  E ˆ A ^D ) ^q−

  − ( ˆ

  ˆ B u t +q−2

  2

  E ˆ A ^D ) ^q−

  ˆ B u t

  2

  E ˆ A ^D )

  − ( ˆ

  B u t

  E ˆ A ^D ) ˆ

  )

  ) ˆ B u t

  E ˆ E ^D )[( ˆ

  ˆ B u t +q−1 )

  ˆ B u t + (I − ˆ

  = ˆ E ˆ E ^D

  ˆ B u t +i+1 ]

  ) ⁱ

  ( ˆ E ˆ A ^D

  B u t +i −

  ) ⁱ ˆ

  [( ˆ E ˆ A ^D

  1 X _i =0

  E ˆ E ^D ) ^q−

  − (I − ˆ

  ˆ B u t

  = ˆ E ˆ E ^D

  ˆ B u t +i ]

  1

  E ˆ A ^D ) ^q−

  ˆ B u t +i+1 + ( ˆ

  E ˆ A ^D ) ^q

  , x(0) = x .

  E x = Ax t

  3. Kestabilan Sistem Deskriptor Positif Linier Diskrit Kestabilan merupakan suatu sifat yang sangat penting bagi suatu sistem. Berikut ini akan dibicarakan tentang kestabilan sistem deskriptor linier diskrit

  A ∈ R ^n×n

  E ^D ˆ

  Berikut diberikan kriteria untuk memeriksa kepositifan dari sistem (1.1). Teorema 2.5. [4] Secara khusus jika B = 0, untuk sistem (1.1) adalah positif jika dan hanya jika ˆ

  ≥ 0 berlaku x t ∈ R ⁿ

  ≥ 0, t = 0, 1, · · · , q − 1, dan x

  Berikut dipaparkan definisi kepositifan dari sistem deskriptor (1.1). Definisi 2.4. [4] Sistem (1.1) dengan ind(E, A) = q dikatakan positif jika untuk semua u t

  B u _t = ˆ B u t . Jadi, solusi (2.10) memenuhi sistem (2.6).

  B u _t + ˆ B u _t − ˆ E ˆ E ^D ˆ

  = ˆ E ˆ E ^D ˆ

  ˆ B u t +q

  E ˆ E ^D )( ˆ

  1

  − (I − ˆ

  ) ˆ B u t

  B u t + (I − ˆ E ˆ E ^D

  E ˆ E ^D ˆ

  B u t +q ] = ˆ

  ) ^q ˆ

  B u t − ˆ E ˆ A ^D

  E ˆ E ^D )[( ˆ

  ˆ B u t + (I − ˆ

  = ˆ E ˆ E ^D

  ˆ B u t +q )]

  E ˆ A ^D ) ^q

  − ( ˆ

  ˆ B u t +q−1

  E ˆ A ^D ) ⁱ

  ) ⁱ

  (3.1)

  A ˆ A ^D ˆ

  ˆ E ^q

  ˆ E ^D

  ˆ A ˆ A ^D

  ) ^q − ˆ E ˆ E ^D

  ( ˆ A ^D

  ˆ E ^q

  = ˆ A ˆ A ^D

  A ^D ) ^q

  E ^q ( ˆ

  A ˆ A ^D ˆ

  − ˆ E ˆ E ^D ˆ

  A ^D ) ^q

  E ^q ( ˆ

  ) ^q = ˆ

  ) ^q = ˆ

  ( ˆ A ^D

  ˆ E ^q

  ) ˆ A ˆ A ^D

  = (I − ˆ E ˆ E ^D

  E ˆ A ^D ) ^q

  A ˆ A ^D ( ˆ

  E ˆ E ^D ) ˆ

  E ˆ A ^D ) ^q = (I − ˆ

  E ˆ E ^D )( ˆ

  , sehingga (I − ˆ

  = I − ˆ E ˆ E ^D

  ) ˆ A ˆ A ^D

  menurut Lema 2.1, (I − ˆ E ˆ E ^D

  Lili Andriani

  ( ˆ A ^D

  A ˆ A ^D ˆ

  [( ˆ E ˆ A ^D

  A ˆ A ^D ˆ

  1 X _i =0

  E ˆ E ^D ) ^q−

  − (I − ˆ

  ˆ B u t

  Ex _{t +1} − ˆ A x t = ˆ E ˆ E ^D

  B u(t). ˆ

  E x t +1 − ˆ A x t = ˆ

  Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa (2.10) merupakan solusi dari (2.6), akan ditunjukkan ˆ

  A ^D ) ^q = 0.

