Dimensi metrik kuat pada beberapa kelas graf artikel
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF
Fithri Annisatun Lathifah, Tri Atmojo Kusmayadi, Sri Kuntari
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Misalkan G adalah suatu graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) dan
himpunan edge E(G). Interval I[u, v] antara u dan v merupakan kumpulan semua vertex
yang termuat dalam suatu path u − v terpendek. Suatu vertex s ∈ V (G) disebut sebagai
pembeda kuat untuk vertex u, v ∈ V (G) jika v ∈ I[u, s] atau u ∈ I[v, s]. Himpunan
S ⊆ V (G) dikatakan sebagai himpunan pembeda kuat dari G jika untuk setiap dua
vertex u dan v dari G dibedakan kuat oleh suatu vertex di S. Himpunan pembeda kuat
dengan kardinalitas minimum disebut basis metrik kuat. Dimensi metrik kuat dari G,
dinotasikan sdim(G), didefinisikan sebagai banyaknya elemen dari basis metrik kuat di
G. Dalam penelitian ini diperoleh dimensi metrik kuat pada graf tadpole, graf helm, graf
closed helm, dan graf t-fold wheel.
Kata Kunci : dimensi metrik kuat, himpunan pembeda kuat, graf tadpole, graf helm,
graf closed helm, graf t-fold wheel
1. Pendahuluan
Salah satu cabang ilmu matematika yang mengalami perkembangan pesat adalah teori graf. Hal ini dikarenakan aplikasinya yang luas dalam masalah di berbagai
bidang, misalnya sains, robotika, dan riset operasi. Masalah-masalah tersebut dapat
direpresentasikan ke dalam graf yang terdiri dari himpunan titik (vertex ) dan himpunan garis (edge). Topik dalam teori graf sangat beragam. Salah satunya adalah
dimensi metrik kuat.
Konsep tentang dimensi metrik kuat pertama kali diperkenalkan oleh Seb¨
o
dan Tannier [7] pada tahun 2004. Menurut Oellermann dan Peters-Fransen [6]
untuk dua vertex u dan v dalam graf terhubung G, interval I[u, v] antara u dan v
merupakan kumpulan semua vertex yang termuat dalam suatu path u−v terpendek.
Suatu vertex s ∈ V (G) disebut sebagai pembeda kuat untuk vertex u dan v jika
v ∈ I[u, s] atau u ∈ I[v, s]. Himpunan S ⊆ V (G) dikatakan sebagai himpunan
pembeda kuat dari G jika untuk setiap dua vertex u, v ∈ V (G) dibedakan kuat oleh
suatu vertex di S. Himpunan pembeda kuat dengan kardinalitas minimum disebut
basis metrik kuat. Dimensi metrik kuat dari G, dinotasikan sdim(G), didefinisikan
sebagai banyaknya elemen basis metrik kuat dari G.
Dimensi metrik kuat dari beberapa kelas graf telah banyak diteliti. Pada
tahun 2004, Seb¨
o dan Tannier [7] meneliti dimensi metrik kuat pada graf lengkap,
graf cycle, dan tree. Kemudian pada tahun 2013, karakterisasi graf dengan order
n ≥ 2 yang memiliki dimensi metrik kuat 1 dan n − 1 berhasil diteliti oleh Yi [9].
to user
Graf G mempunyai sdim(G) = 1 jika commit
dan hanya
jika graf G adalah graf lintasan Pn .
Graf G mempunyai sdim(G) = n − 1 jika dan hanya jika graf G adalah graf lengkap
Kn . Dimensi metrik kuat dari kelas graf yang lain dapat dilihat di Kratica [2].
Beberapa kelas graf tersebut diantaranya adalah graf Hamming yang telah diteliti
1
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
oleh Kratica dkk. [3], corona product graphs dan join graphs oleh Kuziak dkk. [5],
serta convex polytope Dn dan Tn oleh Kratica dkk. [4].
Hasil penelitian tersebut dapat menjadi acuan dalam mencari dimensi metrik
kuat pada kelas graf lain. Pada penelitian ini dibahas dimensi metrik kuat pada
graf tadpole, graf helm, graf closed helm dan graf t-fold wheel.
2. Pembahasan
Berikut ini adalah beberapa sifat dari himpunan pembeda kuat yang digunakan
dalam menentukan dimensi metrik kuat dari suatu graf yang diambil dari Kratica
dkk. [4].
Sifat 2.1. Jika S ⊂ V (G) adalah himpunan pembeda kuat dari graf G maka untuk
setiap dua vertex u, v ∈ V (G) yang memenuhi kondisi
(1) d(a, v) ≤ d(u, v) untuk setiap vertex a yang adjacent dengan u,
(2) d(u, b) ≤ d(u, v) untuk setiap vertex b yang adjacent dengan v,
berlaku u ∈ S atau v ∈ S.
Sifat 2.2. Jika S ⊂ V (G) adalah himpunan pembeda kuat dari graf G maka untuk
setiap dua vertex u, v ∈ V (G) yang memenuhi d(u, v) = diam(G) berlaku u ∈ S
atau v ∈ S.
2.1. Dimensi metrik kuat pada graf tadpole Tm,n .
Menurut Koh dkk. (dalam Gallian [1]) graf tadpole Tm,n adalah suatu graf yang
dibentuk dengan menghubungkan graf cycle Cm ke graf lintasan Pn dengan sebuah
bridge. Himpunan vertex V (Tm,n ) = {u0 , u1 , . . . , um−1 , v0 , v1 , . . . , vn−1 } dengan m ≥
3 dan n ≥ 1. Dimisalkan vertex um−1 yang adjacent dengan vertex v0 .
Lema 2.1. Untuk m ≥ 3 dan n ≥ 1, jika S adalah himpunan pembeda kuat dari
graf tadpole Tm,n maka |S| ≥ ⌈ m2 ⌉.
Bukti. Dibuktikan dengan kontradiksi. Diketahui bahwa S adalah himpunan pembeda kuat dari graf tadpole Tm,n , andaikan S memuat paling banyak ⌈ m2 ⌉ − 1 vertex,
|S| < ⌈ m2 ⌉. Misal V1 = {u0 , u1 , u2 , . . . , um−1 } dan V2 = {v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Didefinisikan S1 = V1 ∩ S dan S2 = V2 ∩ S. Notasikan |S1 | = a dengan a > 0 dan
|S2 | = b dengan b ≥ 0. Karena a + b ≤ ⌈ m2 ⌉ − 1, terdapat dua vertex berbeda up , uq
∈ V1 \S1 sedemikian sehingga untuk setiap s ∈ S berlaku up ∈
/ I[uq , s] dan uq ∈
/
I[up , s]. Hal ini kontradiksi dengan S sebagai himpunan pembeda kuat. Jadi jika
S adalah himpunan pembeda kuat dari graf tadpole Tm,n maka S harus memuat
paling sedikit ⌈ m2 ⌉ vertex.
Lema 2.2. Untuk m ≥ 3 dan n ≥ 1, himpunan S = {ui |i = 0, 1, 2, . . . , ⌈ m2 ⌉ − 1}
adalah himpunan pembeda kuat dari graf tadpole Tm,n .
Bukti. Dibuktikan untuk setiap u, v ∈commit
V (Tm,nto) \user
S, u ̸= v terdapat s ∈ S sedemikian
sehingga u ∈ I[v, s] atau v ∈ I[u, s]. Dalam pengambilan pasangan vertex berbeda
dari V (Tm,n )\S terdapat tiga kemungkinan. Pasangan vertex pertama yaitu (ui , uj ).
