PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL DAN METAGAME TANPA KERJASAMA

Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika

Disusun oleh: PUJI ASTUTI NIM : 023114031 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

TWO-PERSON NON-ZERO-SUM GAMES AND

METAGAME WITHOUT COOPERATION

Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

To Obtain the SARJANA SAINS Degree In Mathematics

by:

PUJI ASTUTI

Student number : 023114031

MATHEMATICS DEPARTMENT

SAINS AND TECHNOLOGY FACULTY

Percayalah pada Tuhan dengan segenap hatimu, dan janganlah bersandar pada pergertianmu sendiri.

Amsal 3:5 Kupersembahkan Skripsiku ini kepada :

Tuhan Yesus Kristus yang senatiasa menyertaiku,sumber harapan dan kekuatanku.

Kedua orang tuaku atas cinta dan doa yang tiada henti.

Mas Sun, Mbak Asih, Nug, dan Bowo.

Punyailah iman yang dapat melihat kesempatan dalam kesulitan,

dan bukan melihat kesulitan dalam kesempatan.

Yakinilah dibalik semua kesulitan ada rencana indah yang Tuhan telah siapkan.

-nn-

Seribu kata tidak akan meninggalkan kesan yang begitu dalam

dibandingkan dengan satu perbuatan.

-Henrik Ibsen-

Selalu ada jalan untuk melakukan yang lebih baik. Temukanlah !

-Thomas Alfa Edison-

Letakkan segala sesuatunya pada Tuhan sehingga Dia mengambil alih

semuanya. Kerjakan bagianmu dengan baik, maka Dia akan mengerjakan

bagian dengan sangat baik.

ABSTRAK

Permainan dua orang berjumlah tidak nol merupakan permainan yang dilakukan oleh dua pemain dengan hasil permainan salah satu pemain tidak selalu negatif dari hasil permainan pemain yang lain. Hasil permainan dari permainan tersebut merupakan suatu pasangan ekuilibrium. Pasangan ekuilibrium dari permainan tersebut dapat dibentuk dengan mencari hasil yang optimal dari strategi-strategi campuran yang digunakan masing-masing pemain. Cara lain yang dapat digunakan adalah dengan metode Swastika, yaitu menentukan peluang dari masing-masing strategi sehingga diperoleh nilai permainan harapan dari para pemainnya.

Metagame tanpa kerjasama untuk dua pemain merupakan permainan yang strateginya didasarkan pada permainan yang sedang berlangsung. Hal ini karena penyelesaian permainan yang didasarkan pada teori permainan hasilnya tidak selalu sama dengan permainan yang sedang terjadi. Strategi salah satu pemain merupakan fungsi reaksi untuk strategi pemain lainnya. Dari strategi tersebut dapat ditentukan hasil rasional untuk masing-masing pemain. Pasangan ekuilibrium dari metagame didapatkan melalui irisan hasil rasional dari masing- masing pemain.

ABSTRACT

Two-person non-zero-sum games is a game with two players and the outcomes of one player is not always negative from the other player’s outcomes. The outcomes of the game is an equilibrium pairs. The equilibrium pairs from the game can be determined by finding the optimal outcomes from mix strategies which is used by each player. Another way can be used is Swastika method, which determines probability of each strategy so it gains the expected value of the game.

Metagame without cooporation for two players is a games which is based on the actual game being played . It is because the game solving is based on the game theory which the outcomes is not always the same with the playing game. These are games where the players strategies are really reaction functions to the other players strategies. From the strategy it can be determine the rational outcomes for each player. The equilibrium pairs from metagame is gained from each players rational outcomes section.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, atas berkat dan kasih karunia yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang bejudul ” Permainan Dua Orang Berjumlah Tidak Nol Dan Metagame Tanpa Kerjasama”.

Dalam proses penulisan skripsi ini banyak hambatan yang dialami oleh penulis. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi dan selaku ketua program studi Matematika FST USD Yogyakarta yang telah memberikan banyak saran dan yang telah meluangkan waktu, pikiran, nasihat, tenaga, serta memberikan kesabarannya sehingga penulis dapat sampai pada tahap penyusunan skripsi ini. (matatih buangeeeet ya bu….. :))

2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dekan FMIPA dan dosen pembimbing akademik yang telah memberikan bimbingan, saran, nasehat, dan dukungan selama ini.

3. Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., BST., M.A., M.Sc. Selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.

5. Mas Tukijo , Ibu Suwarni dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi dan urusan – urusan akademik kepada penulis selama masih kuliah.

6. Romo Dr. Frans Susilo, SJ, selaku kepala perpustakaan yang telah menyediakan fasilitas dan kemudahan selama penulis kuliah.

7. Perpustakaan USD dan Staf yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

8. Bapak dan ibu tercinta : Ibu Karpini dan Bapak Basuki yang selalu mendoakan penulis dan memberikan dukungan yang tak pernah berhenti dalam segala hal.