  E ^q ( ˆ

  − ˆ A ˆ A ^D ˆ

  A ^D ) ^q

  E ^q ( ˆ

  ) ^q = ˆ

  E ^q ( ˆ

  ( ˆ A ^D

  E ^q

  E ^D ˆ

  − ˆ A ˆ A ^D ˆ

  A ^D ) ^q

  E ^q ( ˆ

  A ˆ A ^D ˆ

  ) ^q = ˆ

  ( ˆ A ^D

  E ^q

  E ^D ˆ

  E ˆ E ^D ˆ

  − ˆ A ˆ A ^D ˆ

  A ^D ) ^q

• 1
• 1
• (( ˆ
• · · ·
• ( ˆ
• 1
>2( ˆ
• .
• .

  Stabilisasi Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif

  Sistem (3.1) dikatakan stabil jika ρ f (E, A) < 1 dimana ρ f (E, A) adalah radius spectral dari (E, A)[4]. Definisi 3.1. [4] Suatu skalar λ ∈ C adalah nilai eigen dari (E, A) jika det(λE − A) = 0.

  Radius spectral hingga ρ(E, A) dari (E, A) didefinisikan sebagai nilai eigen maksi- mum dari (E, A). Sistem (3.1) dikatakan stabil jika ρ(E, A) < 1. _{D n×n} ˆ ˆ

  Teorema 3.2. [4] Jika E A ∈ R , maka sistem deskriptor (3.1) adalah stabil

_n

• asimptotik jika dan hanya jika ada α ∈ R sedemikian sehingga

_{D n}

++ ˆ E A − I . ( ˆ )α ∈ R −− (3.2)

  4. Stabilisasi Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif Perhatikan kembali sistem deskriptor diskrit (1.1). Sebelumnya telah dipaparkan sistem (1.1) dapat distabilkan jika terdapat kontrol feedback u t = Kx t untuk suatu _m×n

  K ∈ R sedemikian sehingga sistem E x = (A + BK)x . (4.1) _{t +1 t} adalah stabil. Dengan asumsi bahwa sistem (4.1) adalah regular, yaitu det(λE −

  A − BK ) 6= 0 untuk suatu λ ∈ C, maka (4.1) menjadi ¯

  E A , x t = ˜ x t (4.2)

• 1

  dimana ₋

  1

  ¯ E

  E, = (λE − A − BK) ₋

  1

  ˜ A = (λE − A − BK) (A + BK).

  Pada Teorema 4.1 berikut diberikan syarat agar sistem (1.2) adalah stabil, posi- tif, dan regular. Teorema 4.1. [4] Diberikan sistem (1.1) dimana (E, A) adalah regular, maka pernyataan berikut ekuivalen: _m×n

  (1) ada suatu matriks K ∈ R sedemikian sehingga state feedback u t = Kx t membuat sistem Ex _{t +1 = (A + BK)x t (4.3)} menjadi positif dan stabil. _{n m}

  (2) ada λ ∈ C, ¯ x ∈ R , y , · · · , y ∈ R sedemikian sehingga syarat berikut berlaku: _{n −}

  1

  1

  (a) (λE − A − BK) ada (b) untuk i, j = 1, · · · , n, berlaku: _{n D D m}

  X ¯ ¯

  E A − I x E B y ∈ R , ( ¯ )¯ + ¯ − (4.4) _{i i n} =1 x ∈ R ,

  ¯ (4.5)

  Lili Andriani _D

  ¯ ( ¯ E A ) x + ¯b y ≥ 0, (4.6) _{j i i}

  

(i,j)

  dimana: ₋

  1

  ¯ E

  E, = (λE − A − BK) (4.7) ₋

  1

  ¯ B

  B, = (λE − A − BK) (4.8) ₋

  1

  ¯ A A

  = (λE − A − BK) (4.9) _D ¯ dan ¯b adalah baris ke-i dari matriks ¯ E B . _i

  Bukti. Dengan menggunakan Teorema 2.3 dan Teorema 2.5, pernyataan pertama ekuivalen dengan pernyataan _{D n×n D n} ¯ ˜ ˜