Untuk setiap i, j ∈ {⌈ m2 ⌉, ⌈ m2 ⌉ + 1, . . . , m − 1} dengan ⌈ m2 ⌉ ≤ i < j ≤ m − 2,
2
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
d(uj , uj−⌈ m2 ⌉+1 ) = ⌈ m2 ⌉ − 1 dengan path terpendek antara uj dan uj−⌈ m2 ⌉+1 adalah
uj−⌈ m2 ⌉+1 , uj−⌈ m2 ⌉+2 , . . . , uj sehingga ui ∈ I[uj , uj−⌈ m2 ⌉+1 ]. Selanjutnya untuk setiap
i ∈ {⌈ m2 ⌉, ⌈ m2 ⌉ + 1, . . . , m − 2} dan j = m − 1, d(um−1 , u⌈ m2 ⌉−1 ) = ⌈ m2 ⌉ − 1 dengan
path terpendek antara um−1 dan u⌈ m2 ⌉−1 adalah u⌈ m2 ⌉−1 , u⌈ m2 ⌉ , . . . , um−1 sehingga ui ∈
I[um−1 , u⌈ m2 ⌉−1 ]. Dengan cara yang sama, mudah diperoleh bahwa pasangan vertex
(ui , vj ) dengan i ∈ {⌈ m2 ⌉, ⌈ m2 ⌉+1, . . . , m−1} dan j ∈ {0, 1, . . . , n−1} dibedakan kuat
oleh vertex u⌈ m2 ⌉−1 . Pasangan vertex (vi , vj ) dibedakan kuat oleh vertex ul untuk
setiap l ∈ {0, 1, . . . , ⌈ m2 ⌉ − 1} dan i, j ∈ {0, 1, . . . , n − 1} dengan 0 ≤ i < j ≤ n − 1.
Karena selalu terdapat vertex s ∈ S yang membedakan kuat setiap dua vertex
berbeda dari V (Tm,n ) \ S, jadi S adalah himpunan pembeda kuat dari graf tadpole
Tm,n .
Teorema 2.1. Misalkan Tm,n adalah graf tadpole dengan m ≥ 3 dan n ≥ 1 maka
sdim (Tm,n ) = ⌈ m2 ⌉.
Bukti. Diberikan graf Tm,n dengan m ≥ 3 dan n ≥ 1. Himpunan vertex dari graf
Tm,n yaitu V (Tm,n ) = {u0 , u1 , u2 , . . . , um−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Dari Lema 2.2 diperoleh himpunan S = {ui |i = 0, 1, 2, . . . , ⌈ m2 ⌉ − 1} adalah himpunan pembeda kuat
dari graf Tm,n . Kardinalitas dari S yaitu |S| = ⌈ m2 ⌉. Menurut Lema 2.1, |S| ≥ ⌈ m2 ⌉
sehingga S = {ui |i = 0, 1, 2, . . . , ⌈ m2 ⌉ − 1} adalah basis metrik kuat dari Tm,n . Jadi
sdim(Tm,n ) = ⌈ m2 ⌉.
2.2. Dimensi metrik kuat pada graf helm Hn .
Wallis [8] mendefinisikan graf helm Hn sebagai graf yang dibentuk dari graf
wheel Wn dengan menambahkan n vertex ber-degree 1 yang adjacent pada setiap
vertex terminal. Misal himpunan vertex V (Hn ) = {c, u0 , u1 , u2 , . . . , un−1 , v0 , v1 , v2 ,
. . . , vn−1 } dengan n ≥ 3, dan indeks vertex menggunakan modulo n. Vertex ui
merupakan vertex terminal dan vertex vi merupakan vertex ber-degree 1. Vertex ui
dan vertex vi saling adjacent untuk i = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Lema 2.3. Untuk n ≥ 4, jika S adalah himpunan pembeda kuat dari graf helm Hn
maka |S| ≥ n − 1.
Bukti. Diberikan dua vertex berbeda vi , vj ∈ V (Hn ). Untuk setiap i, j = 0, 1, . . . , n−
1 dengan i ̸= j, vertex vi dan vj memenuhi kondisi (1) dan (2) pada Sifat 2.1. Jika
j = i + 1, n + i − 1, d(vi , vj ) = 3, dan d(vi , vj ) = 4 jika i + 2 ≤ j ≤ n + i − 2.
Vertex-vertex yang adjacent dengan vi adalah ui . Untuk j = i+1, n+i−1 diperoleh
d(ui , vj ) = 2 = d(vi , vj )−1 dan d(ui , vj ) = 3 = d(vi , vj )−1 untuk i+2 ≤ j ≤ n+i−2.
Akibatnya d(ui , vj ) ≤ d(vi , vj ), kondisi (1) dipenuhi. Kemudian vertex-vertex yang
adjacent dengan vj adalah uj . Untuk j = i + 1, n + i − 1 diperoleh d(uj , vi ) = 2 =
d(vi , vj ) − 1 dan d(uj , vi ) = 3 = d(vi , vj ) − 1 untuk i + 2 ≤ j ≤ n + i − 2, sehingga
d(uj , vi ) ≤ d(vi , vj ), kondisi (2) dipenuhi.
commitMenurut
to user Sifat 2.1 maka vi ∈ S atau vj
∈ S. Hal ini berarti S harus memuat paling tidak 1 vertex dari himpunan berbeda
Xij = {vi , vj } dengan i, j = 0, 1, 2, . . . , n − 1 dan i ̸= j. Minimal banyaknya vertex
yang diambil dari himpunan berbeda Xij adalah n − 1 sehingga |S| ≥ n − 1.
3
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
Lema 2.4. Untuk n ≥ 4, himpunan S = {vi |i = 0, 1, 2, . . . , n − 2} adalah himpunan
pembeda kuat dari graf helm Hn .
Bukti. Dibuktikan untuk setiap u, v ∈ V (Hn ) \ S, u ̸= v terdapat s ∈ S sedemikian
sehingga u ∈ I[v, s] atau v ∈ I[u, s]. Dalam pengambilan pasangan vertex berbeda dari V (Hn ) \ S terdapat empat kemungkinan. Ditunjukkan untuk pasangan
vertex (c, vn−1 ) dibedakan kuat oleh vertex vi . Untuk setiap i ∈ {1, 2, . . . , n − 3},
d(vn−1 , vi ) = 4 = diam(Hn ) dengan path terpendek antara vn−1 dan vi yang sesuai
adalah vn−1 , un−1 , c, ui , vi , sehingga c ∈ I[vn−1 , vi ]. Dengan cara yang sama mudah
dibuktikan bahwa pasangan vertex (c, uj ) dengan j ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} dibedakan
kuat oleh vertex vi dengan i ∈
/ {j + 1, n + j − 1}. Untuk pasangan vertex (uj , vn−1 )
dengan j ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} dibedakan kuat oleh vertex vi dengan i ∈
/ {0, n − 2}.
Terakhir, pasangan vertex (ui , uj ) dengan i, j ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} dibedakan kuat
oleh vertex vi dengan i + 1 ≤ j ≤ n − 1. Dari semua kemungkinan tersebut, selalu terdapat vertex s ∈ S yang membedakan kuat setiap dua vertex berbeda dari
V (Hn ) \ S. Jadi S adalah himpunan pembeda kuat dari graf helm Hn .
Teorema 2.2. Misalkan Hn adalah graf helm dengan n ≥ 3 maka
{
3,
n = 3;
sdim(Hn ) =
n − 1, n lainnya.
Bukti. Diberikan graf helm Hn dengan n ≥ 3 dan himpunan vertex V (Hn ) =
{c, u0 , u1 , u2 , . . . , un−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Dimensi metrik kuat pada graf helm Hn
terbagi menjadi dua kasus, yaitu kasus n = 3 dan kasus n lainnya.
(1) Kasus n = 3
Pilih S = {v0 , v1 , v2 }, mudah diperoleh interval I[u, s] antara vertex u dan s
dengan u ∈ V (H3 ) dan s ∈ S. Dari interval tersebut diperoleh bahwa untuk
setiap u, v ∈ V (H3 ), u ̸= v, terdapat s ∈ S sedemikian sehingga u ∈ I[v, s]
atau v ∈ I[u, s]. Oleh karena itu S merupakan himpunan pembeda kuat
dengan 3 elemen. Selanjutnya ditunjukkan H3 tidak mempunyai himpunan
pembeda kuat dengan 2 elemen. Andaikan H3 mempunyai himpunan pembeda kuat dengan 2 elemen, terdapat lima kemungkinan dalam pengambilan
vertex untuk S.
(a) Salah satu vertex dari S adalah c dan vertex lainnya termasuk dalam
{vi |i = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ).
Untuk i, j, k = 0, 1, 2 dengan i, j, dan k yang berbeda terdapat vj , vk ∈
V (H3 ) sedemikian sehingga untuk setiap s ∈ S, vj ∈
/ I[vk , s] dan vk ∈
/
I[vj , s]. Kontradiksi dengan pengandaian.