9. Mas Sun, Mbak Narsih, Sinuk, Bowo, Mas Sugeng, Mbak Ari dan sikecil Lintang terima kasih buat persaudaraan ini semoga kita dapat selalu menjaganya. Tuhan berkati kita.

10. Albertus Aan Oky Dwi Hatmoko yang telah memberikan banyak cinta, pengertian, waktu, kesabaran, nasehat, semangat (cayo-cayo ijup......:), perhatian, serta kasih sayangnya kepada penulis. Terima kasih buat doa yang tiada henti untuk penulis, saran, pengetahuan, kebersamaan dan kenangan indah yang telah diberikan kepada penulis.

11. Saudara dan sahabat penulis : Yulita, Minul, Ika, Teguh, Mas Wawan, Mas Aga terima kasih untuk kesempatan hidup yang Tuhan berikan sehingga penulis bisa lalui bersama kalian, terima kasih untuk doa dan

12. Aan, Bani, Taim, Markus, Galih, Tato, (genk mawut) terima kasih atas persahabatan, kenangan, dukungan, semangat, dan perjalanan hidup yang sangat berarti yang kalian berikan untuk penulis (kapan bisa main bareng- bareng lagi.....???). Untuk Ridwan dan Katrin (asyik bisa main bareng kalian).

13. Teman – teman Kost ‘ICHA’, mbak Nia, Lusae, Via, Indri, Tecca, Tiehna, Ratih, Cicil, Siane, Ana, Erita dan untuk teman dikost baru Yemima terima kasih buat keceriaan yang boleh dibagi bersama penulis.

14. Teman – teman angkatan 2002, Amelia, Lenta, Debby, Priska, Retno, Sari, Vida, Lili, Dani, Ika, Feliks, Archi, Aning, Desi, Deon, Nunung, Chea, Wuri, Rita, Asih, dan Palma yang sudah memberikan segala keceriaan dalam melewati kebersamaan selama di Matematika USD.

15. Seluruh teman – teman di Prodi Matematika, kakak angkatan dan adik angkatan.

16. Teman – teman KKN: Angga, Wiwik, Lisna, Suko, Suro, Beny, Mina, dan Tyas yang memberi warna hidup yang baru selama KKN.

17. Teman – teman di Persekutuan Ekklesia Blok 8, terima kasih untuk doanya sehingga penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.

18. Pak Mardi dan Ibu yang memberikan nasehat, pengalaman hidup, dan semangat.

19. Kost Kodok Ijo : Didit, Topan, Sumin, Bayu yang memberi keceriaan.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak disebutkan di sini.

Yogyakarta, Januari 2008 Penulis

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL…………………………………………………….... i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ……………………. ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………... iii HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………….. iv HALAMAN PERSEMBAHAN ………………………………….............. v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ………………………………….. vii ABSTRAK……………………………………………………………….. viii ABSTRACT……………………………………………………………… ix LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA

ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ……………………... x KATA PENGANTAR …………………………………………………… xi DAFTAR ISI…………………………………………………………….. xv

BAB I PENDAHULUAN………………………………………………

1 A. Latar Belakang………………………………………………. 1

B. Rumusan Masalah…………………………………………… 3

C. Pembatasan Masalah………………………………………... 4

D. Tujuan Penulisan……………………………………………. 4

E. Metode Penulisan………………………………………….... 4

F. Manfaat Penulisan…………………………………………... 5

A. Permainan Berjumlah Tidak Nol……………………………. 7

B. Permainan Tanpa Kerjasama..……………………………..... 7

C. Strategi Campuran………………………………………… 15

D. Teorema Nash……………………………………………... 21

E. Metode Swastika Untuk Menemukan Pasangan Ekuilibrium 28

BAB III METAGAME TANPA KERJASAMA UNTUK DUA PEMAIN 48 A. Metagame dan Metaekuilibria………….………………… 49 B. Teorema Metarasionalitas..………………………………... 65 C. Simetri Metaekuilibria…………………………..…………. 78 D. Analisis Pilihan………………...…………………………. 81 E. Analisis Pilihan Yang Berlaku Untuk Strategi Pasar……… 84 BAB IV PENUTUP…………….……………………………………... 103 DAFTAR PUSTAKA………………………………………………….. 106

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai kegiatan-kegiatan yang bersifat kompetitif yang diwarnai dengan suatu keadaan persaingan (konflik). Persaingan ini dapat dilakukan diantara dua orang atau sejumlah orang (grup). Persaingan ini dapat disebut sebagai suatu permainan (game). Dari persaingan

yang banyak terjadi dalam kehidupan sehari-hari, muncullah sebuah Teori Permainan.