  E A ∈ R E A x ∈ R , dan (I − ¯ )¯ (4.10) _n ++ + x ∈ R untuk suatu ¯ . Sehingga cukup untuk membuktikan ekuivalensi antara _m×n

• pernyataan kedua dan eksistensi matriks K ∈ R sedemikian sehingga (4.10) _{T n m} x x · · · x ∈ R , , · · · , ∈ R dipenuhi. Misalkan ¯ = [x

  1 2 n ] dan y y y . _{n m×n y y y y 1 2 n i} ++

  1 2 n

  · · · Definisikan K = [k i ] = [ ] ∈ R . Karena k i = untuk i = _{i n i}

  =1 x x x x _{1 2}

  1, · · · , n ketaksamaan (4.6) ekuivalen dengan _{D D} y _i ¯ ¯ ¯

  E A + ¯b i = ¯ E A (i, j) + ¯b i k i ∈ R ,

• (i,j)

  x _i atau ekuivalen dengan _{D D D n×n} ¯ ¯ ˜

  ( ¯ E A + ¯ E BK ) = ¯ E A ∈ R . (4.11)

• Pernyataan (4.11) ekuivalen dengan kepositifan dari sistem (4.1). Selanjutnya, dari (3.2) diperoleh _{n n D D D D −}

  X X

  1

  ¯ ¯ ¯ ¯ E A − I x E B E A − I E B x x

  ( ¯ )¯ + ¯ y = [( ¯ ) + ¯ ( y )(¯ )]¯ _{i i i i}

  =1 =1 _{D D}

  ¯ ¯ = [( ¯ E A − I ) + ¯ E BK ]¯ x _D

  ˜ _{− − P n} = ( ¯ E A − I )¯ x.

  1

  1

  dimana ¯ x = diag(¯ x ) dan K ¯ x = y . Sehingga berdasarkan Teorema 3.2, _{i i =1 i} x > diperoleh ¯ 0 dan _{n D D D}

  X ¯ ¯

  ( ¯ E A − I )¯ x + ¯ E B y = ( ¯ E ( ¯ A + ¯ BK ) − I)¯ x _{i =1 i D n} ˜ _D = ( ¯ E A − I )¯ x ∈ R ₋₋

  ˜ jika dan hanya jika ¯ E A adalah stabil.

  5. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Muhafzan, Bapak Admi Nazra, Bapak Mahdivan Syafwan, Ibu Lyra Yulianti, dan Bapak Effendi yang telah mem- berikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Stabilisasi Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif

  Daftar Pustaka [1] Anton, H. 1991. Aljabar Linier Elementer. Edisi kedelapan. Jilid 1. Erlangga. [2] Berman, A. and Plemmons, R. J. 1979. Nonnegative Matrices in the Mathemat- ical Science. Academic Press, New York. [3] D. Napp, F. Tadeo, and M. Chaabane. 2014. State Feedback Positive Stabiliza- tion of Discrete Descriptor Systems, International Journal of Innovative Com- puting. Information and Control 10(5) : 1853 – 1859

  [4] E. Virnik. 2008. Stability analysis of positive descriptor system, Linear Algebra and its Applications. 429: 2640 – 2659. [5] Farina, L. dan Rinaldi, S. 2000. Positive Linear System, theory and Applications.

  John Wiley and Sons Inc., New York. [6] Kaczorek, T. 1992. Linier Control System, Vol. 1. England: Research Studies Press LTD.

  [7] L. Zhang. 2001. A characterization of the Drazin inverse, Linear Algebra and Its Applications. Vol.335, pp. 183 – 188

  [8] M.Ait Rami and D. Napp. 2012. Characterization and stability of autonomous positif descriptor system, IEEE Trans. on Automotic Control. 57(10): 2668 – 2673

  [9] M. Ait Rami and F. Tadeo. 2007. Controller synthesis for positive linear systems with bounded controls, IEEE. Trans.on Circuits and Systems-II. 54 (2): 151 – 155

  [10] S. Campbell Jr., C. D. Meyer and N. J. Rose. 1976. Applications of the Drazin Inverse to Linear Systems of Differential Equations with Singular Constant Co- efficients, SIAM Journal on Applied Mathematics. 31(3): 411 – 425

  [11] Haddad, Wassim M, Chellaboina, Qing Hui. 2010. Nonnegative and compart- mental dynamic system, Princeton University Press.