(b) Salah satu vertex dari S adalah c dan vertex lainnya termasuk dalam
{ui |i = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ). commit to user
Untuk i, j = 0, 1, 2 dengan i ̸= j terdapat vi , vj ∈ V (H3 ) sedemikian
sehingga untuk setiap s ∈ S, vi ∈
/ I[vj , s] dan vj ∈
/ I[vi , s]. Kontradiksi
dengan pengandaian.
4
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
(c) Salah satu vertex dari S termasuk dalam {ui |i = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ) dan
vertex lainnya termasuk dalam {vj |j = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ).
Untuk i, j, k, l = 0, 1, 2 dengan j, k, dan l yang berbeda terdapat vk , vl
∈ V (H3 ) sedemikian sehingga untuk setiap s ∈ S, vk ∈
/ I[vl , s] dan vl ∈
/
I[vk , s]. Kontradiksi dengan pengandaian.
(d) Kedua vertex dari S termasuk dalam {ui |i = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ).
Untuk i, j = 0, 1, 2 dengan i ̸= j terdapat vi , vj ∈ V (H3 ) sedemikian
sehingga untuk setiap s ∈ S, vi ∈
/ I[vj , s] dan vj ∈
/ I[vi , s]. Kontradiksi
dengan pengandaian.
(e) Kedua vertex dari S termasuk dalam {vi |i = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ).
Misal vi , vj ∈ S dengan i, j = 0, 1, 2 dan i ̸= j, terdapat c, vk ∈ V (H3 )
untuk k = 0, 1, 2 dengan k, i, dan j yang berbeda sedemikian sehingga
untuk setiap s ∈ S, c ∈
/ I[vk , s] dan vk ∈
/ I[c, s]. Kontradiksi dengan
pengandaian.
Dari lima kemungkinan, didapatkan hasil yang menyatakan kontradiksi dengan pengandaian. Akibatnya H3 tidak mempunyai himpunan pembeda
kuat dengan dua elemen. Berdasarkan karakterisasi Yi [9] yang menyatakan
sdim(G) = 1 jika dan hanya jika G ∼
= Pn maka diperoleh sdim(H3 ) ̸= 1 karena H3 ≇ Pn sehingga himpunan pembeda kuat minimum dari H3 mempunyai
3 elemen. Jadi sdim(H3 ) = 3.
(2) Kasus n lainnya
Dari Lema 2.4 diperoleh himpunan S = {vi |i = 0, 1, 2, . . . , n − 2} adalah
himpunan pembeda kuat dari graf helm Hn untuk n ≥ 4. Kardinalitas dari
S yaitu |S| = n − 1. Menurut Lema 2.3, |S| ≥ n − 1 sehingga S = {vi |i =
0, 1, 2, . . . , n − 2} adalah basis metrik kuat dari Hn . Jadi sdim(Hn ) = n − 1.
2.3. Dimensi metrik kuat pada graf closed helm (CHn ).
Seoud dan Youssef (dalam Gallian [1]) mendefinisikan graf closed helm sebagai
graf yang diperoleh dari graf helm dengan menggabungkan setiap pendant vertex
sehingga membentuk sebuah cycle. Misal CHn adalah graf closed helm dengan n ≥
3 dengan himpunan vertex V (CHn ) = {c, u0 , u1 , u2 , . . . , un−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }.
Indeks vertex menggunakan modulo n.
Lema 2.5. Untuk n ≥ 3, jika S adalah himpunan pembeda kuat dari graf closed
helm CHn maka |S| ≥ n.
Bukti. Diketahui bahwa S adalah himpunan pembeda kuat dari graf closed helm
CHn , andaikan S memuat paling banyak n − 1 vertex, |S| < n. Misal V1 =
{c, u0 , u1 , u2 , . . . , un−1 } dan V2 = {v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Didefinisikan S1 = V1 ∩ S
to user
dan S2 = V2 ∩ S. Notasikan |S1 | = commit
p dengan
p ≥ 0 dan |S2 | = q dengan q > 0.
Karena p + q ≤ n − 1, terdapat dua vertex ua dan vb dimana ua ∈ V1 \S1 dan vb ∈
V2 \S2 sedemikian sehingga untuk setiap s ∈ S berlaku ua ∈
/ I[vb , s] dan vb ∈
/ I[ua , s].
Hal ini kontradiksi dengan S sebagai himpunan pembeda kuat. Jadi jika S adalah
5
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
himpunan pembeda kuat dari graf closed helm CHn maka S harus memuat paling
sedikit n vertex.
Lema 2.6. Untuk n ≥ 3, himpunan S = {vi |i = 0, 1, 2, . . . , n − 1} adalah himpunan
pembeda kuat dari graf closed helm CHn .
Bukti. Dibuktikan untuk setiap u, v ∈ V (CHn ) \ S, u ̸= v terdapat s ∈ S sedemikian
sehingga u ∈ I[v, s] atau v ∈ I[u, s]. Vertex-vertex dari V (CHn ) \ S yaitu vertex c
dan ui dengan i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Untuk pasangan vertex (c, ui ) dibuktikan vertex
vi membedakan kuat pasangan vertex tersebut. Untuk setiap i ∈ {0, 1, . . . , n − 1},
d(c, vi ) = 2 dengan path terpendek antara c dan vi yang sesuai adalah c, ui , vi sehingga ui ∈ I[c, vi ]. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan vertex vi membedakan
kuat pasangan vertex (ui , uj ) dengan i, j ∈ 0, 1, . . . , n − 1. Karena selalu terdapat
vertex s ∈ S yang membedakan kuat setiap dua vertex berbeda dari V (CHn ) \ S.
Jadi S adalah himpunan pembeda kuat dari graf closed helm CHn .
Teorema 2.3. Misalkan CHn adalah graf closed helm dengan n ≥ 3 maka sdim
(CHn ) = n.
Bukti. Diberikan graf CHn dengan n ≥ 3. Himpunan vertex dari graf CHn yaitu V (CHn ) = {c, u0 , u1 , u2 , . . . , un−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Dari Lema 2.6 diperoleh
himpunan S = {vi |i = 0, 1, 2, . . . , n − 1} adalah himpunan pembeda kuat dari graf
CHn untuk n ≥ 3. Kardinalitas dari S yaitu |S| = n. Menurut Lema 2.5, |S| ≥ n
sehingga S = {vi |i = 0, 1, 2, . . . , n − 1} adalah basis metrik kuat dari CHn . Jadi
sdim(CHn ) = n.
2.4. Dimensi metrik kuat pada graf t-fold wheel Wn .
Graf t-fold wheel Wn adalah suatu graf yang memuat t vertex pusat yang
masing-masing adjacent pada setiap vertex pada suatu cycle, tetapi tidak adjacent satu sama lain (Wallis [8]). Untuk selanjutnya, graf t-fold wheel Wn disimbolkan dengan Wnt . Misal himpunan vertex pada t-fold wheel Wn adalah V (Wnt ) =
{u0 , u1 , u2 , . . . , ut−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 } dengan n ≥ 3 dan t ≥ 1. Vertex ui merupakan vertex pusat. Untuk indeks vertex u menggunakan modulo t sedangkan indeks
vertex v menggunakan modulo n.
Lema 2.7. Untuk t ≥ 2 dan n = 3, jika S adalah himpunan pembeda kuat dari graf
t-fold wheel Wn maka |S| ≥ t + 1.
Bukti. Diberikan dua pasangan vertex (ui , uj ) dan (vk , vl ). Untuk setiap i, j =
0, 1, 2, . . . , t − 1 dengan i ̸= j diperoleh d(ui , uj ) = 2 = diam(W3t ), sehingga menurut
Sifat 2.2, ui ∈ S atau uj ∈ S. Untuk setiap k, l = 0, 1, 2 dengan k ̸= l vertex vk dan
vl memenuhi kondisi (1) dan (2) pada Sifat 2.1 maka vk ∈ S atau vl ∈ S. Hal ini
berarti S harus memuat paling tidak 1 vertex dari himpunan berbeda Xij = {ui , uj }
untuk i, j = 0, 1, 2, . . . , t − 1 dengancommit
i ̸= j to
dan
1 vertex dari himpunan berbeda
user
Ykl = {vk , vl } untuk k, l = 0, 1, 2 dengan k ̸= l. Minimal banyaknya vertex yang
diambil dari himpunan berbeda Xij adalah t − 1 dan minimal banyaknya vertex
yang diambil dari himpunan berbeda Ykl adalah 2 sehingga |S| ≥ t + 1.
