6. Algoritma Simpleks Dalam Notasi Matriks

Linear Programming
(Pemrograman Linier)
Program Studi Statistika
Semester Ganjil 2011/2012

DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Algoritma Simpleks dalam Notasi
Matriks
LP Secara umum:
max z c1 x1  c2 x2  ...  cn xn
s.t. a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn b1
a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn b2
.
.
.
.
.
.
.
.

.
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn
xi 0(i 1,2,..., n )

.
.
.
bm

LP yang bersesuaian untuk
Dakota
max z 60 x1  30 x2  20 x3  0s1  0s2  0s3
s.t. 8 x1  6 x2  x3  s1
4 x1  2 x2  1.5 x3

48
 s2

2 x1  1.5 x2  0.5 x3
x1 , x2 , x3 , s1 , s2 , s3 0

20
 s3 8

Tableau Optimal dari LP Dakota
Tableau
2
Baris 0
Baris 1
Baris 2
Baris 3

z
1
0
0
0

x1
0

0
0
1

x2
5
-2
-2
1.25

x3
0
0
1
0

s1
0
1
0

0

BV  s1 , x3 , x1

z

s2
10
2
2
-0.5

s3
10
-8
-4
1.5

NBV  x2 , s2 , s3 

Atau dalam bentuk
lain:

 5 x2

 2 x2
 2 x2  x3
x1  1.25 x2

 10s2  10 s3 280

 s1  2 s2  8s3
 2 s2  4 s3

24
8

 0.5s2  1.5s3 2

rhs

280
24
8
2

BV
z=280
s1=24
x3=8
x1=2

Beberapa Notasi
BV  s1 , x3 , x1

x BV

 s1 
 x3 
 
 x1 

NBV  x2 , s2 , s3 

x NBV

 x2 
 s2 
 
 s3 

Koefisien untuk BV pada struktur biaya di fungsi obyektif:

z 60 x1  30 x2  20 x3  0s1  0s2  0s3
c BV  0 20 60
Koefisien untuk NBV pada struktur biaya di fungsi obyektif:

c NBV  3 0 0 0

Beberapa Notasi
Koefisien untuk BV pada kendala dapat dinyatakan dalam

bentuk matriks:
8 x1  6 x2  x3

 s1

4 x1  2 x2  1.5 x3

 s2

2 x1  1.5 x2  0.5 x3

x1
1 1 8
B 0 1.5 4


0 0.5 2

x3

48
20

BV  s1 , x3 , x1

 s3 8

s1
1 
1
8
as1 0 a3 1.5  a1  4
0
0.5
 2

Beberapa Notasi
Koefisien untuk NBV pada kendala dapat dinyatakan dalam
bentuk matriks:
8 x1  6 x2  x3

 s1

4 x1  2 x2  1.5 x3
2 x1  1.5 x2  0.5 x3

x2
 6 0 0
N  2 1 0
1.5 0 1

48
 s2

20

NBV  x2 , s2 , s3 

 s3 8

s2 s3
6
 0
a2  2  as2 1
1.5
0

 0
as3 0
1

Beberapa Notasi
Koefisien untuk rhs pada kendala dapat dinyatakan dalam
bentuk vektor:
8 x1  6 x2  x3

 s1

4 x1  2 x2  1.5 x3

48
 s2

2 x1  1.5 x2  0.5 x3

 48
b  20
 8 

20
 s3 8

LP Dakota dalam notasi matriks
max z 60 x1  30 x2  20 x3  0s1  0s2  0 s3
s.t. 8 x1  6 x2  x3  s1