Teori Permainan diperkenalkan untuk pertama kalinya oleh seorang ahli Matematika bangsa Perancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921. Pada tahun 1928 barulah John Von Neumann berhasil untuk pertama kalinya menganalisis dan menyatakan pembuktian dari Teorema Minimax, yang mencakup prinsip dasar tentang minimisasi dari kerugian (kekalahan) maksimum, yang menjadi teorema dasar dalam teori permainan. Teori permainan dikenal kembali setelah muncul karya bersama yang gemilang dari John Von Neumann dan Oscar Morgestern seorang ahli ekonomi pada tahun 1944. Pada tahun yang hampir bersamaan, yaitu pada tahun 1947, saat John Von Neumann dan Oscar Morgestren sedang mempublikasikan karyanya, tampil juga pengembangan dan penggunaan program linear oleh George Dantzig. Dari sini kemudian mendapatkan perhatian yang begitu besar dan digunakan pada bidang ekonomi, politik , olahraga, militer, dan bidang-bidang lainnya.

Masih banyak kegiatan-kegiatan lain yang bersifat kompetitif , namun tidak setiap keadaan persaingan dapat disebut sebagai permainan, hanya persaingan yang memenuhi kriteria atau ciri-ciri tertentu saja yang dapat disebut sebagai permainan. Kriteria atau ciri-ciri tersebut adalah:

1. Terdapat persaingan kepentingan diantara pemain (pelaku).

2. Jumlah pemain terbatas.

3. Setiap pemain mempunyai sejumlah pilihan atau tindakan yang terbatas yang disebut strategi.

4. Aturan permainan di dalam memilih tindakan diketahui oleh setiap pemain.

5. Hasil permainan dipengaruhi oleh tindakan-tindakan yang dibuat oleh semua pemain. Hasil untuk seluruh kombinasi tindakan yang mungkin dilakukan tersebut dapat didefinisikan secara numeris. Permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada faktor-faktor tertentu. Salah satunya adalah jumlah keuntungan atau kerugian dari pemain yang diklasifikasikan sebagai permainan berjumlah nol (zero-sum game) dan permainan bejumlah tidak nol (non zero-sum game). Faktor yang lain dapat ditentukan dari adanya kerjasama yang dilakukan dalam permainan tersebut yang diklasifikasikan dalam permainan dengan kerjasama dan permainan tanpa permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama. Permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama merupakan permainan yang hasil permainannya bukan merupakan negatif dari hasil pemain lainnya dan dalam permainan tersebut tidak terdapat kerjasama diantara para pemainnya.

Penyelesaian dalam permainan terkadang membuat hasil yang diperoleh tidak seperti yang diperkirakan. Dapat diasumsikan bahwa setiap pemain mencoba memprediksikan strategi apa yang akan digunakan oleh lawannya. Hal ini akan menuju pada hasil nyata yang stabil dimana masing-masing pemain dapat memprediksikan dengan tepat strategi yang digunakan dan hasil yang akan dicapai oleh pemain lain.

Metagame merupakan pengembangan dari Teori Permainan, dimana metagame adalah strategi permainan yang titik ekuilibriumnya didapat berdasarkan pada permainan yang sebenarnya. Metagame merupakan permainan yang strategi para pemainnya benar-benar merupakan reaksi untuk strategi pemain lain. Dalam metagame setiap pemain memberikan reaksi untuk strategi yang dipilih oleh pemain lainnya.

B. Perumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Bagaimana penyelesaian permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama? kerjasama untuk dua pemain?

3. Bagaimana aplikasi Metagame dalam penggunaannya pada Strategi Pasar?

C. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut :

1. Teori permainan yang dibahas hanya yang terkait langsung dengan permasalahan dalam permainan berjumlah tidak nol.

2. Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi pada permainan tanpa kerjasama, dimana hanya terdapat dua pemain dalam setiap permainan.

3. Strategi permainan yang digunakan terbatas.

D. Tujuan Penulisan

Skripsi ini bertujuan untuk :

1. Merumuskan model matematika untuk setiap masalah dalam suatu permainan.

2. Menyelesaikan permainan dengan menggunakan Metagame untuk dua pemain berjumlah tidak nol, sehingga setiap pemain dapat memprediksi dengan tepat strategi dan hasil yang dicapai oleh para pemain lain.

E. Metode Penulisan

Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan baru.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah agar penulis dan pembaca mengetahui cara menyelesaikan suatu masalah permainan dengan Metagame.

G. Sistematika Penulisan

Bab I. Pendahuluan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai latar

belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini.

Bab II. Permainan Dua Orang Berjumlah Tidak Nol. Pada bagian ini

akan dibahas mengenai permainan tidak berjumlah nol, permainan tanpa kerjasama, strategi campuran, Teorema Nash, dan penyelesaian permainan menggunakan metode Swastika untuk menemukan pasangan ekuilibrium.