6
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
Lema 2.8. Untuk t ≥ 2 dan n = 3, himpunan S = {ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j =
0, 1} adalah himpunan pembeda kuat dari graf t-fold wheel Wn .
Bukti. Dibuktikan untuk setiap u, v ∈ V (W3t ) \ S, u ̸= v terdapat s ∈ S sedemikian
sehingga u ∈ I[v, s] atau v ∈ I[u, s]. Vertex-vertex dari V (W3t ) \ S yaitu ut−1 dan
v2 . Untuk setiap i ∈ {0, 1, 2, . . . , t − 2}, d(ut−1 , ui ) = 2 = diam(W3t ) dengan path
terpendek antara ut−1 dan ui yang sesuai adalah ut−1 , v2 , ui sehingga v2 ∈ I[ut−1 , ui ].
Jadi S adalah himpunan pembeda kuat dari graf W3t .
Lema 2.9. Untuk t ≥ 1 dan n ≥ 4, jika S adalah himpunan pembeda kuat dari graf
t-fold wheel Wn maka |S| ≥ n + t − 3.
Bukti. Diberikan dua pasangan vertex (ui , uj ) dan (vk , vl ). Untuk setiap i, j ∈
{0, 1, 2, . . . , t − 1} dengan i ̸= j diperoleh d(ui , uj ) = 2 = diam(Wnt ), sehingga
menurut Sifat 2.2, ui ∈ S atau uj ∈ S. Untuk setiap k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} dan l
∈
/ {k − 1, k + 1} diperoleh d(vk , vl ) = 2 = diam(Wnt ), sehingga menurut Sifat 2.2, vk
∈ S atau vl ∈ S. Akibatnya S harus memuat paling tidak 1 vertex dari himpunan
berbeda Xij = {ui , uj } untuk i, j = 0, 1, 2, . . . , t − 1 dengan i ̸= j dan 1 vertex dari
himpunan berbeda Ykl = {vk , vl } dengan k = 0, 1, . . . , n−1 dan k +2 ≤ l ≤ n+k −2.
Minimal banyaknya vertex yang diambil dari himpunan berbeda Xij adalah t − 1
dan minimal banyaknya vertex yang diambil dari himpunan berbeda Ykl adalah n−2
sehingga |S| ≥ n + t − 3.
Lema 2.10. Untuk t ≥ 1 dan n ≥ 4, himpunan S = {ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j =
0, 1, 2, . . . , n − 3} adalah himpunan pembeda kuat dari graf t-fold wheel Wn .
Bukti. Dibuktikan untuk setiap u, v ∈ V (Wnt ) \ S, u ̸= v terdapat s ∈ S sedemikian
sehingga u ∈ I[v, s] atau v ∈ I[u, s]. Vertex-vertex dari V (Wnt ) \ S yaitu ut−1 dan
vk dengan k = n − 2, n − 1. Untuk pasangan vertex (ut−1 , vk ) dibuktikan vertex
ui membedakan kuat vertex ut−1 dan vk . Untuk setiap i ∈ {0, 1, 2, . . . , t − 2},
d(ut−1 , ui ) = 2 = diam(Wnt ) dengan path terpendek antara ut−1 dan ui yang sesuai
adalah ut−1 , vk , ui dengan k ∈ {n − 2, n − 1}, sehingga vk ∈ I[ut−1 , ui ]. Dengan
cara yang sama dapat diperoleh vertex vj dengan j ∈ {0, n − 3} membedakan kuat
pasangan vertex (vn−2 , vn−1 ). Karena selalu terdapat vertex s ∈ S yang membedakan
kuat setiap dua vertex berbeda dari V (Wnt ) \ S, jadi S adalah himpunan pembeda
kuat dari graf Wnt .
Teorema 2.4. Misalkan Wnt adalah graf t-fold wheel Wn dengan t ≥ 1 dan n ≥ 3
maka
t = 1 dan n = 3;
3,
t
sdim(Wn ) =
t + 1,
t ≥ 2 dan n = 3;
n + t − 3, t ≥ 1 dan n lainnya.
user
1 dan to
n≥
3. Himpunan vertex dari graf Wnt
Bukti. Diberikan graf Wnt dengan t ≥commit
yaitu V (Wnt ) = {u0 , u1 , u2 , . . . , ut−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Dimensi metrik kuat pada
graf Wnt terbagi menjadi tiga kasus, yaitu kasus t = 1 dengan n = 3, t ≥ 2 dengan
n = 3, dan kasus t ≥ 1 dengan n lainnya.
7
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
(1) Kasus t = 1 dengan n = 3
Berdasarkan karakterisasi Yi [9] yang menyatakan sdim(G) = n − 1 jika
dan hanya jika G ∼
= Kn maka diperoleh sdim(W31 ) = 3 karena W31 ∼
= K4
1
sehingga himpunan pembeda kuat minimum dari W3 mempunyai 3 elemen.
Jadi sdim(W31 ) = 3.
(2) Kasus t ≥ 2 dengan n = 3
Dari Lema 2.8 diperoleh himpunan S = {ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j = 0, 1}
adalah himpunan pembeda kuat dari graf W3t untuk t ≥ 2. Kardinalitas
dari S yaitu |S| = t + 1. Menurut Lema 2.7, |S| ≥ t + 1 sehingga S =
{ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j = 0, 1} adalah basis metrik kuat dari W3t . Jadi
sdim(W3t ) = t + 1.
(3) Kasus t ≥ 1 dengan n lainnya
Dari Lema 2.10 diperoleh himpunan S = {ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j =
0, 1, 2, . . . , n − 3} adalah himpunan pembeda kuat dari graf Wnt untuk t ≥ 1
dan n ≥ 4. Kardinalitas dari S yaitu |S| = n + t − 3. Menurut Lema 2.9,
|S| ≥ n + t − 3 sehingga S = {ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j = 0, 1, 2, . . . , n − 3}
adalah basis metrik kuat dari Wnt . Jadi sdim(Wnt ) = n + t − 3.
3. Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa dimensi
metrik kuat dari graf tadpole seperti pada Teorema 2.1, dimensi metrik kuat dari
graf helm seperti pada Teorema 2.2, dimensi metrik kuat dari graf closed helm
seperti pada Teorema 2.3, dan dimensi metrik kuat dari graf t-fold wheel seperti
pada Teorema 2.4.
DAFTAR PUSTAKA
1. Gallian, J. A., A Dynamic Survey of Graph Labeling, The Electronic Journal of Combinatorics
17 (2014), 1–384 #DS6.
2. Kratica, J., Strong Metric Dimension: A Survey, Yugoslav Journal of Operations Research 24
(2014), no. 2, 187–198.
ˇ
3. Kratica, J.,V. Kovaˇ
cevi´
c-Vujˇ
ci´
c, M. Cangalovi´
c, and M. Stojanovi´
c, Minimal Doubly Resolving
Sets and The Strong Metric Dimension of Hamming Graphs, Applicable Analysis and Discrete
Mathematics 6 (2012), 63–71.
ˇ
4. Kratica, J.,V. Kovaˇ
cevi´
c-Vujˇ
ci´
c, M. Cangalovi´
c, and M. Stojanovi´
c, Minimal Doubly Resolving
Sets and The Strong Metric Dimension of Some Convex Polytope, Applied Mathematics and
Computation 218 (2012), 9790–9801.
5. Kuziak, D., I. G. Yero, and J. A. Rodr´iguez-Vel´
azquez, On The Strong Metric Dimension of
Corona Product Graphs and Join Graphs, Discrete Applied Mathematics 161 (2013), 1022–1027.
6. Oellermann, O. R. and J. Peters-Fransen, The Strong Metric Dimension of Graphs and Digraphs, Discrete Applied Mathematics 155 (2007), 356–364.
7. Seb¨
o, A. and E. Tannier, On Metric Generators of Graphs, Mathematics of Operation Research
commit to user
29 (2004), no. 2, 383–393.
8. Wallis, W. D., Magic Graph, Birkh¨
auser, Basel, Berlin, 2001.
9. Yi, E., On Strong Metric Dimension of Graphs and Their Complements, Acta Mathematica
Sinica, English Series 29 (2013), no. 8, 1479–1492.
