Spektrum Dari Keluarga Operator Diferensial Sturm-Liouville.
Spektrum Dari Keluarga Operator Diferensial Sturm-Liouville
Sutrima
Misalkan gas ideal (polytropic gas) ditampung dalam tabung yang mempunyai sumbu simetri
dengan panjang tertentu dan kedua ujungnya tertutup. Jika tabung tersebut digerakkan sejajar
terhadap sumbunya, maka akan terjadi goncangan akibat gerakan gas itu. Timbulnya goncangan
dari gelombang gas ideal ini merupakan masalah syarat batas Sturm-Liouville (Holland, 2008).
Jika diasumsikan tabung dapat ditentukan dengan memutar grafik fungsi 𝑟∶ 0,1 →(0,∞)
mengelilingi sumbu horisontal, dan tabung diosilasi pada atau dekat frekuensi resonansi, maka
masalah Sturm-Liouville tersebut dipenuhi untuk 𝑟 𝑟 =1𝑟2(𝑟) .
Berdasarkan keluarga fungsi 𝑟 yang membangkitkan tabung dengan variabel irisan-melintang
(cross-section), tabung dibedakan menjadi dua macam, pertama adalah tabung admissible,
yaitu tabung yang mempunyai struktur geometri dapat mencegah terjadinya goncangan, kedua
adalah tabung inadmissible, yaitu tabung yang struktur geometrinya dapat memungkinkan
terjadinya goncangan.
Misalkan Γ adalah keluarga dari fungsi positif invarian pada interval (0,1). Faktanya, anggota dari
Γ adalah semua fungsi non-negatif 𝑟 yang bersama 1/𝑟 terintegral Lebesgue pada (0,1).
Didefinisikan operator diferensial Sturm-Liouville 𝑟 𝑟 , 𝑟∈Γ, spektrum dari 𝑟 dimaksudkan
adalah himpunan dari semua nilai eigen dari 𝑟(𝑟) ini. Tujuan dari penelitian ini adalah:
menentukan spektrum dari keluarga operator Sturm-Liouville 𝑟(𝑟) untuk 𝑟∈Γ, dan
mengidentifikasi tabung admissible dan tabung inadmissible berdasarkan variasi fungsi 𝑟.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa setiap fungsi 𝑟∈Γ dan refleksinya pada interval (0,1)
mempunyai spektrum yang sama, dengan 𝑟 𝑟 ⊂(0,∞). Lebih lanjut, 𝑟 dan orbitnya di bawah
pemetaan operator nonlinear 𝑟𝑟 ,𝑟≥0, juga mempunyai spektrum yang sama. Tabung yang
dibangun dengan memutar grafik dari 𝑟 𝑟 =1+𝑟𝑟, 𝑟>0 mengelilingi sumbu-𝑟 adalah tabung
admissible. Sementara itu, tabung inadmissible dapat ditentukan dengan memutar grafik dari 𝑟
𝑟 =1/(1+𝑟𝑟), 𝑟≥0 1 mengelilingi sumbu-𝑟.
Sutrima
Misalkan gas ideal (polytropic gas) ditampung dalam tabung yang mempunyai sumbu simetri
dengan panjang tertentu dan kedua ujungnya tertutup. Jika tabung tersebut digerakkan sejajar
terhadap sumbunya, maka akan terjadi goncangan akibat gerakan gas itu. Timbulnya goncangan
dari gelombang gas ideal ini merupakan masalah syarat batas Sturm-Liouville (Holland, 2008).
Jika diasumsikan tabung dapat ditentukan dengan memutar grafik fungsi 𝑟∶ 0,1 →(0,∞)
mengelilingi sumbu horisontal, dan tabung diosilasi pada atau dekat frekuensi resonansi, maka
masalah Sturm-Liouville tersebut dipenuhi untuk 𝑟 𝑟 =1𝑟2(𝑟) .
Berdasarkan keluarga fungsi 𝑟 yang membangkitkan tabung dengan variabel irisan-melintang
(cross-section), tabung dibedakan menjadi dua macam, pertama adalah tabung admissible,
yaitu tabung yang mempunyai struktur geometri dapat mencegah terjadinya goncangan, kedua
adalah tabung inadmissible, yaitu tabung yang struktur geometrinya dapat memungkinkan
terjadinya goncangan.
Misalkan Γ adalah keluarga dari fungsi positif invarian pada interval (0,1). Faktanya, anggota dari
Γ adalah semua fungsi non-negatif 𝑟 yang bersama 1/𝑟 terintegral Lebesgue pada (0,1).
Didefinisikan operator diferensial Sturm-Liouville 𝑟 𝑟 , 𝑟∈Γ, spektrum dari 𝑟 dimaksudkan
adalah himpunan dari semua nilai eigen dari 𝑟(𝑟) ini. Tujuan dari penelitian ini adalah:
menentukan spektrum dari keluarga operator Sturm-Liouville 𝑟(𝑟) untuk 𝑟∈Γ, dan
mengidentifikasi tabung admissible dan tabung inadmissible berdasarkan variasi fungsi 𝑟.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa setiap fungsi 𝑟∈Γ dan refleksinya pada interval (0,1)
mempunyai spektrum yang sama, dengan 𝑟 𝑟 ⊂(0,∞). Lebih lanjut, 𝑟 dan orbitnya di bawah
pemetaan operator nonlinear 𝑟𝑟 ,𝑟≥0, juga mempunyai spektrum yang sama. Tabung yang
dibangun dengan memutar grafik dari 𝑟 𝑟 =1+𝑟𝑟, 𝑟>0 mengelilingi sumbu-𝑟 adalah tabung
admissible. Sementara itu, tabung inadmissible dapat ditentukan dengan memutar grafik dari 𝑟
𝑟 =1/(1+𝑟𝑟), 𝑟≥0 1 mengelilingi sumbu-𝑟.