Bab III. Metagame Tanpa Kerjasama Untuk 2 Pemain. Pada bagian

ini akan dibahas mengenai metagame dan metaekuilibria, teorema metarasionalitas, simetri metaekuilibria, analisis pilihan, dan analisis pilihan yang berlaku untuk strategi pasar.

Bab IV. Penutup. Pada bagian ini berisi mengenai kesimpulan dan saran.

BAB II PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL Teori permainan (game theory) adalah bagian dari ilmu pengetahuan yang

berkaitan dengan pengambilan keputusan pada saat dua pihak atau lebih berada dalam kondisi persaingan atau konflik. Pihak-pihak tersebut selanjutnya disebut sebagai pemain. Para pemain yang bersaing diasumsikan bersifat rasional dan cerdas, artinya masing-masing pemain akan melakukan strategi atau tindakan yang rasional untuk memenangkan persaingan tersebut, dan masing-masing pemain juga mengetahui strategi pemain lawannya.

Model-model teori permainan dapat diklasifikasikan dalam beberapa cara, bergantung pada faktor-faktor berikut : banyaknya pemain, jumlah keuntungan dan kerugian, dan adanya kerjasama yang dilakukan dalam permainan. Sebagai contoh, jika banyaknya pemain adalah dua (baik individu maupun kelompok) maka permainannya disebut sebagai permainan dua pemain (two-person game). Jika banyaknya pemain adalah n pemain maka permainannya disebut sebagai permainan n pemain (n person game). Jika hasil permainan untuk salah satu pemain merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain lainnya, maka permainannya disebut sebagai permainan berjumlah nol (zero-sum game).

Sebaliknya, jika hasil dari permainannya bukan merupakan negatif dari hasil pemain lainnya, maka permainannya disebut sebagai permainan berjumlah tidak kerjasama dan permainan tanpa kerjasama. Dalam penulisan ini hanya akan dibahas mengenai permainan berjumlah tidak nol tanpa kerjasama.

A. Permainan berjumlah tidak nol

Pada permainan berjumlah nol untuk dua pemain hasil permainan untuk salah satu pemain merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain lainnya.

Untuk permainan berjumlah nol n pemain, penjumlahan dari hasil permainan pemain 1 sampai pemain n harus sama dengan nol.

Pada permainan berjumlah tidak nol untuk dua pemain, hasil dari permainan untuk pemain 1 bukan merupakan negatif dari hasil permainan untuk pemain 2. Tetapi hasil permainannya dapat ditulis sebagai pasangan, misalkan (A,B), dengan A adalah hasil dari pemain 1 dan B adalah hasil dari pemain 2.

Untuk permainan n pemain tidak berjumlah nol maka hasil permainannya dapat ditulis sebagai pasangan ( A , A ,..., A ) dengan A masing-masing adalah hasil ₁ _{2 n i} dari pemain i.

B. Permainan Tanpa Kerjasama

Dalam permainan berjumlah tidak nol, jika diantara pemainnya tidak diperbolehkan melakukan komunikasi atau tidak boleh saling berhubungan satu dengan yang lainnya, maka permainan tersebut dapat disebut dengan permainan

tanpa kerjasama. Karena tidak ada kerjasama antara para pemainnya maka dinyatakan dengan sebuah matriks yang strategi-strategi pemainnya dinyatakan dengan baris dan kolom dalam matriks yang bersangkutan.

Definisi 2.2.1

Strategi murni adalah satu-satunya strategi yang digunakan dalam suatu

permainan.

Permainan yang menggunakan dua atau lebih strategi murni disebut dengan permainan yang menggunakan strategi campuran.

Definisi 2.2.2

Misalkan x dan y masing-masing adalah strategi yang digunakan pemain 1 dan pemain 2, maka hasil untuk pemain i dapat dituliskan sebagai

e (x,y) _i Hasil permainan merupakan hasil terbaik yang diperoleh kedua pemain.

Definisi 2.2.3

Matriks hasil adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil

permainan dari setiap pemain yang bersesuaian dengan strategi yang digunakan para pemain. Umumnya elemen baris ke-i kolom ke-j bersesuaian dengan hasil permainan pemain 1 bila menggunakan strategi i dan pemain 2 menggunakan strategi j.