8
2015
digilib.uns.ac.id
DIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF
Fithri Annisatun Lathifah, Tri Atmojo Kusmayadi, Sri Kuntari
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Misalkan G adalah suatu graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) dan
himpunan edge E(G). Interval I[u, v] antara u dan v merupakan kumpulan semua vertex
yang termuat dalam suatu path u − v terpendek. Suatu vertex s ∈ V (G) disebut sebagai
pembeda kuat untuk vertex u, v ∈ V (G) jika v ∈ I[u, s] atau u ∈ I[v, s]. Himpunan
S ⊆ V (G) dikatakan sebagai himpunan pembeda kuat dari G jika untuk setiap dua
vertex u dan v dari G dibedakan kuat oleh suatu vertex di S. Himpunan pembeda kuat
dengan kardinalitas minimum disebut basis metrik kuat. Dimensi metrik kuat dari G,
dinotasikan sdim(G), didefinisikan sebagai banyaknya elemen dari basis metrik kuat di
G. Dalam penelitian ini diperoleh dimensi metrik kuat pada graf tadpole, graf helm, graf
closed helm, dan graf t-fold wheel.
Kata Kunci : dimensi metrik kuat, himpunan pembeda kuat, graf tadpole, graf helm,
graf closed helm, graf t-fold wheel
1. Pendahuluan
Salah satu cabang ilmu matematika yang mengalami perkembangan pesat adalah teori graf. Hal ini dikarenakan aplikasinya yang luas dalam masalah di berbagai
bidang, misalnya sains, robotika, dan riset operasi. Masalah-masalah tersebut dapat
direpresentasikan ke dalam graf yang terdiri dari himpunan titik (vertex ) dan himpunan garis (edge). Topik dalam teori graf sangat beragam. Salah satunya adalah
dimensi metrik kuat.
Konsep tentang dimensi metrik kuat pertama kali diperkenalkan oleh Seb¨
o
dan Tannier [7] pada tahun 2004. Menurut Oellermann dan Peters-Fransen [6]
untuk dua vertex u dan v dalam graf terhubung G, interval I[u, v] antara u dan v
merupakan kumpulan semua vertex yang termuat dalam suatu path u−v terpendek.
Suatu vertex s ∈ V (G) disebut sebagai pembeda kuat untuk vertex u dan v jika
v ∈ I[u, s] atau u ∈ I[v, s]. Himpunan S ⊆ V (G) dikatakan sebagai himpunan
pembeda kuat dari G jika untuk setiap dua vertex u, v ∈ V (G) dibedakan kuat oleh
suatu vertex di S. Himpunan pembeda kuat dengan kardinalitas minimum disebut
basis metrik kuat. Dimensi metrik kuat dari G, dinotasikan sdim(G), didefinisikan
sebagai banyaknya elemen basis metrik kuat dari G.
Dimensi metrik kuat dari beberapa kelas graf telah banyak diteliti. Pada
tahun 2004, Seb¨
o dan Tannier [7] meneliti dimensi metrik kuat pada graf lengkap,
graf cycle, dan tree. Kemudian pada tahun 2013, karakterisasi graf dengan order
n ≥ 2 yang memiliki dimensi metrik kuat 1 dan n − 1 berhasil diteliti oleh Yi [9].
to user
Graf G mempunyai sdim(G) = 1 jika commit
dan hanya
jika graf G adalah graf lintasan Pn .
Graf G mempunyai sdim(G) = n − 1 jika dan hanya jika graf G adalah graf lengkap
Kn . Dimensi metrik kuat dari kelas graf yang lain dapat dilihat di Kratica [2].
Beberapa kelas graf tersebut diantaranya adalah graf Hamming yang telah diteliti
1
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
oleh Kratica dkk. [3], corona product graphs dan join graphs oleh Kuziak dkk. [5],
serta convex polytope Dn dan Tn oleh Kratica dkk. [4].
Hasil penelitian tersebut dapat menjadi acuan dalam mencari dimensi metrik
kuat pada kelas graf lain. Pada penelitian ini dibahas dimensi metrik kuat pada
graf tadpole, graf helm, graf closed helm dan graf t-fold wheel.
2. Pembahasan
Berikut ini adalah beberapa sifat dari himpunan pembeda kuat yang digunakan
dalam menentukan dimensi metrik kuat dari suatu graf yang diambil dari Kratica
dkk. [4].
Sifat 2.1. Jika S ⊂ V (G) adalah himpunan pembeda kuat dari graf G maka untuk
setiap dua vertex u, v ∈ V (G) yang memenuhi kondisi
(1) d(a, v) ≤ d(u, v) untuk setiap vertex a yang adjacent dengan u,
(2) d(u, b) ≤ d(u, v) untuk setiap vertex b yang adjacent dengan v,
berlaku u ∈ S atau v ∈ S.
Sifat 2.2. Jika S ⊂ V (G) adalah himpunan pembeda kuat dari graf G maka untuk
setiap dua vertex u, v ∈ V (G) yang memenuhi d(u, v) = diam(G) berlaku u ∈ S
atau v ∈ S.
2.1. Dimensi metrik kuat pada graf tadpole Tm,n .
Menurut Koh dkk. (dalam Gallian [1]) graf tadpole Tm,n adalah suatu graf yang
dibentuk dengan menghubungkan graf cycle Cm ke graf lintasan Pn dengan sebuah
bridge. Himpunan vertex V (Tm,n ) = {u0 , u1 , . . . , um−1 , v0 , v1 , . . . , vn−1 } dengan m ≥
3 dan n ≥ 1. Dimisalkan vertex um−1 yang adjacent dengan vertex v0 .
Lema 2.1. Untuk m ≥ 3 dan n ≥ 1, jika S adalah himpunan pembeda kuat dari
graf tadpole Tm,n maka |S| ≥ ⌈ m2 ⌉.
Bukti. Dibuktikan dengan kontradiksi. Diketahui bahwa S adalah himpunan pembeda kuat dari graf tadpole Tm,n , andaikan S memuat paling banyak ⌈ m2 ⌉ − 1 vertex,
|S| < ⌈ m2 ⌉. Misal V1 = {u0 , u1 , u2 , . . . , um−1 } dan V2 = {v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Didefinisikan S1 = V1 ∩ S dan S2 = V2 ∩ S. Notasikan |S1 | = a dengan a > 0 dan
|S2 | = b dengan b ≥ 0. Karena a + b ≤ ⌈ m2 ⌉ − 1, terdapat dua vertex berbeda up , uq
∈ V1 \S1 sedemikian sehingga untuk setiap s ∈ S berlaku up ∈
/ I[uq , s] dan uq ∈
/
I[up , s]. Hal ini kontradiksi dengan S sebagai himpunan pembeda kuat. Jadi jika
S adalah himpunan pembeda kuat dari graf tadpole Tm,n maka S harus memuat
paling sedikit ⌈ m2 ⌉ vertex.
Lema 2.2. Untuk m ≥ 3 dan n ≥ 1, himpunan S = {ui |i = 0, 1, 2, . . . , ⌈ m2 ⌉ − 1}
adalah himpunan pembeda kuat dari graf tadpole Tm,n .
Bukti. Dibuktikan untuk setiap u, v ∈commit
V (Tm,nto) \user
S, u ̸= v terdapat s ∈ S sedemikian
sehingga u ∈ I[v, s] atau v ∈ I[u, s]. Dalam pengambilan pasangan vertex berbeda
dari V (Tm,n )\S terdapat tiga kemungkinan. Pasangan vertex pertama yaitu (ui , uj ).
Untuk setiap i, j ∈ {⌈ m2 ⌉, ⌈ m2 ⌉ + 1, . . . , m − 1} dengan ⌈ m2 ⌉ ≤ i < j ≤ m − 2,
2
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
d(uj , uj−⌈ m2 ⌉+1 ) = ⌈ m2 ⌉ − 1 dengan path terpendek antara uj dan uj−⌈ m2 ⌉+1 adalah
uj−⌈ m2 ⌉+1 , uj−⌈ m2 ⌉+2 , . . . , uj sehingga ui ∈ I[uj , uj−⌈ m2 ⌉+1 ]. Selanjutnya untuk setiap
i ∈ {⌈ m2 ⌉, ⌈ m2 ⌉ + 1, . . . , m − 2} dan j = m − 1, d(um−1 , u⌈ m2 ⌉−1 ) = ⌈ m2 ⌉ − 1 dengan
path terpendek antara um−1 dan u⌈ m2 ⌉−1 adalah u⌈ m2 ⌉−1 , u⌈ m2 ⌉ , . . . , um−1 sehingga ui ∈
I[um−1 , u⌈ m2 ⌉−1 ]. Dengan cara yang sama, mudah diperoleh bahwa pasangan vertex
(ui , vj ) dengan i ∈ {⌈ m2 ⌉, ⌈ m2 ⌉+1, . . . , m−1} dan j ∈ {0, 1, . . . , n−1} dibedakan kuat
oleh vertex u⌈ m2 ⌉−1 . Pasangan vertex (vi , vj ) dibedakan kuat oleh vertex ul untuk
setiap l ∈ {0, 1, . . . , ⌈ m2 ⌉ − 1} dan i, j ∈ {0, 1, . . . , n − 1} dengan 0 ≤ i < j ≤ n − 1.