48

4 x1  2 x2  1.5 x3

 s2

2 x1  1.5 x2  0.5 x3

20
 s3 8

x1 , x2 , x3 , s1 , s2 , s3 0

 s1 
 x2 
max z  0 20 60  x3    30 0 0  s2 
 x1 
 s3 
1 1 8   s1   6 0 0  x2   48
s.t. 0 1.5 4  x3    2 1 0  s2   20
0 0.5 2  x1  1.5 0 1  s3   8 

 s1 
 x  0,
 3
 x1 

 x2 
 s  0
 2
 s3 

c BV  0 20 60
x BV

c NBV  3 0 0 0

 s1 
 6 0 0
 x2 
1 1 8 
 48
 x3  x NBV  s2  B 0 1.5 4 N  2 1 0 b  20
 


 


 
 x1 
1.5 0 1
 s3 
0 0.5 2
 8 

Dengan Notasi Matriks dan
vektor:
max z c BV x BV  c NBV x NBV

s.t. Bx BV  Nx NBV b
x BV , x NBV 0

Penentuan solusi dalam notasi
matriks
Solusi suatu sistem persamaan dalam notasi
matriks adalah dengan perkalian invers
matriks
Kendala LP dalam notasi matriks:

Bx BV  Nx NBV b
Solusi diperoleh jika BV mempunyai bentuk
kanonik.
Matriks bagi BV dalam bentuk matriks identitas hasil
-1
perkalian dengan invers-nya.

B B I

Mengalikan setiap suku dengan invers dari B

B-1Bx BV  B-1Nx NBV B-1b

x BV  B-1Nx NBV B-1b

Penentuan solusi dalam notasi
matriks
1
2
8
1 1 8 
Untuk LP Dakota:B 0 1.5 4


0 0.5 2



B  1 0
2
 4
0  0.5 1.5 

Dengan mengalikan invers dari B pada
kendala:
-1
-1

x BV  B Nx NBV B b

2
 8   6 0 0   x2   1
2
 8   48
 s1  1
 x   0
  2 1 0   s   0
  20
2

4
2

4
 3 

 2  
 
 x1  0  0.5 1.5  1.5 0 1  s3  0  0.5 1.5   8 
2
 8   x2   24
 s1    2
x     2
  s   8 
2

4
 3 
 2   
 x1  1.25  0.5 1.5   s3   2 

Penentuan Solusi dalam notasi
Matriks: untuk Kendala
Tableau
2
Baris 0
Baris 1
Baris 2
Baris 3

z
1
0
0
0

x1
0
0
0
1

x2
5
-2
-2
1.25

x3
0
0
1
0

s1
0
1
0
0

s2
10
2
2
-0.5

s3
10
-8
-4
1.5

rhs
280
24
8
2

2
 8   x2   24
 s1    2
x     2
  s   8 
2

4
 3 
 2   
 x1  1.25  0.5 1.5   s3   2 
-1

B aj
Kolom untuk peubah xj dalam kendala di tableau
optimal:
B-1b
Kolom untuk rhs dalam kendala di tableau optimal:

BV
z=280
s1=24
x3=8
x1=2

Perbandingan dengan Tableu
Optimal
Tableau
2
Baris 0
Baris 1
Baris 2
Baris 3

z
1
0
0
0

x1
0
0
0
1

x2
5
-2
-2
-2
-2
1.25
1.25

x3
0
0
1
0

s1
0
1
0
0

s2
10
2
2
2
2
-0.5
-0.5

s3
10
-8
-4
1.5

rhs
280
24
8
2

BV
z=280
s1=24
x3=8
x1=2

B-1a 2

Misal: Kolom untuk peubah x2 dan dalam kendala di tableau
optimal:
 2
Dengan
2
 8
1
6
cara sama
B-1a 2   2 
B  1 0
2
 4 a2  2 
untuk
 
0  0.5 1.5 
1.25
1.5
peubah
yang lain
-1

Kolom untuk peubah s2 dalam kendala di tableau optimal:
B

2
 8
1
B  1 0
2
 4
0  0.5 1.5 

 0
as2 1
0

 2 
B-1a s2  2 
  0.5

a s2

Perbandingan dengan Tableu
Optimal
Tableau
2
Baris 0
Baris 1
Baris 2
Baris 3

z
1
0
0
0

x1
0
0
0
1

x2
5
-2
-2
1.25

x3
0
0
1
0

s1
0
1
0
0

s2
10
2
2
-0.5

s3
10
-8
-4
1.5

rhs
280
24
8
2

-1
B
b
Kolom untuk rhs dalam kendala di tableau optimal:

2
 8
1
B  1 0
2
 4
0  0.5 1.5 

 48
b  20
 8 

 24
B-1b  8 
 2 

BV
z=280
s1=24
x3=8
x1=2

Penentuan solusi dalam notasi
matriks: untuk Baris Nol (fungsi
obyektif
=0

z c BV x BV  c NBV x NBV  z  c BV x BV  c NBV x NBV 0
Di dalam tableau optimal, koefisien BV harus sama
dengan nol, koefisien NBV ≠ 0
BV  s1 , x3 , x1
Tableau
2
Baris 0

z
1

x1
0

x2
5

x3
0

s1
0

s2
10

s3
10

rhs
280

Dengan memanfaatkan persamaan pada kendala:
lakukan ERO
Tambahkan kendalaBx BV  Nx NBV b
yang sudah
dikalikan dengan matriks yang bersesuaian pada
baris nol, untuk membuat jadi nol BV

Penentuan solusi dalam notasi
matriks: untuk Baris Nol (fungsi
obyektif
z  c BV x BV  c NBV x NBV 0 (*)
Kendala:

c BV B
Kalikan dengan:

Bx BV  Nx NBV b

c BV B -1Bx BV  c BV B -1Nx NBV c BV B -1b

(*) +
(**)

c BV x BV  c BV B -1Nx NBV c BV B -1b (**)

z  c BV x BV  c NBV x NBV

0

c BV x BV  c BV B -1Nx NBV c BV B -1b
_____________________________ 



-1



z  c BV B  1N  c NBV x NBV c BV B  1b

Penentuan solusi dalam notasi
matriks: untuk Baris Nol (fungsi
obyektif





z  c BV B  1N  c NBV x NBV c BV B  1b
Pada tableau optimal, koefisien NBV ≠ 0:

c BV B  1N  c NBV
Komponen dari matriks N (dan B) adalah vektor
(kolom) koefisien setiap peubah NBV (dan BV)
pada kendala: aj
Komponen dari vektor CNBV (dan CBV ) adalah
koefisien fungsi obyektif setiap peubah NBV (dan
Contoh
BV): cj LP Dakota:
c NBV  3 0 0 0
 0
 0
6
 6 0 0
 
N  2 1 0 a2  2 
1.5
1.5 0 1

as2 1
0

as3 0
1

c2

c s2

c s3

Penentuan solusi dalam notasi matriks:
untuk Baris Nol (fungsi obyektif

Secara umum koefisien baris nol pada tableau optimal
per komponen:

c j c BV B  1a j  c j

-1

c BV B b
RHS baris nol pada tableau optimal:
Contoh LP Dakota:
2
 8
1
B  1 0
2
 4
0  0.5 1.5 

Koefisien untuk x2

 0
 0
6
 
 
a2  2  as 1 as 0
1
0
1.5
2

6
 2   30
1



0
10
10
c2 c BV B a 2  c2
 
1.5

3

c BV  0 10 10
c NBV  30 0 0
c BV B  1  0 10 10

35  30 5

Penentuan solusi dalam notasi matriks:
untuk Baris Nol (fungsi obyektif
2
 8
1
B  1 0
2
 4
0  0.5 1.5 

Koefisien untuk s2

cs 2 c BV B  1a s2  cs2
Koefisien untuk s3

 0
 0
6
 
 
a2  2  as 1 as 0
1
0
1.5
2

3

 0
 0 10 10 1  0
 0

c BV  0 10 10
c BV B  1  0 10 10

c NBV  30 0 0

10  0 10

 0
cs 3 c BV B  1a s3  cs3  0 10 10 0  0 10  0 10
1
Koefisien rhs baris nol (z maks):
 48
c BV B -1b  0 10 10  20 0  200  80 280
 