Contoh 2.2.1

Misalkan suatu permainan dengan dua pemain, dengan pemain 1 menggunakan strategi ( x , x ) dan pemain 2 menggunakan strategi ( y , y ) . Maka matriks hasil ₁ ₂ ₁ ₂ untuk pemain 1 tersebut dapat dituliskan sebagai berikut : Strategi pemain 2

y y ₁ ₂ Strategi e x , y e x , y x ( ) ( ) _{1 i}

₁

_{1 i} ₁ ₂

pemain 1

x e ( x , y ) e ( x , y ) _{2 i}

₂

_{1 i} ₂ ₂ Definisi 2.2.4

Misalkan suatu hasil permainan dituliskan dengan e x , y . Jika hasil e x , y

( i j ) ^{1 ( i j )}

merupakan keuntungan dari pemain 1 maka paling tidak pemain 1 mendapatkan hasil min e x , y untuk sebarang strategi yang digunakan pemain 2. Kriteria _{y {} _j _{1 ( i j ) }}

maksimin adalah memilih strategi x yang memaksimalkan hasil tersebut di atas,

_i yakni v = max min e x , y . _{L x y {} _{i j} _{1 ( i j ) }} Definisi 2.2.5

Misalkan suatu hasil permainan dituliskan dengan e x , y . Jika hasil e x , y

( i j ) ^{2 ( i j )}

minimaks adalah memilih strategi y yang meminimumkan hasil tersebut di atas,

_j yakni v = min max e x , y . _{U y x} _{j i} { ( ) } _{2 i j} Definisi 2.2.6

Nilai maksimin adalah hasil dari permainan yang diperoleh dengan

memaksimumkan minimum keuntungan dari strategi baris yang dimainkan pemain 1.

Nilai minimaks adalah hasil dari permainan yang diperoleh dengan

meminimumkan maksimum kerugian dari strategi kolom yang dimainkan pemain 2.

Definisi 2.2.7

Titik sadel merupakan titik keseimbangan dari suatu permainan dengan nilai

maksimin sama dengan nilai minimaks.

Suatu permainan yang hanya menggunakan strategi murni mempunyai titik sadel.

Definisi 2.2.8

_* Misalkan permainan yang dimainkan oleh dua pemain. Saat pemain 1 _* menggunakan strategi x , yaitu strategi yang terbaik dari pemain 1. Dan saat pemain 2 menggunakan strategi y , yaitu strategi yang terbaik dari pemain 2. _{* *}

Contoh 2.2.2 (Permainan Prisoner’s Dilemma)

Dua orang ditangkap polisi karena mencuri barang milik orang lain. Kemudian dilakukan wawancara secara terpisah oleh polisi. Mereka berdua tahu jika mereka tetap diam maka polisi tidak mendapatkan cukup bukti untuk menghukum mereka atas pencurian tersebut, dan mereka hanya mendapatkan satu tahun hukuman penjara karena perbuatan mereka. Jika mereka berdua mengakui bahwa mereka mencuri, maka masing-masing mendapatkan sembilan tahun hukuman penjara.

Jika salah satu mengakui dan yang lain tetap diam, maka yang mengakui menjadi bukti dan akan dibebaskan, sedangkan yang tetap diam akan mendapatkan hukuman sepuluh tahun penjara. Apa yang sebaiknya mereka lakukan?

Penyelesaian :

Dalam permainan ini strategi murni yang digunakan pemain 1 adalah A

1 =

mengakui dan A = tidak mengakui. Sedangkan strategi pemain 2 adalah B =

mengakui dan B

2 = tidak mengakui. Misalkan banyaknya hukuman dinyatakan

dengan –n tahun, maka matriks hasil dari permainan di atas dapat dituliskan sebagai berikut : _{B B} Pemain 2 B

1 : Mengakui B 2 : Tidak mengakui

Pemain 1 A

1 : Mengakui (-9,-9) (0,-10)

A : Tidak mengakui (-10,0) (-1,-1)

2 Jika keduanya mengakui mencuri berarti strategi yang digunakan adalah

( A , B ) dan masing-masing akan mendapatkan hukuman 9 tahun penjara,

₁

dituliskan dengan e ( A , B ) = − ₁ ₁ 9 dan e ( A , B ) = − ₂ ₁ 9 . Jika keduanya tidak mengakui mencuri berarti strategi yang digunakan adalah ( A , B ) dan setiap ₂ ₂ pemain akan mendapatkan hukuman 1 tahun penjara dituliskan dengan

e ( A , B ) = − ₁ ₂ 1 dan e ( A , B ) = − ₂ ₂ 1 . Jika salah satu mengakui dan yang lain tidak

mengakui mencuri berarti yang mengakui akan dibebaskan dan yang tidak mengakui akan mendapatkan hukuman 10 tahun penjara, dengan demikian strategi yang digunakan adalah ( A , B ) dan ( A , B ) dan hasilnya dapat dituliskan ₁ ₂ ₂ ₁ dengan e ( A , B ) = , e ( A , B ) = − ₁ ₁ ₂ ₂ 10 dan e ( A , B ) = − ₁ ₂ 10 , e ( A , B ) = . ₂ ₁ Akan dicari penyelesaian permainan tersebut, yaitu dengan cara mencari nilai minimaks dan nilai maksimin untuk setiap pemain. Matrik hasil untuk pemain 1 adalah:

Minimum baris

B B ₁ ₂

-9

→ maks

A ₁

10
10 -1

A ₂ Maksimum -9

kolom ↓ min

-9
9

₂

10 Maksimum -9
¹ A ₂ A ₁ 10 -1 kolom

{ }

permainan untuk pemain 2 adalah

( ) { } _{U j i x y} , max min y x e v _{i j} ₂ = hasil

Dengan menggunakan kriteria minimaks

)

− − − − − − = = _i _{j j i} _{j i} _x _{y y x} _{L j i y x} y x e v

, min max ₁ − − = − − − =

, 10 ,

10 min dan

9 , 9 min max
9 max , 1 , 1 ,
9 , 10 dan 9 ,
( ) ( ) { } ( ) { } 9 ,
( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( { }
Minimum baris
hasil permainan untuk pemain 1 adalah
( ) { } j i y x L , min max y x e v _{j i} ₁ =
Akan dicari penyelesaian permainan Prisoner’s Dilemma menggunakan kriteria maksimin dan kriteria minimaks. Dengan menggunakan kriteria maksimin
permainan ini. Maka penyelesaian dari permainan ini adalah jika kedua pemain saling mengakui bahwa mereka mencuri.
} − − = B A e B A e dan ini merupakan titik ekuilibrium dari
( ) ( ) { , 9 } , , { 9 , ₁ ₁ ₂ ₁ ₁ ₁
mempunyai titik sadel. Hasil permainan untuk kedua pemain dinyatakan dengan
9 , ₁ ₁ ₂ − = B A e dan juga
↓ min Dengan demikian hasil permainan untuk pemain 2 ( )
→ maks
( ) { } , max min ₂ = _{i j} _{U j i x y} y x e v
Dapat dilihat bahwa hasil permainan dengan menggunakan kriteria maksimin sama dengan hasil permainan dengan menggunakan kriteria minimaks, yaitu
v = v = ({ − _{L U} 9 , − 9 )} . Maka permainan Prisoner’s Dilemma tersebut mempunyai titik ekuilibrium karena v v . _{L U} =
_* Definisi 2.2.9
Dalam permainan tanpa kerjasama untuk n pemain, misalkan x adalah strategi _i _{* *} campuran yang digunakan oleh pemain i. n pasang strategi campuran x , x ,...,
_* ₁
₂