Karena selalu terdapat vertex s ∈ S yang membedakan kuat setiap dua vertex
berbeda dari V (Tm,n ) \ S, jadi S adalah himpunan pembeda kuat dari graf tadpole
Tm,n .
Teorema 2.1. Misalkan Tm,n adalah graf tadpole dengan m ≥ 3 dan n ≥ 1 maka
sdim (Tm,n ) = ⌈ m2 ⌉.
Bukti. Diberikan graf Tm,n dengan m ≥ 3 dan n ≥ 1. Himpunan vertex dari graf
Tm,n yaitu V (Tm,n ) = {u0 , u1 , u2 , . . . , um−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Dari Lema 2.2 diperoleh himpunan S = {ui |i = 0, 1, 2, . . . , ⌈ m2 ⌉ − 1} adalah himpunan pembeda kuat
dari graf Tm,n . Kardinalitas dari S yaitu |S| = ⌈ m2 ⌉. Menurut Lema 2.1, |S| ≥ ⌈ m2 ⌉
sehingga S = {ui |i = 0, 1, 2, . . . , ⌈ m2 ⌉ − 1} adalah basis metrik kuat dari Tm,n . Jadi
sdim(Tm,n ) = ⌈ m2 ⌉.
2.2. Dimensi metrik kuat pada graf helm Hn .
Wallis [8] mendefinisikan graf helm Hn sebagai graf yang dibentuk dari graf
wheel Wn dengan menambahkan n vertex ber-degree 1 yang adjacent pada setiap
vertex terminal. Misal himpunan vertex V (Hn ) = {c, u0 , u1 , u2 , . . . , un−1 , v0 , v1 , v2 ,
. . . , vn−1 } dengan n ≥ 3, dan indeks vertex menggunakan modulo n. Vertex ui
merupakan vertex terminal dan vertex vi merupakan vertex ber-degree 1. Vertex ui
dan vertex vi saling adjacent untuk i = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Lema 2.3. Untuk n ≥ 4, jika S adalah himpunan pembeda kuat dari graf helm Hn
maka |S| ≥ n − 1.
Bukti. Diberikan dua vertex berbeda vi , vj ∈ V (Hn ). Untuk setiap i, j = 0, 1, . . . , n−
1 dengan i ̸= j, vertex vi dan vj memenuhi kondisi (1) dan (2) pada Sifat 2.1. Jika
j = i + 1, n + i − 1, d(vi , vj ) = 3, dan d(vi , vj ) = 4 jika i + 2 ≤ j ≤ n + i − 2.
Vertex-vertex yang adjacent dengan vi adalah ui . Untuk j = i+1, n+i−1 diperoleh
d(ui , vj ) = 2 = d(vi , vj )−1 dan d(ui , vj ) = 3 = d(vi , vj )−1 untuk i+2 ≤ j ≤ n+i−2.
Akibatnya d(ui , vj ) ≤ d(vi , vj ), kondisi (1) dipenuhi. Kemudian vertex-vertex yang
adjacent dengan vj adalah uj . Untuk j = i + 1, n + i − 1 diperoleh d(uj , vi ) = 2 =
d(vi , vj ) − 1 dan d(uj , vi ) = 3 = d(vi , vj ) − 1 untuk i + 2 ≤ j ≤ n + i − 2, sehingga
d(uj , vi ) ≤ d(vi , vj ), kondisi (2) dipenuhi.
commitMenurut
to user Sifat 2.1 maka vi ∈ S atau vj
∈ S. Hal ini berarti S harus memuat paling tidak 1 vertex dari himpunan berbeda
Xij = {vi , vj } dengan i, j = 0, 1, 2, . . . , n − 1 dan i ̸= j. Minimal banyaknya vertex
yang diambil dari himpunan berbeda Xij adalah n − 1 sehingga |S| ≥ n − 1.
3
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
Lema 2.4. Untuk n ≥ 4, himpunan S = {vi |i = 0, 1, 2, . . . , n − 2} adalah himpunan
pembeda kuat dari graf helm Hn .
Bukti. Dibuktikan untuk setiap u, v ∈ V (Hn ) \ S, u ̸= v terdapat s ∈ S sedemikian
sehingga u ∈ I[v, s] atau v ∈ I[u, s]. Dalam pengambilan pasangan vertex berbeda dari V (Hn ) \ S terdapat empat kemungkinan. Ditunjukkan untuk pasangan
vertex (c, vn−1 ) dibedakan kuat oleh vertex vi . Untuk setiap i ∈ {1, 2, . . . , n − 3},
d(vn−1 , vi ) = 4 = diam(Hn ) dengan path terpendek antara vn−1 dan vi yang sesuai
adalah vn−1 , un−1 , c, ui , vi , sehingga c ∈ I[vn−1 , vi ]. Dengan cara yang sama mudah
dibuktikan bahwa pasangan vertex (c, uj ) dengan j ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} dibedakan
kuat oleh vertex vi dengan i ∈
/ {j + 1, n + j − 1}. Untuk pasangan vertex (uj , vn−1 )
dengan j ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} dibedakan kuat oleh vertex vi dengan i ∈
/ {0, n − 2}.
Terakhir, pasangan vertex (ui , uj ) dengan i, j ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} dibedakan kuat
oleh vertex vi dengan i + 1 ≤ j ≤ n − 1. Dari semua kemungkinan tersebut, selalu terdapat vertex s ∈ S yang membedakan kuat setiap dua vertex berbeda dari
V (Hn ) \ S. Jadi S adalah himpunan pembeda kuat dari graf helm Hn .
Teorema 2.2. Misalkan Hn adalah graf helm dengan n ≥ 3 maka
{
3,
n = 3;
sdim(Hn ) =
n − 1, n lainnya.
Bukti. Diberikan graf helm Hn dengan n ≥ 3 dan himpunan vertex V (Hn ) =
{c, u0 , u1 , u2 , . . . , un−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Dimensi metrik kuat pada graf helm Hn
terbagi menjadi dua kasus, yaitu kasus n = 3 dan kasus n lainnya.
(1) Kasus n = 3
Pilih S = {v0 , v1 , v2 }, mudah diperoleh interval I[u, s] antara vertex u dan s
dengan u ∈ V (H3 ) dan s ∈ S. Dari interval tersebut diperoleh bahwa untuk
setiap u, v ∈ V (H3 ), u ̸= v, terdapat s ∈ S sedemikian sehingga u ∈ I[v, s]
atau v ∈ I[u, s]. Oleh karena itu S merupakan himpunan pembeda kuat
dengan 3 elemen. Selanjutnya ditunjukkan H3 tidak mempunyai himpunan
pembeda kuat dengan 2 elemen. Andaikan H3 mempunyai himpunan pembeda kuat dengan 2 elemen, terdapat lima kemungkinan dalam pengambilan
vertex untuk S.
(a) Salah satu vertex dari S adalah c dan vertex lainnya termasuk dalam
{vi |i = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ).
Untuk i, j, k = 0, 1, 2 dengan i, j, dan k yang berbeda terdapat vj , vk ∈
V (H3 ) sedemikian sehingga untuk setiap s ∈ S, vj ∈
/ I[vk , s] dan vk ∈
/
I[vj , s]. Kontradiksi dengan pengandaian.
(b) Salah satu vertex dari S adalah c dan vertex lainnya termasuk dalam
{ui |i = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ). commit to user
Untuk i, j = 0, 1, 2 dengan i ̸= j terdapat vi , vj ∈ V (H3 ) sedemikian
sehingga untuk setiap s ∈ S, vi ∈
/ I[vj , s] dan vj ∈
/ I[vi , s]. Kontradiksi
dengan pengandaian.