 8 

Ringkasan solusi optimal dalam
notasi matriks
-1

B aj
Kolom untuk peubah xj dalam kendala di tableau
optimal:
B-1b
Kolom untuk rhs dalam kendala di tableau optimal:
Koefisien baris nol pada tableau optimal per komponen:

c j c BV B  1a j  c j
-1

c BV B b
RHS baris nol pada tableau optimal:

Contoh LP dan solusinya dengan
notasi Matriks
max z  x1  4 x2
s.t. x1  2 x2 6
2 x1  x2 8
x1 , x2 0
Diketahui solusi optimal mempunyai:
BV  x2 , s2 
Tentukan tableau optimal dengan menggunakan metode
matriks!
Bentuk standar LP:

max z  x1  4 x2
s.t. x1  2 x2  s1
2 x1  x2

6
 s2 8

x1 , x2 , s1 , s2 0

max z  x1  4 x2
s.t. x1  2 x2  s1
2 x1  x2

6
 s2 8

x1 , x2 , s1 , s2 0

BV  x2 , s2 
NBV  x1 , s1 

Di dalam tableau optimal, peubah BV pasti mempunyai
bentuk kanonik, tinggal menentukan kolom untuk
peubah NBV
Tentukan matriks/vektor yang diperlukan:

 2 0
B 

1
1



 6
b  
8 

c BV  4 0
c NBV 1 0

 12
B  1
 2
1

Kolom untuk peubah x1 dalam kendala di tableau
1
1
optimal:
0
1






-1

B a1  2
1
 2

2

1  2  32 

0
1

Kolom untuk peubah s1 dalam kendala di tableau
optimal:
 1 0  1   1 
-1

B a s1  2
1

 2

Tableau Optimal

z

2

1 0   12 

x1

x2

s1

Baris 0
Baris 1

1/2

1/2

Baris 2

3/2

-1/2

s2

rhs

Tableau Optimal

z

x1

x2

s1

s2

Baris 1

1/2

1

1/2

0

Baris 2

3/2

0

-1/2

1

rhs

Baris 0

Kolom untuk peubah BV dalam kendala di tableau optimal:
Bentuk kanonik
BV  x2 , s2 
Kolom untuk peubah
x2 :

 1
 0
 

 0
 1
 
0  2
 1
 



1  1 
 0

Kolom untuk peubah
s2 :

1

Cross cek dengan rumus:B a  2
2
 1
 2
-1

 12
B a s2  
1
 2
-1

0  0
 0
 



1  1 
 1

Tableau Optimal

z

x1

x2
0

s1

s2
0

rhs

Baris 1

1/2

1

1/2

0

3

Baris 2

3/2

0

-1/2

1

5

Baris 0

Kolom untuk rhs pada tableau optimal:
1

B-1b  2 1
 2

0 6 3
 



1 8 5

Komponen baris nol untuk BV pada tableau optimal selalu
sama dengan nol. BV  x , s 
2

2

Komponen baris nol untuk NBV pada tableau optimal
memerlukan hasil perkalian:
1


c BV B  4 0  2 1
 2
-1

0
 2 0

1

Tableau Optimal

z

x2
0

s1
2

s2
0

rhs

Baris 0

x1
1

Baris 1

1/2

1

1/2

0

3

Baris 2

3/2

0

-1/2

1

5

c BV B-1  2 0
Komponen baris nol untuk NBV pada tableau optimal:
c NBV 1 0

NBV  x1 , s1

1

c1 c BV B a1  c1  2 0
 2  1 2  1 1
 
cs1 c BV B-1a s1  cs1  2 0 1  0 2  0 2
 0
 
-1

Tableau Optimal
Baris 0

z
1

x1
1

x2
0

s1
2

s2
0

rhs
12

BV
z=12

Baris 1

0

1/2

1

1/2

0

3

x2=3

Baris 2

0

3/2

0

-1/2

1

5

s2=5

6
b  
 8
Komponen baris nol untuk rhs pada tableau optimal:

6
c BV B-1b  2 0   12
 8
 
Lengkapi kolom z
Solusi optimal:x1 0, x2 3, s1 0, s2 5, z 12(max)