x , adalah n pasang ekuilibrium untuk strategi campuran jika untuk semua
_n
strategi – strategi yang lain, yaitu y , y ,…, y berlaku : _{* * * * * * *} ₁ _{2 n}
e x , x ,..., x ,..., x ≥ e x , x ,..., y ,..., x , _i ₁ _{2 i n i} ₁ _{2 i n ≤ i ≤ n .}
1
( ) ( ) Definisi 2.2.10
Misalkan pada permainan yang dimainkan oleh dua pemain, X adalah himpunan strategi campuran untuk pemain 1, Y adalah himpunan strategi campuran untuk
_{* *} pemain 2. Suatu pasangan strategi x ∈
X , y ∈ Y adalah pasangan ekuilibrium
untuk permainan tidak berjumlah nol jika untuk setiap x ∈
_{* * *} X , y ∈ Y :
e x, y ≤ e x , y ₁ ₁ ( ) ( ) _{* * *} e x , y e x , y _{2 ( ) (} ≤ _{2 )} _{* * * *}
Dengan e x , y adalah hasil untuk pemain 1 dan e x , y adalah hasil untuk _{1 ( )} _{2 ( )}
Contoh 2.2.3
Dari permainan Prisoners Dilemma pada contoh 2.2.2 didapatkan pasangan _{* * * *} ekuilibrium e x , y , e x , y = { − ₁ ₂ 9 , − 9 } . { −
9 , − 9 } adalah pasangan ekuilibrium { ( ) ( ) }
untuk permainan tidak berjumlah nol tersebut jika untuk setiap x ∈
X , y ∈ Y
berlaku : _{* * *}
e x, y e x , y ₁ ≤ ( ) ( ) ¹ _{* * *} e x , y e x , y ₂ ≤ ₂
( ) ( )
Dari permainan pada contoh 2.2.2 tersebut didapatkan hasil untuk pemain 1
^* ^*
adalah e x , y = − ₁ 10 dan hasil untuk pemain 2 adalah e x , y = − ₂ 10 . Didapatkan
( ) _{* * *} ( )
untuk pemain 1 berlaku e x , y ≤ e x , y ≡ − ₁ ₁ 10 < − 9 dan untuk pemain 2
_{* * *} ( ) ( )
berlaku e x , y ≤ ≡ − < − ₂
e x , y ₂
10 9 . Maka menurut definisi 2.2.9 untuk
( ) ( ) _{* * *}
permainan Prisoners Dilemma berlaku e x , y e x , y
10 9 dan _{* * *} _{1 ( ) (} ≤ ≡ − < − _{1 )}
e x , y ≤ e x , y ≡ − _{2 ( ) (} _{2 )} 10 < − 9 . Dengan pasangan ekuilibriumnya adalah { − 9 , − 9 } .
C. Strategi Campuran
Von Neumann menyarankan salah satu cara untuk menyelesaikan kasus dimana v ≠ v dengan menggunakan strategi campuran. Suatu strategi campuran _{L U} terdiri atas seni percobaan acak setiap waktu dalam permainan tersebut dan untuk
Contoh 2.3.1 (Permainan Poker sederhana)
Dalam permainan Poker yang sederhana strategi yang digunakan para pemain akan ditunjukkan dalam tabel berikut : Strategi
Pemain 1 Pemain 1 percaya ketika pemain 2 berkata ’Ace’
I ₁ Pemain 1 tidak percaya ketika pemain 2 berkata ’Ace’
I ₂ Pemain 2 Pemain 2 berkata ’Two’ ketika mempunyai ’Two’
II ₁ Pemain 2 berkata ’Ace’ ketika mempunyai ’Two’
II ₂ Dari strategi di atas akan didapatkan hasil permainan sebagai berikut.
Jika pemain 1 menggunakan strategi
I dan pemain 2 menggunakan strategi ₁ II , ₁
maka pemain 1 akan mendapatkan -1 jika pemain 2 menunjukkan ’Ace’. Tetapi jika pemain 2 menunjukkan ’Two’ maka saat itu juga pemain 1 mendapatkan +1. ₁ ₁ Harapan mendapatkan ’Ace’ adalah dan harapan mendapatkan ’Two’ juga , ₂ ₂ ¹ ¹
1 . ( ) − ₂ 1 . = . ₂ Jika pemain 1 menggunakan strategi
maka nilai yang diharapkan adalah
I dan pemain 2 menggunakan strategi ₁ II , ₂ maka pemain 1 mendapatkan nilai -1.
Jika pemain 1 menggunakan strategi
I dan pemain 2 menggunakan strategi ₂ II , ₁
maka ketika pemain 2 menunjukkan ’Ace’ pemain 1 kalah -2. Jika pemain 2
Yang terakhir jika pemain 1 menggunakan strategi
I dan pemain 2 ₂
menggunakan strategi
II , maka pemain 1 akan mendapatkan -2 ketika pemain 2 ₂
mendapatkan ’Ace’. Tetapi jika kartu tersebut adalah ’Two’ maka pemain 1 ¹ + mendapatkan +2. Kemudian, nilai harapannya adalah . − ₂ 2 . ¹ ₂ 2 = .
Maka matriks hasilnya dapat ditunjukkan sebagai berikut : Pemain 2
II
₁
II ₂ I 0 -1 ₁
₁
Pemain 1
I
₂ ₂ Dalam permainan Poker, pemain 1 akan melempar koin untuk menentukan strategi yang akan digunakan. Apabila muncul ”kepala” maka yang digunakan
adalah strategi . Dan bila muncul ”ekor” maka akan menggunakan strategi
I ₁ I . ₂ Probabilitas pemain 1 menggunakan strategi dan strategi ₁ I ₁ I masing-masing ₂ adalah . ₂ Hasil permainan dari matriks di atas menunjukkan jika pemain 2 menggunakan strategi
II maka peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi ₁ I adalah ₁ ₁
0 dan peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi I adalah - . ₂ ₂ Sedangkan, jika pemain 2 menggunakan strategi
II maka peluang pemain 1 menang jika menggunakan strategi
I adalah -1. Dan jika menggunakan strategi ₁ I adalah 0. ₂ Hasil yang diharapkan pemain 1 jika pemain 2 menggunakan strategi ₁ ₁ ₁ ₁ II adalah ₁
(0 x ) + (- x ) = - . Dan hasil yang diharapkan pemain 1 jika pemain 2 ₂ ₂ ₂ ₄ ₁ ₁ ₁ menggunakan strategi
II adalah (-1 x ) + (0 x ) = - . Dalam permainan ₂
₂
₂ ₂
tersebut digunakan strategi campuran, yakni pemain 1 menggunakan strategi campuran (
I , I ) dan pemain 2 menggunakan strategi campuran ( ₁ ₂ II , II ) . ₁ ₂ Strategi murni adalah satu-satunya strategi yang digunakan dalam suatu
permainan. Misalkan pemain 1 mempunyai n strategi murni, susunan strategi campuran X bisa dinyatakan dengan n-tuple x = ( x , x ,..., x ) dimana ₁ _{2 n}
x ≥ , i = 1,2,..., n , dan _i _n x = _i 1 (2.3.1) ∑ _{i =} ₁ Persamaan (2.3.1) digunakan untuk menentukan strategi campuran dan setiap strategi murni dalam strategi campuran tersebut mempunyai probabilitas x . _i
Sedangkan jika pemain 2 mempunyai m strategi murni, susunan strategi campuran