4
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
(c) Salah satu vertex dari S termasuk dalam {ui |i = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ) dan
vertex lainnya termasuk dalam {vj |j = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ).
Untuk i, j, k, l = 0, 1, 2 dengan j, k, dan l yang berbeda terdapat vk , vl
∈ V (H3 ) sedemikian sehingga untuk setiap s ∈ S, vk ∈
/ I[vl , s] dan vl ∈
/
I[vk , s]. Kontradiksi dengan pengandaian.
(d) Kedua vertex dari S termasuk dalam {ui |i = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ).
Untuk i, j = 0, 1, 2 dengan i ̸= j terdapat vi , vj ∈ V (H3 ) sedemikian
sehingga untuk setiap s ∈ S, vi ∈
/ I[vj , s] dan vj ∈
/ I[vi , s]. Kontradiksi
dengan pengandaian.
(e) Kedua vertex dari S termasuk dalam {vi |i = 0, 1, 2} ⊂ V (H3 ).
Misal vi , vj ∈ S dengan i, j = 0, 1, 2 dan i ̸= j, terdapat c, vk ∈ V (H3 )
untuk k = 0, 1, 2 dengan k, i, dan j yang berbeda sedemikian sehingga
untuk setiap s ∈ S, c ∈
/ I[vk , s] dan vk ∈
/ I[c, s]. Kontradiksi dengan
pengandaian.
Dari lima kemungkinan, didapatkan hasil yang menyatakan kontradiksi dengan pengandaian. Akibatnya H3 tidak mempunyai himpunan pembeda
kuat dengan dua elemen. Berdasarkan karakterisasi Yi [9] yang menyatakan
sdim(G) = 1 jika dan hanya jika G ∼
= Pn maka diperoleh sdim(H3 ) ̸= 1 karena H3 ≇ Pn sehingga himpunan pembeda kuat minimum dari H3 mempunyai
3 elemen. Jadi sdim(H3 ) = 3.
(2) Kasus n lainnya
Dari Lema 2.4 diperoleh himpunan S = {vi |i = 0, 1, 2, . . . , n − 2} adalah
himpunan pembeda kuat dari graf helm Hn untuk n ≥ 4. Kardinalitas dari
S yaitu |S| = n − 1. Menurut Lema 2.3, |S| ≥ n − 1 sehingga S = {vi |i =
0, 1, 2, . . . , n − 2} adalah basis metrik kuat dari Hn . Jadi sdim(Hn ) = n − 1.
2.3. Dimensi metrik kuat pada graf closed helm (CHn ).
Seoud dan Youssef (dalam Gallian [1]) mendefinisikan graf closed helm sebagai
graf yang diperoleh dari graf helm dengan menggabungkan setiap pendant vertex
sehingga membentuk sebuah cycle. Misal CHn adalah graf closed helm dengan n ≥
3 dengan himpunan vertex V (CHn ) = {c, u0 , u1 , u2 , . . . , un−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }.
Indeks vertex menggunakan modulo n.
Lema 2.5. Untuk n ≥ 3, jika S adalah himpunan pembeda kuat dari graf closed
helm CHn maka |S| ≥ n.
Bukti. Diketahui bahwa S adalah himpunan pembeda kuat dari graf closed helm
CHn , andaikan S memuat paling banyak n − 1 vertex, |S| < n. Misal V1 =
{c, u0 , u1 , u2 , . . . , un−1 } dan V2 = {v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Didefinisikan S1 = V1 ∩ S
to user
dan S2 = V2 ∩ S. Notasikan |S1 | = commit
p dengan
p ≥ 0 dan |S2 | = q dengan q > 0.
Karena p + q ≤ n − 1, terdapat dua vertex ua dan vb dimana ua ∈ V1 \S1 dan vb ∈
V2 \S2 sedemikian sehingga untuk setiap s ∈ S berlaku ua ∈
/ I[vb , s] dan vb ∈
/ I[ua , s].
Hal ini kontradiksi dengan S sebagai himpunan pembeda kuat. Jadi jika S adalah
5
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
himpunan pembeda kuat dari graf closed helm CHn maka S harus memuat paling
sedikit n vertex.
Lema 2.6. Untuk n ≥ 3, himpunan S = {vi |i = 0, 1, 2, . . . , n − 1} adalah himpunan
pembeda kuat dari graf closed helm CHn .
Bukti. Dibuktikan untuk setiap u, v ∈ V (CHn ) \ S, u ̸= v terdapat s ∈ S sedemikian
sehingga u ∈ I[v, s] atau v ∈ I[u, s]. Vertex-vertex dari V (CHn ) \ S yaitu vertex c
dan ui dengan i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Untuk pasangan vertex (c, ui ) dibuktikan vertex
vi membedakan kuat pasangan vertex tersebut. Untuk setiap i ∈ {0, 1, . . . , n − 1},
d(c, vi ) = 2 dengan path terpendek antara c dan vi yang sesuai adalah c, ui , vi sehingga ui ∈ I[c, vi ]. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan vertex vi membedakan
kuat pasangan vertex (ui , uj ) dengan i, j ∈ 0, 1, . . . , n − 1. Karena selalu terdapat
vertex s ∈ S yang membedakan kuat setiap dua vertex berbeda dari V (CHn ) \ S.
Jadi S adalah himpunan pembeda kuat dari graf closed helm CHn .
Teorema 2.3. Misalkan CHn adalah graf closed helm dengan n ≥ 3 maka sdim
(CHn ) = n.
Bukti. Diberikan graf CHn dengan n ≥ 3. Himpunan vertex dari graf CHn yaitu V (CHn ) = {c, u0 , u1 , u2 , . . . , un−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Dari Lema 2.6 diperoleh
himpunan S = {vi |i = 0, 1, 2, . . . , n − 1} adalah himpunan pembeda kuat dari graf
CHn untuk n ≥ 3. Kardinalitas dari S yaitu |S| = n. Menurut Lema 2.5, |S| ≥ n
sehingga S = {vi |i = 0, 1, 2, . . . , n − 1} adalah basis metrik kuat dari CHn . Jadi
sdim(CHn ) = n.
2.4. Dimensi metrik kuat pada graf t-fold wheel Wn .
Graf t-fold wheel Wn adalah suatu graf yang memuat t vertex pusat yang
masing-masing adjacent pada setiap vertex pada suatu cycle, tetapi tidak adjacent satu sama lain (Wallis [8]). Untuk selanjutnya, graf t-fold wheel Wn disimbolkan dengan Wnt . Misal himpunan vertex pada t-fold wheel Wn adalah V (Wnt ) =
{u0 , u1 , u2 , . . . , ut−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 } dengan n ≥ 3 dan t ≥ 1. Vertex ui merupakan vertex pusat. Untuk indeks vertex u menggunakan modulo t sedangkan indeks
vertex v menggunakan modulo n.
Lema 2.7. Untuk t ≥ 2 dan n = 3, jika S adalah himpunan pembeda kuat dari graf
t-fold wheel Wn maka |S| ≥ t + 1.
Bukti. Diberikan dua pasangan vertex (ui , uj ) dan (vk , vl ). Untuk setiap i, j =
0, 1, 2, . . . , t − 1 dengan i ̸= j diperoleh d(ui , uj ) = 2 = diam(W3t ), sehingga menurut
Sifat 2.2, ui ∈ S atau uj ∈ S. Untuk setiap k, l = 0, 1, 2 dengan k ̸= l vertex vk dan
vl memenuhi kondisi (1) dan (2) pada Sifat 2.1 maka vk ∈ S atau vl ∈ S. Hal ini
berarti S harus memuat paling tidak 1 vertex dari himpunan berbeda Xij = {ui , uj }
untuk i, j = 0, 1, 2, . . . , t − 1 dengancommit
i ̸= j to
dan
1 vertex dari himpunan berbeda
user
Ykl = {vk , vl } untuk k, l = 0, 1, 2 dengan k ̸= l. Minimal banyaknya vertex yang
diambil dari himpunan berbeda Xij adalah t − 1 dan minimal banyaknya vertex
yang diambil dari himpunan berbeda Ykl adalah 2 sehingga |S| ≥ t + 1.
6
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
Lema 2.8. Untuk t ≥ 2 dan n = 3, himpunan S = {ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j =
0, 1} adalah himpunan pembeda kuat dari graf t-fold wheel Wn .
Bukti. Dibuktikan untuk setiap u, v ∈ V (W3t ) \ S, u ̸= v terdapat s ∈ S sedemikian
sehingga u ∈ I[v, s] atau v ∈ I[u, s]. Vertex-vertex dari V (W3t ) \ S yaitu ut−1 dan
v2 . Untuk setiap i ∈ {0, 1, 2, . . . , t − 2}, d(ut−1 , ui ) = 2 = diam(W3t ) dengan path
terpendek antara ut−1 dan ui yang sesuai adalah ut−1 , v2 , ui sehingga v2 ∈ I[ut−1 , ui ].
Jadi S adalah himpunan pembeda kuat dari graf W3t .
Lema 2.9. Untuk t ≥ 1 dan n ≥ 4, jika S adalah himpunan pembeda kuat dari graf
t-fold wheel Wn maka |S| ≥ n + t − 3.
Bukti. Diberikan dua pasangan vertex (ui , uj ) dan (vk , vl ). Untuk setiap i, j ∈
{0, 1, 2, . . . , t − 1} dengan i ̸= j diperoleh d(ui , uj ) = 2 = diam(Wnt ), sehingga
menurut Sifat 2.2, ui ∈ S atau uj ∈ S. Untuk setiap k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} dan l
∈
/ {k − 1, k + 1} diperoleh d(vk , vl ) = 2 = diam(Wnt ), sehingga menurut Sifat 2.2, vk
∈ S atau vl ∈ S. Akibatnya S harus memuat paling tidak 1 vertex dari himpunan
berbeda Xij = {ui , uj } untuk i, j = 0, 1, 2, . . . , t − 1 dengan i ̸= j dan 1 vertex dari
himpunan berbeda Ykl = {vk , vl } dengan k = 0, 1, . . . , n−1 dan k +2 ≤ l ≤ n+k −2.
Minimal banyaknya vertex yang diambil dari himpunan berbeda Xij adalah t − 1
dan minimal banyaknya vertex yang diambil dari himpunan berbeda Ykl adalah n−2
sehingga |S| ≥ n + t − 3.
Lema 2.10. Untuk t ≥ 1 dan n ≥ 4, himpunan S = {ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j =
0, 1, 2, . . . , n − 3} adalah himpunan pembeda kuat dari graf t-fold wheel Wn .
Bukti. Dibuktikan untuk setiap u, v ∈ V (Wnt ) \ S, u ̸= v terdapat s ∈ S sedemikian
sehingga u ∈ I[v, s] atau v ∈ I[u, s]. Vertex-vertex dari V (Wnt ) \ S yaitu ut−1 dan
vk dengan k = n − 2, n − 1. Untuk pasangan vertex (ut−1 , vk ) dibuktikan vertex
ui membedakan kuat vertex ut−1 dan vk . Untuk setiap i ∈ {0, 1, 2, . . . , t − 2},
d(ut−1 , ui ) = 2 = diam(Wnt ) dengan path terpendek antara ut−1 dan ui yang sesuai
adalah ut−1 , vk , ui dengan k ∈ {n − 2, n − 1}, sehingga vk ∈ I[ut−1 , ui ]. Dengan
cara yang sama dapat diperoleh vertex vj dengan j ∈ {0, n − 3} membedakan kuat
pasangan vertex (vn−2 , vn−1 ). Karena selalu terdapat vertex s ∈ S yang membedakan
kuat setiap dua vertex berbeda dari V (Wnt ) \ S, jadi S adalah himpunan pembeda
kuat dari graf Wnt .
Teorema 2.4. Misalkan Wnt adalah graf t-fold wheel Wn dengan t ≥ 1 dan n ≥ 3
maka
t = 1 dan n = 3;
3,
t
sdim(Wn ) =
t + 1,
t ≥ 2 dan n = 3;
n + t − 3, t ≥ 1 dan n lainnya.
user
1 dan to
n≥
3. Himpunan vertex dari graf Wnt
Bukti. Diberikan graf Wnt dengan t ≥commit
yaitu V (Wnt ) = {u0 , u1 , u2 , . . . , ut−1 , v0 , v1 , v2 , . . . , vn−1 }. Dimensi metrik kuat pada
graf Wnt terbagi menjadi tiga kasus, yaitu kasus t = 1 dengan n = 3, t ≥ 2 dengan
n = 3, dan kasus t ≥ 1 dengan n lainnya.
7
2015
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
Dimensi Metrik Kuat . . .
F. A. Lathifah, T. A. Kusmayadi, S. Kuntari
(1) Kasus t = 1 dengan n = 3
Berdasarkan karakterisasi Yi [9] yang menyatakan sdim(G) = n − 1 jika
dan hanya jika G ∼
= Kn maka diperoleh sdim(W31 ) = 3 karena W31 ∼
= K4
1
sehingga himpunan pembeda kuat minimum dari W3 mempunyai 3 elemen.
Jadi sdim(W31 ) = 3.
(2) Kasus t ≥ 2 dengan n = 3
Dari Lema 2.8 diperoleh himpunan S = {ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j = 0, 1}
adalah himpunan pembeda kuat dari graf W3t untuk t ≥ 2. Kardinalitas
dari S yaitu |S| = t + 1. Menurut Lema 2.7, |S| ≥ t + 1 sehingga S =
{ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j = 0, 1} adalah basis metrik kuat dari W3t . Jadi
sdim(W3t ) = t + 1.
(3) Kasus t ≥ 1 dengan n lainnya
Dari Lema 2.10 diperoleh himpunan S = {ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j =
0, 1, 2, . . . , n − 3} adalah himpunan pembeda kuat dari graf Wnt untuk t ≥ 1
dan n ≥ 4. Kardinalitas dari S yaitu |S| = n + t − 3. Menurut Lema 2.9,
|S| ≥ n + t − 3 sehingga S = {ui , vj |i = 0, 1, 2, . . . , t − 2, j = 0, 1, 2, . . . , n − 3}
adalah basis metrik kuat dari Wnt . Jadi sdim(Wnt ) = n + t − 3.
3. Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa dimensi
metrik kuat dari graf tadpole seperti pada Teorema 2.1, dimensi metrik kuat dari
graf helm seperti pada Teorema 2.2, dimensi metrik kuat dari graf closed helm
seperti pada Teorema 2.3, dan dimensi metrik kuat dari graf t-fold wheel seperti
pada Teorema 2.4.
DAFTAR PUSTAKA
1. Gallian, J. A., A Dynamic Survey of Graph Labeling, The Electronic Journal of Combinatorics
17 (2014), 1–384 #DS6.
2. Kratica, J., Strong Metric Dimension: A Survey, Yugoslav Journal of Operations Research 24
(2014), no. 2, 187–198.
ˇ
3. Kratica, J.,V. Kovaˇ
cevi´
c-Vujˇ
ci´
c, M. Cangalovi´
c, and M. Stojanovi´
c, Minimal Doubly Resolving
Sets and The Strong Metric Dimension of Hamming Graphs, Applicable Analysis and Discrete
Mathematics 6 (2012), 63–71.
ˇ
4. Kratica, J.,V. Kovaˇ
cevi´
c-Vujˇ
ci´
c, M. Cangalovi´
c, and M. Stojanovi´
c, Minimal Doubly Resolving
Sets and The Strong Metric Dimension of Some Convex Polytope, Applied Mathematics and
Computation 218 (2012), 9790–9801.
5. Kuziak, D., I. G. Yero, and J. A. Rodr´iguez-Vel´
azquez, On The Strong Metric Dimension of
Corona Product Graphs and Join Graphs, Discrete Applied Mathematics 161 (2013), 1022–1027.
6. Oellermann, O. R. and J. Peters-Fransen, The Strong Metric Dimension of Graphs and Digraphs, Discrete Applied Mathematics 155 (2007), 356–364.
7. Seb¨
o, A. and E. Tannier, On Metric Generators of Graphs, Mathematics of Operation Research
commit to user
29 (2004), no. 2, 383–393.
8. Wallis, W. D., Magic Graph, Birkh¨
auser, Basel, Berlin, 2001.
9. Yi, E., On Strong Metric Dimension of Graphs and Their Complements, Acta Mathematica
Sinica, English Series 29 (2013), no. 8, 1479–1492.
8
2015