Y bisa dinyatakan dengan m-tuple y y , y ,..., y dimana y , i 1,2,..., m ,
= ( ) ≥ = ₁ _{2 m i} dan _m
y = _i 1 (2.3.2) ∑ _i ₁
= Apabila pemain 1 memainkan strategi x x , x ,..., x dan pemain 2 = ( ) ₁ _{2 n} memainkan strategi y = y , y ,..., y hasil yang diharapkan untuk pemain 1
( ) ₁ _{2 m}
adalah : _{m n}
e ( ) x , y = x e y (2.3.3) _{1 i ij j} ∑∑ _{j =} _{1 i =} ₁ Contoh 2.3.2
Dalam permainan Poker yang sederhana, misalkan pemain 1 memainkan strategi
x = x , 1 − x dan pemain 2 memainkan strategi y = y , 1 − y , dan matriks hasilnya ( ) ( )
adalah Pemain 2

II

₁
II ₂ y 1-y
Pemain 1 x 0 -1
I ₁
I 1-x
₂
₂
¹ Nilai harapan hasil pemain 1 adalah e x , y . xy
1 . x 1 y 1 x y 1 x 1 y ₁ ( ) = − ( − ) ( − − ) ( − )( − ) ₁ ₁ ₂
¹
= xy − + x − y xy (2.3.4) ₂ ₂ ¹ ³
= − − ₂ ₂
x y xy
1
²
¹ Jika pemain 1 memainkan strategi x , , yakni x artinya bahwa pemain 1 ₃ ₃ ₁ ₃
= =
( )
bermain dengan menggunakan strategi
I kali banyaknya permainan yang dia ₁
₃
lakukan. Maka dari persamaan (2.3.4) diperoleh ₁
e ( x *, y ) = − , untuk semua y ∈ Y (2.3.5) ₁ ₃ Hal ini secara tidak langsung menyatakan bahwa pemain 1 yakin hasilnya paling ₁ sedikit − jika memainkan * x . Artinya bahwa dia akan kalah paling tidak ₁ ₃ adalah . ₃ ₂ ₁ ₂ Jika pemain 2 memainkan y = , , yakni y = artinya pemain 2 bermain ₃ ₃ ₂ ₃ ( )
dengan menggunakan strategi
II adalah kali jumlah permainan yang ₁ ₃
dimainkannya. Maka dari persamaan (2.3.4) memberikan ₁
e ( x , y ) = − , untuk semua x ∈ * ₁ ₃ X (2.3.6)
Jadi, jika pemain 2 memainkan y dia meyakinkan pemain 1 bahwa pemain 1
₁ tidak dapat memperoleh hasil lebih dari − dengan strategi apapun yang ₁ ₃ dimainkan. Pemain 1 akan kalah . ₃ Dari contoh di atas jika pemain 1 menggunakan strategi x maka * hasilnya akan kurang dari atau sama dengan hasil pemain 2 jika pem
menggunakan strategi y . Penyelesaian optimal permainan ini adalah pemain 2
₂ ₁ memainkan strategi campuran y , dan pemain 1 memainkan strategi ₃ ₃ =
( )
D. Teorema Nash Definisi 2.4.1
Semesta pembicaraan adalah R. Dengan titik x merupakan x R ∈ dan himpunan S R .
⊂ Untuk p R dan r . Kitar p dengan radus r adalah
∈ <
N p , r p r , p r x R :| x-p | r . Atau kitar titik p dengan radius r adalah ( ) ( = − ) { = ∈ < } + interval terbuka dengan ujung-ujung p-r dan p+r.
Definisi 2.4.2
Titik p adalah titik limit himpunan S jika untuk setiap r < terdapat titik q dengan q ≠ , p q ∈ S dan q ∈ N ( ) p , r .
Definisi 2.4.3 Himpunan S dikatakan tertutup jika semua titik limitnya anggota dari S.
Atau (S tertutup) ⇔ (p titik limit S ⇒ p ∈ S ) .
Contoh 2.4.1
i. Misalkan himpunan S = { x | ≤ x ≤
1 } maka S adalah himpunan tertutup
jika semua titik limitnya, yaitu titik limit diantara interval 0 sampai 1
Definisi 2.4.4
Himpunan S disebut terbatas jika himpunan tersebut mempunyai batas atas atau batas bawah.
Contoh 2.4.2
i. Misalkan himpunan S x | x
1 maka S adalah himpunan terbatas
= { ≤ ≤ }

PERMAINAN DUA ORANG BERJUMLAH TIDAK NOL DAN METAGAME TANPA KERJASAMA